Задачи по геометрии на объем егэ базовый уровень

1)Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см ×  40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

2)Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 5.

3)Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5,
а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

4)Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка

в четыре раза ниже второй, а вторая

в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой?

5)Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна 4. Найдите объём призмы АВСА1В1С1

6)Объём  конуса равен  24π, а  его  высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

7)Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h= 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте

в сантиметрах.

8)В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды

в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

9)Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6,

а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

10)Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

11)В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды

в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре

1000 кубических сантиметров.

12)Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5,

а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого

13)Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

14)В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 120 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

15)

15)Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

16)Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса

---

Наглядная стереометрия

---

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры – например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии – они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

---

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 13МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Записать формулу объема цилиндра.
2. Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
3. Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
4. Полученное уравнение решить относительно второй высоты h₂.
5. Подставить данные и вычислить искомую величину.

Решение:

Запишем формулу объема цилиндра.

Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r².

Следовательно, объем цилиндра равен π • r² • h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.

V₁ = π r₁ ² h₁

V₂ = π r₂ ² h₂

Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

V₁ = V₂

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

π r₁ ² h₁ = π r₂ ² h₂

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h₂.

h₂ – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h₂ =( π r₁ ² h₁)/ π r₂ ²

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r₂ = 4 r₁ .

Подставим r₂ = 4 r₁ в выражение для h_1.

Получим: h₂ =( π r₁ ² h₁)/ π (4 r₁) ²

Полученную дробь сократим на π, получим h₂ =( r₁ ² h₁)/ 16 r₁ ²

Полученную дробь сократим на r₁, получим h₂ = h₁/ 16.

Подставим известные данные: h₂ = 80/ 16 = 5 см.

Ответ: 5.

---

Вариант 13МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
3. Найти отношение объемов.
4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
5. Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V₁ = a₁ · b₁ · c₁

V₂ = a₂ · b₂ · c₂

Найдем отношение объемов.

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c₁ = 4,5 c₂ (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),

b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂) = (a₁ · b₁ · 4,5c₂)/ ( 3a₁ · 3b₁ · c₂) = (a₁ · b₁ · 4,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂)

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · 4,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй.

Ответ: 2.

---

Вариант 13МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
3. Найти отношение объемов.
4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
5. Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V₁ = a₁ · b₁ · c₁

V₂ = a₂ · b₂ · c₂

Найдем отношение объемов.

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c₁ = 1,5 c₂ (первая коробка в полтора раза выше второй), b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂) = (a₁ · b₁ · 1,5c₂)/ ( 3a₁ · 3b₁ · c₂) = (a₁ · b₁ · 1,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂)

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · 1,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй.

Ответ: 6.

---

Вариант 13МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

[/su_note]

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Ответ: 14.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового “куба”. Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

---

Вариант 13МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.
2. Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
3. Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
4. Вычисляем отношение объемов.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=πR²H. Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R₁, а его высоту – через Н₁. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R₂, а высоту – через Н₂.

Отсюда получим: V₁=πR₁²H₁, V₂=πR₂²H₂.

Запишем искомое отношение объемов:

.

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

.

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

---

Вариант 13МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V₁ и V₂.
2. Фиксируем значение для V₁. Выражаем V₂ через V₁. Находим значение V₂.
3. Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.

Решение:

Объем бака до погружения V₁=5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V₂. Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V₂=1,4V₁.

Отсюда получаем: V₂=1,4·5=7 (л).

Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

V₂–V₁=7–5=2 (л).

2 л=2·1000=2000 (куб.см).

---

Вариант 13МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.
2. На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.
3. Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h₂.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=S_оснh=πR²h.

Объем воды в 1-м сосуде: V₁=πR₁²h₁.

Объем во 2-м сосуде: V₂=πR₂²h₂.

Приравниваем V₁ и V₂: πR₁²h₁=πR₂²h₂.

Сокращаем на π, выражаем h₂:

 .

По условию R₂=2R₁. Отсюда:

.

---

Вариант 13МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем количество вершин у треугольной призмы.
2. Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.

Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

---

Вариант 13МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.
2. Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.
3. Записываем формулу для вычисления объема призмы.
4. Адаптируем эту формулу для объемов коробок.
5. Находим отношение объемов.

Решение:

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а₁, а для второй а₂. Высоты коробок обозначим соответственно h₁ и h₂. Объемы – V₁ и V₂.

Согласно условию, h₂=4,5h₁, а₁=3а₂.

Объем призмы равен: V=S_оснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то S_осн=а². Отсюда: V=a²h.

Для 1-й коробки имеем: V₁=a₁²h₁. Для 2-й коробки: V₂=a₂²h₂.

Тогда получаем отношение:

Ответ: 2

---

Вариант 13МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
2. Определяем коэффициент подобия.
3. Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V₁, малого – V₂. Получим:

.

Поскольку по условию V₁=1600 мл, то V₂=1600/8=200 мл.

---

Вариант 13МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для вычисления объема шара.
2. Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.
3. Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.

Решение:

Объем шара вычисляется по ф-ле: .

Отсюда объем 1-го (большего) шара равен , 2-го (меньшего) шара – .

Составим отношение объемов:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

---

Вариант 13МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.
2. Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
3. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

Решение:

Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH.

Для 1-го цилиндра имеем: S₁=2πR₁H₁. Для 2-го цилиндра: S₂=2πR₂H₂.

Составим отношение этих площадей:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

---

Вариант 13МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.
2. Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).
3. Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
4. Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.

Решение:

Масса большего (1-го) шара равна: m₁=ρV₁. Объем этого шара составляет V₁=(4/3)πR₁³. Отсюда получаем: m₁=(4/3)πρR₁³. Из этого уравнения выразим плотность: .

Масса меньшего (2-го) шара равна: m₂=ρV₂. Объем шара: V₂=(4/3)πR₂³. В ур-ние для m₂ подставим выражения для ρ и V₂. Получаем:

Вычисляем m₂:

---

Вариант 13МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.
2. Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.

Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Найдем этот объем:

V=40·40·10=16000 (см³).

Даниил Романович | Просмотров: 19.1k

15 задач по теме «Объёмы» из открытого банка заданий ФИПИ для подготовки к ЕГЭ по базовой математике.

Ответы прилагаются.

1) Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см ×  40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

2) Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 5.

3) Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

4) Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой?

5) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна 4. Найдите объём призмы АВСА1В1С1

6) Объём  конуса равен  24π, а  его  высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

7) Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h= 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

9) Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

10) Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

11) В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

12) Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5, а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого

13) Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

14) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 120 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

15) Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса

Ответы:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
96	320	262	9	12	3	20	6000	6	1.5	2000	3	125	15	5

Связанные страницы:

Данное занятие может быть проведено после изучения формул объемов многогранников на уроках геометрии в 11-м классе или в рамках элективного курса по подготовке к ЕГЭ. Материал также доступен и учащимся 10-го класса (во 2-м полугодии).

Цели занятия:

• показать примеры задач, аналогичных заданиям ЕГЭ по математике базового уровня и первой части профильного уровня;
• повторить теоретический материал, связанный с площадями фигур, со свойствами многогранников;
• отработка навыков самоконтроля;
• отработка навыков сотрудничества между учащимися.

Оборудование:

• оборудование для демонстрации презентации Microsoft PowerPoint (компьютер, проектор, экран или доска);
• раздаточный материал (тексты задач с чертежами);
• таблица квадратов натуральных чисел.

План занятия

1. Организационный момент
2. Устная работа
3. Решение задач
4. Работа в группах
5. Подведение итогов

Ход занятия

Занятие сопровождается демонстрацией презентации.

1. Организационный момент

Cообщение целей занятия, деление класса на группы по 4 человека (можно объединить учащихся, сидящих за соседними партами).

2. Устная работа

Условия задач и правильные ответы демонстрируются на слайдах. Задачи решаются устно, ответы можно спросить у нескольких учащихся, один из них коротко рассказывает путь решения.

Задача 1. (Слайд №4) Площадь треугольника АВС равна 120. КМ – средняя линия, параллельная стороне АВ. Найти площадь четырехугольника АКМВ. (Ответ: 90)

Задача 2. (Слайды №5,6) Площадь правильного шестиугольника АВСДЕК равна 60, О – центр шестиугольника. Найти площади треугольника АОВ, треугольника  АВС, треугольника АВЕ, четырехугольника ВСДЕ. (Ответ: 10; 10; 20; 30)

Задача 3. (Слайд №7) Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найти объем параллелепипеда. (Ответ: 90)

Задача 4. (Слайд №8) Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в 5 раз? (Ответ:  125)

Задача 5. (Слайд №9) В правильной треугольной пирамиде МАВС О – точка пересечения медиан основания. Площадь треугольника АВС равна 5, а объем пирамиды – 35. Найти длину отрезка МО. (Ответ: 21)

Задача 6. (Слайд №10) Как изменится объем пятиугольной пирамиды, если её высоту увеличить в 4 раза? (Ответ: увеличится в 4 раза)

Задача 7. (Слайд №11) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды составил 20 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? (Ответ: 5 см)

При подведении итогов устной работы необходимо обратить внимание на формулы для вычисления объемов призмы и пирамиды.

3. Решение задач

Чертежи заранее сделаны на доске, каждый ученик получает заготовку с чертежами (Приложение 1). Учащиеся у доски записывают краткие решения, сопровождая их устными пояснениями. Также можно использовать слайды №13, 14, 15.

Задача 8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 3. Объем параллелепипеда равен 108. Найти его диагональ.

Задача 9. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом  уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найти объем детали. Ответ выразить в см³.

Задача 10. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Найти объем пирамиды DABC.

4. Работа в группах

Каждая группа получает набор задач (Приложение 2), к которым надо записать краткие решения. После истечения отведенного времени проверяются ответы, представители групп могут прокомментировать ход решения задач. В это время чертежи демонстрируются на слайдах №17, 18, 19. Для быстрой проверки можно использовать слайд №20. После этого листы с решениями сдаются учителю.

5. Подведение итогов

При подведении итогов следует обратить внимание на две основные формулы объемов и их частные случаи, а также на отношение объемов подобных тел (слайд 22).

Задача. (Слайд №23) Боковые ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 6. Найти объем пирамиды. (Ответ: 36)

При решении этой задачи очень важно обратить внимание на метод решения. Если тетраэдр перевернуть, то задачу можно решить устно.

Задача. (Слайды №24, 25) Объем тетраэдра равен 12. Найти объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. (Ответ: 6)

6. Домашнее задание (Приложение 3)

Литература

1. Ященко И. В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни. – М: Издательство «Экзамен», 2020.
2. Балаян Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы. – Ростов н/Д: Феникс, 2018.
3. Материалы сайта: https://math-ege.sdamgia.ru/

Список приложений

• Приложение 1 – задачи для работы в классе
• Приложение 2 – задачи для работы в группах
• Приложение 3 – домашнее задание
• Приложение 4 – ПРЕЗЕНТАЦИЯ

2 августа 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

Геометрия. Базовый уровень

В презентации представлены типовые задания ЕГЭ по математике базового уровня, блок «Геометрия».

geometri-mb.pptx
geometri-mb.pdf

Автор: Ларионова Наталья Евгеньевна.