СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Пирамида
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 2 № 901 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 2 № 902
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке 
Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка 
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 2 № 903
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 2 № 904
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 2, объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 2 № 905
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Видео по теме
Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде 
точка 
– центр основания, 
– вершина, 
Найдите длину отрезка 
.
Решение: + показать
Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, 
Найдите боковое ребро 
Решение: + показать
Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, 
Найдите длину отрезка 
Решение: + показать
Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 
и 
Ее объем равен 
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием 
боковое ребро 
равно 
сторона основания равна 
Найдите объём пирамиды.
Решение: + показать
Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
Решение: + показать
Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 
У второй пирамиды высота в 
раза больше, а сторона основания в 
раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.
Решение: + показать
Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 
а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Решение: + показать
Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 
и Ее объем равен 
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 12. В правильной треугольной пирамиде 
медианы основания 
пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 
объем пирамиды равен Найдите длину отрезка 
.
Решение: + показать
Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка 
— середина ребра 
— вершина. Известно, что 
а 
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: + показать
Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 
а высота равна 
Решение: + показать
Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 
а объем равен 
Решение: + показать
Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды 
Сторона основания равна Найдите боковое ребро.
Решение: + показать
Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?
Решение: + показать
Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?
Решение: + показать
Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?
Решение: + показать
Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 
°. Высота пирамиды равна 
Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен 
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Решение: + показать
Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 
Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 
Решение: + показать
Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.
Решение: + показать
Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен 
Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды 
если объём треугольной пирамиды 
равен 
Решение: + показать
Задача 28. Объем параллелепипеда 
равен Найдите объем треугольной пирамиды 
Решение: + показать
Задача 29. Объем куба равен 
Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Решение: + показать
Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 
Решение: + показать
Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 
Точка 
— середина ребра 
. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
Решение: + показать
Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен 
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение: + показать
Задача 33. Ребра тетраэдра равны 
Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест
Пирамида
1. 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
6. 
В правильной четырехугольной пирамиде 
точка 
– центр основания, 
– вершина, 
, 
. Найдите боковое ребро 
.
7. 
В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, 
Найдите длину отрезка 
.
8. 
В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, 
, 
. Найдите боковое ребро 
.
9. 
В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, 
, 
. Найдите длину отрезка 
.
11. 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.
12. 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
13. 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.
16. 
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
17. 
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
18. Объем параллелепипеда 
равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
19. 
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
20. 
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
21. 
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна 
.
22. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .
23. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
24. 
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
25. 
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60
. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
26. 
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
27. 
Объем треугольной пирамиды 
, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды 
, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
29. 
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
30. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
32. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
33. 
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
34. 
Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.
35. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?
36. 
Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
37. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание – прямоугольник со сторонами 3 и 4.
38. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
39. 
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
40. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
41. 
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.
42. 
Объем параллелепипеда равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
43. 
Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
44. 
Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды 
равен 3.
45.
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
46. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.
47. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, 
, 
. Найдите длину отрезка .
48. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, 
, . Найдите длину отрезка .
49. В правильной треугольной пирамиде SABC точка R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.
50. В правильной треугольной пирамиде SABC точка N — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.
51. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.
52. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.
53. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.
54. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке 
. Объем пирамиды равен 
, 
. Найдите площадь треугольника 
.
55. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием 
боковое ребро равно 5, сторона основания равна 
. Найдите объём пирамиды.
56. 
В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
57. 
Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 
. Высота пирамиды равна 
. Найдите длину бокового ребра 
.
58.
В правильной четырехугольной пирамиде точка − центр основания, − вершина, 
, 
Найдите длину отрезка
59.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М— середины рёбер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC.
60. 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.
62. 
Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 16. У второй пирамиды высота в 2 раза больше, а сторона основания в 1,5 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.
63. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
64. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти ст
Ключ
№ п/п
№ задания
Ответ
1
901
9
2
902
2
3
903
7,5
4
904
6
5
905
4,5
6
911
17
7
912
5
8
913
17
9
914
16
10
915
15
11
920
10
12
921
45
13
922
9
14
923
45
15
924
4
16
27069
340
17
27070
360
18
27074
1,5
19
27085
8
20
27086
4
21
27087
0,25
22
27088
3
23
27089
4
24
27109
256
25
27110
48
26
27111
4,5
27
27113
6
28
27114
3
29
27115
3
30
27116
10
31
27131
4
32
27155
96
33
27157
9
34
27171
60
35
27172
4
36
27175
0,25
37
27176
24
38
27178
13
39
27179
12
40
27180
7
41
27181
48
42
27182
2
43
27184
2
44
77154
18
45
245353
27
46
284348
5
47
284349
4
48
284350
6
49
284351
3
50
284352
2
51
284353
1
52
284354
1
53
284355
1
54
284356
3
55
318146
24
56
324450
0,25
57
500249
5
58
59
6,5
60
61
12
62
72
63
11
64
8
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Пирамида»
Пирамида (PA_1A_2…A_n):
(blacktriangleright) Многоугольник (A_1…A_n) – основание;
треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;
точка (P) – вершина;
отрезки (PA_1, PA_2, …, A_1A_2) и т.д. – ребра.
(blacktriangleright) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется тетраэдром.
(blacktriangleright) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.
(blacktriangleright) Объем пирамиды ({Large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн}}h}}) , где (S_{text{осн}}) – площадь основания, (h) – высота.
(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.
Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.
Задание
1
#2878
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана пирамида (SABCD), вершиной которой является точка (S), в основании лежит ромб, а высота (SO) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол (ASO) равен углу (SBO), а диагонали основания равны (6) и (24).
Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то (AO=12), (BO=3).
Заметим, что так как (SO) – высота пирамиды, то (triangle ASO) и (triangle BSO) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть (SO=h), тогда из подобия имеем: [dfrac{BO}{h}=dfrac{h}{AO} quadRightarrowquad h=6.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot hcdot dfrac12cdot 24cdot 6=144.]
Ответ: 144
Задание
2
#2879
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В пирамиде (SABC) высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник (ABC) равнобедренный, боковые стороны равны (10), а основание (AC=18). Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром (SB) и плоскостью основания равен (45^circ).
Пусть (BK) – высота в (triangle ABC), а значит и медиана. Тогда из прямоугольного (triangle BKC): [BK=sqrt{BC^2-KC^2}=sqrt{10^2-9^2}=sqrt{19}.] Тогда площадь основания равна [S_{ABC}=dfrac12cdot ACcdot
BK=9sqrt{19}.] Так как (O) – точка пересечения медиан, то (O) лежит на (BK). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [BO=dfrac23BK=dfrac23sqrt{19}.] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, (angle SBO=45^circ) и есть угол между (SB) и основанием (так как (BO) – проекция (SB) на плоскость (ABC)). Так как к тому же (triangle SBO) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, [SO=BO=dfrac23sqrt{19}.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SOcdot S_{ABC}=38.]
Ответ: 38
Задание
3
#2880
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Высота (SH) треугольной пирамиды (SABC) падает на середину стороны (AB), (ABC) – правильный треугольник со стороной (6). Найдите объем пирамиды, если (SC=sqrt{30}).
Так как (H) – середина (AB) и треугольник правильный, то (CH) – высота. Следовательно, [CH=dfrac{sqrt3}2AB=3sqrt3.] Так как (SH) – высота пирамиды, то (triangle SHC) – прямоугольный, следовательно, [SH=sqrt{SC^2-CH^2}=sqrt{30-27}=sqrt3.] Следовательно, объем равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot SHcdot dfrac12cdot CHcdot AB=9.]
Ответ: 9
Задание
4
#2881
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция (ABCD), (AD) – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок (BC). Апофема грани (ASD) равна (10) и образует угол (45^circ) с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна (9).
Пусть (SH) – высота пирамиды. Проведем (HKperp AD). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (SK) (наклонная) также перпендикулярна (AD) (так как (HK) – ее проекция на плоскость (ABC)). Следовательно, (SK) и есть апофема грани (ASD). Также отсюда следует, что (angle SKH=45^circ) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, (triangle SHK) прямоугольный и равнобедренный, значит, [SH=HK=SKdiv sqrt2=dfrac{10}{sqrt2}] По определению получается, что (HK) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то [S_{ABCD}=9cdot dfrac{10}{sqrt2}] А значит объем пирамиды равен [V=dfrac13cdotdfrac{10}{sqrt2}cdot9cdot dfrac{10}{sqrt2}=150.]
Ответ: 150
Задание
5
#1857
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция с основаниями (AD) и (BC). (H) – точка пересечения диагоналей трапеции, а (SH) – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, (mathrm{tg}, angle SAC = 3), (BH = 3), (AH = 2). Найдите объем пирамиды.
(triangle AHD) и (triangle BHC) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция (ABCD) равнобедренная (Rightarrow) (AH = HD), (BH = HC) (Rightarrow) (AC = BD = 2 + 3 = 5) (Rightarrow)
[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = frac{1}{2}cdot ACcdot BH + frac{1}{2}cdot ACcdot HD = frac{1}{2}cdot ACcdot(BH + HD) = frac{1}{2}cdot ACcdot BD.]
В (triangle SAH): (SH = AHcdot mathrm{tg}, angle SAC = 6), т.к. (triangle SAH) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SH = frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot5cdot5cdot6 = 25].
Ответ: 25
Задание
6
#1858
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В основании пирамиды (SABC) лежит прямоугольный треугольник с прямым углом (angle A). Точка (H) – центр описанной вокруг треугольника (triangle ABC) окружности, (SH) – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что (AB = 6), (AC = 
, (SA = 5sqrt5).
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам (Rightarrow) (BH = AH = CH) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике (triangle BAC) по теореме Пифагора: (BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100) (Rightarrow) (BC = 10) (Rightarrow) (AH = frac{BC}{2} = frac{10}{2} = 5). Треугольник (triangle AHS) – прямоугольный, т.к. (SH perp ABC) ((SH) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти (SH): (SH^2 = AS^2 — AH^2 = (5sqrt5)^2 — 5^2 = 100) (Rightarrow) (SH = 10). Теперь найдем объем пирамиды: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SHcdot S_{triangle BAC} = frac{1}{3}cdot SHcdotfrac{1}{2}cdot ABcdot AC = frac{1}{3}cdot10cdotfrac{1}{2}cdot6cdot8 = 80.]
Ответ: 80
Задание
7
#2769
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Точки (A), (B) и (C) лежат в плоскости (pi). Прямая (l) образует с плоскостью (pi) угол в (45^circ) и проходит через точку (B) так, что (angle(l; AB) = angle(l; BC)). Через (l’) обозначим проекцию (l) на (pi). Найдите (angle(l’; AB)), если (angle ABC = 80^circ). Ответ дайте в градусах.
Докажем, что (l’) содержит биссектрису угла (ABC). Выберем на (AB) точку (A’), а на (BC) точку (C’) так, чтобы (A’B = BC’). Построим прямую, проходящую через точку (B) и точку (H) – середину (A’C’). 
Отметим на (l) точку (M). Треугольник (A’BC’) – равнобедренный, тогда (BH) – высота.
Рассмотрим треугольники (A’BM) и (C’BM): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда (MA’ = MC’) и треугольник (A’MC’) – равнобедренный, тогда (MH) – его высота.
В итоге (A’C’perp BH) и (A’C’perp MH), следовательно, (A’C’perp (MBH)). Если предположить, что (M’) – проекция точки (M) на ((A’BC’)), не попадает на прямую, содержащую (BH), то получим, что (A’C’perp M’M) и (A’C’perp MH), откуда следует, что (A’C’perp (MM’H)). Но тогда плоскости ((MM’H)) и ((MBH)) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.
Таким образом, (M’) лежит на прямой, содержащей (BH), но тогда (l’) совпадает с прямой, содержащей (BH). В итоге, (angle(l’; AB) = 0,5angle ABC = 40^circ).
Ответ: 40
При подготовке к ЕГЭ по математике старшеклассникам следует особое внимание уделить теме «Пирамида», так как задачи, связанные с расчетом объема и площади данного многогранника, непременно встретятся на финальной аттестации. Весь необходимый для повторного изучения материал вы найдете в данном разделе. Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию и элементарные упражнения, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация
Пирамида — многогранник, образованный благодаря соединению всех точек плоского многоугольника с точкой, выходящей за пределы плоскости данного многоугольника.
Пирамиду называют n-угольной по количеству углов в основании. Если последним является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с его центром, фигуру называют правильной.
Все боковые грани пирамиды — треугольники.
Подробная теоретическая часть приведена в начале страницы. Вы также можете сразу приступить к практике. Задачи, представленные в данном разделе, помогут вам найти объем пирамиды, длину ее определенных отрезков и т. д. Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ. Таким образом, разобраться в теме вы сможете самостоятельно, без помощи репетитора.
Как часто следует тренироваться?
Чтобы на ЕГЭ ребенок смог легко решить задачи по стереометрии (а определение площади и других параметров пирамиды относятся к данному разделу геометрии), мы рекомендуем выполнять по 2—3 упражнения каждый день. Таким образом, знания будут лучше усваиваться и вам будет проще переходить от простого к сложному.
Проверьте, легко ли вы рассчитаете площадь пирамиды, прямо сейчас. Разберите любое задание онлайн. Если решение дастся вам легко, значит, шансы на высокие экзаменационные баллы по математике достаточно велики. А при возникновении затруднений планируйте свой день таким образом, чтобы в ежедневное расписание был включен дистанционный образовательный проект «Школково». Мы поможем вам восполнить пробелы в знаниях!
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Задачи
ЕГЭ по теме «Пирамида»
B 13 № 901. В правильной
треугольной пирамиде 
медианы
основания 
пересекаются
в точке 
. Площадь
треугольника равна
2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка 
.
B 13 № 911. В правильной
четырехугольной пирамиде 
точка –
центр основания, 
–
вершина, 
, 
. Найдите
боковое ребро 
B 13 № 920. В правильной
треугольной пирамиде точка 
–
середина ребра 
, –
вершина. Известно, что 
=3, а
площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка 
.
B 13 № 27074. Объем параллелепипеда 
равен
9. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
B 13 № 27085. Во сколько
раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить
в два раза?
B 13 № 27089. Во сколько
раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре
раза?
B 13 № 27113. Объем
треугольной пирамиды , являющейся
частью правильной шестиугольной пирамиды 
,
равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
B 13 № 27114. Объем
правильной четырехугольной пирамиды равен
12. Точка 
–
середина ребра 
. Найдите
объем треугольной пирамиды 
.
B 13 № 27115. От треугольной
пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
B 13 № 27131. Во сколько
раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все
его ребра увеличить в два раза?
B 13 № 27157. Во сколько
раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить
в 3 раза?
B 13 № 27172. Во сколько
раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить
в 2 раза?
B 13 № 27175. Ребра
тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины
четырех его ребер.
B 13 № 27182. Объем параллелепипеда равен
12. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
B 13 № 27184. Объем
куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием
которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
B 13 № 77154. Найдите
объем параллелепипеда , если
объем треугольной пирамиды 
равен
3.
B 13 № 284351. В правильной
треугольной пирамиде 
—
середина ребра , —
вершина. Известно, что
,
а 
. Найдите
площадь боковой поверхности.
B 13 № 284356. В правильной
треугольной пирамиде медианы
основания пересекаются в точке 
.
Объем пирамиды равен 
, 
. Найдите
площадь треугольника .
—————————————————————————————————————————————-
ЕГЭ Профиль №8. Пирамида
Нашли ошибку в заданиях? Оставьте, пожалуйста, отзыв.
|
1. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
|
|
2.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна
|
|
3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен
|
|
4. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
|
.
5.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
|
6.Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60
|
|
7.Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
|
|
8.От призмы
|
|
9.Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
|
|
10.Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
|
. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида 
. Найдите объем оставшейся части. 
