Задачи на вклады егэ профильный уровень как решать

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥ 

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2.      Приведём к общему знаменателю.  Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на 

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.

Комбинированные задачи.

В чем основная сложность «экономической» задачи.

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

1. Что принимается за 100%?
2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
3. Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

— процент банка,

— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

— сумма долга увеличивается в раз;

— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .

Вот что получается:

Раскроем скобки:

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

. В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

И выразим из этой формулы .

Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей.

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно,

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна После первой выплаты сумма долга равна после второй

Тогда первая выплата вторая выплата,

Последняя в году выплата

Сумма всех выплат в течение первого года:

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой   Обозначим эту сумму

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой Эту сумму обозначим

Общая сумма выплат за год:

тыс. рублей.

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

тысяч рублей.

Ответ: 1925 тыс. рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная			2100 — 1500 = 600 руб
жестяная			1750 — 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть и

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

Подставим в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при Тогда и максимально возможная прибыль завода за день равна

руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Вклады и кредиты

Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

         С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

•    выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению «Сложных процентов».

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

или (списание процентов)

Где S— размер первоначального вклада;

– размер вклада через n лет;
r — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

Решение.

S– вклад, S= 500 000 рублей,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

Можно использовать формулы:

Парная задача

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

Решение.

S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

x рублей- ежегодная выплата,

Sk=4x;

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.

Основные характеристики дифференцированного платежа

 1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;

4. Первый платеж самый большой;

5. Последний платеж самый маленький. 

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.

S–сумма кредита,

r=1% — ежемесячный процент по вкладу,

n=24 – срок кредитования

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.

Решение.

r% — ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Общая сумма выплат равна

Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;

2.6m<1.2; m<

Ответ: 7%.

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.

Использованная литература 

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.  

М.: 2020. — 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.  

4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.

3. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т. 

4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.  

М.: 2018. — 208 с.

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Задачи на вклады в профильном ЕГЭ
  Чудакова О.В.
  МОУ лицей г. Фрязино

• 

  2 слайд

  Проценты
  Определение. Процент – сотая часть величины или числа. Обозначается символом %.
  1 % = 1/100 = 0,01.
  Соотношения между десятичными дробями и процентами
  Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
  Например:   4 = 400%;   0.4 = 40%;   0.04 = 4%;   0.004 = 0.4%.
  Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
  Например:   500% = 5;   50% = 0.5;   5% = 0.05;   0.5% = 0.005.

• 

  3 слайд

   Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

• 

  4 слайд

  Наиболее распространенные типы задач на проценты
  Найти указанный процент от заданного числа.
  Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
  Найти процентное выражение одного числа от другого.
  Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
  Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
  Найти сложные проценты.

• 

  5 слайд

  Метод решения задач с процентами
  Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции.
  Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
  Всё – 100 %
  Часть – часть в %
  Далее записываем пропорцию: всё часть = 100 % часть в %

  Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.

• 

  6 слайд

  Формулы для решения задач на проценты
  1. Формула вычисления процента от заданного числа.
  Если дано число A и необходимо вычислить число B, составляющее P процентов от A, то
  В = А ∙ Р 𝟏𝟎𝟎 %
  2. Формула вычисления числа по его проценту.
  Если дано число B которое составляет P процентов от числа A и необходимо найти значение числа A, то
  А = В ∙𝟏𝟎𝟎% Р

• 

  7 слайд

  3. Формула вычисления процентного выражения одного числа от другого.
  Если дано два числа A и B и необходимо определить, какой процент составляет число B от числа A, то Р = В А ∙ 100 %
  4. Формула вычисления числа, которое больше исходного числа на заданный процент.
  Если дано число A и необходимо найти число B, которое на P процентов больше числа A, то
  В = А( 1 + Р 𝟏𝟎𝟎 % )

• 

  8 слайд

  5. Формула вычисления числа, которое меньше исходного числа на заданный процент.
  Если дано число A и необходимо найти число B, которое на P процентов меньше числа A, то
  В = А( 1 — Р 𝟏𝟎𝟎 % )

• 

  9 слайд

  6. Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое больше исходного на заданный процент.
  Если дано число B, которое на P процентов больше числа A и необходимо найти число A, то
  А = В ∙𝟏𝟎𝟎 % 𝟏𝟎𝟎 % + Р

  7. Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое меньше исходного на заданный процент.
  Если дано число B, которое на P процентов меньше числа A и необходимо найти число A, то
  А = В ∙𝟏𝟎𝟎 % 𝟏𝟎𝟎 % − Р

• 

  10 слайд

  8. Формула вычисления сложных процентов.
  В = А ( 1+ Р 100 % ) 𝑛
  где B — будущая стоимость;
  A — текущая стоимость;
  P — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
  n — количество расчетных периодов.

• 

  11 слайд

  1.  Ручка стоит 21 рубль. Сколько рублей заплатит покупатель за 70 ручек, если при покупке более 50 ручек магазин делает скидку 10 % от стоимости всей покупки?
  Решение: 21 ∙70 ∙ 90 100 = 1323 (руб.)
  Ответ: 1323 рубля.

  Примеры задач на проценты

• 

  12 слайд

  2. В школе немецкий язык изучают 189 учащихся, что составляет 35% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?
  Решение: 189 ∙100 35 = 540 ( учащихся).
  Ответ: 540.

  3. Магазин делает пенсионерам скидку. Десяток яиц в магазине стоит 35 рублей, а пенсионер заплатил за них 31 рубль 15 копеек. Сколько процентов составила скидка для пенсионера?
  Решение: 35 −31,15 35 ∙ 100 % = 11 %
  Ответ: 11

• 

  13 слайд

  4. а) На сколько процентов 5 больше, чем 4?
  б) На сколько процентов 4 меньше, чем 5?
  Решение: а) 4 — 100 %
  5 — х %
  х = 5 ∙100 4 = 125 %
  125 % — 100 % = 25%
  б) 5 – 100 %
  4 – у %
  у = 4 ∙100 5 = 80 %
  100 % — 80 % = 20 %
  Ответ: а) 25; б) 20

• 

  14 слайд

  5. а) Сколько процентов от 20 составляет 25?
  б) Сколько процентов от 25 составляет 20?
  Решение: а) 25 20 ∙ 100 % = 125 %
  б) 20 25 ∙ 100 % = 80 %
  Ответ: а) 125; б) 80

• 

  15 слайд

  6. Найти прибыль от 30000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.
  Решение: Используем формулу для вычисления сложных процентов:
  В = 30 000 ∙ ( 1+ 10 % 100 % ) 3 = 39 930.
  Прибыль равна 39 930 – 30 000 = 9 930 (руб.)
  Ответ: прибыль 9930 рублей.

• 

  16 слайд

  Банковский вклад (или банковский депозит) — сумма денег, переданная лицом кредитному учреждению с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.
  Вклады

• 

  17 слайд

  Задача 1. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?

  Задачи на вклады в ЕГЭ

• 

  18 слайд

  Решение:
  Пусть S руб. – первоначальная сумма вклада.
  n=3. r = 10%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,1

• 

  19 слайд

  Если бы вкладчик не производил промежуточных операций со вкладом, то через три года сумма вклада была бы равна S ∙ 1,1 3 ( рублей).
  Таким образом, сумма вклада в результате произведённых операций уменьшилась на 1,1 3 S −(1,1 3 S – 220) = 220 ( руб.)
  Ответ: на 220 рублей.

• 

  20 слайд

  Задача 2. Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?

• 

  21 слайд

  Решение:
  Алгебраический способ.
  S = 3600 тыс. руб. n = 3.
  r = 10%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,1.
  Пусть х тыс. руб. Владимир вносил на вклад второй и третий год.

• 

  22 слайд

  По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%, т. е. составил в конце третьего года 3600 ∙ 1, 485 = 5346 ( тыс. руб.)
  Составим уравнение:
  4791,6 + 2,31х = 5346
  2,31х = 554,4
  х = 240 ( тыс. руб.)
  Ответ: 240 тыс. рублей.

• 

  23 слайд

  Арифметический способ.

   1) 3600 · 1,485 = 5346 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения.
  2) 3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 4791,6 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения, зависящего от первоначально внесенной суммы.
  3) 5346 − 4791,6 = 554,4 тыс. руб. составляют ежегодные дополнительно внесенные вклады, включая начисленные процентные надбавки.
  4) Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. составляет дополнительно внесенная сумма в третий год хранения вклада вместе с процентной надбавкой, начисленной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть составит размер дополнительно внесенной суммы во второй год хранения вклада с учетом процентной надбавки, начисленной дважды (два года подряд).
  5) Всего 1+1,1 = 2,1 (части).
  6) 554,4 : 2,1 = 264 тыс. руб. — доля одной части от 554, 4 т. р. вместе с ежегодной процентной надбавкой.
  7) 264 : 1,1 = 240 тыс. руб. — сумма, ежегодно добавленная к вкладу.
  Ответ: 240 тыс. рублей.

• 

  24 слайд

  Задача 3. Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете у Василия через 4 года?

• 

  25 слайд

  Решение:
  Максимальная сумма на счёте будет в случае, если Василий все три раза воспользуется правом дополнительно внести 133 000 рублей на счёт.
  1) После первого года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 000 000 · 1,1 = 1 100 000 (руб.);
  После дополнительного пополнения счёта будет: 1 100 000 + 133 000 =  1 233 000 (руб.);
  2) После второго года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 233 000 · 1,1 = 1 356 300 (руб.);
  После дополнительного пополнения счёта бует:
  1 356 300 + 133000 = 1 489 300 (руб.);
  3) После третьего года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 489 300 · 1,1 = 1 638 230 (руб.);
  После дополнительного пополнения счёта будет: 1 638 230 + 133 000 = 1 771 230 (руб.);
  4) После четвертого года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 771 230 · 1,1 = 1 948 353 (руб.).

   Ответ: 1 948 353 рубля.

• 

  26 слайд

  Задача 4. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

• 

  27 слайд

  Решение:
  S руб. – первоначальный вклад
  n = 3. r = 10%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,1.
  Для Миши:
  1,1S – 5000 ( руб.) – будет на начало второго года
  2) 1,1(1,1S – 5000) + 5000 = 1, 21S – 500 (руб.)- будет на начало третьего года
  3) 1,1(1, 21S – 500)= 1,331S – 550 (руб.) – будет в конце третьего года после начисления процентов.

• 

  28 слайд

  Для Маши:
  1,1S + 5000 ( руб.) – будет на начало второго года
  2) 1,1(1,1S + 5000) — 5000 = 1, 21S + 500 (руб.)- будет на начало третьего года
  3) 1,1(1, 21S + 500)= 1,331S + 550 (руб.) – будет в конце третьего года после начисления процентов.
  У Маши будет больше, чем у Миши на
  (1,331S + 550) – (1,331S – 550) = 1 100 ( руб.)
  Ответ: больше будет у Маши на 1 100 рублей.

• 

  29 слайд

  Задача 5. 1 апреля 2017 г. Андрей Петрович положил 10 000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под a% годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на a%. Через 6 месяцев сумма вклада составила 10 500 рублей. Найдите a.

• 

  30 слайд

  Решение:
  S = 10 000 руб.
  r % — в месяц. К= 1 + 𝑟 100 . 𝑎 % — в год.
  Через 6 месяцев сумма вклада будет
  10 000 ∙ К 6 = 10 500 (руб.).Значит, К 6 = 1,05.
  Через 12 месяцев сумма вклада будет
  10 000 ∙ К 12 = 10 000 ∙ ( 1 + 𝑎 100 )
  Из последнего равенства выразим 𝑎: 𝑎 = ( К 12 — 1) ∙ 100. Теперь подставим К 6 = 1,05. Получим: 𝑎 = ( 1,05 2 — 1) ∙ 100 = 10,25.
  Ответ: 𝑎 = 10,25

• 

  31 слайд

  Задача 6. 1 апреля 2019 г. Андрей Петрович положил 10 000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под 21% годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на 21%. Через сколько месяцев сумма вклада впервые превысит 11 000 рублей?

• 

  32 слайд

  Решение:
  S = 10 000 руб.
  r% — в месяц. К= 1 + 𝑟 100 . a = 21 % — годовые.
  Через 12 месяцев сумма вклада будет
  10 000 ∙ К 12 , что по условию задачи составит 10 000 ∙ 1, 21 . Тогда К 12 = 1, 21.
  Надо найти наименьше натуральное число n, при котором выполняется неравенство
  10 000 ∙ К n > 11 000.
  К n > 1,1; К n > 1, 21 ; К n > К 12 ; К n > К 6 ; К > 6 ( т. к. К > 1). Значит, К = 7.
  Ответ: 7.

• 

  33 слайд

  Задача 7. По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение – 25 млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн. рублей и в первый и во второй годы, а также целое число m млн. рублей и в третий и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

• 

  34 слайд

  Решение:
  S = 25 млн. руб.
  r = 20%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,2.

• 

  35 слайд

  1) Необходимо, чтобы выполнялось неравенство 36 + 2,2n ≥ 50.
  2,2 n ≥ 14; n ≥ 140 22 ; n ≥ 70 11 ; n ≥ 6 4 11 .
  Значит, n = 7.
  При найденном значении n, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
  1,2(43,2 + 2,64 ∙ 7 + m) + m ≥ 100.
  2,2 m ≥ 25,984; m ≥ 25984 2200 ; m ≥ 12992 1100 .
  Значит, m = 12.
  Ответ: n = 7; m = 12.

• 

  36 слайд

  Задача 8. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

• 

  37 слайд

  Решение:
  S = 3900 тыс. руб. r = 50%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,5.
  Т. к. к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то к концу пятого года вклад стал 3900 ∙ 8,25 ( тыс. руб.)

• 

  38 слайд

  Теперь составим и решим уравнение:
  1,5(19743,75 + 8,125х) = 3900 ∙ 8, 25
  19743,75 + 8,125х = 3900 ∙8,25 ∙2 3
  19743,75 + 8,125х = 16,5 ∙ 1300
  157950 + 65х = 171600
  65х = 13650
  х = 210 (тыс. руб.)
  Ответ: 210 тыс. рублей.

• 

  39 слайд

  Задача 9. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

• 

  40 слайд

  Решение:
  Пусть S — сумма вклада, а х — наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А». К= 1 + х 100
  По вкладу «А» через три года будет 1,1 3 ∙ S.
  По вкладу «Б» через три года будет 1,11 2 ∙ К ∙ S.
  Составим неравенство: 1,11 2 ∙ К ∙ S > 1,1 3 ∙ S.
  К > 13310 12321
  Тогда 1 + х 100 > 13310 12321 ; х 100 > 989 12321 ; х > 98900 12321 .
  Отсюда, наименьшее целое х = 9.
  Ответ: 9%.

• 

  41 слайд

  № 1. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором вложенные в проект средства за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
  Ответ: 57 миллионов руб.

  Задачи для самостоятельного решения

• 

  42 слайд

  № 2. Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
  Ответ: у Саши, на 1155 рублей.

• 

  43 слайд

  № 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
  Ответ: 19%.

• 

  44 слайд

  https://sdamgia.ru/
  ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты/под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование».
  Источники информации

Краткое описание документа:

Презентация «Задачи на вклады в профильном ЕГЭ» предназначена для подготовки к решению задачи 17 профильного ЕГЭ по математике. Она даст возможность обучающимся повторить теорию по теме «Проценты».

Кроме этого презентация содержит ряд задач с решениями на банковские вклады, которые соответствуют заданиям 17 профильного ЕГЭ. Материал позволит обучающимся изучить пути подхода к решению задач такого типа.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 153 784 материала в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания конституционного права с учетом реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация менеджмента в туризме»

• Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»

• Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»

• Курс повышения квалификации «Актуальные вопросы банковской деятельности»

• Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»

• Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности специалиста оценщика-эксперта по оценке имущества»

• Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Осуществление и координация продаж»

• Курс профессиональной переподготовки «Стратегическое управление деятельностью по дистанционному информационно-справочному обслуживанию»

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.