Задачи на среднее арифметическое егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 64 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–64

Добавить в вариант

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а)  Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше

б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 601 (C часть). , ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 610 (C часть).

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть). , ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 608 (C часть).

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

На доске написано n чисел a_i (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на r_i%. При этом либо r_i = 2%, либо число a_i уменьшается на 2, то есть становится равным a_i − 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то  — на 2 процента).

а)  Может ли среднее арифметическое чисел r₁, r₂, …, r_n быть равным 5?

б)  Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r₁, r₂, …, r_n больше 2, при этом сумма чисел a₁, a₂ … a_n уменьшилась более чем на 2n?

в)  Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r₁, r₂, …, r_n.

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое всех написанных чисел было равно 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, вдвое меньшее первоначального. Числа, оказавшиеся после этого меньше 1, с доски стёрли.

а)  Могло ли среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, стать больше 14?

б)  Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать больше 12, но меньше 13?

в)  Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 355.

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.

а)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Может ли n быть больше 7?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?

в)  Известно, что n=4. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а)  Может ли n быть больше 5?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи

а)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?

в)  Известно, что n  =  6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 409, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а)  Могут ли быть одинаковыми два из трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б)  Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

б)  Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а)  Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б)  Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 268.

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться после произведённой операции?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным 34?

в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 269.

б)  Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 272.

а)  Могут ли быть одинаковыми два из этих трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б)  Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трех средних арифметических

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 361.

На доске написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 17. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые оказались меньше 6, стерли.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел больше 17?

б)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел больше 19, но меньше 20?

в)  Найдите максимально возможное значение среднего арифметического чисел, оставшихся на доске.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 226.

На доске написали n необязательно различных действительных чисел: a₁, a₂, …, a_n, каждое из которых не меньше 80 и не больше 120. Затем получили ровно n чисел b₁, b₂, …, b_n следующим образом. Каждое из чисел a_i, уменьшили одним из двух способов:

1)  на 4, то есть

или

2)  на 4%, то есть

Пусть для всех

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое n чисел r₁, …, r_n равно 3?

б)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое n чисел r₁, …, r_n равно 4, а сумма n чисел a₁, a₂, …, a_n, уменьшилась при этом меньше, чем на 4n?

в)  Пусть на доске было написано 22 числа, а после выполнения указанной операции их сумма уменьшилась на 80. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r₁, …, r_n.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 416.

В течение n дней ежедневно на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 5. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество  — меньше, чем в предыдущий день.

а)  Может ли n быть больше 4?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 3?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за все дни?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 383.

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно В.

а)  Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным ?

б)  Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем ?

в)  Найдите наименьшее возможное значение выражения

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 202.

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 2, но не превосходит 42. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 6. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 2, с доски стерли.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 10?

б)  Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске оказаться больше 8, но меньше 9?

в)  Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 323. (часть C).

Всего: 64 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–64

Источник

Тема 18.

Задачи на теорию чисел

Среднее арифметическое и минимальная сумма

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

задачи на теорию чисел

18.01Задачи из ЕГЭ прошлых лет

18.02Задачи формата ЕГЭ

18.03Делимость чисел и признаки делимости

18.04Основная теорема арифметики (ОТА)

18.05НОК, НОД и взаимная простота чисел

18.06Остатки

18.07Десятичная запись числа

18.08Четность и нечетность

18.09Последняя цифра числа

18.10Составление уравнений

18.11Формулы сокращенного умножения

18.12Теорема Безу

18.13Квадратный трехчлен

18.14Среднее арифметическое и минимальная сумма

18.15Арифметическая и геометрическая прогрессии

18.16Произвольные последовательности чисел

18.17Инварианты и полуинварианты

18.18Принцип Дирихле

18.19Принцип крайнего

18.20Задачи на построение конструкций/примеров по заданным условиям

18.21Оценка + пример

18.22Уравнения в целых числах

18.23Комбинаторика

Решаем задачи

Таблица умножения на обороте школьной тетради содержит все произведения
однозначных чисел от 1 до 9. Всего выписано 81 произведение: сначала 1
умножается на все числа от 1 до 9, потом 2 умножается на все числа от 1
до 9 и так далее. Найдите среднее арифметическое всех произведений в
таблице.

Показать ответ и решение

Если раскрыть скобки в произведении

то получится как раз сумма всех чисел таблицы. Поэтому эта сумма равна
452, а среднее арифметическое равно

2 2 2
45 ∕9 = 5 = 25

Можно пытаться объяснить этот ответ по-простому: средний сомножитель, то
есть среднее арифметическое чисел от 1 до 9, равен 5, и потому среднее
произведение равно 25. Но это опасная логика: так можно решить, что
среднее арифметическое чисел равно 52, а это совсем не
так.

Дано различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое пяти наибольших из них равно 20. Найдите
максимальное возможное значение

Показать ответ и решение

Обозначим числа через

Запишем условие на среднее арифметическое:

a1+a2-+a3+-a4+-a5-
5 =20 ⇔ a1 +a2+ a3+ a4+ a5 = 100

Все числа различны, значит, верны следующие оценки:

pict

Подставив их в условие на то, что сумма равна 100, получим:

Все n − 5 чисел по условию различны, и все они меньше чем . Очевидно, что количество различных
натуральных чисел, меньших , равно a5− 1 . Тогда имеем неравенство

Пример: все натуральные числа от 1 до 22.

Показать ответ и решение

Обозначим числа в первой группе через

а числа во второй группе через

Нам нужно максимизировать m + m = a + b.
1 2 6 4

Запишем условие на числа первой группы:

a1+ ...+ a6
----6-----= 7 ⇔ a1 +...+ a6 = 42

Числа внутри первой группы различны, значит, верны следующие оценки:

pict

Подставив их в условие на то, что сумма равна 42, получим:

Запишем условие на числа второй группы:

b1+ ...+ b4
-----4----= 9 ⇔ b1+ ...+b4 = 36

Числа внутри второй группы различны, значит, верны следующие оценки:

pict

Подставив их в условие на то, что сумма равна 36, получим:

30
(b4 +3)+ (b4+ 2)+ (b4+ 1)+b4 ≤ 36 ⇔ 4b4+ 6≤ 36 ⇔ b4 ≤ 4 =7,5

Мы получили, что максимально возможное натуральное a6 =4, максимально возможное натуральное b4 =7, а их сумма
равна 11. Приведем пример:

pict

Показать ответ и решение

Обозначим числа в первой группе через

а числа во второй группе через

Нам нужно максимизировать M + M = a + b.
1 2 1 1

Запишем условие на числа первой группы и выразим

a1+ ...+a6
-----6---- = 7 ⇔ a1+ ...+ a6 = 42 ⇔ a1 = 42− (a2+...+ a6)

Запишем условие на числа второй группы и выразим

Тогда сумма равна

Каждое из восьми чисел, которые мы вычитаем из 78, не меньше 1, так как все числа натуральные, следовательно

Сумма, равная 70, очевидно достигается:

pict

На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна
5120.

а) Может ли на доске быть написано число 230?

б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске?

Показать ответ и решение

Известно, что сумма первых последовательных натуральных чисел

n ⋅(n + 1)
1+ 2+ ...+ n= ----2---

а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму , содержащую число 230. Она состоит из наименьших 99 натуральных чисел
и числа 230:

S = 99⋅100+ 230= 5180> 5120
2

Получили, что даже минимальная возможная сумма превышает сумму из условия, значит, такое невозможно.

б) Допустим, число 14 не написано на доске, возьмём 100 минимальных натуральных чисел, которые еще доступны. Их сумма
равна

S = 101⋅102− 14= 5137
2

Очевидно, что какие бы числа ни были написаны на доске, их сумма будет не меньше . Но , следовательно, такое
невозможно.

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные 14 (это числа 14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных 14. Допустим, на доске оказалось написано ровно три числа ,
и , кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем

где — наименьшая возможная сумма 97 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Ее легко
посчитать, поскольку семь наименьших чисел, кратных 14, это

Значит, нам надо посчитать сумму наименьших натуральных чисел и вычесть из нее семь кратных 14
чисел:

Получаем, что даже при минимальных возможных , и сумма всех чисел на доске будет равна

Таким образом, мы доказали, что количество чисел, кратных 14, не может быть равно трем. Из этого очевидно следует, что
меньше трех оно также не может быть, так как условия становятся строже (фактически нам просто будет доступно еще меньше
чисел).

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2

Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение пункта a; – обоснованное решение пункта б; – искомая оценка в пункта в; – пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее
арифметическое всех членов этой последовательности, кроме -го. Известно, что .

а) Приведите пример такой последовательности, для которой M = 1,6.
3

б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?

в) Найдите наибольшее возможное значение .

Показать ответ и решение

Обозначим сумму всех чисел последовательности через .

а) Из условия задачи получаем:

pict

Возьмем, например, S = 10 . Тогда

Чтобы сумма была равна 10, возьмем

a = a = a = 1
4 5 6

Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

б) Следую условию на и , возьмем

Из условия на получим:

S-−-a3
M3 = 5 = 3 ⇔ a3 = S − 15

Рассмотрим разность первого и третьего чисел последовательности:

Такое невозможно, так как и — по условию цифры.

в) По определению имеем:

M = S-−-a3 ⇔ a = S − 5M
3 5 3 3

Поскольку и — цифры, то модуль разности не должен превышать 9.

Тогда получаем оценку:

Построим пример для . Третье число равно

Возьмем, S = 14 . Тогда

Чтобы сумма была равна 14, возьмем

Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

Ответ:

б) Нет

в) 2,8

На доске написано пять различных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно 11. За один ход с доски
стирают одно число так, чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел было больше, чем до этого
стирания.

а) Можно ли сделать четыре хода?

б) Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться в три раза после трех ходов?

в) Найдите минимальное возможное среднее арифметическое чисел, оставшихся после трех ходов, если известно,
что числа 12 среди изначально написанных чисел не было.

Показать ответ и решение

а) Да, можно. Достаточно на каждом ходу стирать наименьшее из чисел. Например, для исходных чисел 9, 10, 11, 12,
13 можно стереть последовательно числа 9, 10, 11, 12. Легко проверить, что после каждого хода среднее
арифметическое будет увеличиваться.

б) После трех ходов на доске останется два числа. Пусть их среднее арифметическое втрое больше исходного, то
есть равно 33, тогда их сумма равна . Каждое из трех стертых чисел не меньше единицы (т.к. числа по
условию натуральные), значит, сумма всех пяти чисел не меньше, чем , а среднее арифметическое не
меньше, чем 69
5 = 13,8 > 11 , что противоречит условию.

в) Утверждение. Пусть имеется набор из чисел со средним арифметическим, равным , тогда верны
следующие утверждения:

При удалении из набора числа, равного , среднее арифметическое чисел набора останется равным
.
При удалении из набора числа, большего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет меньше,
чем .
При удалении из набора числа, меньшего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет больше,
чем .

Вернемся к нашим числам. Исходное среднее арифметическое равно 11, значит, исходная сумма равна
. После трех ходов на доске всегда будет оставаться два числа, значит, минимизация их среднего
арифметического равносильна минимизации их суммы.

Чтобы после стирания числа наше среднее арифметическое увеличилось, мы должны стереть число, меньшее
текущего среднего арифметического, а так как средние арифметические после каждого стирания увеличиваются, то
текущее среднее арифметическое меньше, чем итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел. Тогда
можем сделать вывод, что на каждом ходу мы стираем число, меньшее итогового среднего арифметического .
(⋆)

Мы знаем, что итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел должно быть больше, чем 11.
Тогда итоговая сумма должна быть натуральным числом, большим, чем . Таким образом,
. Будем перебирать по ней снизу, пока не найдем достижимую (она и будет минимально возможной).

Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты
— различные натуральные, каждое из них меньше, чем 11,5 (см. ). Тогда их сумма
не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем
противоречие.
Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты
— различные натуральные, каждое из них меньше, чем 12 (см. ). Тогда их сумма не
превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем
противоречие.
Для и строится следующий пример (в каждой строчке набор, начиная с исходного):

В полученном примере все условия выполняются, значит, наименьшее возможное среднее арифметическое после
трех ходов при условии, что числа 12 в наборе нет, равняется 12,5.

На доске написано 10 натуральных чисел, каждое из которых не больше 9. Среднее арифметическое всех
написанных чисел равно 5. Затем произвели следующую операцию: вместо каждого числа написали число
(то есть все числа заменили на удвоенные), а затем стерли все числа, которые оказались больше
9.

а) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел быть меньше 5?

б) Могло ли быть стерто ровно одно число?

в) Какое наибольшее количество двоек могло быть на доске изначально, если среднее арифметическое чисел,
оставшихся после стирания, равно 6?

Показать ответ и решение

Сумма чисел, написанных изначально, равна .

а) Пусть изначально на доске пять единиц и пять девяток, их среднее арифметическое действительно равно 5. После
удвоения получим пять чисел 18 и пять двоек, после стирания останутся только пять двоек. Их среднее
арифметическое равно 2, что меньше 5.

б) Допустим, что такое возможно. Тогда каждое из девяти чисел, которые после удвоения не были стерты, должно
быть не больше 4. Число, которое было стерто после удвоения, не могло изначально быть больше 9. Тогда
сумма чисел, изначально написанных на доске, не превышает , что меньше 50. Получаем
противоречие.

в) Допустим, двоек могло быть шесть. Тогда сумма оставшихся четырех чисел должна быть равна ,
однако это больше, чем — наибольшая сумма, которую можно набрать четырьмя числами, каждое из
которых не превышает 9. Таким образом, шесть и более двоек быть не могло, т.к. в этом случае сумма исходных чисел
будет гарантированно меньше 50.

Будем называть неисчезающими числа, которые после удвоения не будут стерты. Очевидно, что все неисчезающие
числа не превышают 4. Среднее арифметическое неисчезающих чисел после удвоения по условию равно 6,
следовательно, их среднее арифметическое до удвоения должно быть равно 3.

Допустим, двоек могло быть пять. Пусть кроме двоек в исходном наборе k ≤ 5 неисчезающих чисел. Каждое из
них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. k ≥ 0 )

Получили, что все числа неисчезающие. Это противоречит тому, что среднее арифметическое исходных чисел равно
5.

Допустим, двоек могло быть четыре. Пусть кроме двоек в исходном наборе k ≤ 6 неисчезающих чисел. Каждое из
них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. k ≥ 0 )

Получили, что неисчезающих чисел хотя бы 8, из них 4 двойки. Тогда сумма наименьших восьми чисел в исходном
наборе не превышает (помним, что неисчезающие ≤ 4 )

значит, сумма наибольших двух должна быть не меньше, чем . Получаем противоречие.

На три двойки есть пример:

2, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8

Даны две группы по 10 чисел в каждой. Каждое из чисел равно либо трем, либо четырем, либо пяти. Среднее
арифметическое чисел в первой группе равно 4, а во второй 4,5 .

а) Может ли в первой группе быть ровно три четверки?

б) Может ли во второй группе быть ровно три тройки?

в) Какое наименьшее значение может быть у среднего арифметического всех троек и четверок из двух
групп?

Показать ответ и решение

Сумма чисел в первой группе равна , а во второй .

а) Допустим, что такое возможно, тогда сумма семи оставшихся чисел первой группы равна , и все
они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся троек и 7− k пятерок. Получаем следующее
соотношение

3k + 5(7 − k) = 28 ⇔ 35 − 2k = 28 ⇔ 2k = 7 ⇔ k = 3,5

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

б) Если такое возможно, то сумма семи оставшихся чисел второй группы равна , и все они —
четверки либо пятерки. Пусть среди оставшихся четверок и 7 − k пятерок. Получаем следующее
соотношение

4k + 5(7 − k) = 36 ⇔ 35 − k = 36 ⇔ k = −1

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

в) Пусть в какой-то из двух групп две или больше четверок. Тогда возьмем две любые четверки из этой
группы и заменим на тройку и пятерку. После этой операции среднее арифметическое чисел в группе не
изменится, а среднее арифметическое всех троек и четверок строго уменьшится, так как вместо двух четверок
появится одна тройка. Таким образом, при оптимальных наборах в каждой из двух групп не больше одной
четверки.

Допустим, что в первой группе ровно одна четверка, тогда сумма девяти оставшихся чисел первой группы равна
, и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся троек и 9− k пятерок. Получаем
следующее соотношение

3k + 5(9 − k) = 36 ⇔ 45 − 2k = 36 ⇔ 2k = 9 ⇔ k = 4,5

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах в
первой группе нет четверок, ровно пять троек и ровно пять пятерок.

Допустим, во второй группе нет четверок, тогда в ней троек и 10− l пятерок. Получаем

3l + 5(10 − l) = 45 ⇔ 50 − 2l = 45 ⇔ 2l = 5 ⇔ l = 2,5

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах во
второй группе ровно одна четверка. Снова обозначим через количество троек, через 9 − l количество пятерок,
получим

3l + 5(9 − l) = 41 ⇔ 45 − 2l = 41 ⇔ l = 2

Таким образом, при оптимальных наборах во второй группе две тройки и семь пятерок. Посчитаем среднее
арифметическое троек и четверок в оптимальном наборе

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 25
8

Источник

Решение №1

Среднее арифметическое n чисел – это частное от деления на n суммы всех этих чисел.

Пусть на доске записано m целых чисел, причем 42< m < 56. Пусть записано:

Х — количество положительных чисел;

Y — количество отрицательных чисел; тогда:

К — количество нулей,

Х+Y+K — количество всех чисел;

4*(X+Y+K) — сумма всех чисел;

14Х — сумма положительных чисел;

-7Y — сумма отрицательных чисел;

0*K — сумма нулей.

Можно записать уравнение:

14х — 7у + 0к= 4*(x + y + к);

14х — 7у = 4*(x + y + к); левая часть уравнения делится на 7, тогда:

42 < (х +у + к) < 56, значит всего 49 чисел , m = 49.

х + у +к = 49;

4•(х + у + к) = 4•49;

тогда 14х – 7у = 4•49; поделим обе части уравнения на 7, получаем:

(begin{eqnarray} 2x — y = 28\ y = 2x — 28\ end{eqnarray})

х + у ≤ 49

3х ≤ 77, значит х ≤ 25

2х – у = 28

у = 28 – 2х

2•25 – у = 28

у = 22

Ответ: а) 49;

б) положительных чисел больше;

в) 22.

Центр «Снейл» 15 лет проводит массовые дистанционные образовательные конкурсы и олимпиады для детей. Это предметные и межпредметные интеллектуальные состязания среди школьников, специальные ЕГЭ-олимпиады, помогающие им готовиться к итоговой аттестации.

Источник

Задание № 20. Задачи на логику и смекалку

Тип № 13 (про числа)

1. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 119, во втором — 125, в третьем — 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в столбце?

Решение.

Общая сумма во всех столбцах = 119 + 125 + 133 = 377.

Числа 18 и 15 не включены в предел, значит:

1) если сумма в строке = 17, то, количество строк равно 377 : 17= 22,2;

2) если сумма в строке = 16, то, количество строк равно 377 : 16= 23,5.

Значит, количество строк = 23 (т.к. оно должно быть между 22,2 и 23,5).

Ответ: 23.

Задания для самостоятельного решения

1. В таблице 3 столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 98, во втором -103, в третьем — 99, а сумма чисел каждой строке больше 26, но меньше 29. Сколько всего строк в таблице?

2. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 72, во втором — 81, в третьем — 91, а сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16. Сколько всего строк в таблице?

Тип № 14 (про среднее арифметическое)

1. Среднее арифметическое 6 различных натуральных чисел равно 8. На сколько нужно увеличить наибольшее из этих чисел, чтобы их среднее арифметическое стало на 1 больше?

Решение.

Среднее арифметическое находится как сумма чисел разделенное на их количество. В нашем случае среднее арифметическое равно 8, а количество чисел – 6. Получается, что , где x – сумма 6 различных натуральных чисел. Отсюда, сумма шести натуральных чисел равна x = 6⋅8 = 48. При увеличении среднего арифметического на 1, т.е. до 9 неважно какое именно число необходимо увеличивать. Посчитаем при среднем арифметическом равном 9, сколько будет сумма 6 различных натуральных чисел
откуда x = 9 ⋅ 6 = 54. Значит, сумму 6 натуральных чисел (в нашем случае наибольшее) необходимо увеличить на 54 − 48 = 6, чтобы среднее арифметическое увеличилось на 1.

Ответ: 6.

2. Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 8. Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно 9. Чему равно седьмое число?

Решение.

Сумма первых шести чисел равна S₆ = 6 · 8 = 48. Запишем выражение для среднего арифметического семи чисел:

Откуда .

Ответ: 15.

Задания для самостоятельного решения

1. Среднее арифметическое 7 различных натуральных чисел равно 12. На сколько нужно увеличить наибольшее из этих чисел, чтобы их среднее арифметическое стало на 2 больше?

2. Среднее арифметическое 7 натуральных чисел равно 12. К ним добавили восьмое число такое, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно 14. Найдите восьмое число.

3. Среднее арифметическое девяти чисел, записанных на доске, равно 14, а среднее арифметическое первых восьми из этих чисел равно 13. Найдите девятое число, записанное на доске.

Источник