Задачи на проценты егэ с решением профиль

В 2009 году число жителей стало равно (40000 + 40000 cdot frac{8}{{100}} = 43200), а в 2010 году:  (43200 + 43200 cdot frac{9}{{100}} = 47088.)

Ответ: 47088.

Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}). Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}),  то есть  (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}}.)

В результате акции стали стоить 96% от А:  (A cdot frac{{96}}{{100}}). Таким образом, получаем уравнение:

(A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}} = A cdot frac{{96}}{{100}},left| {,:,} right.A,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{{{100}^2} — {x^2}}}{{100}} = 96,,,, Leftrightarrow ,,,,10000 — {x^2} = 9600,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 400,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 20;,,,,,{x_2} =  — 20.)

Так как (x > 0), то акции подорожали в понедельник на 20%.

Ответ: 20.

Стоимость четырех рубашек составляет 100 – 8 = 92 % от куртки. Следовательно, стоимость одной рубашки составляет (frac{{92}}{4} = 23)% от стоимости куртки. Тогда стоимость пяти рубашек составляет (5 cdot 23 = 115)%, что на 115 – 100 = 15 % превышает стоимость куртки.

Ответ: 15.

Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: (x + y + z = 100.) Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: (2x + y + z = 167.) Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет (frac{z}{3})), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид: (x + y + frac{z}{3} = 96.)

Таким образом, получаем систему уравнений:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z = 100;} \   {2x + y + z = 167;} \   {x + y + frac{z}{3} = 96.} end{array}} right.)

Вычтем из второго уравнения первое:    (2x — x + y — y + z — z = 167 — 100,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 67.)

Вычтем из первого уравнения третье:   (x — x + y — y + z — frac{z}{3} = 100 — 96,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{2z}}{3} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,z = 6.)

Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим:  (67 + y + 6 = 100,,,, Leftrightarrow ,,,,y = 27.)

Ответ: 27.

Пусть цена холодильника ежегодно уменьшалась на х%, тогда после первого понижения цена составила (100 – х) % от 20000 рублей, то есть:  (20000 cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 200 cdot left( {100 — x} right)), а после второго (100 – х) % от (200left( {100 — x} right)), то есть:  (200left( {100 — x} right) cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 2 cdot {left( {100 — x} right)^2}), что составило 15842 рубля.

(2{left( {100 — x} right)^2} = 15842,,{left| {,:,2,,,, Leftrightarrow ,,,,left( {100 — x} right)} right.^2} = 7921.)

(100 — x = 89;,,,,,,,,100 — x =  — 89.)

({x_1} = 11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = 189)

Так как (0 < x < 100), то холодильник ежегодно дешевел на 11 %.

Ответ: 11.

Митя внес 14 % уставного капитала. Антон (frac{{42000}}{{200000}} cdot 100 = 21)% уставного капитала. Гоша 0,12 уставного капитала, то есть 12%. Следовательно, Борис внес (100 — 14 — 21 — 12 = 53)% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается:  (1000000 cdot frac{{53}}{{100}} = 530000) рублей.

Ответ: 530000.

Будем считать, что первый сосуд содержит 5 литров 12-процентного раствора вещества, а второй 7 литров воды (0-процентного раствора) и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.

Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{5 cdot 12}}{{100}}) литров, во втором (frac{{7 cdot 0}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{12 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах.

(frac{{5 cdot 12}}{{100}} + frac{{7 cdot 0}}{{100}} = frac{{12 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,5 cdot 12 = 12 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 5.)

Ответ: 5.

Будем считать, что первый сосуд содержит А литров 15-процентного раствора вещества, а второй А литров 19-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.

Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{A cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{A cdot 19}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{2A cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах.

(frac{{A cdot 15}}{{100}} + frac{{A cdot 19}}{{100}} = frac{{2A cdot x}}{{100}},,,left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,15 cdot A + 19 cdot A = 2A cdot x,,left| {,:A} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2x = 34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 17.)

Ответ: 17.

Будем считать, что первый сосуд содержит 4 литра 15-процентного раствора вещества, а второй 6 литров 25-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.

Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{4 cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{6 cdot 25}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{10 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах.

(frac{{4 cdot 15}}{{100}} + frac{{6 cdot 25}}{{100}} = frac{{10 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,60 + 150 = 10 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 21.)

Ответ: 21.

Виноград содержит 10% «сухого» вещества, а изюм 95% соответственно. При этом масса «сухого» вещества винограда и изюма равны. Пусть для получения 20 килограммов изюма требуется x килограммов винограда. Тогда масса «сухого» вещества в винограде (frac{{10 cdot x}}{{100}}) кг, а масса «сухого» вещества в изюме (frac{{20 cdot 95}}{{100}}) кг. Следовательно:

(frac{{10 cdot x}}{{100}} = frac{{20 cdot 95}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10x = 20} right. cdot 95,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 190) кг.

Ответ: 190.

Пусть x кг масса первого сплава. Так как масса третьего сплава 200 кг, то масса второго сплава (200 — x) кг.

Тогда масса никеля в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{200 cdot 25}}{{100}}) кг. При этом масса никеля в третьем сплаве равна массе никеля в первых двух сплавах.

(frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}} = frac{{200 cdot 25}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 6000 — 30x = 5000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20x = 1000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 50.)

Значит масса первого сплава 50 кг, а масса второго сплава равна 150 кг. Следовательно, масса первого сплава на 100 кг меньше массы второго.

Ответ: 100.

Пусть x кг масса первого сплава, тогда масса второго сплава (x + 3) кг, а масса третьего сплава (x + x + 3 = 2x + 3) кг.

Тогда масса меди в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}}) кг. При этом масса меди в третьем сплаве равна массе меди в первых двух сплавах.

(frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}} = frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 40x + 120 = 60x + 90,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10x = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 30.)

Значит масса первого сплава 3 кг, а масса третьего сплава равна (2x + 3 = 2 cdot 3 + 3 = 9) кг.

Ответ: 9.

Пусть x кг масса 30-процентного раствора, а y кг масса 60-процентрого раствора кислоты.

Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе (frac{{x cdot 30}}{{100}}) кг, в 60-процентном (frac{{y cdot 60}}{{100}}) кг, в воде (frac{{10 cdot 0}}{{100}}) кг, а в 36-процентном (frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}}). При этом масса кислоты в 36-процентноом растворе равна массе кислоты 30-процентного, 60-процентного и воды. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:

(frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 0}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right).)

Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты.

Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:

(frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 50}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 41}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).)

Таким образом, получаем систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right);} \   {30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).} end{array}} right.)

Вычтем из второго уравнения первое:

(500 = 5left( {x + y + 10} right),left| {:5} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 = x + y + 10,,,,, Leftrightarrow ,,,,,y = 90 — x.)

Подставим выраженный  y  в первое уравнение:

(30x + 60left( {90 — x} right) = 3600,,,,, Leftrightarrow ,,,,30x — 60x = 3600 — 5400,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x = 1800,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.)

Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора.

Ответ: 60.

Будем считать, что первый сосуд содержит 30 кг x-процентного раствора кислоты, а второй 20 кг y-процентного раствора кислоты и их содержимое перелили в третий сосуд, в котором получилось 50 кг 68-процентного раствора кислоты.

Тогда масса кислоты в первом сосуде (frac{{30 cdot x}}{{100}}) кг, во втором (frac{{20 cdot y}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{50 cdot 68}}{{100}}) кг. При этом масса кислоты в третьем сосуде равна массе кислоты в первых двух сосудах. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:

(frac{{30 cdot x}}{{100}} + frac{{20 cdot y}}{{100}} = frac{{50 cdot 68}}{{100}},,left| { cdot 10} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x + 2y = 340.)

Смешаем равные массы по m кг.

Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:

(frac{{m cdot x}}{{100}} + frac{{m cdot y}}{{100}} = frac{{2m cdot 70}}{{100}},,left| {, cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m cdot x + m cdot y = 140m,left| {,:m} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x + y = 140.) 

Таким образом, получаем систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 2y = 340} \   {x + y = 140} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 2y = 340} \   {y = 140 — x} end{array}} right.} right.)

(3x + 2left( {140 — x} right) = 340,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x — 2x = 340 — 280,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.)

Следовательно, в первом сосуде содержится 60% кислоты, а масса этой кислоты равна   (frac{{30 cdot 60}}{{100}} = 18) кг.

Ответ: 18.

Пусть банк начисляет x% годовых. Тогда через год вклад клиента А составит (left( {100 + x} right)) процентов от 7700 рублей, то есть (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Через год банк начислит ещё x% и его вклад станет равен (left( {100 + x} right)) процентов от (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей, то есть (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}) рублей. Клиент Б открыл такой же вклад сроком на один год. Следовательно, через год на его вкладе будет сумма равная (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Так как клиент А получил на 847 рублей больше, то:

(7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} — 7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}} = 847.)

Пусть (frac{{100 + x}}{{100}} = t), тогда:

(7700,{t^2} — 7700,t = 847,left| {,:,77,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100,{t^2} — 100,t — 11 = 0;} right.)

(D = {100^2} + 4 cdot 100 cdot 11 = 14400;,,,,,sqrt D  = 120;,,,,,{t_1} = frac{{100 + 120}}{{200}} = 1,1;,,,,,{t_2} = frac{{100 — 120}}{{200}} =  — frac{1}{{10}}.)Так как (x > 0), то (t > 1).

Следовательно, (t = 1,1) и тогда (frac{{100 + x}}{{100}} = 1,1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 10.)

Ответ: 10.