Задачи на прогрессию егэ профильная математика

Пусть бригада в первый день покрасила а₁ метров забора, во второй – а₂, …, в последний – а_n метров забора. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 60,)  а  ({S_n} = 240.)  Тогда:  (240 = frac{{60}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,30n = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 8.)  Следовательно, бригада покрасит забор за 8 дней.

Ответ: 8.

Пусть рабочие в первый день прокладывают а₁ метров тоннеля, во второй – а₂, …, в последний десятый день – а₁₀ метров тоннеля. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 3,)  а  ({S_{10}} = 500.)  Тогда:  (500 = frac{{3 + {a_{10}}}}{2} cdot 10,,,, Leftrightarrow ,,,,,3 + {a_{10}} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{10}} = 97.)  Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.

Пусть в первый день Вася решил а₁ задач, во второй – а₂, …, в последний четырнадцатый день – а₁₄ задач. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 5,)  а  ({S_{14}} = 490.)  Тогда:  (490 = frac{{5 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,5 + {a_{14}} = 70,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 65.)  Следовательно, в последний день Вася решил 65 задач.

Ответ: 65.

Пусть в первый день турист прошёл а₁ км, во второй – а₂, …, в последний шестой день – а₆ км. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_6} = 120.)  Тогда:  (120 = frac{{10 + {a_6}}}{2} cdot 6,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_6} = 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_6} = 30.)  Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_6} = {a_1} + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30 = 10 + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 cdot 4 = 18.) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км.

Ответ: 18.

Пусть в первый день грузовик перевёз а₁ тонн, во второй – а₂, …, в последний четырнадцатый день – а₁₄ тонн. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 2,)  а  ({S_{14}} = 210.)  Тогда:  (210 = frac{{2 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,2 + {a_{14}} = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 28.)  Следовательно, в последний день грузовик перевёз 28 тонн. Чтобы определить, сколько грузовик перевёз за девятый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько тонн грузовик перевёз в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{14}} = {a_1} + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28 = 2 + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 2)   и   ({a_9} = {a_1} + 8d = 2 + 8 cdot 2 = 18.) Следовательно, за девятый день грузовик перевёз 18 тонн.

Ответ: 18.

Пусть в первый день улитка проползла а₁ метров, во второй – а₂, …, в последний день – а_n метров. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 10,)  а  ({S_n} = 150.)  Тогда:  (150 = frac{{10}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,5n = 150,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 30.)  Следовательно, на весь путь улитка потратила 30 дней.

Ответ: 30.

Пусть в первый день Вера подписала а₁ открыток, во второй – а₂, …, в последний шестнадцатый день – а₁₆ открыток. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_{16}} = 640.)  Тогда:  (640 = frac{{10 + {a_{16}}}}{2} cdot 16,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_{16}} = 80,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{16}} = 70.)  Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{16}} = {a_1} + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,70 = 10 + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 cdot 4 = 22.) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки.

Ответ: 5.

Так как прибыль каждый год увеличивалась на 300%, то она становилась 400% от прибыли предыдущего года. Поэтому в 2001 году прибыль составила:  (5,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 20,,000) рублей;  2002 году (20,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 80,,000) рублей;  в 2003 году  (80,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 320,,000) рублей.

Ответ: 320 000.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял:  (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000)  долларов;  в 2003 году  (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000)  долларов; в 2004 году  (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000)  долларов; в 2005 году  (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000)  долларов; в 2006 году  (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000)  долларов. 

Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял:  (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000)  долларов;  в 2005 году  (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000)  долларов; в 2006 году  (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000)  долларов.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Ответ:  35000.