Задачи по стереометрии на егэ презентация

Слайд 1

Стереометрические задачи (задание №14 ЕГЭ) Учитель математики МБОУ СОШ №3 им. А. Верещагиной г. Туапсе Чалова Наталья Геннадьевна ©Чалова, 2021

Слайд 2

Задание ЕГЭ №14 – это задание с развёрнутым ответом повышенного уровня сложности. Решение должно быть математически грамотным, полным; все возможные случаи должны быть рассмотрены. Что надо знать о задании №14 ЕГЭ: При выполнении заданий №14 в бланке ответов №2 должны быть записаны полное обоснованное решение и ответ. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. ©Чалова, 2021

Слайд 3

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях , входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования. За решение, в котором обосновано получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов — 2 балла. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов . Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. ©Чалова, 2021

Слайд 4

Проверяемые требования к заданию №14: Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение: длин углов площадей объёмов Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы Определять координаты точки Проводить операции над векторами Вычислять длину и координаты вектора Вычислять угол между векторами ©Чалова, 2021

Слайд 5

Элементы содержания экзаменационной работы: Прямые и плоскости в пространстве ©Чалова, 2021

Слайд 6

Многогранники ©Чалова, 2021

Слайд 7

Тела и поверхности вращения ©Чалова, 2021

Слайд 8

Измерение геометрических величин . ©Чалова, 2021

Слайд 9

Координаты и векторы ©Чалова, 2021

Слайд 10

В прямоугольном параллелепипеде ABCD AB=2, AD=A =1. Найдите угол между прямой и плоскостью A A C B D 2 1 1 Дано: ABCD — прямоугольный параллелепипед, AB=2, AD=A =1 Найти: Угол между и ( A ) Решение: А – квадрат, значит, его диагонали перпендикулярны. Следовательно, O О — проекция на ( A ). Тогда угол между прямой и плоскостью A — это O. О Из Δ O O – половина диагонали. O = = = = = :2 = ∙ = = ar с sin Ответ: ar с sin №1 ©Чалова, 2021

Слайд 11

В правильной треугольной призме ABC стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребра C . a) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и AD . б ) Найдите угол между плоскостями ABC и AD . ∙ ∙ С А В D N 1 3 Дано: ABC — правильная треугольная призма, AB=1, B = 3 , (∙) D — середина C . а) Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 . Так как прямая B 1 D и прямая BC лежат в одной плоскости BCC 1 , то они пересекаются в точке N . Точка N лежит в плоскостях АВС и ADB 1 . Точки N и А лежат в плоскостях АВС и ADB 1 , следовательно, плоскости ABC и ADB 1 пересекаются по прямой A N . Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и B D B 1 построена. Решение: . №2 ©Чалова, 2021

Слайд 12

В правильной треугольной призме ABC стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребра C . б) Найдите угол между плоскостями ABC и AD . ∙ ∙ С А В D N 1 3 60 ∙ б) Угол между плоскостями – это линейный угол, значит, необходимо к линии пересечения плоскостей ABC и AD — прямой AN восстановить перпендикуляры. Решение: Т.к. призма правильная, то ребро C ( ABC). В Δ ACN проведём высоту СН. Проведём DH – она является наклонной к ( ABC ). По т. о трёх п ерпендикулярах DH AN. CHD — угол между плоскостями ABC и AD . Н Δ B N подобен Δ D C N ( II признак подобия) с коэффициентом подобия 2, т.к. точка D – середина ребра C по условию, тогда точка С – середина BN. Значит, DC=3:2=1,5, CN =1 Δ ACN равнобедренный. Тогда СН – биссектриса и медиана. ACN=180 — ACB=180 — 60 =120 АСН= 120 САН=90 — 60 По свойству прямоугольного треугольника СН=1:2=0,5. В прямоугольном Δ DCH tg CHD= =3 =arctg3. Ответ: =arctg3 . №2 ©Чалова, 2021

Слайд 13

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой В D . . М А O D С В Е 6 12 . Решение : По признаку параллельности прямой и плоскости в плоскости сечения найдётся прямая, которая параллельна BD. Т.к. пирамида правильная, то основание высоты является центром основания пирамиды – точкой пересечения диагоналей квадрата. В Δ МСА высота пирамиды является медианой. В это м же треугольнике СЕ также является медианой. Медианы пересекаются в точке К. . К Через точку К проведём прямую, параллельную В D. Она пересечёт ребро М D точке N, а ребро МВ – в точке L . . . Через пересекающиеся прямые NL и CE по аксиоме проходит плоскость. Это и есть плоскость сечения, параллельная BD , содержащая прямую NL. N L №3 ©Чалова, 2021

Слайд 14

В правильной четырёхугольной пирамиде MA В CD с вершиной М стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой В D . . М А O D С В Е 6 12 . Решение : . К . . N L Тогда в Δ CN L и Δ NEL СК и ЕК являются высотами соответственно. Площадь сечения – четырёхугольника CNEL равна сумме площадей Δ CNL и Δ NEL . = = L = N CE. NL DB , по признаку — ти прямой и плоскости DB (CMA) , т.к. DB CA как диагонали квадрата, DB MO. N L (CMA ) . Тогда по определению — ти прямой и плоскости NL CE, где СЕ принадлежит плоскости (CMA) и плоскости сечения ( CNE ). №3 ©Чалова, 2021

Слайд 15

. М А O D С В Е 6 12 . . К . . N L №3 N CE. Найду диагональ основания: DB= = = =6 =CA. Треугольники MDB и MLN подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия , т.к. медианы СЕ и МО пересекаются в отношении 2:1 от вершины. N L= = 6 = 4 В Δ СМА по т. о медиане вычислим медиану СЕ: С = + — С + — = 72 CE = = 6 N CE = ∙ 4 6 = 24 Ответ: 24 ©Чалова, 2021

Слайд 16

Демонстрационный вариант ЕГЭ профильного уровня 2020 года №4 A B C 6 6 . . . M N Решение: а ) Через три точки можно провести плоскость ( BNM). Найдем стороны Δ BNM и воспользуемся т., обратной т. Пифагора. Пирамида правильная, значит боковые грани – прямоугольники. В прямоугольном Δ МАВ ( А=90 ) В = М + В = + = 45 В прямоугольном Δ N ( = 90 ) M = + = + 18 . В Δ АВС опустим высоту ВН. Т.к. Δ АВС правильный, то ВН – медиана точка Н – середина СА. Н = В — Н = — =27 вычисляем из прямоугольного Δ АНВ. Т.к. Н – середина СА, тогда NH боковым рёбрам пирамиды, значит, NH (АВС) NH HB . Значит, в прямоугольном Δ NHB В = H +H = + 27 = 36+27= 63 . Н 45+18=63. Тогда M + В = В . Следовательно, по т., обратной т. Пифагора Δ NMB — прямоугольный с прямым углом М MN MB. ©Чалова, 2021

Слайд 17

Демонстрационный вариант ЕГЭ профильного уровня 2020 года №4 A B C 6 6 . . . M N Решение : Н Угол между плоскостями определяется линейным углом. Для его определения необходимо к ребру двугранного угла в одну точку восстановить перпендикуляры в каждой плоскости. ВМ – прямая, по которой пересекаются ( BMN) и (АВ ). В ( BMN ) MN по доказанному в пункте (а). М N — наклонная к ( АВ ). Опустим из точки N на (АВ ). Основание — точка P , которая лежит на Тогда РМ – проекция наклонной NM на (АВ ). Р По т. о трёх перпендикулярах ВМ МР. Значит, NMP – угол между плоскостями (В NM) и (АВ . В Δ высота C будет равна высоте ВН= = 3 , т.к. призма правильная. Параллельный ей отрезок NP = , т.к. N – середина . sin NMP= = = ∙ = = . Тогда NMP = ar с sin Ответ: NMP = ar с sin ©Чалова, 2021 ∙

Слайд 18

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В, и С, а на окружности другого основания – точка причём С — образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что АСВ — 45 , АВ = 3 С =6. а ) Докажите, что угол между прямыми А и ВС равен 60 . б ) Найдите расстояние от точки В до прямой А . ∙ ∙ ∙ ∙ А С В Решение: a) Плоскость, содержащая СВ и С параллельна оси цилиндра, плоскости основания и является прямоугольником , значит, B — образующая. Прямые А и ВС – скрещивающиеся. Через А проведу плоскость, п араллельную СВ. В (А ) находится прямая СВ. По определению угол между скрещивающимися прямыми А и ВС – это А . Из прямоугольного треугольника АВ с прямым углом В А = = = = 3 . А является наклонной к плоскости ВС , а В — её проекция на эту плоскость. Т.к. В , то по т. о трёх перпендикулярах А Значит, треугольник А прямоугольный с прямым углом . Тогда tg А = = = А = arctg = 60 Т.к. АС – диаметр, то АВС = 90 , АСВ — 45 , значит, Δ АВС – прямоугольный и равнобедренный АВ=ВС= 3 . СВ = =3 как стороны прямоугольника. №4 ∙ 3 6 45

Слайд 19

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В, и С, а на окружности другого основания – точка причём С — образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что АСВ — 45 , АВ = 3 С =6. а ) Докажите, что угол между прямыми А и ВС равен 60 . б ) Найдите расстояние от точки В до прямой А . ∙ ∙ ∙ ∙ А С В Решение: б ) Т.к. В — образующая, то АВ АВС – вписанный, опирающийся на половину дуги, то он – прямой, АВ Тогда по признаку — ти прямой и плоскости АВ (ВС . АВ В . А = В = 3 из равенства прямоугольных треугольников АВ и ВС по двум катетам (АВ=ВС, В =С ). Найду гипотенузу прямоугольного треугольника АВ : А = = = = 6 . №4 ∙ 3 6 45 Тогда расстоянием от точки В до прямой А будет высота прямоугольного треугольника АВ , опущенная из вершины В. = AB∙B = ∙ 3 ∙ 3 = 9 = BH∙ A 9 = ∙ BH ∙ 6 BH = Ответ: а) 60 , б) ∙ Н

Слайд 20

Критерии оценивания: Удачи на экзаменах!!! ©Чалова, 2021

Слайд 21

Спасибо за внимание! ©Чалова, 2021

Инфоурок

›

Геометрия

›Презентации›Презентация. Задачи ЕГЭ №5. Стереометрия. «Комбинации тел»

Презентация для подготовки к ЕГЭ 2023 по математике (профильный уровень) для отработки навыков решения задания №2 «Стереометрия». Из открытого банка заданий ЕГЭ по математике представлены следующие темы:
1. Параллелепипед
2. Призма
3. Пирамида
4. Конус
5. Цилиндр
6. Шар
7. Вписанный и описанный цилиндр
8. Вписанная и описанная сфера

Понравилось? Сохраните и поделитесь:

По кнопке ниже вы можете скачать методическую разработку «ЕГЭ-2023. Математика. Профильный уровень. Прототип №2. Стереометрия» категории «ЕГЭ по математике» бесплатно. Будем благодарны, если вы оставите отзыв или посмотрите еще другие материалы на нашем сайте. Характеристики документа: «презентация».

1.

2. Урок 5

Задание 8: типы 1-6

3. Задание 8: стереометрия

Куб
Прямоугольный параллелепипед
Элементы составных многогранников
Площадь поверхности составного многогранника
Объем составного многогранника
Призма
Пирамида
Цилиндр
Конус
Шар
Комбинации тел

4. Задание 8, тип 1: куб

5. Задание 8, тип 1: куб

1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его
диагональ.
2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь
поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
3. Диагональ куба равна √12. Найдите его объем.
4. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.
5. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра
AA1, точка L — середина ребра A1D1, точка M —
середина ребра A1B1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в
градусах.

6. Задание 8, тип 2: Прямоугольный параллелепипед

7. Задание 8, тип 2: Прямоугольный параллелепипед

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь
поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите
третье ребро, выходящее из той же вершины.
2. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда
равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно
4. Найдите объем параллелепипеда
3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24.
Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани
параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

8. Задание 8, тип 2: Прямоугольный параллелепипед

4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда
равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
5. Найдите объем многогранника, вершинами которого
являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=3,
AD=4, AA1=5
6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
ребро AB=2, ребро AD=√5, ребро AA1=2.Точка K —
середина ребра BB1. Найдите площадь сечения,
проходящего через точки A1, D и K/

9. Задание 8, тип 3: Элементы составных многогранников

1. На рисунке изображён многогранник, все
двугранные углы многогранника прямые. Найдите
расстояние между вершинами А и С2.

10. Задание 8, тип 3: Элементы составных многогранников

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и
C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все
двугранные углы многогранника прямые.

11. Задание 8, тип 3: Элементы составных многогранников

3. Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного
на рисунке. Все двугранные углы многогранника
прямые. Ответ дайте в градусах.

12. Задание 8, тип 3: Элементы составных многогранников

4. На рисунке изображён многогранник, все
двугранные углы многогранника прямые. Найдите
квадрат расстояния между вершинами B2 и D3.

13. Задание 8, тип 3: Элементы составных многогранников

5. Найдите угол D2EF многогранника, изображенного
на рисунке. Все двугранные углы многогранника
прямые. Ответ дайте в градусах.

14. Задание 8, тип 4: Площадь поверхности составного многогранника

1. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы
прямые).

15. Задание 8, тип 4: Площадь поверхности составного многогранника

2. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы
прямые).

16. Задание 8, тип 4: Площадь поверхности составного многогранника

3. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы
прямые).

17. Задание 8, тип 4: Площадь поверхности составного многогранника

4. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы
прямые).

18. Задание 8, тип 5: Объем составного многогранника

1. Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы многогранника
прямые).

19. Задание 8, тип 5: Объем составного многогранника

2. Найдите объем пространственного креста,
изображенного на рисунке и составленного из
единичных кубов.

20. Задание 8, тип 5: Объем составного многогранника

3. Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).

21. Задание 8, тип 5: Объем составного многогранника

4. Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).

22. Задание 8, тип 5: Объем составного многогранника

5. Найдите объем многогранника, изображенного на
рисунке (все двугранные углы прямые).

23. Задание 8, тип 6: призма

1. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной
призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На
какой высоте будет находиться уровень воды, если ее
перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона
основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите
в см.

24. Задание 8, тип 6: призма

25. Задание 8, тип 6: призма

2. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в
основании которой лежит ромб с диагоналями,
равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.
3. Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.
Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту
призмы.

26. Задание 8, тип 6: призма

4. Через среднюю линию основания треугольной
призмы, объем которой равен 32, проведена
плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите
объем отсеченной треугольной призмы.

27. Задание 8, тип 6: призма

28. Задание 8, тип 6: призма

5. Найдите площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы, сторона основания которой
равна 5, а высота – 10.

29. Задание 8, тип 6: призма

6. Найдите объем многогранника, вершинами которого
являются точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной
шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь
основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

30. Задание 8, тип 6: призма

7. Найдите расстояние между вершинами А и D
прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =
5, AD = 4, AA = 3.

V Всероссийский сетевой конкурс «Профессиональный успех–XXI»

• Направленность: Презентация в образовательном процессе
• Наименование номинации 6.1: Презентация в работе с детьми
• Название работы: «Решение стереометрических задач при
• подготовке к ЕГЭ»
• Автор: Груздева Татьяна Александровна,
• учитель математики МБОУ Тонкинской СОШ,
• Нижегородская область
• 2015 год

Данная презентация используется на факультативных и элективных занятиях при подготовке выпускников к сдаче ЕГЭ

• Данная презентация используется на факультативных и элективных занятиях при подготовке выпускников к сдаче ЕГЭ
• Цель: Повторить и обобщить материал по теме «Решение стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ» и применить полученные знания в практической деятельности при решении задач.
• Задачи:
• Учебная: Закрепить знания и умение решать стереометрические задачи; применять ранее приобретенные знания к решению геометрических задач.
• Развивающая: Развивать математическую логику, креативное мышление, пространственное воображение, навыки самостоятельной и творческой деятельности.
• Воспитательная: Воспитывать интерес к предмету, точность и аккуратность в построении чертежа к геометрической задаче.
• Презентация отражает следующие вопросы геометрии:
• Расстояние от точки до прямой;
• Расстояние от точки до плоскости;
• Расстояние между двумя прямыми.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой.

• Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой.

Дано: АВСДА1В1С1Д1 – куб. АВ = 1.
Найти: Расстояние от точки С до прямой ВД1.

• 1. ∆ВСД1– прямоугольный ( по теореме о трёх
• перпендикулярах), ∠Д1СВ – прямой.

• 2. СН – высота ∆ВСД1, значит СВ – среднее
• пропорциональное между ВН и ВД1, тогда

• Решение:

II способ

• СН – расстояние от точки С до прямой ВД1, поэтому СН – высота треугольника ВСД1. СН = 2·S∆ВСД1 : ВД1.

• ∆Д1СВ – прямоугольный, т.к. Д1С  СВ
• по теореме о трёх перпендикулярах.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, проведённого из точки А к плоскости.
Задача. Дано: АВСА1В1С1 – правильная треугольная
призма, все рёбра равны 1.
Найдите: Расстояние от точки А до плоскости (ВСА1)

• h – расстояние от точки А до плоскости (ВСА1),
• поэтому h – высота пирамиды АВСА1

• с основанием ВСА1. h =

• . Пусть основанием пирамиды будет ∆АВС,
• тогда её высота – АА1.

• ∆ВСА1 – равнобедренный, А1К – его высота, тогда

• Ответ: h =

За страницами учебника

Расстояние от точки А до плоскости можно вычислить по формуле:

• тогда получаем систему уравнений:

• отсюда

• где

• , тогда

• тогда

• они лежат в плоскости (ВСА1).Рассмотрим

• и найдём его координаты.

• III.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым существует и единственен.
Задача. Дано: АВСДА1В1С1Д1 – куб. Все его рёбра равны 1.
Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС1.

• следовательно расстояние между скрещивающимися
• прямыми ВС1 и АВ1 равно расстоянию между
• соответствующими плоскостями. Диагональ СА1
• перпендикулярна этим плоскостям.
• СА1 ∩ (ВДС1) = F;
• CА1 ∩ (АД1В1) = Е.
• EF – расстояние между ВС1 и АВ1.

• В ∆ АСЕ отрезок ОF ║ АЕ и проходит через середину отрезка АС, следовательно ОF – средняя линия треугольника АСЕ и, значит, ЕF = FC. Аналогично, О1Е – средняя линия треугольника А1С1F

За страницами учебника

• Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

Задача. Дано: АВСДА1В1С1Д1 – куб. Все его рёбра равны 1.
Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС1.

Задача 2.
Дано: SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, все
рёбра которой равны 1.
Найдите: Расстояние между прямыми АS и ВС.
Литература:

• Геометрия 10 – 11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк Москва «Просвещение» 2013 год
• Избранные вопросы профильного и предпрофильного курса математики. Авторы: И.Г.Малышев, М.А. Минчасова, Б.Н.Иванов. Нижний Новгород Нижегородский гуманитарный центр, 2007 год
• ЕГЭ 2011 Математика Задача С2 Геометрия Стереометрия Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко Москва Издательство МЦНМО 2011

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) в 11-м классе не только осуществл яю т контроль за качеством обучения школьников, полученными ими знаниями, выработанными умениями и навыками, сформированными компетенциями. Содержание и форма проведения этих экзамен ов зада ю т ориентиры всего математического образования, влияют на отбор содержания, выбор форм и методов обучения. Поэтому так важно, чтобы содержание ЕГЭ соответствовало целям и задачам математического образования школьников.

О собенности геометрических задач, отбираемых для включения в ЕГЭ по математике.

Повышение роли наглядности. К каждой задаче предполагается да вать рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления.

Повышение роли конструктивных умений учащихся. Включение задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения (изображения) искомых геометрических фигур.

Повышение роли геометрических задач с практической направленностью. Нахождение расстояний до недоступных объектов, величин углов, объемов и площадей поверхностей реальных предметов и др.

Традиционно геометрические задачи подразделяются на :

— задачи на вычисление (углов, длин, площадей);

— задачи на доказательство ;

— задачи на построение .

Каждый из этих типов задач выполняет важную функцию и способствует достижению результатов обучени я .

В ЕГЭ должны быть, в той или иной мере, представлены геометрические задачи всех этих типов .

Углы

Помимо планиметрических задач на нахождение углов, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение углов в пространстве.

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC .

Ответ. 90 о .

2. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

3. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1 .

Ответ. 90 о .

4. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1 .

Ответ. 60 о .

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1 .

Ответ. 60 о .

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и BC .

Ответ. 60 о .

8. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ. 45 о .

9. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ. 60 о .

10. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ. 30 о .

Длины

Помимо планиметрических задач на нахождение длин, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение расстояний в пространстве.

1. Найдите диагональ куба, все ребра которого равны .

Ответ. 3.

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 50.

3. В правильном тетраэдре ABCD , ребра которого равны 1, найдите квадрат расстояния между серединами противоположных ребер AB и CD .

Ответ. 0,5.

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния между точками A и С 1 .

Ответ. 4.

5. Найдите квадрат расстояния между противоположными вершинами октаэдра, ребра которого равны 1.

Ответ. 2.

6. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 19.

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 2 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 14.

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 17.

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и D 3 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 14.

10. Найдите расстояние от вершины B до прямой C 1 D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 5.

11. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите квадрат расстояния от точки B до прямой A 1 E 1 .

Ответ. 2.

12. Найдите квадрат расстояния от вершины A до прямой CC 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 18.

Площади

Помимо планиметрических задач на нахождение площадей, примеры которых рассмотрены в презентации для ГИА, в этот раздел ЕГЭ включены задачи на нахождение площадей сечений пространственных фигур.

1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , B и С 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 25.

2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AA 1 , BB 1 и B 1 C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , для которого AB = 4, AD = 4, AA 1 = 3.

Ответ. 10.

3. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , C и S .

Ответ. 0,5.

4. Ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер SA , SB и SC .

Ответ. 0,25.

5. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Ответ. 0,25.

6. Найдите площадь сечения, проходящего через середины ребер AB , BC и A 1 B 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1.

Ответ. 0,5.

7. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A , D и D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1.

Ответ. 2.

8. Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания и высота которого равны 2.

Ответ. 4.

9. Найдите площадь S сечения, проходящего через вершины A , B и C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. В ответе укажите .

Ответ. 10.

10. Найдите площадь S сечения, проходящего через середины ребер AD , BC и B 1 C 1 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ. 3.

Объемы

Здесь предлагаются примеры задач на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур.

О ни проверя ю т развитие пространственных представлений учащихся, умения проводить построения в пространстве, находить объемы и площади поверхностей многогранников, круглых тел и их комбинаций.

Для успешного решения эт их зада ч требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

1. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение. Если ребро куба равно a , то его диагональ равна . Отсюда следует, что если диагональ куба равна , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

Ответ. 8.

2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение. Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8.

Ответ. 8.

3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Решение. Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k , то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3 . Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз.

Ответ. 8.

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение 1. М ногогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов , объемы которых равн ы 2 и 4 . Следовательно, объем многогранника рав ен 6 .

Решение 2. М ногогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника рав ен 6 .

Ответ. 6.

6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 16 , прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4 , двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьми угольников площад и 10 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92 .

Ответ. 92.

7. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. М ногогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника рав ен 40 .

Ответ. 48.

8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрат а площад и 9 , семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьми угольников площад и которых равны 4 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38 .

Ответ. 38.

9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. М ногогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 9 и 1. Следовательно, объем многогранника рав ен 10 .

Ответ. 10.

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 0,5.

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1,5.

12. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1,5.

13. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 9.

14. Найдите объем V части конуса , изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ. 1.

15. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Решение. Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3 . Следовательно, объем детали равен 3 дм 3 .

Ответ. 3.

16. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Ответ. 2 см.

17. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и . Их сумма равна . Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

Ответ. 10.

18. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32.

Ответ. 32.

19. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на .

Решение. Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36 , а объем, деленный на равен 36.

Ответ. 36.

Расстояния

Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение расстояний в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

1. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника AB 1 D 1 . Имеем, AB 1 = AD 1 = B 1 D 1 = .

Следовательно, AE =

Ответ:

60

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой BD 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ABD 1 . Имеем, AB = 1, AD 1 = , BD 1 = .

Следовательно, AE = .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

3. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины A до прямой SC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1.

Ответ: 1.

4. В правильной пирамиде SABCD , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до прямой SD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте AH равностороннего треугольника SAD. Оно равно

Ответ:

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника AB 1 C 1 . Имеем,

B 1 C 1 = 1; AB 1 = AC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BC 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника ABC 1 . Имеем,

AB = 1; AC 1 = BC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

7. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой D 1 E 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE 1 . В прямоугольном треугольнике AEE 1 имеем: EE 1 = 1, AE = . Следовательно, AE 1 = 2.

Ответ: 2.

8. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Достроим призму, присоединив к ней правильную треугольную призму ABGA 1 B 1 G 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка AH 1 , где H 1 – середина ребра B 1 G 1 . В прямоугольном треугольнике AHH 1 имеем: HH 1 = 1, AH = Следовательно, AH 1 =

Ответ:

9. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BE 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ABE 1 , в котором AB = 1, AE 1 = 2, BE 1 =

Из подобия треугольников ABE 1 и BHA находим AH =

Ответ:

10. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины AA 1 , BD 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка PQ . Она равна

Ответ:

11. В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние между прямыми AD и BC .

Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF , где E , F – середины ребер AD , GF . В треугольнике DAG DA = 1,

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

AG = DG = Следовательно, EF =

Ответ:

12. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SAO

имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH =

Ответ:

13. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC .

Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD . Оно равно высоте EH треугольника SEF , где E , F – середины ребер BC , AD . В треугольнике SEF имеем:

EF = 1, SE = SF = Высота SO равна

Следовательно, EH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

14. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Ответ:

15. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C . Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1 . В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием.

Имеем, DD 1 = 1, CD = , CD 1 = .

Следовательно, DE =

Ответ:

16. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1 .

Ответ: 1.

17. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина равна .

Ответ: .

18. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 .

Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна .

Ответ: .

19. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно .

Ответ: .

20. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна .

Ответ: .

21. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Оно равно .

Ответ: .

22. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BDA 1 .

Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1 . Обозначим O — центр грани ABCD , E — точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1 . Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем

AA 1 = 1; AO = ; OA 1 = .

Следовательно, AE =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

23. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C .

Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1 . Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно

Ответ:

24. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BCC 1 .

Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G . Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна

Ответ:

25. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 D.

Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH , опущенного из точки A на прямую A 1 E . Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1 . Имеем AA 1 = 1, AE = , A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна .

Ответ: .

Углы

Здесь предлагаются примеры задач повышенной трудности на нахождение углов в пространстве, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена по математике.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

1. В кубе A … D 1 найдите косинус уг ла между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

86

2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C . В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна . Следовательно,

3. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение 1 . Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 … F 1 . Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1 , и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1 . В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =

. Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75 .

4. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

Решение 1 . Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1 . Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 = , A E 1 = 2, B 1 E 1 = .

Применяя теорему косинусов, получим .

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и BС 1 равен .

5. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .

Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о . Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B , перпендикулярная AB 1 . Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1 , т.е. искомый угол равен 90 о .

Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1 , и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1 . Искомый угол равен углу E 1 BG 1 . Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна . В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна . В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и . Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна . Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 = , BE 1 = , G 1 E 1 = . По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о .

Решение 3 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0, , 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0, , 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1, , 1). Воспользуемся формулой

выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о .

6. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 45 o .

7. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между прям ой AA 1 и плоскостью BC 1 D .

Ответ:

8. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью

AB 1 и ABC 1 .

Ответ: 30 o .

9. В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AC 1 и плоскостью BA 1 D .

Ответ: 90 o .

10. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью : AA 1 и AB 1 C 1 .

Ответ:

11. В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между плоскостями ABC и AB 1 D 1 .

Ответ:

12. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C .

Решение: Обозначим O , O 1 — середины ребер AB и A 1 B 1 . Искомым линейным углом будет угол OCO 1 . В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем

OO 1 = 1; OC =

Следовательно,

13. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABB 1 и CDD 1 .

Ответ: 60 о .

14. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ACC 1 и DEE 1 .

Ответ: 30 о .

15. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями CDF 1 и AFD 1 .

Решение: Пусть O – центр призмы, G , G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1 . Искомый угол равен углу GOG 1 . В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о .

Ответ:

Планиметрия

Здесь предлагаются примеры планиметрических задач повышенного уровня трудности, относящихся к профильной части Единого государственного экзамена и требующие развернутого решения.

1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a , причем r R и r + R a . Найдите AB .

Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R , O 2 – центр окружности радиуса r . Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная.

В первом случае (рис. 1) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB =

Во втором случае (рис. 2) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB , и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A . Тогда AB =

Ответ. или .

2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O , основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O .

В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9.

Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB , и обозначим P , Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD . Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP . Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39.

Ответ. 9 или 39.

3. Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B . Известно, что угол AO 1 B равен 90 о , угол AO 2 B равен 60 о , O 1 O 2 = a . Найдите радиусы окружностей.

Решение. Возможны два случая: точки O 1 , O 2 расположены по разные стороны от прямой AB , точки O 1 , O 2 расположены по одну сторону от прямой AB . Обозначим r радиус окружности с центром O 1 . Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен . Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB . Тогда O 1 P = , O 2 P = .

В первом случае (рис. 1)

и, следовательно,

Во втором случае (рис. 2)

и, следовательно,

Ответ. или

4. Около треугольника ABC описана окружность с центром O , угол AOC равен 60 о . В треугольник ABC вписана окружность с центром M . Найдите угол AMC .

Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC .

В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о .

Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о . Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о .

Ответ. 105 о или 165 о .

5. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC .

Решение. По теореме синусов Откуда

Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC .

Опустим перпендикуляр BH на прямую AC . Тогда BH = AB sin A = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1)

AC = Во втором случае (рис. 2) AC =

Ответ. или

6. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H . Известно, что CH = AB . Найдите угол ACB .

Решение. Пусть AA 1 , BB 1 – высоты треугольника ABC . Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1 . Возможны два случая расположения точки H .

В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1 , как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о . Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о .

Ответ. 45 о или 135 о .

7. В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1 , O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC .

Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1 .

На BC , как на диаметре, опишем окружность с центром P . Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о . В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о . По теореме синусов находим R = .

Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о . Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о . По теореме синусов находим R = 24.

Ответ. или 24.

8. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = 28. Основание BC равно 5, косинус угла BCD равен –2/7. Найдите AC .

Решение. Возможны два случая.

В первом случае (рис. 1) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = 28.

Во втором случае (рис. 2) DF = 8, CF = BE = , AE = 3. Следовательно, AC = .

Ответ. 28 или .