Задачи на теорию чисел егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на теорию чисел

Задание
1

#1075

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (22). Можно ли между ними расставить знаки “(+)”( )и “(-)”( )так, чтобы в результате получился (0)?

Среди чисел (1, 2, 3, …, 22) всего (11) четных и (11) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (0) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет

Задание
2

#1076

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (98). Можно ли между ними расставить знаки “(+)”( )и “(-)”( )так, чтобы в результате получилось (2)?

Среди чисел (1,2,3, …, 98) всего (49) четных и (49) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (2) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет

Задание
3

#1077

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (1000) рублей купюрами по (5, 25, 125) рублей так, чтобы всего оказалось (101) купюра? (купюры в (5, 25, 125) рублей бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (1000) рублей.

Ответ:

Нет

Задание
4

#1078

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (600) рублей купюрами по (7, 49, 73) рубля так, чтобы всего оказалось (17) купюр? (купюры в (7, 49, 73) рубля бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (600) рублей.

Ответ:

Нет

Задание
5

#1079

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (123456789)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a+b)cdot acdot b=123456789). Так как число (123456789) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a+b)) – четное, но тогда число ((a+b)cdot acdot b) – четное, но (123456789) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет

Задание
6

#1080

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (10011001)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a-b)cdot acdot b=10011001). Так как число (10011001) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a-b)) – четное, но тогда число ((a-b)cdot acdot b) – четное, но (10011001) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет

Задание
7

#1081

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли представить (1) в виде суммы четырех дробей (dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}), где (a, b, c,
d) – нечетные натуральные числа?

Предположим, что можно. Тогда [dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}=1,] приведем в левой части все к общему знаменателю:
[dfrac{bcd+acd+abd+bcd}{abcd}=1qquadRightarrowqquad bcd+acd+abd+bcd=abcd.] Но так как (a, b, c, d) – нечетные натуральные числа, то получаем, что четное число равно нечетному – противоречие, значит так представить (1) нельзя.

Ответ:

Нет

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в)  Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?

в)  Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Пусть q  — наименьшее общее кратное, а d  — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а)  Может ли быть равным 170?

б)  Может ли быть равным 2?

в)  Найдите наименьшее значение

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

9 марта 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория чисел

Задача 19 профильного ЕГЭ.

В данном материале приведено подробное описание тем, которые используются при решении задачи 19 ЕГЭ. Сюда входят и теория чисел, и прогрессии (арифметическая и геометрическая), и деление с остатков, и признаки делимости чисел. По каждой из этих тем приведены методы решения и разбор примеров.

Автор: Колесник Марина Анатольевна.

19pro.docx

Источник

Вот она! Загадочная. Нестандартная. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Эта задача оценивается в целых 4 первичных балла, и они пересчитываются в 9-10 тестовых.

Можно ничего не знать. И удачно подобрать пример. И получить 1 балл за пункт (а). Во всяком случае, попробовать это сделать.

А можно потратить 2 часа на перебор вариантов… и так ничего и не найти. Если не знаешь секретов решения этой задачи. ОК, некоторые из секретов мы расскажем.

Действительно, пункт (а) в задаче 18 почти всегда решается сразу. Пункт (б) тоже решается быстро, но только если повезет. Пункт (в) без специальной подготовки решить невозможно.

Необходимая теория для решения задач на числа и их свойства — это всего две страницы. Делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основная теорема арифметики, признаки делимости на 3, на 4, на 5, на 8, 9, 10 и 11. Ничего сложного.

Повторите также темы: Арифметическая прогрессия и Геометрическая прогрессия.

Начинать лучше всего с подготовительных задач.

Затем стоит освоить метод «Оценка плюс пример». Для того чтобы применить этот метод, от строгих оценок, которые даны в условии (со знаками > или < ), переходим к нестрогим (со знаками ≥ или ≤ ).

Узнать о секретах решения задания 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Узнать больше о решении уравнений в целых числах. В школьных учебниках этого нет.

Один из необходимых навыков для решения пункта (в) – работа с неравенствами. В школьных учебниках этого тоже нет.

Многие считают, что если в этой задаче в пункте (а) ответ «да», то во втором обязательно должно быть «нет». Авторитетно заявляем: нет, необязательно! Может быть любое сочетание из «да» и «нет». И может быть «да» в обоих пунктах, и «нет» в обоих.

Если вопрос в этой задаче (неважно, в каком пункте) формулируется как «Может ли быть…» — и дальше некоторое утверждение, и ваш ответ: «Да», — то одного вашего «Да» недостаточно. Нужен пример. И если вы его подберете, вы не обязаны объяснять, как нашли его.

Если ответ на этот вопрос: «Нет», то вам нужно это доказать. «Нет, потому что…» — и приводите свое доказательство.

В общем, проще показать это на примерах:

1. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

а) Заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делится на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.

б) Да, на 33 пункта заряд мог уменьшиться.

Пусть на х уровнях получено по 3 звезды, на у уровнях — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.

Тогда:

, то есть .

Сложив уравнения и , получим, что x+y+z=7 (пройдено 7 уровней).

Системе удовлетворяют При этом заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта.

в) Поскольку и x+y+z=7 , получаем, что y+2z=4 . Возможны варианты:

z=0 , тогда, получено 47 тысяч очков.

z=1 , тогда , получено 48 тысяч очков.

z=2 , тогда , получено 49 тысяч очков – это максимально возможное количество.

Это была простая задача №18. А вот сложная.

2. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Пусть в первой школе писали тест учеников, а во второй учеников, причем
m=51-n , .

Пусть учащиеся первой школы набрали в сумме $S_{1}$ балл, а учащиеся второй $S_{2}$ баллов.

Тогда средние баллы равны $frac{S_{1}}{n}$ и $frac{S_{2}}{m}$ .

Пусть из первой школы во вторую перешел ученик, набравший за тест баллов.

а) Предположим, что средний балл в школе № 1 вырос в два раза. Тогда $frac{2S_1}{n}= frac{S_1 - k}{n-1}$ .

Отсюда: $S_{1}left ( n-2 right )=-kn$ .

Поскольку положительно, получаем, что – противоречие с условием.

Ответ в пункте (а): нет.

б) Во втором пункте ответ тоже «нет». Предположим, что $frac{S_{2}}{m}=1$ . Получим:

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{m+1}=1,1cdot frac{S_{2}}{m}$ .
Поскольку m=51-n ,

$frac{S_{2}+k}{52-n}=1,1cdot frac{S_{2}}{51-n}$ .

Если $frac{S_{2}}{m}=1$ ,то $frac{S_{2}}{51-n}$ .

Тогда:

$frac{51-n+k}{52-n}=1,1$ . Отсюда:

. Очевидно, kleq 6 и .

Что будет, если k=6 ? Тогда .

Подставив эти и в уравнение

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ , получим: $frac{S_{1}-6}{2-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{2}$ , $S_{1}=frac{40}{3}$ , противоречие с условием, поскольку $S_{1}$ – целое. Значит,

С другой стороны, из условия $frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ получаем, что
$10kn=S_{1}left ( 11-n right )$ , значит, .

Но если , то и kgeq 6 – получили противоречие.

в) По условию, и в первой, и во второй школах первоначально средний балл был целым числом. Он не может быть равен единице (из пункта (б)). Проверим, может ли он быть равен 2, 3, 4…

Пусть первоначально средний балл равен 2. Тогда

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{52-n}=frac{1,1cdot S_{2}}{51-n};$

$frac{S_{2}}{m}=2$ . Условие по-прежнему должно выполняться.

Преобразуя эти уравнения, получим:

$S_{2}=2left ( 51-n right )=102-2n;$

$frac{102-2n+k}{52-n}=1,1cdot 2;$

Значит, $kgeq frac{52}{5}$ и kleq 12 . Подходит k = 11 и k = 12 .

При таких значениях уравнение n=62-5k имеет решения n = 7 или n = 2 .

Подставим поочередно пары и в уравнение

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ , получим, что целых решений $S_{1}$ это уравнение не имеет.

Пусть первоначально средний балл равен 3. Тогда

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{52-n}=frac{1,1cdot S_{2}}{51-n};$

$frac{S_{2}}{m}=3$ ,

$frac{153-3n+k}{52-n}=1,1cdot 3;$

, подходит , тогда $S_{1}=40$ .

Например, в первой школе тест писали 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов. В школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Да, непростая это задача, восемнадцатая задача из варинта ЕГЭ. Но если к ней привыкнуть, потренироваться, то вполне можно решить и заработать необходимые на ЕГЭ баллы. Мы учим решать эту задачу на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе. Многим нашим выпускникам она обеспечила поступление на бюджетные отделения ведущих вузов.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 18. Числа и их свойства u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

ЕГЭ №18 (19). Теория чисел. Рекуррентная задача – самая сложная задача мартовского статграда 2021

ЕГЭ 18 (19) – это задачи на теорию чисел, на свойства чисел, на последовательности. Что такое рекуррентная последовательность?

Сейчас узнаете…

Последовательности чисел нам хорошо известны ещё с 8 – 9 класса. Например, прогрессии – арифметическая и геометрическая.

На ЕГЭ довольно часто попадаются задачи на последовательности – как на стандартные прогрессии, так и на необычные – у каждой из которых какая-то своя формула. И формулы у таких последовательностей обычно рекуррентные – то есть такие, когда каждое следующее число вычисляется через значения каких-то предыдущих.

Например, самая известная не-прогрессия – это последовательность Фибоначчи: каждое число равно сумме двух предыдущих.

Такие последовательности – это не просто очередные бессмысленные упражнения математиков (которым, как известно, делать нечего, вот и грузят всех своими задачками). Последовательности очень часто встречаются нам в жизни, и с их помощью очень удобно описывать некоторые процессы.

Например, говорят, что Фибоначчи свою последовательность придумал, наблюдая за размножением кроликов: первые 2 месяца жизни кролик просто растёт, а потом начинает каждый месяц рожать нового кролика (в среднем).

Сколько будет кроликов через полгода? Через год? В задаче 18 (19 из последнего статграда нам попалась как раз такая последовательность.

Смотрите видео, и вы научитесь исследовать такие последовательности, а также узнаете, как правильно решается эта задача.

Источник

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

(ЗАДАНИЕ 19 ИЗ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ, ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ)

Аннотация

Статья посвящена проблеме подготовки учащихся к решению задач по теории
чисел, которые входят в комплект заданий профильного уровня ЕГЭ по математике в
качестве задания под номером 19. Указанные задачи вызывают затруднение даже у
хорошо подготовленных участников, некоторые школьники даже не предпринимают
попыток решения этого задания. В статье перечислены необходимые методы и приемы
решения, а также даны рекомендации по подготовке учащихся к решению задания 19
ЕГЭ.

Ключевые
слова: математика, ЕГЭ, теория чисел.

Важной частью обучения математике сегодня является подготовка к Единому
государственному экзамену (ЕГЭ), особенно в старших классах. Желающие
продолжить обучение по техническим или математическим специальностям выбирают
профильный уровень ЕГЭ по математике, который отличается от базового более
высокой сложностью и разнообразием заданием.

Проведенный анализ результатов ЕГЭ по математике показывает, что у
обучающихся среди заданий по алгебре наибольшую сложность вызывают задачи 18 и
19, требующие развернутого ответа, т.е. уравнения и неравенства с параметром и
задача на исследование простейших математических моделей.

Мы считаем, что эти задачи необходимо рассматривать дополнительно,
обращая внимания на особенности решения. В частности, на некоторых сайтах
указывают, что задача 19 является олимпиадной [10; 11], а иногда даются
рекомендации не тратить время на ее решение [4]. Однако это задание включает в
себя элементы теории чисел и не выходит за пределы школьной программы [8, с.
161]. Как нам кажется, при определенных условиях можно повысить эффективность
подготовки учащихся с целью успешного решения последней задачи профильного
уровня ЕГЭ.

Элементы теории чисел представляют значимость именно для
математического образования, так как позволяют сформировать понятие числа как
основы числовых систем. Кроме того, изучение теории чисел положительно
воздействует на развитие логического мышления, формируют математическую
культуру учащихся, учит их работать с абстрактными понятиями [1, с. 99].

По мнению, И.Л. Мирошниченко и Е.Н. Селезневой необходимо регулярно
разбирать с учащимися задачи на теорию чисел, начиная с 5-6 класса. При этом
содержание задач должно соответствовать изучаемым темам. Например, авторы
приводят примеры задач, которые можно использовать в процессе изучения таких
тем, как «Признаки делимости», «Среднее арифметическое», «Арифметический
квадратный корень», «Квадратный трехчлен» и т.д. [3, с. 55].

Но не всегда один учитель ведет весь курс математики у одного класса,
часто происходят замены учителя, либо школьник меняет образовательное
учреждение. К тому же такой подход требует от учителя серьезных затрат времени
на поиск или составление задачи, подходящей по своему содержанию. Также не
следует исключать вероятности изменения структуры ЕГЭ, в результате чего задача
на теорию чисел будет исключена из комплекта заданий. Поэтому целенаправленную
подготовку учащихся начинают ближе к экзамену, обычно в старших классах.

В своей статье А.Е. Семенова указывает, что для решения задачи 19 ЕГЭ участники
экзамена должны знать признаки делимости, понятие наименьшего общего кратного,
а также свойства чисел [6, с. 994].

На наш взгляд, помимо указанных понятий, следует повторить и закрепить
с учащимися алгоритм нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего
общего делителя, порядок вычисления арифметической и геометрической прогрессии.
При повторении следует основной упор сделать на решение задач, как заданных
явно («Последовательность n натуральных чисел представляет собой
арифметическую прогрессию. Может ли их сумма быть равна 10?»), так и в виде
сюжетной задаче: («12 одинаковых монет нужно разместить вдоль стенок квадратной
коробки так, чтобы возле каждой стенки находилось равное количество монет. Каким
образом можно выполнить?»).

В пособии А.Э. Сергеева и И.В. Соколовой выделены следующие группы
типовых задач, составленных по мотивам задания 19: прогрессии, уравнения в
целых числах, обыкновенные дроби, простые числа и свойства делителей [7].

Рассмотрим, какие знания, методы и приемы будут полезны при решении
задания 19 ЕГЭ:

– алгоритм Евклида для нахождения НОД;

– свойство делимости чисел: произведение чисел делится на простое
число, если один из множителей делится на это число;

– свойство делимости чисел: если число а не делится ни на одно простое
число меньше , то оно простое;

– метод математической индукции;

– методы решения линейного диофантова уравнения: поиск частного решения
и переход к общему; выразить одно неизвестное через другое; геометрический;

– перебор вариантов,

– метод
разложения числа на множители,

– метод остатков. [2; 5; 7].

Учитывая, что задание 19 можно отнести к нестандартным задачам, т.е. не
имеющим единого алгоритма решения, то мы считаем необходимым придерживаться
принципов регулярности, систематичности и последовательности при подготовке к
ее решению. Учащиеся должны хорошо ориентироваться в методах решения, знать
основные приемы, упрощающие решение, быть знакомы с типовыми задачами. Поэтому сначала
необходимо рассмотреть простые примеры, позволяющие отработать практическое
применение названых методов и приемов.

Например, изучение метода нахождения НОД с помощью алгоритма Евклида,
может включать в себя задачи различных уровней сложности:

1. Использование алгоритма на конкретном примере, т.е. нахождение НОД
любых двух натуральных чисел (числа могут называть сами учащиеся, либо учитель
выбирает трехзначные и четырехзначные числа).

2. Использование алгоритма для буквенных (нахождение НОД 2n+17 и n+7) или
числовых выражений (нахождение НОД 2¹⁰⁰-1 и 2¹²⁰-1).

3. Решение задач из сборника по подготовке к ЕГЭ (На какое число и при
каких натуральных значениях n сократима дробь ?).

Наиболее оптимальным вариантом подготовки учащихся, на наш взгляд,
является разработка элективного курса, направленного на знакомство учащихся с
теорией чисел. Курс может быть представлен также и в дистанционном формате,
например, на основе системы MOODLE, возможности использования которой в
обучении школьников математике описывается в работе одного из авторов данной статьи
[9]. Преимущество решения задач по теории чисел во внеурочной деятельности
состоит в том, чтобы научить решать тех школьников, которые стремятся получить
максимальный балл профильного уровня ЕГЭ.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что сложность задания 19
профильного уровня ЕГЭ по математике вполне преодолима, если участник будет
заниматься дополнительной подготовкой, изучая элементы теории чисел.

Литература

1. Гапонова Ю.С. Роль и место элементарной теории чисел в математическом
образовании школьников // Концепция «общества знаний» в современной науке: сб.
ст. Межд. науч.-практ. конф. – Уфа: Аэтерна, 2018. – С. 98-103.

2. Иванова В.И. Линейное диофантово уравнение и 4 способы его решения
// Первое сентября. Открытый урок [Электронный ресурсы]. – Режим доступа: https://urok.1sept.ru/articles/501260.

3. Мирошниченко И.Л., Селезнева Е.Н. Элементы теории чисел в школьном
курсе математики // Вестник педагогического опыта. – 2019. – №44. – С. 51-55.

4. Ненко И. Как подготовиться к ЕГЭ по математике //
Нижний Новгород онлайн [Электронный
ресурсы]. – Режим доступа: https://www.nn.ru/news/articles/uchitelya_rasskazali_na_chem_v_ege_po_matematike_zavalivaetsya_kazhdyy_vtoroy/69093625/.

5. Свиридова А.В. Способы решений уравнений в целых числах
// Старт в науке [Электронный
ресурсы]. – Режим доступа: https://school-science.ru/4/7/828

6. Семенова А.Е. Элементы теории чисел в школьном курсе математики //
Аллея науки. – 2019. – Т. 3. – №5. – С. 993-995.

7. Сергеев А. Э., Соколова И. В. Теория чисел в задаче №19
профильного ЕГЭ по математике: учеб. пособие. – Краснодар : КубГАУ, 2019. – 108
с.

8. Соколова И.В., Сергеев А.Э. Методические рекомендации к
решению задачи № 19 профильного
ЕГЭ по математике // Современные проблемы науки и образования. – 2018. – № 6. –
С. 161.

9. Солощенко М.Ю., Петров И.Л. Использование системы MOODLE в
обучении школьников математике // Проектирование и реализация математического образования в школе и
вузе. Сборник научных трудов. – Стерлитамак, 2015. С. 63-66.

10. Структура ЕГЭ по математике 2019-2020 // Geniusmath [Электронный ресурсы]. – Режим доступа: http://courses.geniusmath.ru/blogs/read/struktura-iege-po-matiematikie-2019-2020/.

11. Шутова О. Профильный ЕГЭ по математике: что нужно
знать к 2021 году? // MaximumBlog [Электронный ресурсы]. – Режим доступа: https://blog.maximumtest.ru/post/profilnyj-ege-po-matematike-chto-nuzhno-znat.html.

Источник

Решение задач 19 из профильного ЕГЭ.

Здравствуйте, дорогие друзья!

Начинаем разбирать самые последние задачки из ЕГЭ — задачи под номером 19 на теорию чисел. В былые годы они назывались С6, но не суть важно. Как говорится, хрен редьки не слаще, да.

Задачки эти, как правило, состоят из трёх пунктов а), б) и в), в каждом из которых надо ответить на какой-то (что скрывать, иногда довольно хитрый) вопрос.

Суть в том, что многие выпускники на экзамене эти задачи не то что не решают, а даже вообще не читают: всё равно, мол, не решу! И совершенно зря! Чуть ниже вы увидите, что пункт а) в таких задачах (а их мы разберём здесь немало), как правило, по силам даже троечникам при наличии самых элементарных знаний порой уровня 5-6 классов. И хотя бы на пункте а) можно заработать один дополнительный балл, чего лишним никогда не будет.) Пункт б) немногим сложнее, но тоже вполне решаем. Что же касается пункта в) — тут как повезёт. Всё от конкретной задачи зависит, и секретного заклинания на все случаи жизни тут нет и быть не может. Этот пункт уже требует довольно крепкой дружбы с математикой. Желательно, взаимной.

Надеюсь, материал данной главы поможет всем желающим достичь этой самой крепкой дружбы! Итак, гуляем по ссылкам, читаем, вникаем! )

Используем признаки делимости и перебор на ограниченном множестве! Красивая задачка про числа-палиндромы.

Позиционная система счисления. Задачки про гидрологов и метеорологов.

Учимся составлять неравенства и ограничения. Задачка про дроби.

Источник