Задачи на прямоугольный треугольник егэ профиль

Каталог заданий.
Решение прямоугольного треугольника


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Тип 1 № 27238

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8, синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите AB.

Аналоги к заданию № 27238: 4583 19737 635953 4584 4585 4586 4587 4588 4589 4590 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

2

Тип 1 № 27239

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 2, синус A = дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 17 конец дроби . Найдите  BC.

Аналоги к заданию № 27239: 4651 4787 4653 4655 4657 4659 4661 4663 4665 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

3

Тип 1 № 27240

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС  =  4, косинус A = 0,5. Найдите АВ.

Аналоги к заданию № 27240: 26095 29575 29579 500952 29538 29539 29540 29541 29542 29543 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

4

Тип 1 № 27242

В треугольнике ABC угол C равен 90°, тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби , АС  =  4. Найдите АВ.

Аналоги к заданию № 27242: 29651 29747 530665 530685 29650 29652 29653 29654 29655 29656 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

5

Тип 1 № 27243

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС  =  8, тангенс A = 0,5. Найдите BC.

Аналоги к заданию № 27243: 29749 29791 29750 29751 29752 29753 29754 29755 29756 29757 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №6. Прямоугольный треугольник

ЕГЭ Профиль №6. Прямоугольный треугольникadmin2018-12-06T22:08:54+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы
Источник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. 

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$  для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = — 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Прямоугольный треугольник»

Открытый банк заданий по теме прямоугольный треугольник. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Производная и первообразная функции

Задание №893

Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, BC=8, tg A=0,4. Найдите AC.

Показать решение

Решение

tg A=frac{BC}{AC},

frac{8}{AC}=0,4,

AC=8:0,4=20.

Прямоугольный треугольник ABC

Ответ

20

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №296

Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, CH — высота, BH=7, sin A=frac13. Найдите AB.

Прямоугольный треугольник с высотой

Показать решение

Решение

По условию sin A=frac13. angle A=angle BCH, значит, sinangle BCH=frac13 и frac{BH}{BC}=frac13.

BC=3BH=3cdot7=21.

Высота CH проведена из вершины прямого угла triangle ABC, поэтому она делит его на два подобных треугольника CBH и ABC.

Из подобия frac{BH}{BC}=frac{BC}{BA}, BA=frac{BC^2}{BH}=frac{21^2}{7}=63.

Ответ

63

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №290

Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник

Условие

В треугольнике ABC:angle C=90^{circ}, CH — высота, BC=14,, sin A=0,7. Найдите BH.

Прямоугольный треугольник ABC с высотой CH

Показать решение

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC:angle A=90^{circ}-angle B,, sin A=sin(90^{circ}-angle B)=cos angle B=0,7.

В triangle BHC:cosangle B=frac{BH}{BC}, BH=BCcdotcos angle B=14cdot0,7=9,8.

Ответ

9,8

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №70

Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник

Условие

Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{circ}, AC = 12, cos A=frac{sqrt{51}}{10}. Найдите высоту CH.

Треугольник ABC

Показать решение

Решение

Рассмотрим треугольник ACH. Мы знаем, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, значит:

cos A = frac{AH}{AC}

AH=ACcdot cos A=12cdotfrac{sqrt{51}}{10}

Используя теорему Пифагора, найдем высоту CH:

CH^2=AC^2-AH^2=144-frac{144 cdot 51}{100}=frac{7056}{100}

CH=sqrt{frac{7056}{100}}=frac{84}{10}=8,4

Ответ

8,4

Задание №67

Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник

Условие

Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{circ}, cos A = 0,41. Найдите sin B.

Треугольник ABC

Показать решение

Решение

Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos A=frac{AC}{AB}.

Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, т.е. sin B=frac{AC}{AB}.

В силу данных утверждений, получаем, что sin B = cos A = 0,41

Ответ

0,41

Задание №65

Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник

Условие

Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{circ}, AC = 5, cos A = frac45. Найдите высоту CH.

Треугольник ABC

Показать решение

Решение

Рассмотрим треугольник ACH. Мы знаем, что косинус угла равен отношениею прилежащего катета к гипотенузе, значит:

cos A = frac{AH}{AC}

AH=ACcdot cos A=5cdotfrac{4}{5}=4

Используя теорему Пифагора, найдем высоту CH:

CH^2=AC^2-AH^2=25-16=9

CH=sqrt{9}=3

Ответ

3

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, BC = 15, tgA=0,75. Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

AC=frac{BC}{tgA}=frac{15}{0,75}=20.

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, , tgA=frac{9}{40}, , AC=20. Найдите AB.

По определению косинуса угла, cosA=frac{AC}{AB},AB=frac{AC}{{cos A}}.

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

{tg}^2angle { A+1=}frac{{ 1}}{{cos}^2angle { A}}.

Отсюда {cos}^2angle { A=}frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}angle {A=}frac{{ 40}}{{ 41}},AB=frac{20}{40}cdot 41=20,5.

Ответ: 20,5.

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен 122^circ . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен 122^circ. Тогда угол CBA равен 180^circ -122^circ =58^circ. Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^circ, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен 180^circ -58^circ -58^circ =64^circ.

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^circ. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, { S}vartriangle { =}frac{{1}}{{2}}{ a}cdot {b}cdot { sin}angle { C}. Получим:

S=frac{1}{2}cdot 10^2 cdot sin30^circ=25 см2.

Ответ: 25.

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^circ , угол B равен 58^circ, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

angle DCB=angle DBC=58^circ.

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^circ. Отсюда

angle ACD=90^circ -angle DCB=90^circ -58^circ =32^circ.

6. B остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65^circ. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^circ. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и angle DOC = 65^circ. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен 180^circ -65^circ =115^circ.

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^circ и 66^circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

angle MCH=angle C-angle ACM-angle BCH{ =90^circ -24^circ -}left({ 90^circ -66^circ }right){=42^circ }.

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^circ угол B равен 82^circ. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен 180^circ -60^circ -82^circ =38^circ.

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^circ и 19^circ.

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть 49^circ.

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен frac{1}{2}cdot (180^circ -x).

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

2x=frac{1}{2}cdot (180^circ -x).
Отсюда {x }= 36^circ.

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD  AB=3, AD=21, sinA=frac{6}{7}. Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

DH=ADsinA=21cdot frac{6}{7}=3cdot 6 =18.

Ответ: 18.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда S= a cdot h1 = b cdot h2, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна 40 : 5 = 8.

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b), его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен a^2 +b^2.

Получим: 2 (a+b) = 8, тогда a+b = 4,

ab = 3,5.

По формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Отсюда квадрат диагонали a^2+b^2=left ( a+b right )^2-2ab=4^2-2cdot 3,5 =16-7=9, и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, HG = EF = frac{5}{2}.

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны frac{5}{2}. Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен 4cdot frac{5}{2}=10.

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: AH=frac{AB-CD}{2}=frac{26-14}{2}=6.

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции DH=sqrt{AD^2-AH^2}=8.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=frac{left ( AB+CD right )cdot DH}{2}=160.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5.

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

OF=FC=frac{1}{2}DC,

OE=AE=frac{1}{2}AB.

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200^circ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это 360^circ. Из условия мы получим, что дуга ABC равна 360^circ - 200^circ = 160^circ. Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна 160^circ - 80^circ = 80^circ. Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 40^circ.

Ответ: 40.

19. Угол ACB равен. 3^circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124^circ. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен 124^circ, так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

angle DAC =62^circ - 3^circ =59^circ.

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32^circ. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^circ, и тогда угол ОBA равен 90^circ - 32^circ = 58^circ. Угол ОAB также равен 58^circ, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен 180^circ -58^circ cdot 2=64^circ.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна 64^circ.

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122^circ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна 360^circ, и тогда угол AОB равен 180^circ - 122^circ = 58^circ.

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна 58^circ.

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=pr=sqrt{pleft ( p-a right )left ( p-b right )left ( p-c right )}, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника S_{ABC}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=sqrt{16cdot 9}=12.

Тогда

r=frac{2cdot 12}{16}=frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна 3+ 3 = 6.

Периметр треугольника: p= 8 + 8 + 6 = 22.

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

Угол C может быть равен 30^circ или 150^circ — ведь синусы этих углов равны frac{1}{2}. Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен 30^circ.

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен 150^circ.

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в sqrt{2} раз больше катета. Получим:

newline r=frac{a+b-c}{2}=frac{2left(82+41sqrt{2}right)-sqrt{2}(82+41sqrt{2})}{2}= newline frac{164+82sqrt{2}-82sqrt{2}-82}{2}=frac{82}{2}=41.

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

AD+BC=AB+DC=10+16=26.
Тогда периметр четырехугольника равен AD+BC+AB+DC=26cdot 2=52.

Ответ: 52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен frac{1}{2}cdot left ( 145^circ + 71^circ right )=108^circ.

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^circ. Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, angle ABO=angle BAO=84^circ.

angle AOB=180^circ -angle ABO - angle BAO = 12^circ, , n=frac{360^circ}{angle AOB}=frac{360^circ}{12^circ}=30.

Ответ: 30.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на прямоугольный треугольник, использование тригонометрических функций. Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.

Использование тригонометрических функций

Прямоугольный треугольник

27238. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AC = 4,8, . Найдите AB.

27244. В треугольнике ABC угол C равен 90º, BC = 4, sin A = 0,5. Найдите AB.

27242. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AC = 4,  Найдите AB.

27240. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AC = 4, cos A = 0,5. Найдите AB.

27249. В треугольнике ABC угол C равен 90º, BC = 4, tg A = 0,5. Найдите AC.

27247. В треугольнике ABC угол C равен 90º, BC = 2,   Найдите AC.

27243. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AC = 8, tg A = 0,5. Найдите BC.

27250. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AC = 24, BC = 7. Найдите sin A.

27268. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BC = 3, Найдите AH.

27269. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BC = 8, sin A = 0,5. Найдите BH.

27270. В треугольнике ABC угол C равен 90º, BC = 5, . Найдите высоту CH.

27277. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, AC = 3, Найдите BH.

27336. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BC = 8, BH = 4. Найдите sin A.

27339. В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота CH равна 20, BC = 25. Найдите sin A.

27342. В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота CH равна 24, BH = 7. Найдите sin A.

27431. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BH = 12, sin A = 2/3. Найдите AB.

27271. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BC = 3, . Найдите AH.

27272. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BC = 5, cos A = 7/25. Найдите BH.

27273. В треугольнике ABC угол C равен 90º, BC = 8, cos A = 0,5. Найдите высоту CH.

27280. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, AC = 3, cos A =1/6. Найдите BH.

27337. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите cos A.

27340. В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота CH равна 4, BC = 8. Найдите cos A.

27343. В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота CH равна 7, BH = 24. Найдите cos A.

27432. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, AH = 12, cos A = 2/3. Найдите AB.

27265. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, AB = 13, tg A =1/5. Найдите AH.

27266. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, AB = 13, tg A = 5. Найдите BH.

27267. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AB = 13, tg A = 1/5. Найдите высоту CH.

27341. В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота CH равна 4, Найдите tg A.

27344. В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота CH равна 8, BH = 4. Найдите tg A.

27357. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, AH = 27, tg A = 2/3. Найдите BH.

27358. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, BH = 12, tg A = 2/3. Найдите AH.

27789. В треугольнике ABC угол C равен 90º, угол A равен 30º, Найдите высоту CH.

27790. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, угол A равен 30º, AB = 2. Найдите AH.

27791. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH — высота, угол A равен 30º, AB = 4. Найдите BH.

Источник

Задание 790

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC=4,8, $$sin A=frac{7}{25}$$. Най­ди­те AB.

Ответ: 5

Задание 791

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 2,  $$sin A=frac{sqrt{17}}{17}$$ . Най­ди­те BC.

Ответ: 0,5

Задание 793

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°,   $$tan A=frac{33}{4sqrt{33}}$$, АС = 4. Най­ди­те АВ.

Ответ: 7

Задание 795

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 24, BC = 7. Най­ди­те  sin A.

Ответ: 0,28

Задание 796

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та, AB = 13,  $$tan A=frac{1}{5}$$. Най­ди­те AH

Ответ: 12,5

Задание 797

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, СН — вы­со­та, AB = 13,  $$tan A=5$$. Най­ди­те ВН.

Ответ: 12,5

Задание 798

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AB = 13,  $$tan A=frac{1}{5}$$. Най­ди­те вы­со­ту CH.

Ответ: 2,5

Задание 799

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, CH — вы­со­та, BC = 3,  $$sin A=frac{1}{6}$$. Най­ди­те АН.

Ответ: 17,5

Задание 800

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH — вы­со­та, BC  = 8,  $$sin A=0,5$$. Най­ди­те BH.

Ответ: 4

Задание 801

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, BC = 5,  $$sin A=frac{7}{25}$$. Най­ди­те вы­со­ту СН.

Ответ: 4,8

Задание 802

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, СН — вы­со­та, BC = 3,  $$cos A=frac{sqrt{35}}{6}$$. Най­ди­те АН.

Ответ: 17,5

Задание 803

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, СН — вы­со­та, BC = 5 ,  $$cos A=frac{7}{25}$$. Най­ди­те ВН.

Ответ: 4.8

Задание 804

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, BC = 8,  $$cos A=0,5$$ . Най­ди­те СН.

Ответ: 4

Задание 805

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, BC = 8, BH = 4. Най­ди­те  sin A .

Ответ: 0,5

Задание 806

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та, AC = 3,  $$cos A=frac{1}{6}$$. Най­ди­те BH.

Ответ: 17,5

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Задачи на проценты формулы егэ
  • Задачи на проценты таблица егэ
  • Задачи на проценты растворов егэ
  • Задачи на проценты профильная математика егэ
  • Задачи на проценты подготовка к егэ