Задачи на смекалку 11 класс егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Задачи на смекалку БАЗА
№20

1. Задание 20 № 506313

Каждую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бактерии.
Известно, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час.
За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?

Пояснение.

Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше
бактерий. То есть если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана,
то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет
заполнено через 59 минут и 59 секунд то есть через 3599 секунд.

2. Задание 20 № 510016

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и
зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 15 кусков,
если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколь­ко кус­ков
получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?

Пояснение.

Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, то по­лу­чит­ся 15
кусков, следовательно, линий — 14. Если рас­пи­лить палку по жел­тым — 5
кусков, следовательно, линий — 4. Если рас­пи­лить по зе­ле­ным — 7 кусков,
линий — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии,
следовательно, кус­ков будет 25.

3. Задание 20 № 510036

Кузнечик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии
на еди­нич­ный от­ре­зок за один прыжок. Куз­не­чик на­чи­на­ет пры­гать из на­ча­ла
координат. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной прямой,
в ко­то­рых куз­не­чик может оказаться, сде­лав ровно 11 прыжков?

Пояснение.

Заметим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с
нечётными координатами, по­сколь­ку число прыжков, ко­то­рое он делает, —
нечётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точках, мо­дуль ко­то­рых
не пре­вы­ша­ет одиннадцати. Таким образом, куз­не­чик может ока­зать­ся в
точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

Ответ: 12.

4. Задание 20 № 510166

В кор­зи­не лежит 40 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Согласно усло­вию задачи:  —
долж­но быть рыжиков.  —
долж­но быть груздей. Таким образом, ры­жи­ков в кор­зи­не .

Ответ: 24.

5. Задание 20 № 510211

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де
в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил,
что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир
одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом
подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7 = 66 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 7
эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в
пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся
в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи
подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но,
квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку
на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых
шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра
в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5

6. Задание 20 № 510231

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в вось­мом подъ­ез­де
в квар­ти­ре № 468, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил,
что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число
квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 8 подъ­ез­дах не мень­ше 468 квар­тир, в каж­дом
подъ­ез­де не мень­ше 468 : 8 = 58,5 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из
12 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 4 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 4 квартиры. Тогда в
пер­вых вось­ми подъ­ез­дах всего 4 · 8 · 12 = 384 квартиры, и квар­ти­ра 468
ока­жет­ся не в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 5 квар­тир. Тогда в пер­вых вось­ми
подъ­ез­дах 5 · 8 · 12 = 480 квар­тир, а в пер­вых семи — 420. Сле­до­ва­тель­но,
квар­ти­ра 468 на­хо­дит­ся в вось­мом подъ­ез­де. Она в нем 48-ая по счету, по­сколь­ку
на этаже по 5 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на де­ся­том этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 6 квар­тир, то в пер­вых
семи подъ­ез­дах ока­за­лось бы 6 · 7 · 12 = 504 квар­ти­ры, то есть 482 квар­ти­ра
в седь­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Тем самым, Саша живёт на де­ся­том этаже.

Ответ: 10

7. Задание 20 № 510251

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в две­на­дца­том
подъ­ез­де в квар­ти­ре № 465, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя
обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах
число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 12 подъ­ез­дах не мень­ше 465 квар­тир, в
каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 465 : 12 = 38,75 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на
каж­дом из 5 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 7 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 7 квар­тир. Тогда в
пер­вых две­на­дца­ти подъ­ез­дах всего 12 · 7 · 5 = 420 квар­ти­р, и квар­ти­ра
465 ока­жет­ся в три­на­дца­том подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 8 квар­тир. Тогда в пер­вых две­на­дца­ти
подъ­ез­дах 12 · 8 · 5 = 480 квар­тир, а в пер­вых один­на­дца­ти — 440. Сле­до­ва­тель­но,
квар­ти­ра 465 на­хо­дит­ся в две­на­дца­том подъ­ез­де. Она в нем 25-ая по
счету, по­сколь­ку на этаже по 8 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на чет­вер­том
этаже.

Тем самым, Саша живёт на чет­вер­том этаже.

Ответ: 4

8. Задание 20 № 510271

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в де­ся­том подъ­ез­де
в квар­ти­ре № 333, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил,
что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир
одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 10 подъ­ез­дах не мень­ше 333 квар­тир, в
каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 333 : 10 = 33,3 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на
каж­дом из 9 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 3 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 3 квар­тиры. Тогда в
пер­вых де­ся­ти подъ­ез­дах всего 10 · 3· 9 = 270 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 333
ока­жет­ся в один­на­дца­том подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 4 квар­тиры. Тогда в пер­вых де­ся­ти
подъ­ез­дах 10 · 4 · 9 = 360 квар­тир, а в пер­вых де­вя­ти — 324. Сле­до­ва­тель­но,
квар­ти­ра 333 на­хо­дит­ся в де­ся­том подъ­ез­де. Она в нем 9-ая по счету, по­сколь­ку
на этаже по 4 квар­тиры, она рас­по­ло­же­на на тре­тьем этаже.

Тем самым, Саша живёт на тре­тьем этаже.

Ответ: 3

9. Задание 20 № 507073

Тренер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти
на бе­го­вой до­рож­ке 15 минут, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать
время, проведённое на бе­го­вой дорожке, на 7 минут. За сколь­ко за­ня­тий Ан­дрей
проведёт на бе­го­вой до­рож­ке в общей слож­но­сти 2 часа 25 минут, если будет
сле­до­вать со­ве­там тренера?

Пояснение.

Время, проведённое на бе­го­вой до­рож­ке пред­став­ля­ет собой
ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном рав­ным 15 и раз­но­стью 7.
Сумма  чле­нов
ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии может быть най­де­на по формуле:

Получили квад­рат­ное урав­не­ние на  решим
его:

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит зна­че­ние 

Ответ: 5.

10. Задание 20 № 507074

Врач про­пи­сал пациенту при­ни­мать лекарство по такой схеме: в
пер­вый день он дол­жен принять 3 капли, а в каж­дый следующий день — на 3
капли больше, чем в предыдущий. При­няв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 ка­пель
лекарства, а потом еже­днев­но уменьшает приём на 3 капли. Сколь­ко пузырьков
ле­кар­ства нужно ку­пить пациенту на весь курс приёма, если в каж­дом
содержится 20 мл ле­кар­ства (что со­став­ля­ет 250 капель)?

Пояснение.

На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день
представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом,
равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно,

этап,
когда число капель в день возрастает продолжается  Суммарное
число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической
прогрессии:

Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё  Последний
этап приёма капель длится  Аналогично
первому этапу:

Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90
+ 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести не меньше  пузырьков
лекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства — 2.

Ответ: 2.

11. Задание 20 № 509705

Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой
схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 20 капель, а в каж­дый сле­ду­ю­щий
день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма па­ци­ент де­ла­ет
пе­ре­рыв в 3 дня и про­дол­жа­ет при­ни­мать ле­кар­ство по об­рат­ной схеме:
в 19-й день он при­ни­ма­ет столь­ко же капель, сколь­ко и в 15-й день, а затем
еже­днев­но умень­ша­ет дозу на 3 капли, пока до­зи­ров­ка не ста­нет мень­ше 3
ка­пель в день. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на
весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 200 капель?

Пояснение.

С на­ча­ла курса до 15 дня приёма ле­кар­ства (включительно), па­ци­ент
будет при­ни­мать каж­дый день на три капли больше, чем в предыдущий,
следовательно, к 15 дню приёма ле­кар­ства па­ци­ент при­мет 615 капель. С 19
дня до конца приёма ле­кар­ства он вы­пьет столь­ко же, но на 55 ка­пель больше.
Следовательно, за весь курс приёма ле­кар­ства па­ци­ент вы­пьет
615 + 615 + 55 = 1285 ка­пель лекарства. Те­перь
найдём сколь­ко пу­зырь­ков нужно ку­пить:
1285 : 200 = 6,4. Счи­та­ем пол­ные пу­зырь­ки с ле­кар­ством
— 7.

12. Задание 20 № 507075

Произведение де­ся­ти идущих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему
может быть равен остаток?

Пояснение.

Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет
делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно,
остаток от деления на 7 равен нулю.

Ответ: 0.

13. Задание 20 № 507076

Сколькими спо­со­ба­ми можно по­ста­вить в ряд два оди­на­ко­вых крас­ных
кубика, три оди­на­ко­вых зелёных ку­би­ка и один синий кубик?

Пояснение.

Занумеруем все ку­би­ки от од­но­го до шести. Пока не учитываем,
что в нашем на­бо­ре есть ку­би­ки одинакового цвета. На пер­вое место можно по­ста­вить
кубик ше­стью способами, на вто­рое — пятью, на тре­тье — че­тырь­мя и так
далее. Получаем, что всего воз­мож­но­стей расстановки ку­би­ков  Те­перь
учтём, что перестановка, например, двух крас­ных кубиков не даёт но­во­го
способа рас­ста­нов­ки кубиков. В любом по­лу­чен­ном выше на­бо­ре можно пе­ре­ста­вить
красные ку­би­ки местами, то есть число рас­ста­но­вок уменьшится в два раза. С
зелёными ку­би­ка­ми аналогично. Зелёных ку­би­ков три, по­это­му в любом по­лу­чен­ном
выше на­бо­ре можно пе­ре­став­лять их, не по­лу­чая новых спо­со­бов
расстановки кубиков. Таких пе­ре­ста­но­вок зелёных ку­би­ков 

Следовательно, ис­ко­мое число спо­со­бов равно: 

Ответ: 60.

14. Задание 20 № 507077

В бак объёмом 38 лит­ров каж­дый час, на­чи­ная с 12 часов, на­ли­ва­ют
пол­ное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть не­боль­шая щель, и
из неё за час вы­те­ка­ет 3 литра. В какой мо­мент вре­ме­ни (в часах) бак
будет за­пол­нен полностью.

Пояснение.

К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5
литров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18
часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров.

Ответ: 18.

15. Задание 20 № 507078

Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы
их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?

Пояснение.

Достаточно взять два числа, одно из ко­то­рых кратно семи,
например, 7 и 8.

Ответ: 2.

Примечание.

Если бы усло­вие задачи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число
иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­нно де­ли­лось
на 7?» То нужно было бы взять семь под­ряд идущих чисел.

16. Задание 20 № 507079

В ре­зуль­та­те паводка кот­ло­ван заполнился водой до уров­ня 2
метра. Стро­и­тель­ная помпа не­пре­рыв­но откачивает воду, по­ни­жая её уро­вень
на 20 см в час. Под­поч­вен­ные воды, наоборот, по­вы­ша­ют уровень воды в кот­ло­ва­не
на 5 см в час. За сколь­ко часов ра­бо­ты помпы уро­вень воды в кот­ло­ва­не
опустится до 80 см?

Пояснение.

За час уровень воды в котловане уменьшается на 20 − 5 = 15 см.
Нужно откачать 2 · 100 − 80 = 120 см воды. Следовательно, уровень
воды в котловане опустится до 80 см за 

Ответ: 8.

17. Задание 20 № 507080

В меню ре­сто­ра­на имеется 6 видов салатов, 3 вида пер­вых блюд,
5 видов вто­рых блюд и 4 вида десерта. Сколь­ко вариантов обеда из салата,
первого, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать посетители этого ресторана?

Пояснение.

Салат можно выбрать шестью способами, первое — тремя, второе —
пятью, десерт — четырьмя. Следовательно, всего
6 · 3 · 5 · 4 = 360 вариантов обеда.

Ответ: 360.

18. Задание 20 № 507081

Нефтяная ком­па­ния бурит сква­жи­ну для до­бы­чи нефти, ко­то­рая
залегает, по дан­ным геологоразведки, на глу­би­не 3 км. В те­че­ние ра­бо­че­го
дня бу­риль­щи­ки про­хо­дят 300 мет­ров в глубину, но за ночь сква­жи­на вновь
«заиливается», то есть за­пол­ня­ет­ся грун­том на 30 метров. За сколь­ко ра­бо­чих
дней неф­тя­ни­ки про­бу­рят сква­жи­ну до глу­би­ны за­ле­га­ния нефти?

Пояснение.

За день скважина уве­ли­чи­ва­ет­ся на 300 − 30 = 270 м. к началу
одиннадцатого рабочего дня неф­тя­ни­ки пробурят 2700 метров. За один­на­дца­тый
рабочий день неф­тя­ни­ки пробурят ещё 300 метров, то есть дойдут до глубины
3 км.

Ответ: 11.

Примечание.

В действительности, часто, на на­сто­я­щих буровых вышках, неф­тя­ни­ки
бурят в три смены, по­это­му у них сква­жи­ны заливаться не успевают.

19. Задание 20 № 507083

Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы
их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 9?

Пояснение.

Достаточно взять два числа, одно из ко­то­рых крат­но девяти,
например, 9 и 10.

Ответ: 2.

Примечание.

Если бы усло­вие за­да­чи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число
иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­нно де­ли­лось
на 9?» То нужно было бы взять шесть под­ряд иду­щих чисел.

20. Задание 20 № 509227

В об­мен­ном пункте можно со­вер­шить одну из двух операций:

• за 2 зо­ло­тых монеты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну медную;

• за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну медную.

У Ни­ко­лая были толь­ко серебряные монеты. После не­сколь­ких
посещений об­мен­но­го пункта се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых
не появилось, зато по­яви­лось 50 медных. На сколь­ко уменьшилось ко­ли­че­ство
серебряных монет у Николая?

Пояснение.

Пусть Ни­ко­лай сде­лал сна­ча­ла  опе­ра­ций
вто­ро­го типа, а затем  опе­ра­ций
пер­во­го типа. Тогда имеем:

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на  больше,
то есть на 10 меньше.

21. Задание 20 № 509625

На по­верх­но­сти глобуса фло­ма­сте­ром проведены 12 па­рал­ле­лей
и 22 меридиана. На сколь­ко частей проведённые линии раз­де­ли­ли поверхность
глобуса?

Меридиан — это дуга окружности, со­еди­ня­ю­щая Северный и Южный
полюсы. Па­рал­лель — это окружность, ле­жа­щая в плоскости, па­рал­лель­ной
плоскости экватора.

Пояснение.

Двенадцать параллелей разделили глобус на 13 частей, следовательно
13 · 22 = 286 — на столько частей разделят глобус 12
параллелей и 22 меридианы.

Ответ: 286.

22. Задание 20 № 509665

В кор­зи­не лежит 50 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 28 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко груз­дей в корзине?

Пояснение.

В корзине точно лежит 27 груздей и 23 рыжика, так как взять 28
груздей, как и 24 рыжика, не получится.

23. Задание 20 № 509725

Группа ту­ри­стов преодолела гор­ный перевал. Пер­вый километр
подъёма они пре­одо­ле­ли за 50 минут, а каж­дый следующий ки­ло­метр проходили
на 15 минут доль­ше предыдущего. По­след­ний километр перед вер­ши­ной был прой­ден
за 95 минут. После де­ся­ти­ми­нут­но­го отдыха на вер­ши­не туристы на­ча­ли
спуск, ко­то­рый был более пологим. Пер­вый километр после вер­ши­ны был прой­ден
за час, а каж­дый следующий на 10 минут быст­рее предыдущего. Сколь­ко часов
груп­па затратила на весь маршрут, если по­след­ний километр спус­ка был прой­ден
за 10 минут.

Пояснение.

На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на
спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут.
Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь
маршрут.

24. Задание 20 № 509986

На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бензоколонки: A,
B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B — 35 км, между A и
C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все
рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую
сторону). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C. Ответ дайте в километрах.

Пояснение.

Рас­по­ло­жим
А, В, C, D вдоль коль­це­вой до­ро­ги по оче­ре­ди так, чтобы рас­сто­я­ния со­от­вет­ство­ва­ли
дан­ным в усло­вии. Всё хо­ро­шо, кроме рас­сто­я­ния между D и A. Чтобы оно
было таким, каким нужно, по­дви­нем D и по­ста­вим между B и A нуж­ным об­ра­зом.
Тогда между B и C будет 15 км.

Ответ: 15.

25. Задание 20 № 506383

На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бензоколонки: A,
B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C
и D — 25 км, между D и A — 35 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой
до­ро­ги в крат­чай­шую сторону). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C.

Пояснение.

Расположим А,
В, C, D вдоль коль­це­вой до­ро­ги по оче­ре­ди так, чтобы рас­сто­я­ния со­от­вет­ство­ва­ли
дан­ным в условии. Всё хорошо, кроме рас­сто­я­ния между D и A. Чтобы оно было
таким, каким нужно, по­дви­нем D и по­ста­вим между B и A нуж­ным образом.
Тогда между B и D будет 15 км. А между B и С —10 км.

26. Задание 20 № 506319

В клас­се учит­ся 25 учащихся. Не­сколь­ко из них хо­ди­ли в кино,
18 че­ло­век хо­ди­ли в театр, причём и в кино, и в театр хо­ди­ли 12 человек.
Известно, что трое не хо­ди­ли ни в кино, ни в театр. Сколь­ко че­ло­век из
клас­са хо­ди­ли в кино?

Пояснение.

12 че­ло­век хо­ди­ли и в кино, и в театр. А всего в театр хо­ди­ло
18 человек. Значит, 6 че­ло­век хо­ди­ли толь­ко в театр.

Сходили в театр или в кино и в театр, или ни­ку­да не хо­ди­ли
—  человек.
Значит,  че­ло­ве­ка
хо­ди­ли толь­ко в кино. И зна­чит всего в кино схо­ди­ло  человек.

27. Задание 20 № 506733

По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на
микросхемах каждый год удваивается. Известно, что в 2005 году среднее число
транзисторов на микросхеме равнялось 520 млн. Определите, сколько в
среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году.

Пояснение.

Каждый год число транзисторов удваивается, поэтому в 2004 году
среднее число транзисторов равнялось 520/2 = 260 млн, а в 2003 —
260/2 = 130 млн.

Ответ: 130.

28. Задание 20 № 506732

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2
боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

Пояснение.

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с
первым членом  и
разностью  Член
арифметической прогрессии с номером  может
быть найден по формуле

Необходимо найти ,
имеем:

Ответ: 38.

29. Задание 20 № 506443

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и
зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 5
кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколь­ко кус­ков
получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?

Пояснение.

Каждый рас­пил уве­ли­чи­ва­ет ко­ли­че­ство кус­ков на один. То
есть всего 4 крас­ные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вме­сте 20 линий. А
кус­ков по­лу­чит­ся 21.

30. Задание 20 № 506343

В ма­га­зи­не бы­то­вой тех­ни­ки объём про­даж хо­ло­диль­ни­ков
носит се­зон­ный характер. В ян­ва­ре было про­да­но 10 холодильников, и в три
по­сле­ду­ю­щих ме­ся­ца про­да­ва­ли по 10 холодильников. С мая про­да­жи уве­ли­чи­ва­лись
на 15 еди­ниц по срав­не­нию с преды­ду­щим месяцем. С сен­тяб­ря объём про­даж
начал умень­шать­ся на 15 хо­ло­диль­ни­ков каж­дый месяц от­но­си­тель­но
преды­ду­ще­го месяца. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков про­дал ма­га­зин за год?

Пояснение.

Последовательно рас­счи­та­ем сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков было про­да­но
за каж­дый месяц и про­сум­ми­ру­ем результаты:

Ответ: 360.

31. Задание 20 № 506423

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух операций:

1) за 3 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 4 се­реб­ря­ных и одну
медную;

2) за 6 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 4 зо­ло­тых и одну медную.

У Ни­ко­лы были толь­ко се­реб­ря­ные монеты. После по­се­ще­ний
об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не
появилось, зато по­яви­лось 35 медных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство
се­реб­ря­ных монет у Николы?

Пояснение.

Пусть Ни­ко­ла сде­лал сна­ча­ла  опе­ра­ций
вто­ро­го типа, а затем  опе­ра­ций
пер­во­го типа. Тогда имеем:

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на  больше,
то есть на 10 меньше.

32. Задание 20 № 506403

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де
в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя
обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каж­дом этаже
число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

Поскольку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квартир, в каж­дом
подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7 =  66 квартир. Следовательно,
на каж­дом из 7 этаже в подъ­ез­де не мень­ше 9 квартир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квартир. Тогда в пер­вых
семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квар­ти­ра
462 ока­жет­ся в вось­мом подъезде, что про­ти­во­ре­чит условию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квартир. Тогда в пер­вых семи
подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в пер­вых
шести — 420. Следовательно, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом
подъезде. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квартир, она рас­по­ло­же­на
на пятом этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квартир, то в пер­вых
шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462
квартиры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъезде, что про­ти­во­ре­чит
условию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5.

33. Задание 20 № 506730

Во всех подъ­ез­дах дома оди­на­ко­вое число этажей, а на каж­дом
этаже оди­на­ко­вое число квартир. При этом число эта­жей в доме боль­ше числа
квар­тир на этаже, число квар­тир на этаже боль­ше числа подъездов, а число
подъ­ез­дов боль­ше одного. Сколь­ко эта­жей в доме, если всего в нём 110
квартир?

Пояснение.

Число квартир, эта­жей и подъ­ез­дов может быть толь­ко целым
числом. Заметим, что число 110 де­лит­ся на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме
долж­но быть 2 подъезда, 5 квар­тир и 11 этажей.

Ответ: 11.

34. Задание 20 № 506731

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на
единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной
прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная
прыгать из начала координат?

Пояснение.

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными
координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, — чётно. Максимально
кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает шести. Таким
образом, кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7
точек.

Ответ: 7.

35. Задание 20 № 506646

В кор­зи­не лежат 40 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

В корзине имеется как минимум 24 рыжика. Иначе мы бы могли взять
17 груздей, и первое условие бы не выполнилось. Аналогично из второго условия
вытекает, что в корзине как минимум 16 груздей. Из этих двух утверждений можно
сделать вывод, что в корзине ровно 24 рыжика и 16 груздей.

———-

Дублирует задание 506363.

36. Задание 20 № 506363

В кор­зи­не лежат 25 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Пусть мы взяли 10 груздей. Тогда все осталь­ные грибы — рыжики,
иначе бы мы взяли груздь и усло­вие бы нарушилось. Таким образом, в кор­зи­не
ми­ни­мум 15 рыжиков. Те­перь возьмём 15 рыжиков. Тогда все осталь­ные грузди,
иначе ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю мы бы взяли один из остав­ших­ся рыжиков,
и усло­вие бы не выполнилось. От­сю­да следует, что в кор­зи­не ми­ни­мум 10
груздей. Ми­ни­мум 15 ры­жи­ков и ми­ни­мум 10 груздей. А всего гри­бов 25.
Значит, среди них имен­но 15 ры­жи­ков и 10 груздей.

37. Задание 20 № 506835

В кор­зи­не лежат 30 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

В кор­зи­не есть как ми­ни­мум 19 рыжиков. Иначе можно было бы
взять 12 груз­дей и пер­вое усло­вие не выполнялось. Ана­ло­гич­но из вто­ро­го
усло­вия следует, что в кор­зи­не как ми­ни­мум 11 груздей. Со­по­став­ляя эти
два факта, получим, что в кор­зи­не имен­но 19 ры­жи­ков и 11 груздей.

Ответ: 19.

———-

Дублирует за­да­ние 506363.

38. Задание 20 № 506729

На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и
24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность
глобуса?

Пояснение.

Представим, что на глобусе ещё не нарисованы параллели и
меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части. Рассмотрим
сектор, образованный двумя соседними меридианами. Проведение первой параллели
разделит сектор на две части, проведение второй добавить ещё одну часть, и так
далее, таким образом, 17 параллелей разделят сектор на 18 частей.
Следовательно, весь глобус будет разбит на
24 · 18 = 432 части.

Ответ: 432.

39. Задание 20 № 506523

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь
спол­за­ет на 3 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые
доползёт до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

За день улит­ка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3
метра. Итого за сутки она заползёт на метр. За ше­сте­ро суток она под­ни­мет­ся
на вы­со­ту шести метров. И днём сле­ду­ю­ще­го, седьмого, дня она ока­жет­ся
на вер­ши­не дерева.

40. Задание 20 № 506793

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь
спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 13 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые
доползёт до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

За день улит­ка заползёт на 4 метра, а за ночь спу­стит­ся на 1
метр. Итого за сутки она под­ни­мет­ся на 3 метра. За трое суток он ока­жет­ся
на вы­со­те 9 метров. И во время сле­ду­ю­ще­го дня заползёт на вер­ши­ну
дерева.

41. Задание 20 № 506292

Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец
на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 4200 рублей, а за
каж­дый сле­ду­ю­щий метр — на 1300 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко
денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец
глу­би­ной 11 метров?

Пояснение.

Последовательность цен за метр — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с
пер­вым членом  и
раз­но­стью  Сумма
пер­вых  членов
ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вычисляется по формуле  В
нашем случае имеем:

Тем самым, цена работы составляет 117 700 руб.

Ответ: 117 700.

42. Задание 20 № 506688

Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они ко­па­ют ко­ло­дец на
сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 рублей, а за каж­дый
сле­ду­ю­щий метр — на 1600 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег
хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной
9 метров?

Пояснение.

Последовательность цен за метр — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с
пер­вым эле­мен­том и
раз­но­стью  Сумма
пер­вых  эле­мен­тов
ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии —  То
есть в нашем слу­чае имеем 

Примечание.

Цены завышены в несколько раз. Видимо, составители ЕГЭ никогда не
рыли колодцев.

43. Задание 20 № 510696

В кор­зи­не лежит 45 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 23 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Так как среди любых 23 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не
больше 22. Так как среди любых 24 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не
больше 23. А так как всего в корзине 45 грибов, то груздей ровно 22, а рыжиков
ровно 23.

Ответ: 23

44. Задание 20 № 510716

В кор­зи­не лежит 25 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что
среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов
хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Так как среди любых 11 гри­бов хотя бы один – рыжик, то груз­дей
не боль­ше 10. Так как среди любых 16 гри­бов хотя бы один – груздь, то ры­жи­ков
не боль­ше 15. А так как всего в кор­зи­не 25 грибов, то груз­дей ровно 10, а
ры­жи­ков ровно 15.

Ответ: 15

45. Задание 20 № 510736

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 вопросов. За каж­дый
пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него
спи­сы­ва­ли 10 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко
вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 42 очка, если известно, что по край­ней
мере один раз он ошибся?

Пояснение.

Он дал  правильных
ответов,  неправильных  и
на вопросов
не ответил совсем.

За каждый правильный ответ он получал 7, за неправильный (−10), за
неосвещенный вопрос — 0.

Получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными, подберём
решения данной системы уравнений.

Из второго уравнения

Так как число  делится
на 7, то и 10y делится на 7. Рассмотрим два случая.

1) ,
тогда ,
то есть 

2) ,
тогда ,
то есть количество правильно отвеченных вопросов  Это
противоречит условию задачи.

Таким образом, ученик правильно ответил на 16 вопросов.

Ответ: 16

46. Задание 20 № 510906

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жел­то­го и зе­ле­но­го
цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, то по­лу­чит­ся 5 кусков,
если по жел­тым ― 7 кусков, а если по зе­ле­ным ― 11 кусков. Сколь­ко кус­ков
получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трех цветов?

Пояснение.

Распилим на 5 кус­ков по крас­ным линиям, при рас­пи­ле по жел­тым
добавится еще 6 кусков, а при рас­пи­ле по зе­ле­ным линиям — еще 10 кусков.
Всего по­лу­чит­ся 21 кусок палки.

47. Задание 20 № 510973

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 2 м, а за ночь
спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 11 м. За сколь­ко дней улит­ка доползёт от
ос­но­ва­ния до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

Улитка за день под­ни­ма­ет­ся вверх на 2 м, а опус­ка­ет­ся вниз
на 1 м. Итого за сутки она про­дви­га­ет­ся на 1 м. За 9 суток она под­ни­мет­ся
на 9 м. На 10 день она до­стиг­нет вер­ши­ны дерева.

Ответ: 10

48. Задание 20 № 510993

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь
спол­за­ет на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 14 м. За сколь­ко дней улит­ка доползёт от
ос­но­ва­ния до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

Улитка за день под­ни­ма­ет­ся вверх на 4 м, а опус­ка­ет­ся вниз
на 2 м. Итого за сутки она про­дви­га­ет­ся на 2 м. За 5 суток она под­ни­мет­ся
на 10 м. За 6 день улитка поднимется ещё на 4 м и окажется на высоте 14 м, то
есть она до­стиг­нет вер­ши­ны дерева.

Ответ: 6.

49. Задание 20 № 511016

Прямоугольник
раз­бит на че­ты­ре мень­ших пря­мо­уголь­ни­ка двумя пря­мо­ли­ней­ны­ми
разрезами. Пе­ри­мет­ры трёх из них, на­чи­ная с ле­во­го верх­не­го и далее по
ча­со­вой стрелке, равны 24, 28 и 16. Най­ди­те пе­ри­метр четвёртого
прямоугольника.

Пояснение.

Введём
обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Периметр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка
равна 24, по­это­му  аналогично,  При
по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние 

Из тре­тье­го урав­не­ния получаем:  следовательно,
ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Ответ: 12.

50. Задание 20 № 511430

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких
посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не
появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество
серебряных монет у Николая?

Пояснение.

Последовательно получаем:

Если Николай за 1 серебряную получил 3 медных, а у него появилось
90 медных, то он истратил 30 серебряных (т. к. 90 : 3 = 30
серебряных).

Таким образом, у него количество монет уменьшилось на 30.

Ответ: 30.

51. Задание 20 № 512428

Про натуральные числа A, B и С известно,
что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его
умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и
вычли С. Получилось 186. Какое число было загадано?

Пояснение.

Числа А, В и С могут
быть равны 7, 8 или 9.

Пусть загадали натуральное число Х, тогда Х · А + В – С =
186 или Х · А = 186 + (С – В).
Рассмотрим различные случаи.

1) С – В = 0 (7 – 7 = 0, 8 – 8 =
0 или 9 – 9 = 0), тогда Х · А = 186. Число
186 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

2) С – В = 1 (8 – 7 = 1 или 9 –
8 = 1), тогда Х · А = 187. Число 187 не
делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

3) С – В = –1 (7 – 8 = –1 или 8
– 9 = –1), тогда Х · А = 185. Число 185 не
делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

4) С – В = 2 (9 – 7 = 2),
тогда Х · А = 188. Число 188 не делится
нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

5) С – В = –2 (7 – 9 = –2),
тогда Х·А = 184. Число 184 делится нацело на A =
8, значит, Х = 23.

Ответ: 23.

52. Задание 20 № 512508

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём
стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса,
налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка кваса объёмом 1
литр стоит 36 рублей, объёмом 2 литра — 66 рублей. Сколько рублей будет стоить
бутылка кваса объёмом 1,5 литра?

Пояснение.

Пусть стоимость бутылки x, стоимость кваса за
литр y. Имеем систему уравнений:

Тогда бутылка кваса объёмом 1,5 литра будет стоить 6 +
30 · 1,5 = 51 рубль.

Ответ: 51.

53. Задание 20 № 512728

Клетки таблицы 6х6 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что
получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток
чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.)
Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Пояснение.

Угловые клетки имеют по 2 соседа, таких клеток в таблице 4,
значит, всего пар 2 · 4 = 8. Крайние клетки (не угловые) имеют по 3
пары, таких клеток 16, значит, всего пар 16 · 3 = 48. Все остальные
клетки имеют по 4 пары, таких клеток 36 − 4 − 16 = 16, то есть 64
пары. Всего имеем пар 8 + 48 + 64 = 120. В приведенных расчетах все пары взяты
дважды (так как учитывались все клетки). Таким образом, уникальных пар 120 : 2
= 60. Поэтому пар белого цвета 60 − 30 − 16 = 14.

Ответ: 14.

Задачи № 20 базового уровня Задачи на смекалку и логику

Подготовила учитель математики

Тютюнникова И. Н.

МБОУ СОШ № 7 им. Ф. М. Школьного

Тип №1 (про кузнечика)

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?

Решение.

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, т.к. количество прыжков, которое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

Решить самостоятельно

Заяц прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых заяц может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Тип № 2 (про улитку)

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

Решение.

За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр.

За шестеро суток она поднимется на высоту шести метров. И днём следующего дня она уже окажется на вершине дерева.

Ответ: 7

Решить самостоятельно

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

Тип № 3 ( про квартиры)

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462 , а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный . На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение.

Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше 9 квартир.

Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего

9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию.

Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.

Если бы на каж­дой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы

11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.

Значит Саша живёт на пятом этаже.

Решить самостоятельно

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Тип № 4 ( про монеты)

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

Решение .

1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

Последовательно получаем:

2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Если Николай за 1 серебряную получил 3 медных, а у него появилось 90 медных, то он истратил 30 серебряных (т. к. 90 : 3 = 30 серебряных).

Таким образом, у него количество монет уменьшилось на 30.

Ответ: 30

Решить самостоятельно

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 3 золотых монеты получить

4 серебряных и одну медную;

2) за 6 серебряных монет получить

4 золотых и одну медную.

У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось , зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

Тип № 5 (про работу)

Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров ?

Решение.

Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым элементом   3500 и разностью  1600.  Сумма первых  элементов арифметической прогрессии —

То есть в нашем слу­чае имеем 

Решить самостоятельно

Хозяин договорился с рабочими, что они заасфальтируют ему дорогу к дому длиной 20 метров на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 100 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они заасфальтируют дорогу к дому?

Тип № 6 ( про грибы)

В корзине лежат 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Решение.

Пусть мы взяли 10 груздей. Тогда все остальные грибы — рыжики, иначе бы мы взяли груздь и условие бы нарушилось. Таким образом, в корзине минимум 15 рыжиков.

Теперь возьмём 15 рыжиков. Тогда все остальные грузди, иначе аналогично первому случаю мы бы взяли один из оставшихся рыжиков, и условие бы не выполнилось. Отсюда следует, что в корзине минимум 10 груздей. Минимум 15 рыжиков и минимум 10 груздей. А всего грибов 25.

Значит, среди них именно 15 рыжиков и 10 груздей.

Решить самостоятельно

В коробке 20 карандашей: жёлтые и красные. Известно, что среди любых 8 карандашей имеется хотя бы один жёлтый, а среди любых 14 карандашей – хотя бы один красный. Сколько всего жёлтых карандашей в коробке?

Тип № 7 ( про палку)

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Решение.

Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий — 14.

Если распилить палку по желтым — 5 кусков, следовательно, линий — 4.

Если распилить по зеленым — 7 кусков, линий — 6.

Всего линий: 14+4+6=24 линии, следовательно, кусков будет 25.

Ответ: 25

Тип № 8 ( про кольцевую дорогу)

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в км

Решение.

Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали дан­ным в условии. Всё хорошо, кроме расстояния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом.

Тогда между B и C

будет 15 км.

Ответ: 15.

Решить самостоятельно

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C и D — 25 км, между D и A — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C.

Тип № 9 ( про глобус)

На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса?

Решение.

Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Представим, что на глобусе ещё не нарисованы параллели и меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части .

Рассмотрим сектор, образованный двумя соседними меридианами. Проведение первой параллели разделит сектор на две части, проведение второй добавить ещё одну часть, и так далее, таким образом, 17 параллелей разделят сектор на 18 частей .

Следовательно, весь глобус будет разбит на 24 · 18 = 432 части.

Ответ: 432.

Решить самостоятельно

На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

• Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Тип № 10 ( про прямоугольник)

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Периметр верхнего левого прямоугольника равна 24, поэтому

аналогично,

При помощи полученной системы уравнений выразим значение

Из третьего уравнения получаем :

Следовательно, искомый периметр равен 12.

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Тип № 10 ( про прямоугольник)

•  

Составим пропорцию . Отсюда находим площадь четвертого прямоугольника х = 24 .

Прямоугольник разбит на 4 маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с верхнего левого и далее по часовой стрелке, равны 9,12, 32 . Найдите площадь четвертого прямоугольника?

Ответ: 24.

Решить самостоятельно

Прямоугольник разбит на 4 маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с верхнего левого и далее по часовой стрелке, равны 10,2, 6. Найдите площадь четвертого прямоугольника?

Тип № 11 (про числа)

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 119, во втором — 125, в третьем — 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в столбце?

Решение.

Общая сумма во всех столбцах = 119 + 125 + 133 = 377

Числа 18 и 15 не включены в предел, значит:

1) если сумма в строке = 17, то, количество строк равно 377 : 17= =22,2

2) если сумма в строке = 16, то, количество строк равно 377 : 16= =23,5

Значит кол-во строк = 23 (т.к. оно должно быть между 22,2 и 23,5)

Решить самостоятельно

В таблице 3 столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 98, во втором -103, в третьем — 99, а сумма чисел каждой строке больше 26, но меньше 29. Сколько всего строк в таблице?

Тип № 12 (про Машу и Медведя)

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Решение.

1. Так как варенье и Маша, и Медведь съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 3 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 3 раза дольше, чем Медведь

(такую же половину).

2. Тогда получается, что Медведь ел печенья в 3 раза дольше Маши и к тому же ел их в 3 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 3∙3=9 печений, съеденных Медведем.

3. В сумме эти печенья составляют 1+9=10 и таких сумм в 100 печеньях ровно 100:10 = 10.

4. Значит, Маша съела 10 печений, а Медведь 9∙10=90.

Ответ: 90

Решить самостоятельно

Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Тип № 13 (про викторину)

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствие ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение.

Пусть Х – количество верных ответов

у – количество неверных ответов.

Тогда составим уравнение 5х -11у = 75, где 0 и 0 Из уравнения видно, что

у делится на 5.

Пусть: 1) у=5, тогда

5х = 75 + 11у= 75 + 55=130, тогда

х = 130 : 5 = 26 и это меньше 36.

2) у=10, тогда

5х =75 +11у=75+110=185, тогда

х = 185 : 5=37, но это больше 36

Ответ: 26

Решить самостоятельно

Список викторины состоит из 32 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за каждый неправильный ответ с него снимали 9 очков, при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что он по крайней мере 2 раза ошибся?

Тип № 14 (про страницы)

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 372, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Решение.

•  

Из числа 372 можно составить числа 327, 273, 237, 723, 732. Числа 327, 273 и 237 не подходят, поскольку они меньше числа 372. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечётным, поскольку номер последней страницы перед выпавшими листами чётный. Следовательно, нам подходит только число 723. Вычтем из числа 723 одну страницу, поскольку страница 723 не выпала, а является первой страницей после выпавших листов. Теперь можно найти количество выпавших листов: 

Ответ: 175.

Решить самостоятельно

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 274, номер первой страницы после выпавших листов записывается теме же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

Муниципальная научно – практическая конференция

молодых исследователей «Шаг в будущее»

«Задачи на смекалку в ЕГЭ по математике»

Автор

Колядина Валерия Александровна,

учащаяся 10 класса МКОУ «Верхнелуговатская СОШ»

Верхнехавского района Воронежской области

Руководитель

Черных Татьяна Владимировна,

учитель математики МКОУ «Верхнелуговатская СОШ»

Верхнехавского района Воронежской области

2019

Аннотация

Данная исследовательская работа посвящена задачам на смекалку из открытого банка заданий на сайте ФИПИ. ЕГЭ по математике – это обязательный экзамен для всех школьников, поэтому необходимо уметь решать такие задачи. Просматривая разделы открытого банка заданий на сайте ФИПИ, были выбраны все задачи на смекалку. После их распределения на группы удалось составить сборник задач – прототипов. Он поможет выпускникам подготовиться  к экзамену по математике, а также может использоваться на уроках математики и на практикумах. Отрабатывая навык решения различных видов задач на смекалку, можно хорошо подготовиться к ЕГЭ по математике.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………….4

1. Основное содержание работы…………………………………………………………….6

1.  Что такое задача…………………………………………………..…………………6
2.  Виды задач……………………………………………………………………………6
3.  Способы решения задач…………………………………………………………….6

1.  Практическая часть……………………………………………………………………….7

1.  Виды задач на смекалку ……………………………………………………………7
2.  Решение задач……………………………………………………………………….7
3. Эксперимент………………………………………………………………………..17

Заключение…………………………………………………………….………………………..18

Список литературы……………………………………………………………………………..19

Приложение…………………………………………………………………………………….20

Введение.

Каждый ученик мечтает хорошо окончить школу, выбрать профессию, которая будет приносить ему радость и определенный заработок. Он, конечно же, знает, что в школьном возрасте нужно хорошо освоить весь школьный материал для того, чтобы, имея прочные знания получить необходимые баллы для поступления в желаемый ВУЗ. Это является сложной задачей. Школьники решают упражнения  из открытых банков заданий, размещенных на сайте «Федеральный институт педагогических измерений», изучают кимы прошлых лет, прорешивают типовые экзаменационные варианты, составленные разными авторами. Это нужно все для того, чтобы справиться с волнением перед экзаменом, так как страх появляется всегда от неизвестности. Я учусь в 10 классе и в этом году начала готовиться  к ЕГЭ. В связи с изменениями, которые в этом году коснулись математики, выпускникам придется выбирать уровень сдачи экзамена. Для получения аттестата достаточно будет сдать математику на базовом уровне, а чтобы поступить в ВУЗ на техническую специальность математику нужно будет сдавать на профильном уровне. Большинство заданий базовой математики у меня не вызывают затруднений, но некоторые заставляют задуматься. Я решила основательно подойти к подготовке к экзамену подробнее рассмотреть последнее 20 задание базового уровня математики. Поэтому тема моей исследовательской работы «Задачи на смекалку в ЕГЭ по математике».

Актуальность. ЕГЭ по математике – это обязательный экзамен для всех школьников. Баллы, полученные на экзамене, решают судьбу выпускника. Определяют, где он будет в будущем учиться, какую специальность получит. Поэтому, я считаю выбранную тему актуальной. Во-первых, я таким образом подготовлюсь к предстоящему экзамену, а во-вторых, решая математические задачи, мы развиваем свои умственные способности, свое мышление, тренируем память, учимся обобщать и делать выводы.

Проблема. Научиться решать «задачи на смекалку».

Объект исследования: математические задачи.

Предмет исследования: задачи на смекалку из открытого банка заданий на сайте ФИПИ.

Цель: исследовать задачи на смекалку открытого банка заданий на сайте ФИПИ.

Задачи:

1. Изучить классификацию математических задач;
2. Исследовать  способы решения задач на смекалку;
3. Научиться решать задачи на смекалку;
4. Разработать сборник задач для подготовки к ЕГЭ, который поможет научиться решать  задачи на смекалку.

Гипотеза: Если изучить все задачи на смекалку из открытого банка заданий, то можно научиться их решать.

Методы исследования:

1. Изучение литературы и других источников информации.
2. Опрос.
3. Анализ и синтез.
4. Эксперимент.

Теоретическая значимость моей исследовательской работы заключается в том, чтобы рассмотреть и обобщить все задачи на смекалку, которые мы можем встретить на экзамене.

Практическая значимость работы состоит в том, что отрабатывая навык решения задач на смекалку, можно хорошо подготовиться к ЕГЭ по математике. Данную работу можно будет использовать на практикуме «Подготовка к ЕГЭ по математике».

1. Основная часть

1. Теоретическая часть

Что такое задача?

Задачи в математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи определяет, насколько ученик обучен и развит. Научиться решать математические задачи очень важно, так как, зная подходы к решению математических задач, мы тем самым обучаемся взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и жизни вообще. Задача — это проблемная ситуация (вопрос), которая требует решения посредством использования определённых умений, знаний, размышлений. Это цель, которая находится в рамках проблемной ситуации, что необходимо достичь, а также условие и требование.

1.  Виды задач, решаемые в курсе математики.

По характеру объектов:

• Практические (реальные);
• Математические.

По отношению к теории:

• Стандартные;
• Нестандартные.

По характеру требований:

• Нахождение (распознавание) искомых;
• Преобразование или построение;
• Доказательство или объяснение.

1.  Способы решения задач.

• Арифметический. Ответ находится за счёт выполнения математических действий над числами, что даны в задании. Так, одну и ту же задачу часто можно решить, используя разные арифметические методы, которые отличаются между собой логикой рассуждения.
• Алгебраический. Ответ находится за счёт составления и решения уравнения. Сначала выделяют величины и устанавливают между ними связь, потом вводят переменные, обозначая их буквами, составляют с их помощью уравнение и решают его. После этого производят проверку решения и записывают ответ.
• Комбинированный. Этот способ включает в себя как арифметический, так и алгебраический метод решения задач.

1. Практическая часть

1. Виды задач на смекалку.

 Перед началом исследования я провела опрос среди учащихся 10-11 классов с целью выяснения количества выпускников сдающих ЕГЭ по математике на базовом уровне. В 10 классе выбрали базовый уровень 2 ученика (из 4) и  в 11 классе тоже  2 ученика (из 6). Поэтому считаю необходимым рассмотрение данной темы.

При решении 20 задания базового уровня предмета «Математика» проверяется умение строить и исследовать простейшие математические модели. Перебирая все задания из открытого банка на сайте ФИПИ, я насчитала 142 задачи на смекалку. Я их собрала в следующие группы:

1. Про улитку.
2. Про кузнечика.
3. Обменный пункт.
4. Про палку.
5. Бензоколонки.
6. Грибы в корзине.
7. Маша и медведь.
8. Викторина.
9. Глобус.
10. Прямоугольники.
11. Про колодец.
12. Про дом:

 1) Сколько этажей,

2) На каком этаже живет Саша,

3) Сколько человек живет в доме.

1. Про ленту.
2. Про таблицу.
3. Про игру.
4. Договор о дружбе.
5. Итоговая оценка.
6. Про натуральные числа.
7. Про два множителя.
8. О среднем арифметическом.
9. О восьми столбах.
10. О выпавших листах.

1.  Решения задач.

При решении задач я использовала разные методы. Некоторые задачи легко решались арифметическим методом,  путем рассуждения, другие – удобнее было решать арифметическим методом, составляя  уравнение.

1. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

   Решение. За день улитка заползает на 2 метра, а за ночь сползает на 1. Итого, она заползает на 1 метр за сутки. Через 7 дней она окажется на высоте 7 метров. И на восьмой день она заползёт на вершину дерева.

   Ответ: 8.

1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, 
   в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 8 прыжков?

   Решение. Кузнечик может оказаться  только в точках с чётными координатами, потому что число прыжков, которое он делает, — чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает восьми. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках:-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 и 8. То есть всего 9 точек.

   Ответ: 9.

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

         Решение.

4 золотых = 5 серебряных +1 медная

8 серебряных = 5 золотых + 1 медная

        Так как не появилось золотых монет, то нам необходима схема обмена без золотых монет. Поэтому количество золотых монет должно быть равным в обоих случаях. Нам надо найти наименьшее общее кратное чисел 4 и 5, и привести наше золото в обоих случаях к нему:

20 золотых = 25 серебряных + 5 медных

32 серебряных = 20 золотых + 4 медных.

 Или

32 серебряных = 25 серебряных + 5 медных + 4 медных, то есть

32 серебряных = 25 серебряных + 9 медных.

Получили схему обмена минуя золотые монеты, теперь, зная количество медных монет, нужно найти сколько раз такая операция выполнялась  45 : 9 = 5. И. наконец, получаем:

160 серебряных = 125 серебряных + 45 медных.

Подставив, и получив конечный обмен, мы найдем какое количество серебра было поменяно. Значит — количество уменьшилось на 160 – 125 = 35.

Ответ: 35.

1. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если 
   по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

         Решение. Каждый распил увеличивает количество кусков на один. То есть всего 4 красные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вместе 20 линий. А кусков получится 21.

Ответ: 21.

1. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 20 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Решение. Прочитав задачу, заметим, что окружность разбита на три дуги АВ, ВГ И ГА. Найдем длину всей окружности, 50 + 40 + 20 = 70. Расставим все точки на окружности  согласно условию и определим нужное расстояние: БВ = АБ – АВ = 55 – 50 = 5 или БВ = (АГ + ГВ) – АБ = (20 + 40) – 55 = 5.

Ответ: 5.

1.  В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Решение. Всего  — 40 грибов(грузди и рыжики). Рассмотрим условия: среди любых 17 грибов  имеется хотя бы один рыжик, значит, минимум 1 рыжик  есть в данном условии, следовательно (17 — 1) = 16 — это минимум груздей. Среди любых 25 грибов  — хотя бы один груздь, рассуждая аналогично, (25 — 1) = 24  – это минимум рыжиков. Теперь делаем проверку: 16 + 24 = 40, то есть мы получили общее количество грибов. Значит, в корзине именно 24 рыжика и 16 груздей.

Ответ: 24.

1. Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Решение. Так как варенье и Маша и Медведь съели поровну и при этом Медведь ел варенье в 3 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 3 раза дольше, чем Медведь (такую же половину). Тогда получается, что Медведь ел печенья в 3 раза дольше Маши и к тому же ел их в 3 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 3∙3=9 печений, съеденных Медведем. В сумме эти печенья составляют 1+9=10 и таких сумм в 100 печеньях ровно 100:10 = 10. Значит, Маша съела 10 печений, а Медведь 9∙10=90.

Ответ: 90.

1. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение. Пусть x — количество правильных ответов, y — количество неправильных ответов (причем y≥1, т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и z — количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение: 

x+y+z=33.

Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный списывали 12 очков, а если не отвечал, то давали 0 очков. То можно составить уравнение: 7x −12y+0z = 70 (т.к. ученик набрал 70 баллов). Из второго уравнения получим:

-12y = 70 — 7x, -12y = 7(10-7x).

Т.к. правая часть уравнения (70−7x) делится на 7, то и левая часть (−12y) должна делиться на 7. Предположим, что y = 7, тогда получим: 

−12⋅7=70−7x; -84 = 70 -7x, 7x = 154, x = 22. Подставим x в первое уравнение: 

22+7+ z = 33, z = 4. 

Предположим, что y=14, тогда получим:

−12⋅14=70−7x; -168 = 70 — 7x, 7x= 238, x = 34 — противоречит, т.к. всего 33 вопроса. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал 22 верных ответа.

Ответ: 22.

1. На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей 
   и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Решение. Семнадцать параллелей разделили глобус на 18 частей, следовательно, 18 · 24 = 432 — на столько частей разделят глобус 17 параллелей и 24 меридиана.

Ответ: 432.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке.

Площадь верхнего левого прямоугольника равна 12, поэтому ас = 12, аналогично, bc = 18, db=30.  При помощи полученной системы уравнений выразим значение ad:

    

 Из третьего уравнения получаем: ad = 20,  следовательно, искомая площадь равна 20.

Ответ: 20.

11. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Решение. Из условия, понимаем, что последовательность цен за каждый выкопанный метр является арифметической прогрессией с первым членом a1 = 4300 и разностью d = 1300, n = 9.

Подставляя эти данные в  формулу для суммы получаем:

S9 = ((2*4300+1300(9-1)/2)*11=((8600+10400)/2)*11=13800*11=104500.

Ответ: 104500.

12.  1). Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 455 квартир?

Решение. Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом. Заметим, что число 455 делится на 5, 7 и 13. Следовательно, в доме должно быть 5 подъездов, 7 квартир и 13 этажей.

Ответ: 13.

2). Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде 
в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение. Предположим число квартир на этаже 4. Тогда на подъезд 12*4=48 квартир. В семи подъездах 48*7=336 квартир. По сравнению с 468 это мало. Предположим число квартир на этаже 6. Тогда на подъезд 12*6=72 квартир. В семи подъездах 72*7=504 квартиры. По сравнению с 468 это много. Предположим число квартир на этаже 5. Тогда на подъезд 12*5=60 квартир. В семи подъездах 60*7=420 квартир. По сравнению с 468 это в самый раз 468-420=48 квартир 48:5 = 9 и 3 в остатке. Таким образом, Сашина квартира на 10 этаже.

Ответ: 10.

3).  В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в квартирах 
с 11-й по 18-ю включительно живёт суммарно 20 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Решение.  Так как в квартирах с 1-й по 13 –ю включительно проживает всего 15 человек, то только в 2 из них может проживать 2 человека (15-13 =2). В квартирах 11, 12, 13 точно живут по 1 человеку  и могут быть еще размещения 1 1 1, 1 2 2, 2 2 1, 2 1 2. В оставшихся квартирах с 14 – ю по 18 – ю включительно (5 квартир) может проживать 20 — (1+1+1) =17 человек или 20 — (1+2+2) = 15 человек. Подходит только последний вариант размещения, потому что 15 :5 =3 – все оставшиеся квартиры имеют по 3 жильца. Значит, в квартирах с 1 –ю по 13 – ю проживают 15 человек, а с14 –й по 18 –ю – тоже 15 человек. Всего 15+15=30.

Ответ: 30.

1. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Решение. Пусть a – расстояние от начала ленты до синей полоски;  b – расстояние между синей и красной полоской;  c – расстояние от красной полоски и до конца ленты.

При разрезании по красной полоске, часть ленты (a+b) будет длиннее c на 35 см, то есть, имеем уравнение: (a + b) — c = 35. При разрезании по синей полоске часть (b+c) будет длиннее a на 5 см, то есть, (b + c) — a = 5. Получаем следующую систему уравнений:

     

Сложим эти уравнения, получим:   . То есть, расстояние между полосками равно 20 см.

Ответ. 20.

1. 1)  Клетки таблицы 7×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Решение. Ниже на рисунке представлена таблица 7х5 клеток с отмеченными характерными клетками.

Из рисунка видно, что угловые клетки (красные) имеют по 2 соседа, а всего таких клеток 4, то есть, получаем число пар, равное 2∙4 = 8. Боковые клетки (синие) имеют по 3 пары и таких клеток в таблице 16, а пар 16∙3 = 48. Наконец, все остальные клетки (зеленые) имеют по 4 пары. Таких клеток 15, а пар 15∙4 = 60. Таким образом, имеем всего 8+48+60 = 116 пар. В приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как мы брали все клетки подряд). На рисунке ниже для одной зеленой клетки показана пара, взятая дважды (см. черный кружок и зеленый не закрашенный квадрат).

Поэтому, число уникальных пар, равно 116:2 = 58.

По условию задания пар соседних клеток разного цвета 27, а пар соседних клеток чёрного цвета 21, следовательно, пар соседних клеток белого цвета, ровно 58-27-21 = 10. Ответ: 10.

2) В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?

Решение. Вычислим сумму натуральных чисел во всей таблице, для этого нужно сложить суммы чисел во всех столбцах: 103 + 97 + 93 = 293. Теперь найдем диапазон, в котором лежит число строк таблицы. Для этого разделим сумму чисел в таблице на сумму чисел в строке. Поскольку сумма чисел в строке больше 21, но меньше 24, она может быть равна 22 или 23. Если сумма в строке равна 22, то: 293 / 22 ≈ 13,3. Если сумма чисел в строке равна 23, то: 293 / 23 ≈ 12,7 Получается, что число строк в таблице лежит в диапазоне от 12,7 и 13,3. Единственное целое число, лежащее в данном диапазоне, равно 13.

Ответ: 13.

1.  Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?

Решение. Больше всех партий сыграл Коля, следовательно, было сыграно не менее 23 партий. В одной из первых двух партий должен был участвовать Миша, значит, было сыграно не более 2*11 + 1 = 23 партии. Значит, Коля участвовал в каждой сыгранной партии. Таким образом, Лёша сыграл 23 − 11 = 12 партий.

 Ответ: 12.

1. Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Решение. Всего было подписей 7⋅3+3⋅7=21+21=42. 
У одного договора две подписи, значит, всего было подписано 42:2=21 договор. 
Ответ: 21.

1. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному 
   из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 1590. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 
   4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)

Решение.  Представим число 1590 в виде произведения 5 множителей (так как всего оценок 5). Заметим, что 1590 делится на 10: 1590= 159*(2*5), видим, что  159 делится на 3, то есть 159 = 3*53. Тогда имеем 1590 = 2*5*3*53, то есть оценки у Пети  были 2, 5, 3, 5, и 3. Найдем среднее арифметическое этих оценок (2 + 5 + 3 + 5 +  3) : 5 = 3,6. Значит, оценка в четверти у Пети 4.

Ответ:4.

1. Про натуральные числа AA, BB и СС известно, что каждое из них больше 5, 
   но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на AA, потом прибавили к полученному произведению BB и вычли СС. Получилось 172. Какое число было загадано?

Решение.  Числа А, В, С могут быть равны 6, 7 или 8. Пусть загадали число Х, тогда ХА – В +С = 172, ХА = 172 + (В – С). Рассмотрим различные случаи.

1. (В – С) = 0 (6 — 6  = 0, 7 – 7 = 0, 8 – 8 = 0) ХА = 172+ 0 = 172. Число 172 не делится нацело на 6, 7 и 8, значит, этот случай не подходит.
2. (В – С)  = 1 (7 – 6 = 1 или 8 – 7 = 1) . тогда АХ = 172 + 1 = 173. Число 173 не делится нацело на 6, 7 и 8, значит, этот случай не подходит.
3. (В – С)  = -1 (6 – 7 = -1 или 7 – 8 = -1) . тогда АХ = 172 + (-1) = 171. Число 171 не делится нацело на 6, 7 и 8, значит, этот случай не подходит.
4. (В – С)  = 2 (8 – 6 = 2) . тогда АХ = 172 + 2 = 174. Число 174  делится нацело на 6, значит, А = 6, Х = 174 : 6 = 29.

Ответ: 2.

1.  Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?

Решение: Пусть первый сомножитель равен a, а второй b, их произведение равно ab. При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 11, то есть,

 (а + 1)(в + 1) = ав + 11, ав + а + в + 1 – ав = 11, а +в = 10.

Теперь вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 2:

(а + 2)(в +2) – ав = ав + 2а + 2в + 4 – ав = 2 (а + в) + 4 = 2* 10 + 4 = 24.

Ответ: 24.

1. Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

Решение: Пусть а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8 — первые 8 натуральных чисел. По условию задания

,

тогда сумма первых 8 чисел, равна:

S8 = 13*8 = 104.

При добавлении восьмого числа a9 среднее арифметическое этих чисел равно 14, то есть, , откуда  .

Ответ: 22.

1. Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

Решение. От каждого столба отходит по 6 проводов, следовательно всего будет  соединений. Заметим, что каждые два столба связаны одним проводом, поэтому между этими восемью столбами будет протянуто всего  проводов.

Ответ: 28.

1. Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 298, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Решение. Из числа 298 можно составить числа 289, 829, 892, 928 и 982. Число 289 не подходит, поскольку оно меньше числа 298. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечётным, поскольку номер последней страницы перед выпавшими листами чётный. Следовательно, нам подходит только число 829. Вычтем из числа 829 одну страницу, поскольку страница 829 не выпала, а является первой страницей после выпавших листов. Теперь можно найти количество выпавших листов: 

Ответ: 265.

1.  Эксперимент.

26 февраля в 55 регионах России проходила акция  «Единый день сдачи ЕГЭ родителями». Она призвана помочь выпускникам и их родителям снять лишнее напряжение, связанное  с подготовкой к ЕГЭ, лучше познакомить общественность с экзаменационной процедурой. Мы тоже приняли участие в акции,  провели ЕГЭ для родителей выпускников.  Принимали участие 6 родителей. Им было предложен вариант по математике базового уровня сложности (Приложение 2). Как видим из таблиц, родители хорошо справились с заданием, средний балл составил – 4,2. Причем половина  из них справились с заданиями на смекалку.

Заключение.

Моя работа может быть использована на уроках математики и во внеклассной работе. Считаю, что проделанная работа помогла мне расширить знания по математике. Я научилась решать задачи на смекалку, а это поможет мне не только в подготовке и сдаче ЕГЭ по математике, но и в жизни. Решая математические задачи, мы развиваем свои умственные способности, свое мышление, тренируем память, учимся обобщать и делать выводы. Рассмотрев все задачи на смекалку на сайте ФИПИ, я составила сборник задач- прототипов. Считаю, что это будет полезно выпускникам, которые готовятся к экзамену (Приложение1).

Проводя исследование среди родителей, убедилась, что экзамена по математике не стоит бояться. С ним справляются легко даже родители, которые уже давно учились в школе. Еще раз убедилась, в необходимости уметь решать математические задачи, так как способы и подходы к решению нужны каждому взрослому человеку.

Список использованной литературы

1. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
2. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989.
3. Перельман Я. И. занимательная алгебра. Занимательная геометрия. – М.: АСТ,2006.
4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
5. Ященко И. В. Типовые экзаменационные варианты. Математика. Базовый уровень. 30 вариантов. – М.: Национальное образование, 2019.
6. Федеральный институт педагогических измерений:  http://www.fipi.ru/

Приложение 1.

Сборник задач для подготовки к ЕГЭ по математике (базовый уровень) задачи №20.

1.  Про улитку.

1. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
2. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
3. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
4. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 12 м. За сколько дней улитка доползёт от основания 
   до вершины дерева?
5. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
6. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка доползёт от основания 
   до вершины дерева?
7. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
8. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
9. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 12 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
10. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
11. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
12. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт от основания 
    до вершины дерева?

2.  Про кузнечика.

1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, 
   в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 8 прыжков?
2. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 4 прыжка, начиная прыгать из начала координат?
3. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
4. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 10 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
5. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 9 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
6. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
7. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
8. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
9. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 10 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
10. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
    на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
    ровно 9 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
11. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
    на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
    ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
12. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
    на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
    ровно 5 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
13. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, 
    в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 7 прыжков?

3.  Обменный пункт.

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную;

·        за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 55 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1.  В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

·        за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

·        за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

1.  В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

4.  Про палку.

1. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
2. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 11 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
3. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
4. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
5. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
6. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 13 кусков, а если по зелёным — 5 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
7. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
8. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
9. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
10. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

5.  Бензоколонки.

1. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 20 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
2. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
3. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 40 км, между А и В — 25 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
4. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
5. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
6. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 15 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
7. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
8. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
9. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

6.  Грибы в корзине.

1. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
2. В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
3. В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
4. В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
5. В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
6. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
7. В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

7.  Маша и медведь.

1. Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
2. Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
3. Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
4. Маша и Медведь съели 85 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

8.  Викторина.

1. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
2. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
3. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
4. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
5. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

9.  Глобус.

1. На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей 
   и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
2. На поверхности глобуса фломастером проведены 24 параллели 
   и 17 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

1. На поверхности глобуса фломастером проведены 16 параллелей 
   и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
2. На поверхности глобуса фломастером проведены 18 параллелей 
   и 16 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
3. На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей 
   и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
4. На поверхности глобуса фломастером проведены 20 параллелей 
   и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
5. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
6. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
7. На поверхности глобуса фломастером проведены 14 параллелей 
   и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
8. На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

10.  Прямоугольники.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего 
   и далее по часовой стрелке, равны 13, 14 и 12. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 12 и 24. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего 
   и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 15 и 20. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего 
   и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

11.  Про колодец.

1. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 
   11 метров?
2. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?
3. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 
   8 метров?
4. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4100 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 7 метров?
5. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 
   9 метров?
6. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4000 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 7 метров?
7. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3600 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1400 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров?
8. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3900 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1200 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 6 метров?
9. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?
10.  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 10 метров?
11.  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3800 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1500 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 6 метров?

12.  Про дом.

1. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 455 квартир?
2. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?
3. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 357 квартир?
4. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 357 квартир?
5.  Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?
6. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 114 квартир?
7. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде 
   в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
   что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
8. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде 
   в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
9. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде 
   в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
   что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
10.  Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде 
    в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
11. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде 
    в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
    что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
12.   Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде 
    в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
    что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
13.   Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
14.  В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
    с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в квартирах 
    с 11-й по 18-ю включительно живёт суммарно 20 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?
15.  В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
    с 1-й по 10-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах 
    с 7-й по 14-ю включительно живёт суммарно 18 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?
16.   В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
    с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах 
    с 6-й по 14-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?

13.  Про ленту.

1. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками
2. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 15 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 75 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
3. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 10 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 40 см длиннее другой. Найдите расстояние  (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
4.  На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 75 см длиннее другой. Найдите расстояние  (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

14.  Про таблицу.

1. Клетки таблицы 7×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
2. Клетки таблицы 5×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 14 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
3. Клетки таблицы 6×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 6 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
4. Клетки таблицы 4×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 15 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
5. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?
6.   В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце 
   равна 119, во втором — 125, в третьем — 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в таблице?
7. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 93, во втором — 107, в третьем — 123, а сумма чисел в каждой строке больше 19, но меньше 22. Сколько всего строк в таблице?
8.  В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма чисел в каждой строке больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?
9. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 49, во втором — 97, в третьем — 146, а сумма чисел в каждой строке больше 18, но меньше 21. Сколько всего строк в таблице?

15.  Про игру.

1. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?
2. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля — 27. Сколько партий сыграл Лёша?
3. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля — 19. Сколько партий сыграл Лёша?

16.  О дружбе.

1. Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?
2. Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?
3. Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
4. Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

17.  Итоговая оценка.

1. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному 
   из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 1590. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)
2. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному 
   из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 414. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)

18.  Про натуральные числа.

1. Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 5, 
   но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 172. Какое число было загадано?
2. Про натуральные числа A, B  и С известно, что каждое из них больше 4, 
   но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С.  Получилось 165. Какое число было загадано?

19.  Про множители.

1. Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?
2. Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

20. О среднем арифметическом.

1. Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

21. О восьми столбах.

1. Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

22.  О выпавших листах.

1. Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 298, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Приложение 2. Результаты ЕГЭ по математике (базовый уровень), написанный родителями.

№ п/п	Баллы	Оценки
1	12	4
2	12	4
3	13	4
4	10	3
5	16	4
6	9	3

	1	2	3	4	5	6
1	+	—	+	+	+	—
2	+	+	+	+	+	—
3	—	+	—	+	+	+
4	+	+	+	—	+	+
5	+	+	+	—	+	—
6	+	—	+	+	+	+
7	—	—	+	+	+	—
8	+	+	+	+	+	+
9	+	+	+	+	+	+
10	—	—	—	+	+	—
11	+	+	+	+	+	+
12	+	+	+	+	+	+
13	—	+	—	—	—	—
14	—	+	—	—	—	—
15	—	—	+	—	+	—
16	—	+	+	—	+	—
17	—	—	—	—	—	—
18	+	—	+	—	+	+
19	+	—	—	—	+	—
20	+	+	—	—	—	+

Практика по заданию №21 ЕГЭ по математике базового уровня — задачи на смекалку.

Практика

Примеры заданий:

1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 8 прыжков?

2. В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

3. Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

4. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

5. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 85, во втором – 77, в третьем – 71, а сумма чисел в каждой строке больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?

6. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 954. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,1 округляется до 3; 4,5 – до 5; а 2,8 – до 3.)

7. Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами – 298, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

8. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 75 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

9. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б – 60 км, между А и В – 45 км, между В и Г – 40 км, между Г и А – 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

10. Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 172. Какое число было загадано?

Смотрите также:

---

Задачи на сообразительность

---

Задание №20 ЕГЭ по математике содержит задачу на сообразительность. Задачи в этом разделе более интуитивно понятно, нежели в 19 задании ЕГЭ, но тем не менее достаточно сложны для обычного школьника. Итак, перейдем к рассмотрению типовых вариантов.

---

Разбор типовых вариантов заданий №20 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 20МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
• за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Записать данные задачи с помощью условных обозначений.
3. Логически рассуждая определить неизвестное.

Решение:

По условию золотых монет не появилось, значит все полученные после осуществления второй операции золотые монеты, Николай обменял с помощью первой операции. Золотые монеты можно менять только по 2 штуки, следовательно, вторых операций было четное число.

Введем обозначение, пусть вторых операций было 2n(число всегда четное).

Если применить вторую операцию получим:

5 · 2n серебряных обменяли на 3 · 2n золотых + 2n медных.

Все золотые монеты были обменяны в ходе первой операции. За одну операцию можно обменять сразу 2 золотые монеты, значит, всего операций будет совершено (3 · 2n)/2 = 3 n. То есть

3 · 2n золотых обменяли на 3· 3n серебряных + 3n медных.

Или после преобразования:

3 · 2n золотых обменяли на 9n серебряных + 3n медных

Сопоставим результаты первой и второй операции:

5 · 2n серебряных обменяли на 3 · 2n золотых + 2n медных.

3 · 2n золотых обменяли на 9n серебряных + 3n медных

Получим

5 · 2n серебряных обменяли на 9n серебряных + 3n медных+2n медных

Или

10 n серебряных обменяли на 9n серебряных + 5n медных

Если, обменяв 10 n серебряных монет, получим 9 n серебряных монет, то количество серебряных монет у Николая уменьшилось на n. Из последнего выражения видно, что Николай получил 5n медных монет, а по условию появилось 50 медных, то есть 5n = 50.

n = 10

Ответ: 10

---

Вариант 20МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Определить, кто и во сколько раз дольше ел печенье.
2. Определить, кто и во сколько раз дольше ел варенье.
3. Сопоставить результаты.
4. Найти неизвестное.

Решение:

1. Так как варенье и Маша, и Медведь съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 3 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 3 раза дольше, чем Медведь (такую же половину).
2. Тогда получается, что Медведь ел печенья в 3 раза дольше Маши и к тому же ел их в 3 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 3∙3=9 печений, съеденных Медведем.
3. В сумме эти печенья составляют 1+9=10 и таких сумм в 100 печеньях ровно 100:10 = 10.
4. Значит, Маша съела 10 печений, а Медведь 9∙10=90.

Ответ: 90

---

Вариант 20МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Определить, кто и во сколько раз дольше ел печенье.
2. Определить, кто и во сколько раз дольше ел варенье.
3. Сопоставить результаты.
4. Найти неизвестное.

Решение:

1. Так как варенье и Маша, и Медведь, съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 4 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 4 раза дольше, чем Медведь (такую же половину).
2. Тогда получается, что Медведь ел печенья в 4 раза дольше Маши и к тому же ел их в 4 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 4∙4=16 печений, съеденных Медведем.
3. В сумме эти печенья составляют 1+16=17 и таких сумм в 51 печеньях ровно 51:17 = 3.
4. Значит, Маша съела 3 печенья, а Медведь 3∙16=48.

Ответ: 48

---

Вариант 20МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

Если бы каждый из двух сомножителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 11. На самом деле каждый из двух сомножителей увеличили на 2. На сколько увеличилось произведение?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Записать первое условие с помощью условных обозначений.
3. Преобразовать полученное выражение.
4. Записать с помощью условных обозначений второе условие.
5. Преобразовать полученное выражение.
6. Найти неизвестное.

Решение:

Пусть первый сомножитель равен a, а второй b, их произведение равно ab.

При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 11, то есть,

Перенесем произведение ab в левую часть с противоположным знаком и раскроем скобки перемножив.

Теперь аналогично вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 2 и подставим уже известное нам a + b = 10 :

Ответ: 24

---

Вариант 20МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

Если бы каждый из двух сомножителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 3. На самом деле каждый из двух сомножителей увеличили на 5. На сколько увеличилось произведение?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Записать первое условие с помощью условных обозначений.
3. Преобразовать полученное выражение.
4. Записать с помощью условных обозначений второе условие.
5. Преобразовать полученное выражение.
6. Найти неизвестное.

Решение:

Пусть первый сомножитель равен a, а второй b, их произведение равно ab.

При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 3, то есть,

Перенесем произведение ab в левую часть с противоположным знаком и раскроем скобки перемножив.

Теперь аналогично вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 5 и подставим уже известное нам a + b = 2:

Ответ: 35

---

Вариант 20МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными отрезками. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

[/su_note]

Перерисуем прямоугольник в удобном для нас виде:

Теперь составим уравнения с помощью формулы периметра прямоугольника:

Ответ: 12

---

Вариант 20МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Составляем комбинации правильных и неправильных ответов и определяем кол-во баллов в них, например: 1) 1 прав+1 неправ=7–10=–3 балла; 2) 2 прав+1неправ=2·7–10=4 балла и т.д.
2. Из баллов за прав.ответы и баллов за их комбинации «набираем» 42 балла. Подсчитываем кол-во вопросов, которые при этом были заданы.
3. Оставшуюся разницу между полученным числом вопросов и данными 25-ю вопросами определяем как те, на которые не было дано ответа.
4. Делаем проверку полученного результата.

Решение:

Введем обозначения: прав.ответ – 1П, неправ.ответ – 1Н.

Задаем комбинации и определяем кол-во баллов, которое при этом будет начислено:

1П=7 баллов

1П+1Н=7–10=–3 б.

2П+1Н=2·7–10=4 б.

3П+1Н=3·7–10=11 б.

Суммируем баллы, которые можно при этом получить: 7+ (–3)+4+11=19. Это явно мало. И гарантированно можно добавить еще 11: 19+11=30. Чтобы «добрать» до 42 баллов, нужно далее добавить 12 баллов, которые набираются тройным вхождением 4-х баллов. В целом получаем:

7+(–3)+4+11+11+3·4=42.

Распишем полученную комбинацию слагаемых в виде ответов:

1П+(1П+1Н)+(2П+1Н)+(3П+1Н)+(3П+1Н)+3·(2П+1Н)=1П+1П+1Н+2П+1Н+3П+1Н+3П+1Н+6П+3Н=16П+7Н (ответов).

16+7=23 ответа. 25–23=2 ответа, за которые было получено по 0 баллов, т.е. это вопросы, оставшиеся без ответов.

Итак, по нашим подсчетам верных ответов было дано 16.

Проверим это:

16 ответов по 7 б. + 7 ответов по (–10) б. + 2 ответа по 0 б. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (балла).

Ответ: 16

---

Вариант 20МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором – 97, в третьем – 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Находим общую сумму для всех чисел в таблице (сложив суммы для каждого из 3-х столбцов).
2. Определяем диапазон допустимых значений для сумм чисел в каждой строке.
3. Разделив общую сумму сначала на наименьшую сумму чисел в каждой строке, а затем на наибольшую, получаем искомое кол-во строк.

Решение:

Общая сумма чисел в таблице равна: 103+97+93=293.

Поскольку по условию суммы чисел в каждой строке составляют >21, но <24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

Ответ: 13

---

Вариант 20МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живет не менее одного и не более трех человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живет суммарно 15 человек, а в квартирах с 11-й по 18-ю включительно живет суммарно 20 человек. Сколько всего человек живет в этом доме?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем максимальное кол-во живущих в 11–13-й квартирах, используя данные о том, сколько человек живет в 1–13-й квартирах.
2. Находим минимальное число жильцов 11–13-й квартир, учитывая данные о живущих в 11–18-й квартирах.
3. Сопоставляет данные, полученные в пп.1–2, получаем точное кол-во жильцов этих квартир №№11–13.
4. Находим кол-во живущих в квартирах 1–10-й и 14–18-й.
5. Вычисляем общее число жильцов дома.

Решение:

В первых 13 квартирах (с 1-й по 13-ю) живет 15 человек. Это означает, что в 11-ти квартирах живет по 1 человеку плюс в 2-х квартирах по 2 человека (11·1+2·2=15). Следовательно, в 11–13-й (т.е. в 3-х) квартирах проживает не менее 3-х и не более 5 (1+2+2) человек.

Во вторых 8 квартирах (11-й по 18-ю) проживает 20 человек. При этом с 14-й по 18-ю квартиры (т.е. в 5 квартирах) не может проживать более чем 5·3=15 человек. А следовательно, в 11-13-й квартирах живет не менее, чем 20–15=5 человек.

Т.е. с одной стороны в 11-13-й квартирах должно жить не более 5 человек, а с другой – не менее 5. Вывод: в этих квартирах живет ровно 5 человек, т.к. других допустимых для обоих случаев значений тут нет.

Тогда получаем: в 1–10-й квартирах живет 15–5=10 человек, в 14–18-й – 20–5=15 человек. Всего в доме проживает: 10+5+15=30 человек.

Ответ: 30

---

Вариант 20МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем кол-во серебряных монет, которые необходимы Николаю для совершения двойного обмена так, чтобы у него не появились золотые монеты. Двойной обмен – это обмен сначала серебряных монет на золотые и медные, а затем золотые на серебряные и медные.
2. Определяем кол-во разных монет, которые появятся у Николая в результате 1 двойного обмена.
3. Вычисляем кол-во двойных обменов, которые необходимо совершить, чтобы появилось 45 медных монет.
4. Находим кол-во серебряных монет, которые должен был иметь Николай изначально, чтобы совершить нужное кол-во обменов, и которые получил в результате всех обменов.
5. Определяем искомую разницу.

Решение:

Совершить 1-й обмен Николай должен по 2-й схеме, т.к. у него есть только серебряные монеты. Для того же, чтобы в результате у него не оказалось золотых монет, нужно найти минимальное кратное для 5 золотых, которые он получит, и 4 золотых, которые у него за 1 раз могут принять в полном объеме (без остатка). Это – число 20.

Соответственно, чтобы получить 20 золотых монет, у Николая должно быть 20:5=4 комплекта серебряных монет по 7 штук. Значит, первоначально их у него должно быть 4·7=28. И при этом Николай получает еще и 1·4=4 медных монеты.

Совершая обмен, Николай отдает 20:4=5 комплектов золотых медалей. Взамен он получает 5·5=25 серебряных монет и 1·5=5 медных монет.

Т.о., в результате одного обмена у Николая появится 25 серебряных монет и 4+5=9 медных монет. Поскольку в итоге у Николая оказалось 45 медных монет, значит, было совершено 45:9=5 двойных обменов.

Если в результате 1 двойного обмена у Николая оказалось 25 серебряных монет, то после 5 таких обменов у него их окажется 25·5=125 штук. А первоначально он должен был для этого иметь 28·5=140 серебряных монет. Следовательно, их количество у Николая уменьшилось на 140–125=15 штук.

Ответ: 15

---

Вариант 20МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нем 357 квартир?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем уравнение для определения кол-ва квартир в доме всего через параметры, заявленные в условии (т.е. через кол-во квартир на этаже и т.д.).
2. Раскладываем 357 на множители.
3. Находим соответствие полученных множителей конкретным параметрам, сходя из условия о том, какой из параметров больше или меньше прочих.

Решение:

Т.к. на всех этажах одинаковое кол-во квартир (Х), по всех подъездах одинаковое кол-во этажей (Y), то обозначив кол-во подъездов через Z, можем записать: 357=X·Y·Z.

Разложим 357 на простые множители. Получим: 357=3·7·17·1. Причем это единственный вариант расклада. Т.к. Y>X>Z>1, то единицу в раскладе не учитываем и определяем, что Z=3, X=7, Y=17.

Поскольку кол-во этажей было обозначено через Y, то искомое число – 17.

Ответ: 17

---

Вариант 20МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя странами, а каждая из оставшихся трех – ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Подсчитываем кол-во договоров, подписанных 7-ю странами.
2. Определяем кол-во договоров, которые подписали 3 оставшиеся страны.
3. Находим общее кол-во подписанных договоров. Делим его на 2, т.к. договоры двусторонние.

Решение:

Первые 7 стран подписали договоры с 3 странами, т.е. на этих договорах поставлено 7·3=21 подпись. Аналогично остальные 3 страны при оформлении договоров с 7-ю странами поставили 3·7=21 подпись. Значит, всего поставлено 21+21=42 подписи.

Т.к. все договоры двусторонние, то это значит, что на каждом из них зафиксировано 2 подписи. Следовательно, договоров вдвое меньше, чем подписей, т.е. 42:2=21 договор.

Ответ: 21

---

Вариант 20МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Доказываем, что параллели делят глобус на 13+1 часть.
2. Доказываем, что меридианы делят глобус на 25 частей.
3. Определяем кол-во частей, на которые в целом разделен глобус, как произведение найденных чисел.

Решение:

Если всякая параллель – это окружность, то она является замкнутой линией. А это означает, что 1-я параллель делит глобус на 2 части. Далее 2-я параллель обеспечивает деление на 3 части, 3-я – на 4 и т.д. В итоге 13 параллелей разделят глобус на 13+1=14 частей.

Меридиан является дугой окружности, соединяющей полюса, т.е. замкнутой линией она не является и глобус на части не делит. А вот 2 меридиана уже делят, т.е. 2 меридиана обеспечивают деление на 2 части, далее 3-й меридиан добавляет 3-ю часть, 4-й – 5-ю часть и т.д. Значит, в конечном счете, 25 меридианов создает на глобусе 25 частей.

Всего частей на глобусе получается: 14·25=350 частей.

Ответ: 350

---

Вариант 20МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем кол-во груздей среди 12 грибов и рыжиков среди 20 грибов.
2. Доказываем, что имеется единственно верное число, отображающее кол-во рыжиков. Фиксируем его в ответе.

Решение:

Если среди 12 грибов есть как минимум 1 рыжик, значит, груздей здесь не более 11. Если среди 20 грибов имеется не менее 1 груздя, то тут не более 19 рыжиков.

Это означает, что если груздей не может быть больше 11, то рыжиков не может быть меньше 30–11=19 штук. Т.е. рыжиков с одной стороны не больше 19, а с другой – не меньше 19. Следовательно, рыжиков может быть только ровно 19.

Ответ: 19

---

Вариант 20МБ15

[su_note note_color=”#defae6″]

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Вводим обозначения для множителей. Это позволит выразить и первоначальное произведение (до увеличения множителей).
2. Составляем уравнение для ситуации, когда множители увеличены на 1. Выполняем преобразования. Получаем новое выражение, отображающее связь между первоначальными множителями.
3. Составляем уравнение для ситуации, когда множители увеличены на 5. Выполняем преобразования. Вводим в уравнение выражение, полученное в п.2, находим искомую разницу.

Решение:

Пусть 1-й множитель равен х, 2-й – у. Тогда их произведение – ху.

После того, как множители увеличены на 1, получаем:

(х+1)(у+1)=ху+3

ху+у+х+1=ху+3

х+у=2

После увеличения множителей на 5 имеем:

(х+5)(у+5)=ху+N, где N – искомая разница произведений.

Выполняем преобразования:

ху+5у+5х+25=ху+N

N=ху+5у+5х+25– ху

N=5(х+у)+25

Т.к. выше уже определено, что х+у=2, то получим:

N=5·2+25=35.

Ответ: 35

---

Вариант 20МБ16

[su_note note_color=”#defae6″]

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живет Саша? (На всех этажах число квартир одинакова, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Способом подбора определяем кол-во квартир на площадке. Это должно быть такое число, чтобы номер квартиры оказался большим, чем кол-во квартир в 6-ти подъездах, однако меньшим, чем кол-во квартир в 7-ми.
2. Определяем кол-во квартир в 6-ти подъездах. От 462 отнимаем это кол-во и делим на число квартир на площадке. Так узнаем искомый номер этажа. Примечание: 1) если получено целое число, то искомый номер этажа на 1 больше, чем вычисленное значение; 2) если получено дробное число, то номером этажа будет округленный в большую сторону результат.

Решение:

Ищем кол-во квартир на площадке, проверяя число за числом.

Предположим, что это кол-во равно 3. Тогда получим, что в 7 подъездах на 6 этажах имеется 7·6·3=126 квартир,

а в 7 подъездах на 7 этажах 7·7·3=147 квартир.

Квартира №462 точно не попадает в диапазон квартир №№126–147.

Аналогично проверяя числа 4, 5 и т.д., придем к числу 10. Докажем, что именно оно подходит:

в 7 подъездах на 6 этажах находится 7·6·10=420 квартир,

в 7 подъездах на 7 этажах: 7·7·10=490 квартир. Поскольку 420<462<490, то условие задания выполнено.

Для того чтобы попасть в квартиру №462, нужно пройти мимо 462–420=42 квартир. Т.к. на каждой площадке находится 10 квартир, то 42:10=4,2 этажей для этого нужно преодолеть. 4,2 означает, что 4 этажа нужно пройти полностью и подняться на 5-й. Т.о., искомый этаж – 5-й.

Ответ: 5

Даниил Романович | Просмотров: 13.5k