Задачи на объем шара егэ профиль

(blacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Объем шара равен (displaystyle frac{36}{sqrtpi}). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac{6}{sqrtpi})?

(displaystyle V_{text{шара}} = frac{4}{3}pi R^3 = frac{36}{sqrtpi}) (Rightarrow) (displaystyle R = frac{3}{sqrtpi}). Радиус нового шара равен: (displaystyle R_{text{нов.}} = R + frac{6}{sqrtpi} = frac{9}{sqrtpi}). Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle {S_{text{пов.}} = 4pi R_{text{нов.}}^2 = 4pi left(frac{9}{sqrtpi}right)^2 = 4pifrac{81}{pi} = 324}.)

Ответ: 324

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac{1}{2}R)

[frac{V_{text{шара}}}{V_{text{сегм.}}} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{pi left(frac{1}{2}Rright)^2left(R — frac{1}{3}left(frac{1}{2}Rright)right)} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{5}{24}pi R^3} = frac{4}{3} cdot frac{24}{5} = frac{32}{5} = 6,4.]

Ответ: 6,4

Имеются две сферы (S_1) и (S_2), про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2), а объём тела, заключённого между сферами, равен (V). Найдите (V : V_2).

Ответ: 7

Площадь поверхности шара равна (frac{37}{pi}). На расстоянии (frac1{2pi}) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

По условию задачи (OQ=frac1{2pi}). Рассмотрим (triangle OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{37}{4pi^2}-dfrac1{4pi^2}=dfrac{9}{pi^2}
quad Rightarrow quad r=dfrac3{pi}]

Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi
r=2picdotfrac3{pi}=6.]

Ответ: 6

Площадь поверхности шара равна (64). На расстоянии (frac3{2sqrt{pi}}) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

По условию задачи (OQ=frac3{2sqrt{pi}}). Рассмотрим (triangle
OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{64}{4pi}-dfrac9{4pi}=dfrac{55}{4pi}]

Таким образом, площадь сечения равна

[S=picdot r^2=picdot dfrac{55}{4pi}=dfrac{55}4=13,75.]

Ответ: 13,75

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD), [S_{ABCD} = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},qquadqquad dfrac{r}{R} = dfrac{1}{sqrt{15}},] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Построим (CHperp AD). Так как (angle ADC = 45^circ), то (triangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD).
[HD = dfrac{AD — BC}{2} = R — r,qquadqquad S_{ABCD} = dfrac{BC + AD}{2}cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},] но (r = dfrac{R}{sqrt{15}}), тогда [R^2left(1-dfrac{1}{15}right) = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}}qquadRightarrowqquad R = dfrac{15}{sqrt[3]{pi}}qquadRightarrowqquad V_{text{шара}} = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}cdotpicdotdfrac{15^3}{pi} = 4500.]

Ответ: 4500

Дан шар, диаметр которого равен (9). Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2), считая от вершины (S). Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S), в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha).

Ответ: 36