Задачи на параметры егэ 11 класс - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение на интервале

Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).

Определите, при каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно два решения.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром

Задание
1

#1220

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).

Задание
2

#1221

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).

Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).

2) (ane 0). Тогда (x=-a).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).

Задание
3

#1222

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).

Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:

1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).

2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).

3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).

Задание
4

#1223

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).

Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:

1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).

2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).

Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:

[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]

Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).

Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).

Ответ:

(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).

Задание
5

#1851

Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?

Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).

3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:

(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы

(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).

Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).

4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:

(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).

Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).

Ответ:

(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).

Задание
6

#1361

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).

Рассмотрим два случая:

1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.

2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).

Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).

Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})

Ответ:

(a=0Rightarrow) один корень

(ane 0 Rightarrow) два корня.

Задание
7

#1363

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).

Данное уравнение равносильно системе:

[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Рассмотрим два случая:

1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)

2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]

Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):

2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).

2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).

Ответ:

(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

23 апреля 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.

Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.

Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.

pr-sl-p.pdf

Источник

Доклад на
ШМО

«Задачи с
параметрами на ЕГЭ».

Определение. Параметром
называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным
фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим
заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с
параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если,
например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность,
то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения
параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному
множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при
которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет
объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных
значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить
задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами
решения задач на последующих страницах.

Какие основные типы задач с
параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения
параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее
оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой
«Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при
решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в
зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаю внимание на то, что при решении задач данного
типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и
совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве
случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным
затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда
прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем
получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра,
при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют
заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество
решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле
обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество
решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения
переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества
решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с
параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии),
но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к
одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы
основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром —
задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает
основные способы решения задач именно этого класса.

Каковы основные способы
(методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ
так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения
ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в
хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. Аналитический способ
решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой
грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости
от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в
координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная
наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько
увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать
другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их
авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и
с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии
изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра).
При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и
выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается
более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу
переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейду теперь к демонстрации указанных способов
решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий
данного типа.

Проанализировав
все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с
параметрами начинаю с заданий ЕГЭ 2018 года :

При
каком целом значении к уравнение 45х – 3х² – х³ + 3к =
0 имеет ровно два корня ?

Эти
задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием
производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько
этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и
реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии
формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра..
Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

Задание из
ЕГЭ-2020

При каких значениях
параметра a уравнение имеет не
менее двух корней.

Решим эту задачу
графически. Построим график левой части уравнения:
и график правой части: и сформулируем вопрос
задачи так: при каких значениях параметра a графики функций и имеют две или более
общих точки.

В левой части
исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график
функции .

Будем строить это
график с помощью линейных
преобразований графика функции :

1. Сдвинем график
функции на 3 единицы вниз вдоль оси OY,
получим график функции :

2. Построим график
функции . Для этого часть
графика функции , расположенную ниже оси ОХ,
отобразим симметрично относительно этой оси:

Итак, график
функции имеет вид:

График функции представляет собой семейство прямых с переменным
коэффициентом наклона, равным а, сдвинутых на 1 единицу вниз вдоль оси OY. То
есть точка с координатами (0;1) представляет собой центр вращения этого
семейства прямых:

Рассмотрим положения
прямой , в которых она имеет более
одной точки пересечения с графиком функции :

Прямые АВ и АС имеют
две точки пересечения с графиком функции. Все прямые, расположенные между ними
имеют 3 точки пересечения с графиком функции .

Чтобы найти
коэффициент наклона прямой АВ, найдем абсциссу точки В.

Точка В – это точка
пересечения графика функции с осью ОХ. В этой
точке у=0. Получим уравнение: , отсюда . Коэффициент а наклона прямой АВ равен тангенсу угла BAD
треугольника ABD и равен

Найдем коэффициент
наклона прямой АС. Точка С – это точка, в которой прямая
касается графика функции (точка С принадлежит части графика
функции , отображенной симметрично относительно
оси ОХ). То есть это точка, в которой графики функции
и имеют одну общую точку.

Теперь нам нужно
найти значение параметра а, при котором уравнение имеет
одно решение.

Умножим обе части
уравнения на х и перенесем все слагаемые влево. Получим квадратное
уравнение Это уравнение имеет
единственный корень, если дискриминант равен нулю.

, Таким образом, уравнение имеет два решения, если
или

Уравнение
имеет три решения, если

Задание из ЕГЭ 2021

Найдите все значения a, при каждом из которых
уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Корнями
исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено
условие
Поскольку уравнение задаёт
на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂,
заданных уравнениями a=2x и a=−2x соответственно. Значит, это уравнение имеет
один корень при a=0 и имеет два корня при a≠0.
Поскольку

уравнение задаёт пару прямых m₁ и m₂,заданных
уравнениями a=x+3 и a=−x−3 соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m_1, являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке
(3;6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке
(−1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке
(1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке
(3;−6).
Следовательно, условие выполнено для корней уравненияпри всех a , кроме
a=−6, a =−2, a=2 и a=6 . Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два
корня при

Ответ:

Источник


3644	При каких значениях параметра a уравнение (a^2-6a+8)x^2+(a^2-4)x+10-3a-a^2=0 имеет более двух корней Решение График	При каких значениях параметра a уравнение (a2-6a+8)x2 +(a2-4)x + 10-3a-a2 =0 имеет более двух корней

3591	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 имеет более одного корня Решение График	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение a(a+3)x2 +(2a+6)x -3a -9 =0 имеет более одного корня

3585	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2sqrt(x^4+(a-3)^4)=abs(x+a-3)+abs(x-a+3) имеет единственное решение Решение График	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2sqrt(x4 +(a-3)4) = abs(x+a-3) +abs(x-a+3) имеет единственное решение ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 17 Вариант МА2210209 #Задачи — аналоги 621 104

3544	Найдите все значения a, при которых система уравнений {(abs(y+x^3)-abs(y+3x)=2y+x^3+3x), (abs(-y-3x+1)-abs(y+x^3-a)=), (= -3y-6x-x^3+a+2) :} имеет единственное решение Решение	Найдите все значения a, при которых система уравнений {\|y+x^3\|-\|y+3x\| = 2y+x^3+3x), \|-y-3x+1\| -\|y+x^3-a\| =-3y-6x-x3+a+2 имеет единственное решение ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 6 Задание 17

3434	Найдите все значения параметра a, b при которых неравенство a^3x^4+2ax^3+b <= 2bx^2+b^3x+a выполняется для всех x из отрезка [0; 1] Решение График	Найдите все значения параметра a, b при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [0; 1] ! ДВИ в МГУ 2022 — 5 поток, Вариант 225 Задание 6 # Решение Натальи Яковлевны Захаровой youtube видео разбор

3405	Найдите все значения a, при которых система уравнений {(abs(y+1/2x^3)-abs(y+3/2x)=2y+1/2x^3+3/2x), (abs(-y-3/2x+1)-abs(y+1/2x^3-a)=), (-4 y-9/2x-1/2x^3+a+3) :}. имеет единственное решение Решение График	Найдите все значения a, при которых система уравнений { \|y+1/2×3\| -\|y+3/2x\| = 2y + 1/2×3 +3/2x \|-y-3/2x+1\| — \|y+1/2×3 -a\| = -4y -9/2x -1/2×3 +a +3 имеет единственное решение ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 8 Задание 17 # Ошибка в ответе пособия у Ященко ? : color{red}{a > -1 ?}

3404	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x^2+(1-a+root(4)(abs(x)))^2=a^2/4. имеет ровно три решения Решение График	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x2 + (1-a+ корень 4 степени из \|x\|) 2 = a 2/4 имеет ровно три решения ! ДВИ в МГУ 2022 — 1 поток, Вариант 1 Задание 6

3391	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(15x^2+6ax+9)=x^2+ax+3 имеет три различных решения Решение График	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение корень из 15×2 +6ax+9 =x2 +ax+3 имеет три различных решения ! ЕГЭ 2022 по математике 27.06.2022 резервный день Задание 17

3379	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2+a^2+2x-4a=abs(4x+2a). имеет более двух различных корней Решение График	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2 +a2 +2x -4a = \|4x+2a\| имеет более двух различных корней ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 17 Санкт-Петербург

3368	Оценки экспертов решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 17 — это уравнение, неравенство или их системы с параметром. Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются: – чисто алгебраический способ решения; – способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи; – функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции. Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трёх перечисленных способов Решение	Критерии оценивания решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня ! Примеры оценивания реальных работ 2016-2021 гг # Приведены типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике и критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку

Показана страница 1 из 55

Источник

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;

применение теоремы Виета в задачах с параметром;

расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;

более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

Начать заниматься бесплатно.
Купить доступ к этой задаче в составе
экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

Источник