Задачи по стереометрии егэ с решениями базовый уровень

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

---

Наглядная стереометрия

---

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры – например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии – они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

---

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 13МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Записать формулу объема цилиндра.
2. Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
3. Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
4. Полученное уравнение решить относительно второй высоты h₂.
5. Подставить данные и вычислить искомую величину.

Решение:

Запишем формулу объема цилиндра.

Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r².

Следовательно, объем цилиндра равен π • r² • h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.

V₁ = π r₁ ² h₁

V₂ = π r₂ ² h₂

Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

V₁ = V₂

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

π r₁ ² h₁ = π r₂ ² h₂

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h₂.

h₂ – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h₂ =( π r₁ ² h₁)/ π r₂ ²

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r₂ = 4 r₁ .

Подставим r₂ = 4 r₁ в выражение для h_1.

Получим: h₂ =( π r₁ ² h₁)/ π (4 r₁) ²

Полученную дробь сократим на π, получим h₂ =( r₁ ² h₁)/ 16 r₁ ²

Полученную дробь сократим на r₁, получим h₂ = h₁/ 16.

Подставим известные данные: h₂ = 80/ 16 = 5 см.

Ответ: 5.

---

Вариант 13МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
3. Найти отношение объемов.
4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
5. Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V₁ = a₁ · b₁ · c₁

V₂ = a₂ · b₂ · c₂

Найдем отношение объемов.

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c₁ = 4,5 c₂ (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),

b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂) = (a₁ · b₁ · 4,5c₂)/ ( 3a₁ · 3b₁ · c₂) = (a₁ · b₁ · 4,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂)

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · 4,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй.

Ответ: 2.

---

Вариант 13МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
2. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
3. Найти отношение объемов.
4. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
5. Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V₁ = a₁ · b₁ · c₁

V₂ = a₂ · b₂ · c₂

Найдем отношение объемов.

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c₁ = 1,5 c₂ (первая коробка в полтора раза выше второй), b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · c₁)/ ( a₂ · b₂ · c₂) = (a₁ · b₁ · 1,5c₂)/ ( 3a₁ · 3b₁ · c₂) = (a₁ · b₁ · 1,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂)

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

V₁ / V₂ = (a₁ · b₁ · 1,5c₂)/ ( 9a₁ · b₁ · c₂) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй.

Ответ: 6.

---

Вариант 13МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

[/su_note]

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Ответ: 14.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового “куба”. Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

---

Вариант 13МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.
2. Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
3. Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
4. Вычисляем отношение объемов.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=πR²H. Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R₁, а его высоту – через Н₁. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R₂, а высоту – через Н₂.

Отсюда получим: V₁=πR₁²H₁, V₂=πR₂²H₂.

Запишем искомое отношение объемов:

.

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

.

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

---

Вариант 13МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V₁ и V₂.
2. Фиксируем значение для V₁. Выражаем V₂ через V₁. Находим значение V₂.
3. Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.

Решение:

Объем бака до погружения V₁=5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V₂. Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V₂=1,4V₁.

Отсюда получаем: V₂=1,4·5=7 (л).

Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

V₂–V₁=7–5=2 (л).

2 л=2·1000=2000 (куб.см).

---

Вариант 13МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.
2. На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.
3. Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h₂.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=S_оснh=πR²h.

Объем воды в 1-м сосуде: V₁=πR₁²h₁.

Объем во 2-м сосуде: V₂=πR₂²h₂.

Приравниваем V₁ и V₂: πR₁²h₁=πR₂²h₂.

Сокращаем на π, выражаем h₂:

 .

По условию R₂=2R₁. Отсюда:

.

---

Вариант 13МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем количество вершин у треугольной призмы.
2. Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.

Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

---

Вариант 13МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.
2. Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.
3. Записываем формулу для вычисления объема призмы.
4. Адаптируем эту формулу для объемов коробок.
5. Находим отношение объемов.

Решение:

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а₁, а для второй а₂. Высоты коробок обозначим соответственно h₁ и h₂. Объемы – V₁ и V₂.

Согласно условию, h₂=4,5h₁, а₁=3а₂.

Объем призмы равен: V=S_оснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то S_осн=а². Отсюда: V=a²h.

Для 1-й коробки имеем: V₁=a₁²h₁. Для 2-й коробки: V₂=a₂²h₂.

Тогда получаем отношение:

Ответ: 2

---

Вариант 13МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
2. Определяем коэффициент подобия.
3. Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V₁, малого – V₂. Получим:

.

Поскольку по условию V₁=1600 мл, то V₂=1600/8=200 мл.

---

Вариант 13МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для вычисления объема шара.
2. Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.
3. Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.

Решение:

Объем шара вычисляется по ф-ле: .

Отсюда объем 1-го (большего) шара равен , 2-го (меньшего) шара – .

Составим отношение объемов:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

---

Вариант 13МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.
2. Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
3. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

Решение:

Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH.

Для 1-го цилиндра имеем: S₁=2πR₁H₁. Для 2-го цилиндра: S₂=2πR₂H₂.

Составим отношение этих площадей:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

---

Вариант 13МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.
2. Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).
3. Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
4. Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.

Решение:

Масса большего (1-го) шара равна: m₁=ρV₁. Объем этого шара составляет V₁=(4/3)πR₁³. Отсюда получаем: m₁=(4/3)πρR₁³. Из этого уравнения выразим плотность: .

Масса меньшего (2-го) шара равна: m₂=ρV₂. Объем шара: V₂=(4/3)πR₂³. В ур-ние для m₂ подставим выражения для ρ и V₂. Получаем:

Вычисляем m₂:

---

Вариант 13МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.
2. Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.

Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Найдем этот объем:

V=40·40·10=16000 (см³).

Даниил Романович | Просмотров: 19.1k

ЕГЭ по математике база

ЗАДАЧИ
ПО СТЕРЕОМЕТРИИ №16

1.      Площадь
по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диагональ.

Пояснение.

Пусть ребро куба равно ,
тогда пло­щадь поверхности куба ,
а диа­го­наль куба .
Тогда

.Ответ: 3.

2.      Если каж­дое
ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь поверхности уве­ли­чит­ся на 54.
Най­ди­те ребро куба.

Пояснение.

Площадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся
через его ребро как
,
по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на пло­щадь
увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба
равно

.Ответ: 4.

3.      Два ребра
прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4.
Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро,
выходящее из той же вершины.

Пояснение.

Обозначим известные ребра за и
,
а неизвестное за .
Площадь поверхности параллелепипеда выражается как .
Выразим :
,
откуда неизвестное ребро

.Ответ: 5.

4.      Два ребра
пря­мо­уголь­но­го параллелепипеда, вы­хо­дя­щие из одной вершины, равны 1, 2. Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диагональ.

Пояснение.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го
из той же вершины, равна ,
тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой .
По усло­вию площадь по­верх­но­сти равна 16, тогда от­ку­да

Длина диа­го­на­ли прямоугольного
па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его
измерений, по­это­му . 
Ответ: 3.

5.      Прямоугольный
параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Пояснение.

Высота и сторона такого
параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь
поверхности куба со стороной :

  Ответ: 24.

6.      Найдите
угол пря­мо­уголь­но­го
параллелепипеда, для ко­то­ро­го , , . Дайте
ответ в градусах.

Пояснение.

В пря­мо­уголь­ни­ке от­ре­зок
яв­ля­ет­ся
диагональю, По
тео­ре­ме Пифагора

Пря­мо­уголь­ный
треугольник равнобедренный:
,
значит, его ост­рые углы равны

Ответ: 45.

7.      Два ребра
пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 8 и 5, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен 280. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этого параллелепипеда.

Пояснение.

Найдем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
параллелепипеда: .
Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти параллелепипеда:

Ответ: 262

8.      В ос­но­ва­нии
прямой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный треугольник, один из ка­те­тов которого
равен 2, а ги­по­те­ну­за равна Най­ди­те
объём призмы, если её вы­со­та равна 3.

Пояснение.

Пусть второй катет — b с
помощью теоремы Пифагора найдём его:

 

Найдём площадь основания:

 

Найдём объём призмы:

  Ответ: 21.

9.      В бак, име­ю­щий
форму пря­мой призмы, на­ли­то 5 л воды. После пол­но­го по­гру­же­ния в воду
де­та­ли уро­вень воды в баке под­нял­ся в 1,4 раза. Най­ди­те объём детали.
Ответ дайте в ку­би­че­ских сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 ку­би­че­ских
сантиметров.

Пояснение.

Найдем объём воды в баке после по­гру­же­ния
детали (уровень воды пря­мо­про­пор­ци­о­на­лен объему): л.
Таким образом, при по­гру­же­нии детали в бак объём воды уве­ли­чил­ся на л,
что и яв­ля­ет­ся объёмом детали. В ку­би­че­ских сантиметрах —        Ответ: 2000.

10.  Найдите объем пра­виль­ной
шестиугольной призмы, сто­ро­ны основания ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра
равны .

Пояснение.

Объем пря­мой призмы равен ,
где —
пло­щадь основания, а —
бо­ко­вое ребро. Пло­щадь правильного ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной ,
ле­жа­ще­го в основании, за­да­ет­ся формулой

Тогда объем приз­мы
равен

.Ответ: 4,5.

11.  Через среднюю
линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна
24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой
поверхности отсеченной треугольной призмы.

Пояснение.

Площадь боковых граней отсеченной
призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы.
Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади
боковой поверхности исходной.   Ответ:
12.

12.  Найдите объем
правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота
равна .

Пояснение.

Объем пирамиды равен

,

где –
площадь основания, а  
– высота пирамиды. Площадь равностороннего треугольника в основании

,

Тогда объем
пирамиды равен

.Ответ: 0,25.

13.  В правильной
четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое
ребро этой пирамиды.

Пояснение.

Объем пирамиды с площадью основания
и
высотой равен
,
откуда площадь основания Сторона
основания тогда ,
а диагональ .
Боковое ребро найдем по теореме Пифагора:

Ответ:
13.

14.  Сторона основания
правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем
пирамиды.

Пояснение.

В правильном шестиугольнике сторона
равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем высоту пирамиды по теореме
Пифагора: .
Площадь основания

.

Тогда объем
пирамиды

.Ответ: 12.

15.  Найдите объем
пирамиды, изоб­ра­жен­ной на рисунке. Ее ос­но­ва­ни­ем является многоугольник,
со­сед­ние стороны ко­то­ро­го перпендикулярны, а одно из бо­ко­вых ребер пер­пен­ди­ку­ляр­но
плоскости ос­но­ва­ния и равно 3.

Пояснение.

Площадь ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии
пирамиды мно­го­уголь­ни­ка является раз­но­стью площадей квад­ра­тов со сто­ро­на­ми
6 и 3 (см. рис.):

 

Поскольку вы­со­та пирамиды равна
3, имеем:

Ответ:
27.

16.  В основании прямой
призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите
объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Пояснение.

По теореме Пифагора длина
гипотенузы треугольника в основании .
Поскольку гипотенуза является диаметром основания описанного цилиндра, его
объем

.Ответ: 125.

17.  Даны два цилиндра.
Ра­ди­ус основания и вы­со­та первого равны со­от­вет­ствен­но 2 и 6, а вто­ро­го
— 6 и 7. Во сколь­ко раз объём вто­ро­го цилиндра боль­ше объёма первого?

Пояснение.

Объём цилиндра находится по формуле

 

Найдём объём первого цилиндра:

 

Найдём объём первого цилиндра:

 

Найдём отношение объёма второго
шара к первому:

Ответ:
10,5.

18.  Радиус основания
цилиндра равен 15, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси
цилиндра, удалено от неё на расстояния, равное 9. Найдите площадь этого
сечения.

Пояснение.

Запишем выражение для площади
сечения

 

 

AK найдём из
треугольника KOA — прямоугольного, KO = 9, AO = 15,
AKKO,

 

Таким образом,  Ответ: 456.

19.  Вода в со­су­де ци­лин­дри­че­ской
формы на­хо­дит­ся на уров­не h = 80 см. На каком уров­не ока­жет­ся
вода, если её пе­ре­лить в дру­гой ци­лин­дри­че­ский сосуд, у ко­то­ро­го ра­ди­ус
ос­но­ва­ния вдвое больше, чем у первого? Ответ дайтев сантиметрах.

Пояснение.

Объём воды по усло­вию не из­ме­нен
и вы­чис­ля­ет­ся по формуле: .
Таким образом, если ра­ди­ус основания уве­ли­чит­ся вдвое, то при не­из­мен­ном
объёме вы­со­та уменьшится в раза
().         
Ответ: 20.

20.  Найдите объем части
цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Пояснение.

Объем данной части цилиндра равен

.  Ответ: 144.

21.  Конус получается
при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг
катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Пояснение.

Треугольник –
так же равнобедренный, т.к. углы при основании .
Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на :

Ответ: 72.

22.  Конус опи­сан
около пра­виль­ной четырехугольной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной основания 4 и вы­со­той
6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Пояснение.

Радиус ос­но­ва­ния конуса равен
по­ло­ви­не диагонали квад­ра­та :
 .
Тогда объем конуса, де­лен­ный на :

  Ответ: 16.

23.  Площадь боковой
поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Пояснение.

Площадь основания конуса равна ,
а площадь боковой поверхности .
Из условия имеем:

 

Значит, в прямоугольном
треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса,
катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла
30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен
60°.  Ответ: 60.

24.  Найдите объем части
конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Пояснение.  Объем
данной части конуса равен

.  Ответ: 87,75.

25.  Конус вписан в
шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите
объем конуса.

Пояснение.

Запишем формулу для объёма шара:

 

Объём конуса в 4 раза меньше:

. Ответ: 7.

26.  Диа­метр ос­но­ва­ния
ко­ну­са равен 12, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния
этого конуса.

Пояснение.

Осе­вым се­че­ни­ем
ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный треугольник, ос­но­ва­ние
которого — диа­метр ос­но­ва­ния конуса, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той
конуса. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са ,
его вы­со­та и
ра­ди­ус ос­но­ва­ния свя­за­ны
со­от­но­ше­ни­ем от­ку­да
Следовательно,
пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна
0,5 · 12 · 8 = 48.  Ответ: 48.

27.  В куб с ребром 3
вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Пояснение. Радиус
вписанного в куб шара равен половине длины ребра: .
Тогда объем шара

. Ответ: 4,5.

28.  Конус вписан в
шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите
объем шара.

Пояснение

.  Ответ: 24.

29.  Даны два шара с ра­ди­у­са­ми
4 и 1. Во сколь­ко раз объём боль­ше­го шара боль­ше объёма другого?

Пояснение.

Найдём объём первого шара:

 

Найдём объём второго шара:   

 Найдём
отношение объёма большего шара к объёму меньшего:

   Ответ: 64.

30.  Даны два шара с ра­ди­у­са­ми
14 и 2. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти боль­ше­го шара боль­ше пло­ща­ди
по­верх­но­сти другого?

Пояснение.

Найдём площадь поверхности пер­во­го
шара:   

Найдём площадь поверхности вто­ро­го
шара:  

Найдём от­но­ше­ние площадей боль­ше­го
шара к меньшему

  Ответ: 49.

mathlesson.ru

• Обо мне
• Вопрос-Ответ
• Блог
• Отзывы
• Личный кабинет

Обо мне

Вопрос-Ответ

Блог

Отзывы

Личный кабинет

Курсы по ЕГЭ

Вебинары

Варианты Ларина

Сборники Ященко

ЕГЭ профиль

ОГЭ

Поблагодарить

Стереометрия

---

В задании №16 базового уровня ЕГЭ по математике нам предстоит столкнуться со стереометрией. Как таковой «стереометрии» мы не встретим, обычно условие задания содержит объемную фигуру, в которой нам необходимо найти какое-либо расстояние. В данном задании необходимо правильно применить пространственное мышление и выбрать нужное сечение, остальные расчеты происходят в плоскости, причем по несложным формулам (теорема Пифагора и т.д.). Какой-либо конкретной теории я пока приводить не буду, а рассмотрю типовые варианты, на которых мы и рассмотрим алгоритмы решения задач данного типа.

---

Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 16МБ1

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Алгоритм выполнения:

1. Определить тип фигуры, образующей сечение.
2. Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение.
3. Вычислить недостающие данные.
4. Вычислить искомую площадь сечения.

Решение:

Из рисунка видно, что сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху:

Ширина прямоугольника – CD.

По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12.

СD = СВ + ВD. СВ = ВD

Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае СА² = СВ² + АВ²

СВ² — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

СВ² = СА² — АВ²

СВ = √(СА² — АВ²)

СВ = √(13² — 12²) = √(169 — 144) = √25 = 5

Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10

Вычислим искомую площадь сечения.

10 · 18 = 180

Ответ: 180.

---

Вариант 16МБ2

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:

1. Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
2. Найти площади треугольников.
3. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=24:2=12.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ² = ВН² + АН²

ВН² — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН² = АВ² — АН²

Следовательно, высота BH, равна:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

Ответ: 1260.

---

Вариант 16МБ3

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:

1. Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
2. Найти площади треугольников.
3. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 17, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=16:2=8.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ² = ВН² + АН²

ВН² — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН² = АВ² — АН²

Следовательно, высота BH, равна:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

Ответ: 360.

---

Вариант 16МБ4

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.

Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения площади основания и высоты.

Площадь основания рассчитываем по формуле площади квадрата — квадрат стороны:

После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH — половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту:

После этого легко вычисляем объем:

V = 1/3 • 16 •3 = 16

Ответ: 16

---

Вариант 16МБ5

В треугольной пирамиде АВСD ребра АВ, АС и АD взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если АВ=2, АС=15 и AD=11.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для определения объема пирамиды.
2. Находим площадь основания по формуле для площади прямоугольного треугольника.
3. Показываем, что высота пирамиды совпадает с ребром AD. Вычисляем искомый объем.

Решение:

Объем пирамиды:

Т.к. в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами АВ и АС (по условию АВ перпендикулярно АС), то S_осн=АВ·АС/2.

Получаем:

S_осн=2·15/2=15.

Т.к. AD перпендикулярно АВ и АС и пересекается с ними в одной точке, то (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды.

Значит AD – высота пирамиды. Т.е. Н=AD=11.

Отсюда имеем:

---

Вариант 16МБ6

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА₁В₁С₁.

Алгоритм выполнения

1. Находим площадь основы призмы через формулу для площади правильного треугольника.
2. Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину.

Решение:

Площадь правильного треугольника равна:

Здесь а – сторона основания призмы.

Вычислим площадь:

Объем призмы: V=Sh, где h – высота призмы, S– площадь ее основания (в нашем случае – площадь правильного треугольника, лежащего в основании).

Вычисляем объем:

---

Вариант 16МБ7

Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания.
2. Площадь основания расписываем по формуле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса.
3. Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее.

Решение:

Объем конуса равен:

Отсюда:

S_осн=3V/h.

Площадь круга составляет:

S=πR².

Поскольку в данном случае S_осн=S, то πR²=3V/h.

Получаем:

---

Вариант 16МБ8

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Алгоритм выполнения

1. Определяем, что образующая цилиндра – это одна из сторон сечения-прямоугольника. Вводим обозначения для точек, которые необходимы для выполнения расчетов. Получаем, что образующая – это отрезок DK.
2. Делаем дополнительное построение – соединяем точки О и А в основании цилиндра. Получаем прямоугольный ∆АВО.
3. Из ∆АВО по т.Пифагора находим значение АВ. Этот отрезок – половина AD. Отсюда находим AD.
4. Зная величину DK и AD, вычисляем площадь сечения-прямоугольника.

Решение:

Поскольку образующая цилиндра и его высота совпадают, то DK=14. Это – одна из сторон прямоугольника, форму которого и имеет сечение.

Найдем 2-ю сторону этого прямоугольника. Из прямоугольного ∆АВО по т.Пифагора АО²=АВ²+ВО².

Отсюда

АО – радиус основания, поэтому АО=15. ВО=12, поскольку ВО – это расстояние от оси до плоскости сечения.

Тогда имеем:

AD=2AB=2·9=18.

Площадь сечения равна:

S=AD·DK=18·14=252.

---

Вариант 16МБ9

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра DA, DC и диагональ DA₁ боковой грани равны соответственно 3, 5 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Алгоритм выполнения

1. Соединяем вершины А₁ и D. Получаем прямоугольный ∆А₁АD. Из этого треугольника находим АА₁.
2. Записываем формулу для вычисления объема параллелепипеда. Находим значение для объема.

Решение:

Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁ параллелепипед, то угол А₁АD равен 90⁰. Поэтому ∆А₁АD – прямоугольный. Тогда по т.Пифагора А₁А²+AD²=A₁D². Отсюда получаем:

Объем параллелепипеда найдем по формуле:

V=AD·DC·AA₁.

Тогда имеем:

V=3·5·5=75.

---

Вариант 16МБ10

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые ребра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для площади боковой поверхности через периметр основания и апофему.
2. Находим периметр треугольника, лежащего в основании пирамиды.
3. Доказываем, что апофема является не только высотой, но и медианой для боковой стороны пирамиды.
4. Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания, по т.Пифагора находим величину апофемы.
5. Вычисляем площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Находим периметр основания:

Р_осн=3х, где х – сторона основания.

Р_осн=3·16=48.

Т.к. пирамида правильная, то ее боковые грани – равнобедренные треугольники. Тогда апофема, которая является высотой боковой грани, проведенной к основанию, является еще и медианой. Значит, SB – медиана и АВ=АС/2=16/2=8.

Из прямоугольного ∆ABS по т.Пифагора АВ²+SB²=AS².

Отсюда:

Т.е. апофема а=15.

Получаем:

---

Вариант 16МБ11

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту.
2. Находим площадь основания, учитывая, что в основании пирамиды лежит квадрат.
3. Находим диагональ квадрата, лежащего в основании, как гипотенузу из ∆АВС. Используем для этого т.Пифагора Делим полученную величину пополам.
4. Из треугольника, построенного на половине диагонали основания, высоте пирамиды и ее боковом ребре, по т.Пифагора определяем высоту.
5. Вычисляем объем.

Решение:

Объем пирамиды:

Т.к. пирамида правильная, то четырехугольник в ее основании – это квадрат. Поэтому S_осн=а², где а – сторона основания.

Имеем:

S_осн=8²=64.

Из прямоугольного ∆АВС по т.Пифагора АС²=АВ²+ВС².

Отсюда:

Тогда АК=АС/2=4√2.

Из прямоугольного ∆АКS по т.Пифагора AS²=AK²+SK².

Получаем:

Т.е. Н=3.

Значит, объем пирамиды составляет:

---

Вариант 16МБ12

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра.
2. Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен:

V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно.

Тогда из этой формулы:

с=V/(ab).

Получаем:

с=280/(8·5)=7.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется так:

S=2(ab+bc+ac).

Отсюда имеем:

S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.

---

Вариант 16МБ13

Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем высоту.
2. Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь.
3. Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем искомую величину.

Решение:

Объем конуса составляет:

.

Отсюда:

Площадь основания (как площадь круга) равна:

S_осн=πR².

Вычисляем площадь:

Sосн=π·2²=4π.

Тогда высота конуса:

---

Вариант 16МБ14

Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если ее объем равен 60.

Алгоритм выполнения

1. Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту. Из нее выражаем высоту.
2. Находим площадь основы-прямоугольника.
3. Подставляем числовые данные в формулу для высоты, вычисляем искомую величину.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется так:

Отсюда:

S_осн=ab, a и b – стороны прямоугольника, лежащего в основе пирамиды.

Следовательно:

S_осн=3·12=36.

Тогда получаем: