Задачи на работу егэ профиль математика как решать

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь — работа, — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

1. , то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .
2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
4. В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

---

1. Заказ на деталей первый рабочий выполняет на час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна (он делает на одну деталь в час больше). , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

первый рабочий
второй рабочий

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, на меньше, чем , то есть

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Дискриминант равен . Корни уравнения: , . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: .

---

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, . Отсюда .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

.

Итак, первый рабочий за день выполняет всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится дней.

Ответ: .

---

3. Первая труба пропускает на литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

первая труба
вторая труба

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, . Составим уравнение:

и решим его.

Ответ: .

. Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей — за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей
Паша
Володя
Вместе

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Аналогично,


Тогда


.
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Ответ: .

---

Читаем дальше: Задачи на проценты

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа  и следовать трем простым шагам.

1. Формула, которую обязан знать каждый
2. Как решать задачи на работу: основные правила
3. Решение задачи на работу: 3 простых шага
4. Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
5. Пример решения задачи на совместную работу – 2 способа

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

1. Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
2. Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
3. За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

1. Задаем переменную Х и составляем таблицу
2. Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
3. Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Примеры решения задач на работу: от простого к сложному

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

Решение:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство:Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х² – 6х – 120х =0

2х² – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х² – 3х – 180 = 0

D = 729

х₁ =  15

х₂ = -12

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х₂ нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

 Задача 2 

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб  пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

Решение:

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Теперь решаем два уравнения:Решаем первое уравнение:

180/х = 120/ (х -1)

180 (х-1) = 120х

180х – 120х = 180

60х = 180

х₁ = 3

Решаем второе уравнение:

180/х = 120/ (х +1)

180 (х+1) = 120х

180х – 120х = -180

60х = -180

х₂ = -3

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х₂ нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

Решение:

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно:Решаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х² + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х² + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х² — 5х — 500 = 0

Находим дискриминант:

D = 2025

х₁ = 25

х₂ = -20

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х₁: 25 – 5 = 20

Подставляем х₂: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Примеры решения задачи на совместную работу

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15:Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

15 + 12 = х

х = 27

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Ответ: 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х₁, а производительность второго рабочего – за х₂. Следовательно, их общая производительность равна х₁ + х₂. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х₁ +  х₂) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х₁), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х₂). Таким образом:

4х₁ = 5х₂

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения:Из второго уравнения выразим х₁ = 5х₂ / 4 и подставим в первое уравнение:

15 * (5х₂ / 4) + 15 х₂ = 1

75 х₂ / 4 + 15 х₂ = 1

Умножаем обе части уравнения на 4:

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х₁. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х₁. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:Ответ: 27 часов.

 Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

 Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь. Еще больше материалов по подготовке к ЕГЭ

Примем объем работы за единицу. Пусть x — количество дней, за которое необходимо выполнить всю работу Виктору; за y дней работу выполнит Алексей, Андрей выполнит всю работу за z дней; тогда frac{1}{x} — производительность Виктора, frac{1}{y} — производительность Алексея, frac{1}{z} — производительность Андрея.

По первому условию Виктор и Алексей сделают всю работу за 8 дней, значит, их общая производительность frac18. Составим уравнение frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac18.

По второму условию Виктор и Андрей сделают всю работу за 8 дней. Значит, их общая производительность frac18. Составим уравнение frac{1}{x}+frac{1}{z}=frac18.

По третьему условию Андрей и Алексей выполнят всю работу за 12 дней. Значит, их общая производительность frac{1}{12}. Составим уравнение frac{1}{y}+frac{1}{z}=frac{1}{12}.

Получим систему уравнений:

begin{cases} frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac18,\ frac{1}{x}+frac{1}{z}=frac18,\ frac{1}{y}+frac{1}{z}=frac{1}{12}; end{cases}

2left( frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z} right )=frac18+frac18+frac{1}{12},

2left( frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z} right )=frac13,

frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}=frac16,

1:frac16=6 (дней).

Итак, всю работу Виктор, Алексей и Андрей сделают за 6 дней.

2-й способ решения – без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Практикум по алгебре по теме «Задачи на работу»

Данная методическая разработка посвящена проблеме под готовки обучающихся к сдаче ЕГЭ. В разработке представлен ряд задач по теме «Задачи на работу». Разработка представляет теоретическую и практическую пользу для обучающихся 10-11 классов и для учителей математики поскольку содержит примеры решения основных типов задач, а также набор задач для самостоятельного решения с ответами. Актуальность разработки состоит в том, что задачи на данную тему включены в КИМы профильного ЕГЭ по математике.

Текстовые задачи являются традиционным разделом школьного курса математики. Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык.

Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, вопрос задачи.

Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

1.Выбор и обозначение неизвестных.

2.Составление уравнений (возможно неравенств) или системы уравнений с использованием неизвестных и всех условий задачи.

3.Решение полученных уравнений (неравенств).

4.Отбор решений по смыслу задачи.

Задачи на работу содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, механизмами и т. п.). К задачам на работу относят также задачи на заполнение резервуаров (так называемые задачи на трубы и бассейны). В качестве произведенной работы рассматривают объем перекачанной жидкости.

Задачи этого типа аналогичны задачам на движение. Вся работа играет роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Представим это в виде таблицы:

Движение

Путь — S

Время движения — t

Скорость движения

Работа

Работа — А

Время работы — t

Производительность (скорость работы)

При этом мы понимаем, что работа есть, например, изготовление деталей, заполнение бассейна и т.п.

Производительность труда -это та же самая скорость работы, то есть часть работы, выполненная за единицу времени. Например, сколько деталей было изготовлено за час или на какую часть был заполнен бассейн за час и т.д.

Производительность может быть выражена в числах (10 деталей в час) или частью от всей работы (четверть поля в день, четверть бассейна в час).

Все эти задачи решаются по одной формуле: A= p t, то есть объем произведенной работы – это производительность (часть работы, выполненная за единицу времени), умноженная на время работы. Эта формула полностью аналогична формуле пройденного пути:

S = v.

Из формулы A= p t можно выразить производительность (скорость работы): или время работы: .

Практические советы:

1. Для начала внимательно читаем условие, стараемся выяснить всю информацию, содержащуюся в задаче.

2. Определяем, какую величину обозначить переменной x. Используя формулы A= p t, или , выражаем другие величины.

3. Единицы измерения, в которых записываются работа, время и производительность, должны быть согласованы.

4. Переводим условие задачи на математический язык, то есть составляем уравнение или систему уравнений.

5. Решаем полученную математическую модель. Из полученных решений выбираем те, которые подходят по смыслу задачи.

Разберем несколько задач.

Задача 1.

Писатель собрался напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы он печатал на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то смог бы завершить работу на 3 дня раньше. Какое количество страниц в день запланировал печатать писатель?

Решение.

Из условия понятно, что в задаче рассматриваются две ситуации: запланированная и произошедшая фактически.

В этой задаче объем работы известен, он явный и равен в том и в другом случае тремстам страницам.

Какую величину удобнее всего обозначить за x ? То, что требуется найти, то есть скорость работы по плану. Так и сделаем. Пусть скорость работы по плану равна x страниц в день, где x тогда фактическая скорость работы равна (x страниц в день, потому что она по условию на 5 страниц в день больше.

Чтобы найти время работы, нужно воспользоваться формулой , то есть объем работы разделить на скорость работы. То есть время работы по плану равно  дней, а фактическое время работы равно  дней. Занесем эти данные в таблицу, в результате чего она примет вид:

Объем работы А (количество страниц)

Производительность работы P (количество страниц в день)

Время t (количество дней)

По плану

300

x

Фактически

300

x

Теперь составить уравнение для решения задачи уже несложно. Используем то условие, что по факту работа была выполнена на 3 раньше запланированного срока. То есть запланированное время работы минус фактическое время работы равно 3 дням:

(можно составить такие уравнения: или ).

Решим первое уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю. Получим:

= 3; = 3.

Умножим обе части уравнения на выражение x(x при условии, что Получим: 3x(x .

Выполним преобразования и получим: 3x² .

Разделим обе части уравнения на 3: x² .

Мы получили квадратное уравнение. Находим дискриминант по формуле D = b² – 4ac.

D = 25 + 2000 = 2025. Находим корни по формуле = .

= 25; = 20.

Ясно, что значение переменной 25 не подходит по смыслу задачи, производительность не может быть отрицательной.

Итак, писатель планировал печатать 20 страниц в день.

Ответ: 20 страниц в день.

Решение задач на трубы и бассейны не имеет никаких специфических черт по сравнению с другими задачами на совместную работу. Только рабочим будут соответствовать трубы или насосы разной производительности, а объему работы — объем бассейна (резервуара). Под производительностью трубы или насоса будем понимать объем воды, пропускаемой ими за единицу времени. Рассмотрим такую задачу.

Задача 2.

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько

литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Решение.

Давайте обозначим переменной x производительность второй трубы, где x тогда первая труба за одну минуту пропускает (x литров воды в минуту, причем x Объем работы каждой трубы мы знаем и можем выразить время работы каждой трубы:

минут – время работы 1 трубы, минут – время работы 2 трубы.

Заполним таблицу.

Объем работы А (литры)

Производительность P (литры в минуту)

Время t (минуты)

1 труба

500

x

2 труба

375

x

По условию задачи известно, что время работы второй трубы на 10 минут меньше, чем первой.

Получим уравнение: = + 10; = 10;

Приводим левую часть уравнения к общему знаменателю: = 10;

= 10;

= 10;

После домножения обеих частей уравнения на уравнение примет вид:

10 = ;

10 x² 175 x 1875 = 0;

2 x² 35 x 375 = 0;

D = 1225 + 3000 = 4225; = 7,5; = 25.

= 7,5 не соответствует смыслу задачи, производительность не может быть отрицательной. Значит, мы нашли, что вторая труба пропускает в минуту 25 литров воды.

Ответ: 25 литров воды в минуту.

Важно знать следующее:

1. Во многих задачах на работу точный объем работы неизвестен (тракторист вспахивает поле, бассейн заполняется трубами и т.п.). В этом случае удобно принять объем всей работы за единицу и измерять части такой работы в долях от единицы.

2. Если работа выполняется совместно несколькими объектами (так называемая совместная работа), то их общая производительность является суммой производительностей отдельных объектов.

Рассмотрим несколько задач на совместную работу.

Задача 3.

В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Решение.

Можно обойтись арифметическим способом, не прибегая к введению переменной.

Производительность (скорость работы) у первого насоса равна литров в минуту, а у второго насоса — литров в минуту. Скорость совместной работы насосов + ) л/мин = л/мин. Применим формулу для того, чтобы узнать время, за которое оба насоса вместе перекачают 25 литров воды.

t = 25 : = 6 (мин)

Ответ: 6 минут.

Вот еще одна задача.

Задача 4.

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Так как количество вопросов теста неизвестно, обозначим их количество переменной x, где x .

Тогда время, необходимое Пете, равно часа, а время, необходимое Ване, равно часа. Петя потратил на выполнение теста на 20 минут, то есть на часа больше, чем Ваня. Поэтому получим такое уравнение: =. Приведем левую часть к общему знаменателю: = , откуда

x = = 24.

Ответ: тест содержит 24 вопроса.

Задача 5.

Один рабочий может выполнить задание на 5 ч. быстрее другого. Оба вместе они выполняют это задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

Решение.

Проведем анализ задачи. Во-первых, объем работы в задаче не определен, поэтому обозначим его за 1. Обозначим переменной x часов — время работы первого рабочего, причем x , тогда время работы второго рабочего будет равно (x часов.

Выразим производительность каждого рабочего, используя формулу .

– производительность первого рабочего (часть задания, выполняемого им за 1 час),

– производительность второго рабочего,

+ – их совместная производительность (часть задания, выполняемого ими вместе за 1 час). Заполним таблицу:

Работа

Время

Производительность

1 рабочий

1

2 рабочий

1

Совместно

1

6

При составлении уравнения можно рассуждать так: + – совместная производительность двух рабочих, то есть такую часть задания они выполняют за 1 час, работая вместе. На выполнение всего задания им потребуется 6 часов. Воспользуемся формулой A= p t и получим уравнение: ( + )6 = 1

Решим полученное уравнение.

+ = 1;

= 1;

= 1;

После домножения обеих частей уравнения на уравнение примет вид:

= 12 x +30;

x²x30 = 0;

Отсюда = 3; = 10.

Поскольку время – величина положительная, то x = 10.

За 10 часов выполнит задание первый инструктор, а второй – за 10+5=15 (часов).

Ответ: 10 ч, 15 ч.

Решая эту задачу на этапе составления уравнения можно поступить так:

так как все задание оба инструктора вместе выполняют за 6 часов, то — их совместная производительность (часть задания, которую они выполняют вместе за 1 час). С другой стороны, она выражена как + . Тогда получается следующее уравнение:

+ =

=

Далее приходим к квадратному уравнению x²x30 = 0

Отсюда = 3; = 10.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

При решении задач на совместную работу можно вводить не одну, а две переменные и получать систему уравнений.

Задача 6. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

Решение.

Пусть объем всей работы равен 1.

Пусть х часов – время работы первого по выполнению всей работы, а у часов – время работы второго рабочего.

По условию второму рабочему для выполнения всей работы понадобится на 1 час больше, чем первому, то получим, что х=у–1, и первое уравнение составлено.

Тогда – производительность труда первого рабочего, – производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин или часа совместно, то

(– объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут = 2 часа= часа, то

– объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

Так как вся работа складывалась из часа совместной работы и часа работы второго рабочего, то получим второе уравнение:

(.

Таким образом, мы получили систему двух уравнений:

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе:

;;

; у₂=4.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи: , то есть 45 минут, но 45 минут рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому не подходит по смыслу задачи. Для полученного у₂=4 найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х:

х=4–1;

х=3.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.

Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.

Задача 7.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько может выполнить ту же работу первый рабочий самостоятельно, если он за два дня выполняет ту же часть работы, что и второй за три дня?

Решение.

1. Поскольку в задаче работа никак численно не охарактеризована, то есть речь не идет об определенном количестве деталей или литров, то удобно весь объем работы принять за единицу: А = 1.

2. В качестве переменных удобно брать производительность труда. Обозначим производительность первого рабочего x, это будет часть работы, выполняемая первым рабочим за один день; y – соответственно, производительность второго рабочего.

3. Можем составить первое уравнение исходя из того, что вместе рабочие выполняют работу за 12 дней. Их общая производительность равна сумме двух производительностей, то есть x +y – это часть работы, выполняемая двумя рабочими за один день.  По условию задачи, работая вместе, оба рабочих могут выполнить работу за 12 дней. Получим уравнение: 12 (x +y) = 1.

Заметим, что производительности труда рабочих складывать можно, а время работы нельзя, то есть, если один выполняет работу за 20 часов, а второй – за 30 часов, то вдвоем они выполнят ее не за 50 часов, а намного быстрее.

4. Составляем второе уравнение: 2x=3y, оно соответствует фразе: за два дня первый выполняет ту же часть работы, что и второй за три дня. Первый выполняет за один день x, тогда очевидно, что за два дня выполнит в два раза больше, то есть 2x; аналогично, второй за три дня выполняет 3y, и эти величины по условию задачи равны.

5. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Вычтем из первого уравнения второе. Получим: и отсюда: 20;

Так, мы нашли производительность труда первого рабочего, она составляет , это та часть работы, которую первый рабочий выполняет за день.

Чтобы найти, за сколько дней первый рабочий выполнит самостоятельно всю работу, составляем уравнение:

где – время первого рабочего. Отсюда = 20.

Так, всю работу первый рабочий самостоятельно выполнит за 20 дней, что и требовалось найти.

Ответ: за 20 дней.

Задача 8.

Два экскаватора разной мощности, работая совместно, выполняют работу за 6 часов. Если первый проработает 4 часа, а затем второй 6 часов, то они выполнят 80% всей работы. За какое время каждый экскаватор отдельно может выполнить всю работу?

Решение.

Объем работы неизвестен, поэтому примем его за 1.

Пусть х – производительность первого экскаватора (часть работы, которую выполняет первый экскаватор за 1 час), а у – производительность второго экскаватора (часть работы, которую выполняет второй экскаватор за 1 час).

х + у – совместная производительность (часть работы, которую выполняют оба экскаватора вместе за 1 час).

Так как экскаваторы работают совместно 6ч с производительностью х + у и при этом выполняют всю работу, то составим уравнение: (х + у) 6 = 1.

Первый экскаватор работает 4ч с производительностью х, а затем 6ч второй экскаватор с производительностью у, и выполняют 0,8 всей работы, то 4х + 6у = 0,8. Решим систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе. Получим уравнение с одной переменной: 2х=0,2. Отсюда х = 0,1.

Подставим в первое уравнение вместо переменной х значение 0,1:

6у = 0,4;

Поскольку время, необходимое для выполнения всей работы, и производительность связаны соотношением и , то = 10, а 1 : = 15.Значит, первый экскаватор может выполнить всю работу за 10 часов, а второй – за 15 часов. Ответ: 10ч, 15ч.

Задача 9.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики подкрасят забор, работая втроем?

Решение.

1 способ

Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1.

Пусть Игорь красит забор за х часов, Паша за у часов, а Володя – за z часов. Тогда их производительности будут такими: у Игоря – , у Паши – , а у Володи — то есть такую часть забора может покрасить каждый из них за 1 час.

По условию задачи Игорь и Паша красят забор за 9 часов, значит, вместе они за 1 час покрасят забора. Получим уравнение: + = .

Аналогично получим:

+ = и + = .

Составим и решим систему уравнений.

Сложим почленно все уравнения системы, получим:

+ + = + +

+ + =

Разделим полученное уравнение на 2:

+ + =

Пусть искомое время, за которое мальчики покрасят забор, работая втроем, равно t. Воспользуемся формулой A= P t и получим уравнение:

( + + = 1

= 1; = 1: = 8.

Итак, мальчики покрасят забор, работая втроем, за 8 часов.

2 способ

За один час Игорь и Паша красят забора, Паша и Володя красят забора, а Володя и Игорь красят забора. Работая вместе, за один час два Игоря, два Паши и два Володи покрасили бы

+ + = = забора. Значит, весь забор они покрасили бы за 4 часа. Но поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, то в реальности они могут покрасить забор за 8 часов.

Ответ: за 8 часов.

Задача 10.

За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч., то для окончания работы первому требовалось бы 10ч., а второму 15ч.

Решение.

1) Обозначим объем работы за 1.

Пусть x – производительность первого рабочего, а y — производительность второго рабочего. В соответствии с условием задачи — производительность третьего рабочего.

Работа

Время (ч)

Производительность (1/ч)

1 рабочий

1

10

x

2 рабочий

1

15

y

3 рабочий

1

48

48() + 10 x = 1 — работа, выполненная первым и третьим рабочими.

48() + 15 y = 1 — работа, выполненная вторым и третьим рабочими.

Составим и решим систему уравнений:

Вычитаем из первого уравнения второе, получаем = 0.

2) Таким образом,  — производительность первого рабочего,  — производительность второго рабочего.

( : 2 = = — производительность третьего рабочего.

3) Осталось найти время работы каждого рабочего.

1: = 50 (ч) – время первого рабочего,

1: = 75 (ч) – время второго рабочего,

1: = 60 (ч) – время первого рабочего.

Ответ: 50 ч; 75 ч; 60 ч.

Задачи для самостоятельного решения

1. В помощь садовому насосу, перекачивающему 8 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 36 литров воды?

2. Олег и Алексей выполняют одинаковый тест. Олег отвечает за час на 10 вопросов теста, а Алексей – на 12. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Олег закончил свой тест позже Алексея на 29 минут. Сколько вопросов содержит тест?

3. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

4. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 638 литров она заполняет на 7 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 812 литров?

5. Коля и Петя красят забор за 16 часов, Петя и Андрей красят этот же забор за 20 часов, а Андрей и Коля — за 48 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

6. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

7. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

8. Аквариум наполняется водой через две трубки за 3 часа. За сколько часов может наполниться аквариум через первую трубку, если для этого потребуется на 2,5 часа меньше, чем для наполнения аквариума через вторую трубку?

9. Плиточник должен уложить 175 м² плитки. Если он будет укладывать на 10 м² в день больше, чем должен, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день должен укладывать плиточник?

10. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

11. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 18 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за 6 дней делает столько же, сколько первый за 4 дня?

13. Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана. Определите наименьшее время (в часах) необходимое для разгрузки баржи.(Производительность каждого крана постоянна в течении всей работы)

14. Заказ по выпуску машин завод должен выполнить за 20 дней, но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал на 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?

15. Два слесаря получили заказ. Сначала 1ч работал первый слесарь, затем 4ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

16. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза., а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Ответы к задачам на работу для самостоятельного решения

1. Ответ: 7 минут

2. Ответ: 29 вопросов

3. Ответ: 10 деталей в час

4. Ответ: 29 литров

5. Ответ: за 15 часов

6. Ответ: 9 часов

7. Ответ: 6 минут

8. Ответ: 5 часов

9. Ответ: 25 м²

10. Ответ: 9 часов

11. Ответ: 4 часа

12. Ответ: за 20 дней

13. Ответ: 20 часов

14. 486 машин

15. 25 часов и 20 часов

16. за 10 часов

Библиография

1. Гущин Д.. Решу ЕГЭ [электронный ресурс]. – URL: https://mathb-ege.sdamgia.ru/ [19.06.2020]

2. Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Текстовые задачи [электронный ресурс]. – URL: https://4ege.ru/matematika/4540-reshenie-zadach-b14-ege-po-matematike.html [20.07.2020]

3. Ларин А.. ALEXLARIN.NET [электронный ресурс]. – URL: https://alexlarin.net/ [10.06.2020]

4. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ [электронный ресурс]. – URL: https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege [20.05.2020]