Задачи на тетраэдр на егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Добавить в вариант

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM. Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра  — KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

а)  Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б)  Дан тетраэдр ABCDс прямыми плоскими углами при вершине Площади граней BCD, ACD и ABD равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 132.

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а)  Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б)  Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 297.

Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P  =  4.

а)  Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б)  Найдите длину отрезка AP.

Источник: ЕГЭ по математике 2017. Досрочная волна, резервная волна. Вариант А. Ларина (часть С)

В правильном тетраэдре ABCD точка К  — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED  =  1 : 2.

а)  Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.

б)  Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298.

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

а)  Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.

б)  Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C).

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD,

причем АМ : МD  =  2 : 3, ВN : АN  =  1 : 2, ВК  =  КС.

а)  Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б)  Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 206.

В правильном тетраэдре ABCD точки K и M  — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой AD.

а)  Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью α — квадрат.

б)  Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 991, Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

В правильном тетраэдре ABCD точка K  — центр грани ABD, точка M  — центр грани ACD.

а)  Докажите, что прямые BC и KM параллельны.

б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 291.

В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.

В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K  — середина отрезка CH. BM  — медиана боковой грани BCD.

а)  Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK.

б)  Найдите угол между DH и BM.

В правильном тетраэдре ABCD М  — середина ребра AD.

а)  Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.

б)  Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

В правильном тетраэдре АВСD точка Н  — центр грани АВС, а точка М  — середина ребра СD.

а)  Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.

б)  Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

Источник: ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (C часть), Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018

В правильном тетраэдре ABCD точка K  — центр грани ABD, точка M  — центр грани ACD.

а)  Докажите, что прямые BC и KM параллельны.

б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 276.

В правильном тетраэдре ABCD точки K и N середины рёбер AB и AD соответственно. Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Расстояние между прямыми KN и DO равно 3. Найти площадь сечения тетраэдра проходящего через середины трёх смежных рёбер.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 73.

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC  — точка L, на ребре BD  — точка N, на ребре СD  — точка M. Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG, KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44.

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M  — середина ребра BC, L  — середина ребра AB.

а)  Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.

б)  Найдите угол между прямыми DM и CL.

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1.

а)  Докажите, что

б)  Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L  — середина ребра MC, O  — центр грани ABC.

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD  — точку E.

а)  Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.

б)  Найдите расстояние от точки A до прямой BE.

Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Источник

Видео по теме

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

fgk

Решение: + показать

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите боковое ребро

Решение: + показать

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, Найдите длину отрезка

Решение: + показать

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать

Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать

Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Решение: + показать

Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра — вершина. Известно, что а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: + показать

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна

Решение: + показать

Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Решение: + показать

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Решение: + показать

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Решение: + показать

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Решение: + показать

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение: + показать

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Решение: + показать

Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{circ}.$ Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

Задача 28. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: + показать

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Решение: + показать

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение: + показать

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: + показать

Задача 33. Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Пирамида»

Пирамида (PA_1A_2…A_n):

(blacktriangleright) Многоугольник (A_1…A_n) – основание;

треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;

точка (P) – вершина;

отрезки (PA_1, PA_2, …, A_1A_2) и т.д. – ребра.

(blacktriangleright) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется тетраэдром.

(blacktriangleright) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.

(blacktriangleright) Объем пирамиды ({Large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн}}h}}) , где (S_{text{осн}}) – площадь основания, (h) – высота.

(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Задание
1

#2878

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана пирамида (SABCD), вершиной которой является точка (S), в основании лежит ромб, а высота (SO) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол (ASO) равен углу (SBO), а диагонали основания равны (6) и (24).

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то (AO=12), (BO=3).
Заметим, что так как (SO) – высота пирамиды, то (triangle ASO) и (triangle BSO) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть (SO=h), тогда из подобия имеем: [dfrac{BO}{h}=dfrac{h}{AO} quadRightarrowquad h=6.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot hcdot dfrac12cdot 24cdot 6=144.]

Ответ: 144

Задание
2

#2879

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В пирамиде (SABC) высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник (ABC) равнобедренный, боковые стороны равны (10), а основание (AC=18). Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром (SB) и плоскостью основания равен (45^circ).

Пусть (BK) – высота в (triangle ABC), а значит и медиана. Тогда из прямоугольного (triangle BKC): [BK=sqrt{BC^2-KC^2}=sqrt{10^2-9^2}=sqrt{19}.] Тогда площадь основания равна [S_{ABC}=dfrac12cdot ACcdot
BK=9sqrt{19}.] Так как (O) – точка пересечения медиан, то (O) лежит на (BK). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [BO=dfrac23BK=dfrac23sqrt{19}.] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, (angle SBO=45^circ) и есть угол между (SB) и основанием (так как (BO) – проекция (SB) на плоскость (ABC)). Так как к тому же (triangle SBO) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, [SO=BO=dfrac23sqrt{19}.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SOcdot S_{ABC}=38.]

Ответ: 38

Задание
3

#2880

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Высота (SH) треугольной пирамиды (SABC) падает на середину стороны (AB), (ABC) – правильный треугольник со стороной (6). Найдите объем пирамиды, если (SC=sqrt{30}).

Так как (H) – середина (AB) и треугольник правильный, то (CH) – высота. Следовательно, [CH=dfrac{sqrt3}2AB=3sqrt3.] Так как (SH) – высота пирамиды, то (triangle SHC) – прямоугольный, следовательно, [SH=sqrt{SC^2-CH^2}=sqrt{30-27}=sqrt3.] Следовательно, объем равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot SHcdot dfrac12cdot CHcdot AB=9.]

Ответ: 9

Задание
4

#2881

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция (ABCD), (AD) – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок (BC). Апофема грани (ASD) равна (10) и образует угол (45^circ) с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна (9).

Пусть (SH) – высота пирамиды. Проведем (HKperp AD). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (SK) (наклонная) также перпендикулярна (AD) (так как (HK) – ее проекция на плоскость (ABC)). Следовательно, (SK) и есть апофема грани (ASD). Также отсюда следует, что (angle SKH=45^circ) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, (triangle SHK) прямоугольный и равнобедренный, значит, [SH=HK=SKdiv sqrt2=dfrac{10}{sqrt2}] По определению получается, что (HK) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то [S_{ABCD}=9cdot dfrac{10}{sqrt2}] А значит объем пирамиды равен [V=dfrac13cdotdfrac{10}{sqrt2}cdot9cdot dfrac{10}{sqrt2}=150.]

Ответ: 150

Задание
5

#1857

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция с основаниями (AD) и (BC). (H) – точка пересечения диагоналей трапеции, а (SH) – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, (mathrm{tg}, angle SAC = 3), (BH = 3), (AH = 2). Найдите объем пирамиды.

(triangle AHD) и (triangle BHC) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция (ABCD) равнобедренная (Rightarrow) (AH = HD), (BH = HC) (Rightarrow) (AC = BD = 2 + 3 = 5) (Rightarrow)

[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = frac{1}{2}cdot ACcdot BH + frac{1}{2}cdot ACcdot HD = frac{1}{2}cdot ACcdot(BH + HD) = frac{1}{2}cdot ACcdot BD.]

В (triangle SAH): (SH = AHcdot mathrm{tg}, angle SAC = 6), т.к. (triangle SAH) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SH = frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot5cdot5cdot6 = 25].

Ответ: 25

Задание
6

#1858

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABC) лежит прямоугольный треугольник с прямым углом (angle A). Точка (H) – центр описанной вокруг треугольника (triangle ABC) окружности, (SH) – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что (AB = 6), (AC = , (SA = 5sqrt5).

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам (Rightarrow) (BH = AH = CH) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике (triangle BAC) по теореме Пифагора: (BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100) (Rightarrow) (BC = 10) (Rightarrow) (AH = frac{BC}{2} = frac{10}{2} = 5). Треугольник (triangle AHS) – прямоугольный, т.к. (SH perp ABC) ((SH) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти (SH): (SH^2 = AS^2 — AH^2 = (5sqrt5)^2 — 5^2 = 100) (Rightarrow) (SH = 10). Теперь найдем объем пирамиды: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SHcdot S_{triangle BAC} = frac{1}{3}cdot SHcdotfrac{1}{2}cdot ABcdot AC = frac{1}{3}cdot10cdotfrac{1}{2}cdot6cdot8 = 80.]

Ответ: 80

Задание
7

#2769

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точки (A), (B) и (C) лежат в плоскости (pi). Прямая (l) образует с плоскостью (pi) угол в (45^circ) и проходит через точку (B) так, что (angle(l; AB) = angle(l; BC)). Через (l’) обозначим проекцию (l) на (pi). Найдите (angle(l’; AB)), если (angle ABC = 80^circ). Ответ дайте в градусах.

Докажем, что (l’) содержит биссектрису угла (ABC). Выберем на (AB) точку (A’), а на (BC) точку (C’) так, чтобы (A’B = BC’). Построим прямую, проходящую через точку (B) и точку (H) – середину (A’C’).

Отметим на (l) точку (M). Треугольник (A’BC’) – равнобедренный, тогда (BH) – высота.

Рассмотрим треугольники (A’BM) и (C’BM): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда (MA’ = MC’) и треугольник (A’MC’) – равнобедренный, тогда (MH) – его высота.

В итоге (A’C’perp BH) и (A’C’perp MH), следовательно, (A’C’perp (MBH)). Если предположить, что (M’) – проекция точки (M) на ((A’BC’)), не попадает на прямую, содержащую (BH), то получим, что (A’C’perp M’M) и (A’C’perp MH), откуда следует, что (A’C’perp (MM’H)). Но тогда плоскости ((MM’H)) и ((MBH)) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, (M’) лежит на прямой, содержащей (BH), но тогда (l’) совпадает с прямой, содержащей (BH). В итоге, (angle(l’; AB) = 0,5angle ABC = 40^circ).

Ответ: 40

При подготовке к ЕГЭ по математике старшеклассникам следует особое внимание уделить теме «Пирамида», так как задачи, связанные с расчетом объема и площади данного многогранника, непременно встретятся на финальной аттестации. Весь необходимый для повторного изучения материал вы найдете в данном разделе. Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию и элементарные упражнения, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация

Пирамида — многогранник, образованный благодаря соединению всех точек плоского многоугольника с точкой, выходящей за пределы плоскости данного многоугольника.

Пирамиду называют n-угольной по количеству углов в основании. Если последним является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с его центром, фигуру называют правильной.

Все боковые грани пирамиды — треугольники.

Подробная теоретическая часть приведена в начале страницы. Вы также можете сразу приступить к практике. Задачи, представленные в данном разделе, помогут вам найти объем пирамиды, длину ее определенных отрезков и т. д. Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ. Таким образом, разобраться в теме вы сможете самостоятельно, без помощи репетитора.

Как часто следует тренироваться?

Чтобы на ЕГЭ ребенок смог легко решить задачи по стереометрии (а определение площади и других параметров пирамиды относятся к данному разделу геометрии), мы рекомендуем выполнять по 2—3 упражнения каждый день. Таким образом, знания будут лучше усваиваться и вам будет проще переходить от простого к сложному.

Проверьте, легко ли вы рассчитаете площадь пирамиды, прямо сейчас. Разберите любое задание онлайн. Если решение дастся вам легко, значит, шансы на высокие экзаменационные баллы по математике достаточно велики. А при возникновении затруднений планируйте свой день таким образом, чтобы в ежедневное расписание был включен дистанционный образовательный проект «Школково». Мы поможем вам восполнить пробелы в знаниях!

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Задачи
ЕГЭ по теме «Пирамида»

B 13 № 901. В правильной
треугольной пирамиде  медианы
основания  пересекаются
в точке . Площадь
треугольника  равна
2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

B 13 № 911. В правильной
четырехугольной пирамиде точка –
центр основания, –
вершина, , . Найдите
боковое ребро

B 13 № 920. В правильной
треугольной пирамиде точка –
середина ребра , –
вершина. Известно, что =3, а
площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .

B 13 № 27074. Объем параллелепипеда равен
9. Найдите объем треугольной пирамиды .

B 13 № 27085. Во сколько
раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить
в два раза?

B 13 № 27089. Во сколько
раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре
раза?

B 13 № 27113. Объем
треугольной пирамиды , являющейся
частью правильной шестиугольной пирамиды ,
равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

B 13 № 27114. Объем
правильной четырехугольной пирамиды равен
12. Точка –
середина ребра . Найдите
объем треугольной пирамиды .

B 13 № 27115. От треугольной
пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

B 13 № 27131. Во сколько
раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все
его ребра увеличить в два раза?

B 13 № 27157. Во сколько
раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить
в 3 раза?

B 13 № 27172. Во сколько
раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить
в 2 раза?

B 13 № 27175. Ребра
тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины
четырех его ребер.

B 13 № 27182. Объем параллелепипеда равен
12. Найдите объем треугольной пирамиды .

B 13 № 27184. Объем
куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием
которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

B 13 № 77154. Найдите
объем параллелепипеда , если
объем треугольной пирамиды равен
3.

B 13 № 284351. В правильной
треугольной пирамиде —
середина ребра , —
вершина. Известно, что,
а . Найдите
площадь боковой поверхности.

B 13 № 284356. В правильной
треугольной пирамиде медианы
основания пересекаются в точке .
Объем пирамиды равен , . Найдите
площадь треугольника .

—————————————————————————————————————————————-

Источник

��: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [�� : 107]

�� . ��
�� , ��
�� , �� . ��
�� ?

��

�� 1. ��ף� �� �� 1/3, � �� — �� 2/3.

�� 4 �� , �� ң�� .
�� ģ�� 4 «��» �� ң�� 1/3, ��ޣ� ��, �� , �� .

� �� 4 �� 1/3 �� , 4 �� , �� , 6 �� , �� £� �� (�� — «��» �� ), � �ݣ 1 �� , �� (�� ).

��

�� 15 ��: 11 �� 1/3 �� 4 �� .

�� . �� , �� , �� ?

��

�� A, B, C, D – �� . �� 120° �� AB � CD, �� A’, B’, C’, D’, � �� 240°, – �� A», B», C», D». ��, �� , �� .
��, �� , �� , � �� . �� .

��

��.

�� 1 ��
��, �� 1/100?

��

�� , ��
�� 4 �� . ��
��, ��
�� 1/2 � ��
(��., �).

�)

�� , �� . ��
��, �� 1/2 � ��
�� . �� 6 �� , �� 6 ��
�� , �� , ��, ��
8 �� , �� . ��
�� — �� , ��
��
(��., �).

�� (�� ) ��
�� , �� 1/2, ��
(�� 4 �� ) ��
�� 1/4 � �. �. �� 7-��

1/128 < 1/100.

�� ,
�� .
�� ϕ – �� , ��
�� . �� ϕ .

��

�� O – �� , KLMN � K₁L₁M₁N₁
– �� ( K � K₁ , L � L₁ ,
M � M₁ , N � N₁ – ��
�� O ��).

��
�� , � �� – ��
— �� ϕ . ��, �� P
� Q – �� , X –
�� PQ , = ,
=— , ��
+=+++=
—+(+)+= , ��,
X – �� P’Q’ .

��, ��
�� , ��
�� 1. ��
ABCDA₁B₁C₁D₁ � �� 1 � �� O � ��
�� , ��
T₁=ACB₁D₁ . �� — ��
�� T₁ �� T₂=C₁A₁DB .

��, �� ϕ �� , ��
�� ACB₁D₁ � C₁A₁DB .

�� U – ��, �� . 1
�� , �� – �� .
��, �� ϕ=U .

��. 1



��. 2

��. �� ϕ �� , ��
�� ϕ₁ � ϕ₂ ��.

��. �� M � N – �� EF � GH ,
�� E,Gϕ₁ , F,Hϕ₂ , S[MN] .
�� M ��, �� EG � FH
(��. ��. 2) . �� , ��
P[EG] � Q[FH] ��, �� S – ��
[PQ] . ��, �� M,Nϕ � S[MN] , ��
Sϕ , �.�. �� ϕ ��. �� .

�� �� ��, �� ϕ ��.
�� U �� ϕ
(��, Q – �� AA₁ ), �� Uϕ
. �� , �� [GH] ,
�� H T₂ – �� T₂‘ , �� T₂
� �� b= � �� G . ��
�� T₂‘ � �� A ��
�� PQR . ��, ϕ ��
��, �� APQR , �� .

��, �� , ��, ��
ϕ=U .

�� , V(ϕ)=1—8V(APQR)=1—= .

��

��

86922

��: 3
��: 8,9

�� – �� a
� �� 60^o . �� .

��

�� ABCDA1B1C1D1 – �� , ��ޣ�
AA1|| BB1|| CC1|| DD1 . ��,
�� A �� 60^o . ��
AB = AD = BD = AA1 = A1B = A1D , ��
�� A1ABD – �� a . ��
A1M �� .

�� AMA1 , ��, ��

A1M = =
= a.

��

a .

��: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [�� : 107]

Источник

Тема 2.

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия в пространстве (стереометрия)

2.01Теорема о трех перпендикулярах

2.02Угол между прямыми

2.03Угол между прямой и плоскостью

2.04Угол между плоскостями и двугранный угол

2.05Пирамида

2.06Правильная и прямоугольная пирамиды

2.07Призма

2.08Правильная и прямая призмы

2.09Параллелепипед как частный случай призмы

2.10Прямоугольный параллелепипед

2.11Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда

2.12Конус

2.13Цилиндр

2.14Сфера и шар

2.15Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей

2.16Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел

2.17Вписанные и описанные тела

Решаем задачи

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро
равно 6. Найдите объем пирамиды.

Показать ответ и решение

Пусть дана пирамида точка — центр основания ABCDEF.
Тогда — высота пирамиды, а По теореме Пифагора из
△ASO находим, что √ -
SO = 3 3.

Следовательно, объем пирамиды равен

1 1 3√3- 2
V = 3 ⋅SO ⋅SABCDEF = 3 ⋅SO ⋅-2-AB = 40,5

Показать ответ и решение

Пусть – высота пирамиды. Проведем . Следовательно, по теореме о трех
перпендикулярах (наклонная) также перпендикулярна (так как – ее проекция на
плоскость ABC ). Следовательно, и есть апофема грани ASD . Также отсюда следует,
что (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и
ее проекцией на плоскость). Следовательно, △SHK прямоугольный и равнобедренный,
значит,

√ -- 10
SH = HK = SK ÷ 2 = √---
2

По
определению получается, что также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна
полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней
линии, то

10
SABCD = 9 ⋅ √--
2

А
значит объем пирамиды равен

V = 1-⋅ 1√0-⋅ 9 ⋅ 1√0-= 150.
3 2 2

Показать ответ и решение

Так как , то , тогда ABCD –
прямоугольник, но AD = DC , следовательно, ABCD – квадрат.

Обозначим отрезок, соединяющий точку и середину через .

Так как ABCD – квадрат, то соединяет точку с серединой , то есть проекцией точки
на (ABC ) , откуда заключаем, что перпендикулярен (ABC ) . Через hгр обозначим перпендикуляр,
опущенный из точки на .

Пирамида ABCDE является правильной по определению. Тогда её грани равные равнобедренные
треугольники и площадь её полной поверхности равна .

По теореме Пифагора

∘ ------2- ∘ --2----2-
hгр = h2 + a--= 3a--+ a--= a,
4 4 4

тогда
S = a2 + 2a2 = 3a2 = 2, 4
ABCDE , откуда .

По теореме Пифагора

2 2
ED2 = hгр2 + a--= a2 + a--= 5⋅ a2 = 5-⋅ 0,8 = 1,
4 4 4 4

откуда ED = 1 .

Показать ответ и решение

Пусть √ --
AD = 3 + 3 5 . Рассмотрим прямоугольник ABCD

Достроим отрезки N T и P K , проходящие через точку , как показано на рисунке (,
).

Тогда M N = 3 , √ --
M T = 3 5 , √ ----
M P = 114 , √----
M K = 570 . M N – проекция N E на (ABCD ) ,
M N перпендикулярен , тогда по теореме о трех перпендикулярах N E перпендикулярен . По
теореме Пифагора N E = 8 . Площадь треугольника ABE равна

1 √ ---- √--
--⋅ AB ⋅ N E = 4 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5 ).
2

Аналогично площадь треугольника BEC равна √ --
37,5(1 + 5) ,
площадь треугольника CDE равна √---- √ --
5 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5) ,
площадь треугольника AED равна √ --
19,5(1 + 5) ,
площадь прямоугольника ABCD равна √---- √--
3 114 (1 + 5 )2 .
Площадь поверхности пирамиды:

√ ---- √ -- √ -- √ ---- √ --
S = 9 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5) + 57(1 + 5) + 3 114 (1 + 5)2.

Тогда .

Показать ответ и решение

Объем пирамиды может быть найден по формуле 1
V = --S ⋅ h
3 , где – площадь основания пирамиды,
– высота пирамиды.

Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле , где , – не
параллельные стороны параллелограмма, – угол между ними.

√ --
√-- ∘ √ -- --3- 3-
SABCD = 1 ⋅ 3 ⋅ sin60 = 3 ⋅ 2 = 2.

Найдем :
по теореме Пифагора для треугольника AEN :

2 2 2
EN = AE − AN .

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то 1-
AN = 2 AC .
Найдем по теореме косинусов для треугольника ACD :

но
∘ ∘
∠ADC = 180 − ∠BAD = 120 , тогда

-- ( ) --
AC2 = 1 + 3 − 2 ⋅ 1 ⋅ √ 3 ⋅ − 1 = 4 + √ 3,
2

откуда

∘ -------
1- 1- √ --
AN = 2AC = 2 4 + 3.

Теперь √ -- √ --
2 --3- --3-
EN = 5 + 4 − 1 − 4 = 4 , тогда EN = 2 , следовательно,

1 3
Vпирамиды = --⋅--⋅ 2 = 1.
3 2

Показать ответ и решение

Так как – середина и треугольник правильный, то – высота. Следовательно,

√ -- √ --
CH = --3-AB = 3 3.
2

Так
как – высота пирамиды, то △SHC – прямоугольный, следовательно,

Следовательно, объем равен

1 1 1
V = -⋅ SH ⋅ SABC = --⋅ SH ⋅ --⋅ CH ⋅ AB = 9.
3 3 2

Показать ответ и решение

Пусть – высота в △ABC , а значит и медиана. Тогда из прямоугольного △BKC :

Тогда площадь основания равна

S = 1-⋅ AC ⋅ BK = 9√19.-
ABC 2

Так
как – точка пересечения медиан, то лежит на . Так как медианы точкой пересечения
делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины, то

2 2√ ---
BO = -BK = -- 19.
3 3

Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость,
следовательно, и есть угол между и основанием (так как – проекция
на плоскость ABC ). Так как к тому же △SBO прямоугольный, то он равнобедренный,
следовательно,

2√ ---
SO = BO = -- 19.
3

Тогда объем пирамиды равен

V = 1-⋅ SO ⋅ S = 38.
3 ABC

Показать ответ и решение

Так как , то треугольники EF G и ABC подобны. Так как √ --
BC--= 2 3
F G , то
SABC-- = 12
SEF G .

1 1
VABCD = 3SABC ⋅ h = 102 ⇒ 3SABC ⋅ 34 = 102 ⇒ SABC = 9,

следовательно, S = 1--⋅ S = 0,75
EFG 12 ABC .

Источник

Пирамида

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

6. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

7. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

8. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

9. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , . Найдите длину отрезка .

11. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

12. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

13. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

16. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

17. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

18. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

19. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

20. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

21. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

22. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

23. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

25. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

26. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

27. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

29. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

30. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

32. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

33. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

34. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

35. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

36. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

37. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание – прямоугольник со сторонами 3 и 4.

38. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

39. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

40. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

41. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.

42. Объем параллелепипеда равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды .

43. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

44. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен 3.

45.

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

46. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

47. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

48. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

49. В правильной треугольной пирамиде SABC точка R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

50. В правильной треугольной пирамиде SABC точка N — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

51. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

52. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

53. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

54. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен , . Найдите площадь треугольника .

55. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

56. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

57. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна . Высота пирамиды равна . Найдите длину бокового ребра .

58.

В правильной четырехугольной пирамиде точка − центр основания, − вершина, , Найдите длину отрезка

59.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М— середины рёбер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC.

60. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

62. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 16. У второй пирамиды высота в 2 раза больше, а сторона основания в 1,5 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

63. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

64. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти ст

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

901

902

903

7,5

904

905

4,5

911

912

913

914

915

920

921

922

923

924

27069

340

27070

360

27074

1,5

27085

27086

27087

0,25

27088

27089

27109

256

27110

27111

4,5

27113

27114

27115

27116

27131

27155

27157

27171

27172

27175

0,25

27176

27178

27179

27180

27181

27182

27184

77154

245353

284348

284349

284350

284351

284352

284353

284354

284355

284356

318146

324450

0,25

500249

6,5

Источник

Задачи по теме «Пирамида»

Базовая информация

Как часто следует тренироваться?

�������

�����

�������

�����

�������

�������

�����

������ 86922

�������

�����

��

��

��

��

��

��

��

��

86922

��

��