Задачи на путь скорость время егэ

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

  1. x на 5 больше y;
  2. x в пять раз больше y;
  3. z на 8 меньше, чем x;
  4. z меньше x в 3,5 раза;
  5. t_1 на 1 меньше, чем t_2;
  6. частное от деления a на b в полтора раза больше b;
  7. квадрат суммы x и y равен 7;
  8. x составляет 60 процентов от y;
  9. m больше n на 15 процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! :-)

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах 7 и 8. Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что «x на 5 больше y». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы :-)

Итак, правильные ответы:

  1. x=y+5.
    x больше, чем y. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
  2. x=5y.
    x больше, чем y, в пять раз. Значит, если y умножить на 5, получим x.
  3. z=x-5.
    z меньше, чем x. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
  4. z=x:3,5.
  5. t_1=t_2-1.
    t_1 меньше, чем t_2. Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
  6. a:b=1,5b.
  7. left( x+y right)^2=7.
    На всякий случай повторим терминологию:
    Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
    Разность — результат вычитания.
    Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
    Частное — результат деления чисел.
  8. x=0,6y.
    Мы помним, что 60%y = left( 60/100 right)cdot y=0,6y.
  9. m=1,15n.
    Если n принять за 100%, то m на 15 процентов больше, то есть m=115%n.

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

  1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S=v cdot t, то есть расстояние = скорость cdot время. Из этой формулы можно выразить скорость v=S/t или время t=s/v.
  2. В качестве переменной x удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

1. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за x? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна x+40.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость — она равна x и x+40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}. Для велосипедиста получим t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}, для автомобилиста t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}.
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

v t S
велосипедист x t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x} 50
автомобилист x+40 t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40} 50

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что t_1 на четыре больше, чем t_2, то есть t_2 + 4 = t_1.

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}+4=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}.

Решаем уравнение.

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x} - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40} = 4.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на x+4, вторую — на x.

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50left( x+40 right)-50x}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4;

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50x+2000 -50x}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4;

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2000}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4.

Разделим обе части нашего уравнения на 4. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 500}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=1.

Умножим обе части уравнения на xleft( x + 40 right). Получим:

xleft( x + 40 right)=500.

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

x^2+40x=500;

x^2+40x-500=0.

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида ax^2+bx+c=0. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле D=b^2-4ac, затем корни по формуле x_{1,2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle -b pm sqrt{D}}{displaystyle 2a}.

В нашем уравнении a=1, b=40, c=-500.

Найдем дискриминант D=1600+2000=3600 и корни:

x_1=10, x_2=-50.

Ясно, что x_2 не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10.

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x. Тогда его скорость на обратном пути равна x+3. Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — 70 километров. Осталось записать время. Поскольку t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}, на путь из A в B велосипедист затратит время t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}, а на обратный путь время t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}.

v t S
туда x t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x} 70
обратно x+3 t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3} 70

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из A в B. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

Значит, t_2 на три меньше, чем t_1. Получается уравнение:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}+3=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}.

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x} - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3} = 3.

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70left( x+3 right) - 70x}{displaystyle xleft( x+3 right)}=3;

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 210}{displaystyle xleft( x+3 right)}=3.

Разделим обе части уравнения на 3.

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle70}{displaystyle xleft( x+3 right)}=1.

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на xleft( x+3 right), раскроем скобки и соберем все в левой части.

x^2+3x-70=0.

Находим дискриминант. Он равен 9+4cdot 70=289.

Найдем корни уравнения:

x_1=7. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ x_2 = -10 не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна x.

Тогда скорость движения моторки по течению равна x+1, а скорость, с которой она движется против течения x-1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}, при движении против течения t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}, причем t_2 на два часа больше, чем t_1.

v t S
по течению x+1 t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1} 255
против течения x-1 t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1} 255

Условие «t_2 на два часа больше, чем «t_1» можно записать в виде:

t_1+2=t_2.

Составляем уравнение:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}+2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}

и решаем его:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}=2.

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255left( x+1 right)-255left( x-1 right)}{displaystyle left( x+1 right)left( x-1 right)}=2.

Раскрываем скобки:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 510}{displaystyle x^2-1}=2.

Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x^2-1}=1.

Умножаем обе части уравнения на x^2-1:

x^2-1=255;

x^2=256.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: x_1=16 и x_2=-16 (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за x скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15+x, скорость его движения против течения равна 15-x. Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}, время t_1 движения теплохода по течению равно genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}, которое теплоход затратил на движение против течения, равно genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}.

v t S
по течению x+15 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x} 200
против течения 15-x genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x} 200

В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит, t_1+t_2=30;

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}=30.

Прежде всего разделим обе части уравнения на 10. Оно станет проще!

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 20}{displaystyle 15+x}+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 20}{displaystyle 15-x}=3.

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 255-x^2, получаем квадратное уравнение x^2=25. Поскольку скорость течения положительна, получаем: x=5.

Ответ: 5.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт A в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна x. Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7+x, а против течения со скоростью 7-x.

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут =1genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3} часа.

v t S
по течению x+7 t_1 15
против течения 7-x t_2 15

t_1+t_2=4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}.

Возникает вопрос — какой из пунктов, A или B, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-)
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма t_1+t_2, равная genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7+x}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7-x}.

Итак, genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7+x}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7-x}=4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}.

Решим это уравнение. Число 4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3} в правой части представим в виде неправильной дроби: 4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 14}{displaystyle 3}.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

30 cdot 7=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 14}{displaystyle 3} cdot left( 49-x^2 right).

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на 14 и умножим на 3, оно станет значительно проще:

45=49-x^2;

x^2=4.

Поскольку скорость течения положительна, x=2.

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

2

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

3

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

5

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на движение»

Открытый банк заданий по теме задачи на движение. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1105

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути frac{21}{x+3}ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути frac{21}{x}ч. Разница во времени равна 10 мин = frac16часа.

Составим и решим уравнение: frac{21}{x}-frac{21}{x+3}=frac16,

6(21(x+3)-21x)=x(x+3),

x^2+3x-378=0,

x_1=18, x_2=-21.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

18

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1101

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 — x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — frac{160}{15-x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{160}{15-x}-frac{160}{15+x}=8,

frac{20}{15-x}-frac{20}{15+x}=1,

20(15+x-15+x)= (15-x)(15+x),

20cdot2x=225-x^2,

40x=225-x^2,

x^2+40x-225=0,

x_1=5, x_2=-45.

Скорость течения положительна, она равна 5 км/ч.

Ответ

5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1100

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго мотоциклиста через x км/ч, тогда по условию скорость первого мотоциклиста (x + 40) км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первым мотоциклистом, равно frac{171}{x+40} ч. Время, затраченное на прохождение всего пути вторым мотоциклистом, равно frac{171}{x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{171}{x}-frac{171}{x+40}=2,5,

171(x + 40) — 171x = 2,5x(x + 40),

171x+171cdot40-171x = 2,5x^2 + 100x,

2,5x^2+100x-171cdot40 =0,

x^2+40x-171cdot16=0,

x_1 = 36, x_2 = -76.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго мотоциклиста

36 км/ч.

Ответ

36

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1096

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Товарный поезд имеет длину 1100 метров. Какова длина пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минуты 6 секунд. Ответ дайте в метрах.

Показать решение

Решение

Скорость пассажирского поезда относительно товарного равна 80-50=30 (км/ч) = frac{30000}{60} (м/мин) =500 (м/мин). Обозначим длину пассажирского поезда через x метров, тогда пассажирский поезд пройдёт мимо товарного поезда расстояние, равное (1100 + x) метров, за 3 мин 6 сек (3 мин 6 сек = 3,1 мин).

Составим и решим уравнение:

frac{1100+x}{3,1}=500,

1100+x=500cdot3,1,

x=1550-1100,

x=450.

Длина пассажирского поезда 450 м.

Ответ

450

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1095

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо семафора за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Тогда время, за которое поезд проезжает мимо семафора, равно frac{x}{60}ч. По условию это 45 секунд, то есть frac{45}{3600}ч.

frac{x}{60}=frac{45}{3600},

x=frac{60cdot45}{3600},

x=0,75 (км).

Длина поезда равна 750 м.

Ответ

750

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1094

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна 150 метров, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Длина здания равна 150 метров, то есть 0,15 км. Путь, который поезд проехал мимо здания вокзала, равен (x+0,15) км. Время, за которое поезд проезжает мимо здания вокзала, равно frac{x+0,15}{63}ч. По условию это 1 минута (1 мин = frac{1}{60} часа).

оставим и решим уравнение: frac{x+0,15}{63}=frac{1}{60},

x=0,9 (км).

Длина поезда равна 900 м.

Ответ

900

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1093

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?

Показать решение

Решение

Обозначим время велосипедистов до встречи через x ч. Тогда первый велосипедист до встречи проедет 18x км, а второй велосипедист проедет до встречи 22x км.

Составим и решим уравнение:

8x + 22x = 88, 40x = 88, x = 2,2.

Велосипедисты встретятся через 2,2 часа.

Ответ

2,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №945

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость движения теплохода в воде без течения равна 15 км/ч. Стоянка длилась 7 часов. Найдите скорость течения реки, если в пункт отправления теплоход вернулся через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения через x км/ч, тогда скорость теплохода по течению реки равна (15+x) км/ч, скорость теплохода против течения (15-x) км/ч. Время движения теплохода равно 37-7=30 ч.

Составим и решим уравнение:

frac{221}{15+x}+frac{221}{15-x}=30,

221(15-x+15+x)=30(15-x)(15+x),

221=225-x^2,

x^2=4,

x_1=2,,x_2=-2.

Скорость течения положительна, она равна 2 км/ч.

Ответ

2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №944

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость велосипедиста на пути от A до B через x км/ч, x>0. Тогда его скорость на обратном пути будет (x+6) км/ч. Время, затраченное велосипедистом на путь от A до B, равно frac{288}{x}ч, время движения на обратном пути frac{288}{x+6}ч.

Составим и решим уравнение:

frac{288}{x}-frac{288}{x+6}=4,

288(x+6-x)=4x(x+6),

72cdot6=x^2+6x,

x^2+6x-432=0,

x_1=18,,x_2=-24.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

18

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №943

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из пункта A в пункт B одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт B обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость первой машины через x км/ч, путь от A до B s км, тогда путь от пункта A в пункт B она пройдёт за frac sxч. Половина пути пройдена второй машиной со скоростью 39 км/ч за frac{0,5s}{39}=frac{s}{78}ч. Скорость второй машины на второй половине пути равна (x+26) км/ч, таким образом, время, затраченное на вторую половину пути второй машиной, равно frac{0,5s}{x+26}ч.

Составим и решим уравнение:

frac sx=frac{s}{78}+frac{0,5s}{x+26},

frac 2x=frac{2}{78}+frac{1}{x+26},

frac 2x-frac{1}{39}-frac{1}{x+26}=0,

frac{2cdot39(x+26)-x(x+26)-39x}{39x(x+26)}=0,

78x+39cdot52-x^2-26x-39x=0,

x^2-13x-39cdot52=0,

x_1=52,,x_2=-39.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость первой машины 52 км/ч.

Ответ

52

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по прямой

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по прямойadmin2022-10-19T21:50:27+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по прямой

Задача 1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, тогда скорость второго на второй половине пути равна x + 16 км/ч. Возьмём расстояние между пунктами за 2 S  км.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Первый автомобиль x (frac{{2S}}{x}) 2 S
Второй автомобиль
(1 половина пути)		 24 (frac{S}{{24}}) S
Второй автомобиль
(2 половина пути)		 x + 16 (frac{S}{{x + 16}}) S

Автомобили были в пути одно и то же время. Следовательно:

(frac{S}{{24}} + frac{S}{{x + 16}} = frac{{2S}}{x},,left| {,:,S ne 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,} right.frac{1}{{24}} + frac{1}{{x + 16}} = frac{2}{x},,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{x + 16 + 24}}{{24left( {x + 16} right)}} = frac{2}{x},,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,xleft( {x + 40} right) = 48left( {x + 16} right),,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} — 8x — 768 = 0)

(D = 64 + 3072 = 3136;,,,,,{x_1} = frac{{8 + 56}}{2} = 32;,,,,{x_2} = frac{{8 — 56}}{2} =  — 24.)

Так как (x > 0), то скорость первого автомобиля равна 32 км/ч.

Ответ: 32.
Задача 2. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, тогда скорость второго на первой половине пути равна x – 13 км/ч. Возьмём расстояние между пунктами за 2 S  км.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Первый автомобиль x (frac{{2S}}{x}) 2 S
Второй автомобиль
(1 половина пути)		 x – 13 (frac{S}{{x — 13}}) S
Второй автомобиль
(2 половина пути)		 78 (frac{S}{{78}}) S

Автомобили были в пути одно и то же время. Следовательно:

(frac{S}{{x — 13}} + frac{S}{{78}} = frac{{2S}}{x},,left| {,:,S ne 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,} right.frac{1}{{x — 13}} + frac{1}{{78}} = frac{2}{x},,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{78 + x — 13}}{{78left( {x — 13} right)}} = frac{2}{x},,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,xleft( {x + 65} right) = 156left( {x — 13} right),,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} — 91x + 13 cdot 156 = 0)

(D = {91^2} — 4 cdot 13 cdot 156 = {13^2} cdot {7^2} — 4 cdot {13^2} cdot 12 = {13^2}left( {49 — 48} right) = {13^2};,,,,,{x_1} = frac{{91 + 13}}{2} = 52;,,,,{x_2} = frac{{91 — 13}}{2} = 39.)

Так как по условию задачи (x > 48), то скорость первого автомобиля равна 52 км/ч.

Ответ: 52.
Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобиля равна x + 40 км/ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Велосипедист x (frac{{75}}{x}) 75
Автомобилист x + 40 (frac{{75}}{{x + 40}}) 75

Так как, велосипедист прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста, то его время на 6 часов больше. Следовательно:

(frac{{75}}{x} — frac{{75}}{{x + 40}} = 6,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{75left( {x + 40} right) — 75x}}{{xleft( {x + 40} right)}} = 6,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{75 cdot 40}}{{xleft( {x + 40} right)}} = 6,,,, Leftrightarrow ,,,,6xleft( {x + 40} right) = 75 cdot 40,,left| {,:6,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,{x^2} + 40x — 500 = 0;,,,,D = 1600 + 2000 = 3600;,,,,{x_1} = frac{{ — 40 + 60}}{2} = 10;,,,,{x_2} = frac{{ — 40 — 60}}{2} =  — 50)

Так как (x > 0), то скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Ответ: 10.
Задача 4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста из В в А, тогда его скорость из А в В равна x – 3 км/ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)
({text{A}} to {text{B}}) (x — 3) (frac{{70}}{{x — 3}}) 70
({text{B}} to {text{A}}) (x) (frac{{70}}{x}) 70

Так как, на обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, то:

(frac{{70}}{{x — 3}} — frac{{70}}{x} = 3,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{70x — 70left( {x — 3} right)}}{{xleft( {x — 3} right)}} = 3,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{70 cdot 3}}{{xleft( {x — 3} right)}} = 3,,,, Leftrightarrow ,,,,3xleft( {x — 3} right) = 70 cdot 3,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,{x^2} — 3x — 70 = 0;,,,,D = 9 + 280 = 289;,,,,{x_1} = frac{{3 + 17}}{2} = 10;,,,,{x_2} = frac{{3 — 17}}{2} =  — 7)

Так как (x > 0), то скорость велосипедиста из В в А равна 10 км/ч.

Ответ: 10.
Задача 5. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста из А в В, тогда его скорость из В в А равна x + 7 км/ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)
({text{A}} to {text{B}}) (x) (frac{{98}}{x}) 98
({text{B}} to {text{A}}) (x + 7) (frac{{98}}{{x + 7}}) 98

Так как, на обратном пути велосипедист делал остановку на 7 часов и в результате затратил столько же времени, то:

(frac{{98}}{x} — frac{{98}}{{x + 7}} = 7,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{98left( {x + 7} right) — 98x}}{{xleft( {x + 7} right)}} = 7,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{98 cdot 7}}{{xleft( {x + 7} right)}} = 7,,,, Leftrightarrow ,,,,7xleft( {x + 7} right) = 98 cdot 7,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,{x^2} + 7x — 98 = 0;,,,,D = 49 + 392 = 441;,,,,{x_1} = frac{{ — 7 + 21}}{2} = 7;,,,,{x_2} = frac{{ — 7 — 21}}{2} =  — 14)

Так как (x > 0), то скорость велосипедиста из А в В равна 7 км/ч.

Ответ: 7.

Задача 6. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго велосипедиста x – 1 км/ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Первый велосипедист (x) (frac{{240}}{x}) 240
Второй велосипедист (x — 1) (frac{{240}}{{x — 1}}) 240

Так как первый велосипедист приехал на 1 час раньше второго, то его время на 1 час меньше. Следовательно:

(frac{{240}}{{x — 1}} — frac{{240}}{x} = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{240x — 240left( {x — 1} right)}}{{xleft( {x — 1} right)}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{240}}{{xleft( {x — 1} right)}} = 1,,,, Leftrightarrow ,,,,xleft( {x — 1} right) = 240,,, Leftrightarrow )( Leftrightarrow ,,,,,{x^2} — x — 240 = 0;,,,,,D = 1 + 4 cdot 240 = 961;,,,,,{x_1} = frac{{1 + 31}}{2} = 16;,,,,,{x_2} = frac{{1 — 31}}{2} =  — 15.)

Так как (x > 0), то скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, равна 16 км/ч.

Ответ: 16.
Задача 7. Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Пусть t ч – время движения автомобилей до встречи. Тогда первый автомобиль пройдет расстояние – 65t км, а второй – 75t км. Следовательно:

(65t + 75t = 560,,,, Leftrightarrow ,,,,140t = 560,,,, Leftrightarrow ,,,,t = 4).

Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4.
Задача 8. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Так как автомобили встретились на расстоянии 180 км от города В, то автомобиль, выехавший из города А, проехал расстояние (330 — 180 = 150) км за 3 часа. Следовательно, его скорость равна:

(V = frac{{150}}{3} = 50) км/ч.

Ответ: 50.
Задача 9. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Пусть t ч – время движения до встречи автомобиля, выехавшего из города А, тогда время второго автомобиля t – 1 ч. За t часов первый автомобиль проехал расстояние 60t км, а второй за t – 1 ч проехал 65(t – 1), а вместе до встречи они проехали 435 км. Следовательно:

(60t + 65left( {t — 1} right) = 435,,,,, Leftrightarrow ,,,,,60t + 65t — 65 = 435,,,,, Leftrightarrow ,,,,125,t = 500,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t = 4.)

Следовательно, первый проехал расстояние (60 cdot 4 = 240) км, и оно равно расстоянию от города А до встречи автомобилей.
Задача 10. Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите  скорость  первого  автомобиля,  если  автомобили  встретились  на  расстоянии  350  км  от  города  A.  Ответ  дайте  в  км/ч.

Автомобиль, выехавший из города В со скоростью 60 км/ч, проехал расстояние (470 — 350 = 120) км. Следовательно, он затратил на этот путь время равное: (frac{{120}}{{60}} = 2) часа. Тогда автомобиль, выехавший из города А, затратил на расстояние равное 350 км время равное: (2 + 3 = 5) часов. Поэтому его скорость равна: (frac{{350}}{5} = 70) км/ч.

Ответ: 70.
Задача 11. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Пусть время движения велосипедиста из В в А равно x ч, тогда время движения мотоциклиста из А в В равно x – 3 ч, при этом (x — 3 > 0), то есть (x > 3). Обозначим расстояние между городами за S км. Тогда скорость велосипедиста равна: (frac{S}{x}), а скорость мотоциклиста (frac{S}{{x — 3}}).

За время 48 минут ((frac{{48}}{{60}} = frac{4}{5}) ч) велосипедист проехал расстояние: (frac{4}{5} cdot frac{S}{x}) км, а мотоциклист: (frac{4}{5} cdot frac{S}{{x — 3}}) км, а вместе они преодолели расстояние равное S км. Следовательно:

(frac{4}{5} cdot frac{S}{x} + frac{4}{5} cdot frac{S}{{x — 3}} = S,,left| : right.,,S ne 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{4}{{5x}} + frac{4}{{5left( {x — 3} right)}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{4left( {x — 3} right) + 4x}}{{5xleft( {x — 3} right)}} = 1,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,5{x^2} — 15x = 8x — 12,,,, Leftrightarrow ,,,,5{x^2} — 23x + 12 = 0;)

(D = 529 — 240 = 289;,,,,{x_1} = frac{{23 + 17}}{{10}} = 4;,,,,{x_2} = frac{{23 — 17}}{{10}} = frac{3}{5}.)

Так как (x > 3), то время велосипедиста их В в А равно 4 часа.

Ответ: 4.
Задача 12. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость товарного поезда, тогда скорость скорого x км/ч +750 м/мин = (x + frac{{750}}{{1000}} cdot 60 = x + 45) км/ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Товарный поезд (x) (frac{{180}}{x}) 180
Скорый поезд (x + 45) (frac{{180}}{{x + 45}}) 180

По условию задачи время товарного поезда на 2 часа больше. Следовательно:

(frac{{180}}{x} — frac{{180}}{{x + 45}} = 2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{180left( {x + 45} right) — 180x}}{{xleft( {x + 45} right)}} = 2,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{180 cdot 45}}{{xleft( {x + 45} right)}} = 2,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,2xleft( {x + 45} right) = 180 cdot 45,left| {,:} right.2,,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} + 45 — 90 cdot 45 = 0)

(D = {45^2} + 4 cdot 90 cdot 45 = {45^2}left( {1 + 4 cdot 2} right) = {45^2} cdot 9;,,,,,,sqrt D  = ,,45 cdot 3 = 135;)

(,,,{x_1} = frac{{ — 45 + 135}}{2} = 45;,,,,{x_2} = frac{{ — 45 — 135}}{2} =  — 90.)

Так как (x > 0), то скорость товарного поезда равна 45 км/ч.

Ответ: 45.
Задача 13. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Пусть x км – расстояние от А до С, а y км/ч – скорость автомобиля. Рассмотрим сначала движение автомобиля и мотоцикла от А до С.

({text{A}} to {text{C}}) v (км/ч) t (ч) S (км)
Автомобиль (y) (frac{x}{y}) x
Мотоцикл 90 (frac{x}{{90}}) x

Так как автомобиль выехал на 30 мин раньше, то его время на (frac{1}{2}) часа больше. Тогда первое уравнение будет иметь вид:  (frac{x}{y} — frac{x}{{90}} = frac{1}{2}.)

Теперь рассмотрим случай движения автомобиля из С в В, а мотоциклиста из С в А.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Автомобиль y (frac{{150 — x}}{y}) (150 — x)
Мотоцикл 90 (frac{x}{{90}}) x

Так как мотоциклист вернулся в А одновременно с автомобилистом, приехавшим в В, то второе уравнение будет иметь вид:  (frac{{150 — x}}{y} = frac{x}{{90}}.)

Таким образом, получаем систему уравнений:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {frac{x}{y} — frac{x}{{90}} = frac{1}{2};} \   {frac{{150 — x}}{y} = frac{x}{{90}}.} end{array}} right.)

Из второго уравнения: (y = frac{{90left( {150 — x} right)}}{x}) подставляя в первое уравнение, получим:

(frac{{{x^2}}}{{90left( {150 — x} right)}} — frac{x}{{90}} = frac{1}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{{x^2} — xleft( {150 — x} right)}}{{90left( {150 — x} right)}} = frac{1}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{2{x^2} — 150x}}{{90left( {150 — x} right)}} = frac{1}{2},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,4{x^2} — 300x = 90 cdot 150 — 90x,,left| {,:,2,,,,, Leftrightarrow ,,,,2{x^2} — 105x — 6750 = 0} right.;)

(D = {105^2} + 4 cdot 2 cdot 6750 = {15^2} cdot {7^2} + 4 cdot 2 cdot {15^2} cdot 30 = {15^2}left( {49 + 240} right) = {15^2} cdot 289;,,,)

(sqrt D  = 15 cdot 17 = 255;,,,,,{x_1} = frac{{105 + 255}}{4} = 90;,,,,,{x_2} = frac{{105 — 255}}{4} =  — 37,5.)

Так как (x > 0), то расстояние от А до С равно 90 км.

Ответ: 90.
Задача 14. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Пусть x км/ч – скорость второго пешехода, тогда x + 1,5 км/ч – скорость первого, а в пути они были t ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Первый пешеход (x + 1,5) t (left( {x + 1,5} right)t)
Второй пешеход (x) t (xt)

Так как расстояние между пешеходами должно стать равно 300 м = 0,3 км, то первый должен пройти на 0,3 км больше. Следовательно:

(left( {x + 1,5} right)t — x,t = 0,3,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x,t + 1,5,t — x,t = 0,3,, Leftrightarrow ,,,,,1,5t = 0,3,,,, Leftrightarrow ,,,,t = frac{1}{5},.,,)

Следовательно, через (frac{1}{5}) часа или (frac{1}{5} cdot 60 = 12) минут расстояние между пешеходами будет ровно 300 м.

Ответ: 12.

Второй вариант решения:

Так как скорость первого пешехода на 1,5 км/ч больше скорости второго, то через 1 час (60 минут) расстояние между пешеходами будет равно 1,5 км (1500 м). Следовательно, чтобы расстояние между пешеходами стало равно 300 м (это в 5 раз меньше чем 1500 м) понадобиться 12 минут (это в 5 раз меньше чем 60 минут).

Ответ: 12.
Задача 15. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, которое ему понадобилось, чтобы догнать второго велосипедиста. Тогда за время t ч третий проехал расстояние равное (x cdot t) км, а второй выехал на 1 час раньше третьего, поэтому он проехал расстояние (10left( {t + 1} right)) км. Следовательно, первое уравнение будет иметь вид:  (x cdot t = 10left( {t + 1} right)).

Теперь рассмотрим, как третий велосипедист догоняет первого. Третьему велосипедисту понадобилось t ч, чтобы догнать второго, а затем еще 2 часа 20 минут, чтобы догнать первого, то есть третий догонял первого (t + frac{7}{3}) часа и проехал расстояние: (x cdot left( {t + frac{7}{3}} right)). Первый выехал на 2 часа раньше третьего, поэтому он проехал расстояние равное: (15 cdot left( {t + frac{7}{3} + 2} right)).

Следовательно, второе уравнение будет иметь вид:  (xleft( {t + frac{7}{3}} right) = 15left( {t + frac{{13}}{3}} right)).

Таким образом, получаем систему уравнений:  (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {x cdot t = 10left( {t + 1} right);,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} \   {x cdot left( {t + frac{7}{3}} right) = 15left( {t + frac{{13}}{3}} right).} end{array}} right.)

Из первого уравнения: (x = frac{{10left( {t + 1} right)}}{t}). Подставляя во второе первое, получим:

(frac{{10t + 10}}{t} cdot frac{{3t + 7}}{3} = 15t + 65,,,, Leftrightarrow ,,,,30{t^2} + 70t + 30t + 70 = 45{t^2} + 195t,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,15{t^2} + 95t — 70 = 0,,left| {,:} right.5,,,, Leftrightarrow ,,,,3{t^2} + 19t — 14 = 0;)

(D = 361 + 168 = 529;,,,,{t_1}, = frac{{ — 19 + 23}}{6} = frac{2}{3};,,,,{t_2} = frac{{ — 19 — 23}}{6} =  — 7)

Так как, (t > 0), то (t = frac{2}{3}) часа. Следовательно, скорость третьего велосипедиста:  (x = frac{{10 cdot left( {frac{2}{3} + 1} right)}}{{frac{2}{3}}} = 25) км/ч.

()Ответ: 25.
Задача 16. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения. Пусть автомобиль находился в пути 2t часов. Тогда за первую половину времени (то есть за t часов) он проехал расстояние равное 74t км, а за вторую половину 66t км. Тогда средняя скорость автомобиля будет равна:

(V = frac{{74t + 66t}}{{2t}} = frac{{140t}}{{2t}} = 70)  км/ч.

Ответ: 70.
Задача 17. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения. Пусть путешественник проплыл расстояние на яхте равное S км, тогда его время на яхте составило ({t_1} = frac{S}{{20}}) ч, а на самолете ({t_2} = frac{S}{{480}}) ч. Тогда средняя скорость будет равна:

(v = frac{{S + S}}{{{t_1} + {t_2}}} = frac{{2S}}{{frac{S}{{20}} + frac{S}{{480}}}} = frac{{2S}}{{frac{{24S + S}}{{480}}}} = frac{{2S cdot 480}}{{25,S}} = 38,4) км/ч.

Ответ: 38,4.
Задача 18. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения. Пусть 3S км – весь путь автомобиля, тогда его время на первом участке ({t_1} = frac{S}{{60}}), на втором ({t_2} = frac{S}{{120}}), а на третьем ({t_3} = frac{S}{{110}}). Тогда средняя скорость будет равна:

(V = frac{{S + S + S}}{{{t_1} + {t_2} + {t_3}}} = frac{{3S}}{{frac{S}{{60}} + frac{S}{{120}} + frac{S}{{110}}}} = frac{{3S}}{{frac{{2S + S}}{{120}} + frac{S}{{110}}}} = frac{{3S}}{{frac{S}{{40}} + frac{S}{{110}}}} = frac{{3S}}{{frac{{11S + 4S}}{{440}}}} = frac{{3S cdot 440}}{{15S}} = 88) км/ч.

Ответ: 88.
Задача 19. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения. Автомобиль был в пути время равное (2 + 1 + 2 = 5) часов и проехал за это время расстояние равное (2 cdot 50 + 1 cdot 100 + 2 cdot 75 = 350) км. Тогда его средняя скорость: (V = frac{{350}}{5} = 70)  км/ч.

Ответ: 70.
Задача 20. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения. Первые 190 км автомобиль проехал за время ({t_1} = frac{{190}}{{50}} = frac{{19}}{5}) часа, следующие 180 км за ({t_2} = frac{{180}}{{90}} = 2) часа, а последние 170 км за ({t_3} = frac{{170}}{{100}} = frac{{17}}{{10}}) часа. Таким образом, он проехал расстояние равное (190 + 180 + 170 = 540) км за время  ({t_{}} = frac{{19}}{5} + 2 + frac{{17}}{{10}} = frac{{15}}{2}) часа.

Следовательно, его средняя скорость равна:  (V = frac{{540}}{{frac{{15}}{2}}} = 72) км/ч.

Ответ: 72.
Задача 21. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Проезжая мимо столба, поезд проезжает расстояние равное своей длине, то есть длина поезда равна расстоянию, которое проехал поезд.

(t = 36) с ( = frac{{36}}{{3600}}) ч ( = frac{1}{{100}}) ч.      (S = V cdot t = 80 cdot frac{1}{{100}} = 0,8) км.

Следовательно, длина поезда равна 0,8 км = 800 м.

Ответ: 800.
Задача 22. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Проезжая мимо лесополосы, поезд проезжает расстояние равное сумме длин лесополосы и самого поезда, то есть длина поезда равна расстоянию, которое проехал поезд минус длина лесополосы.

(t = 1) мин ( = frac{1}{{60}}) ч.    (S = V cdot t = 60 cdot frac{1}{{60}} = 1) км.

Следовательно, поезд проехал расстояние равное 1000 м, тогда длина поезда (1000 — 400 = 600) м.

Ответ: 600.
Задача 23. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Так как поезда едут в одном направлении, то их скорость сближения равна (V = 90 — 30 = 60) км/ч. Следовательно, за 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно товарного на 1 км. При этом он преодолеет расстояние равное сумме длин поездов. Поэтому длина пассажирского поезда равна (1000 — 600 = 400) м.

Ответ: 400.
Задача 24. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Так как поезда едут навстречу друг другу, то их скорость сближения равна (V = 65 + 35 = 100) км/ч. За 36 секунд скорый поезд сместится относительно пассажирского на расстояние:  (S = 100 cdot frac{{36}}{{3600}} = 1) км.

При этом он преодолел расстояние равное сумме длин поездов. Поэтому длина скорого поезда равна (1000 — 700 = 300)м.

Ответ: 300.
Задача 25. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Пусть x км – расстояние, которое не дошел до опушки первый человек, оно равно расстоянию, которое прошел от опушки до места встречи второй человек. Следовательно, первый прошел расстояние равное (4,4 — x) км, а второй (4,4 + x).

v (км/ч) t (ч) S (км)
Первый человек 2,5 (frac{{4,4 — x}}{{2,5}}) (4,4 — x)
Второй человек 3 (frac{{4,4 + x}}{3}) (4,4 + x)

Путники затратили одно и тоже время:

(frac{{4,4 — x}}{{2,5}} = frac{{4,4 + x}}{3},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,4,4 cdot 3 — 3x = 2,5 cdot 4,4 + 2,5x,, Leftrightarrow ,,,,,5,5x = 4,4 cdot 3 — 2,5 cdot 4,4,,,, Leftrightarrow ,,,)( Leftrightarrow ,,,,5,5x = 4,4left( {3 — 2,5} right),,,, Leftrightarrow ,,,,5,5 = 4,4 cdot 0,5,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{4,4 cdot 0,5}}{{5,5}} = 0,4).

Следовательно, встреча произойдет от точки отправления на расстоянии (4,4 — 0,4 = 4) км.

Ответ: 4.
Задача 26. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Турист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 1 час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 3 км/ч?

Пусть x км/ч – скорость туриста на спуске, тогда скорость на подъёме (x — 3) км/ч. Время на подъёме: (5 — 1 = 4) часа.

v (км/ч) t (ч) S (км)
подъём (x — 3) 4 (4left( {x — 3} right))
спуск (x) 1 (1 cdot x)

Так как весь путь равен 8 км, то:   (4left( {x — 3} right), + x = 8,,,,, Leftrightarrow ,,,,,5x = 20,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 4) км/ч.

Ответ: 4.
Задача 27. Иван и Алексей договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 75 км/ч. Иван в момент разговора находится в 255 км от N-ска и ещё должен по дороге сделать 50-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем?

Пусть x км/ч – скорость Ивана.

v (км/ч) t (ч) S (км)
Иван (x) (frac{{255}}{x}) 255
Алексей 75 (frac{{275}}{{75}}) 275

Поскольку Иван должен сделать 50 – минутную остановку, то его время движения будет на (frac{5}{6}) часа меньше.

(frac{{275}}{{75}} — frac{{255}}{x} = frac{5}{6},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{255}}{x} = frac{{11}}{3} — frac{5}{6},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{{255}}{x},, = frac{{17}}{6},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = frac{{255 cdot 6}}{{17}} = 90,)  км/ч.

Ответ: 90.

Источник

Шагаева Анна
Борисовна

Учитель математики
МБОУ «Барагашская СОШ»

Подготовка
к ЕГЭ и ОГЭ по теме «Текстовые задачи».

По
данной теме у выпускников постоянно возникают трудности. В 9 классе есть
простейшие задачи в модуле «Реальная математика» и сложная во второй части
«Алгебры», в 11 классе текстовая задача есть в первой и второй частях. Для
того, чтобы научиться решать текстовые задачи, надо уметь логически рассуждать,
но самое главное – уметь составлять математические модели.

Все
задачи можно разбить на группы или типы:

1)    
Простейшие
задачи.

2)    
Задачи на
путь, время и скорость. (здесь же окажутся задачи на работу, на заполнение
бассейна…)

3)    
Задачи на
проценты.

4)    
Задачи на
прогрессию.

Простейшие
задачи большинство учеников решают без проблем, так как опыт решения получают и
развивают на уроках математики, составляя небольшие схемы и модели. Эта тема
хорошо представлена в учебниках математики 5-7 классов. На более сложные
задачи, как правило, времени на уроках не хватает (в общеобразовательных
школах). Сами дети освоить и разобраться в задачах не могут.  Поэтому, я хочу
помочь выпускникам разобраться в более сложных задачах.

Задачи на путь, время, скорость (самая
распространенная задача на ЕГЭ и ОГЭ).

На
путь время скорость

                                    На
работу                                                      средняя скорость

                                                           На
бассейн и трубы

На путь время скорость

1.     
Готовим
таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.     
Читаем
внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. «Из
пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми
75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но,
что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист.
Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в
пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста.
Ответ дайте в км/ч.» )

3.     
В таблицу в первую очередь заносим то, что точно
известно: Из пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но,
что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист.
Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста.
Ответ дайте в км/ч.»      То есть известно что выехали одновременно
из пункта А, и  в пункт В уже не одновременно, но оба прибыли. Значит оба
проехали по 75 км. Это и заносим в таблицу.

путь

Автомобилист

75км

Велосипедист

75км

4.      Теперь думаем что взять за Х.
Чаще всего подсказка в вопросе — Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста.
Заносим в таблицу Х – скорость велосипедиста, читаем снова
задачу, чтобы понять, а что со скоростью автомобилиста — за час
ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист.

путь

скорость

Автомобилист

75км

Х+40

Велосипедист

75км

Х

5.   
Третью колонку заполняем выражением, составленным
по формуле. В данном случае колонка осталась для времени, значит t=S/v.

путь

скорость

t=S/v

Автомобилист

75км

Х+40

Велосипедист

75км

Х

6.    Снова
читаем задачу и думаем, как связать в уравнении полученные выражения третьей
колонки, то есть, какое условие времени автомобилиста и мотоциклиста. «Из
пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми
75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист
и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на
40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста,
если из­вест­но, что он при­был в пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста.

7.   
Так как
велосипедист ехал дольше, чем автомобилист, то от времени велосипедиста отнимем
время мотоциклиста и приравняем к 6.

Осталось только решить уравнение, но сначала проверим единицы: км, км/ч, ч. Все нормально, можно
решать. Ответ получится 10км/ч.

Если будете придерживаться этого алгоритма, то можно решить
большинство задач средней сложности. Для тренировки на сайте «Решу ЕГЭ или ОГЭ»
порешайте задачи, там в решениях вы увидите только готовое уравнение, а научиться
составлять его сможете по моему алгоритму.

Задача на
работу.

Решаем по такому же
алгоритму.

1.     
Готовим
таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.      
Читаем
внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. Заказ
на из­го­тов­ле­ние 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее,
чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой ра­бо­чий,
если из­вест­но, что первый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 1 де­таль боль­ше?

В таблицу в первую очередь
заносим то, что точно известно: Заказ на из­го­тов­ле­ние 110
де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее,
чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой
ра­бо­чий, если из­вест­но, что первый за час из­го­тав­ли­ва­ет
на 1 де­таль боль­ше?

3.     
То есть известно что два рабочих выполнили заказ
по 110 деталей каждый. Это и заносим в таблицу.

заказ

1 рабочий

110д

2 рабочий

110д

4.      Теперь думаем что взять за Х.
Чаще всего подсказка в вопросе- Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет
вто­рой ра­бо­чий. Заносим в таблицу Х – скорость работы
второго рабочего, читаем снова задачу, чтобы понять, а что со скоростью работы
первого — первый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 1 де­таль
боль­ше

заказ

скорость

1 рабочий

110д

Х+1

2 рабочий

110д

Х

5.   
Третью колонку заполняем выражением, составленным
по формуле. В данном случае колонка осталась для времени, значит t=S/v.
(Роль пути играет заказ, а скорость движения – это скорость работы)

заказ

скорость

t=S/v

1 рабочий

110д

Х+1

2 рабочий

110д

Х

6.   
Снова читаем задачу и думаем, как связать в
уравнении полученные выражения третьей колонки, то есть, какое условие времени двух
рабочих —  пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее,
чем вто­рой

7.   
Так как второй
рабочий выполнял заказ  дольше, чем первый, то от времени второго отнимем время
первого и приравняем к 1.

Осталось только решить уравнение, но сначала проверим единицы: детали, детали/ч, ч. Все нормально,
можно решать. Ответ получится 10 деталей/ч.

Задача на
заполнение бассейна водой

И опять
аналогично.

1.     
Готовим
таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.     
Читаем
внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. Бассейн наполняется водой через одну
трубу за 4 часа, а через другую за 6 часов. Через сколько часов заполнится
бассейн, если обе трубы будут работать одновременно.)

3.     
В таблицу в первую очередь заносим то, что точно
известно: То есть известно время заполнения водой бассейна каждой трубой и (это
важно) заполняется один и тот же бассейн, который мы берем за 1 . Это и заносим
в таблицу.

время

Бассейн

1 труба

4ч

1

2 труба

6ч

1

4.   
У нас уже заполнились две колонки, поэтому пока
не будем думать про Х, а заполним третью колонку по формуле v=S/t.
Роль пути играет бассейн.

время

Бассейн

v=S/t

1 труба

4ч

1

¼

2 труба

6ч

1

1/6

5.   
Снова читаем задачу и думаем про Х, то есть
читаем вопрос. Через
сколько часов заполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно.  По формуле времени t=S/v
составим выражение, где путь – это бассейн, а скорость – это их общая скорость.

 . Х здесь и не понадобился. Вычисляем
полученное числовое выражение и получаем 2,4ч.

Все задачи так не решишь, но большинство без проблем решаются.
В сложных задачах еще добавляем схему дороги из А в В, которая поможет понять,
что заносить в таблицу. Однозначно можно сказать, таблица помогает все элементы
задачи разложить по полочкам и не запутаться.

Задача на
среднюю скорость.

Это особая задача, легко решается, если четко выполняешь
действия с преобразованием формулы: Средняя скорость – это весь путь поделенный
на все время. Многие путают со средним
арифметическим, поэтому почти всегда решают неправильно. Итак, начнем с
формулы:

 , привычная формула из физики,
но надо помнить, что S – весь путь, а t — это все время. И если в задаче
несколько участков движения, то S=S₁+S₂+…. и t=t₁+t₂+…. Какие преобразования формулы получатся,
посмотрим на примере:

Итак, задача, которая уже два последних года подряд
попадалась на ОГЭ.

Пер­вую треть пути ав­то­мо­биль
ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, сле­ду­ю­щую треть пути — со ско­ро­стью 100 км/ч,
а по­след­нюю треть пути — со ско­ро­стью 75 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость
ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

 из задачи видно, что весь путь
состоит из трех одинаковых участков, тогда формула превратится в . Так как все участки пути одинаковые, то
каждый участок обозначим за х, а время неизвестно, значит его представим по
формуле t=S/t. Получили , выносим х и сокращаем: =. Так
как скорость известна, то лучше сразу подставить и вычислять по действиям.

Для закрепления еще одна задача:

Пер­вые 5 часов ав­то­мо­биль
ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, сле­ду­ю­щие 3 часа — со ско­ро­стью 100 км/ч, а
по­след­ние 4 часа — со ско­ро­стью 75 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость
ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

 каждый участок пути вычисляем,
так как все численные данные есть.

Прежде чем переходить к более сложным задачам, отработайте задачи
средней сложности по этим алгоритмам.

Источник

Задача 1. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

 Решение: + показать

Задача 3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 4.  Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 70 км/ч и 80 км/ч?

Решение: + показать

Задача 6. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 160 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 7. Расстояние между городами A и B равно 620 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 8. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 450 метров меньше, чем скорый, и на путь в 240 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 9. Расстояние между городами A и B равно 198 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Решение: + показать

Задача 10.  Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 475 метрам?

Решение: + показать

Задача 11.  Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 12 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 12.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: + показать

Задача 13.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 500 метров, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Видео*

Решение: + показать

Задача 14. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 1200 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

Задача 15. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 400 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 38 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

 тест
Вы можете пройти тест по задачам на движение по прямой.

Источник

В задачах на движение по прямой часто надо отыскать среднюю скорость транспортного средства.

Средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.

$v_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$

Пример:

Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для простоты решения задачи сделаем таблицу.

$S_1=140км$ $S_2=220км$ $S_3=30км$
$v_1=70$км/ч $v_2=80$км/ч $v_3=120$км/ч
$t_1-?$ $t_2-?$ $t_3-?$

Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.

$t_1={S_1}/{v_1}={140}/{70}=2$ часа

$t_2={S_2}/{v_2}={220}/{80}=2.75$ часа

$t_3={S_3}/{v_3}={30}/{120}=0.25$ часа

$v_{ср}={S_1+S_2+S_3}/{t_1+t_2+t_3}={140+220+30}/{2+2.75+0.25}={390}/{5}=78$ км/ч

Ответ: $78$ км/ч

Иногда встречаются такие задачи на движение, в которых учитываются размеры транспортного средства. Чаще всего в таких задачах необходимо рассчитать длину поезда, например.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.

Решение:

Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.

Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.

$3$ минуты $=3·60=180$ секунд

$60$ км/ч$={60}/{3.6}={600}/{36}={50}/{3}$ м/с

$S=v·t={50·180}/{3}=3000$ метров

Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:

$l=3000-200=2800$ метров.

Ответ: $2800$

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $х$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $(х+5)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

  $S$(км) $v$(км) $t$(ч)
Первый велосипедист   $(x+5)$  
Второй велосипедист   $x$  

Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $«S»$.

  $S$(км) $v$(км) $t$(ч)
Первый велосипедист $84$ $(x+5)$  
Второй велосипедист $84$ $x$  

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$.

  $S$(км) $v$(км) $t$(ч)
Первый велосипедист $84$ $(x+5)$ ${84}/{(x+5)}$
Второй велосипедист $84$ $x$ ${84}/{x}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения велосипедистов равна $5$ часов. Дольше в пути находился второй велосипедист, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

${84}/{х}-{84}/{(х+5)}=5$

Перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения

${84}/{х}-{84}/{(х+5)}-5=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $х(х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+5)$, ко второй $х$, а к третьему слагаемому $(х^2+5х)$.Получаем:

${84х+420-84х-5х^2-25х}/{х(х+5)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$84х+420-84х-5х^2-25х=0; х(х+5)≠0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$х(х+5)≠0$

$х≠0$ или $х+5≠0$

$х≠0$ или $х≠-5$

Найдем корни числителя.

$84х+420-84х-5х^2-25х=0;$

Приведем подобные слагаемые и расставим поставим их в порядке убывания степеней

$-5х^2-25х+420=0$

Разделим уравнение на $(-5)$

$х^2+5х-84=0$

По теореме Виета

$х_1=-12, х_2=7$

$х_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.

$х_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: $7$

Некоторые нюансы в задачах с круговым движением:

  1. В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.
  2. Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.
  3. Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.
  4. Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.

Пример:

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.

$S=18$ км

$t=45$мин$={3}/{4}$часа

Пусть $х$ км/ч — скорость второго автомобиля.

Скорость опережения равна разности скоростей.

Тогда скорость опережения равна $v_{опережения}=(92-х)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.

Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$={45}/{60}={3}/{4}$часа

$v_{опережения}={S}/{t}={18}/{{3}/{4}}={18·4}/{3}=24$

Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.

$92-х=24$

$-х=24-92$

$х=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.

Ответ: $68$

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки

$v=v_{собственная}+v_{течения реки}$

Чтобы найти скорость против течения, нужно отнять от собственной скорости транспортного средства скорость течения реки

$v=v_{собственная}-v_{течения реки}$

Пример:

Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.

Пусть $х$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $(х+4)$ км/ч – скорость катера по течению; $(х-4)$ км/ч – скорость катера против течения.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
По течению   $(x+4)$  
Против течения   $(x-4)$  

Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $«S»$

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
По течению $120$ $(x+4)$  
Против течения $120$ $(x-4)$  

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
По течению $120$ $(x+4)$ ${120}/{(х+4)}$
Против течения $120$ $(x-4)$ ${120}/{(х-4)}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}=4$

Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.

${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}-4=0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(х-4)(х+4)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+4)$, ко второй $(х-4)$, а к третьему слагаемому $(х+4)(х-4)$. Получаем:

${120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)}/{(х-4)(х+4)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0; (х-4)(х+4)≠0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$(х-4)(х+4)≠0$

$х-4≠0$ или $х+4≠0$

$х≠4$ или $х≠-4$

Найдем корни числителя.

$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0$

Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$120х+480-120х+480-4х^2+64=0$

$-4х^2+1024=0$

$-4х^2=-1024$

Разделим обе части уравнения на $(-4)$

$х^2=256$

$х_{1,2}=±16$

Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $х=16$ км/ч

Ответ: $16$

Пример:

От пристани $А$ к пристани $В$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $В$ оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Пусть $х$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $(х+8)$ км/ч –это скорость второго теплохода.

Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $«S»$ и скорость $«v»$ по условию задачи, а третий столбец время $«t»$ заполним по формуле $t={S}/{v}$

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
Первый теплоход $70$ $x$ ${70}/{х}$
Второй теплоход $70$ $(x+8)$ ${70}/{(х+8)}$

Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен

${70}/{х}-{70}/{(х+8)}=1$

${70}/{х}-{70}/{(х+8)}-1=0$

Приводим дроби к общему знаменателю

${70(х+8)-70х-х(х+8)}/{х(х+8)}=0$

${70х+560-70х-х^2-8х}/{х(х+8)}=0$

Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)

$х(х+8)≠0$

$х≠0$ или $х+8≠0; х≠-8$

Найдем корни числителя

$70х+560-70х-х^2-8х=0$

$-х^2-8х+560=0$

$х^2+8х-560=0$

По т.Виета $х_1+х_2=-8$

$х_1∙х_2=-560$

$х_1=-28; х_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.

Ответ: $20$

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Задачи на проценты формулы егэ
  • Задачи на проценты таблица егэ
  • Задачи на проценты растворов егэ
  • Задачи на проценты профильная математика егэ
  • Задачи на проценты подготовка к егэ