Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
2
Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
3
Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
4
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
5
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Пройти тестирование по этим заданиям
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии
| Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Пусть бригада в первый день покрасила а1 метров забора, во второй – а2, …, в последний – аn метров забора. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 60,) а ({S_n} = 240.) Тогда: (240 = frac{{60}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,30n = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 8.) Следовательно, бригада покрасит забор за 8 дней. Ответ: 8. |
| Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Пусть рабочие в первый день прокладывают а1 метров тоннеля, во второй – а2, …, в последний десятый день – а10 метров тоннеля. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 3,) а ({S_{10}} = 500.) Тогда: (500 = frac{{3 + {a_{10}}}}{2} cdot 10,,,, Leftrightarrow ,,,,,3 + {a_{10}} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{10}} = 97.) Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля. Ответ: 97. |
| Задача 3. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Пусть в первый день Вася решил а1 задач, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 задач. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 5,) а ({S_{14}} = 490.) Тогда: (490 = frac{{5 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,5 + {a_{14}} = 70,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 65.) Следовательно, в последний день Вася решил 65 задач. Ответ: 65. |
| Задача 4. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй – а2, …, в последний шестой день – а6 км. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 10,) а ({S_6} = 120.) Тогда: (120 = frac{{10 + {a_6}}}{2} cdot 6,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_6} = 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_6} = 30.) Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда: ({a_6} = {a_1} + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30 = 10 + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4) и ({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 cdot 4 = 18.) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км. Ответ: 18. |
| Задача 5. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Пусть в первый день грузовик перевёз а1 тонн, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 тонн. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 2,) а ({S_{14}} = 210.) Тогда: (210 = frac{{2 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,2 + {a_{14}} = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 28.) Следовательно, в последний день грузовик перевёз 28 тонн. Чтобы определить, сколько грузовик перевёз за девятый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько тонн грузовик перевёз в день больше чем в предыдущий день. Тогда: ({a_{14}} = {a_1} + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28 = 2 + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 2) и ({a_9} = {a_1} + 8d = 2 + 8 cdot 2 = 18.) Следовательно, за девятый день грузовик перевёз 18 тонн. Ответ: 18. |
| Задача 6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Пусть в первый день улитка проползла а1 метров, во второй – а2, …, в последний день – аn метров. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 10,) а ({S_n} = 150.) Тогда: (150 = frac{{10}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,5n = 150,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 30.) Следовательно, на весь путь улитка потратила 30 дней. Ответ: 30. |
| Задача 7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Пусть в первый день Вера подписала а1 открыток, во второй – а2, …, в последний шестнадцатый день – а16 открыток. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 10,) а ({S_{16}} = 640.) Тогда: (640 = frac{{10 + {a_{16}}}}{2} cdot 16,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_{16}} = 80,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{16}} = 70.) Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда: ({a_{16}} = {a_1} + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,70 = 10 + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4) и ({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 cdot 4 = 22.) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки. Ответ: 5. |
| Задача 8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Так как прибыль каждый год увеличивалась на 300%, то она становилась 400% от прибыли предыдущего года. Поэтому в 2001 году прибыль составила: (5,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 20,,000) рублей; 2002 году (20,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 80,,000) рублей; в 2003 году (80,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 320,,000) рублей. Ответ: 320 000. |
| Задача 9. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял: (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000) долларов; в 2003 году (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000) долларов; в 2004 году (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000) долларов; в 2005 году (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000) долларов; в 2006 году (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000) долларов. Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял: (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000) долларов; в 2005 году (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000) долларов; в 2006 году (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000) долларов. Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа». Ответ: 35000. |
16
Июл 2013
Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи
09. Задачи на прогрессию
2013-07-16
2022-09-11
«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия
Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 
метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 
метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: + показать
Задача 2. Олегу надо решить 
задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 
задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 
дней.
Решение: + показать
Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за дней, а расстояние между городами составляет 
километров.
Решение: + показать
Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 
% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Решение: + показать
Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 
долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 
% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 
долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 
% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: + показать
Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию
Автор: egeMax |
комментария 2
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Арифметические и геометрические прогрессии»
Открытый банк заданий по теме арифметические и геометрические прогрессии. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1106
Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии
Условие
Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?
Показать решение
Решение
Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем
a_1+a_2+a_3+…+a_{15}= frac{a_1+a_{15}}{2}cdot15= 300,
6+a_{15}=40,
a_{15}=40-6=34.
Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»
Ответ
34
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1104
Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии
Условие
Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?
Показать решение
Решение
Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+…+a_{20}= frac{a_1+a_{20}}{2}cdot20= 350,
8+a_{20}=35,
a_{20}=35-8=27.
Коля в последний день посадил 27 кустов роз.
Ответ
27
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №334
Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии
Условие
Плиточник должен уложить 320 м2 плитки. Если он будет укладывать на 6 м2 в день больше, чем запланировал, то работа будет выполнена на 12 дней раньше. Определите, сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.
Показать решение
Решение
Пусть x (м2) — планируемая норма укладки в день. Тогда, согласно условию, получаем:
frac{320}{x}-frac{320}{x+6}=12,
frac{320(x+6)-320cdot x}{x(x+6)}=12,
frac{320cdot6}{x(x+6)}=12,
frac{160}{x(x+6)}=1,
x^2+6x-160=0.
x_{1,2}=-3pmsqrt{9+160}=-3pm13.
Так как x не является отрицательным числом, то x = 10.
Ответ
10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №333
Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии
Условие
Грузовой автомобиль перевозит технику из одного города в другой, проезжая в каждый последующий день на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. В первый день пути водитель проехал расстояние 520 км. Известно, что расстояние между городами 3270 км и на весь путь потребовалось ровно 5 дней. Определите, сколько километров проехал водитель за третий день пути.
Показать решение
Решение
Расстояние увеличивается каждый день на одну и ту же величину d, а значит, последовательность таких расстояний — арифметическая прогрессия.
За 5 дней пройденный путь равен frac{(a_1+a_5)}{2}cdot5=3270, где a_1, a_3 и a_5 — путь, пройденный в первый, третий и пятый дни соответственно.
По свойству арифметической прогрессии a_3=a_1+2d, a_5=a_1+4d, значит, a_3=frac{a_1+a_5}{2}. Тогда a_3=3270:5=654 (км).
Ответ
654
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Задание 905
Барсик съедает миску корма за 40 секунд, а Мурка такую же миску корма съедает за 1 минуту. Утром к миске с кормом подошел Барсик и начал есть, а через 10 секунд к этой же миске прибежала Мурка и стала помогать Барсику. Спустя 10 секунд после этого Мурка прогнала Барсика и продолжила доедать корм одна. Определите, за какое время была съедена миска корма? Ответ дайте в секундах.
Ответ: 40
Скрыть
Пусть скорость поедания Барсиком V1 , а Муркой V2. Учтем, что 40 секунд = 2/3 минуты, а всю миску примем за 1. Тогда V1=1/(2/3)=1,5 миски/минута, а V2=1/1=1 миски/минуты. Барсик ел 10 секунд, то есть 1/6 минуты один, потом столько же с Муркой, следовательно на пару они съели: $$ 1.5*frac{1}{6}+left(1.5+1right)*frac{1}{6}=frac{2}{3} $$миски Оставшуюся часть Мурка ела одна и затратила на это $$ frac{1-frac{2}{3}}{1}=frac{1}{3} $$ минуты , то есть 20 секунд Следовательно, общее время: 10 + 10 + 20 = 40 секунд
Задание 1294
Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
Ответ: 3
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Время работы второй бригады будет равно 12 * 0,75 = 9 дней. Пусть все поле равно 1. Тогда ежедневно первая бригада убирает 1/12 этого поля, а вторая 1/9. Тогда, если они работали вместе x дней: $$5 * frac{1}{12} + x (frac{1}{12} + frac{1}{9} )= 1$$ $$x (frac{3}{36} + frac{4}{36}) = frac{7}{12}$$ $$x * frac {7}{36} = frac{7}{12}$$ $$x = 3$$
Задание 2496
Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Ответ: 27
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть у- часть резервуара, которую заполняет первая труба за минуту, х — 2ая труба.1 — объем.
$$left{begin{matrix}frac{1}{y}-frac{1}{x}=27\frac{1}{x+y}=18end{matrix}right.$$
$$left{begin{matrix}frac{1}{y}-frac{18}{1-18y}=27\x=frac{1}{18}-y=frac{1-18y}{18}end{matrix}right.$$
$$frac{1-18y-18y}{y-18y^{2}}=27$$
$$1-36y=27y-486y^{2}$$
$$486y^{2}-63y+1=0$$
$$D=3969-1944=2025=45^{2}$$
$$y_{1}=frac{63+45}{486cdot 2}=frac{1}{9}$$ $$Rightarrow$$ $$x_{1}=frac{1-18cdot frac{1}{9}}{18}< 0$$
$$y_{2}=frac{63-45}{486cdot 2}=frac{9}{486}=frac{1}{54}$$ $$Rightarrow$$ $$x_{2}=frac{1-18cdot frac{1}{54}}{18}=frac{frac{2}{3}}{18}=frac{1}{27}$$
Задание 2864
На направление «Фундаментальная и прикладная лингвистика» от выпускников лицеев подано на 600 заявлений больше, чем от выпускников гимназий. Девушек среди выпускников лицеев в 5 раз больше, чем девушек среди выпускников гимназий. А юношей среди выпускников лицеев больше, чем юношей среди выпускников гимназий в n раз, причем 6 < n < 12 (n ‐ целое число). Определить общее количество заявлений, если среди выпускников гимназий юношей на 20 больше, чем девушек.
Ответ: 832
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
| Всего | Девушки | Юноши | |
| Лицеи: | х+600 | 5у | n(x-y) |
| Гимназии: | x | y | x-y |
$$6< n< 12$$
$$x-y-y=20$$ $$Rightarrow x-2y=20Rightarrow x=20+2y$$
$$5y+n(x-y)=x+600$$
$$5y+n(20+2y-y=20+2y+600$$
$$5y+20n+ny-20-2y-600=0$$
$$3y+ny=620-20n$$
$$y=frac{620-20n}{3+n}$$
n принадлежит промежутку от 6 до 12 и является натуральными числом, при этом у тоже число натуральное. Подставим все числа из промежутка от 6 до 12 (без 6 и 12) в полученное выражение и проверим, где у получается натуральным. А получается при n=7, y=48. Тогда x=20+2*48=116 и всего учеников: x+x+600=116+116+600=832
Задание 3156
На изготовление 33 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 77 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?
Ответ: 7
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть х — количество деталей, которое делает второй за час, тогда х+4 — количество, которое делает первый. Время изготовления заказа вычисляется как отношение объема к производительности, то есть, так как разница в времени равна 8 часам: $$frac{77}{x}-frac{33}{x+4}=8$$ $$77(frac{7x+28}{x(x+4)}-frac{3x}{x(x+4)})-frac{8x^{2}+32x}{x(x+4)}=0$$ $$44x+308-8x^{2}-32x=0$$ $$2x^{2}-3x-77=0$$ $$x_{1}=7 , x_{2}$$ — меньше нуля. Поэтому ответ 7 деталей в час
Задание 3422
Двое рабочих получили задание сделать 72 детали. Первый рабочий сделал за 3 часа часть задания, а затем второй рабочий сделал за 4 часа оставшуюся часть задания. Сколько деталей делает за час первый рабочий, если 18 деталей он сделает на полчаса быстрее, чем второй рабочий?
Ответ: 12
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть х -количество дет/час 1ым
у — 2ым
$$frac{18}{y}-frac{18}{x}=frac{1}{2}$$ $$Leftrightarrow$$
$$frac{1}{y}-frac{1}{x}=frac{1}{36}$$
$$frac{1}{y}=frac{1}{36}+frac{1}{x}=frac{x+36}{36x}$$ $$Leftrightarrow$$
$$frac{72-3x}{frac{36x}{x+36}}=4$$
$$(72-3x)(x+36)=4cdot36x$$
$$72x+72cdot36-3x^{2}-108x-144x=0$$
$$-3x^{2}-180x+72cdot36=0$$
$$x^{2}+60x-864=0$$
$$D=3600+3456=7056=84^{2}$$
$$x_{1}=frac{-60+84}{2}=12$$
Задание 5101
Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если ко времени, за которое выполнит всю работу первый рабочий, прибавить время, за которое выполнит всю работу второй рабочий, получится 12 часов. За сколько часов выполнит работу первый рабочий, если разность времени первого и второго рабочих в полтора раза больше времени, за которую выполнят всю работу оба рабочих, работая совместно?
Ответ: 8
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть x-производительность первого, y-второго , объем работы 1. Тогда :
$$frac{1}{x}+frac{1}{y}=12$$ — к времени первого прибавим время второго,
$$(frac{1}{x}-frac{1}{y})=1,5*frac{1}{x+y}$$ — разность времени больше в 1,5 раза. Тогда :
$$left{begin{matrix}frac{1}{x}+frac{1}{y}=12\frac{1}{x}-frac{1}{y}=frac{3}{2(x+y)}end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}frac{y+x}{xy}=12\frac{y-x}{xy}=frac{3}{2(x+y)}end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}xy=frac{y+x}{12} (1)\frac{2(y-x)}{2xy}=frac{3}{2(x+y)}(2)end{matrix}right.$$
Подставим из (1) в (2):
$$frac{2(y-x)*12}{2(x+y)}=frac{3}{2(x+y)}Leftrightarrow$$ $$24(y-x)=3Leftrightarrow$$ $$y-x=frac{1}{8}Leftrightarrow$$ $$y=frac{8x+1}{8}$$
Подставим в (1) : $$frac{8x+1}{8}*x=frac{frac{8x+1}{8}+x}{12}Leftrightarrow$$ $$frac{8x^{2}+x}{8}=frac{8x+8x+1}{8*12}|*(8*12)Leftrightarrow$$ $$12(8x^{2}+x)=16x+1Leftrightarrow$$$$96x^{2}+12x-16x-1=0Leftrightarrow$$ $$96x^{2}-4x-1=0$$
$$D=16+384=400$$
$$x_{1}=frac{4+20}{2*96}=frac{1}{8}Rightarrow$$ $$t_{x}=1:frac{1}{8}=8$$
$$x_{2}=frac{4-20}{2*96}<0$$
Задание 6275
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй – 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Ответ: 16
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть x-производительность одного рабочего, 1-объем работы, y- количество дней работы после перехода: $$left{begin{matrix}21x*10+9x*y=1|*8 & & \12x*10+24xy=1 |*3end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}1680x+72xy=8\360x+72xy=3end{matrix}right.$$ Вычтем из первого уравнения второе $$1320x=5$$ $$x=frac{5}{1320}=frac{1}{164}$$ $$120*frac{1}{264}+frac{24}{264}y=1$$ $$frac{y}{11}=frac{144}{264}=frac{6}{11}$$ $$y=6$$ Общее количество дней 10+6=16
Задание 6519
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Ответ: 24
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть x- кол-во вопросов в тесте. Тогда : время Пети : $$t_{2}=frac{x}{8}$$; Вани : $$t_{2}=frac{x}{9}$$. При этом $$t_{1}-t_{2}=20$$ минут $$=frac{1}{3}$$ часа.
$$frac{x}{8}-frac{x}{9}=frac{1}{3}Leftrightarrow$$ $$frac{9x-8x}{8*9}=frac{1}{3}Leftrightarrow$$ $$frac{x}{8*9}=frac{1}{3}Leftrightarrow$$ $$x=frac{8*9}{3}=24$$ вопроса
Задание 6755
Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
Ответ: 8
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть x — производительность Игоря, y — Паши, z — Володи(в частях забора в час) . Весь забор примем за 1.
$$left{begin{matrix}frac{1}{x+y}=9\frac{1}{y+z}=12\frac{1}{x+z}=18end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x+y=frac{1}{9}\y+z=frac{1}{12}\x+z=frac{1}{18}end{matrix}right.$$
Сложим уравнения:
$$2(x+y+z)=frac{1}{9}+frac{1}{12}+frac{1}{18}=frac{9}{36}=frac{1}{4}Leftrightarrow$$ $$x+y+z=frac{1}{8}Leftrightarrow$$ $$frac{1}{x+y+z}=8$$ часов
Задание 7360
Бригада, состоящая из двух рабочих 4‐го разряда и трёх рабочих 5‐го разряда, выполняет работу за два часа. Если к этой бригаде добавить ещё двух рабочих 4‐го разряда, то работа будет выполнена за полтора часа. Сколько рабочих 4‐го разряда нужно добавить к этой бригаде, чтобы работа была выполнена за 1 час?
Ответ: 6
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8340
На взлом пароля из 7 букв у компьютера на базе 80286 уходит 11 суток. На взлом этого же пароля у компьютера на базе Core7 уходит 11 минут. Если над взломом работают несколько компьютеров, производительность такой системы на четверть больше суммы производительностей отдельных компьютеров. Сколько компьютеров на базе 80286 должны ломать один пароль вместе, чтобы сломать его за то же время, что и один Core7?
Ответ: 1152
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8695
Первая труба наполняет резервуар на 54 минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 36 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Ответ: 54
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8715
Плиточник должен уложить 120 м2 плитки. Если он будет укладывать на 8 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 4 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Ответ: 12
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 9062
На изготовление 33 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 77 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?
Ответ:
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
19. Задачи на теорию чисел
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Задание
1
#2217
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 2 общих члена?
Например, прогрессия (-1, 1, 3, 5, …)
и прогрессия (1, -1, -3, -5, …).
Ответ:
Да
Задание
2
#2219
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.
(S_{19} = dfrac{a_{19} + a_1}{2}cdot 19).
(a_{10} = a_1 + 9d_a).
(a_{19} = a_1 + 18d_a), тогда (a_{19} + a_1 = 2a_1 + 18d_a = 2cdot(a_1 + 9d_a) = 2cdot a_{10}), тогда (S_{19} = a_{10}cdot 19 = 19000).
Ответ:
(19000)
Задание
3
#2263
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены – целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии – рациональное число?
В качестве контрпримера достаточно взять прогрессию [1,, sqrt{2},, 2,, 2sqrt{2},,dots]
Ответ:
Нет
Задание
4
#2218
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?
Например, прогрессия (-2015, -2013, -2011, -2009, …)
и прогрессия (-17, -19, -21, -23, …).
В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид (a_n = -2017 + 2n), а общий член второй последовательности имеет вид (b_n = -15 — 2n).
Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения (a_k = b_m) в натуральных числах.
[-2017 + 2k = -15 — 2mqquadLeftrightarrowqquad m + k = 1001qquadLeftrightarrowqquad m = 1001 — k.]
Таким образом, (m, kinmathbb{N}) тогда и только тогда, когда (kin{1; 2; …; 1000}), то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.
Ответ:
Да
Задание
5
#2220
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих члена?
Пусть первая прогрессия имеет вид (a_1, …, a_n, …),
пусть вторая прогрессия имеет вид (b_1, …, b_n, …).
(bullet) Рассмотрим сначала случай, когда разности (d_a) и (d_b) прогрессий отличны от (0).
Пусть существуют пары натуральных чисел ((k_1; m_1)) и ((k_2; m_2)) такие что (a_{k_1} = b_{m_1}) и (a_{k_2} = b_{m_2}). Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что (k_1 < k_2), (m_1 < m_2).
Тогда
[a_{k_1} + d_a(k_2 — k_1) = a_{k_2} = b_{m_2} = b_{m_1} + d_b(m_2 — m_1),]
но (a_{k_1} = b_{m_1}), следовательно,
[d_a(k_2 — k_1) = d_b(m_2 — m_1)qquadRightarrowqquad d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1).]
Так как (k_2 > k_1 > 0), то (2k_2 — k_1 > 0), тогда ((2k_2 — k_1)inmathbb{N}) и существует [a_{2k_2 — k_1} = a_{k_1} + d_a((2k_2 — k_1) — k_1) = a_{k_1} + d_acdot 2(k_2 — k_1).] Так как (m_2 > m_1 > 0), то (2m_2 — m_1 > 0), тогда ((2m_2 — m_1)inmathbb{N}) и существует [b_{2m_2 — m_1} = b_{m_1} + d_b((2m_2 — m_1) — m_1) = b_{m_1} + d_bcdot 2(m_2 — m_1).]
Но (d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1)), следовательно, [a_{2k_2 — k_1} = b_{2m_2 — m_1},] то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).
(bullet) Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей (d_a) и (d_b) равна (0).
Пусть (d_a = 0), (d_bneq 0), тогда (d_b > 0) (последовательности из положительных чисел), тогда (b_1, …, b_n, …) – возрастает, а (a_1, …, a_n, …) – постоянна, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.
Пусть (d_a = 0), (d_b = 0), тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) не может быть ровно двух решений.
В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.
Ответ:
Нет
Задание
6
#2221
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Известно, что в последовательности (a_1, …, a_n, …) каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов последовательности. Также известно, что (a_{50} = 100), (S_{199} = pi). Найдите сумму ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}).
Покажем, что последовательность (a_1, …, a_n, …) – арифметическая прогрессия.
Введём обозначение (d = a_2 — a_1), тогда [a_1 + d = a_2 = dfrac{a_1 + a_3}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + d) = a_1 + a_3qquadRightarrowqquad a_3 = a_1 + 2d.]
Докажем при помощи полной индукции, что (a_{n + 1} = a_n + d):
1) При (n = 1) имеем (a_2 = a_1 + d) – верно.
2) Пусть утверждение верно для всех (n leq N), покажем, что тогда оно верно и для (n = N + 1):
[a_1 + (N — 1)d = a_N = dfrac{a_{N + 1} + a_{N — 1}}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + (N — 1)d) = a_{N + 1} + a_{N — 1},]
откуда [a_{N + 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — a_{N — 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — (a_1 + (N — 2)d) = a_1 + Nd,] что и требовалось доказать.
Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}), есть [a_{99 + 1} + … + a_{99 + 100} = a_{100} + … + a_{199} = S_{199} — S_{99} = pi — S_{99}.]
(S_{99} = dfrac{a_1 + a_{99}}{2}cdot 99).
(a_{50} = a_1 + 49d),
(a_{99} = a_1 + 98d),
следовательно, [a_{99} + a_1 = 2a_1 + 98d = 2(a_1 + 49d) = 2cdot a_{50},] тогда (S_{99} = a_{50}cdot 99 = 9900).
В итоге (a_{100} + … + a_{199} = pi — 9900).
Ответ:
(pi — 9900)
Задание
7
#2264
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Найдите сумму (7 + 77 + 777 + … + 777…7), где запись последнего числа содержит (2n) семёрок.
Данную сумму можно переписать в виде [7(1 + 11 + 111 + … + 111…1),,] где запись последнего числа в скобках содержит (2n) единиц.
Последнюю сумму можно переписать в виде
[begin{aligned}
&7Bigl(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + … + (100…0 + … + 1)Bigr) =\
= &7Bigl(10^0cdot 2n + 10^1cdot (2n — 1) + 10^2cdot (2n — 2) + … + 10^{2n — 1}cdot 1Bigr) =\
= &7Bigl((1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1}) + (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 2}) + … + (1 + 10) + 1)Bigr)
end{aligned}]
Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1} = dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1}), тогда последнее выражение равно
[begin{aligned}
&7left(dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1} + dfrac{10^{2n — 1} — 1}{10 — 1} + … + dfrac{10^{2} — 1}{10 — 1} + dfrac{10 — 1}{10 — 1}right) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl((10^{2n} — 1) + (10^{2n — 1} — 1) + … + (10^{2} — 1) + (10 — 1)Bigr) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl(10^{2n} + 10^{2n — 1} + … + 10^{2} + 10 — 2nBigr) = dfrac{7}{9}left(dfrac{10cdot (10^{2n} — 1)}{10 — 1} — 2nright) =\
= &dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n
end{aligned}]
Ответ:
(dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n)
Многие ученики при сдаче ЕГЭ по математике сталкиваются с трудностями в решении задач на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Такие задания встречаются в бланках довольно часто, поэтому им стоит уделить особое внимание. Наш портал поможет вам узнать, как быстро найти правильный ответ. Вы можете ознакомиться с примерами, предназначенными для учеников разного уровня подготовки.
«Школково» ― залог успешной сдачи заключительного тестирования
На нашем образовательном портале вы найдете материалы, необходимые для легкого прохождения Единого государственного экзамена. Благодаря преподавателям «Школково» на сайте собрана и систематизирована вся информация по тематическим рубрикам. Они изложили материал в наиболее простой и понятной форме, поэтому после повторения формул и правил выпускники смогут быстро выполнить задания на нахождение суммы и разности в арифметической и геометрической прогрессии даже повышенного уровня сложности.
Мы предлагаем наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации. Для эффективности занятий рекомендуем начинать с более простых упражнений и постепенно переходить к сложным. Таким образом вы можете определить свои слабые стороны и уделить больше внимания заданиям на нахождение чисел, чтобы улучшить навыки и увеличить скорость их решения.
Прочитайте данный материал в разделе «Теоретическая справка», изучите условия и потренируйтесь в выполнении типовых задач. После этого вы можете переходить в раздел «Каталоги», где представлено множество примеров различного уровня сложности.
Если у школьника возникнут сложности с решениями упражнений с общими членами, он может добавить их в «Избранное» и вернуться к ним позже, повторив формулы арифметической прогрессии или заручившись помощью преподавателя.
База заданий «Школково» постоянно обновляется и дополняется, поэтому вы каждый день можете выполнять новые задачи. Чтобы занятия давали еще большую результативность, советуем обращаться к нашему сайту ежедневно.
Не откладывайте подготовку к ЕГЭ на потом. Начните заниматься вместе со «Школково» уже сегодня!
Обратите внимание, что на нашем портале могут попробовать свои силы в выполнении разных задач все желающие. Для того чтобы начать повторение материалов и решать уравнения с арифметической и геометрической прогрессией, зарегистрируйтесь на официальном сайте shkolkovo.net.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ