Всего: 7 1–7
Добавить в вариант
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если 
и 
Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
В остроугольном треугольнике ABC, 
Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь 
если 
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 409, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите KN, если 
а радиус окружности равен 12.
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302.
Около 
описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если 
а радиус описанной окружности равен 18.
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Дальний восток, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а 
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург, Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 316, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 8, а 
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 324, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Всего: 7 1–7
��������: 1 2 3 4 5 6 7 >> [����� �����: 235]
��������, ��� �����, ������������ ����� ����������� ����� (����������) ������������ ABC ������������ ������, ���������� ��� �������, ����� �� ��������� ���������� ����� ������������.
������ ������������ ABC ������������ � ����� H. ��������, ���
������� �����������, ��������� ����� ������������� ABC, AHB, BHC � AHC, ����� ����� �����.
���� ���������� $omega$ � ������� O � ��� ţ ��������� ����� A � C.
��� ����� ������ ����� P �� $omega$ ������� �������� X � Y �������� AP � CP � �������� ����� H ����������� ����� ������������ OXY.
��������, ��� ��������� ����� H �� ������� �� ������ ����� P.
�� ��������� AC ����� ABCD �������� �������������� APQC ���, ��� ����� B ����� ������ ����, � ������� AP ����� ������� �����.
��������, ��� B – ����� ����������� ����� ������������ DPQ.
��������, ��� ���� ��������� ����� ������ ������������ � ����� � ��� ��
���������, �� ���� ����������� — ����������.
��������: 1 2 3 4 5 6 7 >> [����� �����: 235]
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Класс: 10 11 8 9
Атрибут:
Всего: 24 1–20 | 21–24
Добавить в вариант
На высоте AH остроугольного треугольника ABC отмечена точка L. Оказалось, что 
Точка P — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AL. Докажите, что прямая KL касается описанной окружности треугольника CLP.
(М. Стынян)
Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Касательные, проведённые из M к вписанной окружности треугольника ABC, касаются этой окружности в точках P, Q. Касательные из M к вневписанной окружности ABC, касающейся стороны BC, касаются этой окружности в точках R, S. Прямые PQ, RS пересекаются в точке X. Оказалось, что 
Найдите угол 
На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что 
и
Найдите длину отрезка MP.
На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что и
Найдите длину отрезка MP.
В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опушена высота BН. Точки X и Y — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и СВН соответственно. Прямая ХY пересекает катеты AB и BC в точках P и Q. Найдите площадь треугольника BPQ, если известно, что 
Медианы, проведенные к двум катета прямоугольного треугольника образуют угол x, доказать, что 
Два прямоугольника ABCD и AEFG имеют общую вершину А и расположены на плоскости так, что точки B, E, D и G лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть прямые ВС и GF пересекаются в точке Т, а прямые СD и EF — в точке H. Докажите, что точки А, Н и T лежат на одной прямой.
Два прямоугольника ABCD и AEFG имеют общую вершину A и расположены на плоскости так, что точки B, E, D и G лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть прямые BC и GF пересекаются в точке T, а прямые CD и EF — в точке H. Докажите, что точки A, H и T лежат на одной прямой.
В трапецию ABCD вписана окружность радиуса 4, касающаяся основания AB в точке M. Найдите площадь трапеции, если BM = 16 и CD = 3.
В треугольник ABC вписана окружность ω. Известно, что ∠A = 43°. Внешние биссектрисы ∠B и ∠C пересекаются в точке D. Из точки D проведена касательная DE к окружности ω. Найдите ∠BEC.
(А. Кузнецов)
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Высоты у конусов одинаковые, а радиусы их оснований равны 1, 2 и 3. На стол положили шар, касающийся всех конусов. Оказалось, что центр шара равноудален от всех точек конусов. Найдите радиус шара.
На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что 
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
В остроугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из точки B. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника BCH совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC. Найдите AC2, если AB = 6.
На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
Внутренняя точка P остроугольного треугольника ABC удовлетворяет условию
Чем является точка точка P для треугольника ABC?
Внутренняя точка Q остроугольного треугольника MNK удовлетворяет условию
Чем является точка точка Q для треугольника MNK?
Дан треугольник ABC. Прямые O1O2, O1O3, O2O3 — биссектрисы внешних углов треугольника ABC, как показано на рисунке. Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Найти угол в градусах между прямыми O1O2 и OO3.
Точки A1, B1, C1 — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC с описанной вокруг ABC окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A1B1C1, касается одной из сторон ABC, а один из углов треугольника ABC равен 40°. Найдите два других угла треугольника ABC.
Всего: 24 1–20 | 21–24
Ортоцентр треугольника — это точка пересечения его высот.
Ортотреугольник — это треугольник, вершинами которого служат основания высот данного треугольника.
Основные свойства ортоцентра и ортотреугольника
Свойство 1. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, лежит на описанной около этого треугольника окружности.
Свойства 2 и 3. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины его стороны, лежит на окружности, описанной около треугольника, и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.
Свойство 4. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
Свойство 5. Угол между радиусом и стороной равен углу между высотой и стороной (все они выходят из одной вершины).
Свойство 6. Радиусы описанной окружности, проведенные к вершинам треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника.
Свойство 7. а) Стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующими сторонами данного треугольника. б) Ортоцентр остроугольного треугольника является точкой пересечения биссектрис ортотреугольника (центром его вписанной окружности).
Свойство 8. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до его ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
