Задачи на вклады егэ профильный уровень с решением - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Источник

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский вклад

Банковский вклад — это сумма денег, переданная банку на хранение с целью получить доход в виде начисленных процентов.

Раз в какой-то промежуток времени (в задачах это, как правило, месяц или год) банк начисляет на текущую сумму некоторое количество (r%) процентов.

Раз в год после начисления процентов клиент, как правило, имеет право доложить на счет любую сумму денег. Также клиент имеет право снимать со счета любую сумму (естественно, не превышающую имеющуюся). Время, когда он может это сделать, указывается в задаче.

Пример: В январе (2014) года клиент положил в банк (30,000) рублей под (10%) годовых, которые банк начисляет раз в год в декабре. Сколько рублей будет на счете у клиента в январе (2017) года?

То, что банк начисляет на текущую сумму (10%), значит, что после начисления процентов сумма будет составлять (110%) от суммы, находящейся на счете до начисления процентов.
Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма на счете до начисления} %&text{Сумма на счете после начисления} %\
&text{(январь)}&text{(декабрь)}\
hline 2014&30,000&1,1cdot 30,000\
hline 2015&1,1cdot 30,000&1,1^2cdot 30,000\
hline 2016&1,1^2cdot 30,000&1,1^3cdot 30,000\
hline
end{array}]

Таким образом, в декабре (2016) года после начисления процентов на счете у клиента будет (1,1^3cdot 30,000) рублей. Эта же сумма будет у него на счете и в январе (2017) года (т.к. проценты начисляются только в декабре).

Значит, ответом будет (39,930) рублей.

Задание
1

#2934

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Клиент вложил некоторую сумму под (10%) годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он снял со своего счета (10%) от имеющейся на тот момент суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он доложил на счет (10%) от имеющейся суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов.

Пусть клиент сделал вклад в размере (A) рублей. Тогда после начисления процентов в первый год на счете у него уже будет (1,1A) рублей. Так как он снял (10%) от этой суммы, то у него осталось (90%) или (0,9cdot 1,1A) рублей.
Тогда в конце второго года банк снова начислил проценты и сумма на счете стала равна (1,1cdot (0,9cdot 1,1A)) рублей. Далее он доложил (10%), следовательно, на счете у него стало (110%) или (1,1cdot (1,1cdot (0,9cdot 1,1A))) рублей.
На третьем году после начисления процентов у него стало (1,1cdot
1,1cdot (1,1cdot (0,9cdot 1,1A))) рублей.
Удобно следить за данными операциями, составив таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& 1,1A& -,0,1cdot (1,1A)\
hline 2&0,9cdot (1,1A)& 1,1cdot (0,9cdot 1,1A)& +,0,1cdot (1,1cdot 0,9cdot 1,1A)\
hline 3& 1,1cdot (1,1cdot 0,9cdot 1,1A)& 1,1cdot (1,1cdot 1,1cdot 0,9cdot 1,1A)&\
hline
end{array}]
Следовательно, на счете у него стало [1,1^4cdot 0,9A=1,31769A,] что больше первоначального вклада (A) на (31,769%).

Ответ: 31,769

Задание
2

#2841

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Владелец автосалона решил разделить свой капитал на (3) части и вложить их в (3) различных банка, причем годовые процентные ставки в этих банках относятся как (2:3:5). В каком отношении он должен поделить свой капитал, чтобы через год чистая прибыль от вкладов во всех трех банках была одинакова?

Обозначим за (2y) процентную ставку в первом банке, тогда в остальных банках ставки будут (3y%) и (5y%). Пусть вклад в первый банк составил (A_{1}), во второй – (A_{2}), в третий – (A_{3}). Составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Банк}&text{Размер вклада до} &text{Размер вклада после} &text{Чистая прибыль}\
&text{начисления }%&text{начисления }%&\
hline &&&\
1&A_{1} &dfrac{100+2y}{100}cdot A_{1}&A_{1}cdot left(dfrac{100+2y}{100}-1right)\
&&&\
hline &&&\
2&A_{2} &dfrac{100+3y}{100}cdot A_{2}&A_{2}cdot left(dfrac{100+3y}{100}-1right)\
&&&\
hline &&&\
3&A_{3} &dfrac{100+5y}{100}cdot A_{3}&A_{3}cdot left(dfrac{100+5y}{100}-1right)\
&&&\
hline
end{array}]

Т.к. чистая прибыль во всех банках должна быть одинакова, то

(A_{1}cdot left(dfrac{100+2y}{100}-1right)=A_{2}cdot
left(dfrac{100+3y}{100}-1right)=A_{3}cdot
left(dfrac{100+5y}{100}-1right)
Leftrightarrow )

(2A_{1}=3A_{2}=5A_{3} Rightarrow A_{1}:A_{2}:A_{3}=15:10:6).

Ответ:

(15:10:6).

Задание
3

#2840

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Алексей решил внести некоторую сумму (A) рублей в банк под целое число (y) процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка (y) должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее (8A) рублей?

Составим таблицу, обозначив за (t=dfrac{100+y}{100}): [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма на счете} & text{Сумма на счете} & text{Сумма на счете}\
& text{до начисления }% & text{после начисления }% & text{после дополнительного взноса} \
hline &&&\
1 & A & tA & tA+frac{1}{2}A\
&&&\
hline &&&\
2 & tA+frac{1}{2}A & t(tA+frac{1}{2}A) & t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A) \
&&&\
hline &&&\
3 & t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A) & t(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A)) & t(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))+\
&&&\
&&& +frac{1}{2}(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))\
&&&\
hline
end{array}]

По условию итоговая сумма на счете должна быть не менее (8A
Rightarrow)

(t(t(tA+frac{A}{2})+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))+frac{1}{2}(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))
geqslant 8A)

Преобразовав левую часть неравенства, получим:

(t^3A+dfrac{3t^2A}{2}+dfrac{3tA}{4}+dfrac{A}{8} geqslant 8A
Longleftrightarrow dfrac{A(2t+1)^3}{8} geqslant 8A)

Решив данное неравенство, получим: (t geqslant 1,5 Rightarrow y
geqslant
50)

Таким образом, наименьшее целое значение (y=50%).

Ответ:

(50%).

Задание
4

#2936

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке оформили два одинаковых вклада под один и тот же процент годовых на 3 года. По первому вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года (после начисления процентов) со счета было снято (20%) от имеющейся там суммы, а в конце второго (после начисления процентов) доложено (30%) от имеющейся там суммы. По второму вкладу: в конце первого года (после начисления процентов) на счет было доложено (20%) от имеющейся там суммы, а в конце второго (после начисления процентов) снято (30%) от имеющейся там суммы.
Определите, на каком из двух счетов в конце третьего года после проделанных действий оказалось больше денег? Найдите отношение суммы, находящейся на первом счете, к сумме, находящейся на втором счете.

Пусть оба вклада были размером (A) рублей. Пусть после начисления процентов вклад увеличивался в (t) раз.

Составим таблицу для первого вклада: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& -,0,2cdot (tA)\
hline 2&0,8cdot (tA)& tcdot (0,8cdot tA)
& +,0,3cdot (tcdot 0,8cdot tA)\
hline 3& 1,3cdot (tcdot 0,8cdot tA)& tcdot (1,3cdot tcdot 0,8cdot tA)&\
hline
end{array}]

Следовательно, в конце третьего года на счете было [1,3cdot
0,8cdot t^3A=1,04t^3A quad {small{text{рублей.}}}]

Составим таблицу для второго вклада: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& +,0,2cdot (tA)\
hline 2&1,2cdot (tA)& tcdot (1,2cdot tA)
& -,0,3cdot (tcdot 1,2cdot tA)\
hline 3& 0,7cdot (tcdot 1,2cdot tA)& tcdot (0,7cdot tcdot 1,2cdot tA)&\
hline
end{array}]

Следовательно, в конце третьего года на счете было [1,2cdot
0,7cdot t^3A=0,84t^3A quad {small{text{рублей.}}}]

Заметим, что по первому вкладу на счете оказалась большая сумма. Отношение равно [1,04:0,84=26:21.]

Ответ:

26:21

Задание
5

#2935

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Ваня сделал вклад в банке на 3 года. Раз в год банк начисляет на сумму, находящуюся на счете, некоторое количество процентов. У Вани есть возможность в один из первых двух лет (после начисления процентов) снять со счета (20%) от имеющейся там суммы, а в другой год (из первых двух лет) — доложить также (20%) от имеющейся там суммы. Или сделать наоборот. Определите, какое из этих действий спустя 3 года принесет Ване большую выгоду и сколько процентов составит эта выгода?

Пусть Ваня положил в банк (A) рублей. Пусть каждый год банк увеличивает сумму, находящуюся на счете, в (t) раз. Рассмотрим два случая:

1) сначала он снял (20%), затем доложил. [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& -,0,2cdot (tA)\
hline 2&0,8cdot (tA)& tcdot (0,8cdot tA)
& +,0,2cdot (tcdot 0,8cdot tA)\
hline 3& 1,2cdot (tcdot 0,8cdot tA)& tcdot (1,2cdot tcdot 0,8cdot tA)&\
hline
end{array}]

2) сначала он доложил (20%), затем снял. [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& +,0,2cdot (tA)\
hline 2&1,2cdot (tA)& tcdot (1,2cdot tA)
& -,0,2cdot (tcdot 1,2cdot tA)\
hline 3& 0,8cdot (tcdot 1,2cdot tA)& tcdot (0,8cdot tcdot 1,2cdot tA)&\
hline
end{array}]

Таким образом, мы видим, что в обоих случаях в конце третьего года на счете у Вани будет [0,8cdot 1,2cdot t^3A quad {small{text{рублей.}}}]

Следовательно, выгода составляет (0%).

Ответ: 0

Задание
6

#2937

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В феврале женщина оформила в банке вклад на 4 года. Каждый год в ноябре банк начисляет на вклад (8%). В декабре первого года пользования услугами данного банка женщина решила купить квартиру и сняла для этой цели со своего счета (8) млн. рублей. Ровно через два года она продала эту квартиру и сразу же вернула на счет в банке те же (8) млн. рублей. Определить, сколько рублей потеряла по истечении срока действия вклада из-за подобных действий эта женщина.

Пусть размер вклада составил (A) млн. рублей. Составим таблицу, описывающую действия, происходившие со вкладом: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма в феврале}
&text{Сумма в ноябре}&text{Манипуляции}\
hline 1& A & 1,08A & -,8\
hline 2& 1,08A-8 & 1,08 (1,08A-8) & \
hline 3& 1,08 (1,08A-8) & 1,08^2 (1,08A-8) & +,8\
hline 4&1,08^2 (1,08A-8)+8 & 1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)&\
hline
end{array}]

Таким образом, спустя четыре года на счете у женщины было [1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)=1,08^4A-8cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1) quad {small{text{млн. рублей}}}]

Если бы она не совершала данные манипуляции, то каждый год ее вклад увеличивался бы в (1,08) раз и к концу четвертого года составил бы (1,08^4A) млн. рублей. Следовательно, из-за подобных действий ее вклад уменьшился на [8cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1)=8cdot 1,08cdot 0,08cdot 2,08=1,437696quad {small{text{млн. рублей}}}]

Ответ:

(1,437,696) рублей

Задание
7

#2932

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В январе 2014 года Андрей сделал вклад в размере (6,640,000) рублей под (y) процентов годовых. В феврале 2014 года он захотел купить квартиру стоимостью (9) млн. рублей, но решил для этого взять кредит под (21%) годовых на 15 лет, который необходимо выплачивать дифференцированными платежами. Найдите наименьшее число (y), чтобы процентов, начисляемых на его вклад каждый год, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Заметим, что так как кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами, то из их определения следует, что первый платеж по кредиту будет наибольшим среди всех платежей.
Так как каждый платеж по такому кредиту состоит из двух частей: (frac1{15}) часть от (9) млн. рублей плюс проценты, “набежавшие” на долг за текущий год, то первый платеж будет равен [dfrac1{15}cdot 9000+0,21cdot 9000 {small{text{тыс. рублей.}}}] (так как в первый год пользования кредитом долг равен (9) млн. рублей или, что то же самое, (9000) тыс. рублей)

Рассмотрим вклад. В первый год на вклад “набегут” проценты в размере (0,01ycdot 6640) тыс. рублей. Этой суммы должно хватить для того, чтобы сделать первый платеж. Следовательно, [0,01ycdot 6640geqslant dfrac1{15}cdot 9000+0,21cdot 9000 qquad (*)]

Заметим, что таким образом, если он снимет в первый год со счета не более (0,01ycdot 6640) тыс. рублей, то на счете у него останется как минимум (6640) тыс. рублей, то есть точно не меньше, чем было в начале первого года. Следовательно, “набежавших” процентов во второй год также хватит на то, чтобы сделать второй платеж (ведь он меньше первого платежа!). Такое же рассуждение относится и к всем следующим годам.
Следовательно, нам важно, чтобы именно первых “набежавших” процентов хватило на то, чтобы сделать первый платеж.

[ygeqslant dfrac{83}3cdot dfrac{9000}{6640} quadRightarrowquad
ygeqslant dfrac{3000}{80}=37frac12]

Следовательно, наименьшее подходящее (y) равно (37,5%).

Ответ: 37,5

Во время сдачи ЕГЭ по математике многие выпускники сталкиваются с проблемой решения задач по банковским вкладам и кредитам. Данная тематика встречается в тестовых заданиях довольно редко, поэтому ей уделяется недостаточно внимания при подготовке. Чтобы легко справляться с упражнениями, обращайтесь к нашему онлайн-порталу. Вы научитесь быстро находить правильные ответы и сможете решать примеры различной сложности.

«Школково» — залог успешной сдачи заключительного аттестационного тестирования!

На нашем сайте представлены все материалы, которые необходимы для подготовки к Единому государственному экзамену по математике. Наши преподаватели собрали и подали информацию по теме в наиболее простой и понятной форме. Благодаря такому подходу занятия проходят быстро и легко.

Чтобы подготовка к итоговому тестированию проходила максимально результативно, советуем воспользоваться предложенным нами алгоритмом действий.

Зайдите в раздел «Теоретическая справка», где размещены самые необходимые правила, формулы и простейшие примеры решения типовых экономических задач. Внимательно ознакомьтесь с материалами.

После этого переходите в раздел «Каталоги». Там собрано множество упражнений различного уровня сложности. Советуем начать с простых задач и постепенно переходить к более трудным. Так вы сможете определить свои слабые стороны и сделать упор на решении определенных упражнений.

Если у вас возникли проблемы с каким-либо примером на тему «Решение задач по банковским вкладам и кредитам», его можно добавить в «Избранное». Задание не потеряется, и вы сможете вернуться к его выполнению самостоятельно или вместе с преподавателем.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется. Поэтому школьники каждый день получают совершенно новые задания, соответствующие уровню их текущих навыков. Такой подход значительно отличается от стандартных занятий с использованием школьных пособий. Выпускники совершенствуют свои знания, а не просто заучивают, как решать типовые примеры, предложенные в учебниках.

Начните подготовку на портале «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Всего через несколько дней регулярных занятий вы заметите, что с легкостью справляетесь с теми упражнениями, которые ранее вызывали сложности.

Обратите внимание, что на нашем портале могут заниматься все желающие. Для того чтобы сохранить и отслеживать прогресс, зарегистрируйтесь на официальном сайте shkolkovo.net. Желаем приятной подготовки к Единому государственному экзамену!

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике – это задача с экономическим содержанием.

Это может быть задача на кредиты и вклады. Или на нахождение наибольшего (наименьшего) значения какой-либо функции (прибыли, зарплат, времени работы). Мы разберем и те, и другие.

Начнем с задач о кредитах и вкладах. Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ из Банка заданий ФИПИ, подумаем – как вообще работает банк?

Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10 % годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под 30 % годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).

Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.

Вспомним формулы из темы «Проценты». Без них задачи на кредиты и вклады не решить!

Сначала — несколько контрольных вопросов:

1. Что принимается за 100%?

2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?

3. Величина y дважды увеличилась на р%. Как это записать?

И ответы на вопросы:

1. за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

2. если величину x увеличить на p процентов, получим $xcdot left ( 1+frac{p}{100} right )$ ;

если величину x уменьшить на p процентов, получим
$xcdot left ( 1-frac{p}{100} right )$ ;

если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим $xcdot left ( 1+frac{p}{100} right )cdot left ( 1-frac{q}{100} right )$ ;

3. если величину x дважды увеличить на p процентов, получим $xcdot left ( 1+frac{p}{100} right )^{2}$ ;

4. если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим $xcdot left ( 1-frac{p}{100} right )^{2}$ .

Вот простая подготовительная задача.

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Пусть банк начисляет p% в год.

У клиента А после начисления процентов через год сумма вклада станет равной $7700left ( 1+frac{p}{100} right )$ . Соответственно, через два года эта сумма станет равной $7700left ( 1+frac{p}{100} right )^{2}$

Клиент В сделал вклад позже, чем клиент А, на год. У него сумма вклада через год станет равной $7700left ( 1+frac{p}{100} right )$ .

Так как клиент А получил на 847 рублей больше клиента В, то
$7700left ( 1+frac{p}{100} right )^{2}-7700left ( 1+frac{p}{100} right )=847$

Вынесем 7700 за скобки:
$7700left (left ( 1+frac{p}{100} right )^{2}-left ( 1+frac{p}{100} right ) right )=847$

Чтобы не получить квадратное уравнение с огромными коэффициентами, сократим обе части уравнения на 77.

$100left (left ( 1+frac{p}{100} right )^{2}-left ( 1+frac{p}{100} right ) right )=11$

Сделаем замену $1+frac{p}{100}=k$
$100left ( k^{2}-k right )=11$

$100k^{2}-100k=11$

$100k^{2}-100k-11=0$

Его корни $x_{1}=-0,1$ и $x_{2}=1,1$ . Отрицательный корень нам не подходит, поэтому x=1,1 .

Сделав обратную замену, получим

$1+frac{p}{100}=1,1$

Отсюда p = 10%.

Ответ: 10.

Еще одна задача – на этот раз о кредите.

2. Костя оформил кредитную карту на 244 тысячи рублей под 25% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?

Обозначим сумму кредита , где рублей.

Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна
$left ( 1+frac{25}{100} right )S=frac{5}{4}S=kS$ .

Переменная — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов;
$k=1+frac{p}{100}$ , где – процентная ставка банка.

Костя обязан ежегодно выплачивать банку рублей. После первой выплаты сумма долга равна $frac{5}{4}S-X=kS-X$ рублей.

Банк снова начисляет р процентов, и сумма долга становится равна
рублей, где $k=1,25=frac{5}{4}$ . Костя снова перечисляет в банк рублей.

Теперь сумма долга равна
рублей.

Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна
рублей.

И снова Костя переводит в банк рублей. Теперь его долг равен нулю.

Выразим Х (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:
$Sk^{3}-Xleft ( k^{2}+k+1 right )=0$ ;
$X=frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}$ .Осталось подставить числовые данные.

Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение возьмем равным $frac{5}{4}$ . Это удобнее для расчетов, чем 1,25 .

$X=frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}=frac{244cdot 5^{3}}{4^{3}left ( left ( frac{5}{4} right )^{2}+frac{5}{4}+1 right )}=frac{244cdot 125}{64left ( frac{25}{16} +frac{5}{4}+1right )}=frac{244cdot 125}{100+80+64}=125$ тысяч рублей.

Всего Костя выплатит банку 3X=375 тысяч рублей, что на 375 – 244 = 131 тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.

Вот задача на вклады, где надо составить, упростить и решить систему уравнений. Постарайтесь справиться самостоятельно.

3. В начале года $frac{5}{6}$ некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е. (условных единиц), к концу следующего — 749 у. е. Если бы первоначально $frac{5}{6}$ суммы было вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

Пусть первоначальная сумма равна – чтобы удобнее было записать $frac{1}{6}$ и $frac{5}{6}$ этой суммы.

Пусть банк A начисляет p процентов годовых. Тогда сумма, внесенная на счет в банке А, за год увеличивается в $1+frac{p}{100}=k$ раз, а за 2 года в $k^{2}$ раз.

Банк Б начисляет q процентов годовых. За год сумма, внесенная на счет в банке Б, увеличивается в $1+frac{q}{100}=m$ раз, а за 2 года в $m^{2}$ раз.

Надо найти $Sk^{2}+5Sm^{2}$ . Составим систему уравнений:

$left{begin{matrix}5Sk+Sm=670 ;;;;(1)\5Sk^{2}+Sm^{2}=749 ;;(2)\Sk+5Sm=710;;;;;(3)end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix}6Sleft ( m+k right )=1380\4Sleft ( m-k right )=40\5Sk^{2}+Sm^{2}=749end{matrix}right.Leftrightarrow$
$Leftrightarrowleft{begin{matrix}m+k=frac{230}{S}\m-k=frac{10}{S}\5Sk^{2}+Sm^{2}=749end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix}2m=frac{240}{S}vspace{2mm}\2k=frac{220}{S}vspace{2mm}\5Sk^{2}+Sm^{2}=749end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix}m=frac{120}{S} vspace{2mm}\k=frac{110}{S} vspace{2mm}\5Sk^{2}+Sm^{2}=749end{matrix}right.$

Подставим значения m и k в третье уравнение:

$Sleft ( 5cdot frac{110^{2}}{S^{2}} +frac{120^{2}}{S^{2}}right )=749$

$frac{100}{S}cdot left ( 5cdot 121+144 right )=749$

$frac{100}{S}cdot749=749$

S=100 .

Осталось вычислить $Sk^{2}+5Sm^{2}$ .

Ответ: 841.

Пора переходить к реальным задачам ЕГЭ о кредитах (задачи на вклады решаются похожим способом).

Запомним – есть всего две схемы решения задач на кредиты.

Первая – когда выплаты производятся равными платежами. Или есть информация о платежах.

Вторая – когда сумма долга уменьшается равномерно. Или есть информация о том, как уменьшается сумма долга.

Начнем с первой схемы.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Вклады и кредиты

Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

• выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению «Сложных процентов».

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

или (списание процентов)

Где S— размер первоначального вклада;

– размер вклада через n лет;
r — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

Решение.

S– вклад, S= 500 000 рублей,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

Год	Сумма на счете в начале года	Сумма на счете после начисления %	Платеж	Остаток на счете в конце года
1	S	Sm	x	Sm+x
2	Sm+x	Sm²+xm	x	Sm²+xm+x
3	Sm²+xm+x	Sm³+xm²+xm	x	Sm³+xm²+xm+x
4	Sm³+xm²+xm+x	Sm⁴+xm³+xm²+xm	—	Sm⁴+xm³+xm²+xm

Можно использовать формулы:

Парная задача

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

Решение.

S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

x рублей- ежегодная выплата,

Год	Сумма на счете в начале года	Сумма на счете после начисления %	Платеж	Остаток на счете в конце года
1	S	Sm	x	Sm-x
2	Sm—x	Sm²—xm	x	Sm²-xm-x
3	Sm2—xm—x	Sm³—xm²—xm	x	Sm³-xm²-xm-x
4	Sm3—xm2—xm—x	Sm⁴—xm³—xm²—xm	x	Sm⁴-xm³—xm²-xm-x

Sk=4x;

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.

Основные характеристики дифференцированного платежа

1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;

4. Первый платеж самый большой;

5. Последний платеж самый маленький.

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.

S–сумма кредита,

r=1% — ежемесячный процент по вкладу,

n=24 – срок кредитования

Месяц	Сумма на счете в начале месяца	Погашение % по вкладу	Погашение тела кредита	Общие ежемесячные выплаты	Остаток на счете в конце месяца
1 год
1	S
2
3
…	…	…	….	…	…
12
2 год
13
…	…	…	…	…	…
24

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. рублей)	1	0.6	0.4	0.3	0.2	0.1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.

Решение.

r% — ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Месяц	Сумма на счете в начале месяца	Сумма на счете после начисления %	Платеж	Остаток на счете в конце месяца
1	1	1m	m-0.6	0.6
2	0,6	0.6m	0.6m-0.4	0.4
3	0,4	0.4m	0.4m-0.3	0.3
4	0,3	0.3m	0.3m-0.2	0.2
5	0,2	0.2m	0.2m-0.1	0.1
6	0,1	0.1m	0.1m	0

Общая сумма выплат равна

Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;

2.6m<1.2; m<

Ответ: 7%.

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.

Использованная литература

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.

М.: 2020. — 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.

4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.

3. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т.

4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.

М.: 2018. — 208 с.

Источник

На чтение 12 мин Просмотров 33.4к. Опубликовано 7 февраля, 2019

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Содержание

Вклады и кредиты
Акции и другие ценные бумаги
Методы оптимальных решений
Примеры решения задач

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

Приведём к общему знаменателю. Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение:

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 411 человек из 63 регионов

Сейчас обучается 267 человек из 63 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Задачи на вклады в профильном ЕГЭ
Чудакова О.В.
МОУ лицей г. Фрязино
2 слайд

Проценты
Определение. Процент – сотая часть величины или числа. Обозначается символом %.
1 % = 1/100 = 0,01.
Соотношения между десятичными дробями и процентами
Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
Например: 4 = 400%; 0.4 = 40%; 0.04 = 4%; 0.004 = 0.4%.
Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
Например: 500% = 5; 50% = 0.5; 5% = 0.05; 0.5% = 0.005.
3 слайд

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.
4 слайд

Наиболее распространенные типы задач на проценты
Найти указанный процент от заданного числа.
Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
Найти процентное выражение одного числа от другого.
Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
Найти сложные проценты.
5 слайд

Метод решения задач с процентами
Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции.
Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
Всё – 100 %
Часть – часть в %
Далее записываем пропорцию: всё часть = 100 % часть в %

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.
6 слайд

Формулы для решения задач на проценты
1. Формула вычисления процента от заданного числа.
Если дано число A и необходимо вычислить число B, составляющее P процентов от A, то
В = А ∙ Р 𝟏𝟎𝟎 %
2. Формула вычисления числа по его проценту.
Если дано число B которое составляет P процентов от числа A и необходимо найти значение числа A, то
А = В ∙𝟏𝟎𝟎% Р
7 слайд

3. Формула вычисления процентного выражения одного числа от другого.
Если дано два числа A и B и необходимо определить, какой процент составляет число B от числа A, то Р = В А ∙ 100 %
4. Формула вычисления числа, которое больше исходного числа на заданный процент.
Если дано число A и необходимо найти число B, которое на P процентов больше числа A, то
В = А( 1 + Р 𝟏𝟎𝟎 % )
8 слайд

5. Формула вычисления числа, которое меньше исходного числа на заданный процент.
Если дано число A и необходимо найти число B, которое на P процентов меньше числа A, то
В = А( 1 — Р 𝟏𝟎𝟎 % )
9 слайд

6. Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое больше исходного на заданный процент.
Если дано число B, которое на P процентов больше числа A и необходимо найти число A, то
А = В ∙𝟏𝟎𝟎 % 𝟏𝟎𝟎 % + Р

7. Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое меньше исходного на заданный процент.
Если дано число B, которое на P процентов меньше числа A и необходимо найти число A, то
А = В ∙𝟏𝟎𝟎 % 𝟏𝟎𝟎 % − Р
10 слайд

8. Формула вычисления сложных процентов.
В = А ( 1+ Р 100 % ) 𝑛
где B — будущая стоимость;
A — текущая стоимость;
P — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.
11 слайд

1. Ручка стоит 21 рубль. Сколько рублей заплатит покупатель за 70 ручек, если при покупке более 50 ручек магазин делает скидку 10 % от стоимости всей покупки?
Решение: 21 ∙70 ∙ 90 100 = 1323 (руб.)
Ответ: 1323 рубля.

Примеры задач на проценты
12 слайд

2. В школе немецкий язык изучают 189 учащихся, что составляет 35% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?
Решение: 189 ∙100 35 = 540 ( учащихся).
Ответ: 540.

3. Магазин делает пенсионерам скидку. Десяток яиц в магазине стоит 35 рублей, а пенсионер заплатил за них 31 рубль 15 копеек. Сколько процентов составила скидка для пенсионера?
Решение: 35 −31,15 35 ∙ 100 % = 11 %
Ответ: 11
13 слайд

4. а) На сколько процентов 5 больше, чем 4?
б) На сколько процентов 4 меньше, чем 5?
Решение: а) 4 — 100 %
5 — х %
х = 5 ∙100 4 = 125 %
125 % — 100 % = 25%
б) 5 – 100 %
4 – у %
у = 4 ∙100 5 = 80 %
100 % — 80 % = 20 %
Ответ: а) 25; б) 20
14 слайд

5. а) Сколько процентов от 20 составляет 25?
б) Сколько процентов от 25 составляет 20?
Решение: а) 25 20 ∙ 100 % = 125 %
б) 20 25 ∙ 100 % = 80 %
Ответ: а) 125; б) 80
15 слайд

6. Найти прибыль от 30000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.
Решение: Используем формулу для вычисления сложных процентов:
В = 30 000 ∙ ( 1+ 10 % 100 % ) 3 = 39 930.
Прибыль равна 39 930 – 30 000 = 9 930 (руб.)
Ответ: прибыль 9930 рублей.
16 слайд

Банковский вклад (или банковский депозит) — сумма денег, переданная лицом кредитному учреждению с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.
Вклады
17 слайд

Задача 1. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?

Задачи на вклады в ЕГЭ
18 слайд

Решение:
Пусть S руб. – первоначальная сумма вклада.
n=3. r = 10%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,1
19 слайд

Если бы вкладчик не производил промежуточных операций со вкладом, то через три года сумма вклада была бы равна S ∙ 1,1 3 ( рублей).
Таким образом, сумма вклада в результате произведённых операций уменьшилась на 1,1 3 S −(1,1 3 S – 220) = 220 ( руб.)
Ответ: на 220 рублей.
20 слайд

Задача 2. Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?
21 слайд

Решение:
Алгебраический способ.
S = 3600 тыс. руб. n = 3.
r = 10%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,1.
Пусть х тыс. руб. Владимир вносил на вклад второй и третий год.
22 слайд

По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%, т. е. составил в конце третьего года 3600 ∙ 1, 485 = 5346 ( тыс. руб.)
Составим уравнение:
4791,6 + 2,31х = 5346
2,31х = 554,4
х = 240 ( тыс. руб.)
Ответ: 240 тыс. рублей.
23 слайд

Арифметический способ.

1) 3600 · 1,485 = 5346 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения.
2) 3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 4791,6 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения, зависящего от первоначально внесенной суммы.
3) 5346 − 4791,6 = 554,4 тыс. руб. составляют ежегодные дополнительно внесенные вклады, включая начисленные процентные надбавки.
4) Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. составляет дополнительно внесенная сумма в третий год хранения вклада вместе с процентной надбавкой, начисленной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть составит размер дополнительно внесенной суммы во второй год хранения вклада с учетом процентной надбавки, начисленной дважды (два года подряд).
5) Всего 1+1,1 = 2,1 (части).
6) 554,4 : 2,1 = 264 тыс. руб. — доля одной части от 554, 4 т. р. вместе с ежегодной процентной надбавкой.
7) 264 : 1,1 = 240 тыс. руб. — сумма, ежегодно добавленная к вкладу.
Ответ: 240 тыс. рублей.
24 слайд

Задача 3. Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете у Василия через 4 года?
25 слайд

Решение:
Максимальная сумма на счёте будет в случае, если Василий все три раза воспользуется правом дополнительно внести 133 000 рублей на счёт.
1) После первого года хранения вклада:
Сумма вклада возрастает до 1 000 000 · 1,1 = 1 100 000 (руб.);
После дополнительного пополнения счёта будет: 1 100 000 + 133 000 = 1 233 000 (руб.);
2) После второго года хранения вклада:
Сумма вклада возрастает до 1 233 000 · 1,1 = 1 356 300 (руб.);
После дополнительного пополнения счёта бует:
1 356 300 + 133000 = 1 489 300 (руб.);
3) После третьего года хранения вклада:
Сумма вклада возрастает до 1 489 300 · 1,1 = 1 638 230 (руб.);
После дополнительного пополнения счёта будет: 1 638 230 + 133 000 = 1 771 230 (руб.);
4) После четвертого года хранения вклада:
Сумма вклада возрастает до 1 771 230 · 1,1 = 1 948 353 (руб.).

Ответ: 1 948 353 рубля.
26 слайд

Задача 4. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
27 слайд

Решение:
S руб. – первоначальный вклад
n = 3. r = 10%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,1.
Для Миши:
1,1S – 5000 ( руб.) – будет на начало второго года
2) 1,1(1,1S – 5000) + 5000 = 1, 21S – 500 (руб.)- будет на начало третьего года
3) 1,1(1, 21S – 500)= 1,331S – 550 (руб.) – будет в конце третьего года после начисления процентов.
28 слайд

Для Маши:
1,1S + 5000 ( руб.) – будет на начало второго года
2) 1,1(1,1S + 5000) — 5000 = 1, 21S + 500 (руб.)- будет на начало третьего года
3) 1,1(1, 21S + 500)= 1,331S + 550 (руб.) – будет в конце третьего года после начисления процентов.
У Маши будет больше, чем у Миши на
(1,331S + 550) – (1,331S – 550) = 1 100 ( руб.)
Ответ: больше будет у Маши на 1 100 рублей.
29 слайд

Задача 5. 1 апреля 2017 г. Андрей Петрович положил 10 000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под a% годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на a%. Через 6 месяцев сумма вклада составила 10 500 рублей. Найдите a.
30 слайд

Решение:
S = 10 000 руб.
r % — в месяц. К= 1 + 𝑟 100 . 𝑎 % — в год.
Через 6 месяцев сумма вклада будет
10 000 ∙ К 6 = 10 500 (руб.).Значит, К 6 = 1,05.
Через 12 месяцев сумма вклада будет
10 000 ∙ К 12 = 10 000 ∙ ( 1 + 𝑎 100 )
Из последнего равенства выразим 𝑎: 𝑎 = ( К 12 — 1) ∙ 100. Теперь подставим К 6 = 1,05. Получим: 𝑎 = ( 1,05 2 — 1) ∙ 100 = 10,25.
Ответ: 𝑎 = 10,25
31 слайд

Задача 6. 1 апреля 2019 г. Андрей Петрович положил 10 000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под 21% годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на 21%. Через сколько месяцев сумма вклада впервые превысит 11 000 рублей?
32 слайд

Решение:
S = 10 000 руб.
r% — в месяц. К= 1 + 𝑟 100 . a = 21 % — годовые.
Через 12 месяцев сумма вклада будет
10 000 ∙ К 12 , что по условию задачи составит 10 000 ∙ 1, 21 . Тогда К 12 = 1, 21.
Надо найти наименьше натуральное число n, при котором выполняется неравенство
10 000 ∙ К n > 11 000.
К n > 1,1; К n > 1, 21 ; К n > К 12 ; К n > К 6 ; К > 6 ( т. к. К > 1). Значит, К = 7.
Ответ: 7.
33 слайд

Задача 7. По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение – 25 млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн. рублей и в первый и во второй годы, а также целое число m млн. рублей и в третий и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.
34 слайд

Решение:
S = 25 млн. руб.
r = 20%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,2.
35 слайд

1) Необходимо, чтобы выполнялось неравенство 36 + 2,2n ≥ 50.
2,2 n ≥ 14; n ≥ 140 22 ; n ≥ 70 11 ; n ≥ 6 4 11 .
Значит, n = 7.
При найденном значении n, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
1,2(43,2 + 2,64 ∙ 7 + m) + m ≥ 100.
2,2 m ≥ 25,984; m ≥ 25984 2200 ; m ≥ 12992 1100 .
Значит, m = 12.
Ответ: n = 7; m = 12.
36 слайд

Задача 8. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
37 слайд

Решение:
S = 3900 тыс. руб. r = 50%. К= 1 + 𝑟 100 = 1,5.
Т. к. к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то к концу пятого года вклад стал 3900 ∙ 8,25 ( тыс. руб.)
38 слайд

Теперь составим и решим уравнение:
1,5(19743,75 + 8,125х) = 3900 ∙ 8, 25
19743,75 + 8,125х = 3900 ∙8,25 ∙2 3
19743,75 + 8,125х = 16,5 ∙ 1300
157950 + 65х = 171600
65х = 13650
х = 210 (тыс. руб.)
Ответ: 210 тыс. рублей.
39 слайд

Задача 9. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
40 слайд

Решение:
Пусть S — сумма вклада, а х — наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А». К= 1 + х 100
По вкладу «А» через три года будет 1,1 3 ∙ S.
По вкладу «Б» через три года будет 1,11 2 ∙ К ∙ S.
Составим неравенство: 1,11 2 ∙ К ∙ S > 1,1 3 ∙ S.
К > 13310 12321
Тогда 1 + х 100 > 13310 12321 ; х 100 > 989 12321 ; х > 98900 12321 .
Отсюда, наименьшее целое х = 9.
Ответ: 9%.
41 слайд

№ 1. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором вложенные в проект средства за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
Ответ: 57 миллионов руб.

Задачи для самостоятельного решения
42 слайд

№ 2. Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
Ответ: у Саши, на 1155 рублей.
43 слайд

№ 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
Ответ: 19%.
44 слайд

https://sdamgia.ru/
ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты/под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование».
Источники информации

Краткое описание документа:

Презентация «Задачи на вклады в профильном ЕГЭ» предназначена для подготовки к решению задачи 17 профильного ЕГЭ по математике. Она даст возможность обучающимся повторить теорию по теме «Проценты».

Кроме этого презентация содержит ряд задач с решениями на банковские вклады, которые соответствуют заданиям 17 профильного ЕГЭ. Материал позволит обучающимся изучить пути подхода к решению задач такого типа.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 153 784 материала в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

27.07.2020
549
9

27.07.2020
170
1

27.07.2020
904
11

Рейтинг:
5 из 5

27.07.2020
1034
17

Рейтинг:
5 из 5

27.07.2020
1082
15

26.07.2020
1533
37

26.07.2020
1177
28

26.07.2020
619
9

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Специфика преподавания конституционного права с учетом реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс профессиональной переподготовки «Организация менеджмента в туризме»
Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»
Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»
Курс повышения квалификации «Актуальные вопросы банковской деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»
Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности специалиста оценщика-эксперта по оценке имущества»
Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Осуществление и координация продаж»
Курс профессиональной переподготовки «Стратегическое управление деятельностью по дистанционному информационно-справочному обслуживанию»

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №15. Задачи о вкладах и кредитовании

ЕГЭ Профиль №15. Задачи о вкладах и кредитованииadmin2023-01-27T16:57:01+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №15. Задачи о вкладах и кредитовании

1В. В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей.

Какое минимальное число рублей может составлять долг через год после взятия кредита?

1 000 000 рублей – сумма кредита. Через год долг возрастёт на 20%, то есть станет (1 000 000 cdot 1,2 = 1 200 000) рублей. Чтобы долг через год был наименьшим, платёж должен быть наибольшим, то есть 400 000 рублей. Следовательно, долг будет составлять минимальное число рублей, равное (1 200 000 — 400 000 = 800 000) рублей.

Ответ: 800 000 рублей.

2В. В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей.

Какое минимальное число рублей может составлять долг через год после взятия кредита?

1 000 000 рублей – сумма кредита. Через год долг возрастёт на 10%, то есть станет ( 1000 000 cdot 1,1 = 1 100 000)рублей. Чтобы долг через год был наименьшим, платёж должен быть наибольшим, то есть 300000 рублей. Следовательно, долг будет составлять минимальное число рублей, равное (1 100 000 — 300 000 = 800 000) рублей.

Ответ: 800 000 рублей.

3В. В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей.

Какое минимальное число рублей может составить последний платёж, если кредит нужно выплатить за минимальное количество лет?

Для того чтобы последний платёж был наименьшим, при условии, что кредит необходимо выплатить за минимальное количество лет, платежи должны быть наибольшими, то есть по 400 000 рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(1,000,000 cdot 1,2 = 1,200,000)	400 000	800 000
2	(800,000 cdot 1,2 = 960,000)	400 000	560 000
3	(560,000 cdot 1,2 = 672,000)	400 000	272 000
4	(272,000 cdot 1,2 = 326,400)	326 400	0

Таким образом, последний платёж составит 326 400 рублей.

Ответ: 326 400 рублей.

4В. В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей.

Для того чтобы последний платёж был наименьшим, при условии, что кредит необходимо выплатить за минимальное количество лет, платежи должны быть наибольшими, то есть по 300 000 рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(1,000,000 cdot 1,1 = 1,,100,000)	300 000	800 000
2	(800,000 cdot 1,1 = 880,000)	300 000	580 000
3	(580,000 cdot 1,1 = 638,000)	300 000	338 000
4	(338,,000 cdot 1,1 = 371,,800)	300 000	71 800
5	(71,,800 cdot 1,1 = 78,,980)	78 980	0

Таким образом, последний платёж составит 78 980 рублей.

Ответ: 78 980 рублей.

5В. В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей.

На какое минимальное число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Чтобы сумма выплат превышала размер кредита на минимальное число рублей, ежегодные выплаты должны быть наибольшими, то есть по 300000 рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(1000000 cdot 1,1 = 1100000)	300 000	800 000
2	(800000 cdot 1,1 = 880000)	300 000	580 000
3	(580000 cdot 1,1 = 638000)	300 000	338 000
4	(338000 cdot 1,1 = 371800)	300 000	71 800
5	(71800 cdot 1,1 = 78980)	78 980	0

Таким образом, общая сумма выплат: (4 cdot 300000 + 78980 = 1278980) рублей, что на 278 980 рублей больше суммы кредита, равного 1 000 000 рублей.

Ответ: 278 980 рублей.

6В. В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей.

На какое минимальное число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Чтобы сумма выплат превышала размер кредита на минимальное число рублей, ежегодные выплаты должны быть наибольшими, то есть по 400 000 рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(1000000 cdot 1,2 = 1200000)	400 000	800 000
2	(800000 cdot 1,2 = 960000)	400 000	560 000
3	(560000 cdot 1,2 = 672000)	400 000	272 000
4	(272000 cdot 1,2 = 326400)	326 400	0

Таким образом, общая сумма выплат: (3 cdot 400000 + 326400 = 1526400) рублей, что на 526 400 рублей больше суммы кредита, равного 1 000 000 рублей.

Ответ: 526 400 рублей.

7В. Дмитрий мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Дмитрий может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Дмитрию придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Дмитрий может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Дмитрий сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?

Так как Дмитрию придётся выплатить банку на 180% больше суммы кредита, то общая выплата составит 280% от суммы кредита: (3000000 cdot 2,8 = 8400000) рублей.

Так как срок кредита 20 лет (240 месяцев), то ежемесячные платежи составят: (frac{{8400000}}{{240}} = 35000) рублей.

Из 35 000 рублей откладывать удастся 20 000 рублей, так как стоимость аренды 15 000 рублей.

Учитывая, что стоимость квартиры не изменится то, откладывая по 20 000 рублей, Дмитрий накопит на квартиру за: (frac{{3000000}}{{20000}} = 150) месяцев, что составляет 12,5 лет.

Ответ: 12,5 лет.

8В. Сергей мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Сергей может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Сергею придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого Сергей может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Сергей сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?

Так как Сергею придётся выплатить банку на 260% больше суммы кредита, то общая выплата составит 360% от суммы кредита: (2000000 cdot 3,6 = 7200000) рублей.

Так как срок кредита 20 лет (240 месяцев), то ежемесячные платежи составят: (frac{{7200000}}{{240}} = 30000) рублей.

Из 30000 рублей откладывать удастся 16000 рублей, так как стоимость аренды 14000 рублей.

Учитывая, что стоимость квартиры не изменится то, откладывая по 16000 рублей, Сергей накопит на квартиру за: (frac{{2000000}}{{16000}} = 125) месяцев.

Ответ: 125.

9В. Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 000 рублей?

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 24 000 рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(100000 cdot 1,1 = 110000)	24 000	86 000
2	(86000 cdot 1,1 = 94600)	24 000	70 600
3	(70600 cdot 1,1 = 77660)	24 000	53 660
4	(53660 cdot 1,1 = 59026)	24 000	35 026
5	(35026 cdot 1,1 = 38528,6)	24 000	14 528,6
6	(14528,6 cdot 1,1 = 15981,46)	15 981,46	0

Таким образом, кредит будет выплачен за 6 лет.

Ответ: 6.

10В. Семен хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Семен может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 330 000 рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(1400000 cdot 1,1 = 1540000)	330 000	1 210 000
2	(1210000 cdot 1,1 = 1331000)	330 000	1 001 000
3	(1001000 cdot 1,1 = 1101100)	330 000	771 100
4	(771100 cdot 1,1 = 848210)	330 000	518 210
5	(518210 cdot 1,1 = 570031)	330 000	240 031
6	(240031 cdot 1,1 = 264034,1)	264 034,1	0

Таким образом, кредит будет выплачен за 6 лет.

Ответ: 6 лет.

11В. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая—1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 300 000 рублей.

Месяц	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(900000 cdot 1,01 = 909000)	300000	609000
2	(609000 cdot 1,01 = 615090)	300000	315090
3	(315090 cdot 1,01 = 318240,9)	300000	18240,9
4	(18240,9 cdot 1,01 = 18423,309)	18423,309	0

Таким образом, кредит будет выплачен за 4 месяца.

Ответ: 4.

12В. 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. руб.?

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 125 000 рублей.

Месяц	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(1000000 cdot 1,01 = 1010000)	125 000	885 000
2	(885000 cdot 1,01 = 893850)	125 000	768 850
3	(768850 cdot 1,01 = 776538,5)	125 000	651 538,5
4	(651538,5 cdot 1,01 = 658053,89)	125 000	533 053,9
5	(533053,9 cdot 1,01 = 538384,4)	125 000	413 384,4
6	(413384,4 cdot 1,01 = 417518,3)	125 000	292 518,3
7	(292518,3 cdot 1,01 = 295443,5)	125 000	170 443,5
8	(170443,5 cdot 1,01 = 172147,9)	125 000	47 147,9
9	(47147,9 cdot 1,01 = 47619,4)	47 619,4	0

Таким образом, кредит будет выплачен за 9 месяцев.

Ответ: 9.

13В. В начале года Алексей приобрёл ценные бумаги на сумму 9 тыс. рублей. В середине каждого года стоимость ценных бумаг возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать ценные бумаги и положить вырученные деньги на банковский счёт. В середине каждого года сумма на счёте будет увеличиваться на 9%. В начале какого года после покупки Алексей должен продать ценные бумаги, чтобы через двадцать лет после покупки ценных бумаг сумма на банковском счёте была наибольшей?

Алексей должен продать ценные бумаги и положить деньги в банк, когда 9% от стоимости ценных бумаг будет больше 2000 рублей.

(A cdot frac{9}{{100}} > 2000;,,,,,,A > 22222frac{2}{9}) рублей.

Через 7 лет цена ценных бумаг будет: (9000 + 7 cdot 2000 = 23000 > 22222frac{2}{9}).

Поэтому, в начале 8-го года Алексей должен продать ценные бумаги и тогда через 20 лет сумма на банковском счёте будет наибольшей.

Ответ: 8.

14В. В начале года Виктор приобрёл ценные бумаги на сумму 7 тыс. рублей. В середине каждого года стоимость ценных бумаг возрастает на 1,5 тыс. рублей. В любой момент Виктор может продать ценные бумаги и положить вырученные деньги на банковский счёт. В середине каждого года сумма на счёте будет увеличиваться на 12%. В начале какого года после покупки Виктор должен продать ценные бумаги, чтобы через пятнадцать лет после покупки ценных бумаг сумма на банковском счёте была наибольшей?

Виктор должен продать ценные бумаги и положить деньги в банк, когда 12% от стоимости ценных бумаг будут больше 1500 рублей.

(A cdot frac{{12}}{{100}} > 1500;,,,,,,A > 12500) рублей.

Через 4 года цена ценных бумаг будет: (7000 + 4 cdot 1500 = 13000 > 12500).

Поэтому, в начале 5-го года Виктор должен продать ценные бумаги и тогда через 15 лет сумма на банковском счёте будет наибольшей.

Ответ: 5.

15В. Какой вклад выгоднее: первый—на 1 год под 16% годовых или второй—на 4 месяца (с автоматической пролонгацией каждые четыре месяца в течение года с момента открытия вклада) под 15% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен (frac{1}{{12}}) части года.

Пусть А – сумма вклада.

1 вклад: через год будет равен 1,16 А.

2 вклад: 15% годовых.

4 месяца это (frac{1}{3}) часть от года. Следовательно, за 4 месяца банк начислит 5%, а за год три раза по 5%:

(1,05 cdot 1,05 cdot 1,05A = 1,157625A.)

Так как (1,16A > 1,157625A), то первый вклад выгоднее.

Ответ: первый.

16В. Какой вклад выгоднее: первый—на 1 год под 15% годовых или второй—на 6 месяцев (с автоматической пролонгацией каждые шесть месяцев в течение года с момента открытия вклада) под 14% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен (frac{1}{{12}}) части года.

Пусть А – сумма вклада.

1 вклад: через год будет равен 1,15 А.

2 вклад: 14% годовых.

6 месяцев это полгода. Следовательно, за 6 месяцев банк начислит 7%, а за год два раза по 7%:

(1,07 cdot 1,07A = 1,1449A.)

Так как (1,15A > 1,1449A), то первый вклад выгоднее.

Ответ: первый.

17В. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая—31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

А = 4 290 000 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличивается на 14,5%, то есть в (frac{{100 + 14,5}}{{100}} = 1,145 = t) раз.

х – ежегодная выплата (в рублях).

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	х	()(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	х	(left( {At — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — x} right)t — x = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A,{t^2} — x,t — x = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = frac{{A,{t^2}}}{{t + 1}})

(x = frac{{4290000 cdot {{1,145}^2}}}{{1,145 + 1}} = frac{{4290000 cdot {{1,145}^2}}}{{2,145}} = 2000 cdot 1145 cdot 1,145 = 2,622,050) рублей.

Ответ: 2 622 050 рублей.

18В. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая—31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

А = 6 902 000 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличивается на 12,5%, т.е. в (frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = frac{9}{8} = t) раз.

х – ежегодная выплата (в рублях).

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвертого года равен нулю.

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{6902000 cdot {{left( {frac{9}{8}} right)}^4}}}{{{{left( {frac{9}{8}} right)}^3} + {{left( {frac{9}{8}} right)}^2} + frac{9}{8} + 1}} = frac{{6902000 cdot {9^4}}}{{8 cdot left( {{9^3} + {9^2} cdot 8 + 9 cdot {8^2} + {8^3}} right)}} = )

( = frac{{862750 cdot 6561}}{{2465}} = 350 cdot 6561 = 2296350) рублей.

Ответ: 2296350 рублей.

19В. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

А – сумма кредита (в рублях)

Через год долг увеличивается на 12,5%, т.е. в (frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = frac{9}{8} = t) раз.

х = 2 132 325 рублей – ежегодная выплата.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left\| {} right\|} right)} right))(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(A = frac{{xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}}{{{t^4}}} = frac{{2132325 cdot left( {frac{{{9^3}}}{{{8^3}}} + frac{{{9^2}}}{{{8^2}}} + frac{9}{8} + 1} right)}}{{frac{{{9^4}}}{{{8^4}}}}} = frac{{2132325 cdot 8 cdot left( {{9^3} + {9^2} cdot 8 + 9 cdot {8^2} + {8^3}} right)}}{{9 cdot 9 cdot 9 cdot 9}} = )( = 325 cdot 8 cdot 2465 = 6409000) рублей.

Ответ: 6 409 000 рублей.

20В. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

A = 9930000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – ежегодная выплата (в рублях).

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = frac{{9930000 cdot {{1,1}^3}}}{{{{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = frac{{9930 cdot 11 cdot 11 cdot 11}}{{3,31}} = = 3000 cdot 1331 = 3993000) рублей.

Ответ: 3 993 000 рублей.

21В. В июле планируется взять кредит на сумму 8 052 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

A = 8 052 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t).

x – ежегодная выплата (в рублях).

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{8052000 cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = frac{{805,2 cdot {{12}^4}}}{{5,368}} = = 150 cdot 144 cdot 144 = 3110400) рублей.

Ответ: 3 110 400 рублей.

22В. В июле планируется взять кредит на сумму 9 282 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

A = 9282000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – ежегодная выплата (в рублях).

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{9,282,000 cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^3} + {{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = frac{{928,2 cdot {{11}^4}}}{{4,641}} = 200 cdot 121 cdot 121 = 2,928,200) рублей.

Ответ: 2 928 200 рублей.

23В. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 399 300 рублей.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (т. е. за три года)?

A = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x = 399 300 рублей – ежегодная выплата.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(A = frac{{xleft( {{t^2} + t + 1} right)}}{{{t_3}}} = frac{{399300 cdot left( {{{1,1}^2} + 1,1 + 1} right)}}{{{{1,1}^3}}} = frac{{399300 cdot 3,31}}{{1,331}} = 3000 cdot 331 = 993000) рублей.

Ответ: 993 000 рублей.

24В. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 207 360 рублей.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

A = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t) раз.

x = 207 360 рублей – ежегодная выплата.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю

(A = frac{{xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}}{{{t^4}}} = frac{{207360 cdot left( {{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1} right)}}{{{{1,2}^4}}} = frac{{207360 cdot 5,368}}{{2,0736}} = 100000 cdot 5,368 = 536800) рублей.

Ответ: 536 800 рублей.

25В. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

A = 7007000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t) раз.

x – ежегодная выплата на 3 года

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x)

Остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = frac{{7007000 cdot {{1,2}^3}}}{{{{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = 3326400) рублей.

Следовательно, выплаты за 3 года составили: (3x = 3 cdot 3326400 = 9,,979,,200) рублей.

y – ежегодная выплата на 2 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	y	(At — y)
2	(left( {At — y} right)t)	y	(left( {At — y} right)t — y)

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{7007000 cdot {{1,2}^2}}}{{1,2 + 1}} = 4586400) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили: (2y = 2 cdot 4586400 = 9,,172,,800) рублей.

Таким образом, разница составит: (3x — 2y = 9,,979,,200 — 9,,172,,800 = 806,,400) рублей.

Ответ: 806 400 рублей.

26В. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

A = 7378000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 12,5%, то есть в (frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = frac{9}{8} = t) раз.

x – ежегодная выплата на 3 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x)

Остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = frac{{7378000 cdot {{left( {frac{9}{8}} right)}^3}}}{{{{left( {frac{9}{8}} right)}^2} + frac{9}{8} + 1}} = 3098250) рублей.

Следовательно, выплаты за 3 года составили: (3x = 3 cdot 3098250 = 9,,294,,750) рублей.

y – ежегодная выплата на 2 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	y	(At — y)
2	(left( {At — y} right)t)	y	(left( {At — y} right)t — y)

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{7378000 cdot {{left( {frac{9}{8}} right)}^2}}}{{frac{9}{8} + 1}} = 4394250) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили: (2y = 2 cdot 4394250 = 8,,788,,500) рублей.

Таким образом, разница составит: (3x — 2y = 9,,294,,750 — 8,,788,,500 = 506,,250) рублей.

Ответ: 506 250 рублей.

27В. В июле планируется взять кредит на сумму 8 052 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей меньше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (т. е. за два года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

A = 8052000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t)раз.

x – ежегодный платёж на 4 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{8052000 cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = 3110400) рублей.

Следовательно, выплаты за 4 года составили: (4x = 4 cdot 3110400 = 12,,441,,600) рублей.

y – ежегодный платёж на 2 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	y	(At — y)
2	(left( {At — y} right)t)	y	(left( {At — y} right)t — y)

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{8052000 cdot {{1,2}^2}}}{{1,2 + 1}} = 5270400) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили: (2y = 2 cdot 5270400 = 10,,540,,800) рублей.

Таким образом, разница составит: (4x — 2y = 12,,441,,600 — 10,,540,,800 = 1,,900,,800) рублей.

Ответ: 1 900 800 рублей.

28В. В июле планируется взять кредит на сумму 9 282 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

A = 9282000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – ежегодный платёж на 4 года

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right) cdot t — x} right)t — x)
4	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x)

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{9282000 cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^3} + {{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = 2928200) рублей.

Следовательно, выплаты за 4 года составили: (4x = 4 cdot 2928200 = 11,,712,,800) рублей.

y – ежегодный платёж на 2 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	y	(At — y)
2	(left( {At — y} right)t)	y	(left( {At — y} right)t — y)

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{9282000 cdot {{1,1}^2}}}{{1,1 + 1}} = 5348200) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили: (2y = 2 cdot 5348200 = 10,,696,,400) рублей.

Таким образом, разница составит: (4x — 2y = 11,,712,,800 — 10,,696,,400 = 1,,016,,400) рублей.

Ответ: 1 016 400 рублей.

29В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 75 000 рублей, а во второй год—46 000 рублей. Найдите число r.

A = 100 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на r %, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

Платежи: a = 75 000 рублей в 1–й год; b = 46 000 рублей во 2–й год.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	a	(At — a)
2	(left( {At — a} right)t)	b	(left( {At — a} right)t — b)

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — a} right)t — b = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100000{t^2} — 75000t — 46000 = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,100{t^2} — 75t — 46 = 0;)

(D = 5625 + 18400 = 24025 = {155^2};,,,,,{t_1} = frac{{23}}{{20}};,,,,,,,,,{t_2} = — frac{2}{5}) не подходит.

(frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{23}}{{20}};,,,,,,100 + r = 115;,,,,,,r = 15)%.

Ответ: 15.

30В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 68 000 рублей, а во второй год—59 000 рублей. Найдите число r.

А = 100 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на r%, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

Платежи: a = 68 000 рублей в 1–й год; b = 59 000 рублей во 2–й год.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	a	(At — a)
2	(left( {At — a} right)t)	b	(left( {At — a} right)t — b)

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце 2–го года равен нулю.

(left( {At — a} right)t — b = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,100000{t^2} — 68000t — 59000 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100{t^2} — 68t — 59 = 0;)

(D = {68^2} + 400 cdot 59 = 28224;,,,,,,sqrt D = 168;,,,,,,{t_1} = frac{{68 + 168}}{{200}} = frac{{118}}{{100}};,,,,,,,{t_2} = frac{{68 — 168}}{{200}} = — frac{1}{2}.)

({t_2} = — frac{1}{2}) не подходит. Следовательно: (frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{118}}{{100}};,,,,,,,,,,r = 18)%.

Ответ: 18.

31В. Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

А = 270 200 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличился на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – первый платёж (в рублях); 3x – второй; 9x – третий.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	3x	(left( {At — x} right)t — 3x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — 3x} right)t)	9x	(left( {left( {At — x} right)t — 3x} right)t — 9x)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — 3x} right)t — 9x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — 3xt — 9x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} = xleft( {{t^2} + 3t + 9} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + 3t + 9}} = frac{{270200 cdot {{1,1}^3}}}{{{{1,1}^2} + 3 cdot 1,1 + 9}} = frac{{270200 cdot 1,331}}{{13,51}} = 20000 cdot 1,331 = 26620) рублей.

Следовательно, первый платёж составил 26 620 рублей.

Ответ: 26 620 рублей.

32В. Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

А = 804 000 рублей – сумма кредита

Через год долг увеличился на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

4x – первый платёж (в рублях); 2x – второй; x – третий.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	4x	(At — 4x)
2	(left( {At — 4x} right)t)	2x	(left( {At — 4x} right)t — 2x)
3	(left( {left( {At — 4x} right)t — 2x} right)t)	x	(left( {left( {At — 4x} right)t — 2x} right)t — x)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — 4x} right)t — 2x} right)t — x = 0;,,,,,,,,,,A{t^3} — 4x{t^2} — 2xt — x = 0)

(x = frac{{A{t^3}}}{{4{t^2} + 2t + 1}} = frac{{804000 cdot {{1,1}^3}}}{{4 cdot {{1,1}^2} + 2 cdot 1,1 + 1}} = frac{{804000 cdot 1,331}}{{8,04}} = 100 cdot 1331 = 133100) рублей.

Следовательно, третий платёж составил 133 100 рублей.

Ответ: 133 100 рублей.

33В. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156 060 рублей больше суммы взятого кредита.

А = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличился на 30%, то есть в (frac{{100 + 30}}{{100}} = 1,3 = t) раз.

x – ежегодный платёж (в рублях)

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x)

Общая сумма выплат равна 3x, а остаток в конце третьего года равен нулю.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x — A = 156060;} \ {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0.} end{array}} right.)

Из второго уравнения: (A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A cdot {1,3^3} = x cdot {1,3^2} + 1,3x + x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = frac{{3,99x}}{{2,197}})

Подставим в первое уравнение:

(3x — frac{{3,99x}}{{2,197}} = 156060,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{156060 cdot 2197}}{{2601}})

Тогда: (A = frac{{3990 cdot 156060 cdot 2197}}{{2197 cdot 2601}} = 3990 cdot 60 = 239400) рублей.

Ответ: 239 400 рублей.

34В. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

А = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличился на 30%, то есть в (frac{{100 + 30}}{{100}} = 1,3 = t) раз.

x – ежегодный платёж (в рублях)

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	x	(At — x)
2	(left( {At — x} right)t)	x	(left( {At — x} right)t — x)
3	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t)	x	(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x)

Общая сума выплат равна 3x, а остаток в конце третьего года равен нулю.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x — A = 78030;} \ {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0.} end{array}} right.)

Из второго уравнения: (A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A cdot {1,3^3} = x cdot {1,3^2} + 1,3x + x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = frac{{3,99x}}{{2,197}})

Подставим в первое уравнение:

(3x — frac{{3,99x}}{{2,197}} = 78030,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{78030 cdot 2197}}{{2601}})

Тогда: (A = frac{{3990 cdot 78030 cdot 2197}}{{2197 cdot 2601}} = 3990 cdot 30 = 119700) рублей.

Ответ: 119 700 рублей.

35В. Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 420 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 10 %. Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами — в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

А = 4420000 рублей – сумма кредита, которая через год увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – платежи в конце второго и четвёртого годов.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	0	(At)
2	(A{t^2})	x	(A{t^2} — x)
3	(left( {A{t^2} — x} right)t)	0	(left( {A{t^2} — x} right)t)
4	(left( {A{t^2} — x} right){t^2})	x	(left( {A{t^2} — x} right){t^2} — x)

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {A{t^2} — x} right){t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A{t^4} — x,{t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,{t^4} = xleft( {{t^2} + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^2} + 1}} = frac{{4420000 cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^2} + 1}} = frac{{442 cdot {{11}^4}}}{{2,21}} = 200 cdot 121 cdot 121 = 2928200) рублей.

Следовательно, каждый из платежей составляет по 2 928 200 рублей.

Ответ: 2 928 200 рублей.

36В. Агата Артуровна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 7 320 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 20%. Агата Артуровна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами — в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

А = 7 320 000 рулей – сумма кредита, которая через год увеличивается на 20% , то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = )t раз

x – платежи в конце второго и четвёртого годов.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(At)	0	(At)
2	(A{t^2})	x	(A{t^2} — x)
3	(left( {A{t^2} — x} right)t)	0	(left( {A{t^2} — x} right)t)
4	(left( {A{t^2} — x} right){t^2})	x	(left( {A{t^2} — x} right){t^2} — x)

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {A{t^2} — x} right){t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A{t^4} — x,{t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,{t^4} = xleft( {{t^2} + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^2} + 1}} = frac{{7320000 cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^2} + 1}} = frac{{732 cdot {{12}^4}}}{{2,44}} = 300 cdot 144 cdot 144 = 6,220,800) рублей.

Следовательно, каждый из платежей составляют по 6 220 800 рублей.

Ответ: 6 220 800 рублей.

37В. Банк предоставляет кредит сроком на 10 лет под 19% годовых на следующих условиях: ежегодно заёмщик возвращает банку 19% от непогашенной части кредита и (frac{1}{{10}}) суммы кредита. Так, в первый год заёмщик выплачивает (frac{1}{{10}}) суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заёмщик выплачивает (frac{1}{{10}}) суммы кредита и 19% от (frac{9}{{10}}) суммы кредита и т. д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заёмщик, будет больше суммы кредита, если заёмщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

А – сумма кредита; срок 10 лет.

Каждый год банк начисляет 19% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и десятую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{10}}). Таким образом, через 1 год остаток долга будет (frac{{9A}}{{10}}), через 2 года (frac{{8A}}{{10}}), через 3 года (frac{{7A}}{{10}}) и так далее.

Год	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{{19}}{{100}})	(A — frac{A}{{10}} = frac{{9A}}{{10}})()
2	(frac{{9A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}})	(frac{{9A}}{{10}} — frac{A}{{10}} = frac{{8A}}{{10}})()()
3	(frac{{8A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}})	(frac{{8A}}{{10}} — frac{A}{{10}} = frac{{7A}}{{10}})
…	…	…
10	(frac{A}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}})	(frac{A}{{10}} — frac{A}{{10}} = 0)

Общая сумма выплат за 10 лет равна сумме кредита А и начисленным процентам:

(A + frac{{10A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} + frac{{9A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} + frac{{8A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} + … + frac{A}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} = A + frac{{19}}{{100}} cdot frac{A}{{10}} cdot left( {10 + 9 + 8 + … + 1} right) = )

( = A + frac{{19}}{{100}} cdot frac{A}{{10}} cdot frac{{1 + 10}}{2} cdot 10 = A + frac{{209A}}{{200}} = frac{{409A}}{{200}} = 2,045A)

Таким образом, сумма выплаченная банку заёмщиком в 2,045 раз больше суммы кредита.

Ответ: 2,045.

38В. Банк предоставляет ипотечный кредит сроком на 20 лет под 12% годовых на следующих условиях: ежегодно заёмщик возвращает банку 12% от непогашенной части кредита и (frac{1}{{20}}) суммы кредита. Так, в первый год заёмщик выплачивает (frac{1}{{20}}) суммы кредита и 12% от всей суммы кредита, во второй год заёмщик выплачивает (frac{1}{{20}}) суммы кредита и 12% от (frac{{19}}{{20}}) суммы кредита и т. д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заёмщик, будет больше суммы кредита, если заёмщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

А – сумма кредита; срок 20 лет.

Каждый год банк начисляет 12% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и двадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{20}}).Таким образом, через 1 год остаток долга будет (frac{{19A}}{{20}}), через 2 года (frac{{18A}}{{20}}), через 3 года (frac{{17A}}{{20}}) и так далее.

Год	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{{12}}{{100}})	(A — frac{A}{{20}} = frac{{19A}}{{20}})()
2	(frac{{19A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}})	(frac{{19A}}{{20}} — frac{A}{{20}} = frac{{18A}}{{20}})()()
3	(frac{{18A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}})	(frac{{18A}}{{20}} — frac{A}{{20}} = frac{{17A}}{{20}})
…	…	…
20	(frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}})	(frac{A}{{20}} — frac{A}{{20}} = 0)

Общая сумма выплат за 20 лет равна сумме кредите А и сумме начисленных процентов.

(A + frac{{20A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} + frac{{19A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} + frac{{18A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} + … + frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} = A + frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} cdot left( {20 + 19 + 18 + … + 1} right) = )

( = A + frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} cdot frac{{1 + 20}}{2} cdot 20 = A + frac{{252A}}{{200}} = frac{{452A}}{{200}} = 2,26A)

Таким образом, сумма выплаченная банку заёмщиком в 2,26 раз больше суммы кредита.

Ответ: 2,26.

39В. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей.

А = 10 млн. рублей – первоначальный вклад.

x – сумма на которую пополняется вклад в начале третьего и четвёртого годов (целое число млн. руб.).

В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

Год	Вклад в начале года (в млн. руб)	Вклад в конце года (в млн. руб)
1	(A)	(At)
2	(At)	(A{t^2})
3	(A{t^2} + x)	(left( {A{t^2} + x} right)t)
4	(left( {A{t^2} + x} right)t + x)	(left( {left( {A{t^2} + x} right)t + x} right)t)

По условию задачи вклад в конце четвёртого года должен быть не меньше 30 млн. руб.

(left( {left( {A{t^2} + x} right)t + x} right)t ge 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,10 cdot {1,1^4} + x cdot {1,1^2} + x cdot 1,1 ge 30,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,2,31x ge 15,359,,,,, Leftrightarrow ,,,,x ge frac{{15359}}{{2310}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x ge 6frac{{1499}}{{2310}}.)

Так как, х наименьшее целое, то х = 7 млн. руб

Ответ: 7.

40В. Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей.

А = 6 млн. рублей – первоначальный вклад.

В коне каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – сумма на которую наполняется вклад в начале третьего и четвёртого годов (целое число млн. рублей).

Год	Вклад в начале года (в млн. руб)	Вклад в конце года (в млн. руб)
1	(A)	(At)
2	(At)	(A{t^2})
3	(A{t^2} + x)	(left( {A{t^2} + x} right)t)
4	(left( {A{t^2} + x} right)t + x)	(left( {left( {A{t^2} + x} right)t + x} right)t)

По условию задачи вклад в коне четвёртого года должен быть не меньше 15 млн. рублей.

(left( {left( {A{t^2} + x} right)t + x} right)t ge 15,,,, Leftrightarrow ,,,,,6 cdot {1,1^4} + {1,1^2} cdot x + 1,1x ge 15,,,,, Leftrightarrow ,,,,,2,31x ge 6,2154,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,x ge frac{{62154}}{{23100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x ge 2frac{{2659}}{{3850}}.)

Так как х наименьшее целое, то х = 3 млн. руб.

Ответ: 3.

41В. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

А = 10 млн. рублей – первоначальные вложения.

В конце каждого года вклад увеличивается на 15%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 15}}{{100}} = 1,15 = t) раз.

Год	Вклад в начале года (в млн. руб)	Вклад в конце года (в млн. руб)
1	(A)	(At + n)
2	(At + n)	(left( {At + n} right)t + n)
3	(left( {At + n} right)t + n)	(left( {left( {At + n} right)t + n} right)t + m)
4	(left( {left( {At + n} right)t + n} right)t + m)	(left( {left( {left( {At + n} right)t + n} right)t + m} right)t + m)

В конце второго года вложенные средства как минимум удвоятся:

(left( {At + n} right)t + n ge 20,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 cdot {1,15^2} + 1,15 cdot n + n ge 20,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,2,15n ge 6,775,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n ge frac{{6775}}{{2150}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n ge 3frac{{13}}{{86}}.)

Так как n наименьшее целое число, то n = 4 млн. рублей.

В конце четвёртого года вложенные средства как минимум утроятся:

(left( {left( {left( {At + n} right)t + n} right)t + m} right)t + m ge 30,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10 cdot {1,15^4} + 4 cdot {1,15^3} + 4 cdot {1,15^2} + 1,15m + m ge 30,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,2,15m ge 1,1364375,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,m ge frac{{11364375}}{{21500000}}.)

Так как m наименьшее целое, то m = 1 млн. рублей.

Ответ: n = 4; m = 1.

42В. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

A = 20 млн. рублей – первоначальные вложения

В конце каждого года вклад увеличивается на 13%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 13}}{{100}} = 1,13 = t) раз.

Год	Вклад в начале года (в млн. руб)	Вклад в конце года (в млн. руб)
1	(A)	(A cdot t + n)
2	(A cdot t + n)	(left( {A cdot t + n} right) cdot t + n)
3	(left( {A cdot t + n} right) cdot t + n)	(left( {left( {A cdot t + n} right) cdot t + n} right) cdot t + m)
4	(left( {left( {A cdot t + n} right) cdot t + n} right) cdot t + m)	(left( {left( {left( {A cdot t + n} right) cdot t + n} right) cdot t + m} right) cdot t + m)

В конце второго года вложенные средства как минимум удвоятся:

((A cdot t + n) cdot t + n ge 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20 cdot {1,13^2} + 1,13 cdot n + n ge 40,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,2,13 cdot n ge 14,462,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n ge frac{{14462}}{{2130}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n ge 6,,frac{{1682}}{{2130}}.)

Так как n наименьшее целое, то n = 7 млн. руб.

В конце четвёртого года вложенные средства как минимум утроятся:

(left( {left( {left( {A cdot t + n} right) cdot t + n} right) cdot t + m} right) cdot t + m ge 60,,,,, Leftrightarrow ,,,,,20 cdot {1,13^4} + 7 cdot {1,13^3} + 7 cdot {1,13^2} + 1,13 cdot m + m ge 60,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,2,13 cdot m ge 8,3519488,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m ge frac{{83519488}}{{21300000}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,m ge 3,,frac{{19619488}}{{21300000}}.)

Так как m наименьшее целое, то m = 4 млн. руб.

Ответ: n = 7, m = 4.

43В. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 млн рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 150 млн, а за четыре года—станут больше 250 млн рублей.

A – первоначальные вложения (целое число млн. руб).

В конце каждого года вклад увеличивается на 20%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t) раз.

Год	Вклад в начале года (в млн. руб)	Вклад в конце года (в млн. руб)
1	(A)	(A cdot t + 20)
2	(A cdot t + 20)	(left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20)
3	(left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20)	(left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10)
4	(left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10)	(left( {left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10} right) cdot t + 10)

В конце второго года сумма должна быть больше 150 млн. руб, а в конце четвёртого больше 250 млн. руб.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20 > 150}\{left( {left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10} right) cdot t + 10 > 250}end{array}} right.)

Из первого неравенства: (A cdot {1,2^2} + 20 cdot 1,2 > 130,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,44A > 106,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A > 73frac{{11}}{{18}}.)

Из второго неравенства:

(A cdot {1,2^4} + 20 cdot {1,2^3} + 20 cdot {1,2^2} + 10 cdot 1,2 > 240,,,, Leftrightarrow ,,,,2,0736A > 164,64,,,,, Leftrightarrow ,,,,A > 79frac{{43}}{{108}}.)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A > 73frac{{11}}{{18}}}\{A > 79frac{{43}}{{108}}}end{array}} right.) ( = > ,,,,,,A > 79frac{{43}}{{108}}.)

Так как A наименьшее целое, то A = 80 млн. руб.

Ответ: 80.

44В. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 млн рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 200 млн, а за четыре года станут больше 270 млн рублей.

A – первоначальные вложения (целое число млн. руб).

В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

Год	Вклад в начале года (в млн. руб)	Вклад в конце года (в млн. руб)
1	(A)	(A cdot t + 20)
2	(A cdot t + 20)	(left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20)
3	(left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20)	(left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10)
4	(left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10)	()(left( {left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10} right) cdot t + 10)

В конце второго года сумма должна быть больше 200 млн. руб, а в конце четвёртого больше 270 млн. руб.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20 > 200}\{left( {left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10} right) cdot t + 10 > 270}end{array}} right.)

Из первого неравенства: (A cdot {1,1^2} + 20 cdot 1,1 > 180,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,21A > 158,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A > 130frac{{70}}{{121}}.)

Из второго неравенства:

(A cdot {1,1^4} + 20 cdot {1,1^3} + 20 cdot {1,1^2} + 10 cdot 1,1 > 260,,,, Leftrightarrow ,,,,1,4641A > 198,18,,,,, Leftrightarrow ,,,,A > 135frac{{5265}}{{14641}}.)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A > 130frac{{70}}{{121}}}\{A > 135frac{{5265}}{{14641}}}end{array}} right.) ( = > ,,,,,,A > 135frac{{5265}}{{14641}}.)

Так как A наименьшее целое, то A = 136 млн. руб.

Ответ: 136.

45В. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Известно, что если каждый год выплачивать по 292 820 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 534 820 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число r.

A – сумма кредита (в рублях).

Каждый год сумма кредита увеличивается на r%, то есть увеличивается в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

(a = 292820) рублей ежегодная выплата, если срок кредита 4 года

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	a	(A cdot t — a)
2	(left( {A cdot t — a} right) cdot t)	a	(left( {A cdot t — a} right) cdot t — a)
3	(left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t)	a	(left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a)
4	(left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t)	a	()(left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a)

(b = 534820) рублей ежегодная выплата, если срок кредита 2 года

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	b	(A cdot t — b)
2	(left( {A cdot t — b} right) cdot t)	b	(left( {A cdot t — b} right) cdot t — b)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a = 0}\{left( {A cdot t — b} right) cdot t — b = 0}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A cdot {t^4} = aleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}\{A cdot {t^2} = b cdot left( {t + 1} right)}end{array}} right.} right.)

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^4}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} cdot (t + 1) + (t + 1))}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t^2} = frac{{a cdot (t + 1) cdot ({t^2} + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} = a cdot {t^2} + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} = a)(t = sqrt {frac{a}{{b — a}}} = sqrt {frac{{292820}}{{534820 — 292820}}} = sqrt {frac{{292820}}{{242000}}} = sqrt {frac{{121}}{{100}}} = frac{{11}}{{10}})

(frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{11}}{{10}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 10% .)

Ответ: 10.

46В. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Известно, что если каждый год выплачивать по 216 000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 366 000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число r.

A – сумма кредита (в рублях).

Каждый год сумма кредита увеличивается на r%, то есть увеличивается в (frac{{100 + r}}{{100}} = t)раз.

(a = 216000) рублей ежегодная выплата, если срок 4 года

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	a	(A cdot t — a)
2	(left( {A cdot t — a} right) cdot t)	a	(left( {A cdot t — a} right) cdot t — a)
3	(left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t)	a	(left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a)
4	(left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t)	a	()(left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a)

(b = 366000) рублей ежегодная выплата, если срок 2 года

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	b	(A cdot t — b)
2	(left( {A cdot t — b} right) cdot t)	b	(left( {A cdot t — b} right) cdot t — b)

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^4}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} cdot (t + 1) + (t + 1))}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t^2} = frac{{a cdot (t + 1) cdot ({t^2} + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} = a cdot {t^2} + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} = a)(t = sqrt {frac{a}{{b — a}}} = sqrt {frac{{216000}}{{366000 — 216000}}} = sqrt {frac{{36}}{{25}}} = frac{6}{5})

(frac{{100 + r}}{{100}} = frac{6}{5},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 20% .)

Ответ: 20.

47В. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита (в млн рублей), при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.

A – сумма кредита (в млн. рублей).

Каждый год сумма кредита увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1) раз.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,1A), а в конце четвёртого и пятого годов платежи составляют по x рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	1,1A	0,1A	A
2	1,1A	0,1A	A
3	1,1A	0,1A	A
4	1,1A	x	(1,1A — x)
5	((1,1A — x)1,1)	x	(left( {1,1A — x} right)1,1 — x)

Остаток в конце пятого года долг полностью погашен, поэтому остаток равен нулю, а общая сумма выплат (0,3A + 2x) должна быть меньше 8 млн. руб.

(left{ begin{array}{l}(1,1A — x)1,1 — x = 0;\0,3A + 2x < 8.end{array} right.)

Выразим из уравнения x и подставим в неравенство: (1,21A = 2,1x,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = frac{{1,21A}}{{2,1}}.)

(0,3A + frac{{2,42A}}{{2,1}} < 8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,0,63A + 2,42A < 16,8,,,,, Leftrightarrow ,,,,3,05A < 16,8,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A < frac{{1680}}{{305}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,A < 5frac{{31}}{{61}}.)

Так как A должно быть наибольшим и целым, то A = 5 млн. рублей.

Ответ: 5.

48В. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита (в млн рублей), при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.

A – сумма кредита (в млн. рублей).

Каждый год сумма кредита увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2) раз.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,2A), а в конце четвёртого и пятого годов платежи составляют по x рублей.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	1,2A	0,2A	A
2	1,2A	0,2A	A
3	1,2A	0,2A	A
4	1,2A	x	(1,2A — x)
5	((1,2A — x)1,2)	x	(left( {1,2A — x} right)1,2 — x)

Остаток в конце пятого года долг полностью погашен, поэтому остаток равен нулю, а общая сумма выплат (0,6A + 2x) должна быть больше 10 млн. руб.

(left{ begin{array}{l}(1,2A — x)1,2 — x = 0;\0,6A + 2x > 10.end{array} right.)

Выразим из уравнения x и подставим в неравенство: (1,44A = 2,2x,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{1,44A}}{{2,2}}.)

(0,6A + frac{{1,44A}}{{1,1}} > 10;,,,,,,0,66A + 1,44A > 11,,,,,, Leftrightarrow ,,,,2,1A > 11,,,, Leftrightarrow ,,,,,A > 5frac{5}{{21}}).

Так как A должно быть наименьшим и целым, то A = 6 млн. рублей.

Ответ: 6.

49В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший—не менее 0,6 млн рублей.

A = 4,5 млн. рублей сумма кредита.

Каждый год долг возрастает на r% и уменьшается заёмщиком на одну и ту же сумму, то есть на (frac{{4,5}}{9} = 0,5) млн. руб.

Следовательно, ежегодные платежи равны 0,5 млн. руб плюс начисленные проценты за год.

Год	Начисленные % (руб)	Платёж (руб)	Остаток (руб)
1	(4,5 cdot frac{r}{{100}})	(4,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5)	4
2	(4 cdot frac{r}{{100}})	(4 cdot frac{r}{{100}} + 0,5)	3,5
…	…	…	…
9	(0,5 cdot frac{r}{{100}})	(0,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5)	0

Наибольший годовой платёж первый (4,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5), а наименьший последний (0,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5). Следовательно:

(left{ begin{array}{l}4,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5 le 1,4\0,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5 ge 0,6end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ begin{array}{l}4,5r le 90\0,5r ge 10end{array} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ begin{array}{l}r le 20\r ge 20end{array} right.,,,,, Rightarrow ,,,r = 20% .)

Ответ: 20.

50В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший—не менее 0,5 млн рублей.

A = 6 млн. рублей сумма кредита.

Каждый год долг возрастает на r% и уменьшается заёмщиком на одну и ту же сумму, то есть на (frac{6}{{15}} = 0,4)млн. руб.

Следовательно, ежегодные платежи равны 0,4 млн. руб. плюс начисленные проценты на остаток за год.

Год	Начисленные % (руб)	Платёж (руб)	Остаток (руб)
1	(6 cdot frac{r}{{100}})	(6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4)	5,6
2	(5,6 cdot frac{r}{{100}})	(5,6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4)	5,2
…	…	…	…
15	(0,4 cdot frac{r}{{100}})	(0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,4)	0

Наибольший годовой платёж первый (6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4), а наименьший последний (0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,4). Следовательно:

(left{ begin{array}{l}6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 le 1,9\0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 ge 0,5end{array} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ begin{array}{l}6r le 150\0,4r ge 10end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ begin{array}{l}r le 25\r ge 25end{array} right.,,,,,,, Rightarrow ,,,r = 25% .)

Ответ: 25.

51В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

A = 28 млн. рублей сумма кредита сроком на n лет, где n – целое.

Каждый год долг возрастает на 25%, то есть увеличивается в 1,25 раза и уменьшается заёмщиком на одну и ту же величину, то есть на (frac{{28}}{n}).

Следовательно, ежегодные платежи равны (frac{{28}}{n}) плюс начисленные проценты на остаток за год.

Год	Начисленные % (руб)	Платёж (руб)	Остаток (руб)
1	(28 cdot frac{{25}}{{100}})	(28 cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{28}}{n})	(frac{{28(n — 1)}}{n})
2	(frac{{28(n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}})	(frac{{28(n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{28}}{n})	(frac{{28(n — 2)}}{n})
…	…	…	…
n	(frac{{28}}{n} cdot frac{{25}}{{100}})	(frac{{28}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{28}}{n})	0

Наибольший годовой платёж первый, то есть: (28 cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{28}}{n} = 9,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{28}}{n} = 2,,,,, Leftrightarrow ,,,,n = 14.)

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 14 лет плюс сумма самого кредита 28 млн. рублей.

(28 + 28 cdot frac{{25}}{{100}} + 26 cdot frac{{25}}{{100}} + … + 2 cdot frac{{25}}{{100}} = 28 + frac{{25}}{{100}} cdot (28 + 26 + … + 2) = 28 + frac{1}{4} cdot frac{{2 + 28}}{2} cdot 14 = )( = 28 + frac{{105}}{2} = 28 + 52,5 = 80,5)млн. рублей.

Ответ: 80,5.

52В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?

A = 9 млн. рублей сумма кредита сроком на n лет, где n – целое.

Каждый год долг возрастает на 25%, то есть в 1,25 раза и уменьшается заёмщиком на одну и ту же величину, то есть на (frac{9}{n}).

Следовательно, ежегодные платежи равны (frac{9}{n})плюс начисленные проценты на остаток за год.

Год	Начисленные % (руб)	Платёж (руб)	Остаток (руб)
1	(9 cdot frac{{25}}{{100}})	(9 cdot frac{{25}}{{100}} + frac{9}{n})	(frac{{9(n — 1)}}{n})
2	(frac{{9(n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}})	(frac{{9(n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{9}{n})	(frac{{9(n — 2)}}{n})
…	…	…	…
n	(frac{9}{n} cdot frac{{25}}{{100}})	(frac{9}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{9}{n})	0

Наименьший годовой платёж последний, то есть: (frac{9}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{9}{n} = 1,25,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{9}{n}left( {frac{1}{4} + 1} right) = frac{5}{4},,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 9.)

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 9 лет плюс сумма самого кредита 9 млн. руб.

(9 + 9 cdot frac{{25}}{{100}} + 8 cdot frac{{25}}{{100}} + … + 1 cdot frac{{25}}{{100}} = 9 + frac{{25}}{{100}} cdot (9 + 8 + … + 1) = 9 + frac{1}{4} cdot frac{{1 + 9}}{2} cdot 9 = 20,25) млн. руб.

Ответ: 20,25.

53В. В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r%;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей. Найдите r.

A – сумма кредита ( в рублях).

Каждый год сумма кредита увеличивается на r %, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

a = 38016 руб. ежегодная выплата, если срок кредита 3 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	a	(A cdot t — a)
2	((A cdot t — a) cdot t)	a	((A cdot t — a) cdot t — a)
3	(((A cdot t — a) cdot t — a)t)	a	(((A cdot t — a) cdot t — a) cdot t — a)

b = 52416 руб. ежегодная выплата, если срок кредита 2 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	b	(A cdot t — b)
2	((A cdot t — b) cdot t)	b	((A cdot t — b) cdot t — b)

(left{ begin{array}{l}((A cdot t — a) cdot t — a) cdot t — a = 0\(A cdot t — b) cdot t — b = 0end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ begin{array}{l}A cdot {t^3} = a cdot ({t^2} + t + 1)\A cdot {t^2} = b cdot (t + 1)end{array} right.)

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^3}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} + t + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} + b cdot t = a cdot {t^2} + a cdot t + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} + (b — a) cdot t — a = 0,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,14400,{t^2} + 14400,t — 38016 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,25,{t^2} + 25,t — 66 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t_1} = frac{6}{5};,,,,,{t_2} = — frac{{11}}{5}.)

({t_2} = — frac{{11}}{5}) не подходит. Следовательно: (frac{{100 + r}}{{100}} = frac{6}{5},,,,, Leftrightarrow ) (r = 20% ).

Ответ: 20.

54В. В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r%;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 56 595 рублей, или за два года равными платежами по 81 095 рублей. Найдите r.

A – сумма кредита ( в рублях)

Каждый год сумма кредита увеличивается на r %, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

a = 56595 рублей ежегодная выплата, если срок кредита 3 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	a	(A cdot t — a)
2	((A cdot t — a) cdot t)	a	((A cdot t — a) cdot t — a)
3	(((A cdot t — a) cdot t — a)t)	a	(((A cdot t — a) cdot t — a) cdot t — a)

b = 81095 рублей ежегодная выплата, если срок кредита 2 года.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	(A cdot t)	b	(A cdot t — b)
2	((A cdot t — b) cdot t)	b	((A cdot t — b) cdot t — b)

Разделим первое уравнение на второе:

( Leftrightarrow ,,,,,,24500 cdot {t^2} + 24500 cdot t — 56595 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 cdot {t^2} + 100 cdot {t^2} — 231 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t_1} = frac{{11}}{{10}};,,,,,{t_2} = — frac{{21}}{{10}}.)

({t_2} = — frac{{21}}{{10}}) не подходит. Следовательно: (frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{11}}{{10}},,,,, Leftrightarrow ) (r = 10% ).

Ответ: 10.

55В. По вкладу ≪А≫ банк в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу ≪Б≫ увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу ≪Б≫, при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад ≪А≫.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «A» каждый год увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,1^3} cdot S).

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 11%, то есть в 1,11 раз, а третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,11^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}}).

Вклад «Б» должен быть менее выгоден, то есть:

({1,11^2} cdot frac{{100 + n}}{{100}} cdot S < {1,1^3} cdot S,left| {,:,S,} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,2321 cdot frac{{100 + n}}{{100}} < 1,331,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 + n < frac{{133,1}}{{1,2321}},,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,n < frac{{9,89}}{{1,2321}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n < frac{{98900}}{{12321}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,n < 8frac{{332}}{{12321}}.)

Так как n наибольшее натуральное, то n = 8%.

Ответ: 8.

56В. По вкладу ≪А≫ банк в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу ≪Б≫ увеличивает эту сумму на 25% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу ≪Б≫, при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад ≪А≫.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «A» каждый год увеличивается на 20%, то есть в 1,2 раза. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,2^3} cdot S).

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 25%, то есть в 1,25 раза, а третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,25^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}}).

Вклад «Б» должен быть менее выгоден, то есть:

({1,25^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}} < {1,2^3} cdot Sleft| {,:,S} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,5625 cdot frac{{100 + n}}{{100}} < 1,728,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 + n < frac{{172,8}}{{1,5625}},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,n < frac{{16,55}}{{1,5625}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n < frac{{1324}}{{125}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n < 10frac{{74}}{{125}}.)

Так как n наибольшее натуральное, то n = 10%.

Ответ: 10.

57В. По вкладу ≪А≫ банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу ≪Б≫ увеличивает эту сумму на 21% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу ≪Б≫, при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада ≪А≫.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «A» каждый год увеличивается на 20%, то есть в 1,2 раза. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,2^3} cdot S)

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 21%, то есть в 1,21 раз, а третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}})раз. Поэтому через 3 года он будет равен:({1,21^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}}).

Вклад «Б» должен быть более выгоден, то есть:

({1,21^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}} > {1,2^3} cdot Sleft| {,:,S} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,4641 cdot frac{{100 + n}}{{100}} > 1,728,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,100 + n > frac{{172,8}}{{1,4641}},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,n > frac{{26,39}}{{1,4641}},,,,, Leftrightarrow ,,,,n > frac{{263900}}{{14641}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n > 18frac{{362}}{{14641}}.)

Так как n наименьшее целое, то n = 19%.

Ответ: 19.

58В. По вкладу ≪А≫ банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу ≪Б≫ увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу ≪Б≫, при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада ≪А≫.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 10% , то есть в 1,1 раза. Поэтому через 3 года он будет равен ({1,1^3} cdot S).

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 1% , то есть в 1,11 раза, а третий год на n% то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,11^2} cdot Sfrac{{100 + n}}{{100}})

Вклад «Б» должен быть более выгоден, то есть:

({1,11^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}} > {1,1^3} cdot S,left| {,:,S} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,2321 cdot frac{{100 + n}}{{100}} > 1,331,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 + n > frac{{133,1}}{{1,2321}},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,n > frac{{98900}}{{12321}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,n > 8frac{{332}}{{12321}}.)

Так как n наименьшее целое, то n = 9%.

Ответ: 9.

59В. По вкладу ≪А≫ банк в конце каждого года планирует увеличивать на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу ≪Б≫—увеличивать эту сумму на 10% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад ≪Б≫ окажется выгоднее вклада ≪А≫ при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 20%, то есть в 1,2 раза. Поэтому через 3 года он будет равен ({1,2^3} cdot S).

Вклад «Б» первый год увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза, а второй и третий на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: (1,1 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2})

Вклад «Б» должен быть выгоднее, то есть:

(1,1 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,2^3} cdot S,,left| {,:S} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,1 cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,2^3})

Решить последнее неравенство без калькулятора достаточно сложно, поэтому решим его подбором. Так как n целое, то проверим n = 25: левая принимает значение 1,71875, а правая – 1,728, то есть при n = 25 неравенство не выполняется. Проверим n = 26: левая часть 1,74636, а правая – 1,728, то есть неравенство выполняется. Следовательно, наименьшее целое значение n при котором вклад «Б» более выгоден 26%.

Ответ: 26.

60В. По вкладу ≪А≫ банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу ≪Б≫—увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад ≪Б≫ окажется выгоднее вклада ≪А≫ при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза. Поэтому через 3 года он будет равен ({1,1^3} cdot S).

Вклад «Б» первый год увеличивается на 5%, то есть в 1,05 раза, а второй и третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: (1,05 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2})

Вклад «Б» должен быть выгоднее, то есть:

(1,05 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,1^3} cdot S,left| {,:} right.,S,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,05 cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,1^3})

Решить последнее неравенство без калькулятора достаточно сложно, поэтому решим его подбором. Так как n целое, то проверим n=12%: левая часть принимает значение 1,31712, а правая – 1,331, то есть при n =12 неравенство не выполняется. Проверим n = 13: левая часть 1,340745, а правая – 1,331, то есть неравенство выполняется. Следовательно, наименьшее целое значение n при котором вклад «Б» более выгоден 13%

Ответ: 13.

61В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S—натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в тыс. рублей)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

S – кредит тыс. рублей (S – натуральное). Каждый год остаток долга увеличивается на 15%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,7S = 0,3S), второй год на (0,7S — 0,4S = 0,3S) и третий год на 0,4S.

Год	Начисленные% (тыс. руб)	Выплата (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
2018	(0,15 cdot S)	(0,15 cdot S + 0,3S)	(0,7S)
2019	(0,15 cdot 0,7S)	(0,15 cdot 0,7S + 0,3S)	0,4S
2020	(0,15 cdot 0,4S)	(0,15 cdot 0,4S + 0,4S)	0

Таким образом, первая выплата: (0,45S = frac{{45}}{{100}}S = frac{9}{{20}} cdot S)

вторая выплата: (0,405S = frac{{405}}{{1000}} cdot S = frac{{81}}{{200}} cdot S)

третья выплата: (0,46S = frac{{46}}{{100}}S = frac{{23}}{{50}}S)

Все выплаты будут целыми, если S делится на 20, 200 и 50, то есть необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20, 200 и 50. Очевидно, что это 200. Следовательно, наименьшее значение S при котором каждая выплата целая: S = 200.

Ответ: 200.

62В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S—натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 17,5% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в тыс. рублей)	S	0,9 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

S – кредит тыс. рублей (S— натуральное)

Каждый год остаток долга увеличивается на 17,5%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,9S = 0,1S), второй год на (0,9S — 0,4S = 0,5S) и третий год на 0,4S.

Год	Начисленные% (тыс. руб)	Выплата (тыс. руб)	Остаток (тыс.руб)
2018	(0,175S)	(0,175S + 0,1S)	0,9S
2019	(0,175 cdot 0,9S)	(0,175 cdot 0,9S + 0,5S)	0,4S
2020	(0,175 cdot 0,4S)	(0,175 cdot 0,4S + 0,4S)	0

Таким образом, первая выплата: (0,275S = frac{{275}}{{1000}}S = frac{{11}}{{40}}S)

вторая выплата: (0,6575S = frac{{6575}}{{10000}}S = frac{{263}}{{400}}S)

третья выплата: (0,47S = frac{{47}}{{100}}S)

Все выплаты будут целыми, если S делится на 40, 400 и 100, то есть необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 40, 400 и 100. Очевидно, что это 400. Следовательно, наименьшее значение S при котором каждая выплата целая: S = 400.

Ответ: 400.

63В. 15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль
Долг (в млн. рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн руб.

Сумма кредита 1 млн. рублей сроком на 6 месяцев под r%, где r – целое.

Месяц	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
Февраль	(1 cdot frac{r}{{100}})	0,6
Март	(0,6 cdot frac{r}{{100}})	0,4
Апрель	(0,4 cdot frac{r}{{100}})	0,3
Май	(0,3 cdot frac{r}{{100}})	0,2
Июнь	(0,2 cdot frac{r}{{100}})	0,1
Июль	(0,1 cdot frac{r}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 6 месяцев плюс сумма самого кредита 1 млн. рублей. По условию задачи общая сумма выплат должна быть меньше 1,25 млн. рублей.

(1 + 1 cdot frac{r}{{100}} + 0,6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,3 cdot frac{r}{{100}} + 0,2 cdot frac{r}{{100}} + 0,1 cdot frac{r}{{100}} < 1,25)

(frac{r}{{100}} cdot (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) < 0,25,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{2,6r}}{{100}} < 0,25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r < frac{{250}}{{26}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r < 9frac{8}{{13}}.)

Так как r наибольшее целое, то r = 9%.

Ответ: 9.

64В. 15 января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

Сумма кредита 1 млн. рублей сроком на 6 месяцев под r%, где r – целое.

Месяц	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
Февраль	(1 cdot frac{r}{{100}})	0,6
Март	(0,6 cdot frac{r}{{100}})	0,4
Апрель	(0,4 cdot frac{r}{{100}})	0,3
Май	(0,3 cdot frac{r}{{100}})	0,2
Июнь	(0,2 cdot frac{r}{{100}})	0,1
Июль	(0,1 cdot frac{r}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 6 месяцев плюс сумма самого кредита 1 млн. рублей. По условию задачи общая сумма выплат должна быть меньше 1,2 млн. рублей.

(1 + 1 cdot frac{r}{{100}} + 0,6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,3 cdot frac{r}{{100}} + 0,2 cdot frac{r}{{100}} + 0,1 cdot frac{r}{{100}} < 1,2)

(frac{r}{{100}} cdot (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) < 0,2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{2,6r}}{{100}} < 0,2,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r < frac{{20}}{{2,6}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,r < 7frac{8}{{13}}.)

Так как r наибольшее целое, то r = 7%.

Ответ: 7.

65В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S—целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021
Долг (в млн. рублей)	S	0,8 S	0,6 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 50 млн рублей.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,8S = 0,2S), второй год на (0,8S — 0,6S = 0,2S), третий год на (0,6S — 0,4S = 0,2S) и четвертый год на 0,4S.

Год	Начисленные % (млн. руб)	Выплата (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
2018	(0,25S)	(0,25S + 0,2S = 0,45S)	(0,8S)
2019	(0,25 cdot 0,8S)	(0,25 cdot 0,8S + 0,2S = 0,4S)	(0,6S)
2020	(0,25 cdot 0,6S)	(0,25 cdot 0,6S + 0,2S = 0,35S)	(0,4S)
2021	(0,25 cdot 0,4S)	(0,25 cdot 0,4S + 0,4S = 0,5S)	0

Чтобы все выплаты были больше 50 млн. рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 50 млн. рублей. Наименьшей является третья выплата – 0,35S. Следовательно:

(0,35S > 50,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S > frac{{5000}}{{35}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S > frac{{1000}}{7},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S > 142frac{6}{7}.)

Так как S наименьшее целое, то S = 143.

Ответ: 143.

66В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн руб., где S— целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021
Долг (в млн. рублей)	S	0,8 S	0,5 S	0,1 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 15%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,8S = 0,2S), второй год на (0,8S — 0,5S = 0,3S), третий год на (0,5S — 0,1S = 0,4S) и четвертый на 0,1S.

Год	Начисленные % (млн. руб)	Выплата (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
2018	($)0,15S$	(0,15S + 0,2S = 0,35S)	(0,8S)
2019	(0,15 cdot 0,8S)	(0,15 cdot 0,8S + 0,3S = 0,42S)	(0,5S)
2020	(0,15 cdot 0,5S)	(0,15 cdot 0,5S + 0,4S = 0,475S)	(0,1S)
2021	(0,15 cdot 0,1S)	(0,15 cdot 0,1S + 0,1S = 0,115S)	0

Тогда общая сумма выплат: (0,35S + 0,42S + 0,475S + 0,115S = 1,36S.)

По условию: (1,36S < 50,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S < frac{{5000}}{{136}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S < frac{{625}}{{17}},,,,, Leftrightarrow ,,,,S < 36frac{{13}}{{17}}.)

Так как S наибольшее целое, то S = 36 млн. руб.

Ответ: 36.

67В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн руб., где S—целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн. рублей)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,7S = 0,3S), второй год на (0,7S — 0,4S = 0,3S) и третий год на 0,4S.

Год	Начисленные % (млн. руб)	Выплата (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
2018	(0,25S)	(0,25S + 0,3S = 0,55S)	(0,7S)
2019	(0,25 cdot 0,7S)	(0,25 cdot 0,7S + 0,3S = 0,475S)	(0,4S)
2020	(0,25 cdot 0,4S)	(0,25 cdot 0,4S + 0,4 = 0,5S)	0

Чтобы все выплаты были больше 5млн. рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 5млн. рублей. Наименьшей является вторая выплата – 0,475S.

(0,475S > 5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S > frac{{5000}}{{475}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S > frac{{200}}{{19}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S > 10frac{{10}}{{19}}.)

Так как S наименьшее целое, то S = 11 млн. руб.

Ответ: 11.

68В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн руб., где S— целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн. рублей)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Год	Начисленные % (млн. руб)	Выплата (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
2018	(0,25S)	(0,25S + 0,3S = 0,55S)	(0,7S)
2019	(0,25 cdot 0,7S)	(0,25 cdot 0,7S + 0,3S = 0,475S)	(0,4S)
2020	(0,25 cdot 0,4S)	(0,25 cdot 0,4S + 0,4S = 0,5S)	0

Наибольшая выплата первая 0,55S, а наименьшая вторая 0,475S и разница между ними должна быть меньше 1млн. рублей:

(0,55S — 0,475S < 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,0,075S < 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S < frac{{1000}}{{75}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,S < frac{{40}}{3},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S < 13frac{1}{3}.)

Так как S наибольшее целое, то S = 13млн. руб.

Ответ: 13.

69В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле 2018, 2019 и 2020 гг. долг остаётся равным S тыс. рублей;
выплаты в 2021 и 2022 годах равны по 625 тыс. рублей;
к июлю 2022 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет. Ответ дайте в тыс. рублей.

S – кредит в тыс. рублей.

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%, то есть в (frac{{100 + 25}}{{100}} = 1,25) раза.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,25S), а в конце четвёртого и пятого годов по 625 тыс. рублей.

Год	Долг после начисления процентов (тыс. руб)	Платёж (тыс. руб)	Остаток после платежа (тыс. руб)
2018	(1,25S)	(0,25S)	S
2019	(1,25S)	(0,25S)	S
2020	(1,25S)	(0,25S)	S
2021	(1,25S)	625	(1,25S — 625)
2022	(left( {1,25S — 625} right)1,25)	625	(left( {1,25S — 625} right)1,25 — 625)

Остаток в конце пятого года равен нулю:

(,left( {frac{5}{4}S — 625} right) cdot frac{5}{4} — 625 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{25}}{{16}}S = 625 cdot frac{5}{4} + 625,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S = frac{{625 cdot 9 cdot 16}}{{4 cdot 25}} = 900.)

Общая сумма выплат за 5 лет равна: (3 cdot 0,25S + 2 cdot 625 = 0,75 cdot 900 + 1250 = 1925) тыс. рублей.

Ответ: 1925.

70В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле 2018, 2019 и 2020 гг. долг остаётся равным S тыс. рублей;
выплаты в 2021 и 2022 годах равны по 360 тыс. рублей;
к июлю 2022 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет. Ответ дайте в тыс. рублей.

S – кредит в тыс. рублей.

Каждый год остаток долга увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2) раза.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,2S), а в конце четвёртого и пятого годов по 360 тыс. рублей.

Год	Долг после начисления процентов (тыс. руб)	Платёж (тыс. руб)	Остаток после платежа (тыс. руб)
2018	(1,2S)	(0,2S)	S
2019	(1,2S)	(0,2S)	S
2020	(1,2S)	(0,2S)	S
2021	(1,2S)	360	(1,2S — 360)
2022	(left( {1,2S — 360} right)1,2)	360	(left( {1,2S — 360} right)1,2 — 360)

Остаток в конце пятого года равен нулю:

(left( {1,2S — 360} right)1,2 — 360 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{1,2^2} cdot S — 360 cdot 1,2 — 360 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S = frac{{360 cdot 2,2}}{{{{1,2}^2}}} = 550) тыс. рублей.

Общая сумма выплат за 5 лет равна: (3 cdot 0,2S + 2 cdot 360 = 0,6 cdot 550 + 720 = 1050) тыс. рублей.

Ответ: 1050.

71В. Пётр взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

A – кредит сроком на 12 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и двенадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{12}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{11A}}{{12}}), через 2 месяца (frac{{10A}}{{12}}) и так далее.

Месяц	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{12}} = frac{{11A}}{{12}})
2	(frac{{11A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{11A}}{{12}} — frac{A}{{12}} = frac{{10A}}{{12}})
…	…	…
12	(frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}})	0

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 13% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{13}}{{100}})

(frac{{12A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{11A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{13}}{{100}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}}(12 + 11 + ….. + 1) = frac{{13A}}{{100}},left| {,:,A} right.,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{12}} cdot frac{{1 + 12}}{2} cdot 12 = 13,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{r}{{12}} cdot frac{{13}}{2} cdot 12 = 13,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r = 2% .)

Ответ: 2.

72В. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

A – кредит сроком на 17 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и семнадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{17}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{16A}}{{17}}), через 2 месяца (frac{{15A}}{{17}}) и так далее.

Месяц	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{17}} = frac{{16A}}{{17}})
2	(frac{{16A}}{{17}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{16A}}{{17}} — frac{A}{{17}} = frac{{15A}}{{17}})
…	…	…
17	(frac{A}{{17}} cdot frac{r}{{100}})	0

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 27% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{27}}{{100}}).

(frac{{17A}}{{17}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{16A}}{{17}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{17}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{27}}{{100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{A}{{17}} cdot frac{r}{{100}}(17 + 16 + ….. + 1) = frac{{27A}}{{100}},left| {,:,A,,,,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{r}{{17}} cdot frac{{1 + 17}}{2} cdot 17 = 27,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{17}} cdot frac{{18}}{2} cdot 17 = 27,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,r = 3% .)

Ответ: 3.

73В. 15 января планируется взять кредит в банке на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 49% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

A – кредит сроком на 48 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и сорок восьмую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{48}}). Таким образам, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{47A}}{{48}}), через 2 месяца (frac{{46A}}{{48}}) и так далее.

Месяц	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{48}} = frac{{47A}}{{48}})
2	(frac{{47A}}{{48}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{47A}}{{48}} — frac{A}{{48}} = frac{{46A}}{{48}})
…	…	…
48	(frac{A}{{48}} cdot frac{r}{{100}})	0

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 49% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 49% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{49}}{{100}})

(frac{{48A}}{{48}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{47A}}{{48}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{48}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{49}}{{100}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{A}{{48}} cdot frac{r}{{100}}(48 + 47 + ….. + 1) = A cdot frac{{49}}{{100}},left| {,:A,,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{r}{{48}} cdot frac{{1 + 48}}{2} cdot 48 = 49,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{48}} cdot frac{{49}}{2} cdot 48 = 49,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 2% .)

Ответ: 2.

74В. 15 января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 20% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

A – кредит сроком на 39 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и тридцать девятую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{39}}). Таким образам, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{38A}}{{39}}), через 2 месяца (frac{{37A}}{{39}}) и так далее.

Месяц	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{39}} = frac{{38A}}{{39}})
2	(frac{{38A}}{{39}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{38A}}{{39}} — frac{A}{{39}} = frac{{37A}}{{39}})
…	…	…
39	(frac{A}{{39}} cdot frac{r}{{100}})	0

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 20% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 20% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{20}}{{100}})

(frac{{39A}}{{39}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{38A}}{{39}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{39}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{20}}{{100}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{A}{{39}} cdot frac{r}{{100}}(39 + 38 + ….. + 1) = frac{{20A}}{{100}},left| {,:A,,,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{r}{{39}} cdot frac{{1 + 39}}{2} cdot 39 = 20,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{39}} cdot frac{{40}}{2} cdot 39 = 20,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r = 1% .)

Ответ: 1.

75В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

A = 16 млн. рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты начисленные за год на остаток и (frac{A}{n}). Тогда остаток через год будет(A — frac{A}{n} = frac{{A cdot (n — 1)}}{n},) через 2 года (frac{{A cdot (n — 2)}}{n}) и так далее.

Год	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{{25}}{{100}})	(frac{{A(n — 1)}}{n})
2	(frac{{A(n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}})	(frac{{A(n — 2)}}{n})
…	…	…
n	(frac{A}{n} cdot frac{{25}}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сам кредит A:

(frac{{A cdot n}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{A cdot (n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + ….. + frac{A}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + A = 38,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{A}{n} cdot frac{{25}}{{100}} cdot (n + (n — 1) + ….. + 1) + A = 38,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{A}{n} cdot frac{1}{4} cdot frac{{1 + n}}{2} cdot n + A = 38,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{16 cdot (1 + n)}}{8} + 16 = 38,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,2left( {1 + n} right) = 22,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 10.)

Ответ: 10.

76В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 47 млн рублей?

A = 20 млн. рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты начисленные за год на остаток и (frac{A}{n}). Тогда остаток через год будет,(A — frac{A}{n} = frac{{A cdot (n — 1)}}{n},) через 2 года (frac{{A cdot (n — 2)}}{n}) и так далее.

Год	Начисленные %	Остаток после платежа
1	(A cdot frac{{30}}{{100}})	(frac{{A(n — 1)}}{n})
2	(frac{{A(n — 1)}}{n} cdot frac{{30}}{{100}})	(frac{{A(n — 2)}}{n})
…	…	…
n	(frac{A}{n} cdot frac{{30}}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сам кредит A:

(frac{{A cdot n}}{n} cdot frac{{30}}{{100}} + frac{{A cdot (n — 1)}}{n} cdot frac{{30}}{{100}} + ….. + frac{A}{n} cdot frac{{30}}{{100}} + A = 47,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{A}{n} cdot frac{{30}}{{100}} cdot (n + (n — 1) + ….. + 1) + A = 47,,,,, Leftrightarrow )

(frac{{20}}{n} cdot frac{3}{{10}} cdot frac{{1 + n}}{2} cdot n + 20 = 47,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,3left( {1 + n} right) = 27,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n = 8.)

Ответ: 8.

77В. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернет банку в течение первого года кредитования?

A = 1.2 млн. рублей кредит сроком на 24 месяца. Каждый месяц банк начисляет 2% на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и уменьшает сумму долга равномерно на одну и ту же величину, то есть на (frac{{1,2}}{{24}} = 0,05) млн. руб.

месяц	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
1	(1,2 cdot frac{2}{{100}})	1,15
2	(1,15 cdot frac{2}{{100}})	1,1
…	…	…
12	(0,65 cdot frac{2}{{100}})	0,6
13	(0,6 cdot frac{2}{{100}})	0,55
…	…	…
24	(0,05 cdot frac{2}{{100}})	0

За первый год заемщик выплатит половину суммы кредита 0,6 млн. рублей плюс проценты начисленные за первые 12 месяцев.

(0,6 + 1,2 cdot frac{2}{{100}} + 1,15 cdot frac{2}{{100}} + … + 0,65 cdot frac{2}{{100}} = 0,6 + frac{2}{{100}}left( {1,2 + 1,15 + … + 0,65} right) = )

( = 0,6 + frac{2}{{100}} cdot frac{{1,2 + 0,65}}{2} cdot 12 = 0,6 + frac{{1,85 cdot 12}}{{100}} = 0,822) млн. рублей.

Ответ: 822 000 рублей.

78В. 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

A = 2,4 млн. рублей кредит сроком на 24 месяца. Каждый месяц банк начисляет 3% на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и уменьшает сумму долга равномерно на одну и ту же величину, то есть на (frac{{2,4}}{{24}} = 0,1) млн. руб.

месяц	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
1	(2,4 cdot frac{3}{{100}})	2,3
2	(2,3 cdot frac{3}{{100}})	2,2
…	…	…
12	(1,3 cdot frac{3}{{100}})	1,2
13	(1,2 cdot frac{3}{{100}})	1,1
…	…	…
24	(0,1 cdot frac{3}{{100}})	0

За первые 12 месяцев заемщик выплатит половину суммы кредита в 1,2 млн рублей плюс проценты начисленные за первые 12 месяцев.

(1,2 + 2,4 cdot frac{3}{{100}} + 2,3 cdot frac{3}{{100}} + … + 1,3 cdot frac{3}{{100}} = 1,2 + frac{3}{{100}} cdot (2,4 + 2,3 + … + 1,3) = )

( = 1,2 + frac{3}{{100}} cdot frac{{2,4 + 1,3}}{2} cdot 12 = 1,2 + frac{{3 cdot 3,7 cdot 6}}{{100}} = 1,866) млн. рублей.

Ответ: 1 866 000 рублей.

79В. В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на m% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите m.

В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%, то есть в 1,25 раза. Поэтому в 2017 среднемесячный доход на душу населения составит (43740 cdot {1,25^3}).

В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60000 рублей. Пусть в 2014 году в регионе B было x жителей. Тогда их суммарный доход был (60000 cdot x), который в течение трех лет увеличивался на 17%, то есть в 1,17 раза и в 2017 году составил (60000 cdot x cdot {1,17^3}). Но при этом количество жителей увеличивалось на m% , то есть в (frac{{100 + m}}{{100}}) раз.

Поэтому количество жителей в 2017 году было (x cdot {left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)^3}). Тогда среднемесячный доход на душу населения в регионе B в 2017 году был ({frac{{60000 cdot x cdot 1,17}}{{x cdot {{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)}^3}}}^3} = {frac{{60000 cdot 1,17}}{{{{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)}^3}}}^3}.)

По условию среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B в 2017 стал одинаковым.

(43740 cdot {1,25^3} = {frac{{60000 cdot 1.17}}{{{{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)}^3}}}^3},,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)^3} = frac{{60000 cdot {{1,17}^3}}}{{43740 cdot {{1,25}^3}}},,,,,,, Leftrightarrow )

({left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)^3} = frac{{1000 cdot {{1,17}^3}}}{{729 cdot {{1,25}^3}}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{100 + m}}{{100}} = frac{{10 cdot 1,17}}{{9 cdot 1,25}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{100 + m}}{{100}} = frac{{26}}{{25}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,m = 4.)

Ответ: 4.

80В. В Чистополе среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 27 500 рублей и ежегодно увеличивался на 28%. В Казани среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 39 600 рублей. В течение двух лет суммарный доход жителей Казани увеличивался на 12% ежегодно, а население увеличивалось на x% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в Чистополе и Казани стал одинаковым. Найдите x.

В Чистополе среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 27500 рублей и ежегодно увеличивался на 28%, то есть в 1,28 раза. Поэтому в 2017 среднемесячный доход на душу населения составит (27500 cdot {1,28^2}).

В Казани среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 39600 рублей. Пусть в 2015 году в Казани было n жителей. Тогда их суммарный доход был (39600 cdot n), который в течении двух лет увеличивался на 12%, то есть в 1,12 раза и в 2017 году составил (39600 cdot n cdot {1,12^2}). Но при этом количество жителей увеличивалось на x%, то есть в (frac{{100 + x}}{{100}}) раз.

Поэтому количество жителей в 2017 году было (n cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}). Тогда среднемесячный доход на душу населения в Казани 2017 году был:

({frac{{39600 cdot n cdot 1,12}}{{n cdot {{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)}^2}}}^2} = {frac{{39600 cdot 1,12}}{{{{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)}^2}}}^2}.)

По условию среднемесячный доход на душу населения в Чистополе и Казани в 2017 стал одинаковым.

(27500 cdot {1,28^2} = {frac{{39600 cdot 1,12}}{{{{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)}^2}}}^2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} = frac{{39600 cdot {{1,12}^2}}}{{27500 cdot {{1,28}^2}}},,,,,, Leftrightarrow );

( Leftrightarrow ,,,,,,,{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} = frac{{36 cdot {{1,12}^2}}}{{25 cdot {{1,28}^2}}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{100 + x}}{{100}} = frac{{6 cdot 1,12}}{{5 cdot 1,28}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{100 + x}}{{100}} = frac{{6 cdot 7}}{{5 cdot 8}},,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 5.)

Ответ: 5.

81В. 15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн рублей?

A — кредит в млн. рублей сроком на 16 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 2% на остаток, а заемщик выплачивает эти начисленные проценты и шестнадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{16}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{15A}}{{16}}), через 2 месяца (frac{{14A}}{{16}}) и так далее.

Год	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
1	(A cdot frac{2}{{100}})	(A — frac{A}{{16}} = frac{{15A}}{{16}})
2	(frac{{15A}}{{16}} cdot frac{2}{{100}})	(frac{{15A}}{{16}} — frac{A}{{16}} = frac{{14A}}{{16}})
…	…	…
16	(frac{A}{{16}} cdot frac{2}{{100}})	0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.

(A + frac{{16A}}{{16}} cdot frac{2}{{100}} + frac{{15A}}{{16}} cdot frac{2}{{100}} + … + frac{A}{{16}} cdot frac{2}{{100}} = 2,34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{A}{{16}} cdot frac{2}{{100}} cdot left( {16 + 15 + … + 1} right) = 2,34,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{A}{{800}} cdot frac{{1 + 16}}{2} cdot 16 = 2,34,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{17A}}{{100}} = 2,34,,,,, Leftrightarrow ,,,,1,17A = 2,34,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = 2.)

Ответ: 2 000 000 рублей.

82В. 15 января планируется взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83 млн рублей?

A — кредит в млн. рублей сроком на 10 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 4% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты начисленные и десятую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{10}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{9A}}{{10}}), через 2 месяца (frac{{8A}}{{10}}) и так далее.

Год	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
1	(A cdot frac{4}{{100}})	(A — frac{A}{{10}} = frac{{9A}}{{10}})
2	(frac{{9A}}{{10}} cdot frac{4}{{100}})	(frac{{9A}}{{10}} — frac{A}{{10}} = frac{{8A}}{{10}})
…	…	…
10	(frac{A}{{10}} cdot frac{4}{{100}})	0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.

(A + frac{{10A}}{{10}} cdot frac{4}{{100}} + frac{{9A}}{{10}} cdot frac{4}{{100}} + … + frac{A}{{10}} cdot frac{4}{{100}} = 1,83,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{A}{{10}} cdot frac{4}{{100}} cdot left( {10 + 9 + … + 1} right) = 1,83,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{A}{{250}} cdot frac{{1 + 10}}{2} cdot 10 = 1,83,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{11A}}{{50}} = 1,83,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,22A = 1,83,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A = 1,5) млн. руб.

Ответ: 1 500 000.

83В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Так как в конце n– го месяца долг составил 200 тысяч рублей, то за n месяцев долг был уменьшен на (1000 — 200 = 800) тысяч рублей. Учитывая, что первые n месяцев долг уменьшался на 40 тысяч рублей каждый месяц, то (n = frac{{800}}{{40}} = 20).

Год	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(1000 cdot frac{r}{{100}})	(1000 — 40 = 960)
2	(960 cdot frac{r}{{100}})	(960 — 40 = 920)
…	…	…
20	(240 cdot frac{r}{{100}})	(240 — 40 = 200)
21	(200 cdot frac{r}{{100}})	(200 — 200 = 0)

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: (1378 — 1000 = 378) тысяч рублей.

(1000 cdot frac{r}{{100}} + 960 cdot frac{r}{{100}} + … + 240 cdot frac{r}{{100}} + 200 cdot frac{r}{{100}} = 378,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,frac{r}{{100}} cdot left( {1000 + 960 + .. + 200} right) = 378,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{r}{{100}} cdot frac{{1000 + 200}}{2} cdot 21 = 378,,,, Leftrightarrow ,,,,126 cdot r = 378,,,, Leftrightarrow ,,,,r = 3.)

Ответ: 3.

84В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей.

Так как в конце n– го месяца долг составил 400 тысяч рублей, то за n месяцев долг был уменьшен на (1200 — 400 = 800) тысяч рублей. Учитывая, что первые n месяцев долг уменьшался на 80 тысяч рублей каждый месяц, то (n = frac{{800}}{{80}} = 10).

Год	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(1200 cdot frac{r}{{100}})	(1200 — 80 = 1120)
2	(1120 cdot frac{r}{{100}})	(1120 — 80 = 1040)
…	…	…
10	(480 cdot frac{r}{{100}})	(480 — 80 = 400)
11	(400 cdot frac{r}{{100}})	(400 — 400 = 0)

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: (1288 — 1200 = 88) тысяч рублей.

(1200 cdot frac{r}{{100}} + 1120 cdot frac{r}{{100}} + … + 480 cdot frac{r}{{100}} + 400 cdot frac{r}{{100}} = 88,,,,, Leftrightarrow )

(frac{r}{{100}} cdot left( {1200 + 1120 + … + 400} right) = 88,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{r}{{100}} cdot frac{{1200 + 400}}{2} cdot 11 = 88,,,,, Leftrightarrow ,,,,,88 cdot r = 88,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 1.)

Ответ: 1.

85В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?

A – кредит в тыс. рублей сроком на 26 месяцев.

В течение первых 25 месяцев банк начисляет 3% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и еще 20 тыс. рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–20, через 2 месяца A–40 и так далее, а через 25 месяцев A–500.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{3}{{100}})	A–20
2	((A — 20) cdot frac{3}{{100}})	A–40
…	…	…
25	((A — 480) cdot frac{3}{{100}})	A–500
26	((A — 500) cdot frac{3}{{100}})	0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно:

(A + A cdot frac{3}{{100}} + (A — 20) cdot frac{3}{{100}} + … + (A — 480) cdot frac{3}{{100}} + (A — 500) cdot frac{3}{{100}} = 1407,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{3}{{100}}(A + (A — 20) + … + (A — 480) + (A — 500)) = 1407,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{3}{{100}} cdot frac{{A + A — 500}}{2} cdot 26 = 1407,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{3 cdot (A — 250) cdot 26}}{{100}} = 1407,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,100 cdot A + 78 cdot A — 1950 = 140700,,,,, Leftrightarrow ,,,,178 cdot A = 160200,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = 900.)

Следовательно, долг в конце 25-го месяца равен: (A — 500 = 900 — 500 = 400) тысяч рублей.

Ответ: 400 000.

86В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

A = 1100 тыс. рублей кредит сроком на 31 месяц.

В течение первых 30 месяцев банк начисляет 2% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и еще х тыс. рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–х, через 2 месяца A–2х и так далее, а через 30 месяцев A–30х.

месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{2}{{100}})	A–х
2	((A — x) cdot frac{2}{{100}})	A–2x
…	…	…
30	((A — 29x) cdot frac{2}{{100}})	A–30x
31	((A — 30x) cdot frac{2}{{100}})	0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: (1503 — 1100 = 403) тысяч рублей.

(A cdot frac{2}{{100}} + (A — x) cdot frac{2}{{100}} + … + (A — 29x) cdot frac{2}{{100}} + (A — 30x) cdot frac{2}{{100}} = 403,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{2}{{100}}(A + (A — x) + … + (A — 29x) + (A — 30x)) = 403,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{2}{{100}} cdot frac{{A + A — 30x}}{2} cdot 31 = 403,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{2A — 30x}}{{100}} = 13,,,,, Leftrightarrow ,,,,,2200 — 30x = 1300,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 30.)

Таким образам, долг 15–го числа 30–го месяца будет равен: (A — 30x = 1100 — 30 cdot 30 = 200) тысяч рублей.

Ответ: 200 000.

87В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

A – кредит в тыс. рублей сроком на 21 месяц.

В течение первых 20 месяцев банк начисляет 3% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и ещё 30 тысяч рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–30, через 2 месяца A–60 и так далее, а через 20 месяцев A–600.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{3}{{100}})	A–30
2	((A — 30) cdot frac{3}{{100}})	A–60
…	…	…
20	((A — 570) cdot frac{3}{{100}})	A–600
21	((A — 600) cdot frac{3}{{100}})	0

(A + A cdot frac{3}{{100}} + (A — 30) cdot frac{3}{{100}} + … + (A — 570) cdot frac{3}{{100}} + (A — 600) cdot frac{3}{{100}} = 1604,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{3}{{100}} cdot (A + (A — 30) + … + (A — 570) + (A — 600)) = 1604,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{3}{{100}} cdot frac{{A + A — 600}}{2} cdot 21 = 1604,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{63}}{{100}} cdot (A — 300) = 1604,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,100A + 63A — 18900 = 160400,,,,, Leftrightarrow ,,,,163A = 179300,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = 1100) тыс. рублей.

Ответ: 1 100 000 рублей.

88В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

A – кредит в тыс. рублей сроком на 13 месяцев.

В течение первых 12 месяцев банк начисляет 2% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и еще 50 тыс. рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–50, через 2 месяца A–100 и так далее, а через 12 месяцев A–600.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{2}{{100}})	A–50
2	((A — 50) cdot frac{2}{{100}})	A–100
…	…	…
25	((A — 550) cdot frac{2}{{100}})	A–600
26	((A — 600) cdot frac{2}{{100}})	0

(A + A cdot frac{2}{{100}} + (A — 50) cdot frac{2}{{100}} + … + (A — 550) cdot frac{2}{{100}} + (A — 600) cdot frac{2}{{100}} = 804,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{2}{{100}}(A + (A — 50) + … + (A — 550) + (A — 600)) = 804,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,A + frac{{26}}{{100}} cdot (A — 300) = 804,,,,, Leftrightarrow ,,,,A + frac{2}{{100}} cdot frac{{A + A — 600}}{2} cdot 13 = 804,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,100 cdot A + 26 cdot A — 7800 = 80400,,,,, Leftrightarrow ,,,,126 cdot A = 88200,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = 700.)

Ответ: 700 000 рублей.

89В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

(A = 300) тысяч рублей кредит сроком на 21 месяц.

Так как первые 20 месяцев долг уменьшался на одну и ту же сумму и 15–го числа 20–го месяца составил 100 тысяч рублей, то он уменьшался на (frac{{300 — 100}}{{20}} = 10) тысяч рублей.

Следовательно, 15–го числа 1–го месяца долг равен (300 — 10 = 290), 2–го месяца (290 — 10 = 280) и так далее, а в конце 20–го месяца 100 тысяч рублей.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(300 cdot frac{2}{{100}})	290
2	(290 cdot frac{2}{{100}})	280
…	…	…
20	(110 cdot frac{2}{{100}})	100
21	(100 cdot frac{2}{{100}})	0

Общая сумма выплат после полного погашение кредита равна сумме самого кредита (300 тысяч рублей) и начисленным процентам.

(begin{array}{l}300 + 300 cdot frac{2}{{100}} + 290 cdot frac{2}{{100}} + … + 110 cdot frac{2}{{100}} + 100 cdot frac{2}{{100}} = 300 + frac{2}{{100}} cdot left( {300 + 290 + … + 110 + 100} right) = \end{array})

( = 300 + frac{2}{{100}} cdot frac{{300 + 100}}{2} cdot 21 = 300 + 84 = 384) тыс. рублей.

Ответ: 384 000.

90В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 500 тысяч рублей на 31 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа 30-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

(A = 500) тысяч рублей кредит сроком на 31 месяц.

Так как первые 30 месяцев долг уменьшался на одну и ту же сумму и 15–го числа 30–го месяца составил 200 тысяч рублей то он уменьшался на (frac{{500 — 200}}{{30}} = 10) тысяч руб.

Следовательно, 15–го числа 1–го месяца долг равен (500 — 10 = 490), 2–го месяца (490 — 10 = 480) и так далее, а в конце 30–го месяца 200 тысяч рублей.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(500 cdot frac{1}{{100}})	490
2	()(490 cdot frac{1}{{100}})	480
…	…	…
20	(210 cdot frac{1}{{100}})	200
21	(200 cdot frac{1}{{100}})	0

Общая сумма выплат после полного погашение кредита равна сумме самого кредита (500 тысяч рублей) и начисленным процентам.

(500 + 500 cdot frac{1}{{100}} + 490 cdot frac{1}{{100}} + .. + 210 cdot frac{1}{{100}} + 200 cdot frac{1}{{100}} = 500 + frac{1}{{100}} cdot left( {500 + 490 + … + 210 + 200} right) = )

( = 500 + frac{1}{{100}} cdot left( {500 + 490 + … + 210 + 200} right) = 500 + frac{1}{{100}} cdot frac{{500 + 200}}{2} cdot 31 = 500 + frac{{217}}{2} = 608,5) тысяч рублей.

Ответ: 608 500.

91В. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей.

А – первоначальный вклад (в млн. руб); А – целое. Срок кредита 4 года, под 10% годовых.

Год	Сумма в начале года (млн. руб)	Сумма в конце года (млн. руб)
1	(A)	(A cdot 1,1)
2	()(A cdot 1,1)	(A cdot 1,1 cdot 1.1)
3	(A cdot {1,1^2} + 3)	((A cdot {1,1^2} + 3) cdot 1,1)
4	((A cdot {1,1^2} + 3) cdot 1,1 + 3)	(((A cdot {1,1^2} + 3)1,1 + 3) cdot 1,1)

Так как банк за 4 года, должен начислить больше 5 млн. рублей, то в конце четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это А+3+3 млн. руб.) и плюс к ней начисленные проценты (это 5 млн. рублей).

(left( {left( {A cdot {{1,1}^2} + 3} right) cdot 1,1 + 3} right)1,1,,, > ,,A + 3 + 3 + 5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A cdot {1,1^4} + 3 cdot {1,1^2} + 3 cdot 1,1,,, > A + 11,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,1,4641A — A,,, > ,,11 — 3,3 — 3,63,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,0,4641A,,, > 4,07,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,, > ,frac{{40700}}{{4641}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,, > ,8frac{{3572}}{{4641}}.)

Так как А должно быть наименьшим и целым, то А = 9 млн. рублей.

Ответ: 9.

92В. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 5 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 12 млн рублей.

А – первоначальный вклад (в млн. руб); А – целое. Срок кредита 4 года, под 20% годовых.

Год	Сумма в начале года (млн. руб)	Сумма в конце года (млн. руб)
1	(A)	(A cdot 1,2)
2	()(A cdot 1,2)	(A cdot 1,2 cdot 1.2)
3	(A cdot {1,2^2} + 5)	((A cdot {1,2^2} + 5) cdot 1,2)
4	((A cdot {1,2^2} + 5) cdot 1,2 + 5)	(((A cdot {1,2^2} + 5)1,2 + 5) cdot 1,2)

Так как банк за 4 года, должен начислить больше 12 млн. рублей ,то в конце четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это А+5+5 млн. руб.) и плюс к ней начисленные проценты (это 12 млн. рублей).

(left( {left( {A cdot {{1,2}^2} + 5} right)1,2 + 5} right)1,2,, > ,,A + 5 + 5 + 12,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A cdot {1,2^4} + 5 cdot {1,2^2} + 5 cdot 1,2,, > ,,A + 10 + 12,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,2,0736A — A,,, > ,,22 — 6 — 7,2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,0736A,,, > ,,8,8,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,,, > ,,frac{{88000}}{{10736}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,, > ,,8frac{{12}}{{61}}.)

Так как А должно быть наименьшим и целым, то А = 9 млн. рублей.

Ответ: 9.

93В. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.

А = 10 млн. рублей вклад сроком на 4 года, под 10% годовых.

Год	Сумма в начале года (млн. руб)	Сумма в конце года (млн. руб)
1	(10)	(10 cdot 1,1)
2	(10 cdot 1,1)	(10 cdot 1,1 cdot 1,1)
3	(10 cdot {1,1^2} + x)	((10 cdot {1,1^2} + x) cdot 1,1)
4	((10 cdot {1,1^2} + x) cdot 1,1 + x)	(((10 cdot {1,1^2} + x) cdot 1,1 + x) cdot 1,1)

Так как банк за 4 года должен начислить больше 7млн. рублей, то в конце четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это 10+х+х млн. рублей) и плюс к ней начисленные проценты (это 7млн. рублей).

(left( {left( {10 cdot {{1,1}^2} + x} right)1,1 + x} right)1,1,,, > ,,10 + x + x + 7,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10 cdot {1,1^4} + {1,1^2}x + 1,1x,,, > ,,2x + 17,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,2,31x — 2x,,, > ,,17 — 14,641,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,0,31x,,, > ,,2,359,,,,, Leftrightarrow ,,,,x,, > ,frac{{2359}}{{310}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,x,, > ,7frac{{189}}{{310}}.)

Так как х должен быть наименьшим и целым, то х = 8 млн. рублей.

Ответ: 8.

94В. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 24 млн рублей.

А = 20 млн. рублей вклад сроком на 4 года, под 20% годовых.

Год	Сумма в начале года (млн. руб)	Сумма в конце года (млн. руб)
1	(20)	(20 cdot 1,2)
2	(20 cdot 1,2)	(20 cdot 1,2 cdot 1,2)
3	(20 cdot {1,2^2} + x)	((20 cdot {1,2^2} + x) cdot 1,2)
4	((20 cdot {1,2^2} + x) cdot 1,2 + x)	(((20 cdot {1,2^2} + x) cdot 1,2 + x) cdot 1,2)

Так как банк за 4 года должен начислить больше 24млн. рублей, то в конце четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это 20+х+х млн. рублей) и плюс к ней начисленные проценты (это 24млн.рублей).

(left( {left( {20 cdot {{1,2}^2} + x} right)1,2 + x} right)1,12,, > ,,20 + x + x + 24,,,,, Leftrightarrow ,,,,20 cdot {1,2^4} + {1,2^2}x + 1,2x,,, > ,,2x + 44,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{{{6^2}}}{{{5^2}}}x + frac{6}{5}x — 2x,,, > ,,44 — 20 cdot frac{{{6^4}}}{{{5^4}}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{36 + 30 — 50}}{{{5^2}}}x,,, > ,,44 — frac{{4 cdot {6^4}}}{{{5^3}}},,,, Leftrightarrow ,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{{16}}{{{5^2}}}x,, > ,frac{{4 cdot left( {11 cdot {5^3} — {6^4}} right)}}{{{5^3}}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x,, > ,frac{{79}}{{20}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x,, > ,,3frac{{19}}{{20}}.)

Так как х должен быть наименьшим и целым, то х = 4 млн. рублей.

Ответ: 4.

95В. В банке A начисляют на вклад 40% годовых, а в банке Б 60% годовых. Иван Петрович положил часть денег в банк А, а оставшуюся сумму в банк Б. Через два года сумма положенная в банки увеличилась на 150%. Какую часть денег он положил в банк А?

Пусть Иван Петрович владеет суммой S из которой х он положил в банк А, а (S — x) в банк Б. В банке А за год вклад увеличивается на 40%, то есть в (frac{{100 + 40}}{{100}} = 1,4) раза, а в банке Б на 60%, то есть (frac{{100 + 60}}{{100}} = 1,6) раза.

Таким образом, через 2 года в банке А сумма на вкладе будет равна ({1,4^2} cdot x), а в банке Б ({1,6^2} cdot left( {S — x} right)).

Так как через 2 года сумма положенная в банки (S) увеличилась на 150%, то она увеличилась в (frac{{100 + 150}}{{100}} = 2,5) раза, то есть стала равна (2,5S).

({1,4^2} cdot x + {1,6^2}left( {S — x} right) = 2,5S,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,96x + 2,56S — 2,56x = 2,5S,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,0,6x = 0,06S,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{1}{{10}}S.)

Следовательно, Иван Петрович положил в банк А (frac{1}{{10}}) часть от суммы которой владел.

Ответ: (frac{1}{{10}}).

96В. Инна Николаевна получила кредит в банке под определенный процент годовых. В конце первого и второго года в счет погашения кредита она возвращала в банк 1/9 от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени. В конце третьего года в счет полного погашения кредита Инна Николаевна внесла в банк сумму, которая на 12,5% превышала величину полученного кредита. Какой процент годовых по кредиту в данном банке?

Пусть Инна Николаевна получила кредит сумма которого равна А под х% годовых. Следовательно, в конце каждого года остаток долга увеличивался в (frac{{100 + x}}{{100}} = t) раз. Так как в конце первого и второго годов она возвращала в банк (frac{1}{9}) от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени, то ее долг оставался (frac{8}{9}) от этой суммы.

Год	Долг в конце года до выплаты	Выплата	Остаток долга после выплаты
1	(At)	(frac{1}{9}At)	(frac{8}{9}At)
2	(frac{8}{9}A{t^2})	(frac{1}{9} cdot frac{8}{9}A{t^2})	({left( {frac{8}{9}} right)^2}A{t^2})
3	({left( {frac{8}{9}} right)^2}A{t^3})	({left( {frac{8}{9}} right)^2}A{t^3})	0

По условию задачи третья выплата на 12,5% больше суммы кредита, то есть она равна 112,5% от А, то есть (frac{{112,5}}{{100}}A = 1,125A = 1frac{1}{8}A = frac{9}{8}A.) Следовательно:

({left( {frac{8}{9}} right)^2} cdot A{t^3} = frac{{112,5}}{{100}}A,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{left( {frac{8}{9}} right)^2} cdot A{t^3} = frac{9}{8}A,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{left( {frac{8}{9}} right)^2}{t^3} = frac{9}{8},,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t^3} = {left( {frac{9}{8}} right)^3},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,t = frac{9}{8}.)

(frac{{100 + x}}{{100}} = frac{9}{8},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,800 + 8x = 900,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = frac{{100}}{8} = 12,5% ,.,,,,)

Ответ: 12,5.

97В. Ангелина Денисовна Курбанова открыла вклад в банке на 1 млн рублей сроком на 3 года. В конце каждого года на сумму лежащую в банке начисляется 20%. В конце каждого из первых 2-х лет (после начисления процентов) Ангелина Денисовна снимает одинаковую сумму. Эта сумма должна быть такой, чтобы через 3 года после начисления процентов на 3-й год у нее на счету было не менее 1,1 млн рублей. Какую максимальную сумму она может снимать? Ответ округлите до целой тысячи рублей в меньшую сторону.

А = 1 млн. рублей вклад сроком на 3 года. В конце каждого года вклад увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2) раза. Пусть в конце первого и второго годов Ангелина Денисовна снимает сумму х тысяч рублей. Тогда в конце первого года на вкладе останется сумма: (1,2A — x); в конце второго года: (left( {1,2A — x} right)1,2 — x); в конце третьего года: (left( {left( {1,2A — x} right)1,2 — x} right)1,2).

По условию задачи: (left( {left( {1,2A — x} right)1,2 — x} right)1,2,, ge ,,1100.)

Так как х в тыс. рублей, то А = 1000 тыс. рублей. Следовательно:

({1,2^3} cdot 1000 — {1,2^2}x — 1,2x,, ge ,,1100,,,,, Leftrightarrow ,,,,, — 2,64x,, ge ,,1100 — 1728,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,, — 2,64x,, ge ,, — 628,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x,, le ,,frac{{62800}}{{264}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x,, le ,,frac{{7850}}{{33}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x,, le ,,237frac{{29}}{{33}}.)

Так как х наибольшее и целое, то х = 237 тысяч рублей.

Ответ: 237.

98В. Предприниматель Олег Михайлович вложил 2/5 своего капитала в покупку товара A, 50% оставшегося капитала в покупку товара Б, а оставшиеся средства в покупку товара В. При реализации товара А Олег Михайлович получил прибыль в размере 20%, а при реализации товара Б убыток 10%. Какой процент прибыли получил Олег Михайлович от реализации товара В, если общая прибыль от реализации всех трех товаров составила 11%?

Пусть капитал равен S. Тогда (frac{2}{5}S) вложили в покупку товара А; оставшийся капитал (frac{3}{5}S), 50% (то есть половину) вложили в покупку товара Б, то есть (frac{3}{{10}}S) и оставшиеся средства (left( {S — frac{2}{5}S — frac{3}{{10}}S = frac{3}{{10}}S} right)) в покупку товара В.

После реализации товара А Олег Михайлович получил сумму: (frac{2}{5}S cdot 1,2). После реализации товара Б сумму: (frac{3}{{10}}S cdot 0,9).

Пусть при реализация товара В была получена прибыль х%, то есть сумма (frac{3}{{10}}S cdot frac{{100 + x}}{{100}}.) Тогда:

(frac{2}{5}S cdot 1,2 + frac{3}{{10}}S cdot 0,9 + frac{3}{{10}}S cdot frac{{100 + x}}{{100}} = S cdot frac{{111}}{{100}},,left| {,:,} right.,S,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{2}{5} cdot frac{6}{5} + frac{3}{{10}} cdot frac{9}{{10}} + frac{3}{{10}} cdot frac{{100 + x}}{{100}} = frac{{111}}{{100}},,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{3}{{10}} cdot frac{{100 + x}}{{100}} = frac{{36}}{{100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,100 + x = 120,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 20.)

Ответ: 20.

99В. Алина Алексеевна взяла в кредит 1,8 млн. рублей на 36 месяцев. По договору Алина Алексеевна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 3%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алиной Алексеевной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Алиной Алексеевной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и те же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Алина Алексеевна вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению с третьим годом?

Сумма долга уменьшается равномерно на (frac{{1,8}}{{36}} = 0,05) млн. рублей в месяц.

Месяц	Начисленные % (млн. руб)	Остаток (млн. руб)
1	(1,8 cdot frac{3}{{100}})	1,75
2	()(1,75 cdot frac{3}{{100}})	1,7
…	…	…
12	(1,25 cdot frac{3}{{100}})	1,2
……	…….	……
25	(0,6 cdot frac{3}{{100}})	0,55
26	(0,55 cdot frac{3}{{100}})	0,5
…	…	…
36	(0,05 cdot frac{3}{{100}})	0

Сумма, выплаченная за первый год равна (12 cdot 0,05) плюс проценты, начисленные за первые 12 месяцев:

(12 cdot 0,05 + 1,8 cdot frac{3}{{100}} + 1,75 cdot frac{3}{{100}} + … + 1,25 cdot frac{3}{{100}} = 0,6 + frac{3}{{100}} cdot frac{{1,8 + 1,25}}{2} cdot 12 = 0,6 + 0,549 = 1,149)

Сумма, выплаченная за третий год равна (12 cdot 0,05) плюс проценты, начисленные с 25–го по 36–й месяц:

(12 cdot 0,05 + 0,6 cdot frac{3}{{100}} + 0,55 cdot frac{3}{{100}} + … + 0,05 cdot frac{3}{{100}} = 0,6 + frac{3}{{100}} cdot frac{{0,6 + 0,05}}{2} cdot 12 = 0,6 + 0,117 = 0,717.)

Следовательно, разница между первым и третьим годом: (1,149 — 0,717 = 0,432) млн. рублей.

Ответ: 432 000.

100В. Данил Витальевич 1 апреля планирует взять кредит в банке на 24 месяца. Условия возврата таковы:

— 15 числа каждого месяца долг возрастает на r% (r – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;

— с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.

Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что за второй год было выплачено более чем на 20% меньше, нежели за первый год.

А – кредит сроком на 24 месяца под r% в месяц.

Долг в течение 24 месяцев уменьшается равномерно, то есть на (frac{A}{{24}}).

Месяц	Начисленные %	Остаток
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{24}} = frac{{23A}}{{24}})
2	()(frac{{23A}}{{24}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{23A}}{{24}} — frac{A}{{24}} = frac{{22A}}{{24}})
…..	……	……
12	(frac{{13A}}{{24}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{13A}}{{24}} — frac{A}{{24}} = frac{{12A}}{{24}})
13	(frac{{12A}}{{24}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{12A}}{{24}} — frac{A}{{24}} = frac{{11A}}{{24}})
……	…….	……
24	(frac{A}{{24}} cdot frac{r}{{100}})	0

Выплаты за первый год: (12 cdot frac{A}{{24}} + frac{r}{{100}} cdot frac{{A + frac{{13A}}{{24}}}}{2} cdot 12 = frac{A}{2} + frac{{37A cdot r}}{{400}}.)

Выплаты за второй год: (12 cdot frac{A}{{24}} + frac{r}{{100}} cdot frac{{frac{{12A}}{{24}} + frac{A}{{24}}}}{2} cdot 12 = frac{A}{2} + frac{{13A cdot r}}{{400}}.)

(begin{array}{*{20}{c}}{frac{A}{2} + frac{{37Ar}}{{400}} — 100% }\{frac{A}{2} + frac{{13Ar}}{{400}} — 80% }end{array},,,,,,,, Rightarrow ,,,,,0,8left( {frac{A}{2} + frac{{37Ar}}{{400}}} right),,, > ,,frac{A}{2} + frac{{13Ar}}{{400}},,,,, Leftrightarrow ,)

( Leftrightarrow ,,,,,frac{{0,8 cdot 37 cdot A cdot r}}{{400}} — frac{{13Ar}}{{400}},,, > ,,frac{A}{2} — 0,8frac{A}{2},,left| {,:} right.,A,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{16,6r}}{{400}},, > ,,0,1,,,, Leftrightarrow ,,,,r,, > ,,frac{{400}}{{166}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r,, > ,,frac{{200}}{{83}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r,, > ,,2frac{{34}}{{83}},.)

Так как r целое и наименьшее, то r = 3%.

Ответ: 3.

101В. Кирилл Николаевич положил в банк некоторую сумму на 5 лет под определенный процент. За второй год вклад увеличился на 8100 рублей, а за четвертый на 14400 рублей. На сколько рублей увеличился вклад у Кирилла Николаевича за пятый год?

А – вклад сроком на 5 лет под х% годовых. Каждый год вклад увеличивается в (frac{{100 + x}}{{100}} = t) раз.

Год	Сумма в начале года	Сумма в конце года
1	(A)	(A cdot t)
2	(A cdot t)	(A cdot {t^2})
3	(A cdot {t^2})	(A cdot {t^3})
4	(A cdot {t^3})	(A cdot {t^4})
5	(A cdot {t^4})	(A cdot {t^5})

За второй год вклад увеличился на: (A{t^2} — At), а за четвёртый год на: (A{t^4} — A{t^3}).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A{t^4} — A{t^3} = 14400;}\{A{t^2} — At = 8100.}end{array}} right.)

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A{t^4} — A{t^3}}}{{A{t^2} — At}} = frac{{14400}}{{8100}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{A{t^2}left( {{t^2} — t} right)}}{{Aleft( {{t^2} — t} right)}}, = frac{{144}}{{81}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t^2} = frac{{144}}{{81}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t_1} = frac{4}{3};,,,,,,{t_2} = — frac{4}{3}.)

({t_2} = — frac{4}{3}) не подходит.

За пятый год вклад увеличился на: (A{t^5} — A{t^4} = t cdot left( {A{t^4} — A{t^3}} right) = frac{4}{3} cdot 14400 = 19200) рублей.

Ответ: 19 200.

102В. Гражданин Гусев взял кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S, взятой в кредит. Схема выплата кредита следующая: в конце каждого года банк увеличивает на 25% оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в банк очередной платеж. После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до 20% годовых, и гражданин Гусев внес третий платеж. Четвертым платежом долг был погашен полностью. Сколько процентов от первоначальной суммы S составлял четвертый платеж по кредиту гражданина Гусева?

S – кредит сроком на 4 года. Первые 2 года остаток кредита увеличивается в 1,25 раза, а 3-й и 4-й в 1,2 раза. Первые 3 выплаты (frac{S}{2}), а последняя х.

Год	Долг после начисления процентов	Выплата	Остаток после выплаты
1	(frac{5}{4}S)	(frac{1}{2}S)	(frac{5}{4}S — frac{1}{2}S = frac{3}{4}S)
2	(frac{5}{4} cdot frac{3}{4}S)	(frac{1}{2}S)	(frac{{15}}{{16}}S — frac{1}{2}S = frac{7}{{16}}S)
3	(frac{6}{5} cdot frac{7}{{16}}S)	(frac{1}{2}S)	(frac{{21}}{{40}}S — frac{1}{2}S = frac{1}{{40}}S)
4	(frac{6}{5} cdot frac{1}{{40}}S)	x	(frac{3}{{100}}S — x = 0)

Так как (x = frac{3}{{100}}S), то четвертый платеж составляет 3% от первоначальной суммы S.

Ответ: 3.

103В. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа месяца и все следующие месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на 50 тысяч рублей, в течении 1-го года, на 30 тысяч рублей в течении 2-го года.

Найдите сумму выплаченную банку?

Так как в течении первого года долг уменьшался на 50 тысяч рублей каждый месяц, а в течении второго года на 30 тысяч рублей и за 2 года был полностью выплачен, то сумма кредита равна: (50 cdot 12 + 30 cdot 12 = 960) тысяч рублей.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(960 cdot frac{1}{{100}})	910
2	(910 cdot frac{1}{{100}})	860
…	…	…
12	(410 cdot frac{1}{{100}})	360
13	(360 cdot frac{1}{{100}})	330
14	(330 cdot frac{1}{{100}})	300
…	…	…
24	(30 cdot frac{1}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (960 тысяч рублей) и начисленным процентам.

(960 + 960 cdot frac{1}{{100}} + 910 cdot frac{1}{{100}} + … + 410 cdot frac{1}{{100}} + 360 cdot frac{1}{{100}} + 330 cdot frac{1}{{100}} + … + 30 cdot frac{1}{{100}} = )

( = 960 + frac{1}{{100}} cdot left( {960 + 910 + … + 410} right) + frac{1}{{100}} cdot left( {360 + 330 + … + 30} right) = )

( = 960 + frac{1}{{100}} cdot frac{{960 + 410}}{2} cdot 12 + frac{1}{{100}} cdot frac{{360 + 30}}{2} cdot 12 = 960 + 82,2 + 23,4 = 1065,6) тысяч рублей.

Ответ: 1 065 600.

104В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

А = 600 тысяч рублей кредит сроком на n+1 месяц. Пусть первые n месяцев долг уменьшался на х тысяч рублей.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{3}{{100}})	(A — x)
2	()(left( {A — x} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — 2x)
…	…	…
n	(left( {A — left( {n — 1} right)x} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — nx = 200)
n+1	(left( {A — nx} right) cdot frac{3}{{100}})	0

Так как общая сумма выплаченная банку равна 852 тысячи рублей, то переплата, то есть начисленные проценты, равна: (852 — 600 = 252) тыс. рублей.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A cdot frac{3}{{100}} + left( {A — x} right) cdot frac{3}{{100}} + … + left( {A — nx} right) cdot frac{3}{{100}} = 252;}\{A — nx = 200.}end{array}} right.)

Из первого уравнения: (frac{3}{{100}} cdot frac{{A + A — nx}}{2} cdot left( {n + 1} right) = 252). Так как (A — nx = 200,) то:

(left( {A + 200} right)left( {n + 1} right) = 16800,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left( {600 + 200} right)left( {n + 1} right) = 16800,,,,, Leftrightarrow ,,,,n = 20.)

Следовательно, кредит был взят на (n + 1 = 21) месяц.

Ответ: 21.

105В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

А – кредит в тыс. рублей сроком на 21 месяца под 1% в месяц.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Платёж (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{1}{{100}})	(A cdot frac{1}{{100}} + frac{A}{{21}})	(A — frac{A}{{21}} = frac{{20A}}{{21}})
2	(frac{{20A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}})	(frac{{20A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}} + frac{A}{{21}})	(frac{{20A}}{{21}} — frac{A}{{21}} = frac{{19A}}{{21}})
…	…	…	…
11	(frac{{11A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}})	(frac{{11A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}} + frac{A}{{21}})	(frac{{11A}}{{21}} — frac{A}{{21}} = frac{{10A}}{{21}})
…	…	…	…
21	(frac{A}{{21}} cdot frac{1}{{100}})	(frac{A}{{21}} cdot frac{1}{{100}} + frac{A}{{21}})	(frac{A}{{21}} — frac{A}{{21}} = 0)

Воспользуемся тем, что 11–я выплата равна 44,4тыс.рублей:

(frac{{11A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}} + frac{A}{{21}} = 44,4,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{{111A}}{{21 cdot 100}} = 44,4,,,,, Leftrightarrow ,,,,111A = 4440 cdot 21,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A = 40 cdot 21 = 840) тыс. рублей.

Общая сумма выплат равна сумме кредита А = 840 тысяч рублей плюс начисленные проценты:

(A + frac{{21A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}} + frac{{20A}}{{21}} cdot frac{1}{{100}} + … + frac{A}{{21}} cdot frac{1}{{100}} = A + frac{1}{{100}} cdot frac{A}{{21}} cdot left( {21 + 20 + … + 1} right) = )

( = A + frac{A}{{2100}} cdot frac{{21 + 1}}{2} cdot 21 = A + frac{{11A}}{{100}} = frac{{111A}}{{100}} = frac{{840 cdot 111}}{{100}} = 932,4) тыс. рублей.

Ответ: 932 400.

106В. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 1240 тысяч рублей на (n + 2) месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1,5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа первые два месяца долг должен уменьшиться на 220 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей.

Найдите n, если всего было выплачено банку 1519,9 тысяч рублей?

А = 1240 тысяч рублей кредит сроком на (n+2) месяца под 1,5% в месяц.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(1240 cdot frac{{1,5}}{{100}})	1020
2	()(1020 cdot frac{{1,5}}{{100}})	800
3	(800 cdot frac{{1,5}}{{100}})	(800 — a)
4	(left( {800 — a} right) cdot frac{{1,5}}{{100}})	(800 — 2a)
…	…	…
n+2	(left( {800 — left( {n — 1} right)a} right) cdot frac{{1,5}}{{100}})	(800 — an = 0)

Так как сумма кредита 1240 тысяч рублей, а общая сумма выплат 1519,9 тыс. рублей, то переплата, то есть начисленные проценты составляют: (1519,9 — 1240 = 279,9) тыс. рублей.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1240 cdot frac{{1,5}}{{100}} + 1020 cdot frac{{1,5}}{{100}} + 800 cdot frac{{1,5}}{{100}} + left( {800 — a} right) cdot frac{{1,5}}{{100}} + … + left( {800 — left( {n — 1} right)a} right) cdot frac{{1,5}}{{100}} = 279,9,}\{800 — an = 0.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.)

Из второго уравнения: (a,n = 800.) Из первого уравнения:

(frac{{1,5}}{{100}}left( {1240 + 1020 + frac{{800 + 800 — left( {n — 1} right)a}}{2} cdot n} right) = 279,9,,,,, Leftrightarrow ,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,frac{{800 + 800 — an + a}}{2} cdot n = 18660 — 2260,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{800 + 800 — 800 + a}}{2} cdot n = 16400,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,frac{{800n + an}}{2} = 16400,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{800n + 800}}{2} = 16400,,,,, Leftrightarrow ,,,,400n + 400 = 16400,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n = 40.)

Ответ: 40.

107В. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 950 тысяч рублей на (n + 2) месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа последние два месяца долг должен уменьшиться на 300 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей.

Найдите n, если всего было выплачено банку 1188,5 тысяч рублей?

А = 950 тысяч рублей кредит сроком на (n+2) месяца под 2% в месяц.

Месяц	Начисленные %	Остаток
1	(950 cdot frac{2}{{100}})	(950 — a)
2	()(left( {950 — a} right)frac{2}{{100}})	(950 — 2a)
…	…	…
n	(left( {950 — aleft( {n — 1} right)} right)frac{2}{{100}})	(950 — an)
n+1	(left( {950 — an} right) cdot frac{2}{{100}})	(950 — an — 300)
n+2	(left( {950 — an — 300} right) cdot frac{2}{{100}})	(950 — an — 600 = 0)

Так как сумма кредита 950 тысяч рублей, а общая сумма выплат 1188,5 тыс. рублей, то переплата, то есть начисленные проценты составляют: (1188,5 — 950 = 238,5) тыс. рублей.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{950 cdot frac{2}{{100}} + left( {950 — a} right)frac{2}{{100}} + … + left( {950 — aleft( {n — 1} right)} right) cdot frac{2}{{100}} + left( {950 — an} right) cdot frac{2}{{100}} + left( {950 — an — 300} right) cdot frac{2}{{100}} = 238,5}\{950 — a,n — 600 = 0.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.)

Из второго уравнения: (a,n = 350.) Из второго уравнения:

(frac{2}{{100}} cdot left( {frac{{950 + 950 — an}}{2} cdot left( {n + 1} right) + 300} right) = 238,5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{1900 — 350}}{2} cdot left( {n + 1} right) = 11925 — 300,,,,, Leftrightarrow ,,,,n = 14.)

Ответ: 14.

108В. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 1750 тысяч рублей на 28 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа первые три месяца долг должен уменьшиться на а тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на в тысяч рублей.

Найдите а, если всего было выплачено банку 1925 тысяч рублей?

А = 1750 тысяч рублей кредит сроком на 28 месяцев под 1% в месяц.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{1}{{100}})	(A — a)
2	()(left( {A — a} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 2a)
3	()(left( {A — 2a} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 3a)
4	()(left( {A — 3a} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 3a — b)
5	()(left( {A — 3a — b} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 3a — 2b)
…	…	…
28	()(left( {A — 3a — 24b} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 3a — 25b = 0)

Так как сумма кредита 1750 тысяч рублей, а общая сумма выплат 1925 тыс. рублей, то переплата, то есть начисленные проценты составляют: (1925 — 1750 = 175) тыс. рублей.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{1}{{100}} cdot left( {frac{{A + A — 2a}}{2} cdot 3 + frac{{A — 3a + A — 3a — 24b}}{2} cdot 25} right) = 175;}\{A — 3a — 25b = 0.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.)

Из второго уравнения: (25b = A — 3a.) Из первого уравнения:

(3A — 3a + 25A — 75a — 300b = 17500,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28A — 78a — 12 cdot left( {A — 3a} right) = 17500,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,16 cdot 1750 — 42a = 17500,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,a = 250) тысяч рублей.

Ответ: 250.

109В. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа первые два месяца и последний долг должен уменьшиться на а тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на в тысяч рублей.

Найдите а, если всего было выплачено банку 656,4 тысяч рублей?

А = 480 тысяч рублей кредит сроком на 27 месяцев под 3% в месяц.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{3}{{100}})	(A — a)
2	()(left( {A — a} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — 2a)
3	()(left( {A — 2a} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — 2a — b)
4	()(left( {A — 2a — b} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — 2a — 2b)
…	…	…
26	()(left( {A — 2a — 23b} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — 2a — 24b)
27	()(left( {A — 2a — 24b} right) cdot frac{3}{{100}})	(A — 3a — 24b = 0)

Так как сумма кредита 480 тысяч рублей, а общая сумма выплат 656,4 тыс. рублей, то переплата, то есть начисленные проценты составляют: (656,4 — 480 = 176,4) тыс. рублей.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{3}{{100}} cdot left( {A + A — a + frac{{A — 2a + A — 2a — 24b}}{2} cdot 25} right) = 176,4}\{A — 3a — 24b = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2A — a + 25A — 50a — 300b = 5880}\{480 — 3a — 24b = 0;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,, Leftrightarrow )

Из второго уравнения: (b = frac{{160 — a}}{8}.) Подставим в первое:

(27 cdot 480 — 51a — 300 cdot frac{{160 — a}}{8} = 5880,,,,, Leftrightarrow ,,,,,4320 — 17a — 2000 + frac{{25}}{2}a = 1960,,,, Leftrightarrow ,,,,,a = 80) тысяч рублей.

Ответ: 80.

110В. 15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 68 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа последние три месяца долг должен уменьшиться на 300 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей.

Найдите S, если всего было выплачено банку 3748 тысяч рублей?

S – кредит (в тыс. рублей) сроком на 68 месяцев под 1,5% в месяц.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(S cdot frac{{1,5}}{{100}})	(S — a)
2	()(left( {S — a} right) cdot frac{{1,5}}{{100}})	(S — 2a)
…	…	…
65	()(left( {S — 64a} right) cdot frac{{1,5}}{{100}})	(S — 65a = 900)
66	(900 cdot frac{{1,5}}{{100}})	600
67	(600 cdot frac{{1,5}}{{100}})	300
68	()(300 cdot frac{{1,5}}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (S) плюс начисленные проценты.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{S + frac{{1,5}}{{100}} cdot left( {frac{{S + S — 64a}}{2} cdot 65 + 900 + 600 + 300} right) = 3748}\{S — 65a = 900;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,, Leftrightarrow ,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{S + frac{{1,5}}{{100}} cdot left( {65S — 32 cdot 65a + 1800} right) = 3748}\{65a = S — 900,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.)

(S + frac{{1,5}}{{100}} cdot left( {65S — 32 cdot S + 32 cdot 900 + 1800} right) = 3748,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S + frac{{49,5 cdot S}}{{100}} + 459 = 3748,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,149,5S = 328900,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S = 2200) тысяч рублей.

Ответ: 2 200.

111В. 15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 32 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа первый и последний месяцы долг должен уменьшиться на 250 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей.

Найдите S, если всего было выплачено банку 2061,5 тысяч рублей?

S – кредит (в тыс. рублей) сроком на 32 месяца под 2% в месяц.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(S cdot frac{2}{{100}})	(S — 250)
2	()(left( {S — 250} right) cdot frac{2}{{100}})	(S — 250 — a)
3	()(left( {S — 250 — a} right) cdot frac{2}{{100}})	(S — 250 — 2a)
…	…	…
31	()(left( {S — 250 — 29a} right) cdot frac{2}{{100}})	(S — 250 — 30a = 250)
32	()(left( {S — 250 — 30a} right) cdot frac{2}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (S) плюс начисленные проценты.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{S + frac{2}{{100}} cdot left( {S + frac{{S — 250 + S — 250 — 30a}}{2} cdot 31} right) = 2061,5}\{S — 250 — 30a = 250;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,, Leftrightarrow ,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{50S + S + left( {S — 250 — frac{{30}}{2}a} right)31 = 103075}\{30a = S — 500,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.)

(51S + 31S — 250 cdot 31 — frac{{31}}{2} cdot 30a = 103075,,,, Leftrightarrow ,,,,,82S — 250 cdot 31 — frac{{31}}{2}left( {S — 500} right) = 103075,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,82S — 250 cdot 31 — 15,5S + 250 cdot 31 = 103075,,,,, Leftrightarrow ,,,,,66,5S = 103075,,,,, Leftrightarrow ,,,,S = 1550) тысяч рублей.

Ответ: 1 550.

112В. В июле планируется взять кредит в банке на 12 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту в 2 раза больше наименьшего платежа.

А – кредит сроком на 12 лет под r % годовых. Так как долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна (frac{A}{{12}}). Следовательно, ежегодные выплаты равны (frac{A}{{12}}) плюс начисленные проценты на остаток.

Год	Начисленные %	Выплата	Остаток
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{12}} + A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{12}} = frac{{11A}}{{12}})
2	(frac{{11A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{12}} + frac{{11A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{11A}}{{12}} — frac{A}{{12}} = frac{{10A}}{{12}})
…	…	…	…
12	(frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{12}} + frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{12}} — frac{A}{{12}} = 0)

Наибольшая выплата первая: (frac{A}{{12}} + A cdot frac{r}{{100}}).

Наименьшая выплата последняя: (frac{A}{{12}} + frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}}).

Следовательно:

(frac{A}{{12}} + A cdot frac{r}{{100}} = 2 cdot left( {frac{A}{{12}} + frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}}} right),,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{A}{{12}} cdot left( {1 + frac{{12r}}{{100}}} right) = 2 cdot frac{A}{{12}} cdot left( {1 + frac{r}{{100}}} right),,left| {:,A} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,,1 + frac{{12r}}{{100}} = 2 + frac{{2r}}{{100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{{10r}}{{100}} = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 10% .)

Ответ: 10.

113В. В июле планируется взять кредит в банке на 13 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту в 3 раза больше наименьшего платежа.

А – кредит сроком на 13 лет под r % годовых. Так как долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна (frac{A}{{13}}). Следовательно, ежегодные выплаты равны (frac{A}{{13}}) плюс начисленные проценты на остаток.

Год	Начисленные %	Выплата	Остаток
1	(A cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{13}} + A cdot frac{r}{{100}})	(A — frac{A}{{13}} = frac{{12A}}{{13}})
2	(frac{{12A}}{{13}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{13}} + frac{{12A}}{{13}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{{12A}}{{13}} — frac{A}{{13}} = frac{{11A}}{{13}})
…	…	…	…
13	(frac{A}{{13}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{13}} + frac{A}{{13}} cdot frac{r}{{100}})	(frac{A}{{13}} — frac{A}{{13}} = 0)

Наибольшая выплата первая: (frac{A}{{13}} + A cdot frac{r}{{100}}).

Наименьшая выплата последняя: (frac{A}{{13}} + frac{A}{{13}} cdot frac{r}{{100}}).

Следовательно:

(frac{A}{{13}} + A cdot frac{r}{{100}} = 3 cdot left( {frac{A}{{13}} + frac{A}{{13}} cdot frac{r}{{100}}} right),,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{A}{{13}} cdot left( {1 + frac{{13r}}{{100}}} right) = frac{A}{{13}} cdot 3 cdot left( {1 + frac{r}{{100}}} right),,left| {:,A} right.,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,1 + frac{{13r}}{{100}} = 3 + frac{{3r}}{{100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{10r}}{{100}} = 2,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 20% .)

Ответ: 20.

114В (ЕГЭ 2021). В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

ОТВЕТ: 1 400 тыс. рублей.

А = 700 тысяч рублей кредит сроком на 10 лет. Так как кредит уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна (700:10 = 70) тысяч рублей.

Год	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(700 cdot frac{{19}}{{100}})	630
2	(630 cdot frac{{19}}{{100}})	560
…	…	…
5	(420 cdot frac{{19}}{{100}})	350
6	(350 cdot frac{{16}}{{100}})	280
7	(280 cdot frac{{16}}{{100}})	210
…	…	…
10	(70 cdot frac{{16}}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (700 тысяч рублей) плюс начисленные проценты.

(700 + 700 cdot frac{{19}}{{100}} + 630 cdot frac{{19}}{{100}} + … + 420 cdot frac{{19}}{{100}} + 350 cdot frac{{16}}{{100}} + 280 cdot frac{{16}}{{100}} + … + 70 cdot frac{{16}}{{100}} = )

( = 700 + frac{{19}}{{100}} cdot frac{{700 + 420}}{2} cdot 5 + frac{{16}}{{100}} cdot frac{{350 + 70}}{2} cdot 5 = 700 + 532 + 168 = 1400) тысяч рублей.

Ответ: 1 400 тыс. рублей.

115В (ЕГЭ 2021). В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

А = 600 тысяч рублей кредит сроком на 6 лет. Так как кредит уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна (600:6 = 100) тысяч рублей.

Год	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(600 cdot frac{r}{{100}})	500
2	(500 cdot frac{r}{{100}})	400
3	(400 cdot frac{r}{{100}})	300
4	(300 cdot frac{{15}}{{100}})	200
5	(200 cdot frac{{15}}{{100}})	100
6	(100 cdot frac{{15}}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (600 тысяч рублей) плюс начисленные проценты.

(600 + 600 cdot frac{r}{{100}} + 500 cdot frac{r}{{100}} + 400 cdot frac{r}{{100}} + 300 cdot frac{{15}}{{100}} + 200 cdot frac{{15}}{{100}} + 100 cdot frac{{15}}{{100}} = 930,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,left( {600 + 500 + 400} right) cdot frac{r}{{100}} = 930 — 600 — 45 — 30 — 15,,,, Leftrightarrow ,,,15r = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,r = 16% .)

Ответ: 16.

116В (ЕГЭ 2021). 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;

— 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

А – кредит (в тыс. рублей) сроком на 31 месяц под 2% в месяц. Так как кредит первые 30 месяцев каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину и в конце 30–го месяца составил 100 тысяч рублей, то он уменьшался на (frac{{A — 100}}{{30}} = t) тысяч рублей.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{2}{{100}})	(A — t)
2	(left( {A — t} right) cdot frac{2}{{100}})	(A — 2t)
…	…	…
30	(left( {A — 29t} right) cdot frac{2}{{100}})	(A — 30t)
31	(left( {A — 30t} right) cdot frac{2}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (А) плюс начисленные проценты.

(A + A cdot frac{2}{{100}} + left( {A — t} right) cdot frac{2}{{100}} + … + left( {A — 30t} right) cdot frac{2}{{100}} = 555,,,,, Leftrightarrow ,,,,A + frac{2}{{100}} cdot frac{{A + A — 30t}}{2} cdot 31 = 555,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{1}{{50}} cdot left( {A — 15t} right) cdot 31 = 555,,,,, Leftrightarrow ,,,,,50A + 31A — 15 cdot 31 cdot frac{{A — 100}}{{30}} = 555 cdot 50,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,81A — frac{{31}}{2}A + 1550 = 27750,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{131A}}{2} = 26200,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A = 400) тысяч рублей.

Ответ: 400 тыс. рублей.

117В (ЕГЭ 2021). 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й (с января 2025 года по август 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 августа 2026 года долг составит 200 тысяч рублей;

— 15 сентября 2026 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 905 тысяч рублей?

А – кредит (в тыс. рублей) сроком на 21 месяц под 1% в месяц. Так как кредит первые 20 месяцев каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину и в конце 20–го месяца составил 200 тысяч рублей, то он уменьшался на (frac{{A — 200}}{{20}} = t) тысяч рублей.

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	(A cdot frac{1}{{100}})	(A — t)
2	(left( {A — t} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 2t)
…	…	…
20	(left( {A — 19t} right) cdot frac{1}{{100}})	(A — 20t)
21	(left( {A — 20t} right) cdot frac{1}{{100}})	0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (А) плюс начисленные проценты.

(A + A cdot frac{1}{{100}} + left( {A — t} right) cdot frac{1}{{100}} + … + left( {A — 20t} right) cdot frac{1}{{100}} = 905,,,, Leftrightarrow ,,,,A + frac{1}{{100}} cdot frac{{A + A — 20t}}{2} cdot 21 = 905,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{1}{{100}} cdot left( {A — 10t} right) cdot 21 = 905,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,100A + 21A — 10 cdot 21 cdot frac{{A — 200}}{{20}} = 90500,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,121A — frac{{21}}{2}A + 2100 = 90500,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,110,5A = 88400,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,A = 800) тысяч рублей.

Ответ: 800 тыс. рублей.

118В (ЕГЭ 2020). В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.

А = 630 тысяч рублей кредит сроком на 5 лет под r % годовых, то есть каждый год остаток долга увеличивается в (frac{{100 + r}}{{100}} = 1 + frac{r}{{100}} = 1 + t) раз, где (t = frac{r}{{100}}). Пусть х выплата в конце 4–го и 5–го годов.

Год	Долг после начисления процентов (тыс. руб)	Платёж (тыс. руб)	Остаток после платежа (тыс. руб)
1	(Aleft( {1 + t} right))	(At)	А
2	(Aleft( {1 + t} right))	(At)	А
3	(Aleft( {1 + t} right))	(At)	А
4	(Aleft( {1 + t} right))	х	(Aleft( {1 + t} right) — x)
5	(left( {Aleft( {1 + t} right) — x} right)left( {1 + t} right))	х	(left( {Aleft( {1 + t} right) — x} right)left( {1 + t} right) — x)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3At + 2x = 915;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{A{{left( {1 + t} right)}^2} — xleft( {1 + t} right) — x = 0;}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2x = 915 — 3At;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{Aleft( {1 + 2t + {t^2}} right) = xleft( {2 + t} right).}end{array}} right.)

Из первого уравнения: (x = frac{{915 — 3At}}{2}). Подставим во второе уравнение

(Aleft( {1 + 2t + {t^2}} right) = frac{{915 — 3At}}{2} cdot left( {2 + t} right),,,,, Leftrightarrow ,,,,,1260 + 2520t + 1260{t^2} = 1830 + 915t — 3780t — 1890{t^2},,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,3150{t^2} + 5385t — 570 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,210{t^2} + 359t — 38 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t_1} = frac{1}{{10}};,,,,,,,,,,,,{t_2} = — frac{{38}}{{21}}.)

Корень ({t_2} = — frac{{38}}{{21}}) не подходит. Следовательно: (frac{r}{{100}} = frac{1}{{10}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r = 10% .)

Ответ: 10.

119В (ЕГЭ 2020). В кредит взяли 21 млн. рублей на 5 лет под r% годовых. По условиям кредита, на конец первых трёх лет задолженность остаётся неизменной и равной 21 млн. рублей, а выплаты последних двух лет равны. На конец пятого года кредит должен быть погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех выплат составит 30,5 млн. рублей.

А = 21 млн. рублей кредит сроком на 5 лет под r % годовых, то есть каждый год остаток долга увеличивается в (frac{{100 + r}}{{100}} = 1 + frac{r}{{100}} = 1 + t) раз, где (t = frac{r}{{100}}). Пусть х выплата в конце 4–го и 5–го годов.

Год	Долг после начисления процентов (млн. руб)	Платёж (млн. руб)	Остаток после платежа (млн. руб)
1	(Aleft( {1 + t} right))	(At)	А
2	(Aleft( {1 + t} right))	(At)	А
3	(Aleft( {1 + t} right))	(At)	А
4	(Aleft( {1 + t} right))	х	(Aleft( {1 + t} right) — x)
5	(left( {Aleft( {1 + t} right) — x} right)left( {1 + t} right))	х	(left( {Aleft( {1 + t} right) — x} right)left( {1 + t} right) — x)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3At + 2x = 30,5;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{A{{left( {1 + t} right)}^2} — xleft( {1 + t} right) — x = 0;}end{array},,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2x = 30,5 — 3At;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{Aleft( {1 + 2t + {t^2}} right) = xleft( {2 + t} right).}end{array}} right.} right.)

Из первого уравнения: (x = frac{{30,5 — 3At}}{2}). Подставим во второе уравнение.

(Aleft( {1 + 2t + {t^2}} right) = frac{{30,5 — 3At}}{2} cdot left( {2 + t} right),,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,42 + 84t + 42{t^2} = 61 + 30,5t — 126t — 63{t^2},,,,, Leftrightarrow )

(105{t^2} + 179,5t — 19 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t_1} = frac{1}{{10}};,,,,,,,,,,,,{t_2} = — frac{{38}}{{21}}.)

Корень ({t_2} = — frac{{38}}{{21}}) не подходит. Следовательно: (frac{r}{{100}} = frac{1}{{10}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r = 10% .)

Ответ: 10.

Источник