Задачи на параллелограмм на егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

24
Июл 2013

Категория: 01 Геометрия

01. Параллелограмм

2013-07-24
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментария 2

Привет! Сегодня повторим геометрическую фигуру параллелограмм и порешаем задачи на эту тему.

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырёх сторон.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S = h∙a

C другой стороны, каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Применив формулу для площади треугольника через синус угла, получим, что площадь параллелограмма можно вычислить следующим образом:

S = a∙b∙sinα

a и b — стороны, α — величина угола между ними

Так же, разделив двумя диагоналями параллелограмм на 4 треугольника, и использовав вышеуказанную формулу для площади треугольника через синус угла, получается, площадь параллелограмма через диагонали можно представить в виде формулы:

S = ½∙d1∙d2∙sinφ

d1 и d2 — диагонали, φ — величина угла между ними

Эта формула справедлива для любого выпуклого четырёхугольника.

Задачи на параллелограмм.

Задача (Накрест лежащие углы)

Биссектриса тупого угла ∠ABC параллелограмма ABCD делит противоположную сторону AD в соотношении 1:3, считая от вершины острого угла. Бо́льшая сторона AD равна 12. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Найдём отрезок AE. Всего отрезок AD содержит 4 части (1+3), а AE — это одна часть. Тогда получается AE = AD/4 = 12/4 = 3.

Углы ∠EBC и ∠BEA равны, т.к. эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BE.

Т.к. ∠EBC=∠BEA=∠ABE (Ведь BE — биссектриса), следовательно, треугольник ABE — равнобедренный (два угла равны ∠BEA = ∠ABE). Значит, боковые стороны равны AB=AE=3.

Теперь можно найти и периметр. По 1 свойству параллелограмма AB=DC=3, а так же AD=BC=12.

P=(12+3)*2 = 30

Ответ: 30

Задача (Свойство диагоналей)

В параллелограмме ABCD диагональ AC вдвое больше, чем сторона AB. Диагонали пересекаются в точке O. Угол ∠AOB=70°. Найдите угол ∠ACD. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Воспользуемся свойством параллелограмма. Оно говорит, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Получается AO=OC=AB, т.к. AB — так же половина диагонали AC.

Получается треугольник ABO — равнобедренный. Тогда углы при основании раны ∠AOB= ∠ABO=70°. Т.к сумма углов в треугольнике ABO равна 180°, то ∠BAO = 180° — 70° — 70° = 40°.

Угол ∠BAO = ∠ОСВ (эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).

Значит, ∠BAO = ∠ОСВ = 40°.

Ответ: 40

Задача (Используем параллельные прямые)

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8. Из произвольной точки, на основании треугольника, проведены две прямы, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр образовавшегося параллелограмма.

Решение:

Углы ∠KDA и ∠BCA являются соответственными при параллельных прямых KD и BC и секущей AC. Значит, они равны ∠KDA=∠BCA.

Получается, что треугольник AKD — равнобедренный. Ведь, ∠BAC=∠BCA (Т.к. это углы при основании в равнобедренном треугольнике ABC) ⇒ ∠BAC = ∠KDA, а если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник — равнобедренный.

Чтобы найти периметр параллелограмма, достаточно найти сумму двух его пересекающихся сторон, и затем эту сумму нужно умножить на 2. Сумма двух пересекающихся сторон параллелограмма DKBM как раз равна боковой стороне треугольника ABC. Т.е. KD + KB = AB (АК=КD т.к. треугольник AKD равнобедренный).

P_DKBM = 2*(KD + KB) = 2 * AB = 2 * 8 = 16

Ответ: 16

Задача (Два параллелограмма)

Площадь параллелограмма ABCD равна 77. Найдите площадь параллелограмма EFGH, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение:

Обозначим AE=EB=CG=GD=a, BF=FC=AH=HD=b, ∠BAD=∠BCD=α, ∠ABC=∠ADC=180°-α.

Рассмотрим площади четырёх треугольников, которые получились внутри параллелограмма ABCD равны. Используем формулу для площади треугольника через синус угла.

S_AEH = ½∙a∙b∙sinα
S_EBF = ½∙a∙b∙sin(180°-α)
S_FCG = ½∙a∙b∙sinα
S_HGD = ½∙a∙b∙sin(180°-α)

Т.к. по формуле приведения sinα = sin(180°-α), то площади всех четырёх треугольников равны.

Площадь параллелограмма ABCD через синус угла α можно представить:

S_ABCD = AB∙AD∙sinα = 2a∙2b∙sinα = 4∙a∙b∙sinα

Тогда

S_ABCD — S_AEH — S_EBF — S_FCG — S_HGD =
4∙a∙b∙sinα — 4 ∙ (½∙a∙b∙sinα) = 2∙a∙b∙sinα

Получается, что если из площади параллелограмма ABCD вычесть площади четырех получившихся треугольников, то останется ровно половина от изначальной площади. Это и есть площадь параллелограмма EFGH.

S_EFGH = ½ ∙ S_ABCD = ½ ∙ 77 = 38,5

Ответ: 38,5

Задача (Диагонали параллелограмма)

Диагонали параллелограмма равны 12 и 14. Найдите стороны параллелограмма, если их разность равна 4. В ответе запишите сумму двух его разных сторон.

Решение:

Здесь удобно воспользоваться 3 свойством, которое было описано в начале статьи.

Пусть AB=x, а BC=y.

Тогда по 3 свойству:

12² + 14² = x² + x² + y² + y²

А с другой стороны, по условию

x — y = 4
x = 4 + y

Подставляем x в первое уравнение.

340 = 2∙(4+y)² + 2∙y²
340 = 2∙(16 + 8∙y + y²) + 2∙y²
170 = 16 + 8∙y + y² + y²
2∙y² + 8∙y — 154 = 0

Получили квадратное уравнение.

y² + 4∙y — 77 = 0
D = 16 + 4∙77 = 324
√D = 18
y₁ = (-4 + 18)/2 = 7
y₂ = (-4 — 18)/2 = -11

Отрицательное число не подходит.

x = 7 + 4 = 11.

Ответ: 18

Слайд 1

Четырехугольники 8 класс геометрия Параллелограмм . Решение задач 1 www.konspekturoka.ru Закрепить знания о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач

Слайд 2

www.konspekturoka.ru 2 Дано: Найти: 1 А В С D АВС D – параллелограмм, ∠ CAD = 16° , ∠ DCA= 37° , 16° 37° ∠ A — ? , ∠ B — ?, ∠ C — ?, ∠ D — ? Задача Решение Рассмотрим треугольник ∆ ACD : ∠ CAD +∠ DCA + ∠С D А = 180 ° ∠ 16° + ∠ 37 ° + ∠С D А = 180 ° ∠С D А = 180 ° — ( ∠ 16° + ∠ 37 ° ) ∠ B = ∠ D = 180 ° — 53° = 127° 127° 127° По свойству параллелограмма: ∠ A + ∠ B = 180 °, ∠ A + ∠127 ° = 180 ° ∠ A = 180 ° — ∠127 ° = 53°, ∠ A = 53°, ∠ A = ∠ C = 53°. Ответ: ∠ A = 53° , ∠ B = 127° , ∠ C = 53° , ∠ D = 127°.

Слайд 3

www.konspekturoka.ru 3 Дано: Найти: 2 А В С D Р АВС D = 48 см, AD на 3см больше АВ ; A B — ?, В C — ?, CD — ? AD -? Задача Ответ: Решение х х х + 3 х + 3 Если АВ = х (см), то AD = x + 3 (см). Р АВС D = 2(AD + AB) Р АВС D = 2(x + (x + 3)) 48 = 2x + 2x + 6 4x = 48 — 6 4x = 42 x = 42 : 4 x = 10,5 Если АВ = 10,5 см, то AD = x + 3 = 10,5 + 3 = 13,5 (см). АВ = CD = 10,5 см, AD = BC = 13,5 (см). АВ = CD = 10,5 см, AD = BC = 13,5 (см).

Слайд 4

03.12.2012 www.konspekturoka.ru 4 Дано: Найти: 3 А В С D Р АВС D = 48 см, AD — AB = 7 ( см); A B — ?, В C — ?, CD — ? AD -? Задача Ответ: Решение х х х + 7 х + 7 Если АВ = х (см), то AD = x + 7 (см). Р АВС D = 2(AD + AB) Р АВС D = 2(x + (x + 7)) 48 = 2x + 2x + 14 4x = 48 — 14 4x = 34 x = 34 : 4 x = 8 ,5 Если АВ = 8 ,5 см, то AD = x + 7 = 8 ,5 + 7 = 1 5 ,5 (см). АВ = CD = 8 ,5 см, AD = BC = 1 5 ,5 (см). АВ = CD = 8 ,5 см, AD = BC = 1 5 ,5 (см).

Слайд 5

www.konspekturoka.ru 5 Дано: Доказать: 4 АВС D – четырехугольник, B А ∥ CD, ∠A = ∠C АВС D – параллелограмм. Доказательство А В С D Задача 1 2 3 4 B А ∥ CD – по условию, следовательно ∠1 = ∠ 2 (накрест лежащие) Рассмотрим треугольники ∆ А BD и ∆ BCD : Так как сумма углов треугольника 180 °, то ∠3 = ∠ 4 ∆ А BC = ∆ ACD – по стороне и двум прилежащим углам (В D – общая, ∠1 = ∠ 2 , ∠ 3 = ∠ 4) . Поэтому B А = CD Если B А ∥ CD и B А = CD , то по 1 признаку параллелограмма четырехугольник АВС D – параллелограмм, ч. т. д.

Слайд 6

www.konspekturoka.ru 6 Дано: Найти: 5 Задача АВС D – параллелограмм, Р АВС D = 50 см, ∠С = 30°, BH ⊥AD, BH = 6,5 см A B — ?, В C — ? Решение Н ∟ По свойству параллелограмма ∠С = ∠А = 30 °. ∆АВН – прямоугольный, ∠Н = 90° ∠А = 30 °, следовательно: т. е АВ = 2· ВН = 2 · 6,5 = 13 (см) Р АВС D = 2(AD + AB) 50 = 2(13 + AD) 25 = 13 + AD AD = 25 – 13 AD = 12 Ответ: A B = 13 см, В C = 12 см. AD = ВС = 12 см А В С D

Слайд 7

www.konspekturoka.ru 7 Задача 6 Дано: Найти: А В С D АВС D – параллелограмм, АК – биссектриса ∠А ВК = 15 см, КС = 9см. Р АВС D = ? 1 2 3 Решение АВС D – параллелограмм, то ВС ∥ AD и ∠2 = ∠3, (как накрест лежащие ) ∠1 = ∠2 – по свойству биссектрисы, то и ∠1 = ∠3. К ∆АВК – равнобедренный, следовательно АВ = ВК = 15 см 15 см 9см АВ = С D , то и С D = 15 см, ВС = ВК + 9 = 15 + 9 = 24 (см). 15 см ВС = AD = 24 (см). Р АВС D = 2(AD + AB) = 2(24 + 15) = 78 (c м). Ответ: 78 (c м).

Слайд 8

8 Ответить на вопросы: www.konspekturoka.ru Спасибо за внимание! Какая фигура называется параллелограммом? Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.