Задачи на проценты егэ 2 часть

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавыadmin2022-10-26T22:13:32+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавы

Задача 1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? В 2009 году число жителей стало равно (40000 + 40000 cdot frac{8}{{100}} = 43200), а в 2010 году:  (43200 + 43200 cdot frac{9}{{100}} = 47088.) Ответ: 47088.

Задача 2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}). Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}),  то есть  (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}}.) В результате акции стали стоить 96% от А:  (A cdot frac{{96}}{{100}}). Таким образом, получаем уравнение: (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}} = A cdot frac{{96}}{{100}},left| {,:,} right.A,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{{{100}^2} — {x^2}}}{{100}} = 96,,,, Leftrightarrow ,,,,10000 — {x^2} = 9600,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 400,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 20;,,,,,{x_2} =  — 20.) Так как (x > 0), то акции подорожали в понедельник на 20%. Ответ: 20.

Задача 3. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? Стоимость четырех рубашек составляет 100 – 8 = 92 % от куртки. Следовательно, стоимость одной рубашки составляет (frac{{92}}{4} = 23)% от стоимости куртки. Тогда стоимость пяти рубашек составляет (5 cdot 23 = 115)%, что на 115 – 100 = 15 % превышает стоимость куртки. Ответ: 15.

Задача 4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: (x + y + z = 100.) Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: (2x + y + z = 167.) Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет (frac{z}{3})), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид: (x + y + frac{z}{3} = 96.) Таким образом, получаем систему уравнений:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z = 100;} \   {2x + y + z = 167;} \   {x + y + frac{z}{3} = 96.} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое:    (2x — x + y — y + z — z = 167 — 100,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 67.) Вычтем из первого уравнения третье:   (x — x + y — y + z — frac{z}{3} = 100 — 96,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{2z}}{3} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,z = 6.) Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим:  (67 + y + 6 = 100,,,, Leftrightarrow ,,,,y = 27.) Ответ: 27.

Задача 5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля. Пусть цена холодильника ежегодно уменьшалась на х%, тогда после первого понижения цена составила (100 – х) % от 20000 рублей, то есть:  (20000 cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 200 cdot left( {100 — x} right)), а после второго (100 – х) % от (200left( {100 — x} right)), то есть:  (200left( {100 — x} right) cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 2 cdot {left( {100 — x} right)^2}), что составило 15842 рубля. (2{left( {100 — x} right)^2} = 15842,,{left| {,:,2,,,, Leftrightarrow ,,,,left( {100 — x} right)} right.^2} = 7921.) (100 — x = 89;,,,,,,,,100 — x =  — 89.) ({x_1} = 11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = 189) Так как (0 < x < 100), то холодильник ежегодно дешевел на 11 %. Ответ: 11.

Задача 6. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях. Митя внес 14 % уставного капитала. Антон (frac{{42000}}{{200000}} cdot 100 = 21)% уставного капитала. Гоша 0,12 уставного капитала, то есть 12%. Следовательно, Борис внес (100 — 14 — 21 — 12 = 53)% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается:  (1000000 cdot frac{{53}}{{100}} = 530000) рублей. Ответ: 530000.

Задача 7. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Будем считать, что первый сосуд содержит 5 литров 12-процентного раствора вещества, а второй 7 литров воды (0-процентного раствора) и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества. Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{5 cdot 12}}{{100}}) литров, во втором (frac{{7 cdot 0}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{12 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{5 cdot 12}}{{100}} + frac{{7 cdot 0}}{{100}} = frac{{12 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,5 cdot 12 = 12 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 5.) Ответ: 5.

Задача 8. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Будем считать, что первый сосуд содержит А литров 15-процентного раствора вещества, а второй А литров 19-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества. Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{A cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{A cdot 19}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{2A cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{A cdot 15}}{{100}} + frac{{A cdot 19}}{{100}} = frac{{2A cdot x}}{{100}},,,left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,15 cdot A + 19 cdot A = 2A cdot x,,left| {,:A} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2x = 34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 17.) Ответ: 17.

Задача 9. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Будем считать, что первый сосуд содержит 4 литра 15-процентного раствора вещества, а второй 6 литров 25-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества. Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{4 cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{6 cdot 25}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{10 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{4 cdot 15}}{{100}} + frac{{6 cdot 25}}{{100}} = frac{{10 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,60 + 150 = 10 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 21.) Ответ: 21.

Задача 10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Виноград содержит 10% «сухого» вещества, а изюм 95% соответственно. При этом масса «сухого» вещества винограда и изюма равны. Пусть для получения 20 килограммов изюма требуется x килограммов винограда. Тогда масса «сухого» вещества в винограде (frac{{10 cdot x}}{{100}}) кг, а масса «сухого» вещества в изюме (frac{{20 cdot 95}}{{100}}) кг. Следовательно: (frac{{10 cdot x}}{{100}} = frac{{20 cdot 95}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10x = 20} right. cdot 95,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 190) кг. Ответ: 190.

Задача 11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго. Пусть x кг масса первого сплава. Так как масса третьего сплава 200 кг, то масса второго сплава (200 — x) кг. Тогда масса никеля в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{200 cdot 25}}{{100}}) кг. При этом масса никеля в третьем сплаве равна массе никеля в первых двух сплавах. (frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}} = frac{{200 cdot 25}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 6000 — 30x = 5000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20x = 1000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 50.) Значит масса первого сплава 50 кг, а масса второго сплава равна 150 кг. Следовательно, масса первого сплава на 100 кг меньше массы второго. Ответ: 100.

Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Пусть x кг масса первого сплава, тогда масса второго сплава (x + 3) кг, а масса третьего сплава (x + x + 3 = 2x + 3) кг. Тогда масса меди в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}}) кг. При этом масса меди в третьем сплаве равна массе меди в первых двух сплавах. (frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}} = frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 40x + 120 = 60x + 90,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10x = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 30.) Значит масса первого сплава 3 кг, а масса третьего сплава равна (2x + 3 = 2 cdot 3 + 3 = 9) кг. Ответ: 9.

Задача 13. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Пусть x кг масса 30-процентного раствора, а y кг масса 60-процентрого раствора кислоты. Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе (frac{{x cdot 30}}{{100}}) кг, в 60-процентном (frac{{y cdot 60}}{{100}}) кг, в воде (frac{{10 cdot 0}}{{100}}) кг, а в 36-процентном (frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}}). При этом масса кислоты в 36-процентноом растворе равна массе кислоты 30-процентного, 60-процентного и воды. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид: (frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 0}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right).) Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты. Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение: (frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 50}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 41}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).) Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right);} \   {30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое: (500 = 5left( {x + y + 10} right),left| {:5} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 = x + y + 10,,,,, Leftrightarrow ,,,,,y = 90 — x.) Подставим выраженный  y  в первое уравнение: (30x + 60left( {90 — x} right) = 3600,,,,, Leftrightarrow ,,,,30x — 60x = 3600 — 5400,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x = 1800,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.) Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора. Ответ: 60.

Задача 14. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Будем считать, что первый сосуд содержит 30 кг x-процентного раствора кислоты, а второй 20 кг y-процентного раствора кислоты и их содержимое перелили в третий сосуд, в котором получилось 50 кг 68-процентного раствора кислоты. Тогда масса кислоты в первом сосуде (frac{{30 cdot x}}{{100}}) кг, во втором (frac{{20 cdot y}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{50 cdot 68}}{{100}}) кг. При этом масса кислоты в третьем сосуде равна массе кислоты в первых двух сосудах. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид: (frac{{30 cdot x}}{{100}} + frac{{20 cdot y}}{{100}} = frac{{50 cdot 68}}{{100}},,left| { cdot 10} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x + 2y = 340.) Смешаем равные массы по m кг. Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение: (frac{{m cdot x}}{{100}} + frac{{m cdot y}}{{100}} = frac{{2m cdot 70}}{{100}},,left| {, cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m cdot x + m cdot y = 140m,left| {,:m} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x + y = 140.)  Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 2y = 340} \   {x + y = 140} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 2y = 340} \   {y = 140 — x} end{array}} right.} right.) (3x + 2left( {140 — x} right) = 340,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x — 2x = 340 — 280,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.) Следовательно, в первом сосуде содержится 60% кислоты, а масса этой кислоты равна   (frac{{30 cdot 60}}{{100}} = 18) кг. Ответ: 18.

Задача 15. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам? Пусть банк начисляет x% годовых. Тогда через год вклад клиента А составит (left( {100 + x} right)) процентов от 7700 рублей, то есть (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Через год банк начислит ещё x% и его вклад станет равен (left( {100 + x} right)) процентов от (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей, то есть (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}) рублей. Клиент Б открыл такой же вклад сроком на один год. Следовательно, через год на его вкладе будет сумма равная (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Так как клиент А получил на 847 рублей больше, то: (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} — 7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}} = 847.) Пусть (frac{{100 + x}}{{100}} = t), тогда: (7700,{t^2} — 7700,t = 847,left| {,:,77,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100,{t^2} — 100,t — 11 = 0;} right.) (D = {100^2} + 4 cdot 100 cdot 11 = 14400;,,,,,sqrt D  = 120;,,,,,{t_1} = frac{{100 + 120}}{{200}} = 1,1;,,,,,{t_2} = frac{{100 — 120}}{{200}} =  — frac{1}{{10}}.)Так как (x > 0), то (t > 1). Следовательно, (t = 1,1) и тогда (frac{{100 + x}}{{100}} = 1,1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 10.) Ответ: 10.

---

Задачи на проценты

---

[su_box title=”Описание задания” style=”soft” box_color=”#c1e8cc” title_color=”#0c0a0a”]

В задании №3 ЕГЭ по математике нам предстоит решить простую задачу на проценты или часть от целого. Данные задачи в большинстве случаев интуитивно понятны, так как взяты из реальных жизненных ситуаций, тем не менее необходимо быть внимательным при их выполнении.

Тематика заданий: часть от целого, доли, проценты

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ♦♦◊

Примерное время выполнения: 3 мин.

[/su_box]

---

Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 3МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 7000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 108% от 7000, получим:

1. 7000 : 100 = 70(рублей) – составит 1 %.
2. 70 · 108 = 7560(рублей) – составит вклад через год.

• Вариант 2.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь(разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

108% = 108 : 100 = 1,08

7000 · 1,08 или

.

Выполнив умножение столбиком, имеем:

Ответ: 7560.

---

Вариант 3МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Банк начисляет на срочный вклад 7 % годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 107% от 3000, получим:

1. 3000 : 100 = 30(рублей) – составит 1 %.
2. 30 · 107 = 3210(рублей) – составит вклад через год.

• Вариант 2.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь (разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

107% = 107 : 100 = 1,07

3000 · 1,07 или

Ответ: 3210.

---

Вариант 3МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

В сентябре 1 кг слив стоил 40 рублей, в октябре сливы подорожали на 40%, а в ноябре ещё на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.

Решение с пояснениями:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

40 : 100 = 0,4 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 40 = 140 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

140 · 0,4 = 56 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

56 : 100 = 0,56 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 15 = 115 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

115 · 0,56 = 64,4 (рубля) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 40% означает увеличение стоимости на 140%, то есть, 40 рублей становятся равными

 рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 15%, что составило

 рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 40+15=55% и вычислять 155% от 40 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Ответ: 64,4.

---

Вариант 3МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 20 %, а в ноябре ещё на 25 %. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.

Подробный разбор:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

90 : 100 = 0,9 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 20 = 120 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

120 · 0,9 = 108 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

108 : 100 = 1,08 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 25 = 125 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

125 · 1,08 = 135 (рублей) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 20% означает увеличение стоимости на 120%, то есть, для 90 рублей имеем:

 рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 25%, что составило

 рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 20+25=45% и вычислять 145% от 90 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Ответ: 135.

---

Вариант 3МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доход физических лиц в размере 13 %. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Найти 1% от начальной суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вычтем из 100% налог в процентах.

100 – 13 = 87 (%) – получит Иван Кузьмич после вычета налога.

Найдем 1 % от начальной суммы.

20000 : 100 = 200 (рублей) – составит 1%.

Найдем 87% от 20000.

87 · 200 = 17400 (рублей) – получит Иван Кузьмич.

• Вариант 2.

Вычтем из 100% налог в процентах. 100 – 13 = 87 (%)

Полученные проценты переведем в десятичную дробь (разделить на сто). 87 : 100 = 0,87

Найдем процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

20000 · 0,87 = 17400 (рублей)

Ответ: 17400 рублей получит Иван Кузьмич.

---

Вариант 3МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего числа выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамен по физике?

[/su_note]

Решение:

Нам известно, что количество учеников, сдававших ЕГЭ по физике равно 25, и это составляет 1/3 от общего числа выпускников. Значит 25 – это 1/3, тогда общее число учеников:

25 • 3 = 75

Количество учеников, не сдававших ЕГЭ по физике, равно:

75 – 25 = 50

Ответ: 50

---

Вариант 3МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена стоимость футболки?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. От 800 отнимаем 680. Узнаем, сколько рублей составило снижение.
2. Делим результат вычитания на 800. Это даст нам долю, которую составляет скидка от первоначальной стоимости.
3. Полученное число умножаем на 100. Получаем снижение в процентах.

Решение:

800 – 680 = 120 (руб.) – составляет снижение

120 : 800 = 0,15 – доля скидки

0,15 ·100 = 15 %

Ответ: 15

---

Вариант 3МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

В магазине вся мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 5% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3500 рублей (наверное, это было очень давно – прим. ред. 🙂 ) Во сколько рублей обойдется покупка этого шкафа вместе со сборкой?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько составляет 5% от стоимости мебели. Для этого 3500 делит на 100 и умножаем на 5.
2. К 3500 прибавляем полученное число.

Решение:

3500 : 100 · 5 = 175 (руб.) – стоимость сборки мебели

3500 + 175 = 3675 (руб.) стоит мебель со сборкой

Ответ: 3675

---

Вариант 3МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 840 рублей. Сколько рублей стоит товар до распродажи?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. От 100 % вычитаем 40%, чтобы найти, сколько процентов составляет уцененная стоимость. Получим 60 %.
2. Воспользуемся правилом нахождения целого по его части. Для этого 840 разделим на 60 и умножим на 100.

Решение:

100 – 40 = 60 % – составляет цена товара после его уценки.

840 : 60 · 100 = 1400 (руб.)

1400

---

Вариант 3МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

Магазин делает пенсионерам скидку. Батон хлеба стоит в магазине 15 рублей, а пенсионер заплатил за него 14 рублей 40 копеек (грандиозная скидка – прим. ред. 😉 ) Сколько процентов составила скидка для пенсионера?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. От 15 руб. отнимаем 14 руб.40 коп. Так найдем сумму скидки. Выразим эту сумму в рублях.
2. Полученное число разделим на 15 и умножим на 100 %.

Решение:

15 руб. – 14 руб.40 коп. = 60 коп. = 0,6 руб.

0,6 : 15 ·100 % = 4 %.

Ответ: 4

---

Вариант 3МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 93:7. Других деревьев в парке нет. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Суммируем 93 и 7, чтобы найти общее кол-во деревьев в парке.
2. Кол-во лиственных деревьев (7) делим на общее кол-во деревьев и умножаем на 100 %.

Решение:

93 + 7 = 100 (шт.) – деревьев всего в парке.

7 : 100 ·100 = 7 %

Ответ: 7

---

Вариант 3МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

Городской бюджет составляет 48 млн. рублей, а расходы на одну из его статей составили 40%. Сколько миллионов рублей потрачены на эту статью бюджета?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Нужно применить правило нахождения части от целого по ее проценту. Для этого целое делится на 100 и умножается на кол-во процентов.

Решение:

48 : 100 · 40 = 19,2 (млн.руб.)

Ответ: 19,2

---

Вариант 3МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 1800 рублей. В июне он стал стоить 1530 рублей. На сколько процентов снизилась цена мобильного телефона в период с февраля по июнь?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Из 1800 вычитаем 1530. Определяем, сколько рублей составила скидка.
2. Полученное число делим на первоначальную цену и умножаем на 100 %.

Решение:

1800 – 1530 = 270 (руб.) – скидка

270 : 1800 · 100 = 15 %

Ответ: 15

---

Вариант 3МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 10%, во второй – на 25%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1600 рублей?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько (в руб.) составляет 10 % от стоимости чайника. Для этого 1600 делим на 100 и умножаем на 10.
2. От первоначальной стоимости отнимаем сумму скидки, составляющей 10 %.
3. Полученную цену со скидкой делим на 100 и умножаем на 25. Так найдем величину скидки (в руб.) после второго снижения цены.
4. От числа, полученного в п.2 отнимаем число, полученное в п.3.

Решение:

1600 : 100 · 10 = 160 (руб.) – составляет скидка в 10 %

1600 – 160 = 1440 (руб.) – стал стоить чайник после понижения цены на 10 %

1440 : 100 · 25 = 360 (руб.) составляет скидка в 25 %

1440 – 360 = 1080 (руб.)

Ответ: 1080

---

Вариант 3МБ15

[su_note note_color=”#defae6″]

Магазин детских товаров закупает погремушки по оптовой цене 110 рублей за одну штуку и продает с наценкой 30%. Сколько рублей будут стоить 4 такие погремушки, купленные в этом магазине?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько рублей составляет наценка в 30 %. Для этого закупочную стоимость делим на 100 и умножаем на 30.
2. К закупочной стоимости прибавляет сумму наценки.
3. Полученное число умножаем на 4.

Решение:

110 : 100 · 30 = 33 (руб.) – равна наценка

110 + 33 = 143 (руб.) – стоит погремушка в магазине

143 · 4 = 572 (руб.) – стоят 4 погремушки

Ответ: 572

---

Вариант 3МБ16

[su_note note_color=”#defae6″]

Число больных гриппом в школе уменьшилось за месяц в два раза. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Обозначим число больных через х. Тогда кол-во больных через месяц станет равным х/2.
2. х/2 делим на х и умножаем на 100 %. Так найдем кол-во процентов, которое составит число больных через месяц по отношению к первоначальному их кол-ву. В процессе вычисления х сократится.

Решение:

х / 2 : х · 100 % = х / 2· 1 / х· 100 % =1 / 2 · 100 % = 0,5 · 100 % = 50 %

Ответ: 50

Даниил Романович | Просмотров: 14.5k

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%.

Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение:

66 : 60 = 1,1 — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.

Ответ: 110%.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:

1. 6+ 34 =40 (кг) – масса всего сплава.
2. 34 : 40 = 0,85 = 85 (%) – сплава составляет медь.

Ответ: 85%.

Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?

Решение:

1. 100 – 20 = 80 (%) – после весны.
2. 80 + 80 • 0,3 = 104 (%) – после лета.
3. 104 – 104 • 0,2 = 83,2 (%) – после осени.
4. 83,2 + 83,2 • 0,1 = 91,52 (%) – после зимы.

Ответ: похудел на 8,48%.

Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?

Решение:

1. 100 – 99 = 1 (%) = 0,01 – доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
2. 20 • 0,01 = 0,2 (кг) – сухого вещества.
3. 100 – 98 = 2 (%) = 0,02 – доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
4. 0,2 : 0,02 = 10 (кг) – стало крыжовника.

Ответ: 10 кг.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:

Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.

0,75 •1,25х= 0,9375х,

тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.

х — 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 • 100% = 6,25%

Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А : В) • 100%.

Пример. Найти число, если 15% его равны 30.

Решение:

1. 15% = 0,15;
2. 30 : 0,15 = 200.

Или

х — данное число;
0,15 • х = 300;
х = 200.

Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?

Решение:

Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т.

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение:

1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг : 0,05=20 кг.

Ответ: 20 кг.

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:

1. 22 • 0,1 = 2,2 (кг) — грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);
2. 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) — сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.

Решение:

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.
2. 300 • 1,04 = 312 (тыс. р) – величина вклада через 1 месяц.
3. 312 • 1,04 = 324,48 (тыс. р) – величина вклада через 2 месяца.
4. 324,48 • 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.

Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300•1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) – величина вклада через 3 месяца.

Ответ: 337 459,2 рубля

Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?

Далее в 6 классе решают подобного типа задачи уже с применением пропорции. На эту базу знаний и опираются, готовя учеников к итоговым экзаменам в 9 и 11 классах.

Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.

Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов – скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?

Решение:

Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 – 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.

1 способ.

400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400 : 100 = 4 (руб.), а в 125 %
4 • 125 = 500 (руб.)

2 способ.

Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
400 • 1,25 = 500 или 400 • 125/100 = 500.

3 способ.

Применение свойства пропорции:
400 руб. – 100 %
х руб. – 125 %, получим х = 125 • 400 / 100 = 500 (руб.)

Ответ: 500 рублей.

Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?

Решение:

Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:

57 кг – 100 %
х кг – 150 %, получим х = 57 • 150 / 100 = 85,5 (кг)

Ответ: 85,5 кг.

Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)

После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?

Решение:

1 способ.

Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 – 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 • 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

2 способ.

Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А – 0,52А = 0,48А.

Составим пропорцию:
А – 100%
0,48А – х %, получим х = 0,48А • 100 / А = 48 (%).

Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)

Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Решение:

До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 – 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.

1 способ.

680 : 85 = 8 (руб.) – в 1%
8 • 100 = 800 (руб.) – стоил товар до распродажи.

2 способ.

Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680 : 85 • 100 = 800 (руб.) или 680 : 0,85 = 800 (руб.)

3 способ.

С помощью пропорции:
680 руб. – 85 %
х руб. – 100 %, получим х = 680 • 100 / 85 = 800 (руб.)

Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.

Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».

Самые простые задачи этого типа приведены ниже.

Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение:

10 • 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1. 10 + 15 = 25 (кг) — сплав;
2. 10 : 25 • 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве;
3. 15 : 25 • 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.

Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.

Тогда:

• концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
• процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение:

300 • 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.

Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К — концентрация вещества;
P — процентное содержание вещества (в процентах).

Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)

Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?

Решение:

Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).

При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:

Общая масса, кг   |   Концентрация сухого вещества   |   Масса сухого вещества

Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х

Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75

Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:

0,25 • х = 33,75;
х = 33,75 : 0,25;
х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.

Ответ: 135 кг.

Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Общая масса, кг    |     Концентрация сухого вещества    |     Масса сухого вещества
I х 70% = 0,7 0,7 • х
II у 60% = 0,6 0,6 • у
вода 2 – –
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 • ( х + у + 2 )
III 2 90 % = 0,9 0,9 • 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 • ( х + у + 2)

Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:

0,7 • х + 0,6 • у = 0,5 • ( х + у + 2 ) и 0,7 • х + 0,6 • у + 1,8 = 0,7 • ( х + у + 2).

Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.

Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.

Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

Решение:

Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:

3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.

Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 – 100%
3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.

Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).

Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 – 0,01р).

Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

Решение:

1 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 – х ) %.

Составим пропорцию
5000 руб. – 100%
у руб. – (100 – х)%, получим у = 5000 • (100 – х) / 100 = 50 • (100 – х) рублей – стоимость товара после первого понижения.

Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 • (100 – х) руб. – 100%
z руб. – (100 – х)%, получим z = 50 • (100 – х) (100 – х) / 100 = 0,5 • (100 – х)2 рублей – стоимость товара после второго понижения.

Получим уравнение 0,5 • (100 – х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .

2 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 • (1 – 0,01х)2 = 4050.

Решив его, получим, что х = 10 %.

Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.

Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)

Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?

Решение:

Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение:
3000 • (1 + 0,01х)2 = 3630.

Решив его, получим, что х = 10 %.

Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз.

Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Решение:

Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение:

(1 + 0,01 х)(1 – 0,01 х)А = (1 – 0,09)А,
1 – (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.

Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.

Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.

Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.

Тогда 1,01А долг после первого месяца.

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15.

При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.

Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.

Тогда долг после второго платежа 13А/15.

Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:

А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.

А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:

1,08А/15 = 108,

А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.

2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.

Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:

(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.

Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 1620000 рублей.

Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.

Тогда 1,01А долг после первого месяца.

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А – А/24 – 0,01А = А – А/24 = 23А/24.

При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Через 2 месяца получаем: 1,01• 23А/24.

Второй платеж А/24 + 0,01• 23А/24.

Тогда долг после второго платежа 1,01• 23А/24 – А/24 – 0,01• 23А/24 = 23А/24(1,01 – 0,01) – А/24 = 23А/24 – А/24 = 22А/24.

Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
А/24 +0,01А • 24/24 + А/24 + 0,01• 23А/24 + А/24 + 0,01• 22А/24 + … + А/24 + 0,01• 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.

А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей – планируется взять в кредит.

Ответ: 300000 рублей.