Задачи на сложные проценты математика егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

«Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам».
Д. Пойа.

Введение.

Особое внимание я уделяю текстовым задачам на проценты, которые часто встречаются в практике вступительных экзаменов в экономические вузы, но недостаточно полно рассматриваются в школе. Умение выполнять процентные вычисления, − безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций. Однако не только те, кто уже давно окончили школу, робеют при виде процентов. Даже на ЕГЭ решаемость задач на проценты не превышает 20 % . Это говорит о том, что такого типа задачи следует решать не только в младших классах, где изучается эта тема, но и на протяжении всех лет обучения в школе.

1. При решении задач на проценты используются основные формулы:

1% числа а равен а.

р% от числа а равно  а.

Если известно, что некоторое число а составляет р% от х, то х можно найти из пропорции

а   − р%

х   − 100%,

откуда х= а.

Пусть имеются числа a, b, причем а<b. Тогда

Число b больше числа а на100%.

Число а меньше числаbна100%.

2. Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма а денежных единиц, банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит

aден.ед.

3. Задачи на проценты.

Задача 1.

Умных людей на 45 % меньше, чем красивых, 36% умных обладают красивой внешностью. Каков процент умных людей среди красивых?

Решение: пусть х − количество красивых людей, тогда количество умных людей:

х − 0,45х = 0,55х.

Среди умных 36% составляют красивые люди, следовательно, количество умных и одновременно красивых людей:

0,36 ·0,55х= 0,198х.

Составим пропорцию:

х −  100%

0,198х −  а%.

Отсюда получим:

а = 19,8%.

Ответ: 19,8%

Учащиеся с интересом решают текстовые задачи на проценты, которые ближе к реальной жизни. Особый «прикол» представляет собой подача задач не из задачника, а прямо с газетной полосы. Тут уж не возникает мыслей о ненужности математики. А «процентная журналистика» в связи с разразившимся экономическим кризисом на страницах газет буквально процветает.

Задача 2.

Цены на путевки уже подросли: например, туры во Францию − на 20%. Можно ли сказать, на сколько процентов раньше тур во Францию был дешевле?

Решение: пусть х − старая цена, а n − новая цена.

1) Составим первую пропорцию:

х −  100%

n − 120%,

Получим n=1,2х.

2) Составим вторую пропорцию:

1,2х − 100%

х − (100-а%)

(100-а) 1,2х = 100х

Решив уравнение, получим: а ≈17%.

Ответ:17%.

4. Использование формулы сложных процентов.

Задача 3.

На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определите, какой процент годовых начисляет банк.

Решение: пусть банк начисляет р% годовых.

1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский под р% годовых, через год возрастет до величины

10000+

2) Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000+100р руб.

3) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины

9000+100р+

По условию эта величина равна 11000:

Решив это уравнение получим: =10, =−200 − отрицательный корень не подходит.

Ответ:10%

Задача 4. (ЕГЭ-2015)

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: от суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4). Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной (4p) рублей.

Поделим её на 4 части, унесём домой (p) рублей, оставим в банке (3p) рублей.

Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей. Итак, число (3p) превратилось в число (5,76). Во сколько раз оно увеличилось?

 

Таким образом, найден второй повышающий коэффициент k банка.

Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:

 

Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.

 

 

Избавившись от запятых, сделаем замену t = 10р:

 

Из такого уравнения получить 12 совсем просто.

Итак, p = 1,2, k = 1,6.

В 1,2 раза увеличилась сумма вклада первый раз, в 1,6 раз — во второй раз.

Было 100%, стало 160%. Новый процент годовых равен 160%-100% = 60%.

Ответ: 60%.

Задача 5. (ЕГЭ-2015)

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что 

размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. 

Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть х рублей – вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза. Если вкладчик ничего бы не добавлял к первоначальной сумме, то через год на его счету было бы 3900·1,5, через два года — 3900·1,52 и так далее.

 Посчитаем, какой доход принесли все четыре добавки.

х∙1,5⁴ + х∙1,5³ + х∙1,5² +х∙1,5

Для этого вынесем х за скобку и вычислим сумму геометрической прогрессии, в которой b = 1,5 и q = 1,5.

Известно, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. 

Это значит, что он стал составлять 825% от начального, т.е. увеличился в 8,25 раз.

Сумма всех слагаемых последнего столбика в 8,25 раз больше, чем 3900 тыс.руб.

Ответ: 210 тысяч рублей.

5. Литература.

1. С.Я. Криволапов. Пособие по математике для абитуриентов. М., 2004.
2. Математика в школе. №6, 2009.
3. Типовые варианты ЕГЭ-2015.

7 августа 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи на сложные проценты

Подготовка к задаче №17 профильного уровня.

→ I тип задач: на какой минимальный срок взят кредит.
→ II тип задач: под какой процент был взят кредит.
→ III тип задач: какую сумму взяли в кредит или сумма выплат по кредиту.

→ Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения.

Автор: Белая Надежда Владимировна.

sb-r17.pdf

Рекомендуем посмотреть: пособие для подготовки к экономическим задачам.

 

Поговорим о
задачах №19 ЕГЭ 

 Уже  два  года во
вторую часть добавлена задача  c  экономическим
содержанием, т. е. задачи на сложные банковские проценты.

Говорят,
что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина
подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет
определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на
предыдущем этапе.

 В конце каждого этапа величина изменяется
на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце n-го этапа
значение некоторой величины А, исходное значение которой равнялось А₀,
определяется формулой:           

 — при увеличении     и                                     
       

 — при уменьшении

1.    
Зная, 
что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти

эквивалентную
ей  месячную процентную ставку.

Решение: 

Если
положить в банк A рублей, то через год получим:  A₁ = A₀(1
+0,12)

Если
проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х, то по формуле
сложных процентов через год (12 месяцев) А_n= A₀(1
+ 0,01х)¹²

 Приравняв
эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную
процентную ставку A(1 +0,12) = A(1 +0,01x)¹²

1.12 = (1 + 0,01x )¹²

 x = (-1)·100% ≈
0.9488792934583046%

Ответ:
месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.

Из решения этой задачи можно видеть, что месячная
процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.

2. 
   31
декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. 
Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%),
затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой
должна быть сумма ежегодного платежа,    чтобы Сергей выплатил долг тремя
равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть сумма кредита равна а,
ежегодный платеж равен  х рублей,
а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого
года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент  m=1+ 0,01k.  После первой выплаты сумма
долга составит: а₁= am — х. После второй выплаты сумма
долга

составит:

а₂=a₁m –
х=(ат-х)т-х=а²-тх-х=ат²-(1+т)х

После
третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По
условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому

  откуда 
 

При а = 9930000 и k=10, получаем
т =1,1 и

Ответ:  3993 000 рублей.

Теперь
когда мы разобрались  с этим предложенным во всех  решебниках  решением, давайте
посмотрим на другое решение.

Пусть F = 9 930 000 –
величина кредита,   x – искомая величина ежегодного платежа.

Первый
год:

Долг:    1,1F;

Платеж:  х;

Остаток:    1,1F-х .

Второй
год:

Долг: 1,1(1,1F-х);

Платеж:    х;

Остаток: 1,1(1,1F-х)-х.

Третий
год:

         Долг:
1,1(1,1F-х)-х);

Платеж:   х ;

Остаток: 0, потому что по условию
было всего три платежа.

Единственное
уравнение

1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0.    1,331F=3,31х,  
х=3993000

Ответ:
3 993 000 рублей.

Однако-1! Если
предположить, что процентная ставка не красивые 10%, а страшные 13,66613%.
Шансы где-то умереть по ходу умножений или сойти с ума при подробном
расписывании множителя при величине долга за каждый год резко увеличились.
Добавим к этому еще и не маленькие 3 года, а лет 25. Такое решение не
сработает.

3.   31 декабря 2014
года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем
Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если
он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.   

Пусть
а – искомая
величина, k% – процентная ставка по кредиту, х –
ежегодный платеж. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет
умножаться на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты
сумма долга составит: а₁ = аm – х. После
второй выплаты сумма долга составит:

а₂=a₁m –
х=(ат-х)т-х=а²-тх-х=ат²-(1+т)х

После
третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По
условию Андрей выплатил долг за три года,

то
есть а₃
= 0,
  откуда  .

При
x = 3 460
600, k% = 10%, получаем: m = 1,1 и =8 606 000 (рублей).

Ответ: 8 606 000 рублей.

4.   31 декабря 2013
года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество
процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два
транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой
процент банк выдал кредит Игорю?

Решение

Пусть
k% – искомая
ставка по кредиту; m = (1 + 0,01k) –
множитель оставшегося долга; a = 100 000 – сумма, взятая в банке;
x₁ = 51 000,
x₂ = 66 600 – размеры
первого и последнего трáншей.

После
первой выплаты сумма долга составит: a₁ = ma
– x₁.

После
второй выплаты сумма долга составит: a₂ = ma₁
– x₂ = a m²
– mx₁ – x₂. По
условию, a₂ = 0. Уравнение надо будет решить сначала
относительно m, разумеется взяв только положительный корень:

100
000m² – 51 000m – 66 600 = 0;   500m² – 255m – 333 = 0.

Вот
где начинаются трудности.

D = 255²+
4∙500∙333= 15²∙ 17² + 15² ∙37∙80= 15²(289+
2 960) = 15²∙3249=15²∙3²∙19².

Тогда   .

Ответ: 11%.

5.     31 декабря
2013 года Маша взяла в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
некоторое количество процентов), затем Маша переводит очередной транш. Если она
будет платить каждый год по 2 788 425 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если
по 4 991 625, то за 2 года. Под какой процент Маша взяла деньги в банке?

Решение

После
двух лет выплаты  сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

После
четырех лет выплаты  сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

Откуда   

     тогда   .

Ответ: 12,5%.

6.     31 декабря
2013 года Ваня взял в банке 9 009 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем
Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2
равных платежа?

Решение

Воспользуемся
результатом из задачи 2.

Искомая
разность х₃-х₂=3×4 276 800 – 2×5896800= 1
036 800
рублей.

Ответ:
1 036 00 рублей.

7.     1 июня
2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема
выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1
процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем
Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество
месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были
не более 300 000 рублей?

Надо
понять простую истину – чем больше будет платеж по кредиту, тем меньше будет
долг. Меньше будет долг – быстрее его выплатишь. Максимальный ежемесячный
платеж, который может себе позволить кредитор, равен 300 000 рублей согласно
условию. Если Всеволод Ярославович будет платить максимальный платеж, то он
быстрее всего погасит долг. Другими словами, сможет взять кредит на наименьший
период времени, что и требуется условием.

 Попробуем 
решать задачу в лоб.

1 июня 2013 года: долг 900 000.

Прошел месяц. 1 июля 2013 года: долг (1 + 0,01)900 000 – 300
000 = 609 000.

Прошел месяц. 1 августа 2013 года: долг (1+ 0,01)609 000 –
300 000 = 315 090.

Прошел месяц. 1 сентября 2013 года: долг (1 +0,01)315 090 –
300 000= 18 240,9. Прошел месяц. 1 октября 2013 года: долг (1 0,01)1 240,9
= 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Ответ: 4 месяца.

Решим задачу стандартным методом.

 Воспользуюсь результатами задачи 3 с учётом следующего
рассуждения: неравенство оставшейся части долга имеет вид a_x
≤ 0.

Пусть x
– искомая величина, a = 900 000
– сумма, взятая в банке, k% = 1% – ставка по
кредиту, y = 300 000 – ежемесячный платеж, m = (1 + 0,01k)
– ежемесячный множитель оставшегося долга. Тогда, по уже известной формуле,
получим неравенство:
 ≤0;   ;    

Получили неприятное неравенство, но верное.

Целую часть числа берем потому, что число платежей не может
быть числом не целым. Берем ближайшее большее целое, меньшее взять не можем
(потому что тогда останется долг) и видно, что полученный логарифм число не
целое. Получается 4 платежа, 4 месяца.

8.    
Фермер
получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в
счёт погашения кредита вернул в банк  от всей суммы, которую он был
должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита
он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков
процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Сумма
кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).

Через
год долг банку увеличится ровно в  х  раз и станет равным 4х
 рублей.

 Поделим
его на 4 части, вернём 3х рублей и останемся должны х  рублей.

 Известно,
что к концу следующего года придётся выплатить 4·1,21 рублей.

Известно,
что и сумма долга за год превратилась из числа х в число х².

 Так
как долг через два года фермером был полностью погашен, то

х²
= 4·1,21           х = 2·1,1              х = 2,2

 Коэффициент
х означает то, что 100% за год превращаются в 220%.

 А
это означает, что процент годовых у банка такой:     220% — 100%

Ответ: 120%

9.    
В
банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из
первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно
вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого  года после
начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с
первоначальным на 725%.  Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение:

Пусть
фиксированная вносимая сумма х рублей.

Тогда
после проведения всех операций,  попрошестию  первого года, сумма на вкладе
стала

+х

После
2 года

После
3 года

После
4 года

После
5 года

Так
как к концу
пятого  года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился
по сравнению с первоначальным на 725%, то составим уравнение: 

3900·8,25=3900·1,5⁵+х·(1,5⁴+1,5³+1,5²+1,5)         
/:1,5

3900·5,5=3900·1,5⁴+х(1,5³+1,5²+1,5+1)

                  

Ответ: 210рублей.

10.
 Банк
под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной
суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу
следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад.
Каков процент новых годовых?

Решение:

От
суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4).

Через
год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной 4p
рублей.

 Поделим
её на 4 части, унесём домой p рублей, оставим в банке 3p рублей.

Известно,
что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей.

Итак,
число 3p превратилось в число 5,76. Во сколько раз оно увеличилось?

Таким
образом, найден второй повышающий коэффициент x  банка.

Интересно,
что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:

Из
условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.

p ·x=p ·(p+0,4)=1,92

Уже
сейчас коэффициенты можно подобрать: 1,2 и 1,6.

Но
продолжим, однако, решать уравнение:

10p
·(10p+4)=192  пусть 10p=k

k
·(k+4)=192

k=12,   
т.е. р=1,2;   а     х=1,6

Ответ: 60%

«Простые и сложные проценты»

Подборка прототипов задания №19 ЕГЭ по математике 2015 года профильного уровня.

Актуальность темы.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Материал актуален для всех, у кого в этом году есть 11 классы.

Когда Ященко, имеющий к составлению КИМов по математике непосредственное отношение, приезжал к нам на семинар в октябре, он сказал, что все прототипы задания 19 будут выложены в открытом банке, так как задание новое.

Задание, решаемое для моего не очень сильного класса, и натаскать на него можно, было бы на чём.

Немного теории…

“Проценты”.

Задание1

а) Что называется процентом? (Процентом называется одна сотая часть какого-либо числа)

б) Как обозначается 1%? (1%? = 0,01)

в) Как называется 1% от центнера? (кг.) Метра? (см.) Гектара? (ар или сотый)

г) Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом данного числа а называется число 0,01•а, т.е. 1% (а) = 0,01*а ) 

д) Как определить р% от данного числа а? (найти число 0,01•р•а, т.е. р% = 0,01*р*а )

е) Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100). А как проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т.е. умножить на 0,01)

ж) Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы найти часть в от числа х в процентах, нужно эту часть разделить на число и умножить на 100, т.е. а(%)=(в/х)*100)

д) Как находится число по его проценту ? (Если известно, что а% числа х равно в, то х можно найти по формуле х = (в/а)*100)

Задание 2

Представьте данные десятичные дроби в процентах:

 а)1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.

б) Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%. 

Задание 3

Найдите % от числа:

в) 0,1% от числа 1200? (1,2)

г) 15% от числа 2? (0,30)

Задание 4

Найдите число по его проценту:

д) Сколько центнеров весит мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг.= 0,5 ц.)

в) Сколько процентов от 10 составляет 9?

Ответы: а) 9%, б) 0,09%, в) 90%; г) 900%?

Простые и сложные проценты.

Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. 

Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.

Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе. Так вычисляются простые проценты. 

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со “сложными процентами” (т.е. используются начисления “процентов на проценты”)

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

	На начало	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	5-й год
Простые проценты	100	110	120	130	140	150
Сложные проценты	100	110	121	133	146	161

Формулы простых и сложных процентов.

I. Пусть некоторая величина A увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Вводим обозначения: A0 – первоначальное значение величины A;

р – постоянное количество процентов;

a процентная ставка; a=р/100 = 0,01*р

An – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) — по формуле простых процентов;

Sn — накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) — по формуле сложных процентов.

Тогда ее значение A1 для простых процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: A1 = A0 + A0 * (0,01р) = A0 (1 + (0,01р) = A0 (1 + p)

В конце второго этапа A2= A1 + A0 * (0,01р) = A0 (1 + a) + A0 * a = A0 (1 + 2a).

В конце третьего этапа A3= A2 + A0 * (0,01р) = A0 (1 + 2a) + A0 * a = A0 (1 + 3a).

Тогда для простых процентов сумма по годам равна:

An = A0 (1 + 0.01р*n) или An = A0 (1 + ?* n) (1)

Для сложных процентов это выглядит иначе:

Пусть некоторая величина S0 увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Тогда ее значение S1 для сложных процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле:

S1 = S0 + S0 (0,01р) = S0 * (1 + 0,01р) = S0 * (1 + ?).

В конце второго этапа S2= S1 + S1 (0,01р) = S1 * (1 + 0,01р) = S0 (1 + ????р)2 = S0 (1 + ?)2.

В конце третьего этапа S3= S2 + S2 (0,01р) = S2 * (1 +0,01р) = S0(1 +0,01р)2*(1 +0,01р)=S0(1 +0,01р)3 = S0 (1 + a)3.

Тогда для сложных процентов сумма по годам равна:

Sn = S0 (1 + 0,01р)n  или Sn = S0 (1 + a)n (2)

Пример 1.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты:

а) простые; б) сложные.

Решение 1.

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб. (отв. 68000 руб.)

По формуле простых процентов

Sn=(1+0.12)3*50 000 = 70246 руб. (отв. 70246 руб.)

Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, накопленную сумму (будущую стоимость вклада), годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:

Sn = S0 * (1+0,01р)n

Для определения количество процентов р необходимо:

р = 100 * ((Sn / S0 )1/n – 1) (2.1)

Операция нахождения первоначального вклада S0, если известно что через n лет он должен составить сумму Sn, называется дисконтированием:

S0 = Sn * (1 + 0,01р) –n (2.2)

Сколько лет вклад S0 должен пролежать в банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины Sn.

n = (lnSn – lnS0) / (ln(1 + 0,01р) (2.3)

В банковской практике проценты могут начисляться чаще чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

Sn = (1 + ?/t )n•t S0 (3)

где t – число реинвестиций процентов в году.

Пример 2.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму если проценты начисляются ежеквартально.

Решение 2.

n = 3

t = 4 (в году – 4 квартала)

По формуле сложных процентов

S3 = (1+0.12/4)3*4*50000 = 1.0312*50000 = 71288 руб. Отв. 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.

Приведем обобщение формулы (2), когда прирост величины S на каждом этапе свой. Пусть Sо, первоначальное значение величины S, в конце первого этапа испытывает изменение на р1%, в конце второго на р2%, а в конце третьего этапа на р3% и т.д. В конце n-го этапа значение величины S определяется формулой

Sn = S0 (1 + 0,01р1 )(1 + 0,01р2 )…(1 + 0,01рn ) (4)

Пример 3.

Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.

Решение 3.

Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле (4) имеем:

S0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S0*1,3*1,2*0,9 = S0*1,404 = 140,4

S0 = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)

Находим разность последней и первоначальной цены

140,4 – 100 = 40,4 Отв. 40,4 руб.

Примеры задач с решениями

Вариант 1

Задача 1. Владелец автозаправки повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась начальная цена на бензин? (повысилась или понизилась и на сколько % -ов?)

Решение: Пусть S0 – начальная цена, S2 – конечная цена, х — искомое число процентов изменения, где х = (1 — S2/S0 )*100% (*)

Тогда по формуле Sn = S0 (1 + 0,01р1 )(1 + 0,01р2 )***(1 + 0,01рn ) (4), получим

S2 = S0 (1 + 0,01*10 )(1 — 0,01*10) = S0*1,1*0,9 = 0,99*S0.

S2 = 0,99*S0; 0,99 = 99%, значение S2 составляет 99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% — 99% = 1%.

Или по формуле (*) получаем: х = (1 – 0,99 )*100% = 1%.

Ответ: понизилась на 1%.

Задача 2. В течении года предприятие дважды увеличивало выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года предприятие ежемесячно выпускало 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение: Пусть S0 – начальная цена, S2 – конечная цена, р – постоянное количество процентов.

По формуле (2.1) получаем: р = 100 * ((726 / 600 )1/2 – 1) = 10%.

Ответ: 10%

Задача 3. Цена на компьютерную технику были повышены на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых процентных снижений цена на компьютеры оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов каждый раз понижали цену?

Решение: По формуле (4), составляем уравнение

S3 = S0 (1 + 0,01*44)(1 — 0,01р )(1 — 0,01р) = S0 *1,44*(1 — 0,01р )2 = S0 * (1-0,01*19). Решая уравнение, получаем 2 корня: 175 и 25, где 175 не подходит условию задачи. Поэтому р = 25%.

Ответ: 25%

Задача 4. Для определения оптимального режима повышения цен фирма решила с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца, во втором магазине?

Решение: Пусть S0 – начальная цена, р – постоянное количество процентов.

Тогда через 6 месяцев (после шести повышений на 2%) в первом магазине цена на товар станет равна S0 (1 + 0,01*2)6, а во втором магазине (после трех повышений на р%) цена товара будет равна S0 (1 + 0,01р)3. Получаем уравнение S0 (1 + 0,01*2)6 = S0 (1 + 0,01р)3. Решая его, получаем

(1 + 0,01*2)2 = (1 + 0,01р); 1,022= (1 + 0,01р); р = 4,04

Ответ: 4,04%

Вариант 2.

Задача 1. Автомобиль ехал по магистрали с определенной скоростью. Выезжая на проселочную дорогу, он снизил скорость на 20%, а затем на участке крутого подъема он уменьшил скорость на 30%. На сколько процентов эта новая скорость ниже первоначальной?

Решение: Пусть V0 – начальная скорость, V – новая скорость, которая получается после двух разных изменений, р – искомое количество процента.

Тогда по формуле (4), составляем уравнение V0(1 — 0,01*20)(1 — 0,01*30) = V0(1 — 0,01р). Решая его получаем V0*0,8*0,7 = V0(1 — 0,01р); р = 44

Ответ: 44%

Задача 2. Предположим, что в комнатной температуре за день вода испаряется на 3%. Сколько литров воды останется через 2 дня от 100 литров? А сколько воды испарится?

Решение: n=2; р=3%; S0= 100л. Тогда по формуле (2), получаем

S2 = S0 (1 — 0,01р )2 = 100*(1-0,01*3)2 = 100*0,972 = 94,09; S0 – S2= 100 — 94,09 = 5,91

Ответ: 94,09л.; 5,91л.

Задача 3. Вклад, положенный в банк 2 года назад, достиг 11449 рублей. Каков был первоначальный вклад при 7% годовых? Какова прибыль?

Решение: n=2; р=7%; S2= 11449; S0= ?

В формулу (2.2) S0 = Sn * (1 + 0,01р) –n подставляем данные значения, получаем:

S0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07)2=11449/ 1,1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Ответ: 10000 руб.; 1449 руб.

Задача 4. Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?

Решение: р=3%; S0 – начальная сумма; n=?

Составим уравнение: 2*S0 = S0 (1 + 0,01р )n; 2*S0 = S0 (1 + 0,03)n; 2 = 1,03n n=log1,032; n ?23.

Самостоятельная работа

1-уровень. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 10%, а после замены оборудования еще на 30%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?

(Ответ: на 43%)

2-уровень. Число 50 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а потом уменьшили на это же число процентов. В результате получили число 69,12. На сколько процентов увеличивали, а потом уменьшали данное число?

(Ответ: на 20%)

3-уровень. Банк начисляет ежегодно 7% от суммы вклада. Найдите наименьшее число лет, за которое вклад вырастает более чем на 20%.

(Ответ: 3 года)

№1. Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 5,5% годовых. Вкладчик внес в банк 150 тысяч рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года?

(Ответ: 166953,75 руб.)

№3. Банк предлагает два варианта депозита

1) под 120% с начислением процентов в конце года;

2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Решение.

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб.

По первому варианту накопленная сумма будет равна (1+1,2)*100 руб. = 220 руб.

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала накопленная сумма равна (1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.

По окончании 2-го квартала (1+1,0/4)2*100 руб. = 156 руб.

За год накопленная сумма равна (1+1,0/4)4*100 руб. = 244 руб.

Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244 > 220). Правда, только при условии применения сложных процентов.

Подборка прототипов задания №19 ЕГЭ по математике 2015 года профильного уровня.

19. 31 декабря 2012 года Екатерина взяла в банке 850000 рублей в кредит под 15% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 15%), затем Екатерина переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Екатерина выплатила долг тремя равными ежегодными платежами?

19. Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых.

Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк

начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%),

затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную

(фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать

кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им

банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000

рублей?

19. В 8-литровой колбе находится смесь азота и кислорода, содержащая 32% кислорода. Из колбы выпустили некоторое количество смеси и добавили столько же азота; затем снова выпустили такое же, как и в первый раз, количество новой смеси и добавили столько же азота. В итоге процентное содержание кислорода в смеси составило 12,5%. Сколько литров смеси выпускали каждый раз?

19. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?

19. В первый рабочий день месяца с заводского конвейера сошло некоторое число тракторов. Каждый следующий рабочий день их выпуск возрастал на 3 трактора ежедневно, и месячный план 55 тракторов был выполнен досрочно, причем за целое число дней. После этого ежедневно выпускалось 11 тракторов. Определите, сколько тракторов было выпущено в первый рабочий день, и на сколько процентов был перевыполнен месячный план, если известно, что в месяце было 26 рабочих дней, а плановая работа длилась не менее 3 и не более 10 дней.

19. 8 марта Леня Голубков взял в банке 53 680 рублей в кредит на 4 года под 20% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых 53 680 рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года?

19. Семён Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счёт в банк «Навроде» под 500%, рассчитывая через год забрать А рублей. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы, предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег г-н Кузнецов положил в банк «Первый Муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый Муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза, и г-н Кузнецов решил оставить вклад ещё на год. В итоге размер суммы, полученной в «Первом Муниципальном», составил А рублей. Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый Муниципальный», если в банку из-под макарон Семён «вложил» А рублей.

19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.