Задачи по математике для подготовки к егэ на движение - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

на больше ;
в пять раз больше ;
на меньше, чем ;
меньше в раза;
на меньше, чем ;
частное от деления на в полтора раза больше ;
квадрат суммы и равен ;
составляет процентов от ;
больше на процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте!

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы

Итак, правильные ответы:

больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .
меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.
Мы помним, что .
Если принять за , то на процентов больше, то есть .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна x+40 .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и x+40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}$ . Для велосипедиста получим $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}$ , для автомобилиста $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}$ .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:


велосипедист		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}$
автомобилист		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}$

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что t_1 на четыре больше, чем t_2 , то есть

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}+4=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}.$

Решаем уравнение.

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x} - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40} = 4.$

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на x+4 , вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50left( x+40 right)-50x}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4;$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50x+2000 -50x}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4;$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2000}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4.$

Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 500}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=1.$

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле $x_{1,2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle -b pm sqrt{D}}{displaystyle 2a}.$

В нашем уравнении a=1 , b=40 , c=-500 .

Найдем дискриминант и корни:

x_1=10 , x_2=-50 .

Ясно, что x_2 не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна x+3 . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}$ , на путь из в велосипедист затратит время $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}$ , а на обратный путь время $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}$ .


туда		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}$
обратно		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}$

На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.

Значит, t_2 на три меньше, чем t_1 . Получается уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}+3=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}.$

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x} - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3} = 3.$

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70left( x+3 right) - 70x}{displaystyle xleft( x+3 right)}=3;$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 210}{displaystyle xleft( x+3 right)}=3.$

Разделим обе части уравнения на

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle70}{displaystyle xleft( x+3 right)}=1.$

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен .

Найдем корни уравнения:

x_1=7 . Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: .

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна x+1 , а скорость, с которой она движется против течения x-1 .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}$ , при движении против течения $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}$ , причем t_2 на два часа больше, чем t_1 .


по течению		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}$
против течения		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}$

Условие « t_2 на два часа больше, чем « t_1 » можно записать в виде:

Составляем уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}+2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}$

и решаем его:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}=2.$

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255left( x+1 right)-255left( x-1 right)}{displaystyle left( x+1 right)left( x-1 right)}=2.$

Раскрываем скобки:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 510}{displaystyle x^2-1}=2.$

Делим обе части на , чтобы упростить уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x^2-1}=1.$

Умножаем обе части уравнения на x^2-1:

Вообще-то это уравнение имеет два корня: x_1=16 и x_2=-16 (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256 ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: .

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15+x , скорость его движения против течения равна 15-x . Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}$ , время t_1 движения теплохода по течению равно $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}$ , которое теплоход затратил на движение против течения, равно $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}$ .


по течению		$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}$
против течения		$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}$

В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}=30.$

Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 20}{displaystyle 15+x}+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 20}{displaystyle 15-x}=3.$

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 255-x^2 , получаем квадратное уравнение x^2=25 . Поскольку скорость течения положительна, получаем: x=5 .

Ответ: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в 10:00 вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в 16:00 . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7+x , а против течения со скоростью 7-x .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут $=1genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}$ часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно $4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}$ часа.


по течению
против течения

$t_1+t_2=4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}.$

Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем!
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма t_1+t_2 , равная $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7+x}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7-x}$ .

Итак, $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7+x}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7-x}=4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}.$

Решим это уравнение. Число $4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}$ в правой части представим в виде неправильной дроби: $4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 14}{displaystyle 3}$ .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

$30 cdot 7=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 14}{displaystyle 3} cdot left( 49-x^2 right).$

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:

x^2=4.

Поскольку скорость течения положительна, x=2 .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на движение»

Открытый банк заданий по теме задачи на движение. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1105

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути frac{21}{x+3}ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути frac{21}{x}ч. Разница во времени равна 10 мин = frac16часа.

Составим и решим уравнение: frac{21}{x}-frac{21}{x+3}=frac16,

6(21(x+3)-21x)=x(x+3),

x^2+3x-378=0,

x_1=18, x_2=-21.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1101

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 — x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — frac{160}{15-x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{160}{15-x}-frac{160}{15+x}=8,

frac{20}{15-x}-frac{20}{15+x}=1,

20(15+x-15+x)= (15-x)(15+x),

20cdot2x=225-x^2,

40x=225-x^2,

x^2+40x-225=0,

x_1=5, x_2=-45.

Скорость течения положительна, она равна 5 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1100

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго мотоциклиста через x км/ч, тогда по условию скорость первого мотоциклиста (x + 40) км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первым мотоциклистом, равно frac{171}{x+40} ч. Время, затраченное на прохождение всего пути вторым мотоциклистом, равно frac{171}{x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{171}{x}-frac{171}{x+40}=2,5,

171(x + 40) — 171x = 2,5x(x + 40),

171x+171cdot40-171x = 2,5x^2 + 100x,

2,5x^2+100x-171cdot40 =0,

x^2+40x-171cdot16=0,

x_1 = 36, x_2 = -76.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго мотоциклиста

36 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1096

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Товарный поезд имеет длину 1100 метров. Какова длина пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минуты 6 секунд. Ответ дайте в метрах.

Показать решение

Решение

Скорость пассажирского поезда относительно товарного равна 80-50=30 (км/ч) = frac{30000}{60} (м/мин) =500 (м/мин). Обозначим длину пассажирского поезда через x метров, тогда пассажирский поезд пройдёт мимо товарного поезда расстояние, равное (1100 + x) метров, за 3 мин 6 сек (3 мин 6 сек = 3,1 мин).

Составим и решим уравнение:

frac{1100+x}{3,1}=500,

1100+x=500cdot3,1,

x=1550-1100,

x=450.

Длина пассажирского поезда 450 м.

Ответ

450

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1095

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо семафора за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Тогда время, за которое поезд проезжает мимо семафора, равно frac{x}{60}ч. По условию это 45 секунд, то есть frac{45}{3600}ч.

frac{x}{60}=frac{45}{3600},

x=frac{60cdot45}{3600},

x=0,75 (км).

Длина поезда равна 750 м.

Ответ

750

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1094

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна 150 метров, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Длина здания равна 150 метров, то есть 0,15 км. Путь, который поезд проехал мимо здания вокзала, равен (x+0,15) км. Время, за которое поезд проезжает мимо здания вокзала, равно frac{x+0,15}{63}ч. По условию это 1 минута (1 мин = frac{1}{60} часа).

оставим и решим уравнение: frac{x+0,15}{63}=frac{1}{60},

x=0,9 (км).

Длина поезда равна 900 м.

Ответ

900

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1093

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?

Показать решение

Решение

Обозначим время велосипедистов до встречи через x ч. Тогда первый велосипедист до встречи проедет 18x км, а второй велосипедист проедет до встречи 22x км.

Составим и решим уравнение:

8x + 22x = 88, 40x = 88, x = 2,2.

Велосипедисты встретятся через 2,2 часа.

Ответ

2,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №945

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость движения теплохода в воде без течения равна 15 км/ч. Стоянка длилась 7 часов. Найдите скорость течения реки, если в пункт отправления теплоход вернулся через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения через x км/ч, тогда скорость теплохода по течению реки равна (15+x) км/ч, скорость теплохода против течения (15-x) км/ч. Время движения теплохода равно 37-7=30 ч.

Составим и решим уравнение:

frac{221}{15+x}+frac{221}{15-x}=30,

221(15-x+15+x)=30(15-x)(15+x),

221=225-x^2,

x^2=4,

x_1=2,,x_2=-2.

Скорость течения положительна, она равна 2 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №944

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость велосипедиста на пути от A до B через x км/ч, x>0. Тогда его скорость на обратном пути будет (x+6) км/ч. Время, затраченное велосипедистом на путь от A до B, равно frac{288}{x}ч, время движения на обратном пути frac{288}{x+6}ч.

Составим и решим уравнение:

frac{288}{x}-frac{288}{x+6}=4,

288(x+6-x)=4x(x+6),

72cdot6=x^2+6x,

x^2+6x-432=0,

x_1=18,,x_2=-24.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №943

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из пункта A в пункт B одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт B обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость первой машины через x км/ч, путь от A до B s км, тогда путь от пункта A в пункт B она пройдёт за frac sxч. Половина пути пройдена второй машиной со скоростью 39 км/ч за frac{0,5s}{39}=frac{s}{78}ч. Скорость второй машины на второй половине пути равна (x+26) км/ч, таким образом, время, затраченное на вторую половину пути второй машиной, равно frac{0,5s}{x+26}ч.

Составим и решим уравнение:

frac sx=frac{s}{78}+frac{0,5s}{x+26},

frac 2x=frac{2}{78}+frac{1}{x+26},

frac 2x-frac{1}{39}-frac{1}{x+26}=0,

frac{2cdot39(x+26)-x(x+26)-39x}{39x(x+26)}=0,

78x+39cdot52-x^2-26x-39x=0,

x^2-13x-39cdot52=0,

x_1=52,,x_2=-39.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость первой машины 52 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Всего: 101 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой  — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

Иван и Алексей договорились встретиться в Н-ске. Они едут к Н-ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н-ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н-ска и ещё должен по дороге сделать 30-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н-ск одновременно с Алексеем?

Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 4 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 50 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 1 час 20 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.

Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Путь из А в В занял у туриста 2 часа 45 минут, из которых 1 час 15 минут ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в Найдите расстояние от A до Ответ дайте в километрах.

Из двух городов, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 75 км/ч и 85 км/ч?

Из двух городов, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 75 км/ч и 85 км/ч?

Автомобиль выехал с постоянной скоростью 75 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 275 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 255 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 50 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Расстояние между городами A и B равно 798 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 120 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Автомобиль выехал с постоянной скоростью 90 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 270 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 162 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 45 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Автомобиль выехал с постоянной скоростью 72 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 360 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 270 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 30 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Из двух городов, расстояние между которыми равно 250 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 50 км/ч и 75 км/ч?

Из двух городов, расстояние между которыми равно 390 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 50 км/ч и 80 км/ч?

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени  — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Всего: 101 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Готовимся к ЕГЭ. В13: Задачи на движение

Е.С.Пухова,

учитель математики МБОУСОШ №2

г. Апшеронск Краснодарский край

Для педагогов не секрет, что решение текстовых задач вызывало и вызывает затруднение у большей части учащихся. Умение анализировать условие и составлять математическую модель оказывается далеко не под силу каждому. Задачи на движение, совместную работу, смеси и сплавы рассматриваются в школьном курсе математики не один год. Но многие учащиеся из года в год при выполнении домашних работ, контрольных и краевых диагностических работ выбирают задания повышенного уровня С, игнорируя текстовые задачи. Ограниченность во времени при контроле знаний, напряжение и насыщенный объем работ не позволяет полностью свободно поразмыслить над схемой решения задания. С другой стороны развитое логическое мышление, приемы моделирования позволяет остальным учащимся успешно справиться с задачами такого типа. Вашему вниманию предложены задания по теме, которые можно использовать при различных формах организации работы по подготовке к ЕГЭ.

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Скорость сближения поездов 65 + 35 = 100 (км/ч) = (м/с). Общий путь за 36 с составляет * 36 = 1000 (м). Тогда 1000 – 700 = 300 (м) — длина скорого поезда.

Ответ: 300 м

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Комментарий. Не уставайте напоминать учащимся формулу:

Средняя скорость = .

Ответ: 72 км/ч

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Важно объяснить, что в отличие от задачи 1, придорожный столб зафиксирован. Поезд за 36 с проезжает расстояние, равное собственной длине, со скоростью 80 км/ч = 80 * (м/с) = (м/с). Длина поезда * 36 = 800 (м).

Ответ: 800 м

Комментарий. Учащиеся при переводе км/ч в м/с часто путают деление с умножением величины на 3,6. Не пытайтесь заставить их выучить нужное действие. Проще в соответствии с наименованием (км/ч) умножить величину на 1000 м и разделить на 3600с. Ошибок будет намного меньше.

Дальнобойщик, погрузив груз в фуру, отправился в путь со скоростью 60 км/ч. Через 1 ч он сделал остановку на заправке на 30 мин, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 1 ч после отправки фуры диспетчер склада обнаружил, что он забыл отдать дальнобойщику сопроводительные документы на груз и выехал вдогонку на мотоцикле со скоростью 100 км/ч. Какое расстояние (в километрах) проедет мотоциклист до места встречи?

Решение. Задачи на движение вдогонку встречаются часто. Собака догоняет шляпу, унесенную ветром, ребенок проезжает на велосипеде путь, возвращаясь от конечной точки до равномерно движущихся вслед за ним родителей и т. д.

В данной задаче путь дальнобойщика равен пути мотоциклиста. Важно не забыть, что дальнобойщик двигался (1+х–0,5) часа, где х ч – время движения мотоциклиста. Решив уравнение 60(х + 0,5) = 100х, х = 0,75, найдем путь мотоциклиста, который равен 75 км.

Ответ: 75 км

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Пусть х км/ч –скорость второго сухогруза, у км/ч -скорость первого сухогруза. Необходимо найти величину (х–у) км/ч. За 12 мин = 0,2 ч второй сухогруз прошел 0,2х км, что составляет (0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у) км. (Необходимо помнить о длине второго сухогруза, как в задачах о поездах).

Из уравнения 0,2х = 0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у находим х-у = 5,6.

Ответ: на 5,6 км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго.

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Трудность для учащихся — в круговой трассе. Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля, его путь за 40 мин равен х км. Путь первого автомобиля составил 80* км, что на 1 круг больше. Уравнение 80* — х = 14. Часть учащихся обратят внимание на скорость удаления и составят более простое уравнение: (80 – х) = 14.

Ответ: скорость второго автомобиля 59 км/ч.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 м меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.
Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое может проплыть по этой реке 9 км. Во сколько раз скорость катера больше скорости реки?

Решение. Как и в задаче 5, не нужно стремиться найти скорости катера и течения реки. Необходимо вычислить отношение , где х км/ч – собственная скорость катера, у км/ч – скорость течения реки. Уравнение + = после преобразований примет вид: 5у² + 44 ху – 9х² = 0. Разделив обе части уравнения на у² ≠ 0 и обозначив = m, имеем 9m² — 44m – 5 = 0. m1 = 5, m2 = — – не соответствует условию задачи. В 5 раз скорость катера больше скорости реки.

Ответ: в 5 раз

Анализируя работы учащихся, результаты КДР, ГИА, ЕГЭ выпускников, четко прослеживаю более высокий процент выполнения текстовых задач у ребят, обучающихся по УМК А.Г.Мордковича в средней и старшей школе. Эти дети, как правило, успешно справляются с задачами. Нарастание сложности математических моделей идет постепенно, разнообразен уровневый подбор материала. Учителю необходимо разнообразить подбор материала из других пособий и источников.

Источник

Элективный
курс 10 класс.

Задачи на
движение

Для
педагогов не секрет, что решение текстовых задач вызывало и вызывает
затруднение у большей части учащихся. Умение анализировать условие и составлять
математическую модель оказывается далеко не под силу каждому. Задачи на
движение, совместную работу, смеси и сплавы рассматриваются в школьном курсе
математики не один год. Но многие учащиеся из года в год при выполнении домашних
работ, контрольных и диагностических работ выбирают задания повышенного уровня
С, игнорируя текстовые задачи. Ограниченность во времени при контроле знаний,
напряжение и насыщенный объем работ не позволяет полностью свободно
поразмыслить над схемой решения задания. С другой стороны развитое логическое
мышление, приемы моделирования позволяет остальным учащимся успешно справиться
с задачами такого типа. Вашему вниманию предложены задания по теме, которые
можно использовать при различных формах организации работы по подготовке к ЕГЭ.

1.
По двум параллельным железнодорожным путям друг
навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны
соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700
метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо
пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Скорость
сближения поездов 65 + 35 = 100 (км/ч) = (м/с). Общий путь за 36 с составляет * 36 = 1000 (м). Тогда 1000 –
700 = 300 (м) — длина скорого поезда.

Ответ: 300
м

2.
Первые 190 км
автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч,
следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч,
а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте
в км/ч.

Комментарий.
Не уставайте напоминать учащимся формулу:

Средняя скорость
= .

Ответ: 72
км/ч

3.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80
км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину
поезда в метрах.

Решение. Важно объяснить,
что в отличие от задачи 1, придорожный столб зафиксирован. Поезд за 36 с
проезжает расстояние, равное собственной длине, со скоростью 80
км/ч = 80 * (м/с) = (м/с). Длина поезда * 36 = 800 (м).

Ответ: 800
м

Комментарий.
Учащиеся при переводе км/ч в м/с часто путают деление
с умножением величины на 3,6. Не пытайтесь заставить их выучить нужное
действие. Проще в соответствии с наименованием (км/ч) умножить величину на 1000
м и разделить на 3600с. Ошибок будет намного меньше.

4.
Дальнобойщик, погрузив
груз в фуру,
отправился
в путь со скоростью 60 км/ч. Через 1 ч он
сделал остановку на заправке на 30 мин, а затем
продолжил путь с
первоначальной
скоростью.
Через
1
ч
после отправки фуры диспетчер склада обнаружил, что он
забыл отдать дальнобойщику сопроводительные документы на груз и
выехал вдогонку на мотоцикле со скоростью 100 км/ч. Какое
расстояние (в
километрах)
проедет
мотоциклист до места встречи?

Решение. Задачи на
движение вдогонку встречаются часто. Собака догоняет шляпу, унесенную ветром,
ребенок проезжает на велосипеде путь, возвращаясь от конечной точки до
равномерно движущихся вслед за ним родителей и т. д.

В данной
задаче путь дальнобойщика равен пути мотоциклиста. Важно не забыть, что
дальнобойщик двигался (1+х–0,5) часа, где х ч – время движения мотоциклиста.
Решив уравнение 60(х + 0,5) = 100х, х = 0,75, найдем путь мотоциклиста,
который равен 75 км.

Ответ: 75
км

5.
По морю параллельными курсами в одном направлении
следуют два сухогруза: первый длиной 120
метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от
первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до
носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый
сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до
носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого
сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Пусть х км/ч
–скорость второго сухогруза, у км/ч -скорость первого сухогруза. Необходимо
найти величину (х–у) км/ч. За 12 мин = 0,2 ч второй сухогруз прошел 0,2х км,
что составляет (0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у) км. (Необходимо помнить о длине
второго сухогруза, как в задачах о поездах).

Из уравнения 0,2х
= 0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у находим х — у = 5,6.

Ответ: на 5,6
км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго.

6.
Расстояние между пристанями A и B равно 120
км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним
отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и
возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24
км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна
2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

7.
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль
ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66
км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ
дайте в км/ч.

8.
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со
скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10
км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще
через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если
сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого.
Ответ дайте в км/ч.

9.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14
км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость
первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал
второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ
дайте в км/ч.

Решение. Трудность для
учащихся — в круговой трассе. Пусть х км/ч – скорость второго
автомобиля, его путь за 40 мин равен х км. Путь первого автомобиля составил 80* км, что на 1 круг больше.
Уравнение 80* — х = 14. Часть учащихся обратят
внимание на скорость удаления и составят более простое уравнение: (80 – х) = 14.

Ответ: скорость
второго автомобиля 59 км/ч.

10.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25
км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт.
Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт
теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров
прошел теплоход за весь рейс?

11.
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 м
меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем
скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

12.
Расстояние между городами A и B равно 150
км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со
скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул
обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A
до C. Ответ дайте в километрах.

13.
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330
км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились
через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля,
выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

14.
Турист идет из одного города в другой, каждый день
проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно,
что за первый день турист прошел 10
километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если
весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120
километров.

15.
Пристани
A и B расположены на озере, расстояние между ними 390
км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На
следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3
км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила
на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B.
Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

16.
Баржа
в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15
км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась
в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно,
что собственная скорость баржи равна 7
км/ч.

17.
Катер
проплывает 20 км против течения реки и еще 24
км по течению за то же время, за какое может проплыть по этой реке 9
км. Во сколько раз скорость катера больше скорости реки?

Решение. Как и в задаче
5, не нужно стремиться найти скорости катера и течения реки. Необходимо
вычислить отношение , где
х км/ч – собственная скорость катера, у км/ч – скорость течения реки. Уравнение
+ = после преобразований примет вид: 5у² + 44 ху –
9х² = 0. Разделив обе части уравнения на у² ≠ 0 и обозначив = m, имеем 9m² — 44m – 5 = 0. m₁ = 5,
m₂ = — – не соответствует условию задачи. В 5 раз
скорость катера больше скорости реки.

Ответ: в 5 раз

Продолжаем рассматривать задачи на движение. Есть
группа задач, которая отличается от обычных задач на движение – это задачи на
круговое движение (круговая трасса, движение стрелок часов). Принципы
решения те же самые, формула
используется та
же (формула закона прямолинейного движения). Но есть небольшие нюансы в
подходах к решению.

Рассмотрим задачи:

1) Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух
диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км.
Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного
из них на 20 км/ч больше скорости другого?

На первый взгляд,
кому-то задачи на круговое движение могут показаться сложными и какими-то
запутанными в сравнении с обычными задачами на прямолинейное движение. Но это
только на первый взгляд. Данная задача легко превращается в задачу на
прямолинейное движение. Как?

Мысленно развернём
круговую трассу в прямую. На ней стоят два мотоциклиста. Один из них отстаёт от
другого на 11 км, так как сказано в условии, что длина трассы 22
километра.

Скорость отстающего на
20 километров в час больше (он догоняет того, кто впереди). Вот вам и задача на
прямолинейное движение.

Итак, искомую величину
(время, через которое они поравняются) примем за х часов. Скорость первого
(находящегося впереди) обозначим у км/ч, тогда скорость второго (догоняющего)
будет (у + 20)км/ч.

Занесем скорость
и время в таблицу.

Заполняем графу
«расстояние»:

Второй проезжает
расстояние (до встречи) на 11 км больше, значит

11/20 часа это то же,
что и 33/60 часа. То есть, до их встречи прошло 33 минуты.

Как видим, сама
скорость мотоциклистов в данном случае не имеет значения.

Ответ: 33

2)Два мотоциклиста
стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных
точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут
мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч
больше скорости другого?

3)Из одной точки
круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении
стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через
25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Два автомобиля
одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 112
км/ч. Через 25 минут он опережает второго на 25 км (т.к. сказано, что на один
круг). Найти скорость второго.

Решение:

Очень важно в задачах
на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение произведем по
расстоянию, так как нам известно, что один опередил другого на 25 км.

За x принимаем искомую
величину – скорость второго. Время движения 25 минут (25/60 часа) для обоих.
Заполним графу «расстояние»:

Расстояние, пройденное
первым, больше расстояния, который прошёл второй на 25 км. То есть:

Скорость второго
автомобиля 52 (км/ч).

Ответ: 52

3) Из одной точки
круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении
стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через
40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

4)
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через
40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут
после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще
через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данная задача
представляет относительную сложность. Что сразу стоит отметить? Это то, что
мотоциклист проходит с велосипедистом одинаковое расстояние,
догоняя его первый раз. Затем он снова догоняет его второй раз, причём разница
пройденных расстояний после первой встречи составляет 30 километров (длина
круга). Таким образом, можно будет составить два уравнения и решить их систему.
Нам не даны скорости участников движения, поэтому можно будет ввести две
переменные. Система из двух уравнений с двумя переменными решается.

Итак, переведем минуты
в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч.

Сорок минут это 2/3
часа, 8 минут это 8/60 часа, 36 минут это 36/60 часа.

Скорости участников
обозначим за х км/ч (у велосипедиста) и у км/ч (у мотоциклиста).

В первый раз
мотоциклист обогнал велосипедиста через 8 минут, то есть через 8/60
часа после старта.

До этого момента
велосипедист был в пути уже 40+8=48 минут, то есть
48/60 часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Оба проехали одинаковые
расстояния, то есть

Затем мотоциклист
второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 36 минут,
то есть через 36/60 часа после первого обгона.

Составим вторую
таблицу, заполним графу «расстояние»:

Так как сказано, что
через 36 минут мотоциклист снова догнал велосипедиста. Значит, он (мотоциклист)
проехал расстояние равное 30 километрам (один круг) плюс расстояние,
которое за это время проехал велосипедист. Это ключевой момент для составления
второго уравнения.

Один круг — это
длина трассы, она равна 30 км.

Получаем второе
уравнение:

Решаем систему их двух
уравнений:

Значит у = 6 ∙10
= 60.

То есть скорость
мотоциклиста равна 60 км/ч.

Ответ: 60

5)
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через
30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут
после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще
через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Следующий тип задач на
круговое движение вообще «уникален». Есть задачи, которые решаются устно. И
есть такие, которые без глубокого понимания и большой внимательности при
рассуждениях решить крайне сложно. Речь идёт о задачах про стрелки часов.

Вот пример простейшей
задачи:

1) Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. Через сколько
минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?

Ответ очевиден, через
40 минут, когда будет ровно двенадцать. Даже если сразу не смогли понять, то нарисовав
циферблат (сделав эскиз) на листке, вы без труда определите
ответ.

Примеры других задач
(непростых):

2) Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

3) Часы со стрелками показывают 2 часа ровно. Через сколько минут
минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

4) Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?

5) Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут.
Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется
с часовой?

Вообще, можно дать
совет, так как на ЕГЭ с такой задачей можно легко запутаться, вычислить
неверно или просто потерять много времени на решение, можно взять с собой на
ЕГЭ механические часы со стрелками… Догадались?

Если вам попадёт такая
задач, то берёте часы, ставите исходное время оговоренное в условии
(например, 6:35) и прокручиваете заданное число раз. А затем смотрите: сколько
«отмотали» минут от исходного времени. Вот и всё.

Источник

На чтение 9 мин Просмотров 18.1к. Опубликовано 16 ноября, 2020

Задачи на движение начинают проходить в 5 классе и решают все оставшиеся учебные годы вплоть до 11 класса. В ЕГЭ по математике вы найдете задачи на движение в задании 11, в котором собраны все текстовые задачи. Рассмотрим как надо решать задачи на движение из ЕГЭ. Но сначала немного теории.

Содержание

Как решать задачи на движение
Примеры решения
Виды задач на движение
Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях
Движение друг за другом (вдогонку)
Задачи на движение по кругу
Задачи на движение мимо объекта
Задачи на движение по течению и против течения
Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3
Задача 4
Задача 5

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

Анализ данных.
Составление таблицы.
Составление уравнения.
Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

S = v · t.

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Примеры решения

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10	$frac{60}{x+10}$	60
Второй велосипедист	x	$frac{60}{x}$	60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

$frac{60}{x+10}+3=frac{60}{x}$

$frac{60+3x+30}{x+10}=frac{60}{x}$

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При движении в противоположном направлении объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

v = v₁ + v₂.

Движение друг за другом (вдогонку)

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Таким образом:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

Задачи на движение по кругу

При движении по кругу объекты могут:

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S: S₁ – S₂ = m · S.

Задачи на движение мимо объекта

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:
S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

Задачи на движение по течению и против течения

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

112 ∙ $frac{4}{5}$ = v ∙ $frac{4}{5}$ = v ∙ $frac{4}{5}$ + 44 ⇔ 4 ∙ v = 112 ∙ 4 – 44 ∙ 5 ⇔ v = 57.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.

Ответ: 57 км/ч.

Задача 2.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна $vcdot (frac{1}{5}-frac{1}{30})=frac{1}{6}v$

Тогда если скорость велосипедиста – это 1 единица отношения, то скорость мотоциклиста – это 6 единиц отношения.

Так как они едут в одном направлении, их общая скорость 5 единиц отношения.

$frac{1}{20}$ ∙5 ед.отн. = 5

1 ед.отн. = 20

6 ед.отн. = 120

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 3

Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение: Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой ― 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

$frac{L}{1}=frac{L+3+96}{12}$ , отсюда , отсюда и .

Ответ: через 9 минут.

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данную задачу можно интерпретировать (представить её, как задачу на линейное движение): Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 80 км/ч. Через 40 минут он опережает второго на 14 км (т. к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в заданиях на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение так же производим по расстоянию.

За x принимаем искомую величину ― скорость второго. Время движения 40 минут (2/3 часа) для обоих. Заполним графу «расстояние»:

	v	t	S
1	80	2/3	$80 cdot frac{2}{3}$
2	x	2/3	$x cdot frac{2}{3}$

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 14 км.

80 ∙ $frac{2}{3}$ больше, чем x ∙ $frac{2}{3}$ больше, чем x ∙ $frac{2}{3}$ на 14.

80 ∙ $frac{2}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ + 14;

$frac{160}{3}$ – $frac{14 cdot 3}{3}$ – $frac{14 cdot 3}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ ;

160 – 42 = х ∙ 2;

х = 59.

Скорость второго автомобиля 59 (км/ч).

Ответ: 59 км/ч.

Задача 5

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна v + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Источник