При решении этих задач следует помнить, что все тела, вещества, продукты содержат в себе воду, которая частично испаряется. Поэтому в решении надо каждый раз разделять данное нам вещество на воду и «сухой остаток». Количество воды может меняться, масса же сухого вещества остаётся неизменной.
Задача 1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
|
Масса, в кг |
Содержание, в % |
||
|
воды |
Сухого вещества |
||
|
Свежие цветы |
8 |
85 |
100 — 85 = 15 |
|
Высушенные |
х |
20 |
100 — 20 = 80 |
1) 0,15 · 8 = 1,2 (кг) — масса сухого вещества в 8 кг;
2) 1,2 кг — 80%
x кг — 100%
Отсюда, х = 1,2 · 100 : 80 = 1,5 (кг).
Ответ: 1,5 кг
Задача 2. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
|
Масса, в кг |
Содержание, в % |
||
|
воды |
Сухого вещества |
||
|
Свежие грибы |
22 |
х |
|
|
Сухие грибы |
2,5 |
12 |
100 — 12 |
Определим процент сухого вещества в высушенных грибах: 100-12 = 88% = 0, 88.
1) 2,5 · 0,88 = 2,2 (кг) — масса сухого вещества;
2) 2,2 кг : 22 · 100 = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах;
3) 100 — 10 = 90% воды в свежих грибах.
Ответ: 90%
Задача
3. Свежие
яблоки содержат 80% воды, а сушёные 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы
получить 6 кг сушёных?
Решение.
Если
в сушёных яблоках содержится 10% воды,
то сухое вещество составляет 90%.
Найдём
массу сухого вещества в 6 кг сушёных
яблок:
6
·
0,9
= 5,4 9 (кг).
Та
же масса сухого вещества была и в свежих
яблоках, и она составляла 20% от их массы.
Найдём массу свежих яблок:
5,4
: 0,2 = 27 (кг).
Ответ:
27 кг
Задача 4. Только что
добытый каменный уголь содержит 2% воды,
а после двухнедельного пребывания на
воздухе он содержит 12% воды. На сколько
килограммов увеличится масса одной
добытой тонны угля после того, как она
две недели пролежит на воздухе?
Эта задача
обратна предыдущим: здесь влажность
угля увеличивается за счёт поглощения
влаги из воздуха.
Решение.
Заполним таблицу по условию задачи:
|
Масса, в т |
Содержание, в % |
||
|
воды |
Сухого вещества |
||
|
Было |
1 |
2 |
100 — 2 |
|
Стало |
х |
12 |
100 — 12 |
1) 1000 ·
0,98
= 980
(кг) — масса сухого вещества в
добытом угле;
2)
980
кг — это 88%, 980 : 0,88 ≈ 1114 (кг) — масса угля
после двух недель пребывания на воздухе;
3)
1114
— 1000
= 114
(кг) — увеличение массы одной
добытой
тонны угля.
Ответ:
114
кг
Задача
5. В
свежих грибах 70% влаги, а в сушёных 10%.
Сколько килограммов свежих грибов надо
собрать для того, чтобы получить 30 кг
сушёных?
Решение.
1)
В сушёных грибах сухое вещество составляет
90%.
90%
от 30 кг — это 30 : 100 · 90 = 27 (кг).
2)
27 кг сухого вещества в свежих грибах
составляют 30%.
1%
от 27 кг — это 27 : 30 = 0,9 (кг). Тогда 100%
составляют 0,9 · 100 = 90 (кг).
Ответ:
90 кг
Задачи
для самостоятельного решения.
- Свежие
грибы содержат 90% воды, а сухие — 12% воды.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг
свежих грибов? - Трава
при высыхании теряет около 28% своей
массы. Сколько было накошено травы, если
из неё было получено 1,44 т сена? - На
складе хранилась 51 т зерна, влажность
которого была 20%. Перед закладкой зерна
в зернохранилище его просушили, доведя
влажность до 15%. Сколько тонн зерна
засыпали в зернохранилище? - Имеется 0,5 т
целлюлозной массы, содержащей 85% воды.
После выпаривания получили массу,
содержащую 25% целлюлозы. Сколько
килограммов воды было выпарено? - Пчёлы
перерабатывают цветочный нектар в мёд,
освобождая его от воды. Нектар обычно
содержит 84% воды, а полученный из него
мёд — 20%. Сколько килограммов нектара
приходится перерабатывать пчёлам для
получения одного килограмма мёда?
О трудолюбивом
человеке, который практически не сидит
без дела, говорят: «Трудится как пчёлка».
Понять почему так говорят вам помогут
следующие цифры.
Для выработки
100 граммов меда пчела облетает
приблизительно миллион цветов.
Скорость
полета пчелы составляет 65 км/ч, что
приблизительно равно скорости движения
автомобиля по городу.
Пчела за один
полет набирает нектара практически
столько, сколько она весит сама. С полным
медовым желудочком пчела способна
развивать скорость до 30 км/ч.
Чтобы
набрать 1 кг нектара, пчеле придется
совершить до 150 тысяч вылетов из улья.
В среднем за один вылет пчела преодолевает
до 3 километров.
Чтобы произвести
килограмм меда, пчеле необходимо
пролететь в среднем до 450 тысяч километров.
Это значит, что расстояние, которое
пролетает пчела, аналогично расстоянию,
которое необходимо пролететь, чтобы
обогнуть экватор Земли примерно 10 раз.
Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.
Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Покажем правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.
. В сосуд, содержащий 
литров 
-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 
литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим 
.
Первый сосуд содержал 
литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
.
. Смешали некоторое количество 
-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 
-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой 
. Рисуем картинку.
Получаем: 
Ответ: 
.
. Виноград содержит 
влаги, а изюм — 
. Сколько килограммов винограда требуется для получения 
килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было 
. В изюме воды и 
«сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда
от 
от
Составим уравнение:
и найдем .
Ответ: 
.
. Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй — 
никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 
кг, содержащий 
никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой 
.
Запишем простую систему уравнений:
Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.
Решая, получим, что 
.
Ответ: 
.
. Смешав 
-процентный и 
-процентный растворы кислоты и добавив 
кг чистой воды, получили 
-процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг 
-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 
-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора , масса второго равна 
. Масса получившегося раствора равна 
. Запишем два уравнения, для количества кислоты.
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
Ответ: .
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
ÐадаÑи на ÑаÑÑвоÑÑ Ð¸ ÑмеÑи Ñ ÑеÑениÑми. ÐÐ»Ñ ÐÐÐ.ÐÐÐÐÐ ÐТРРÐШÐÐÐЯ ÐÐÐÐЧ ÐÐ Ð ÐСТÐÐРЫ РСÐÐСРÐÐ»Ñ ÑеÑÐµÐ½Ð¸Ñ Ð·Ð°Ð´Ð°Ñ ÑÑого Ñипа Ñдобно иÑполÑзоваÑÑ ÑаблиÑÑ
ÐÑимеÑÑ Ð·Ð°Ð´Ð°Ñ Â
РеÑение:
 0,005Ñ + 0,02(30-Ñ ) = 30*0,015 Ñ = 10 лиÑÑов ÐÑвеÑ: 10 лиÑÑов, 20 лиÑÑов. Â
РеÑение:
 4*0,01Ñ + 6*0,01Ñ = 10*0,35 0,01Ñ + 0,01Ñ = 2*0,36 ÐÑвеÑ: 41%, 31%. Â
РеÑение:
 400*0,82 = 0,8Ñ ÐÑвеÑ: 410 кг. Â
РеÑение:
38*0,75 = 30*0,01Ñ ÐÑвеÑ: 95% — ÑодеÑжание меÑалла, 5% — ÑодеÑжание пÑимеÑей. Â
 РеÑение:
4*0,4 +Ñ = 0,7(4+Ñ ) ÐÑвеÑ: Ñ =4Â
 РеÑение:
 2/5x+3/10(8-x)=8*5/16 Ñ = 1 ÐÑвеÑ: золоÑа â 1 кг, ÑеÑебÑа â 7 кг.  ÐапиÑаÑÑ ÐºÐ¾Ð¼Ð¼ÐµÐ½ÑаÑийСейÑÐ°Ñ Ñакже ÑмоÑÑÑÑ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Сюжетные текстовые задачи
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
(blacktriangleright) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): [text{концентрация вещества}=dfrac{text{масса вещества}}{text{масса раствора}}cdot 100%]
(blacktriangleright) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.
Задание
1
#846
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Сергей смешал раствор, содержащий (20%) кислоты и раствор, содержащий (40%) той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий (32,5%) кислоты, причём объём полученного раствора (4) литра. Сколько литров раствора, содержащего (20%) кислоты, использовал Сергей при смешивании?
Пусть (x) литров раствора, содержащего (20%) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда
(4 — x) литров раствора, содержащего (40%) кислоты использовал Сергей при смешивании,
(dfrac{20}{100}x) – объём кислоты в растворе, содержащем (20%) кислоты, (dfrac{40}{100}(4 — x)) – объём кислоты в растворе, содержащем (40%) кислоты.
Так как в итоге кислоты оказалось (dfrac{32,5}{100} cdot 4 = 1,3) литра, то:
[dfrac{20}{100}x + dfrac{40}{100}(4 — x) = 1,3,] откуда находим (x = 1,5).
Ответ: 1,5
Задание
2
#844
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Один газ в сосуде А содержал (21%) кислорода, второй газ в сосуде В содержал (5%) кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит (14,6%) кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.
Пусть (x) грамм – масса второго газа, тогда
(x + 300) грамм – масса первого газа,
(dfrac{21}{100}(x + 300)) грамм – масса кислорода в первом газе,
(dfrac{5}{100}x) грамм – масса кислорода во втором газе,
тогда масса кислорода в третьем газе составляет (dfrac{14,6}{100}(2x + 300)) грамм.
Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:
[dfrac{21}{100}(x + 300) + dfrac{5}{100}x = dfrac{14,6}{100}(2x + 300),] откуда находим (x = 600). Таким образом, масса третьего газа равна (600 + 600 + 300 = 1500) грамм.
Ответ: 1500
Задание
3
#843
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Иван случайно смешал молоко жирностью (2,5%) и молоко жирностью (6%). В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью (4,6%). Сколько литров молока жирностью (2,5%) было у Ивана до смешивания?
Пусть (x) литров молока жирностью (2,5%) было у Ивана, тогда
(5 — x) литров молока жирностью (6%) было у Ивана,
(dfrac{2,5}{100}x) – объём жира в молоке жирностью (2,5%), (dfrac{6}{100}(5 — x)) – объём жира в молоке жирностью (6%).
Так как в итоге жира оказалось (dfrac{4,6}{100} cdot 5 = 0,23) литра, то:
(dfrac{2,5}{100}x + dfrac{6}{100}(5 — x) = 0,23), откуда находим (x = 2).
Ответ: 2
Задание
4
#841
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?
Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100(%). До переливания в сосуде А было (3 cdot 0,17 = 0,51) литра вещества Х, в сосуде В было (7 cdot 0,19 = 1,33) литра вещества Х.
После переливания объём вещества Х в сосуде А стал (0,51 + 1,33 = 1,84) литра, а объём всего раствора (3 + 7 = 10) литров. Тогда концентрация в процентах составила [dfrac{1,84}{10} cdot 100% = 18,4%.]
Ответ: 18,4
Задание
5
#2133
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Во сколько раз больше должен быть объём (5)-процентного раствора кислоты, чем объём (10)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить (7)-процентный раствор?
Пусть объём (5)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (10)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,05x + 0,1y = 0,07(x + y)
qquadLeftrightarrowqquad
dfrac{x}{y} = dfrac{3}{2} = 1,5,,] таким образом, ответ: (1,5).
Ответ: 1,5
Задание
6
#2134
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Во сколько раз больше должен быть объём (20)-процентного раствора кислоты, чем объём (14)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить (18)-процентный раствор?
Пусть объём (20)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (14)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,2x + 0,14y = 0,18(x + y)
qquadLeftrightarrowqquad
dfrac{x}{y} = 2,,] таким образом, ответ: (2).
Ответ: 2
Задание
7
#2629
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Смешав (25)-процентный и (95)-процентный растворы кислоты и добавив (20) кг чистой воды, получили (40)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо (20) кг воды добавили (20) кг (30)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы (50)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов (25)-процентного раствора использовали для получения смеси?
Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий (0%) кислоты.
Пусть (x) кг – масса раствора с (25)-процентным содержанием кислоты, (y) кг – масса раствора с (95)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение (40)-процентного раствора:
Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит (x) кг, а в нем (25%) кислоты, то в килограммах в нем (dfrac{25}{100}cdot x) кислоты.
Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:
[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+
dfrac{0}{100}cdot 20=dfrac{40}{100}cdot (x+y+20)]
Аналогично составим схему, описывающую получение (50)-процентного раствора:
Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:
[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+
dfrac{30}{100}cdot 20=dfrac{50}{100}cdot (x+y+20)]
Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем (x). Для этого можно умножить оба уравнения на (100), чтобы сделать их проще на вид:
[begin{cases}
25x+95y+0=40(x+y+20)
25x+95y+30cdot 20=50(x+y+20)
end{cases}]
Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:
[begin{aligned} &begin{cases}
25x+95y=40(x+y+20)
30cdot 20=10(x+y+20)
end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
5x+19y=8(x+y+20)
y=40-x end{cases} quad Rightarrow [2ex] Rightarrow quad
&begin{cases}
3x-11(40-x)+160=0
y=40-x end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
x=20y=20end{cases} end{aligned}]
Таким образом, раствора с (25%) кислоты было (20) кг.
Ответ: 20
Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике
Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике
Задача 1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
1 способ решения. Заполним таблицу по условию задачи:
|
Масса, в кг |
Содержание, в % |
||
|
воды |
Сухого вещества |
||
|
Свежие цветы |
8 |
85 |
100 — 85 = 15 |
|
Высушенные |
х |
20 |
100 — 20 = 80 |
1) 0,15 · 8 = 1,2 (кг) — масса сухого вещества в 8 кг;
2) 1,2 кг — 80%
x кг — 100%
Отсюда, х = 1,2 · 100 : 80 = 1,5 (кг).
Ответ: 1,5 кг
2 способ решения. 
8 кг х кг
Переводим проценты в десятичную дробь. Находим массу сухого вещества для свежих цветков и сухих. Составляем уравнение, приравнивая массу сухого вещества:
0,15 · 8 = 0,8 · х
х = 1,5 (кг)решать задачи под цифрой 3
Ответ: 1,5 кг
-
Скачать материал
-
09.11.2015
5550
- RAR 439.1 кбайт
- 50 скачиваний
- Рейтинг:
1 из 5 - Оцените материал:
-
-
Настоящий материал опубликован пользователем Петлинская Светлана Александровна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Пожаловаться на материал
-
Автор материала
- На сайте: 6 лет и 5 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 50683
- Всего материалов:
18
Подарочные сертификаты
Новинка!
Выбрать сертификат
Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Покажем правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.
. В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .
Первый сосуд содержал 
литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
.
. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.
Получаем: 
Ответ: .
. Виноград содержит 
влаги, а изюм — 
. Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было 
. В изюме воды и 
«сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда
от 
от
Составим уравнение:
и найдем .
Ответ: .
. Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй — 
никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий 
никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .
Запишем простую систему уравнений:
Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.
Решая, получим, что .
Ответ: .
. Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
Ответ: .
Задачи на «высушивание»
1.
(С 5-го
класса.) Из
22 кг свежих грибов получается 2,5 кг
сухих грибов, содержащих 12% воды.
Каков процент воды в свежих грибах?
Ответ:
90%.
2. (С
5-го класса.)
Свежие
яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10%.
Сколько надо взять свежих яблок, чтобы
получить 6 кг сушеных? Ответ:
27
кг.
3. (С
5-го
класса.) Если
из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги,
содержащей 42% воды, то сколько процентов
воды содержат свежие
абрикосы? Ответ:
53,6%.
4. (С
5-го
класса.) Только
что добытый каменный уголь содержит 2%
воды, а после двухнедельного пребывания
на воздухе он содержит 12% воды. На сколько
килограммов увеличится масса одной
добытой тонны
угля после того, как она две недели
пролежит на воздухе? Ответ:
на
114 кг.
5.(С
5-го
класса.) В
свежих
грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько
килограммов свежих грибов надо собрать
для того, чтобы получить
30 кг сушеных?
Ответ: 90
кг.
6.(С
5-го
класса.) Свежие
грибы содержат 90% воды, а сухие — 12%
воды. Сколько получится сухих грибов
из 22 кг свежих грибов?
Ответ:
2,5
кг.
7.
(С 5-го
класса.)
Трава при высыхании теряет около 28%
своей массы.
Сколько было накошено травы, если из
нее было получено 1,44 т сена? Ответ:
2
т.
8.
На складе хранилась 51 т зерна, влажность
которого была 20%. Перед закладкой зерна
в зернохранилище его просушили, доведя
влажность до 15%. Сколько тонн зерна
засыпали в зернохранилище?
Ответ:
48т.
9. (С
6-го
класса.) Имеется
0,5 т целлюлозной массы, содержащей
85% воды. После выпаривания получили
массу, содержащую 25% целлюлозы. Сколько
килограммов воды было выпарено? Ответ:
200
кг.
10. (С
5-го
класса.) Пчелы
перерабатывают цветочный нектар в мед,
освобождая его от воды. Нектар обычно
содержит 84% воды, а
полученный из него мед — 20%. Сколько
килограммов нектара приходится
перерабатывать пчелам для получения
одного килограмма
меда? Ответ:
5
кг.
Задачи на смешивание растворов разных концентраций
1.
(С 5-го
класса.)
Один раствор содержит 20% соли, а второй
— 70%.
Сколько граммов первого и второго
растворов нужно взять, чтобы
получить 100т 50%-го солевого раствора?
Ответ:
20%-го
40 г, 70%-го 60 г.
2.
(Смешали 30%-й и 10%-й растворы соляной
кислоты
и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько
граммов каждого
раствора было взято? Ответ:
150
г 30%-го и 450 г 10%-го.
3. (С
6-го
класса.) Смешали
клубничный сироп, содержащий 40%
сахара, и малиновый сироп, содержащий
20% сахара. Сколько граммов
каждого сиропа взяли, если получили 360
г ягодного коктейля с содержанием
сахара 25%?
Ответ:
90
г клубничного и 270 г малинового.
4. (С
6-го
класса.) Имеется
руда из двух пластов с содержанием меди
6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды,
чтобы при смешивании
с «богатой» получить 20 т руды с содержанием
меди 8%? Ответ:12
т.
5.
(С 7-го
класса.) Сколько
граммов воды и 6%-го раствора перекиси
водорода надо добавить к 36 г 3%-го раствора
перекиси водорода,
чтобы получить 54 г 5%-го раствора перекиси
водорода?
Ответ:
27
г перекиси и 1 г воды.
6.
(С 5-го
класса.) Имеется
творог двух сортов. Жирный содержит
20% жира а нежирный содержит 5% жира.
Определите процент
жирности получившегося творога, если
смешали:
а) 2
кг жирного и 3 кг нежирного творога,
б) 3
кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ:а)11%;
б) 14%.
7.(С
7-го класса) Имеются
два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора
кислоты
различной концентрации. Если смешать
оба раствора,
то получится раствор, содержащий 46%
кислоты. Если смешать
равные массы этих растворов, то получится
раствор, содержащий
47% кислоты. Какова концентрация данных
растворов?
Ответ:60%
и 34%.
8. (С
8-го
класса.) Имеются
два сосуда, содержащие 10 кг, и 12
кг раствора кислоты различной концентрации.
Если эти растворы
смещать, то получится раствор, содержащий
36% кислоты. Если
смешать равные массы этих растворов,
то получится раствор,
содержащей 39% кислоты. Сколько килограммов
кислоты в каждом растворе?
Ответ:
в
первом — 7,2 кг, во втором — 0,72 кг.
9. (С
8-го
класса.) В
двух сосудах находятся растворы щелочи
разных
концентраций. В первом сосуде находится
4 кг раствора, а во втором
— 6 кг. Если их слить вместе, то получится
раствор, содержащий 35% щелочи. Если
же слить вместе по 3 кг из каждого сосуда,
то получится
раствор, содержащий а%
щелочи.
Сколько килограммов
щелочи во втором
сосуде? Какие значения может принимать
а?
Ответ:
(10,5+0,24а)
кг,
10.
Концентрации спирта в трех растворах
образуют геометрическую
прогрессию. Если смешать первый, второй
и третий растворы
в отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор,
содержащий 32%
спирта. Если смешать эти растворы в
отношении 3 : 2 : 1, то получится
раствор, содержащий 22% спирта. Какова
доля спирта в
каждом растворе?
Ответ:
в
первом — 12%, во втором — 24%, в третьем —
48%.
11.
(С 6-го
класса.) Индийский
чай дороже грузинского на 25%. В
каких пропорциях нужно смешать индийский
чай с грузинским, чтобы получить чай,
который дороже грузинского на 20%? Ответ:
4
: 1.
12. (С
6-го класса.)
Из веществ А и В приготовили две смеси.
В первой смеси отношение масс веществ
А и В равно 5 :1, а во второй — 9:2.
а) Сколько килограммов
вещества В содержится в первой смеси,
если ее масса 102 кг?
б) Сколько килограммов
вещества А содержится в смеси,
приготовленной из 102 кг первой и 176
кг второй смеси?
Ответ:
а) 85 кг; б) 229 кг.
13. (С
7-го класса.)
Первый раствор содержит 20%, а второй 60%
азотной кислоты. Из них приготовили две
смеси. Для приготовления смесей взяли
две одинаковые порции второго раствора
и добавили к ним 15 кг и 5 кг первого
раствора соответственно. Какова
масса
порции второго раствора, если известно,
что доля воды во второй смеси в 2 раза
больше доли кислоты в первой? Ответ:
5 кг.
14. (С
8-го класса.)
Один сплав, состоящий из двух металлов,
содержит их в отношении 1:2, а другой
— в отношении 2:3. Сколько частей каждого
сплава нужно взять, чтобы получить
сплав, содержащий эти металлы в
отношении 17 : 27?
Ответ:
9 частей первого и 35 частей второго.
15. (С 8-го класса.)
В первый сосуд, емкостью 6 л, налито 4 л
70%-го раствора спирта, во второй сосуд
такого же объема налито 3 л 90%-го раствора
спирта. Сколько литров раствора спирта
нужно перелить из второго сосуда в
первый, чтобы в первом сосуде получился
р%-й
раствор спирта? При каких значениях
р
задача имеет решение?
Ответ:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавы
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавы
|
Задача 1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? В 2009 году число жителей стало равно (40000 + 40000 cdot frac{8}{{100}} = 43200), а в 2010 году: (43200 + 43200 cdot frac{9}{{100}} = 47088.) Ответ: 47088. |
| Задача 2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}). Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}), то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}}.) В результате акции стали стоить 96% от А: (A cdot frac{{96}}{{100}}). Таким образом, получаем уравнение: (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}} = A cdot frac{{96}}{{100}},left| {,:,} right.A,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{{{100}^2} — {x^2}}}{{100}} = 96,,,, Leftrightarrow ,,,,10000 — {x^2} = 9600,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 400,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 20;,,,,,{x_2} = — 20.) Так как (x > 0), то акции подорожали в понедельник на 20%. Ответ: 20. |
| Задача 3. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Стоимость четырех рубашек составляет 100 – 8 = 92 % от куртки. Следовательно, стоимость одной рубашки составляет (frac{{92}}{4} = 23)% от стоимости куртки. Тогда стоимость пяти рубашек составляет (5 cdot 23 = 115)%, что на 115 – 100 = 15 % превышает стоимость куртки. Ответ: 15. |
| Задача 4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: (x + y + z = 100.) Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: (2x + y + z = 167.) Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет (frac{z}{3})), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид: (x + y + frac{z}{3} = 96.) Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 100;} \ {2x + y + z = 167;} \ {x + y + frac{z}{3} = 96.} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое: (2x — x + y — y + z — z = 167 — 100,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 67.) Вычтем из первого уравнения третье: (x — x + y — y + z — frac{z}{3} = 100 — 96,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{2z}}{3} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,z = 6.) Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим: (67 + y + 6 = 100,,,, Leftrightarrow ,,,,y = 27.) Ответ: 27. |
| Задача 5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля.
Пусть цена холодильника ежегодно уменьшалась на х%, тогда после первого понижения цена составила (100 – х) % от 20000 рублей, то есть: (20000 cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 200 cdot left( {100 — x} right)), а после второго (100 – х) % от (200left( {100 — x} right)), то есть: (200left( {100 — x} right) cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 2 cdot {left( {100 — x} right)^2}), что составило 15842 рубля. (2{left( {100 — x} right)^2} = 15842,,{left| {,:,2,,,, Leftrightarrow ,,,,left( {100 — x} right)} right.^2} = 7921.) (100 — x = 89;,,,,,,,,100 — x = — 89.) ({x_1} = 11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = 189) Так как (0 < x < 100), то холодильник ежегодно дешевел на 11 %. Ответ: 11. |
| Задача 6. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
Митя внес 14 % уставного капитала. Антон (frac{{42000}}{{200000}} cdot 100 = 21)% уставного капитала. Гоша 0,12 уставного капитала, то есть 12%. Следовательно, Борис внес (100 — 14 — 21 — 12 = 53)% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается: (1000000 cdot frac{{53}}{{100}} = 530000) рублей. Ответ: 530000. |
| Задача 7. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Будем считать, что первый сосуд содержит 5 литров 12-процентного раствора вещества, а второй 7 литров воды (0-процентного раствора) и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.
Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{5 cdot 12}}{{100}}) литров, во втором (frac{{7 cdot 0}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{12 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{5 cdot 12}}{{100}} + frac{{7 cdot 0}}{{100}} = frac{{12 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,5 cdot 12 = 12 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 5.) Ответ: 5. |
| Задача 8. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Будем считать, что первый сосуд содержит А литров 15-процентного раствора вещества, а второй А литров 19-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.
Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{A cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{A cdot 19}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{2A cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{A cdot 15}}{{100}} + frac{{A cdot 19}}{{100}} = frac{{2A cdot x}}{{100}},,,left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,15 cdot A + 19 cdot A = 2A cdot x,,left| {,:A} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2x = 34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 17.) Ответ: 17. |
| Задача 9. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Будем считать, что первый сосуд содержит 4 литра 15-процентного раствора вещества, а второй 6 литров 25-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.
Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{4 cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{6 cdot 25}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{10 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{4 cdot 15}}{{100}} + frac{{6 cdot 25}}{{100}} = frac{{10 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,60 + 150 = 10 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 21.) Ответ: 21. |
| Задача 10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?
Виноград содержит 10% «сухого» вещества, а изюм 95% соответственно. При этом масса «сухого» вещества винограда и изюма равны. Пусть для получения 20 килограммов изюма требуется x килограммов винограда. Тогда масса «сухого» вещества в винограде (frac{{10 cdot x}}{{100}}) кг, а масса «сухого» вещества в изюме (frac{{20 cdot 95}}{{100}}) кг. Следовательно: (frac{{10 cdot x}}{{100}} = frac{{20 cdot 95}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10x = 20} right. cdot 95,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 190) кг. Ответ: 190. |
| Задача 11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго.
Пусть x кг масса первого сплава. Так как масса третьего сплава 200 кг, то масса второго сплава (200 — x) кг.
Тогда масса никеля в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{200 cdot 25}}{{100}}) кг. При этом масса никеля в третьем сплаве равна массе никеля в первых двух сплавах. (frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}} = frac{{200 cdot 25}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 6000 — 30x = 5000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20x = 1000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 50.) Значит масса первого сплава 50 кг, а масса второго сплава равна 150 кг. Следовательно, масса первого сплава на 100 кг меньше массы второго. Ответ: 100. |
| Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Тогда масса меди в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}}) кг. При этом масса меди в третьем сплаве равна массе меди в первых двух сплавах. (frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}} = frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 40x + 120 = 60x + 90,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10x = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 30.) Значит масса первого сплава 3 кг, а масса третьего сплава равна (2x + 3 = 2 cdot 3 + 3 = 9) кг. Ответ: 9. |
| Задача 13. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть x кг масса 30-процентного раствора, а y кг масса 60-процентрого раствора кислоты.
Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе (frac{{x cdot 30}}{{100}}) кг, в 60-процентном (frac{{y cdot 60}}{{100}}) кг, в воде (frac{{10 cdot 0}}{{100}}) кг, а в 36-процентном (frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}}). При этом масса кислоты в 36-процентноом растворе равна массе кислоты 30-процентного, 60-процентного и воды. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид: (frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 0}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right).) Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты.
Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение: (frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 50}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 41}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).) Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right);} \ {30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое: (500 = 5left( {x + y + 10} right),left| {:5} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 = x + y + 10,,,,, Leftrightarrow ,,,,,y = 90 — x.) Подставим выраженный y в первое уравнение: (30x + 60left( {90 — x} right) = 3600,,,,, Leftrightarrow ,,,,30x — 60x = 3600 — 5400,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x = 1800,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.) Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора. Ответ: 60. |
| Задача 14. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Будем считать, что первый сосуд содержит 30 кг x-процентного раствора кислоты, а второй 20 кг y-процентного раствора кислоты и их содержимое перелили в третий сосуд, в котором получилось 50 кг 68-процентного раствора кислоты. Тогда масса кислоты в первом сосуде (frac{{30 cdot x}}{{100}}) кг, во втором (frac{{20 cdot y}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{50 cdot 68}}{{100}}) кг. При этом масса кислоты в третьем сосуде равна массе кислоты в первых двух сосудах. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид: (frac{{30 cdot x}}{{100}} + frac{{20 cdot y}}{{100}} = frac{{50 cdot 68}}{{100}},,left| { cdot 10} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x + 2y = 340.) Смешаем равные массы по m кг. Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение: (frac{{m cdot x}}{{100}} + frac{{m cdot y}}{{100}} = frac{{2m cdot 70}}{{100}},,left| {, cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m cdot x + m cdot y = 140m,left| {,:m} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x + y = 140.) Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 340} \ {x + y = 140} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 340} \ {y = 140 — x} end{array}} right.} right.) (3x + 2left( {140 — x} right) = 340,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x — 2x = 340 — 280,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.) Следовательно, в первом сосуде содержится 60% кислоты, а масса этой кислоты равна (frac{{30 cdot 60}}{{100}} = 18) кг. Ответ: 18. |
| Задача 15. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Пусть банк начисляет x% годовых. Тогда через год вклад клиента А составит (left( {100 + x} right)) процентов от 7700 рублей, то есть (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Через год банк начислит ещё x% и его вклад станет равен (left( {100 + x} right)) процентов от (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей, то есть (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}) рублей. Клиент Б открыл такой же вклад сроком на один год. Следовательно, через год на его вкладе будет сумма равная (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Так как клиент А получил на 847 рублей больше, то: (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} — 7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}} = 847.) Пусть (frac{{100 + x}}{{100}} = t), тогда: (7700,{t^2} — 7700,t = 847,left| {,:,77,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100,{t^2} — 100,t — 11 = 0;} right.) (D = {100^2} + 4 cdot 100 cdot 11 = 14400;,,,,,sqrt D = 120;,,,,,{t_1} = frac{{100 + 120}}{{200}} = 1,1;,,,,,{t_2} = frac{{100 — 120}}{{200}} = — frac{1}{{10}}.)Так как (x > 0), то (t > 1). Следовательно, (t = 1,1) и тогда (frac{{100 + x}}{{100}} = 1,1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 10.) Ответ: 10. |
ЗАДАЧИ НА СУШЕНЫЕ ФРУКТЫ.
23.3-7.Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Решение. При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода.
Если 341 кг фруктов имеют влажность 86 %, то жидкость составляет 341 × 0,86 = 293,26 кг, а сухое вещество имеет массу 341- 293,26 = 47,74 кг.
Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 23 % воды, сухое вещество составляет 77 %. Следовательно,
47,74кг——77%
Х кг – 100 %
откуда Х= 47,74∙100/ 77 = 62кг.
Ответ: из 341 кг свежих фруктов получится 62 кг сухих.
55.3-В7—Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 22%. Сколько сухих фруктов получится из 78 кг свежих фруктов?
РЕШЕНИЕ: Если 78 кг фруктов имеют влажность 78 %, то жидкость составляет 78 × 0,78 = 60,84 кг, а сухое вещество имеет массу 78 – 60,84 = 17,16кг.
Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 22 % воды, сухое вещество составляет 78 %.
Следовательно, 17,16кг——78%
Х кг – 100 % откуда Х= 17,16∙100: 78 = 22кг. Ответ: из 78 кг свежих фруктов получится 22 кг сухих.
66.3-9 Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ:
х кг = свежих фруктов 100%-79%=21% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-16%=84% — сухого вещества в сухих фруктах
Уравнение: 0,21х=72*0,84 х=288 х=288(кг) — надо взять свежих фруктов
87.3-12. Свежие фрукты содержат 89% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 84 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-89%=11% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-23%=77% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,11х=84*0,77 х=588 х=588(кг) — надо взять свежих фруктов
215.3.42. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
РЕШЕНИЕ: При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода. Если 288 кг фруктов имеют влажность 80 %, то жидкость составляет 288 × 0,8 = 230,4кг, а сухое вещество имеет массу 288 — 230,4 = 57,6 кг. Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 28 % воды, сухое вещество составляет 74 %. Следовательно, 57,6——74%
Х кг – 100 % откуда Х= 57,6∙100 74 = 7кг. Ответ: из 20 кг свежих фруктов получится 7 кг сухих.
216.Задача 5.Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие – 20 % воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?
Решение. При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода. Если 20 кг фруктов имеют влажность 72 %, то жидкость составляет 20 × 0,72 = 14,4 кг, а сухое вещество имеет массу 20 – 14,4 = 5,6 кг. Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 20 % воды, сухое вещество составляет 80 %. Следовательно, 5,6 кг являются 0,8 частью от общей массы сухих фруктов, а вся масса равняется 5,6 0,8 = 7кг.Можно было получить результат, составив пропорцию 5,6 кг- 80 %
Х кг – 100 % откуда Х= 5,6∙100 80 = 7кг. Ответ: из 20 кг свежих фруктов получится 7 кг сухих.
433.3.80( 1). Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 80 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-80%=20% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-28%=72% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,2х=0,72*80 0,2х=57,6 х=57,6:0,2 х=288(кг) — надо взять свежих фруктов
ІІ способ: 100%-80%=20% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-28%=72% — сухого вещества в сухих фруктах 80кг-100% ?кг — 72% 80*72:100=288/5(кг) — сухого вещества в сухих фруктах, что составляет 20% в свежих 288/5 кг — 20% ?кг — 100% 288/5*100:20=288(кг)
434.3.80(2 ). Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 22 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-78%=22% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-22%=78% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,22х=22*0,78 х=78 х=78(кг) — надо взять свежих фруктов
435 3.80(3 ). Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные — 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-75%=25% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-25%=75% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,25х=45*0,75 х=135 х=135(кг) — надо взять свежих фруктов
436.3.80(4 ). Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-79%=21% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-16%=84% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,21х=72*0,84 х=288 х=288(кг) — надо взять свежих фруктов
437.3.80(5 ). Свежие фрукты содержат 89% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 23 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-79%=21% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-16%=84% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,21х=72*0,84 х=288 х=288(кг) — надо взять свежих фруктов
438.3.80(6 ). Свежие фрукты содержат 95% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 55 кг высушенных фруктов?
РЕШЕНИЕ: х кг = свежих фруктов 100%-95%=5% — сухого вещества в свежих фруктах 100%-22%=78% — сухого вещества в сухих фруктах Уравнение: 0,05х=55*0,78 х=858 х=858(кг) — надо взять свежих фруктов
439. 3.80(7 ). Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:259
440.3.80(8 ). Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:35
441.3.80( 9). Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:420
442.3.80( 10). Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:231
443.3.80(11 ). Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 94 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:470
444.3.80(12 ). Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 84 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:222
445.3.80(13 ). Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 16 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:83
446. 3.80(14 ). Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:396
447.3.80( 15). Свежие фрукты содержат 89% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 84 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:588
448.3.80(16 ). Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 95 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:420
449.3.80( 17). Свежие фрукты содержат 91% воды, а высушенные — 19%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 84 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:756
450. 3.80(18 ). Свежие фрукты содержат 85% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 75 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:420
451.3.80( 19). Свежие фрукты содержат 90% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 90 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:684
452. 3.80(20 ). Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 62 кг высушенных фруктов? ОТВЕТ:341
525.Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
РЕШЕНИЕ: Пусть Х кг. взяли винограда. Виноград содержит 90% воды, а сухого вещества 10%, изюм содержит 5% воды, а сухого 95%, тогда сухого в изюме 54∙ 0,95, а в винограде 0,1 ∙ Х, отсюда уравнение 54∙ 0,95 =0,1∙ Х, Х = 513. ОТВЕТ: 513
526. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
РЕШЕНИЕ: Пусть Х кг. взяли винограда. Виноград содержит 90% воды, а сухого вещества 10%, изюм содержит 5% воды, а сухого 95%, тогда сухого в изюме 42∙ 0,95, а в винограде 0,1 ∙ Х, отсюда уравнение 42∙ 0,95 =0,1∙ Х, Х = 399. ОТВЕТ: 399
527. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 58 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
РЕШЕНИЕ: Пусть Х кг. взяли винограда. Виноград содержит 90% воды, а сухого вещества 10%, изюм содержит 5% воды, а сухого 95%, тогда сухого в изюме 58∙ 0,95, а в винограде 0,1 ∙ Х, отсюда уравнение 58∙ 0,95 =0,1∙ Х, Х = 399. ОТВЕТ: 399
541.10.B 14 № 99574. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Решение В винограде-ВОДЫ-90%, СУХОГО-10%. Пусть Х кг нужно взять винограда, а сухого в нем 0,1Х. В изюме – воды 5%, сухого-95%. Изюма нужно получить 20 кг, а сухого в нем будет 0,95∙ 20 Отсюда уравнение 0,1Х.= 0,95∙ 20, Х=190. Ответ: 19
Предварительный просмотр:
Задачи на движение с учётом длины объектов.
В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них, или учесть его длину при нахождении компонент движения. Можно выделить основные виды таких задач. Это – определение длины поезда проезжающего
- мимо точечного объекта – стрелочник, семафор, придорожный столб;
- мимо длинного объекта – платформа, мост, туннель, лесополоса;
- мимо идущего пешехода ( навстречу или в том же направлении);
- мимо движущегося длинного объекта – поезд, баржа.
Лучше всего решать такие задачи с помощью схем, где длинный объект изображается вектором (стрелкой). И полезно помнить, что все точки длинного объекта (поезда) движутся с одинаковой скоростью – со скоростью поезда. Поэтому достаточно для себя выбрать одну из них ( например, крайнюю правую – «нос» объекта) и решать задачу, как задачу на движение именно этой точки.
Рассмотрим на конкретных задачах.
- Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 84 км/ч, проезжает мимо семафора за 24 секунды. Найти длину поезда в метрах.
«Мимо семафора за 24 сек» — это время от момента, когда со столбом поравнялся «нос» поезда, до момента, когда со столбом поравнялся «хвост» поезда. За это время «нос» поезда успеет «уехать» на расстояние, равное длине поезда.
Таким образом, «Мимо семафора за 24сек» — это значит, что за 24сек поезд проходит расстояние, равное своей длине.
S = V ∙ t = lпоезда
Ответ: 560 метров
Вывод: Время движения мимо неподвижной точки – это время, за которое длинный объект проходит расстояние, равное своей длине.
- Поезд проезжает мост со скоростью 90 км/ч за 42 секунды. Какова длина поезда, если длина моста 634 метров?
«Проезжает мост за 42 сек» – это время от момента, когда на мост въезжает «нос» поезда, до момента, когда с моста съезжает «хвост» поезда. За это время «нос» поезда успеет «уехать» на расстояние, равное.
Таким образом, «Проезжает мост за 42 сек» – это значит, что за 42 сек поезд проходит расстояние, равное сумме длин моста и поезда.
S = V ∙ t = l моста + lпоезда
l моста + lпоезда = 90 км/ч ∙ 42 сек = 1050 м; lпоезда = 416 м
Ответ: длина поезда 416 метров
Вывод: Если длинный объект движется мимо неподвижного длинного объекта, то он проходит расстояние равное сумме длин обоих объектов
- Какова длина поезда, успевающего проехать мимо идущего навстречу ему вдоль путей пешехода за 6 секунд, если скорость пешехода 4,2 км/ч, а скорость поезда 108 км/ч?
«Проехать мимо идущего навстречу пешехода за 6 секунд» — это время от момента, когда с пешеходом поравнялся «нос» поезда, до момента, когда с пешеходом поравнялся «хвост» поезда, то есть
от и до .
Это равносильно задаче на встречное движение пешехода и хвоста. Между пешеходом и «хвостом» поезда расстояние, равное длине поезда, через 6 секунд хвост и пешеход встретятся. Каково расстояние между ними, если их скорости известны.
Тогда (Vпоезда + Vпешехода)∙ t = Sобщее = lпоезда;
или lпоезда = Sобщее = Sпоезда + S пешехода
lпоезда = ( 108км/ч + 4,2 км/ч) ∙ 6 сек = 187 м
Ответ: длина поезда 187 м
Вывод: Если длинный объект движется мимо идущего навстречу пешехода, то длина поезда равна сумме расстояний, пройденным пешеходом и поездом вместе.
- Какова длина поезда, успевающего проехать мимо идущего вдоль путей в том же направлении пешехода за 30 секунд, если скорость пешехода 5,4 км/ч, а скорость поезда 123 км/ч?
«проехать мимо идущего в том же направлении пешехода за30 секунд» — это время от момента, когда с пешеходом поравнялся «нос» поезда, до момента, когда с пешеходом поравнялся «хвост» поезда, то есть это время
от и до .
Это равносильно задаче на движение в одном направлении пешехода и хвоста. «Хвост» поезда начал догонять пешехода, когда расстояние между ними было равно длине поезда, и через 30 секунд догнал пешехода. Каким было расстояние между ними, если их скорости известны.
Тогда (Vпоезда – Vпешехода)∙ t = Sобщее = lпоезда;
или lпоезда = Sобщее = Sпоезда – S пешехода
lпоезда = ( 123 км/ч – 5,4 км/ч) ∙ 30 сек = 980 м
Ответ: длина поезда 980 м
Вывод: Если длинный объект движется мимо идущего в том же направлении пешехода, то длина поезда равна разности расстояний, пройденным поездом и пешеходом.
- Две сороконожки проползали мимо друг друга 12 секунд. Скорость старшей из них 54 см/мин, а скорость младшей из них 61 см/мин. Какова длина младшей, если старшая к своим годам достигла 12 см.
«Проползали мимо друг друга 48 секунд» — это время между моментом, когда совместятся их носы, до момента, когда совместятся их хвосты. Другими словами, перед нами задача на встречное движение хвостов при исходном расстоянии, равном сумме длин сороконожек.
Тогда (V1 + V2)∙ t = Sобщее = l1 + l2
l1 + l2 = (54см/мин + 69 см/мин) ∙ 48 сек = 23 см; l2 = 11см
Ответ: длина младшей сороконожки 11 см.
- Старый удав и резвый уж ползли к водопою. При этом уж, имея скорость 46 см/с, прополз мимо удава, длиной 8 метров, за 24 секунды. Какова длина ужа, если скорость удава 11 см/сек.
«Прополз мимо удава за 24 секунды» — это время от момента, когда нос ужа поравнялся с хвостом удава, до момента, когда хвост ужа поравнялся с носом удава, то есть это время за которое хвост ужа догонит нос удава, если расстояние между ними равно сумме их длин.
Тогда (Vужа – Vудава)∙ t = Sобщее = l ужа + l удава ;
l ужа + l удава = (46 см/с – 11 см/с) ∙24 = 840 см; l ужа = 840 см – 8м = 40см
Ответ: длина ужа 40 см.
Возможны другие задачи, в которых сочетаются разные ситуации шести основных случаев, или иначе расставлены данные задачи и вопрос задач.
- Электричка проходит мимо столба за 8 секунд. За какое время (в секундах) пройдут мимо друг друга пассажирский поезд и электричка, если скорость пассажирского поезда равна скорости электрички, а длина пассажирского поезда в полтора раза больше длины электрички?
Решение: 1). Пусть длина электрички а метров, тогда длина поезда 1,5а метра.
2). «Мимо столба за 8 сек» — это время от момента, когда со столбом поравнялся нос электрички, до момента, когда со столбом поравнялся хвост электрички, за это время нос электрички успел «уехать» на расстояние, равное длине электрички.
Таким образом, «Мимо столба за 8 сек» — это значит, что за 8 сек электричка проходит расстояние, равное своей длине.
Тогда скорость электричкики (а/8) м/с, такая же скорость и у поезда.
3).»Пройдут мимо друг друга пассажирский поезд и электричка» — это время от момента, когда объекты «коснутся » носами, до момента, когда объекты «коснутся » хвостами. Перефразируем эту часть задачи:
Хвост электрички и хвост поезда начали двигаться навстречу друг другу, когда между ними было расстояние, равное сумме длин электрички и поезда. Через сколько секунд они встретятся, если их скорости равны и равны а/8?
Надо общее расстояние (а+1.5а) разделить на общую скорость (а/8+а/8), т.е. (2.5а)/(а/4)=20
Ответ: за 20 сек
- Подъезжая к станции скорый поезд снизил скорость в момент, когда между кабиной машиниста и началом платформы было 320 метров, и через снова набрал её, когда между его хвостом и концом платформы стало 230 метров. С какой скоростью шёл скорый мимо платформы, если его длина 210 метров, а длина платформы 400 метров?
Решение:
Vпоезда ∙t = Sпоезда = (320+400+230+210)м; Vпоезда =1160 м : 12 мин. = 5,8 км/ч
9. Поезд длиной 240 метров мимо смотрителя прошёл за 12 секунд. Какова длина железнодорожного моста ( в км ), если на его прохождение поезд потратил 1 мин. ( Ответ: 0.96 км )
10. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо светофора за 7 секунд, и тратит 25 секунд на прохождение с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 метров. ( Ответ: 75,6 км/ч и 147 м )
11. Два поезда длиной 490 м и 210 м равномерно движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Машинист одного из них заметил встречный состав на расстоянии 700 м; после этого через 28 секунд поезда встретились. Найти скорость каждого из них ( в км/ч ), если один из них проезжает мимо светофора на 35 с дольше другого. ( Ответ: 36 км/ч и 54 км/ч )
12. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 160 метров, второй — длиной 140 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 300 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 900 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
13. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 140 метров, второй — длиной 60 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 800 метров. Через 15 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 1000 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
14. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 183 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч, за 13 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
15. Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на 1 час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи стали одной длины, а через 2 часа после этого одинаковой длины стали первая и вторая свечи. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 12 часов, а третья – за 8 часов? ( Ответ: 16 часов )
В текстовых задачах на ЕГЭ по математике профильного уровня встречаются задачи про виноград и изюм(и похожие на них). Изучив данную статью вы научитесь решать задачи такого типа: “Изюм получается в процессе сушки винограда. Виноград содержит ( n% ) влаги, а изюм ( p% ).Сколько килограммов винограда требуется для получения ( k ) килограммов изюма?”. В данных задачах ( p, n, k ) — это произвольные числа. Такие задачи относятся к разделу “задачи на концентрацию, смеси и сплавы”.
Чем характерны задачи на ЕГЭ по математике:
- Из одного объекта получается другой путем высушивания. Например:
- Сушеных грибы получаются из спелых
- Из абрикосов получают урюк
- Сухари – из хлеба
- Из вишни получают сушеную вишню и т.п.
- Известно процентное содержание влаги обоих объектов (например, в винограде содержится 85% ваги, в изюме 7% влаги)
- Известна масса одного из объектов. Либо масса того, что получится в итоге, либо масса того, из чего получим второй объект.
Смысл решения текстовых задач на смеси
Рассмотри классическую текстовую задачу про виноград и изюм на ЕГЭ по математике. Изюм получается из винограда в процессе сушки. Содержание винограда, как и изюма, состоит из какого-то количества влаги (жидкости, воды) и сухого вещества (косточки, кожура и т.п.). В процессе сушки испаряется вода, значит уменьшается масса влаги, а что остается постоянным всегда? Правильно, сухое вещество. На него процесс выпаривания или сушки не оказывает влияния. Поэтому, мы можем выяснить массу сухого вещества в винограде, затем массу сухого вещества в изюме и приравнять их.
Как вычислить массу сухого вещества?
В текстовых задачах про изюм и виноград мы можем выясним, сколько сухого вещества в объекте. Например, в винограде содержится 95% влаги, отсюда мы запросто вычисляем сколько составляет процентное содержание сухого вещества: 100-95=5%. Далее, по задаче, например, известно, что дано 21 кг винограда, тогда масса сухого вещества в этом винограде: ( 21cdotdfrac{5}{100} ) кг. Если нам неизвестно, сколько килограммов, то обозначаем массу за ( x ) и получим: ( xcdotdfrac{5}{100} ) .
Алгоритм решения текстовых задач на смеси и концентрацию
- Выяснить процентное содержание сухого вещества в обоих объектах
- Вычислить массу сухого вещества в обоих ответах
- Приравнять массы сухого вещества (тем самым, мы составили уравнение)
- Записать ответ
Видео-урок
Чтобы лучше понять, как решать текстовые задачи про виноград и изюм (то есть задачи на концентрацию и смеси) на ЕГЭ по математике профильного уровня, рекомендую посмотреть видео урок. Перед просмотром Вы можете самостоятельно решить следующие текстовые задачи, а затем проверить свое решение с помощью видео-урока:
- Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограммов изюма, если известно, что изюм получается в процессе сушки винограда?
- Спелые грибы содержат 80% влаги, а сушеные грибы – 20%. Сколько килограммов сушеных грибов получится из 25 килограммов спелых грибов?