Комбинаторные задачи в ЕГЭ
Комбинаторные методы в ЕГЭ по информатике применяются для решения задачи №10 (бывшая В4). Рассмотрим решение типичных задач, с использованием комбинаторных приемов.
Решим задачу под номером В4 из демонстрационной версии ЕГЭ по информатике 2014 года.
Задача. Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет – один сигнал; в каком порядке идут цвета – существенно. Какое количество различных сигналов можно передать при помощи запуска ровно пяти таких сигнальных ракет, если в запасе имеются ракеты трёх различных цветов (ракет каждого вида неограниченное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?
Решение.
Ракеты могут быть трех различных цветов, при этом в одной последовательности пять ракет. Значит, рассматривается выборка объема пять из трех элементов (n = 3, k = 5).
Определим комбинаторную схему. Два положения в условие задачи:
- «в каком порядке идут цвета – существенно»;
- «цвет ракет в последовательности может повторяться»;
указывают на то, что – это размещения с повторениями.
Ответ. 243
Решим задачу №10 из демоверсии ЕГЭ по информатике 2016 года.
Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы П, И, Р, причём буква П появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?
Решение.
1) буква «П» появляется ровно 1 раз, значит она может находиться на одной из 5 позиций в слове.
2) буквы «И» и «Р» заполнят остальные 4 позиции. Рассмотрим выборки объема 4 из 2 элементов (k = 4, n = 2). Кодовые слова могут отличаться как порядком следования букв, так и составом, значит, комбинаторная схема – размещения с повторениями. Найдем число таких размещений:
3) применим правило произведения: 5 * 16 = 80
Ответ. 80
Типичная тренировочная задача №10 для подготовки к ЕГЭ по информатике.
Задача. Вася составляет 5-буквенные слова из четырехбуквенного алфавита {A, C, R, T}, причём буква А используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом, считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?
Решение.
1) пронумеруем позиции в слове, тогда варианты расположений букв «А» можно представить в качестве неупорядоченного выбора двух цифр из пяти. Значит, комбинаторная схема — сочетания без повторений
2) остальные допустимые символы будут занимать 3 позиции. Эти выборки объемом 3 из 3 элементов будут отличаться как порядком следования, так и набором символов. Очевидно, комбинаторная схема – размещения с повторениями.
3) применим правило произведения: 27 * 10 = 270
Ответ. 270
Сегодня на повестке дня 8 задание из ЕГЭ по информатике 2021. Данный тип заданий включает в себя нахождение количества вариантов, элементы комбинаторики и другие математические понятия.
Перейдём к практике решения задач задания 8 ЕГЭ по информатике 2021.
Задача (Классика)
Все 4-буквенные слова, составленные из букв А, Е, И, О записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:
1. АААА
2. АААЕ
3. АААИ
4. АААО
5. ААЕА
…
Запишите слово, стоящее на 248-м месте от начала списка.
Решение:
Обозначим условно А — 0, Е — 1, И — 2, О — 3.
Важно: Нужно буквам присваивать цифры именно в том порядке, в котором они идут в самом правом столбце, потому что буквы могут дать в «перепутанном порядке» (например Е, А, И, О), и тогда ничего не получится.
Теперь запишем список с помощью цифр.
1. 0000
2. 0001
3. 0002
4. 0003
5. 0010
…
Получился обычный счёт в четверичной системе!! (всего используются 4 цифры: 0, 1, 2, 3). А слева нумерация показывает соответствие нашей десятичной системе. Но все числа десятичной системы в этой таблице соответствия сдвинуты на 1, ведь мы должны были начать с нуля.
Нас просят записать слово стоящее на 248, т.е. если была обычная таблица соответствия чисел десятичной системы и четверичной системы, слово стоящее на 248 месте, находилось бы на 247 (248 — 1) месте. Значит, наше искомое четверичное число соответствует 247 в десятичной системе.
Переведём число 247 в четверичную систему!
Получилось число 33134 в четверичной системе. Сделаем обратное декодирование в буквы. Таким образом, ответ будет ООЕО.
Ответы: ООЕО
Ещё одна похожая задача 8 задания из примерных вариантов ЕГЭ по информатике, но другой вариации.
Задача (Классика, Другая вариация)
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Р, У, К записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААК
3. ААААР
4. ААААУ
5. АААКА
……
Укажите номер слова УКАРА
Решение:
Закодируем буквы цифрами: А — 0, К — 1, Р — 2, У — 3. Здесь как раз буквы даны не в том порядке, как они идут в самом правом столбце. Но мы должны кодировать именно в том порядке, как буквы идут в самом правом столбце.
У нас получилось четыре цифры! Значит снова можно слова превратить в таблицу соответствия между десятичной системой и четверичной системой. Но десятичная система смещена на 1 позицию.
1. 00000
2. 00001
3. 00002
4. 00003
5. 00010
……
Выписываем данное нам слово и посмотрим, какое число в четверичной системе было бы, если бы у нас были в место слов числа в четверичной системе!
Получили число в четверичной системе 310204. Узнаем, какое число в десятичной системе соответствовало этому числу, если бы была обычная таблица соответствия. Для этого переведём число 310204 из четверичной системы в десятичную. Перевод делаем по аналогии перевода из двоичной системы в десятичную.
Но помним, что у нас нумерация идёт на 1 быстрее, нежели мы бы поставили десятичные числа, как в таблице соответствия, потому что нумерация начинается не с нуля, а с 1. Поэтому к числу 840 нужно прибавить 1, и в ответе будет 841
Ответ: 841
Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2020)
Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы Н, О, Т, К, И,
записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1.
Ниже приведено начало списка.
1. ИИИИ
2. ИИИК
3. ИИИН
4. ИИИО
5. ИИИТ
6. ИИКИ
…
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается
с буквы О?
Решение:
Закодируем буквы цифрами.
Получилось 5 цифр ( 0, 1, 2, 3, 4 ), значит, будем работать в пятеричной системе.
Нужно найти номер первого слова, которое начинается с буквы О. Если говорить на языке пятеричных чисел, то нужно найти номер числа 30005. Мы «забиваем нулями», чтобы число было четырёхразрядное, т.к. слова 4-х буквенные. Именно нулями, потому что нужно именно первое слово найти.
Теперь, как в предыдущей задаче, переведём число 30005 из пятеричной системы в десятичную.
0 * 5 0 + 0 * 5 1 + 0 * 5 2 +
3 * 5 3 = 375 (в десят. системе)
Но опять же должны прибавить 1 к числу 375, т.к. нумерация отличается от десятичных чисел на 1 в большую сторону.
Ответ: 376
Задача (Досрочная волна 2020 ЕГЭ по информатике, вариант 1)
Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы В, О, Л, К,
причём буква В используется в каждом слове ровно 1 раз. Каждая из других
допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или
не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая
последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует
таких слов, которые может написать Вася?
Решение:
Для начала решим вводную подзадачу.
Пусть у нас есть те же буквы В, О, Л, К, каждая из букв может встречаться в слове любое количество раз или
не встречаться совсем. Сколько можно составить 5-буквенных слов ?
Т.е буквы могут повторяться!
Например
Такая конструкция сильно напоминает перебор чисел, где вместо цифр используются буквы.
Рассмотрим перебор трёхразрядных чисел. Вместо 5 букв теперь можно использовать 10 цифр ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ). Цифры так же могут повторяться. Сколько получится вариантов ?
Выведем общую формулу для количества вариантов, когда символы могут повторяться!
Для трёхразрядных чисел от 000 до 999:
N = 103 = 1000 вариантов.
Вернёмся к пятибуквенным словам и нашей подзадаче. Здесь количество букв (разрядов) в слове равно 5, количество допустимых символов равно 4 ( В, О, Л, К ).
N = 45 = 1024 вариантов.
Вернёмся к изначальной задаче. Сначала найдём количество вариантов, когда буква В находится в самой левой ячейке!
Применим формулу! Здесь слово сократилось до четырёхразрядного. А количество букв для использования 3 (О, Л, К).
N = 34 = 81 комбинация.
Но буква В так же может стоять во второй ячейке слева. Этот случай тоже даст 81 других комбинаций. Буква В может стоять в каждой из 5-ти ячеек, и везде будет получатся 81 комбинация.
Таким образом, окончательный ответ будет:
N = 81 * 5 = 405 различных вариантов.
Ответ: 405
Разобравшись с этой задачей, больше половины тренировочных задач десятого задания из различных книг и сайтов по подготовке к ЕГЭ по информатике будут решаться, как по маслу!
Задача(Закрепление формулы)
Рассматриваются символьные последовательности длины 5 в шестибуквенном алфавите {У, Ч, Е, Н, И, К}. Сколько существует таких последовательностей, которые начинаются с буквы У и заканчиваются буквой К?
Решение:
Применим главную формулу 8 задания из ЕГЭ по информатике
N = mi = 63 = 216
Здесь буквы могут изменяться на 3 ячейках! Значит, в формуле i=3. Количество допустимых символов, которые можно поставить в каждую ячейку равно 6. Значит, в формуле m=6.
В ответе будет 216.
Примечание: Здесь можно использовать все буквы в каждой ячейке, включая У и К. В некоторых задачах их уже использовать нельзя, т.е. сказано, что буквы У и К используются один раз в слове. Тогда в формуле m, будет на 2 единицы меньше. Нужно внимательно читать задачу!
Ответ: 216
Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2019)
Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы З, И, М, А,
причём в каждом слове есть ровно одна гласная буква и она встречается
ровно 1 раз. Каждая из допустимых согласных букв может встречаться
в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается
любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.
Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?
Решение:
Рассмотрим количество вариантов, когда гласная И стоит в первом месте!
Подсчитаем количество слов с помощью супер-формулы
N = mi = 24 = 16
Длина изменяющихся ячеек равна 4, а количество допустимых букв равно 2.
Но буква И может стоять не только на первом месте. Она так же может стоять и на 2, и на 3, и на 4, и на 5 месте. Каждый такое случай добавляет столько же новых слов.
Значит, при использовании только буквы И будет количество слов 16 * 5 = 80. Ещё столько же слов добавится, если в словах вместо буквы И будет использоваться буква А. Поэтому окончательный ответ будет 80 * 2 = 160
Ответ: 160
Отработаем главную формулу 8 задания из ЕГЭ по информатике.
Задача (Развиваем понимание формулы!)
Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв З, И, М, А? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.
Решение:
Рассмотрим, какие варианты могут быть, если у нас на первом месте стоит согласная, а на последнем месте гласная
Получилось 4 разных случая. Подсчитаем, сколько слов можно составить при одном случае.
N = mi = 43 = 64
Длина изменяющихся ячеек равна 3, а количество возможных букв 4.
Но т.к. таких случая у нас четыре, то ответ будет 4 * 64 = 256
Ответ: 256
Рассмотрим важнейший «метод умножения» при решении 8 задания из ЕГЭ по информатике.
Задача (Другой метод решения!!)
Матвей составляет 6-буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз , при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?
Решение:
Эта задача отличается от уже разобранных тем, что каждую букву можно использовать один раз. В этой задаче удобнее воспользоваться немного другим методом решения! «Методом умножения»!
Решим вводную подзадачу (без дополнительных ограничений).
Сколькими способами можно составить 6-x буквенное слово из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз .
Чтобы найти возможные варианты, перемножаем для каждой ячейки количество букв из которых у нас есть выбор!
N = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Вернёмся к изначальной задаче!
В начале подсчитаем «методом умножения» количество слов, не обращая внимание, на условие, в котором сказано, что слово не может содержать сочетание АЕ.
N = 5 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 600
В формуле стоят почти все те же самые числа, как и в вводном примере, только первый множитель не 6, а 5. Это произошло из-за того, что у нас в задаче слово не может начинаться на букву Й. Значит, выбор на первую позицию будет не из 6 букв, а из 5.
Но в 600 комбинаций входят и те случаи, когда в слове присутствует сочетание АЕ. Теперь найдём сколько таких слов, где присутствует сочетание АЕ
Узнаем количество вариантов в каждом таком случае.
N1 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
На первом месте мы не можем использовать букву Й, поэтому мы на первом месте выбираем из 3 букв.
N2 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18
Аналогично предыдущему случаю.
N3 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18
N4 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18
N5 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18
Всего слов с сочетанием АЕ будет
24 + 18 + 18 + 18 + 18 = 96
Значит, всего слов, которые удовлетворяют условию задаче будет
N = 600 — 96 = 504
Примечание: Метод умножения можно было использовать и в задачах, которые мы рассмотрели ранее. Например, в задаче «Закрепление формулы» в первой свободной ячейке выбираем из 6 букв, во второй свободной ячейке тоже из 6 букв, и в третий свободной ячейке тоже можно использовать 6 букв. Значит, по методу умножения получается N = 6 * 6 * 6 = 63 = 216
Ответ: 504
Задача (Закрепления «метода умножения»)
Полина составляет 6-буквенные коды из букв П, О, Л, И, Н, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Полина?
Решение:
Опять сказано, что каждая буква используется 1 раз, следовательно, нужно применять «метод умножения».
На первое место можно выбрать из 6 букв, предположим, мы выберем согласную. Тогда на второе место нужно выбирать из 3 гласных. Потом опять должна идти согласная, но их у нас осталось только 2. Далее, на следующее место выбираем из 2 гласных букв. И на предпоследнее место выбирается 1 согласная, а на последнее место остаётся 1 гласная.
Т.к. количество гласных букв и согласных одинаковое, и равно трём, то если мы бы начали делать «метод умножения» с гласной буквы, количество вариантов бы не поменялось.
N = 6 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 72
Ответ: 72
Задача (Азбука Морзе)
Азбука Морзе позволяет кодировать символы для сообщений по радиосвязи, задавая комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) можно закодировать, используя код Морзе длиной не менее трёх и не более четырёх сигналов (точек и тире) ?
Решение:
Зная формулу, без проблем решим данную примерную задачу из ЕГЭ по информатике.
У нас есть 2 символа, которые можно использовать: точка и тире. Фраза, что сообщение может иметь «не менее трёх и не более четырёх сигналов», означает, что сообщения могут быть длиною 3 символа и длиною 4 символа.
Подсчитаем общее количество вариантов.
N = 23 + 24 = 8 + 16 = 24 комбинаций.
Значит, для 24 различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) мы найдём различные комбинации, чтобы их закодировать
Ответ: 24
Задача (Обратная предыдущей)
Световое табло состоит из цветных индикаторов. Каждый индикатор может окрашиваться в четыре цвета: белый, черный, желтый и красный. Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 300 различных сигналов?
Решение:
Нам нужно закодировать 300 различных вариантов! Имеются 4 различных лампочки! (Они имеют смысл, как количество допустимых символов!) На этот раз нужно узнать количество лампочек (количество разрядов, «длину слова»). Применяем формулу.
N = 4x = 300
Не найдётся такое целое x, чтобы равенство стало верным. Поэтому берём целое минимальное x такое, чтобы 4x больше 300.
45 = 1024
Пять лампочек на табло хватит, чтобы закодировать 300 сигналов, но, к сожалению, много комбинаций просто не пригодится!
Ответ: 5
Задача (Важная!)
Нужно выбрать в подарок 3 книги из 5. Сколькими способами можно выбрать ?
Решение:
На рисунке показано две комбинации, как можно выбрать в подарок 3 книги из 5.
Данную задачку нужно решать используя формулу сочетаний из раздела комбинаторика.
n — количество книг, из которых мы выбираем подарок, m — количество книг, которое мы хотим выбрать, C — количество вариантов (способов).
Восклицательный знак — это факториал!
Факториалом числа «n» (условное обозначение n!- читается как «эн» — факториал) называется произведение чисел от 1 до «n»
Примечание: При использовании формулы сочетаний, не важен порядок, в котором мы выбираем одни и те же книги. Это будет один и тот же вариант.
Ответ: 10
Следующая задача часто встречается в книгах по подготовке к ЕГЭ по информатике.
Задача (Главная формула + сочетания)
Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 5. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно три раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?
Решение:
В начале нужно посчитать, сколькими способами на 5-ти ячейках можно расположить 3 единицы!
Обратите внимание, как будто мы выбираем 3 книги в подарок из 5 возможных! Значит, опять применяем формулу сочетаний из комбинаторики. Мы вычисляли уже её точно с такими же числами в прошлой задаче, количество вариантов равно 10.
Подсчитаем, сколько вариантов кодового замка можно составить при одном определённом расположении трёх единиц.
Применим формулу, есть две ячейки, в которых изменяются цифры, а в каждой ячейке может быть одна из 4 цифр.
N = mi = 42 = 16
Т.к. различных вариантов, как расположить единицы на 5 ячейках равно 10, то ответ будет 16 * 10 = 160
Ответ: 160
Ещё одна задача из примерных вариантов по подготовке к ЕГЭ по информатике.
Задача (Таблица соревнований)
Для записи результатов соревнований используется таблица, в которой для каждой из 20-ти команд по каждому из 10-ти видов состязаний записано 1, 2 или 3 (если команда заняла соответствующее место в этом состязании) или прочерк (если не заняла призовое место или не участвовала). Какое количество информации (бит) содержит таблица ?
Решение:
Есть таблица с 20 командами и для каждой команды есть результат по 10-ти видам состязаний.
| 1 команда | 2 команда | 3 команда | … | 20 команда | |
| 1 дисциплина | 1 | — | 1 | … | 3 |
| 2 дисциплина | — | 2 | 1 | … | 2 |
| … | … | … | … | … | … |
| 10 дисциплина | 1 | 1 | 2 | … | — |
В каждой ячейке может быть 4 различных значения ( 1, 2, 3, — ). Нужно узнать, сколько бит занимает одна ячейка таблицы. Один бит может быть либо единицей, либо нулём.
Сделав рисунок, задача обрела привычные очертания.
Как будто мы решаем задачу с перебором слов. Но здесь длина слова неизвестна, а количество вариантов, которое должно получится уже дано и равно 4 (четырём). Применим главную формулу из 10 задания из ЕГЭ по информатике.
N = mi = 2i = 4
i=2 бита (длина равна «2 буквам», если воспринимать задачу, как со словами.)
Одна ячейка таблицы весит 2 бита. Найдём количество ячеек во всей таблице соревнований.
Всего ячеек = 20 * 10 = 200
Тогда вся таблица будет весит:
V = 2 бита * 200 = 400 бит.
Ответ: 400
Формула Шеннона
Задача (Формула Шеннона)
В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?
Решение:
Данную задачу нужно решать по формуле Шеннона
Найдём вероятность p того, что вытащили чёрный шарик.
p = (количество чёрных шаров) / (количество всех шаров) = 8 / (24 + 
= 8 / 32 = 1 /4
p = 1 / 4
Применим формулу Шеннона.
x = log2(4)
2x = 4
x = 2 бита
Ответ: 2
Доброго времени суток ! Помогите пожалуйста решить задачу .) Матвей составляет 6-буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?
В закрытом ящике находится 32 карандаша, некоторые из них синего цвета. Наугад вынимается один карандаш. Сообщение «этот карандаш – НЕ синий» несёт 4 бита информации. Сколько синих карандашей в ящике?
Был бы очень рад , если вы разберете и эту задачку
Добрый день. Полностью разобрал этот номер, но наткнулся на один интересный пример. Объясните доступным языком, пожалуйста. На решу егэ вообще не понял их решение:
Тимофей составляет 5-буквенные коды из букв Т, И, М, О, Ф, Е, Й. Буква Т должна входить в код не менее одного раза, а буква Й — не более одного раза. Сколько различных кодов может составить Тимофей? (ответ: 8006)
Добрый день! Подскажите пожалуйста, как решить следующую задачу: Сколько существует чисел, шестнадцатеричная запись которых содержит 3 цифры, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.
Петя составляет семибуквенные слова перестановкой букв слова АССАСИН. Сколько всего различных слов может составить Петя? Мое решение: 21 вариант с буквой А, 35- с буквой С, и 4 на буквы И и Н. Всего 60 и умножаем на 7. Получается 420. Не уверена, что применила верный алгоритм. Прокомментируйте, пожалуйста, решение
Можете заказать решение задачи через раздел «связь».
В Задаче (Другой метод решения!!) допущена ошибка в решении, ведь 24 + 18 + 18 + 18 + 18 = 114,значит N = 600 — 114 = 486!
Добрый день! Помогите пожалуйста решить задачку
Сколько чисел длиной 6 можно составить, если известно, что цифры идут в порядке убывания, при этом четные и нечетные цифры чередуются?
У меня только один вопрос. Почему в школах на уроках информатики вместо действительно полезного изучения какого нибудь языка программирования, заставляют заниматься вот этой вот ересью и решать какое по счету слово напишет Вася? Я могу только составить в ответ на это только слова которые нельзя здесь писать. От таких знаний и занятий ни один ребенок не захочет стать программистом, потому что это непонятно, и неизвестно зачем уметь решать такие задачи. Я сам программист с 10 летним стажем не смог объяснить ребенку как решать некоторые задачи и самое главное, я не знаю зачем дети должны уметь это решать.
Дмитрий, согласен с Вами. Особенно 11 задание и формула Шеннона. Надо либо излагать задание корректно, либо исключить вообще: «В корзине лежат черные и белые шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего шаров в корзине?» — для двух состояний достаточно одного бита.
marvell special for u
c = 0
from itertools import*
for i in permutations(‘МАТВЕЙ’, r=6):
i = ».join(i)
if i[0] != ‘Й’ and i.count(‘АЕ’) == 0:
print(i)
c += 1
print(c)
Лада Есакова, преподаватель информатики и математики, автор книги «Информатика. Полный курс подготовки к ЕГЭ».
Добрый день, дорогие друзья! С вами я, Есакова Лада, преподаватель информатики с 20-летним стажем.
Сегодня разберем основы комбинаторики и буквенные цепочки.
Задача:
«Все 4-буквенные слова, составленные из букв В, Н, Р, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:
1. ВВВВ
2. ВВВН
3. ВВВР
4. ВВВТ
5. ВВНВ
………
Запишите слово, которое стоит под номером 251.»
Обозначим В = 0, Н = 1, Р = 2, Т = 3 и получим вот такой ряд:
1. 0000
2. 0001
3. 0002
4. 0003
5. 0010
Это числовой ряд в четверичной системе исчисления. Нам нужно найти слово, которое стоит под номером 251.
Здесь важный нюанс, на котором часто ребята теряют балл. На первом месте стоит 0, то есть номер строчки на единицу больше самого числа. Поэтому на 251 месте у нас будет стоять число на единицу меньше – 250, но только в четверичной системе исчисления.
Переведем 250 в четверичную систему. Будем делить столбиком. У нас получается 250 = 33224. Теперь переводим цифры в буквы — ТТРР. Вот такой ответ должен получиться.
Вот такие буквенные цепочки – это, по сути, числовые ряды.
Следующая задача:
«Все 6-буквенные слова, составленные из букв С, В, Е, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:
1. ВВВВВВ
2. ВВВВВЕ
3. ВВВВВС
4. ВВВВВТ
5. ВВВВЕВ
………
Под каким номером стоит первое из слов, которое начинается с буквы Т?»
Здесь есть еще одна ловушка: нам сказали, что все 6-буквенные слова составлены из этих букв, и очень хочется пронумеровать букву в том же порядке, в котором они представлены – С = 0, В = 1, Е = 2, Т = 3. Вот здесь-то и ошибка.
Если посмотрим на числовой ряд, то увидим, что на первой строчке у нас стоит В, значит, она будет равна 0. Далее появляется Е, значит, она равна 1, С = 2 и Т = 3.
И снова у нас четверичная система исчисления. Необходимо определить, под каким номером стоит первое из слов, которое начинается с буквы Т. Перефразирую вопрос: под каким номером стоит четверичное число, которое начинается на 3? Значит, оно должно выглядеть как 300000. Это число стоит на месте, которое на единицу больше, чем оно само, но в десятичной записи. Необходимо это число, 300000, из четверичной системы перевести в десятичную.
3000004=3*45=3*1024=3072
У нас получается число 3072, а номер строки на единицу больше, то есть номер строки будет 3073. Это и есть ответ задачи.
С такими цифровыми цепочками на сегодня мы закончим. Перейдем к более интересной теме, к элементам комбинаторики, хотя это громко сказано, потому что там от комбинаторики только одна маленькая формула.
Чтобы понять, о чем я сейчас буду говорить, давайте представим такую ситуацию: допустим, надоело нам жить в Москве и решили переехать на необитаемый остров. Для связи с внешним миром мы запасли некоторое количество цветных флажков, которые мы можем прикрепить к флагштокам и при необходимости подать сигнал. У нас есть два флагштока и флажки только двух цветов: красные и синие. Что же при помощи этого мы можем сообщить во внешний мир?
Мы можем составить 4 комбинации:
Если нам этого не хватает, мы можем добавить флажки еще одного цвета. Допустим, у нас еще есть зеленые флажки, и мы можем составить следующие комбинации:
У нас получилось 9 комбинаций.
Если же все-таки у нас флажки только двух цветов, третьего нет, у нас есть другой путь увеличить количество комбинаций, увеличив количество флагштоков. Получаем следующие комбинации:
и их получилось 8 штук.
Мы видим, что количество сообщений, которые мы можем передать внешнему миру, зависит от двух параметров: от количества букв в нашем алфавите (или, в нашем случае, от разных цветов флажков) и от длины слова (или от количества флагштоков).
Количество слов, которые мы можем закодировать, равно количеству букв в нашем алфавите (еще это называется мощностью алфавита) в степени «длина слова» A=ai
«Сколько различных символов можно закодировать, используя код азбуки Морзе длиной не менее четырех и не более пяти сигналов (точек и тире)?»
Если я делаю слово из четырех сигналов, то таких слов я могу сделать 24, если я делаю из пяти сигналов, то таких слов я могу придумать 25. А в задаче как раз этот интервал, то есть и те, и те мне подойдут. Вот столько разных слов я могу составить 24 + 25 = 48.
«Коля составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует свое кодовое слово. В качестве кодовых слов Коля использует 4-буквенные слова, в которых есть буквы А, Б, В, Г, Д, причем буква Д появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Коля?»
Не буду мудрить, придумывать какие-то сложные формулы, а просто распишу, как буква Д может встречаться ровно один раз. Это выглядит так
Д — — —
— Д — —
— — Д —
— — — Д
то есть она может встретиться на каком-то из четырех мест. На остальных трех местах может стоять все, кроме Д, то есть 4 любые буквы по трем позициям, 43. И так в каждом ряду. Все это сложим и получим 4*43=44=256
«Паша составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений. В качестве кодовых слов Паша использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. При этом первая буква кодового слова – это буква Д, Е или Ж, а далее в кодовом слове буквы Д, Е и Ж не встречаются. Сколько различных кодов может использовать Паша?»
У нас получается такой вид
Д — — —
Е — — —
Ж — — —
А в остальных местах используются остальные буквы, кроме Д, Е и Ж. Получаем 3*43=3*64=192
«Герасим составляет 7-буквенные коды из букв Г, Е, Р, А, С, И, М. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Герасим?»
Тут немного схитрим. Необходимо обязательно чередовать гласные и согласные, а для этого посмотрим, сколько у нас гласных. 3. А согласных 4. Поэтому на гласную начать слово я не могу, иначе их не хватит на все слово, и согласные где-то обязательно повторятся. Поэтому слово будет выглядеть таким образом: согласная – гласная – согласная – гласная – согласная – гласная – согласная.
Далее каждую букву я должна использовать ровно один раз.
Вначале состава слова согласных у нас 4, гласных – 3, далее согласных остается 3, т.к. одну я уже использовала, а согласных – 2, затем согласных 2, гласных – одна и согласная осталась одна. Теперь мы перемножаем все эти цифры
и получаем 144.
«Ольга составляет 5-буквенные коды из букв О, Л, Ь, Г, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом Ь нельзя ставить первым и нельзя ставить после гласной. Сколько различных кодов может составить Ольга?»
Давайте пойдем от противного: посчитаем все варианты, а потом выбросим те, которые нам запретили, но сразу выкинем вариант с мягким знаком на первом месте. То есть на первом месте мы можем поставить 4 различные буквы. На втором месте могу поставить все, кроме этой буквы, но зато мы можем добавить Ь, то есть тоже 4. Две буквы уже использовали. Осталось 3, 2 и 1. Все это перемножаю и получаю 96. То есть это все возможные слова, где используется буквы по одному разу, но только не начинающиеся на Ь.
Теперь из этого числа нужно выбросить ситуации, когда Ь стоит после гласной. Это, например, вот так
О Ь — — —
— О Ь — —
— — О Ь —
— — — О Ь
Таких слов 24
О Ь — — — 3*2*1
— О Ь — — 3*2*1
— — О Ь — 3*2*1
— — — О Ь 3*2*1
——
24
Абсолютно такая же ситуация с буквой А
А Ь — — —
— А Ь — —
— — А Ь —
— — — А Ь
———
24
И их тоже 24. То есть 96-48=48.
На этом прощаемся. Если вопросов нет, пока!
Все видео по информатике
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «8 Задание ЕГЭ 2021 | Комбинаторика» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Комбинаторика, перечисления
Сколько существует различных двоичных кодов длиной 8 символов, содержащих 5 единиц? Двоичный код обязательно начинается и заканчивается единицей.
Первым и последним символом в двоичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие единицы на n = 6 оставшихся мест в коде. Сделать это можно (C^3_6 = frac{6!}{(6-3)! cdot 3!} = frac{4 cdot 5 cdot 6}{6} = 20) способами. Значит всего существует 20 различных искомых кодов.
Ответ: 20
Максим составляет пары слов. Первое 6-буквенное слово состоит из букв М, О, Щ, Н, а второе 2-буквенное из букв В, Е, Б. Каждая из букв в словах может встречаться любое количество раз или не встречаться совсем, причём в первом слове должно быть 5 подряд идущих согласных. Сколько различных пар слов может составить Максим?
В первом слове Максим должен получить 5 подряд идущих согласных, а значит либо на 1, 2, 3, 4 и 5 местах должны стоять согласные, а на 6 любая из 4 букв, либо на 2, 3, 4, 5, 6 местах должны стоять согласные, а на 1 любая из 4 букв. Всего согласных 3. Значит первое слово можно составить (2 cdot (3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 cdot 4) = 1944) способами. Во втором слове на каждое из 2 мест можно поставить любую из 3 букв. Значит второе слово можно составить (3 cdot 3 = 9) способами.
Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить (1944 cdot 9 = 17496) различных пар слов (блюдец с чашкой).
Ответ: 17496
Сколько существует различных двоичных кодов длиной 5 символов, содержащих 3 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.
Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие единицы на n = 4 оставшихся места в коде. Сделать это можно (C^2_4 = frac{4!}{(4-2)! cdot 2!} = frac{3 cdot 4}{2} = 6) способами. Значит всего существует 6 различных искомых кодов.
Ответ: 6
Сколько существует различных двоичных кодов длиной 6 символов, содержащих 4 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.
Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие единицы на n = 5 оставшихся мест в коде. Сделать это можно (C^3_5 = frac{5!}{(5-3)! cdot 3!} = frac{4 cdot 5}{2} = 10) способами. Значит всего существует 10 различных искомых кодов.
Ответ: 10
Сколько существует различных двоичных кодов длиной 7 символов, содержащих 3 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.
Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие единицы на n = 6 оставшихся мест в коде. Сделать это можно (C^2_6 = frac{6!}{(6-2)! cdot 2!} = frac{5 cdot 6}{2} = 15) способами. Значит всего существует 15 различных искомых кодов.
Ответ: 15
Сколько существует различных двоичных кодов длиной 10 символов, содержащих 5 единиц? Двоичный код обязательно начинается и заканчивается единицей.
Первым и последним символом в двоичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие единицы на n = 8 оставшихся мест в коде. Сделать это можно (C^3_8 = frac{8!}{(8-3)! cdot 3!} = frac{6 cdot 7 cdot 8}{6} = 56) способами. Значит всего существует 56 различных искомых кодов.
Ответ: 56
Сколько существует различных троичных кодов длиной 5 символов, содержащих 1 единицу и 2 двойки? Троичный код обязательно начинается с единицы.
Первым символом в троичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие цифры на n = 4 оставшихся места в коде. Сделать это можно (C^2_4 = frac{4!}{(4-2)! cdot 2!} = frac{3 cdot 4}{2} = 6) способами. Значит всего существует 6 различных искомых кодов.
Ответ: 6
Задача 8 по информатике ЕГЭ относится к комбинаторике и системе счисления. Её можно решить путем написания кода. Но для этого нужно будет потратить довольно много времени. Если не понимать как это решается вручную, то код писать опасно.
Задача № 8 (первый вариант) по системе счисления и комбинаторика
Данную задачу лучше решать вручную, так как это не занимает много времени. И так первое возможное условие задачи:
Эта задача относится к задаче с системой счисления.
Для того, чтобы решить эту задачу, нужно использовать систему счисления.
Буква Е – 0, буква Л – 1, буква М – 2, буква Р – 3, буква У-4.
В результате мы видим пятиричную систему счисления.
ЕЕЕЕ – 0000 0
ЕЕЕЛ – 0001 1
ЕЕЕМ- 0002 2
ЕЕЕР – 0003 3
ЕЕЕУ – 0004 4
ЕЕЛЕ – 0010 5
Несмотря на то, что нумерация букв начинается с нуля, а список набора букв начинается с единицы.
Раз нумерация строк начинается с 1, то набор букв ЛЕЕЕ будет на 126 месте.
Задача № 8 ЕГЭ (второй вариант) на системы счисления и комбинаторика
Решение
АААА 00000 0
ААААО 00001 1
ААААУ 00002 2
АААОА 00010 3
Опять помним, что список начинается с единицы, поэтому 210-1 = 209
Мы работаем с числом 209, но оно дается в десятичной системе счисления.
Для того, чтобы восстановить слово, надо перевести полученное место в троичную систему счисления:
2 меньше трех, поэтому читаем число в обратном порядке: 21202
Теперь составляем из чисел буквы: УОУАУ
Ответ: УОУАУ
Задача № 8 ЕГЭ (третий вариант) системы счисления и комбинаторика
Здесь пятибуквенные слова. Опять определяем действительный номер с учетом, что нумерация идет с 1.
150-1 = 149
Присваиваем каждой букве цифры, начиная с нуля по порядку. Нумерация слов в списке начинается с единицы. А вот нумерация цифр в числе с нуля.
ЛЛЛЛЛ 00000 0
ЛЛЛЛН 00001 1
ЛЛЛЛР 00002 2
ЛЛЛЛТ 00003 3
ЛЛЛНЛ 00010 4
В результате 149 в десятичной системе счисления переводим в четверичную путем деления 149 на четыре. Затем собираем остатки с конца в начало.
Получаем РННН, но у нас по условию нужно пятибуквенное слово. Для этого необходимо в начало слова добавить ничего не значащий ноль: 02111
Теперь ответ будет ЛРННН
Задача № 8 ЕГЭ (четвертый вариант) на системы счисления и комбинаторика
Числа начинаются с нуля, поэтому говорим о пятиричной системе счисления:
ААААА 00000 0
ААААК 00001 1
ААААЛ 00002 2
ААААО 00003 3
ААААШ 00004 4
АААКА 00010 5
Мы сначала найдем число, а затем добавим 1.
ШКОЛА – пишем в пятиричной системе счисления – 41320
ШКОЛА в пятиричной системе счисления 41320, в десятичной системе счисления 2710
Ответ: 2710+1 = 2711
Задача № 8 (пятый вариант) системы счисления и комбинаторика
АААА 0000 0
АААВ 0001 1
АААД 0002 2
АААП 0003 3
АААР 0004 4
ААВА 0010 5
В условии сказано, что слово не содержит гласных и не содержит одинаковых букв. Поэтому нас интересует слово: ВДПР = 1234 (система счисления пятиричная).
Буквы ставим по алфавиту.
Необходимо преобразовать в десятичную систему счисления:
ВДПР в пятиричной системе 1234 , в десятичной системе 194. Это число. А нужно номер, номер будет на 1 больше.
194+1 = 195
Задача № 8 ЕГЭ (шестой вариант) система счисления и комбинаторика
АААА 0000 0
АААВ 0001 1
АААД 0002 2
АААП 0003 3
АААР 0004 4
ААВА 0010 5
В условии сказано, что слово не содержит гласных и не содержит одинаковых букв. Поэтому нас интересует слово: ВДПР = 1234 (система счисления пятиричная). Буквы ставим по алфавиту.
Необходимо преобразовать в десятичную систему счисления:
ВДПР в пятиричной системе 1234 , в десятичной системе 194. Это число. А нужно номер, номер будет на 1 больше.
194+1 = 195
Ответ: 195
Задача № 8 ЕГЭ (седьмой вариант) система счисления и комбинаторика
Дано 4 буквы, система счисления четверичная. Расписываем:
ООООО 00000
ООООП 00001
ООООР 00002
ООООТ 00003
ОООПО 00010
В четверичной системе счисления указанные в условии слова представляют собой следующие числа:
Переведем эти числа в десятичную систему счисления:
Чтобы найти количество между ними, то мы должны найти разницу:
786-531 = 255
Но по условию задания надо найти количество слов, включая эти слова, то надо прибавить 1.
255+1 = 256
Ответ: 256
Задача № 8 ЕГЭ (восьмой вариант) система счисления и комбинаторика
Обозначим позиции букв в словах.
У нас всего 3 буквы.
Первую букву можно выбрать только 3 способами, вторую – тоже тремя способами, третью тоже тремя.
Задача № 8 ЕГЭ (девятый вариант) система счисления и комбинаторика
Здесь вводится ограничение, буква К встречается только один раз.
Трехбуквенные слова.
Соответственно схематически строим схему слова:
____ _____ ______
Представьте, буква К окажется только на первом месте. Больше мы не можем использовать. Соответственно, на второе место можно поставить любую букву из оставшихся, т.е. 4 варианта.
К*4*4 = 16 (К = 1)
Но буква К может находиться и на втором месте, и на третьем месте.
4*К*4 = 16
4*4*К = 16
Далее используем комбинаторные правила сложения: 16+16+16 = 48
Ответ: 48
Решение задач по теме «Информационные модели» можно посмотреть по ссылке.
Задача № 8 ЕГЭ (десятый вариант) система счисления и комбинаторика
Всего есть 4 буквы. Слова составляем пятибуквенные.
Ограничение: в каждом слове одна гласная буква. У нас гласные буквы: И,А.
Согласные буквы встречаются любое количество раз или не встречаются совсем.
Нам необходимо рассмотреть два случая, когда мы составляем слова с буквой А, и слова с буквой И.
Итого 16*5 = 80
По аналогии составляем также слова с буквой И, получим те же самые 80 слов.
В результате: 80+80 =160
Ответ: 160 слов с этими ограничениями.
Задача № 8 ЕГЭ (одиннадцатый вариант) система счисления и комбинаторика
Условие: Василий составляет четырех буквенные коды из букв Г,Е,Р,О,Й. Каждую букву можно использовать любое количество раз, при этом код не может начинаться с буквы Й т должен содержать хотя бы одну гласную.
Сколько различных кодов может составить Василий.
Букв 5, слова 4-х буквенные.
Есть ограничения: не должно начинаться с Й и содержать хотя бы одну гласную букву.
В этой задаче надо использовать не только комбинаторику, но и теорию множества.
Принцип
Для того, чтобы определить количество слов, которое содержит хотя бы одну гласную букву, то можно схематически раскрыть вопрос:
А – это множество кодов или слов, которые могут быть составлены по правилу задачи.
Теперь среди этого набора вычленим только те, которые вообще не содержат гласных букв (множество В)
Из А вычтем В, то получим множество С, которое содержит слова, которые содержат хотя бы одну гласную.
Теперь определим сколько же будет слов в множестве А.
Слова четырехбуквенные. Кроме Й на первом месте может стоять 4 возможных буквы.
На втором месте может стоять все 5 букв по очереди.
А: 4*5*5*5 = 4*125 = 500
Помним, что Й – согласная буква
В: 2*3*3*3 = 2*27=54
Количество слов, в которых нет гласных 54
Количество слов, которые содержат хотя бы одну гласную: 500-54 = 446
Ответ: 446.
Задача № 8 ЕГЭ (двенадцатый вариант) система счисления и комбинаторика
Условие задачи: Вася составляет трехбуквенные слова, в которых есть только буквы В,Е,С,Н,А. Причем буква А используется в каждом слове хотя бы 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.
Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?
Задача содержит условие, при котором нужно применять при решении комбинаторику и теорию множеств.
Условия: слова трехбуквенные, количество букв – 4, слова содержат хотя бы 1 раз букву А.
Опять берем множество А в которое входят все слова с буквой А
В – множество в котором вообще нет буквы А
__ __ ___
Мощность множества А определяем следующим образом:
На первую позицию букву А можно поставить 5 способами, на вторую – 5 способами и на третью – 5 способами:
А: 5*5*5 =125
В: 4*4*4 = 64
Множество С в котором есть хотя бы одна буква А: АВ (разность)
125-64 = 61
Ответ: 61
Мы рассмотрели двенадцать видов задач по теме системы счисления и комбинаторики, которые в ЕГЭ по информатике размещаются как задание № 8. Однако, ежегодно вносятся изменения и возможно возникновение других типов задач.
Задание 10. Кодирование информации, комбинаторика: Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике 2018; государственный выпускной экзамен 2018; тренировочные варианты ЕГЭ по информатике, тематические тестовые задания и задачи из тренажера по информатике 2018
10 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:
Все 4-буквенные слова, составленные из букв Д, Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1.
Ниже приведено начало списка.
1. ДДДД 2. ДДДЕ 3. ДДДК 4. ДДДО 5. ДДДР 6. ДДЕД …
Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы K?
📹 Видеоразбор
✍ Показать решение:
- Подставим вместо букв цифры (Д -> 0, Е -> 1, К -> 2, О -> 3, Р -> 4):
1. 00000 2. 00001 3. 00002 4. 00003 5. 00004 6. 00010 ...
K -> 2 -> 2000
По формуле разложения числа по степеням основания: 20005 = 2 * 53 + 0 * 22 + 0 + 0 = 2 * 125 = 25010
Результат: 251
Решение 10 задания ЕГЭ по информатике 2018 (контрольный вариант № 2 экзаменационной работы 2018 года, С.С. Крылов, Д.М. Ушаков, Тренажер ЕГЭ):
Все 4-буквенные слова, составленные из букв П, Р, С, Т, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:
1. ПППП 2. ПППР 3. ПППС 4. ПППТ 5. ППРП ... ...
На каком месте в списке стоит первое слово, начинающееся с буквы Р?
📹 Видеоразбор
Решение 10 задания ЕГЭ по информатике, вариант 1 (ФИПИ, «ЕГЭ информатика и ИКТ, типовые экзаменационные варианты 2018», С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина):
Шифр кодового замка представляет собой последовательность из четырех символов, каждый из которых является или буквой (А или B), или цифрой (1, 2 или 3).
Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что в коде присутствует ровно одна буква, а все другие символы являются цифрами?
✍ Показать решение:
- Поскольку в коде может встречаться только одна из двух букв, то распишем все возможные варианты их расположения. Учтем, что на остальных позициях может находиться любая из трех цифр:
АВ 3 3 3 => таких вариантов получим 2 * 3 * 3 * 3 или 2 * 33 = 54 3 АВ 3 3 3 3 АВ 3 3 3 3 АВ
4 * 54 = 216
Результат: 216
ЕГЭ по информатике -> ЕГЭ 2018 -> ЕГЭ 2018 — 10