Задачи на проценты егэ профильный уровень 11 задание - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Источник: Яндекс: Тренировочная работа ЕГЭ по математике. Вариант 1.

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на проценты»

Открытый банк заданий по теме задачи на проценты. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1099

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Елена сделала вклад в банк в размере 5500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2 рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам?

Показать решение

Решение

Пусть процент годовых будет x, тогда через год вклад Елены составил:

5500 + 0, 01x cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2 рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x) рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2 рубля.

Составим и решим уравнение:

5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,enspace x_2=12.

Банк начислял 12% годовых.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1098

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Предприниматель Петров получил в 2005 году прибыль в размере 12,000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008 год?

Показать решение

Решение

В 2005 году прибыль составляла 12,000 рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110%, то есть становилась 210% = 2,1 от предыдущего года. Через три года она будет равна 12,000 cdot 2,1^3 = 111,132 рубля.

Ответ

111132

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1097

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12% железа, второй — 28% железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21%. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Обозначим массу первого сплава через x кг. Тогда масса второго сплава (x + 2) кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2) кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2 (кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) cdot 0,21 = 0,42(x + 1) кг.

Составим и решим уравнение:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

x = 7.

Третий сплав имеет массу 2 cdot 7 + 2 = 16 (кг).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №942

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

Показать решение

Решение

Цена телевизора первоначально была 50 000 руб. Через квартал она стала 50,000-50,000cdot0,01x = 50,000(1-0,01x) рублей, где x — количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала

50,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50,000(1-0,01x)^2.

Составим и решим уравнение:

50,000(1-0,01x)^2=41,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Итак, на 9 процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №941

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В 2005 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2006 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6%, а в 2007 году — на 10% по отношению к 2006 году. Найдите, число жителей посёлка в 2007 году.

Показать решение

Решение

В 2006 году число жителей посёлка выросло на 6%, т.е. стало 106%, что равно 55,000 cdot 1,06 = 58,300 (жителей). В 2007 году число жителей посёлка выросло на 10% (стало 110%) по сравнению с 2006 годом, т.е. число жителей посёлка стало 58,300 cdot 1,1 = 64,130 человек.

Ответ

64130

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №940

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В сосуд, содержащий 3 литра 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Найдите концентрацию (в процентах) получившегося после смешивания раствора.

Показать решение

Решение

В 3 литрах 14%-ного водного раствора содержится 3cdot0,14=0,42 л. некоторого вещества. Добавили 4 литра воды, стало 7 литров раствора. В этих 7 литрах нового раствора — 0,42 л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7cdot100=6%.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №329

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

По договоренности ежегодная прибыль между фирмами будет расформирована пропорционально внесенным в уставный капитал вкладам. Какую сумму получит четвертая фирма, если прибыль составила 100 млн рублей? Ответ дайте в млн рублей.

Показать решение

Решение

Первая форма — 150cdot20:100=30 (млн руб.).

Вторая фирма — 22,5 (млн руб.).

Третья фирма — 0,3cdot150=45 (млн руб.).

Четвертая фирма — 150-(30+22,5+45)=52,5 (млн руб.).

Часть уставного капитала, который составляет взнос четвертой фирмы: frac{52,5}{150}=0,35.

Найдем сумму от прибыли, причитающуюся четвертой фирме: 100cdot0,35=35 (млн руб.).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №327

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В результате смешивания 25%-го и 15%-го растворов серной кислоты было получено 750 г 20%-го раствора. Сколько граммов 15%-го раствора было использовано?

Показать решение

Решение

Пусть x г было взято 15%-го раствора, тогда (750-x) г было взято 25%-го раствора.

frac{xcdot15}{100}=(0,15x) г кислоты содержал 15%-й раствор.

frac{(750-x)cdot25}{100}=(187,5-0,25x) г кислоты содержал 25%-й раствор.

В результате смешивания получили 20%-й раствор, который содержал frac{750cdot20}{100}=150 г кислоты.

Составим и решим уравнение.

0,15x+187,5-0,25x=150,

0,1x=37,5,

x=375.

375 г — масса 15%-го раствора.

Ответ

375

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №87

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Имеются два куска металла массой 80 г и 70 г, которые содержат различную концентрацию серебра. Если сплавить эти два металла, то на выходе получится металл, который будет содержать 63% серебра. Если же сплавить одинаковые массы этих металлов, то результатом будет сплав, содержащий 65% серебра. Найдите, сколько граммов серебра находится в первом куске металла.

Показать решение

Решение

Пусть в первом сплаве концентрация серебра составляет x₁%, во втором – x₂%. Соответственно в первом сплаве находится 80x₁ г серебра, а во втором – 70x₂ г.

При сплавлении металлов образуется третий сплав массой 150 г, который содержит x₁ + x₂ г серебра. По условию задачи, концентрация серебра в нем составляет 63%, т.е. масса серебра равна 0,63·150. Составим уравнение:

80x₁ + 70x₂ = 0,63·150

При сплавлении равных масс металлов, концентрация серебра в новом металле составляет 65%. Т.е.:

x₁ + x₂ = 2·0,65

Составляем и решаем систему уравнений:

begin{cases} 80 x_1 + 70 x_2 = 0,63 cdot 150\ x_1 + x_2=2 cdot 0,65end{cases}

begin{cases} 80x_1+70x_2=94,5\ x_1 + x_2= 1,3 end{cases}

Из второго уравнения выразим x₂:

x₂ = 1,3 − x₁

Подставим это значение в первое уравнение системы:

80x₁ + 70x₂ = 94,5

80x₁ + 70(1,3 − x₁) = 94,5

80x₁ + 91 − 70x₁ = 94,5

10x₁ = 3,5

x₁ = 0,35

Как указывалось выше, в первом сплаве содержится 80x₁ г серебра. Вычисляем:

80·x₁ = 80·0,35 = 28 г серебра содержится в 80 г сплава.

Ответ

Задание №56

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В двух сплавах имеется различное содержание кобальта. В первом – 25%, во втором – 30% кобальта. На производстве из них был получен третий сплав общей массой 150 кг, в котором содержится 28% кобальта. Определите разницу в весе двух сплавов. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Пусть x – масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна 150 − x. В первом сплаве содержится 25% никеля, т.е 0,25·x, а во втором 30% никеля, т.е. 0,3 cdot (150 — x). Третий сплав имеет массу 150 кг и содержит массы двух сплавов с содержанием никеля 28%, т.е. 0,28 cdot 150. Зная эти значения, можем составить уравнение:

0,25x+0,3cdot (150-x)=0,28cdot 150

0,25x+45-0,3x=42

0,3x-0,25x=45-42

0,05x=3

x=60

Масса первого сплава равна 60 кг. Масса второго равна 150 − 60 = 90 кг. Разница в весе сплавов составляет 90 − 60 = 30 кг.

Ответ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

1. Прикладные задачи (задачи из повседневной жизни)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач на проценты

Основные моменты:

(blacktriangleright) Процент – это число, равное (frac{1}{100}) части от данного числа.

(blacktriangleright) Пример: (13%) от числа (N) равно:

Способ 1: (dfrac{N}{100}cdot 13) (где (frac{N}{100}) – сотая часть числа (N), а значит (frac{N}{100}cdot 13) – тринадцать таких частей.)

Способ 2: (0,13N) (то есть перевести процент в так называемый “десятичный вид”: (frac{13}{100}=0,13))

(blacktriangleright) Чтобы найти, сколько процентов составляет число (A) от числа (B), нужно найти (dfrac{A}{B}cdot 100
%).

(blacktriangleright) Чтобы найти, на сколько процентов число (A) больше (меньше) числа (B), нужно найти, сколько процентов составляет число (A) от числа (B), а затем из этого количества процентов отнять (100%) (из (100%) отнять найденное количество процентов).

Задание
1

#1477

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Авиабилет стоит 12000 рублей. Двум пассажирам из группы в десять человек была сделана скидка в 6(%). Сколько в сумме отдали эти 10 пассажиров за перелёт?

Билет со скидкой стоит (12000 cdot (1 — 0,06) = 11280) рублей. Из группы в десять человек двое летели со скидкой, остальные восемь платили по 12000 рублей за билет. В сумме эти 10 пассажиров отдали (12000 cdot 8 + 11280 cdot 2 = 118560) рублей.

Ответ: 118560

Задание
2

#2814

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Артём считает ворон. Он пришёл к выводу, что в данный момент около его окна кружит (55) ворон. Известно, что Артём ошибся и на самом деле количество этих самых ворон на (20%) больше, чем насчитал Артём. Сколько ворон кружит около окна Артёма в данный момент?

На самом деле искомое количество ворон равно (55cdot (1 + 0,2) = 66).

Ответ: 66

Задание
3

#2978

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Аня купила 10 яблок и несколько груш, причем яблоки составляют 40(%) от всех фруктов. Сколько груш купила Аня?

Пусть всего было (x) груш, тогда всего фруктов (10+x). Так как яблоки составляют (40%) от всех фруктов, то получаем следующее уравнение [(10+x)cdot 0,4=10quadRightarrowquad x=15.]

Ответ: 15

Задание
4

#1483

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Масса топлива ракеты до старта составляла 280 тонн. Через некоторое время часть топлива сгорела и масса оставшегося топлива стала 238 тонн. На сколько процентов уменьшилась масса топлива?

Сгорело (280 — 238 = 42) тонны топлива. Чтобы найти, сколько процентов от 280 составляет 42, надо разделить 42 на 280 и умножить на 100(%): (42 : 280 cdot 100% = 15%).

Ответ: 15

Задание
5

#1484

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Масса палки колбасы до того, как её заметил Артем Я., составляла 1,2 килограмма. Артем Я. кое-что сделал с колбасой, после чего масса оставшейся части палки колбасы стала 0,75 килограмма. На сколько процентов уменьшилась масса палки колбасы?

Артем Я. куда-то дел (1,2 — 0,75 = 0,45) килограмма колбасы. Чтобы найти, сколько процентов от 1,2 составляет 0,45, надо разделить 0,45 на 1,2 и умножить на 100(%): (0,45 : 1,2 cdot 100 % = 37,5%).

Ответ: 37,5

Задание
6

#1485

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем воды в графине до того, как его заметил Коля, составлял 2 литра. Коля выпил часть воды так, что оставшийся объем составил 1,3 литра. На сколько процентов уменьшился объем воды в графине?

Коля выпил (2 — 1,3 = 0,7) литра воды. Чтобы найти, сколько процентов от 2 составляет 0,7, надо разделить 0,7 на 2 и умножить на 100(%): (0,7 : 2 cdot 100% = 35%).

Ответ: 35

Задание
7

#1479

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Билет в кино стоит 500 рублей. Двум киноманам из группы в пять человек была сделана скидка в 1(%). Сколько в сумме отдали эти 5 киноманов за сеанс в кино?

Билет со скидкой стоит (500 cdot (1 — 0,01) = 495) рублей. Из группы в пять человек двое шли со скидкой, остальные трое платили по 500 рублей за билет. В сумме эти 5 киноманов отдали (500 cdot 3 + 495 cdot 2 = 2490) рублей.

Ответ: 2490

Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.

Необходимо запомнить

Процент — это (frac{1}{100}) часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ — (%). При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:

[1%= frac{1}{100}=0.01]

Как ее применить?

Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:

Разделить имеющееся число на (100).
Умножить полученное значение на то количество (%), которое нужно найти.

Например, для того чтобы вычислить (10%) от числа (300), нужно найти (1) процент, разделив (300:100=3). И полученное от предыдущего действия число (3cdot10=30). Ответ: (30).

Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например, задачами на перевод единиц измерения, которые встречаются в ЕГЭ.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Тренажер
к заданиям №11 (задачи на проценты)

Профильный
уровень

1.Свежие фрукты содержат 84% воды, а
высушенные 16% воды. Сколько сушеных фруктов получится из 231 кг свежих
фруктов?

2.Свежие фрукты
содержат 75% воды, а высушенные -15%.Сколько требуется свежих фруктов для
приготовления 6 кг высушенных фруктов?

3.Свежая морковь
содержит 88% воды, а высушенная -12%.Сколько сушеной моркови получится из 55 кг
свежей моркови?

4.Свежий виноград
содержит 94% воды, а из 12 кг получается 1кг изюма. Найдите процентное
содержание воды в изюме.

5.Свежий абрикос
содержит 84% воды, а из 12 кг абрикоса получается 3 кг кураги . Найдите
процентное содержание воды в кураге.

6.Изюм получается
в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для
получения 58 килограммов изюма ,если виноград содержит 90% воды, а изюм
содержит 5% воды?

7.Семь одинаковых
рубашек дешевле куртки на 2%.На сколько процентов 10 рубашек дороже куртки?

8.Девять
одинаковых рубашек дешевле куртки на 7%.На сколько процентов двенадцать таких
рубашек дороже куртки?

9. Имеются два
сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если
их слить вместе, то получим раствор , содержащий 36 % кислоты. Если же слить
равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 32% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

10.Если смешать
14-процентый раствор кислоты и 98-процентный раствор этой же кислоты и добавить
10 кг чистой воды, получится 70% раствор кислоты. Если вместо 10 кг воды
добавили 10 кг 50 процентного раствора той же кислоты, то бы получили бы 74-
процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14 –процентного раствора
использовали для получения смеси?

11.Имеются два
сосуда, содержащие 30кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если
их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить
равные массы этих растворов , то полученный раствор будет содержать 37%
кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Ответы:

№ п/п
1	44кг
2	20,4кг
3	7,5кг
4	28%
5	36%
6	551кг
7	40%
8	24%
9	15,6 кг
10	30
11	23,1

Источник

Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике

Смотри также видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».
Текстовая задача — это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.

Начнем с задач на проценты. Если эта тема сложна для тебя — посмотри материал простейшие текстовые задачи. В частности, в нем мы сформулировали важное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Мы также вывели полезные формулы:

если величину увеличить на процентов, получим $xcdot left( 1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right);$
если величину уменьшить на процентов, получим $xcdot left( 1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right);$
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим $xcdot left( 1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)left( 1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle q}{displaystyle 100} right);$

если величину дважды увеличить на процентов, получим $xcdot left( 1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)^2;$
если величину дважды уменьшить на процентов, получим $xcdot left( 1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)^2.$

Воспользуемся ими для решения задач.

. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году в результате строительства новых домов число жителей выросло на , а в 2010 году — на по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.

А в 2010 году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать жителей.

Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре 2010 года. Она проста, но справились с ней немногие.

. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить $xcdot left(1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)$ . Теперь уже эта величина принимается за 100% , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

По условию, акции в итоге подешевели на 4%.

Получаем, что
$xcdot left(1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)=xcdot left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 100} right).$

Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения:

$1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p^2}{displaystyle 100^2}=1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 100};$
$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p^2}{displaystyle 100^2}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 100}.$

По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что p=20 .

. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 2000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна:

$20000cdot left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) ^2=15842;$

$left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) ^2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15842}{displaystyle 20000};$

$left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) ^2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7921}{displaystyle 10000};$

$1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 89}{displaystyle 100};$

p=11.

. Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 92% от цены куртки, то есть .

Стоимость одной рубашки — в раза меньше:

А стоимость пяти рубашек:

$5x=1,15y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 115}{displaystyle 100}y=115%y.$

Получили, что пять рубашек на 15% дороже куртки.

Ответ: .

. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67% . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация » и «ситуация ».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности
Ситуация
Ситуация			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}z$

Осталось записать систему уравнений:

$left{begin{matrix}2x+y+z=1,67left( x+y+z right)\ x+y+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}z=0,96left( x+y+z right)end{matrix}right. .$

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму x+y+z .

Получим:

Это значит, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение x+y+z , упростим и получим, что

Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.

Ответ: 27.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Текстовые задачи на проценты. Банковские проценты.

ЕГЭ Профиль №11, №17

Формулы. Сложные проценты.

Понятие сложного процента. Если данное число ежегодно (ежемесячно, ежедневно, …) увеличивается (уменьшается ) на р% без изъятия прироста (т.е. прирост за год добавляется к первоначальной величине и проценты за следующий год исчисляются с наращенной величины.

a . .

Текстовые задачи на %. Задание №11 ЕГЭ Профиль.

№1.1 В 2008 году в городском квартале проживало 60000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 2%, а в 2010 году – на 3% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение:

Воспользуемся формулой сложных процентов.

60000 . . = 60000 . . = 6 . 102 . 103 = 6 . (10000 +500+6) = 60000+3000+36 = 63036.

Ответ: 63036.

№1.2 Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 19800 рублей, через два года был продан за 16038 рублей.

Решение:

Воспользуемся формулой сложных процентов.

Пусть р — число процентов, на которое уменьшается цена холодильника.

19800 . 2 =16038,

2 = ,

= ,

100 — р =90,

р = 10.

Ответ: 10.

№1.3 В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% процента дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

Решение:

Воспользуемся формулой сложных процентов.

Пусть а – цена акции, а число процентов — р.

Тогда a . . = a . ,

1- ,

, =6400, р=80.

Ответ: 80 %.

Задачи для самостоятельного решения:

№ 1.4 Бизнесмен Оладьев получил в 2015 году прибыль в размере 1200000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Оладьев за 2017 год?

№1.5 В 2008 году в городском квартале проживало 30000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 10%, а в 2010 году – на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

№1.6 Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 22800 рублей, через два года был продан за 18770 рублей.

№1.7 В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% процента дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Банковские задачи. Задание №17 ЕГЭ Профиль.

Решение задач с помощью формулы сложных процентов.

№2.1 Катя хочет взять кредит 1200000 рублей. Погашение происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Катя взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320000 рублей?

Решение:

1 год 1)На сумму 1200000 начисляют 10% :

1200000 . = 1200000 . 1,1 = 1320000 рублей – стал долг банку,

2) 1320000 – 320000 = 1000000 рублей – остаток после выплаты.

2 год 1)1000000 . 1,1 = 1100000 рублей – стал долг банку,

2) 1100000 – 320000 = 780000 рублей – остаток после выплаты.

3 год 1)7800000 . 1,1 = 858000 рублей – стал долг банку,

2)858000 – 320000 = 538000 рублей – остаток после выплаты.

4 год 1)538000 . 1,1 = 591800 рублей – стал долг банку,

2)591800 — 320000 = 271800 рублей – остаток после выплаты.

5 год 1)271800 . 1,1 = 298980 рублей – стал долг банку,

2) 298980 – 298980 = 0 рублей.

Последняя выплата 298980 < 320000. Значит, Катя погасит кредит за 5 лет.

Ответ: 5 лет.

№2.2 По вкладу «А» в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года. А по вкладу «Б» — увеличивает на 11% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма Х.

По вкладу «А» по 10% ставке на конец третьего года будет сумма:

Х . 3 =Х . 1,13 = 1,331Х.

По вкладу «Б» по 11% ставке на конец второго года будет сумма:

Х . 2 =Х . 1,112 = 1,2321Х.

Пусть по вкладу «Б» третий год начисляется р%, тогда на конец третьего года получим сумму: 1,2321Х . .

По условию задачи надо найти такое целое значение р, при котором вклад «Б» будет выгоднее вклада «А». Составим неравенство

1,2321Х . > 1,331Х

123,21 + 1,2321р > 133,1

1,2321р > 9,89

p > 9,89 : 1,2321 = 8,02…

р > 8,02…

Так как р – целое число, то р = 9.

Ответ: 9.

№2.3 31 декабря 2014 года Иван взял в банке 6951000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает долг на 10%), затем Иван переводит в банк платёж. Весь долг Иван выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы мог выплатить долг за два равных платежа?

Решение:

Пусть Х – сумма, которую взяли в кредит по 10% годовых. 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент t=1,1. А — платёж для погашения кредита.

Оставшаяся сумма долга после 1-ого платежа: Х1 = Х . t -А.

Оставшаяся сумма долга после 2-ого платежа: Х2 = Х1 . t –А = (Х . t –А) . t –А = Хt2 – Аt – А.

Оставшаяся сумма долга после 3-ого платежа:

Х3 = Х2 . t –А = (Хt2 – Аt – А) . t –А = Xt3 — Аt2 – Аt – А = Xt3 — А (t2+t+1).

I схема погашения кредита за 3 года.

Х3 = 0 Xt3 — А (t2-t+1)=0, А = = = 2795100

Сумма, которую Иван заплатил банку 2795100 3 = 8385300 рублей.

II схема погашения кредита за 2 года.

Х2 = 0 Хt2 – Аt – А =0, А = = = 4005100

Сумма, которую Иван заплатил банку 4005100 2 = 8010200 рублей.

8385300 – 8010200 = 375100 рублей

Ответ: на 375100 рублей.

Решение задач, в которых платёж остаётся неизменным в течение всего срока действия кредитного договора, с помощью формулы.

Пусть Х – заём, n – количество выплат, а – процентная ставка, А – размер одной выплаты,

t = — коэффициент увеличения ставки (тот множитель, на который мы умножаем заём, чтобы узнать сколько должны банку по прошествии года).

Тогда Хtn(t-1) = A (tn -1)

№2.4

Дано:

Х= 2100000 рублей

n=2

А=1210000 рублей

Найти: а (под какой процент взяли кредит?)

Решение: Хtn(t-1) = A (tn -1)

2100000 t 2(t-1) = 1210000 (t2 -1)

2100000 t 2= 1210000 (t +1)

210 t 2- 121t -121=0

D = 1212+4210121=121(121+840) = 121 961= 112312 = 3412

t1,2=

t1 = 1,1; t2 <0 –не подходит по смыслу задачи.

1,1 =

а= 10 %.

Ответ: 10%

Решим задачи №2.1 и №2.3 с помощью данной формулы.

№2.3 31 декабря 2014 года Иван взял в банке 6951000 рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает долг на 10%), затем Иван переводит в банк платёж. Весь долг Иван выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?

Дано:

Х= 6951000 рублей

а = 10%

n1=3, n2=2

Найти: S1-S2

Решение:

S1=А1 n1, S2=А2 n2, t=1,1.

Хtn(t-1) = A (tn -1)

А=

А1= = = = = 21000 2795100 рублей

А2= = = = = 331000 4005100 рублей

S1=27951003 = 8385300 рублей, S2=40051002 = 8010200 рублей.

S1-S2 = 8385300 — 8010200 = 375100 рублей

Ответ: на 375100 рублей.

№2.1. Катя хочет взять кредит 1200000 рублей. Погашение происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Катя взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320000 рублей?

Дано:

Х= 1200000 рублей

а = 10%

А =320000 рублей

Найти: n

Решение:

Хtn(t-1) ≤ A (tn -1)

Хtn(t-1) — A tn ≤ — А

A tn — Хtn(t-1) ≥ А

tn (А – Х(t-1)) ≥ А

Так как Х(t-1) < А, то tn ≥ (t=1,1).

1,1n ≥

1,1n ≥ = = = 1,6

1,1n ≥ 1,6

n=1: 1,11 =1,1

n=2: 1,12 =1,21

n=3: 1,13 =1,331

n=4: 1,14 =1,4641

n=5: 1,16 =1,60051

Значит, n=5.

Ответ: 5.

Задачи для самостоятельного решения:

№2.5 Оля хочет взять кредит 100000 рублей. Погашение происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

№2.6 По вкладу «А» в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года. А по вкладу «Б» — увеличивает на 21% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

№2.7 По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту же сумму на 8% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

№2.8 31 декабря 2013 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавы

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавыadmin2022-10-26T22:13:32+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавы

Задача 1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

В 2009 году число жителей стало равно (40000 + 40000 cdot frac{8}{{100}} = 43200), а в 2010 году: (43200 + 43200 cdot frac{9}{{100}} = 47088.)

Ответ: 47088.

Задача 2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}). Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}), то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}}.)

В результате акции стали стоить 96% от А: (A cdot frac{{96}}{{100}}). Таким образом, получаем уравнение:

(A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}} = A cdot frac{{96}}{{100}},left| {,:,} right.A,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{{{100}^2} — {x^2}}}{{100}} = 96,,,, Leftrightarrow ,,,,10000 — {x^2} = 9600,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 400,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 20;,,,,,{x_2} = — 20.)

Так как (x > 0), то акции подорожали в понедельник на 20%.

Ответ: 20.

Задача 3. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Стоимость четырех рубашек составляет 100 – 8 = 92 % от куртки. Следовательно, стоимость одной рубашки составляет (frac{{92}}{4} = 23)% от стоимости куртки. Тогда стоимость пяти рубашек составляет (5 cdot 23 = 115)%, что на 115 – 100 = 15 % превышает стоимость куртки.

Ответ: 15.

Задача 4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: (x + y + z = 100.) Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: (2x + y + z = 167.) Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет (frac{z}{3})), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид: (x + y + frac{z}{3} = 96.)

Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 100;} \ {2x + y + z = 167;} \ {x + y + frac{z}{3} = 96.} end{array}} right.)

Вычтем из второго уравнения первое: (2x — x + y — y + z — z = 167 — 100,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 67.)

Вычтем из первого уравнения третье: (x — x + y — y + z — frac{z}{3} = 100 — 96,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{2z}}{3} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,z = 6.)

Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим: (67 + y + 6 = 100,,,, Leftrightarrow ,,,,y = 27.)

Ответ: 27.

Задача 5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля.

Пусть цена холодильника ежегодно уменьшалась на х%, тогда после первого понижения цена составила (100 – х) % от 20000 рублей, то есть: (20000 cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 200 cdot left( {100 — x} right)), а после второго (100 – х) % от (200left( {100 — x} right)), то есть: (200left( {100 — x} right) cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 2 cdot {left( {100 — x} right)^2}), что составило 15842 рубля.

(2{left( {100 — x} right)^2} = 15842,,{left| {,:,2,,,, Leftrightarrow ,,,,left( {100 — x} right)} right.^2} = 7921.)

(100 — x = 89;,,,,,,,,100 — x = — 89.)

({x_1} = 11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = 189)

Так как (0 < x < 100), то холодильник ежегодно дешевел на 11 %.

Ответ: 11.

Задача 6. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Митя внес 14 % уставного капитала. Антон (frac{{42000}}{{200000}} cdot 100 = 21)% уставного капитала. Гоша 0,12 уставного капитала, то есть 12%. Следовательно, Борис внес (100 — 14 — 21 — 12 = 53)% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается: (1000000 cdot frac{{53}}{{100}} = 530000) рублей.

Ответ: 530000.

Задача 7. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Будем считать, что первый сосуд содержит 5 литров 12-процентного раствора вещества, а второй 7 литров воды (0-процентного раствора) и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.

Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{5 cdot 12}}{{100}}) литров, во втором (frac{{7 cdot 0}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{12 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах.

(frac{{5 cdot 12}}{{100}} + frac{{7 cdot 0}}{{100}} = frac{{12 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,5 cdot 12 = 12 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 5.)

Ответ: 5.

Задача 8. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Будем считать, что первый сосуд содержит А литров 15-процентного раствора вещества, а второй А литров 19-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.

Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{A cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{A cdot 19}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{2A cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах.

(frac{{A cdot 15}}{{100}} + frac{{A cdot 19}}{{100}} = frac{{2A cdot x}}{{100}},,,left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,15 cdot A + 19 cdot A = 2A cdot x,,left| {,:A} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2x = 34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 17.)

Ответ: 17.

Задача 9. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Будем считать, что первый сосуд содержит 4 литра 15-процентного раствора вещества, а второй 6 литров 25-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.

Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{4 cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{6 cdot 25}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{10 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах.

(frac{{4 cdot 15}}{{100}} + frac{{6 cdot 25}}{{100}} = frac{{10 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,60 + 150 = 10 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 21.)

Ответ: 21.

Задача 10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Виноград содержит 10% «сухого» вещества, а изюм 95% соответственно. При этом масса «сухого» вещества винограда и изюма равны. Пусть для получения 20 килограммов изюма требуется x килограммов винограда. Тогда масса «сухого» вещества в винограде (frac{{10 cdot x}}{{100}}) кг, а масса «сухого» вещества в изюме (frac{{20 cdot 95}}{{100}}) кг. Следовательно:

(frac{{10 cdot x}}{{100}} = frac{{20 cdot 95}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10x = 20} right. cdot 95,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 190) кг.

Ответ: 190.

Задача 11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго.

Пусть x кг масса первого сплава. Так как масса третьего сплава 200 кг, то масса второго сплава (200 — x) кг.

Тогда масса никеля в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{200 cdot 25}}{{100}}) кг. При этом масса никеля в третьем сплаве равна массе никеля в первых двух сплавах.

(frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}} = frac{{200 cdot 25}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 6000 — 30x = 5000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20x = 1000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 50.)

Значит масса первого сплава 50 кг, а масса второго сплава равна 150 кг. Следовательно, масса первого сплава на 100 кг меньше массы второго.

Ответ: 100.

Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Пусть x кг масса первого сплава, тогда масса второго сплава (x + 3) кг, а масса третьего сплава (x + x + 3 = 2x + 3) кг.

Тогда масса меди в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}}) кг. При этом масса меди в третьем сплаве равна массе меди в первых двух сплавах.

(frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}} = frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 40x + 120 = 60x + 90,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10x = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 30.)

Значит масса первого сплава 3 кг, а масса третьего сплава равна (2x + 3 = 2 cdot 3 + 3 = 9) кг.

Ответ: 9.

Задача 13. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть x кг масса 30-процентного раствора, а y кг масса 60-процентрого раствора кислоты.

Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе (frac{{x cdot 30}}{{100}}) кг, в 60-процентном (frac{{y cdot 60}}{{100}}) кг, в воде (frac{{10 cdot 0}}{{100}}) кг, а в 36-процентном (frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}}). При этом масса кислоты в 36-процентноом растворе равна массе кислоты 30-процентного, 60-процентного и воды. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:

(frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 0}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right).)

Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты.

Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:

(frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 50}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 41}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).)

Таким образом, получаем систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right);} \ {30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).} end{array}} right.)

Вычтем из второго уравнения первое:

(500 = 5left( {x + y + 10} right),left| {:5} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 = x + y + 10,,,,, Leftrightarrow ,,,,,y = 90 — x.)

Подставим выраженный y в первое уравнение:

(30x + 60left( {90 — x} right) = 3600,,,,, Leftrightarrow ,,,,30x — 60x = 3600 — 5400,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x = 1800,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.)

Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора.

Ответ: 60.

Задача 14. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Будем считать, что первый сосуд содержит 30 кг x-процентного раствора кислоты, а второй 20 кг y-процентного раствора кислоты и их содержимое перелили в третий сосуд, в котором получилось 50 кг 68-процентного раствора кислоты.

Тогда масса кислоты в первом сосуде (frac{{30 cdot x}}{{100}}) кг, во втором (frac{{20 cdot y}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{50 cdot 68}}{{100}}) кг. При этом масса кислоты в третьем сосуде равна массе кислоты в первых двух сосудах. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:

(frac{{30 cdot x}}{{100}} + frac{{20 cdot y}}{{100}} = frac{{50 cdot 68}}{{100}},,left| { cdot 10} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x + 2y = 340.)

Смешаем равные массы по m кг.

Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:

(frac{{m cdot x}}{{100}} + frac{{m cdot y}}{{100}} = frac{{2m cdot 70}}{{100}},,left| {, cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m cdot x + m cdot y = 140m,left| {,:m} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x + y = 140.)

Таким образом, получаем систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 340} \ {x + y = 140} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 340} \ {y = 140 — x} end{array}} right.} right.)

(3x + 2left( {140 — x} right) = 340,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x — 2x = 340 — 280,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.)

Следовательно, в первом сосуде содержится 60% кислоты, а масса этой кислоты равна (frac{{30 cdot 60}}{{100}} = 18) кг.

Ответ: 18.

Задача 15. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Пусть банк начисляет x% годовых. Тогда через год вклад клиента А составит (left( {100 + x} right)) процентов от 7700 рублей, то есть (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Через год банк начислит ещё x% и его вклад станет равен (left( {100 + x} right)) процентов от (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей, то есть (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}) рублей. Клиент Б открыл такой же вклад сроком на один год. Следовательно, через год на его вкладе будет сумма равная (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Так как клиент А получил на 847 рублей больше, то:

(7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} — 7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}} = 847.)

Пусть (frac{{100 + x}}{{100}} = t), тогда:

(7700,{t^2} — 7700,t = 847,left| {,:,77,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100,{t^2} — 100,t — 11 = 0;} right.)

(D = {100^2} + 4 cdot 100 cdot 11 = 14400;,,,,,sqrt D = 120;,,,,,{t_1} = frac{{100 + 120}}{{200}} = 1,1;,,,,,{t_2} = frac{{100 — 120}}{{200}} = — frac{1}{{10}}.)Так как (x > 0), то (t > 1).

Следовательно, (t = 1,1) и тогда (frac{{100 + x}}{{100}} = 1,1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 10.)

Ответ: 10.

Источник