Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.
Теоретическая часть
Если имеются события А и В, то
Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).
Задачи о зависимых событиях
Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
1-й способ.
Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда 
.
Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42
2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:
P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.
Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет 
«кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна 
= 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.
3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | |
| кофе остался |
По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.
В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался |
Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 |
Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 | 0,42 |
Ответ: 0,42.
Задачи на проценты
Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.
Отсюда
Ответ: 0,4
Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.
Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна 
≈ 0,93
Ответ: 0,93.
Разные задачи
Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.
Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).
Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17
2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)
Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.
Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого 0,0216 • 0,3 = 0,00648.
Следовательно, необходимо 5 выстрелов.
2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)
Вероятность непоражения после n выстрелов равна 
, так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.
По условию необходимо, чтобы
Ответ: 5.
Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку 0, 5, по литературе 0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.
Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.
Ответ: 0,384.
Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
|
хорошая |
1 |
|||
| отличная | 0 |
Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | ||
| отличная | 0 | 0,1 |
Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.
Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 |
Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.
Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 | 0,244 |
Ответ: 0,244.
Подведем итог
Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.
Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.
Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
3
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 
4
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
5
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Пройти тестирование по этим заданиям
Маленькие «хитрости» Большого ЕГЭ
Кукушкина А. В.
учитель математики
ГОУ ЯО «Лицей № 86»
25.02.2022
О чём будем говорить
- Задачи на проценты
- Вероятности сложных событий
Задачи на проценты
«Минимум для МАКСИМУМА»
Умеем:
- находить часть (процент) от числа
- число по известной части (проценту)
- уметь переводить процент в доли и обратно
- решать задачи на части (проценты) в «один клик» (без использования пропорций)
(5-6 класс)
Задачи на проценты
«Минимум для МАКСИМУМА»
Умеем:
- увеличивать число на в одно действие
- уменьшать число на в одно действие
- определять величину, которую принимают за целое (часть целого)
(7-9 класс)
Задачи на проценты
«Минимум для МАКСИМУМА»
Умеем:
- увеличивать число на в одно действие
- уменьшать число на в одно действие
Увеличить число
Уменьшить число
(7-9 класс)
Задачи на проценты
В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Задачи на проценты
В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
2008
40 000
2009
2010
?
?
Задачи на проценты
В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
2008
40 000
2009
2010
?
?
Задачи на проценты
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Задачи на проценты
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
понедельник
понедельник
вторник
вторник
условие
условие
Задачи на проценты
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
понедельник
понедельник
вторник
вторник
условие
условие
Задачи на проценты
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
понедельник
понедельник
вторник
вторник
условие
условие
0,96S
0,96S
Задачи на проценты
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
понедельник
понедельник
вторник
вторник
условие
условие
0,96S
0,96S
Задачи на проценты
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
понедельник
понедельник
вторник
вторник
условие
условие
0,96S
0,96S
Задачи на проценты
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
Задачи на проценты
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
рубашка
рубашка
рубашка
рубашка
КУРТКА
Задачи на проценты
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
рубашка
рубашка
рубашка
рубашка
КУРТКА
Задачи на проценты
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
рубашка
рубашка
рубашка
рубашка
КУРТКА
составляет цена 1 рубашки от цены куртки
Задачи на проценты
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
23
23
23
23
23
100
составляет цена 1 рубашки от цены куртки
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
МУЖ
ЖЕНА
ДОЧЬ
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
МУЖ
МУЖ
ЖЕНА
Дочь
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
МУЖ
МУЖ
ЖЕНА
Дочь
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
МУЖ
ЖЕНА
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
МУЖ
ЖЕНА
Задачи на проценты
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
МУЖ
ЖЕНА
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
начало
1-ый год
20000
2-ой год
?
условие
?
15842
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
начало
1-ый год
20000
2-ой год
?
условие
?
15842
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
1-ый год
1-ый год
2-ой год
2-ой год
условие
условие
15842
15842
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
начало
начало
1-ый год
1-ый год
2-ой год
2-ой год
условие
условие
15842
15842
Вероятности сложных событий
«Минимум для МАКСИМУМА»
Умеем:
- строить дерево вариантов
- находить вероятность события с помощью дерева вариантов
- применять формулу Бернулли
(7-9 класс)
(10-11 класс)
Вероятности сложных событий
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Вероятности сложных событий
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
+
–
1-ая попытка
Вероятности сложных событий
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
+
–
1-ая попытка
+
–
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
+
–
1-ая попытка
+
–
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
+
–
1-ая попытка
+
–
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
–
+
1-ая попытка
+
–
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Вероятности сложных событий
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Вероятности сложных событий
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Рассмотрим только благоприятные исходы
2
1
3
1-ый бросок
3, 4, 5, 6
2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Рассмотрим только благоприятные исходы
2
1
1-ый бросок
3
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 3, 4, 5, 6
3, 4, 5, 6
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Рассмотрим только благоприятные исходы
2
1
1-ый бросок
3
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 3, 4, 5, 6
3, 4, 5, 6
2-ая попытка
Вероятности сложных событий
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным . У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Вероятности сложных событий
+
–
заболевание
результат тестирования
+
–
+
–
Вероятности сложных событий
+
–
заболевание
результат тестирования
–
+
–
+
Вероятности сложных событий
–
+
заболевание
результат тестирования
–
+
–
+
Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Вероятности сложных событий
–
+
заболевание
результат тестирования
–
+
–
+
Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Вероятности сложных событий
–
+
заболевание
результат тестирования
–
+
–
+
0,0545
Вероятности сложных событий
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Вероятности сложных событий
+
–
заболевание
результат тестирования
+
–
+
–
Вероятности сложных событий
+
–
заболевание
результат тестирования
–
+
–
+
Вероятности сложных событий
+
–
заболевание
результат тестирования
–
+
–
+
Вероятности сложных событий
–
+
заболевание
результат тестирования
–
+
+
–
Вероятности сложных событий
–
+
заболевание
результат тестирования
–
+
+
–
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест , который оказался положительным . Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Вероятности сложных событий
–
+
заболевание
результат тестирования
–
+
+
–
Теория вероятности – подробнее
Что такое вероятность?
Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от ( 1) до ( 6).
Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало ( 5) или ( 6). И нам выпадает ( 5).
В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие.
Если бы выпало ( 6), событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.
А сколько неблагоприятных?
Раз всего возможных событий ( 6), значит, неблагоприятных из них ( 6-2=4) события (это если выпадет ( 1,text{ }2,text{ }3) или ( 4)).
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.
Обозначают вероятность латинской буквой ( p) (видимо, от английского слова probability – вероятность).
Принято измерять вероятность в процентах (см. темы “Дроби, рациональные числа” и “Проценты”).
Для этого значение вероятности нужно умножать на ( 100%).
В примере с игральной костью вероятность ( p=frac{благоприятных}{всего}=frac{2}{6}=frac{1}{3}).
А в процентах: ( p=frac{1}{3}cdot 100%=frac{100}{3}%approx 33,3%).
И еще события бывают зависимыми друг от друга и независимыми. Начнем с зависимых событий.
Зависимые события
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой ( 3) двери на выбор.
Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры ( 3), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.
Но каков этот шанс?
Дверей ( 3), нужная дверь ( 1). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: ( frac{1}{3}). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.
Мы хотим узнать, позвонив ( 1) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
1. Ты позвонил в 1-ю дверь
2. Ты позвонил в 2-ю дверь
3. Ты позвонил в 3-ю дверь
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:
а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью
Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.
Как видишь, всего возможно ( 9) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.
А благоприятных исходов всего ( 3). То есть ( 3) раза из ( 9) ты угадаешь, позвонив в дверь ( 1) раз, т.е. ( frac{3}{9}=frac{1}{3}).
Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.
Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:
( displaystyle p=frac{text{благоприятных}}{всего})
Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за ( displaystyle {{N}_{б}}) – количество благоприятных исходов, а за ( N) – общее количество исходов.
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N})
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на ( 100%):
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}cdot 100%)
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы».
Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.
Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.
Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что ( displaystyle frac{1}{3}), то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:
1. Позвонить в 1-ую дверь
2. Позвонить во 2-ую дверь
Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):
а. Друг за 1-ой дверью
б. Друг за 2-ой дверью
Давай снова нарисуем таблицу:
Как видишь, всего есть ( 4) варианта, ( 2) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна ( displaystyle frac{2}{4}=frac{1}{2}).
А почему не ( displaystyle frac{1}{3})?
Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?
Правильно, ( 0%).
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.
Независимые события
Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Хрестоматийный пример – бросание монетки.
Бросаем монетку ( 1) раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел?
Правильно: ( displaystyle frac{1}{2}), ведь вариантов всего ( 2) (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только ( 1).
Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же ( displaystyle frac{1}{2}).
Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на ( displaystyle 1001-й) раз будет все также ( displaystyle frac{1}{2}).
Вариантов всегда ( 2), а благоприятных – ( 1).
Отличить зависимые события от независимых легко:
Если эксперимент проводится ( 1) раз (( 1) раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают ( 5) раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет – независимые.
Ошибка игрока или ложный вывод Монте-Карло
Знаешь, то, что я описал сверху, очень хорошо отражает явление под названием ложный вывод Монте-Карло.
Попробуй придумать и записать на листочке результаты подбрасывания монетки.
А потом попробуй действительно подбрасывать монетку и записывать результат.
Спорим, я без труда определю, какую последовательность ты выдумал?
В реальной последовательности может абсолютно спокойно выпасть 18 решек подряд. А вот ты, составляя последовательность, когда-нибудь точно подумаешь: “Так, что-то многовато решек уже, пора бы и орлу появиться”
В этом и заключается ложный вывод Монте-Карло. В знаменитом казино Монте-Карло люди часто думают, что следующее событие как-то связано с предыдущим, например, ставят на красное, если ранее много раз выпало черное.
В действительности это не так.
А теперь давай немного потренируемся определять вероятность.
Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Всего их ( 3+2+2+1=8). ( displaystyle {{N}_{б}}=8).
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{8}{10}=0,8)
Так мы учились считать раньше, но сейчас, зная что такое полная вероятность, можно поступить немного проще.
Вероятность всех событий ( 1). А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) – ( displaystyle frac{2}{10}) .
Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер – ( displaystyle 1-frac{2}{10}=0,8).
Ответ: ( displaystyle 0,8)
Запомни:
Вероятность того, что событие НЕ произойдет, равна ( displaystyle 1) минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Что такое независимые события ты уже знаешь.
А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Можно конечно посчитать, но есть способ проще.
Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку ( 2) раза, мы два раза увидим орла?
Мы уже считали: ( p=0,25).
А если бросаем монетку ( 3) раза? Какова вероятность увидеть орла ( 3) раза подряд?
Всего возможных вариантов ( 8):
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Не знаю, как ты, но я ( 3) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только ( 1) вариант (первый).
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{1}{8})
Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.
Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.
Другими словами,
Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий
Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в ( 1) испытании? ( displaystyle frac{1}{2}). Теперь мы бросаем монетку ( 5) раз.
Какова вероятность выпадения ( 5) раз подряд орла?
( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}={{left( frac{1}{2} right)}^{5}}=frac{1}{32})
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.
Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при ( 3) бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка – ( displaystyle frac{1}{2}), орла – ( displaystyle frac{1}{2}).
Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}={{left( frac{1}{2} right)}^{4}}=frac{1}{16})
Можешь проверить сам, составив таблицу.
Правило сложения вероятностей несовместных событий
Так стоп! Новое определение.
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента.
Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её ( 3) раза. Возможные варианты:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Так вот, несовместные события – это определенная, заданная последовательность событий. ( 1),text{ }2),text{ }3),text{ }4)ldots text{ }8)) – это несовместные события.
Вероятности несовместных событий складываются.
Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий, то мы складываем вероятности этих событий.
Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события.
Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности ( 1)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{8})
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно ( 1) раз, т.е. варианты ( 4),text{ }6)) и ( 7)), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов ( 8), нам подходит ( 3).
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{3}{8})
То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
( displaystyle p={{p}_{4}}+{{p}_{6}}+{{p}_{7}}=frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}=frac{3}{8})
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.
Правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:
Опишите, что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ». Затем вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» – сложения.
Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку ( 3) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла ( 1) раз.
Что должно произойти?
Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:
( displaystyle left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)+left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)+left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)=frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}=frac{3}{8})
Давай рассмотрим несколько примеров.
Задачи смешанного типа
Пример 16.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?
Решение.
Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.
Есть простое правило для таких ситуаций.
Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ».
Например, в данном случае:
Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).
Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» – сложение:
( p=left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)+left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)=frac{1}{4}+frac{1}{4}=frac{1}{2}=0,5).
Попробуй сам:
- С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет ( 10) очков?
- Бросаем монетку ( 3) раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?
Решения:
На чтение 16 мин Просмотров 105к. Опубликовано 25 мая, 2018
Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.
Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда
Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1
Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.
Содержание
- Вероятность нескольких событий
- Задачи и решения задач на вероятность
- Вероятность нескольких событий
- Дополняющая вероятность
Вероятность нескольких событий
Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:
1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.
2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.
Задачи и решения задач на вероятность
Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.
Решение:
Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.
Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.
Вероятность тогда: 
Ответ: 0,8.
Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?
Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.
Вероятность что первый дежурный мальчик:
Вероятность что второй дежурный мальчик:
Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:
Ответ: 0,2.
Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.
Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.
Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.
Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.
Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.
Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.
Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.
Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).
Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.
Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.
Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.
Задача 10.
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.
Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?
Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.
Задача 11.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.
Задача 12. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.
Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.
Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.
Вероятность нескольких событий
Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
| Игра №1 | Игра №2 | Вероятность данного варианта |
| 3 | 1 | 0,4 · 0,2 = 0,08 |
| 1 | 3 | 0,2 · 0,4 = 0,08 |
| 3 | 3 | 0,4 · 0,4 = 0,16 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Решение:
Тип вопроса: уменьшение групп.
Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение:
Способ №1
Тип задачи: уменьшение групп.
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.
Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют в несколько вариантов:
Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Решение:
Тип задачи: уменьшение групп.
Способ №1
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:
Орёл ― решка ― орёл;
Орёл ― орёл ― решка;
Решка ― орёл ― орёл;
Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.
Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):
… США, КАН, КИТ …
… США, КИТ, КАН …
… КИТ, США, КАН …
… КАН, США, КИТ …
… КАН, КИТ, США …
… КИТ, КАН, США …
США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:
≈ 0,33.
Дополняющая вероятность
Задача 1.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.
Решение:
Существуют 2 варианта, которые нам подходят:
Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;
Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.
Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.
Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение:
Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).
Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.
Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.
Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.
Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.
Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.
Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.
Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):
| 11 апреля | 12 апреля | 13 апреля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,9 | X – 0,9 | O – 0,1 | 0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081 |
| X – 0,9 | O – 0,1 | O – 0,9 | 0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | O – 0,9 | O – 0,9 | 0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | X – 0,1 | O – 0,1 | 0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):
| 4 июля | 5 июля | 6 июля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,8 | X – 0,8 | O – 0,2 | 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128 |
| X – 0,8 | O – 0,2 | O – 0,8 | 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | O − 0,8 | O − 0,8 | 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | X – 0,2 | O – 0,2 | 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.