Задачи на прогрессию 11 класс егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментария 2

ЕГЭ Профиль №11. Задачи на прогрессииadmin2018-08-14T13:36:58+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число  называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: 

Сумма первых  членов арифметической прогрессии  вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее  арифметическое соседних:

1. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?

По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.

2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.

3 марта он добавляет еще 30 рублей,

4 марта 40 рублей,

5 марта 50 рублей.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией.

В нашей прогрессии  В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит,

31 мая Максим положит в копилку  рублей.

Всего в копилке в этот день будет  рублей.

Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-ного члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.

2. (Задача ЕГЭ) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть улитка проползла в первый день  метров, в последний –  метров, причем  . Тогда за n дней она преодолела   метров. Отсюда

Ответ: 30

3. (Задача ЕГЭ) Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней

Это обычная задача на арифметическую прогрессию. В первый день Вася решил  задач, в последний  задач. Запишем формулу для суммы арифметической прогрессии: . Отсюда 

4. (Задача ЕГЭ) Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

В первый день бригада покрасила  метров забора, во второй  метров, в последний   метров.

По формуле суммы арифметической прогрессии: .  По условию,  . Отсюда n = 4.

5. (Задача ОГЭ) Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: -4; -2; 0… Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

Найдем d – разность арифметической прогрессии.

Найдем сумму первых 10 членов прогрессии по формуле:

У нас n = 10.

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

1. Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.

1. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

1. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Ответы к задачам:

1. Ответ: 18
2. Ответ: 15
3. Ответ: 18
4. Ответ: 22.

Задачи по теме «Прогрессии». Самостоятельная
работа.

1.      Бри­га­да ма­ля­ров кра­сит забор дли­ной
540 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму по­крас­ки на одно и то же
число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний день в сумме бри­га­да
по­кра­си­ла 120 мет­ров за­бо­ра. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней бри­га­да
ма­ля­ров кра­си­ла весь забор.

2.      Ра­бо­чие про­кла­ды­ва­ют тон­нель дли­ной
27 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму про­клад­ки на одно и то же
число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый день ра­бо­чие про­ло­жи­ли
8 мет­ров тун­не­ля. Опре­де­ли­те, сколь­ко мет­ров тун­не­ля про­ло­жи­ли
ра­бо­чие в по­след­ний день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за
3 дня.

3.      Саше надо ре­шить 119 задач. Еже­днев­но он
ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим
днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Саша решил 11 задач. Опре­де­ли­те,
сколь­ко задач решил Саша в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся
за 7 дней.

4.      Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый
день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние.
Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 11 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те,
сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за седь­мой день, если весь путь он про­шел
за 10 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 245 ки­ло­мет­ров.

5.      Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой
133 тонны, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же
число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 3 тонны
щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но на де­ся­тый
день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 14 дней.

6.      Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го.
Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в
преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла
в общей слож­но­сти 14 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла
на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 49 мет­рам.

7.      Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый
день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние.
Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 8 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те,
сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за тре­тий день, если весь путь он про­шел
за 6 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 93 ки­ло­мет­ра.

8.      Кате надо под­пи­сать 799 от­кры­ток. Еже­днев­но
она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию
с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Катя под­пи­са­ла
15 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за
седь­мой день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 17 дней.

9.      Биз­не­смен Пря­ниш­ни­ков по­лу­чил в 2000 году
при­быль в раз­ме­ре 1300000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль
уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей
за­ра­бо­тал Пря­ниш­ни­ков за 2004 год?

10.  Биз­не­смен Бул­кин по­лу­чил в 2000 году при­быль
в раз­ме­ре 900000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась
на 16% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Бул­кин
за 2002 год?

11.  Ком­па­ния «Альфа» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать
сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре
3500 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль,
ко­то­рая со­став­ля­ла 100% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния
«Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2005
году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 5500 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2006 года, еже­год­но
по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года.
На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла
дру­гой к концу 2008 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

12.  Ком­па­ния «Альфа» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать
сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре
4000 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль,
ко­то­рая со­став­ля­ла 100% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния
«Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2005
году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 6000 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2006 года, еже­год­но
по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 300% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года.
На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла
дру­гой к концу 2009 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

Геометрическая прогрессия. Задачи на прогрессии и последовательности.

В этой статье рассмотрены задачи на геометрические прогрессии, и последовательности, которые нельзя отнести ни к арифметическим, ни  к геометрическим прогрессиям.

Сначала вспомним, что мы знаем о последовательностях.

Последовательность — это ряд чисел, который подчиняется определенному правилу. Если каждое последующее больше (или же меньше) предыдущего на определенное число, то это арифметическая прогрессия. Если числа отличаются во сколько-то раз, то такой ряд — геометрическая прогрессия. Если правило получения последующих членов ряда сложнее — то это просто последовательность.

Числа в геометрической прогрессии можно получить умножением (или делением) на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии обозначают обычно буквой b с индексом, указывающим на номер элемента в ряду. А знаменатель обозначают буквой q. Тогда, зная первый член прогрессии и знаменатель, можно найти n-ный член:

Сумму нескольких членов прогрессии можно найти по формуле:

Или еще можно использовать такую:

Свойства:

Ну, к бою! Решаем задачи.

1. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  за­да­на усло­ви­я­ми:, . Най­ди­те .

Сначала определим знаменатель прогрессии:

Теперь можем определить и восьмой член: 

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них — геометрическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г).

Нужно выбрать последовательность, в которой каждое последующее число больше или меньше предыдущего в определенное количество раз. Из всех представленных последовательностей только во второй каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Именно она и является геометрической прогрессией. Такая закономерность более не наблюдается ни в одной из представленных последовательностей, поэтому ответ: б).

3. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а . Най­ди­те сумму пер­вых шести её чле­нов.

Воспользуемся формулой суммы:

Ответ: 47,25

4. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 40, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 120. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

Дано следующее:

;  

Запишем условие, применяя формулу n-ного члена:

Во втором уравнении вынесем за скобку :

Оказывается, можно заменить выражение в скобках, воспользовавшись первым уравнением, и это позволит найти знаменатель прогрессии:

Тогда из первого уравнения , . Отсюда легко найти остальные члены: , .

Ответ: 10, 30, 90.

5. Биз­не­смен Руб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 50000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 200% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Руб­ли­ков за 2003 год?

С первого прочтения может быть не ясно сразу, что эта задача — на геометрическую прогрессию. Увидев слова «на 200%» некоторые могут ошибиться, подумав, что тут надо применять формулы арифметической прогрессии. Давайте разберемся, что же означает это условие задачи. Если бы прибыль бизнесмена выросла на 100 %, то это значило бы, что он получил столько, сколько в прошлом году, да еще столько же — то есть в два раза больше. Прибыль увеличилась на 200 % — значит, бизнесмен заработал столько же, сколько в прошлом году, да еще в 2 раза больше — то есть всего в три раза больше! А на следующий год — еще в три раза,  вот и вырисовывается геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Первый ее член: . Всего бизнесмен трудился три года, поэтому искомое — :

— был Рубликов —  стал Миллиончиков!

Рассмотрим теперь задачи на последовательности.

6. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой  . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)6                       б)16                 в)9              г)19

Чтобы выяснить, является ли какое-либо из чисел членом данной последовательности, нужно идти от обратного: подставить данное число в формулу и посмотреть, будут ли у полученного уравнения целые корни. Уравнение простое, решается устно. При вычитании 3 из 6, 16 и 9 квадрата целого числа не получится, а вот если вычесть 3 из 19 — получится 16, это и есть решение.

Ответ: 16

7. Последовательность задана формулой: . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

Можно перефразировать задачу: сколько членов данной последовательности удовлетворяют неравенству ? Поскольку неравенство строгое, то число 2 ему не удовлетворяет, поэтому знаменатель должен быть меньше 6. Решаем неравенство:

Получили n=4.

Можно было и сразу решать неравенство: .

1 комментарий