Задачи на относительность движения егэ по физике

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 36    1–20 | 21–36

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 36    1–20 | 21–36

Задачи ЕГЭ на относительность движения

Задачи на относительность движения — пожалуй, самые сложные из задач кинематики. Здесь надо очень хорошо представлять себе, как будет выглядеть картина движения, если ты находишься на этом самом корабле и ощущаешь ветер на своем лице, или ты едешь на конце движущегося стержня и можешь видеть второй его конец. То есть нужно уметь поставить себя на место другого, и вообразить, что он ощущает или видит — это всегда сложно, и в задаче, и в жизни.

Задача 1.

Один корабль идет по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой – навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго – на северо-запад. Определите модуль скорости ветра. 1 узел – 1 морская миля в час, 1 морская миля – 1852 м. Ответ выразить в км/ч и округлить до целых. Для начала переведем скорость судов в км/ч: узлов/ час км/ч км/ч.

Пусть ветер дует под углом по отношению к направлению на север. Так как первый корабль оставляет дым строго слева от себя, то это означает, что его скорость равна проекции скорости ветра на северное направление. Таким образом, корабль и ветер в этом направлении двигаются с одинаковой скоростью и скорость корабля «гасит» скорость ветра. Поэтому можем записать: Скорость второго корабля, наоборот, накладывается на скорость ветра, на его борту «ветер сильнее». Результатом сложения скоростей ветра и корабля является направление сноса дыма. Чтобы найти скорость ветра в неподвижной системе, нужно из скорости дыма  вычесть скорость корабля, который здесь – подвижная система отсчета. Тогда:

Проекция скорости ветра на северное направление тогда равна Проекция скорости ветра на западное направление равна , и, следовательно, Тогда скорость ветра равна: Ответ: 83 км/ч  

Задача 2.

Стержень скользит по инерции по гладкому горизонтальному столу. В некоторый момент времени в неподвижной системе отсчета скорости концов стержня составляют с направлением стержня углы и . Какой угол образует со стержнем в этот момент скорость его центра? Пусть скорость одного конца стержня равна , а второго . Стержень участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном. Если спроецировать скорости концов на направление стержня, то можно определить скорость поступательного движения, а проекции скорости, перпендикулярные направлению стержня, дадут возможность найти мгновенный центр вращения.

Проекции скорости на направление стержня обязаны быть равными, так как стержень не претерпевает растяжения: Проекции скоростей на перпендикулярное стержню направление относятся так же, как расстояния концов стержня до мгновенного центра вращения: Отсюда Теперь можем найти скорость середины стержня, и угол, под которым она направлена к стержню. Проекция скорости центра на направление стержня такая же, как и у концов: . Найдем перпендикулярную составляющую. Для этого составим пропорцию: Проекция скорости центра стержня на направление стержня такая же, как у концов: Сам угол равен Ответ: .

Уровень B

1. Приведите примеры относительно каких тел покоится плот, плывущий по течению? Относительно каких тел движется?

Решение

2. Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в системе отсчета, связанной с землей?

Решение

3. Почему нельзя применять паруса для управления полетом воздушного шара?

Решение

4. Туристы плывут на плоту по реке, и один из них плавает вокруг плота. Изобразите траекторию движения пловца относительно:

а) наблюдателя на плоту,

б) наблюдателя, который находится на высоком обрыве около реки.

Решение

5. Изобразите траекторию движения точки обода велосипедного колеса при прямолинейном движении велосипеда по дороге в системах отсчета, жестко связанных:

а) с велосипедистом;

б) с наблюдателем, стоящим сбоку.

Решение

6. На рисунке 1 даны направления движения трех тел. Модули их скоростей относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ₁ = 5 м/с, υ₂ = 4 м/с, υ₃ = 2 м/с. Применяя закон сложения скоростей, определите скорости движения тел относительно:

а) первого тела;

б) третьего тела.

Соответствует ли полученный ответ вашей интуиции?

Решение

7. На рисунке 2 даны направления движения трех тел. Модули скоростей первого и второго тела относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ₁ = 5 м/с, υ₂ = 4 м/с. Скорость третьего тела относительно второго по модулю равна υ₃ = 3 м/с. Определите скорость третьего тела относительно:

а) неподвижного наблюдателя;

б) первого тела.

Решение

8. Скорость пловца относительно воды 1,2 м/с. Скорость течения 0,8 м/с. Определите скорость пловца относительно берега, если пловец плывет по течению реки.

Решение

9. Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость встречного ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом?

Решение

10. Определите скорость ветра, если двигатель самолета сообщает ему в безветренную погоду скорость равную 900 км/ч, а при встречном ветре 850 км/ч.

Решение

11. По дороге движутся автомобиль со скоростью 15 м/с и велосипедист со скоростью 5 м/с. Определите скорость их сближения, если:

а) автомобиль догоняет велосипедиста;

б) они движутся навстречу друг другу.

Решение

12. Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найдите время, за которое пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идет в направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчета, связанной с эскалатором.

Решение

13. Два автомобиля движутся навстречу друг другу с равными скоростями по 80 км/ч каждая. За какое время расстояние между ними уменьшится на 10 км?

Решение

14. По двум параллельным железнодорожным линиям равномерно движутся два поезда: грузовой длиной 630 м со скоростью 48 км/ч и пассажирский длиной 120 м со скоростью 102 км/ч. В течение какого времени пассажирский поезд проходит мимо машиниста грузового, если поезда движутся:

а) в одном направлении;

б) навстречу друг другу?

Решение

15. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 10 с встречный поезд. Длина встречного поезда 290 м. Определите его скорость.

Решение

16. Скорость течения 3 м/с, а рыбак может грести со скоростью 5 м/с при неподвижной воде. Определите время, необходимое рыбаку, чтобы спуститься на 40 м вниз по течению и на столько же подняться вверх.

Решение

Уровень C

1. Скорость движения теплохода относительно берега вниз по реке 20 км/ч, а вверх – 18 км/ч. Определите скорость течения относительно берега и скорость теплохода относительно воды.

Решение

2. Автоколонна длиной 1,2 км движется со скоростью 36 км/ч. Мотоциклист выезжает из головы колонны, доезжает до ее хвоста и возвращается обратно. Определите время, за которое мотоциклист преодолеет данное расстояние, если его скорость равна 72 км/ч.

Решение

3. Пловец, двигаясь относительно воды перпендикулярно течению со скоростью 5 км/ч, переплывает реку шириной 120 м. Скорость течения 3,24 км/ч. Определите:

а) скорость пловца относительно берега;

б) время, которое требуется пловцу, чтобы переплыть реку;

в) перемещение пловца относительно берега;

г) под каким углом к берегу плывет пловец?

Решение

4. Вертолет летел в безветренную погоду на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к первоначальному направлению будет лететь вертолет, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?

Решение

5. На катере необходимо переплыть реку перпендикулярно берега. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 1,2 м/с, катер двигался относительно берега со скоростью 3,2 м/с?

Решение

6. Пловец желает переплыть реку перпендикулярно берега. Под каким углом к течению он должен плыть, если скорость пловца относительно воды 1 м/с, скорость течения 0,8 м/с?

Решение

7. Скорость течения реки 4 км/ч, ширина ее 240 м. С какой скоростью относительно берега должен плыть пловец, чтобы переплыть реку за 15 мин, если его скорость относительно воды перпендикулярна берегу?

Решение

8. По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся равномерно грузовая и легковая машины со скоростями 36 км/ч и 72 км/ч соответственно. На каком расстоянии окажутся друг от друга машины через 10 мин после встречи у перекрестка?

Решение

9. В безветренную погоду вертолет двигался со скоростью 90 км/ч точно на север. Найдите скорость вертолета, если подул северо-западный ветер под углом 45° к направлению движения. Скорость ветра 10 м/с.

Решение

10. Наблюдатель на берегу определил значение скорости пловца, переплывающего реку, 2,0 м/с. Скорость была направлена под углом 60° к линии берега. Какова скорость пловца относительно воды, если скорость течения реки 1,0 м/с?

Решение

11. По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 72 км/ч. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км?

Решение

Как понимать относительность движения? Еще Галилей задумался над этим вопросом в 16 веке и дал на него ответ. Кстати, если вам нужно вспомнить основные понятия из кинематики, то вот отдельный материал на эту тему.

Больше ответов и актуальных студенческих вопросов – на нашем телеграм-канале.

Относительность движения: объяснение, примеры

Конечно, Галилей был не первым, кто размышлял на эту тему. Вот, что думал об относительности движения другой великий ум эпохи Возрождения – Джордано Бруно: 

Как это заметили древние и современные истинные наблюдатели природы, и как это показывает тысячью способами чувственный опыт, мы можем заметить движение только посредством известного сравнения и сопоставления с каким-либо неподвижным телом. Так, люди, находящиеся в середине моря на плывущем корабле, если они не знают, что вода течёт, и не видят берегов, не заметят движения корабля. Ввиду этого можно сомневаться относительно покоя и неподвижности Земли. Я могу считать, что если бы я находился на Солнце, Луне или на других звёздах, то мне всегда казалось бы, что я нахожусь в центре неподвижного мира, вокруг которого вращается всё окружающее, вокруг которого вращается этот окружающий меня мир, в центре которого я нахожусь.

Суть относительности движения: в зависимости от выбора системы и тела отсчета, одно и то же движение может иметь разный характер и описываться по-разному.

Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы отсчета за тело отсчета принимают соответственно землю и солнце.

Вот пример относительности механического движения. Представим, что автобус движется по дороге. По отношению к пешеходу, который стоит на остановке, его скорость равна, скажем, 60 км/ч. А относительно водителя, который едет по встречной полосе со скоростью 100 км/ч, автобус движется иначе. Говоря точнее, автобус приближается к водителю встречной машины со скоростью 160 км/ч.

При этом действует принцип относительности Галилея:

Если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым.

Принцип относительности по Галилею является частным случаем принципа относительности Эйнштейна.

В нашем справочнике вы более полную теорию по теме «Относительность движения». Но не будем углубляться в теорию, ведь наша сегодняшняя цель – это разбор практических задач.

Кстати! Для всех наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.

Задачи на относительность движения

Задача 1 

Летящий звездолет посылает вперед радиосигналы длительностью t1. Внезапно он начинает принимать сигналы отраженные от находящегося впереди препятствия, длительность которых t2. С какой скоростью приближается звездолет к препятствию, если скорость распространения радиосигналов равна c?

Решение

Скорость распространения радиосигналов относительно звездолета до отражения:

Скорость распространения радиосигналов относительно звездолета после отражения:

 До того, как достигнуть препятствия, сигнал пролетел путь:

путь после отражения:

Приравняем s1 и s2 и получим:

Ответ: v = c(t1 – t2)/(t1 + t2).

Задача 2

Катер проходит расстояние между двумя пунктами на реке по течению за время t1=3 часа, а против течения за t2=6 часов. Средняя скорость катера при движении туда и сразу обратно равна 10 км/ч. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение

По определению, средняя скорость v при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.

Из этого найдем расстояние между двумя пунктами:

Это же расстояние можно рассчитать по формулам:

Здесь v – скорость катера, u – скорость течения. Приравняем выражения:

Полученное выражение для скорости катера подставим в формулу для пути:

Отсюда:

Осталось подставить данные задачи и вычислить скорость течения:

Тогда скорость катера:

Ответ: 3,75 км/ч, 11,25 км/ч.

Задача 3

По дороге едет колонна автомобилей со скоростью 20 км/ч. Из середины колонны одновременно отправляются два мотоциклиста: один в голову колонны, другой в хвост. Первый мотоциклист приехал к месту на 6 минут раньше второго Какова длина колонны, если скорость мотоциклистов одинакова и равна 30 км/ч?

Решение

Расстояние, которое изначально нужно пройти мотоциклистам:

Скорость, с которой первый мотоциклист приближается к голове колоны:

Скорость с которой второй мотоциклист приближается к хвосту колоны

По условию:

или

Отсюда находим время движения:

Тогда длина колонны:

Ответ: 2,5 км.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис всегда к вашим услугам.

За­да­ние 1 № 101. Может ли гра­фик за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни иметь сле­ду­ю­щий вид?

1) да

2) нет

3) может, если тра­ек­то­рия пря­мо­ли­ней­ная

4) может, если тело воз­вра­ща­ет­ся в ис­ход­ную точку

Ре­ше­ние.

Путь — это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина прой­ден­но­го участ­ка тра­ек­то­рии. По опре­де­ле­нию, путь есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, ко­то­рая может толь­ко воз­рас­тать со вре­ме­нем, так что пред­став­лен­ный гра­фик не может изоб­ра­жать за­ви­си­мость пути от вре­ме­ни.

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 125. Вер­то­лет под­ни­ма­ет­ся вер­ти­каль­но вверх. Ка­ко­ва тра­ек­то­рия дви­же­ния точки на конце ло­па­сти винта вер­то­ле­та в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с вин­том?

1) точка

2) пря­мая

3) окруж­ность

4) вин­то­вая линия

Ре­ше­ние.

В си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с вин­том, точка на конце ло­па­сти не дви­га­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, ее тра­ек­то­рия в дан­ной си­сте­ме от­сче­та пред­став­ля­ет собой точку.

Пра­виль­ный ответ: 1.

За­да­ние 1 № 126. Два ав­то­мо­би­ля дви­жут­ся по пря­мо­му шоссе: пер­вый — со ско­ро­стью ν, вто­рой — со ско­ро­стью -3 ν. Ка­ко­ва ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля от­но­си­тель­но пер­во­го?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля от­но­си­тель­но пер­во­го равна ν₂ — ν ₁=-3 ν- ν= -4ν

Пра­виль­ный ответ: 2.

За­да­ние 1 № 131. Лодка долж­на по­пасть на про­ти­во­по­лож­ный берег реки по крат­чай­ше­му пути в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с бе­ре­гом. Ско­рость те­че­ния реки u, а ско­рость лодки от­но­си­тель­но воды ν . Чему дол­жен быть равен мо­дуль ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но бе­ре­га?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

1 спо­соб: По за­ко­ну сло­же­ния ско­ро­стей, век­тор ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но бе­ре­га (не­по­движ­ной с.о.) равен сумме ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но воды (по­движ­ной с.о.) и ско­ро­сти те­че­ния воды (пе­ре­нос­ной ско­ро­сти). По усло­вию, век­тор ско­ро­сти лодки в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с бе­ре­гом, дол­жен быть пер­пен­ди­ку­ля­рен ему. По­стро­ив «тре­уголь­ник ско­ро­стей» из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра для ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но бе­ре­га имеем

ν² — u²

2 спо­соб:

Век­тор ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но воды раз­ло­жим на две ком­по­нен­ты: , где век­тор на­прав­лен па­рал­лель­но бе­ре­гу, а век­тор — пер­пен­ди­ку­ляр­но бе­ре­гу. Для того, чтобы лодка в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с бе­ре­гом, дви­га­лась пер­пен­ди­ку­ляр­но к нему, не­об­хо­ди­мо, чтобы ком­по­нен­та ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но воды вдоль реки в точ­но­сти ком­пен­си­ро­ва­ла ско­рость те­че­ния u. Тогда мо­дуль ско­ро­сти лодки от­но­си­тель­но бе­ре­га будет равен (по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра)

Пра­виль­ный ответ: 4.

За­да­ние 1 № 133. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти пути S ве­ло­си­пе­ди­ста от вре­ме­ни t.

Опре­де­ли­те ин­тер­вал вре­ме­ни после на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни, когда ве­ло­си­пе­дист дви­гал­ся со ско­ро­стью 5 м/с.

1) от 50 с до 70 с

2) от 30 с до 50 с

3) от 10 с до 30 с

4) от 0 до 10 с

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни найти ско­рость дви­же­ния тела в не­ко­то­рый мо­мент, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить тан­генс угла на­кло­на гра­фи­ка в со­от­вет­ству­ю­щей точке. Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле от 0 до 10 с ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста была по­сто­ян­на и рав­ня­лась

.

На дру­гих ин­тер­ва­лах ско­рость была иная.

Пра­виль­ный ответ: 4.

За­да­ние 1 № 134. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик дви­же­ния ав­то­бу­са из пунк­та A в пункт Б и об­рат­но.

Пункт A на­хо­дит­ся в точке х=0, а пункт Б — в точке х=30 км. Чему равна мак­си­маль­ная ско­рость ав­то­бу­са на всем пути сле­до­ва­ния туда и об­рат­но? (Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.)

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни найти ско­рость дви­же­ния тела в не­ко­то­рый мо­мент, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить тан­генс угла на­кло­на гра­фи­ка в со­от­вет­ству­ю­щей точке. Мак­си­маль­ной ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет мак­си­маль­ный угол на­кло­на. Из при­ве­ден­но­го гра­фи­ка видно, что с мак­си­маль­ной ско­ро­стью ав­то­бус дви­жет­ся из пунк­та A в пункт Б, ско­рость его при этом равна: 30-0/0,5=60 км/ч.

За­да­ние 1 № 138. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

Чему равно уско­ре­ние тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 30 до 40 с? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 30 до 40 с про­ек­ция ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась, а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния была равна нулю.

За­да­ние 1 № 317. Пло­вец плы­вет по те­че­нию реки. Опре­де­ли­те ско­рость плов­ца от­но­си­тель­но бе­ре­га, если ско­рость плов­ца от­но­си­тель­но воды 0,4 м/с, а ско­рость те­че­ния реки 0,3 м/с. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Век­тор ско­ро­сти плов­ца от­но­си­тель­но бе­ре­га есть сумма век­то­ров ско­ро­сти плов­ца от­но­си­тель­но воды и ско­ро­сти те­че­ния реки:. По­сколь­ку пло­вец плы­вет по те­че­нию реки, по­лу­ча­ем, что для ве­ли­чин ско­ро­стей вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние: 0,4 + 0,3 =0,7 м/с.

За­да­ние 1 № 3354. Че­ты­ре тела дви­га­лись по оси Ох. В таб­ли­це пред­став­ле­на за­ви­си­мость их ко­ор­ди­нат от вре­ме­ни.

t, с	0	1	2	3	4	5
x1, м.	0	2	4	6	8	10
x2, м	0	0	0	0	0	0
x3, м	0	1	4	9	16	25
x4, м	0	2	0	-2	0	2

У ка­ко­го из тел ско­рость могла быть по­сто­ян­на и от­лич­на от нуля?

Ре­ше­ние.

Таб­ли­ца со­дер­жит ин­фор­ма­цию о по­ло­же­ни­ях тел толь­ко в от­дель­ные мо­мен­ты вре­ме­ни. В про­ме­жут­ках между ука­зан­ны­ми вре­ме­на­ми тела могли дви­гать­ся аб­со­лют­но про­из­воль­но. Опре­де­лим тело, ско­рость ко­то­ро­го могла бы быть по­сто­ян­ной и от­лич­ной от нуля. При дви­же­нии с по­сто­ян­ной ско­ро­стью ко­ор­ди­на­та тела за рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни из­ме­ня­ет­ся оди­на­ко­во. Из таб­ли­цы видно, что этому свой­ству удо­вле­тво­ря­ет толь­ко пер­вое тело. Зна­чит, ско­рость пер­во­го тела могла быть по­сто­ян­ной и не рав­ной нулю.

За­да­ние 1 № 3357. Вер­то­лет рав­но­мер­но под­ни­ма­ет­ся вер­ти­каль­но вверх. Ка­ко­ва тра­ек­то­рия край­ней точки ло­па­сти вер­то­ле­та в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с кор­пу­сом вер­то­ле­та?

1) пря­мая линия

2) вин­то­вая линия

3) окруж­ность

4) эл­липс

Ре­ше­ние.

Край­няя точка ло­па­сти вер­то­ле­та дви­га­ет­ся по окруж­но­сти во­круг оси вра­ще­ния винта. По­сколь­ку ось вра­ще­ния жест­ко свя­за­на с кор­пу­сом вер­то­ле­та, такую же тра­ек­то­рию опи­сы­ва­ет эта точка и от­но­си­тель­но любой точки кор­пу­са. Пра­виль­ный ответ 3.

За­да­ние 1 № 3539. На каком из гра­фи­ков изоб­ра­же­на воз­мож­ная за­ви­си­мость прой­ден­но­го пути от вре­ме­ни?

1) А

2) Б

3) В

4) Такой гра­фик от­сут­ству­ет

Ре­ше­ние.

Путь — это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина прой­ден­но­го участ­ка тра­ек­то­рии. По опре­де­ле­нию, путь есть ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, ко­то­рая может толь­ко воз­рас­тать со вре­ме­нем. Этому тре­бо­ва­нию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко гра­фик В.

Пра­виль­ный ответ: 3.

За­да­ние 1 № 3540. Ве­ло­си­пе­дист, дви­га­ясь под уклон, про­ехал рас­сто­я­ние между двумя пунк­та­ми со ско­ро­стью, рав­ной 15 км/ч. Об­рат­но он ехал вдвое мед­лен­нее. Ка­ко­ва сред­няя пу­те­вая ско­рость на всем пути? (Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.)

Ре­ше­ние.

Не­об­хо­ди­мо раз­ли­чать два по­ня­тия: сред­нюю пу­те­вую ско­рость и сред­нюю ско­рость по пе­ре­ме­ще­нию. Сред­няя пу­те­вая ско­рость опре­де­ля­ет­ся как ско­рость про­хож­де­ния пути: . То есть, бук­валь­но, надо весь прой­ден­ный телом путь раз­де­лить на все время, за­тра­чен­ное им на этот путь. Сред­няя пу­те­вая ско­рость пред­став­ля­ет собой число, ска­ляр.

Раз­бе­рем­ся те­перь со вто­рой сред­ней ско­ро­стью. Сред­няя ско­рость по пе­ре­ме­ще­нию  — это век­тор, рав­ный от­но­ше­нию пе­ре­ме­ще­ния ко вре­ме­ни, за ко­то­рое оно со­вер­ше­но: . В нашей кон­крет­ной за­да­че, по­сколь­ку ве­ло­си­пе­дист вер­нул­ся в ис­ход­ную точку, его пе­ре­ме­ще­ние равно нулю, а зна­чит, его сред­няя ско­рость по пе­ре­ме­ще­нию тоже равна нулю.

Вы­чис­лим те­перь сред­нюю пу­те­вую ско­рость. Обо­зна­чим рас­сто­я­ние между двумя пунк­та­ми через ? тогда весь путь прой­ден­ный ве­ло­си­пе­ди­стом равен . На первую по­ло­ви­ну пути ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил время . На об­рат­ную до­ро­гу  — время . Все время пути со­ста­ви­ло . Окон­ча­тель­но, на­хо­дим, что сред­няя пу­те­вая ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна

.

За­да­ние 1 № 3541. Тело дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но вдоль оси x. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела от вре­ме­ни. В какой мо­мент вре­ме­ни мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки имел мак­си­маль­ное зна­че­ние? (Ответ дайте в се­кун­дах.)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та тела равна . Мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния тела от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки в любой мо­мент опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем: . По­стро­им гра­фик этой функ­ции и опре­де­лим ее мак­си­мум. Из по­стро­ен­но­го гра­фи­ка ясно, что мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки мак­си­ма­лен при и равен 20 м.

Ответ: 6 с

За­да­ние 1 № 3544. Дви­же­ние двух ве­ло­си­пе­ди­стов за­да­ны урав­не­ни­я­ми x₁ =2 t и x₂ =100- 8 t . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ту x места встре­чи ве­ло­си­пе­ди­стов. Ве­ло­си­пе­ди­сты дви­га­ют­ся вдоль одной пря­мой. (Ответ дайте в мет­рах.)

Ре­ше­ние.

Встре­ча двух ве­ло­си­пе­ди­стов озна­ча­ет, что у них в не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни сов­па­дут ко­ор­ди­на­ты. Опре­де­лим, когда имен­но про­изой­дет встре­ча, для этого решим урав­не­ние . Те­перь не со­став­ля­ет труда опре­де­лить ко­ор­ди­на­ту места встре­чи:

За­да­ние 1 № 3545.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик дви­же­ния x(t) элек­тро­ка­ра. Опре­де­ли­те по этому гра­фи­ку путь, про­де­лан­ный элек­тро­ка­ром за ин­тер­вал вре­ме­ни от t₁ = 1 c до t₂ = 4 c. (Ответ дайте в мет­рах.)

Ре­ше­ние.

Путь — это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина прой­ден­но­го участ­ка тра­ек­то­рии. Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от до элек­тро­кар дви­гал­ся в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси . При этом его ко­ор­ди­на­та из­ме­ни­лась на . По­след­нюю, чет­вер­тую, се­кун­ду элек­тро­кар дви­гал­ся в об­рат­ном на­прав­ле­нии, из­ме­не­ние его ко­ор­ди­на­ты на этом участ­ке равно . Таким об­ра­зом, путь, прой­ден­ный ма­шин­кой за ин­тер­вал вре­ме­ни от до равен .

За­да­ние 1 № 3548. Пе­ше­ход идет по пря­мо­ли­ней­но­му участ­ку до­ро­ги со ско­ро­стью v. Нав­стре­чу ему дви­жет­ся ав­то­бус со ско­ро­стью 10v. С какой ско­ро­стью дол­жен дви­гать­ся нав­стре­чу пе­ше­хо­ду ве­ло­си­пе­дист, чтобы мо­дуль его ско­ро­сти от­но­си­тель­но пе­ше­хо­да и ав­то­бу­са был оди­на­ков?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мую ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста через . Тогда, как видно из ри­сун­ка, ве­ло­си­пе­дист при­бли­жа­ет­ся к пе­ше­хо­ду со ско­ро­стью , а к ав­то­бу­су  — со ско­ро­стью .

При­рав­няв эти две ско­ро­сти, на­хо­дим тре­бу­е­мую ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста:

Пра­виль­ный ответ: 1.

За­да­ние 1 № 3549. Па­ро­ход дви­жет­ся по реке про­тив те­че­ния со ско­ро­стью 5 м/с от­но­си­тель­но бе­ре­га. Опре­де­ли­те ско­рость те­че­ния реки, если ско­рость па­ро­хо­да от­но­си­тель­но бе­ре­га при дви­же­нии в об­рат­ном на­прав­ле­нии равна 8 м/с. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мую ско­рость те­че­ния реки через , а ско­рость па­ро­хо­да в сто­я­чей воде  — через . Тогда можно со­ста­вить сле­ду­ю­щие урав­не­ния. Ско­рость па­ро­хо­да вниз по те­че­нию равна . Ско­рость па­ро­хо­да вверх по те­че­нию: . Решая си­сте­му из двух этих урав­не­ний, для ско­ро­сти те­че­ния воды имеем .

За­да­ние 1 № 3734.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся вдоль оси OX. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти этой ма­те­ри­аль­ной точки на ось OX от вре­ме­ни. Какой из при­ве­ден­ных ниже гра­фи­ков может со­от­вет­ство­вать за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты ма­те­ри­аль­ной точки от вре­ме­ни?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что про­ек­ция ско­ро­сти ма­те­ри­аль­ной точки на ось OX по­ло­жи­тель­на и по­сто­ян­на, а зна­чит, точка дви­жет­ся рав­но­мер­но и в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси OX. Един­ствен­ный гра­фик, удо­вле­тво­ря­ю­щий обоим этим тре­бо­ва­ни­ям, — это гра­фик под но­ме­ром 1.

Пра­виль­ный ответ: 1.

За­да­ние 1 № 3783. На ри­сун­ке пред­став­ле­ны гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти прой­ден­но­го пути от вре­ме­ни для двух тел. На какую ве­ли­чи­ну Δv ско­рость вто­ро­го тела v₂ боль­ше ско­ро­сти пер­во­го тела v₁? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что для обоих тел прой­ден­ный путь ли­ней­но за­ви­сит от вре­ме­ни, а зна­чит, оба тела дви­га­лись с по­сто­ян­ны­ми по ве­ли­чи­не ско­ро­стя­ми. Мо­дуль ско­ро­сти пер­во­го тела равен . Ско­рость же вто­ро­го тела: . Сле­до­ва­тель­но, ско­рость вто­ро­го тела боль­ше ско­ро­сти пер­во­го тела на ве­ли­чи­ну

За­да­ние 1 № 3867.

Тела 1 и 2 дви­га­ют­ся вдоль оси x. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­нат дви­жу­щих­ся тел 1 и 2 от вре­ме­ни t. Чему равен мо­дуль ско­ро­сти 1 от­но­си­тель­но тела 2? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя гра­фик, опре­де­лим про­ек­ции ско­ро­стей обоих тел. Для тела 1 имеем

Для тела 2:

Таким об­ра­зом мо­дуль ско­ро­сти од­но­го тела от­но­си­тель­но дру­го­го равен

За­да­ние 1 № 4077. Ав­то­бус везёт пас­са­жи­ров по пря­мой до­ро­ге со ско­ро­стью 10 м/с. Пас­са­жир рав­но­мер­но идёт по са­ло­ну ав­то­бу­са со ско­ро­стью 1 м/с от­но­си­тель­но ав­то­бу­са, дви­га­ясь от зад­ней двери к ка­би­не во­ди­те­ля. Чему равен мо­дуль ско­ро­сти пас­са­жи­ра от­но­си­тель­но до­ро­ги? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Со­глас­но за­ко­ну сло­же­ния ско­ро­стей, ско­рость тела от­но­си­тель­но «не­по­движ­ной си­сте­мы отсчёта» свя­за­на со ско­ро­стью этого тела от­но­си­тель­но «по­движ­ной си­сте­мы отсчёта» и ско­ро­стью дви­же­ния «по­движ­ной с. о.» от­но­си­тель­но «не­по­движ­ной» при по­мо­щи сле­ду­ю­ще­го со­от­но­ше­ния: В дан­ном слу­чае, так как пас­са­жир дви­га­ет­ся вдоль ав­то­бу­са по на­прав­ле­нию его дви­же­ния, для ско­ро­сти пас­са­жи­ра от­но­си­тель­но до­ро­ги имеем:

Ответ: 11 м/с

За­да­ние 1 № 4186. Ко­ор­ди­на­та ма­те­ри­аль­ной точки из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни по за­ко­ну x=3-2t. Какой из при­ведённых ниже гра­фи­ков со­от­вет­ству­ет этой за­ви­си­мо­сти?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Из за­ви­си­мо­сти видно, что ко­ор­ди­на­та убы­ва­ет со вре­ме­нем, при этом в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни ко­ор­ди­на­та равна а в на­ча­ло ко­ор­ди­нат ма­те­ри­аль­ная точка по­па­да­ет в мо­мент вре­ме­ни: Таким об­ра­зом, за­ви­си­мо­сти со­от­вет­ству­ет гра­фик под но­ме­ром 4.

Пра­виль­ный ответ: 4.

За­да­ние 1 № 4221. Ко­ор­ди­на­та ма­те­ри­аль­ной точки из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни по за­ко­ну . x=3+ 2t. Какой из при­ведённых ниже гра­фи­ков со­от­вет­ству­ет этой за­ви­си­мо­сти?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Из за­ви­си­мо­сти видно, что ко­ор­ди­на­та воз­рас­та­ет со вре­ме­нем, при этом в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни ко­ор­ди­на­та равна , а в мо­мент вре­ме­ни ко­ор­ди­на­та равна . Таким об­ра­зом, за­ви­си­мо­сти со­от­вет­ству­ет гра­фик под но­ме­ром 3.

Пра­виль­ный ответ: 3.

За­да­ние 1 № 4409. По плос­ко­сти дви­жут­ся че­ты­ре то­чеч­ных тела —А, Б, В, Г. x=1+t., y=2 t, и , тра­ек­то­рии ко­то­рых изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке. За­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­нат од­но­го из этих тел от вре­ме­ни имеют вид и . Это тело обо­зна­че­но бук­вой

1) А

2) Б

3) В

4) Г

Ре­ше­ние.

На за­ви­си­мость ко­ор­ди­нат от вре­ме­ни и можно смот­реть как на па­ра­мет­ри­че­ское за­да­ние пря­мой на плос­ко­сти .

Вы­ра­зим время из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое: . Из ри­сун­ка видно, что урав­не­нию со­от­вет­ству­ет пря­мая .

Пра­виль­ный ответ: 3

За­да­ние 1 № 4444. По плос­ко­сти дви­жут­ся че­ты­ре то­чеч­ных тела — А,Б В, и Г, тра­ек­то­рии ко­то­рых изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке. За­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­нат од­но­го из этих тел от вре­ме­ни имеют вид x=2t.и . y=1+ t. Это тело обо­зна­че­но бук­вой

1) А

2) Б

3) В

4) Г

Ре­ше­ние.

На за­ви­си­мость ко­ор­ди­нат от вре­ме­ни и можно смот­реть как на па­ра­мет­ри­че­ское за­да­ние пря­мой на плос­ко­сти .

Вы­ра­зим время из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое: . Из ри­сун­ка видно, что урав­не­нию со­от­вет­ству­ет пря­мая A.

Пра­виль­ный ответ: 1

За­да­ние 1 № 4934. Два ав­то­мо­би­ля дви­жут­ся по пря­мо­му шоссе: пер­вый со ско­ро­стью , вто­рой со ско­ро­стью от­но­си­тель­но шоссе. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля от­но­си­тель­но вто­ро­го равна

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля от­но­си­тель­но вто­ро­го равна

.

Пра­виль­ный ответ: 2.