Задачи по теории вероятности с решениями для вузов экзамен

Прежде чем изучать готовые решения задач по теории вероятности, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теория вероятностей», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Введение в теорию вероятностей

Прежде чем переходить к строгим определениям основных понятий теории вероятностей, мы рассмотрим несколько простых и в то же время типичных ситуаций, призванных проиллюстрировать идейную сторону дальнейшего изложения.

Схема случаев

Потребность в теоретико-вероятностных методах, как правило, возникает в ситуации, когда исход изучаемого явления по тем или иным причинам не может быть однозначно спрогнозирован. Одной из простейших моделей такого сорта ситуаций может служить схема случаев. Под схемой случаев мы понимаем такую ситуацию, когда, во-первых, множество возможных исходов рассматриваемого эксперимента образует конечную совокупность, а во-вторых, каждый из исходов имеет такие же шансы на осуществление, как и любой другой. При этом предполагается, что исследуемое явление может наблюдаться в идентичных условиях неограниченное число раз — эксперимент обладает свойством повторяемости. Очевидно, что в этом случае шансы на осуществление того или иного исхода в каждом отдельно взятом эксперименте тем меньше, чем больше самих исходов, а шансы на осуществление какой-либо группы исходов пропорциональны количеству исходов в рассматриваемой группе.

Пример 1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании монеты. Пренебрегая «нештатными» возможностями — монета стала на ребро, закатилась в щель, прилипла к потолку и т. п. — будем считать, что возможные исходы этого эксперимента — это выпадение герба или решетки (решки). Если предположить дополнительно, что монета является физически симметричной и что эксперимент производится «честно», то мы получим простейший пример схемы случаев с двумя равновозможными исходами. Заметим, что если монета несимметрична, то рассмотренный эксперимент схемой случаев в нашем понимании описан быть не может, так как исходы уже не будут обладать свойством равновозможности.

Пример 2. Пусть в урне лежит N физически идентичных шаров, пронумерованных от 1 до N. Эксперимент состоит в извлечении шара из урны, возможный исход однократного извлечения — любой номер от 1 до N. Если шары тщательно перемешаны и извлекаются из урны наугад, то мы имеем пример схемы случаев с N равновозможными исходами.

Вероятность исхода. Событие. Вероятность события

Для описания возможности осуществления того или иного исхода в схеме случаев введем количественную характеристику указанной возможности — вероятность исхода, которую определим как величину, обратно пропорциональную общему количеству N равновозможных при однократном проведении эксперимента исходов:

где к — некоторый коэффициент пропорциональности

Для того чтобы понять, каким он должен быть, введем понятие события, которое может (или не может) осуществляться в эксперименте:

Событием в эксперименте, описываемом схемой случаев, назовем любую совокупность исходов рассматриваемого эксперимента.

Мы будем говорить, что событие осуществилось, если в результате однократного проведения эксперимента реализовался один из составляющих это событие исходов.

Пример 3. Рассмотрим эксперимент, состоящий в извлечении ровно одной карты из тщательно перетасованной колоды, содержащей 36 карт. Этот эксперимент может быть описан схемой случаев с 36 равновозможными исходами.

Примерами событий в рассматриваемой ситуации могут служить следующие:
— = {извлеченная карта имеет масть пик}. Это событие состоит из всех (9) пиковых карт. Оно осуществляется (происходит) в эксперименте, если мы извлекли из колоды любую пиковую карту.
— Десятка = {извлеченная карта — десятка}. Это событие состоит из всех (4) карт с изображением десятки. Оно происходит, если мы извлекли из колоды любую десятку.
— Картинка = {извлеченная карта — валет, дама, король или туз}.

Если у нас есть пара событий А и В, то можно сконструировать из них новые события, пользуясь следующими простыми правилами действий:

Суммой двух событий А и В назовем событие, происходящее, если происходит либо событие А, либо событие В, либо оба эти события одновременно. Легко понять, что сумма событий составляется из всех исходов входящих либо в А, либо в В, при этом общие исходы (т. е. входящие одновременно и в Л, и в В) входят в сумму однократно.

Обозначение для суммы: A U В.

Пример 4. В описанном выше эксперименте с извлечением одной карты из 36-листовой колоды суммой событий А = {извлеченная карта масти пик} = {6,…, Т} и В = {извлеченная карта — король} = {К, К, К, К} будет событие, состоящее в извлечении карты масти пик или любого короля.

Совмещением (произведением) двух событий А и В назовем событие, происходящее, если события Л и В осуществляются одновременно.

Совмещение событий состоит из всех общих для событий А и В исходов.

Обозначение для совмещения: Чаще всего знак совмещения опускают, обозначая совмещение событий А • В = АВ.

Если у событий отсутствуют общие исходы, то такие события вместе не происходят. Они называются несовместными. При сложении несовместных событий обычно используется значок «+» вместо значка объединения — сумма обозначается в этом случае как А + В.

Пример 5. В описанном выше эксперименте совмещением событий А и В будет событие, состоящее в извлечении короля пик.

Здесь же события и — несовместны.

Отрицанием события А или событием, противоположным событию А, назовем событие, происходящее, когда событие А не происходит. Отрицание (противоположное событие) состоит из всех тех исходов эксперимента, которые не входят в А.

Обозначение для отрицания (противоположного события):

Пример 6. В описанном выше эксперименте отрицанием события В будет событие, состоящее в извлечении любой карты, не являющейся королем.

Рассмотрим теперь событие, которое в дальнейшем будем обозначать буквой , составленное из всех исходов рассматриваемого эксперимента. Очевидно, что при любой реализации эксперимента какой-нибудь исход обязательно осуществится, а следовательно, осуществится событие , что дает основание назвать это событие достоверным. Оно происходит всегда, когда проводится эксперимент. Пополним множество возможных в рассматриваемом эксперименте событий событием невозможным, которое в данном эксперименте не происходит. Невозможное событие будем обозначать символом .

Легко понять, что если мы имеем дело со схемой случаев с N равновозможными исходами, то общее количество всех событий в рассматриваемом эксперименте равно .

◄ Действительно, событий, состоящих ровно из одного исхода, будет N, из двух исходов — , и вообще, событий, состоящих из S исходов, будет . Таким образом, число возможных событий равно

если добавить теперь к этому количеству еще одно — невозможное — событие, получим искомый результат, так как известно, что

откуда и следует искомое. ►

Отметим несколько очевидных соотношений:

Естественно под вероятностью события понимать величину, пропорциональную количеству входящих в него исходов — если некоторое событие составлено S исходами, то его вероятность положим равной

При этом ясно, что чем больше исходов входят в событие (говорят — благоприятствуют осуществлению события), тем больше шансы на его осуществление, как следствие — тем больше его вероятность. Все события, осуществляющиеся в эксперименте, с точки зрения шансов на осуществление естественно располагаются между невозможным и достоверным событиями.

Вероятность невозможного события положим равной нулю, отмечая тем самым, что шансов на осуществление невозможного события нет.

Вероятность достоверного события может быть принята равной любому положительному числу — никаких запретов или ограничений на это значение нет. Так как достоверное событие включает все возможные исходы, то его вероятность больше вероятности любого другого события в этом эксперименте и равна, в силу (2), сумме вероятностей всех исходов, т. е. Таким образом, коэффициент пропорциональности в соотношении (1) равен вероятности достоверного события.

Поскольку выбор значения вероятности достоверного события не влияет на содержательную сторону описания возможности осуществления того или иного исхода в схеме случаев, а меняет только масштаб шкалы измерения вероятностей, положим

и, тем самым, завершим определение вероятностей исхода и события в схеме случаев.

Суммируя вышеизложенное, еще раз отметим, что все события, происходящие в эксперименте, могут быть естественным образом ранжированы в соответствии с их шансами на осуществление при однократной реализации эксперимента. В этой ранжировке они располагаются между невозможным событием, которое не происходит никогда, и достоверным, которое реализуется всегда, когда реализуется эксперимент.

Мерой осуществимости любого события А выступает его вероятность, определяемая как отношение количества S благоприятствующих осуществлению события исходов к общему числу N всех возможных исходов:

Отметим некоторые свойства вероятности события в схеме случаев.

1. Вероятность любого события, происходящего в рассматриваемом эксперименте, задается положительным числом, заключенным в пределах между 0 и 1

2. Если события А и В — несовместны, то вероятность суммы равна сумме вероятностей

в частности, справедлив так называемый принцип дополнительности

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих технику нахождения вероятностей событий в схеме случаев.

Пример 7. Пусть в урне лежит m+n физически идентичных шаров, окрашенных соответственно в белый (n шаров) и черный (m шаров) цвета. Эксперимент состоит в извлечении из урны одного шара. Найдем вероятность извлечения шара белого цвета

Поскольку всего возможных исходов N = m + n, а благоприятствующих извлечению белого шара — п, то искомая вероятность дается отношением n/(m + n). ►

Пример 8. В условиях предыдущего примера производится извлечение двух шаров. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара — белые? Извлечены разноцветные шары?

Ответ на первый вопрос задачи может быть получен, например, с помощью следующих рассуждений.

Всего различных пар шаров из урны, содержащей m + n физически идентичных шаров, можно составить , так что можно считать, что всего различных исходов в рассматриваемом эксперименте . В то же время количество пар белых шаров дается числом , откуда искомая вероятность равна

Аналогичные соображения для второго вопроса дают.

Заметим, что рассматриваемый эксперимент — извлечение пары шаров — эквивалентен двукратному последовательному извлечению шаров из урны.

Пример 9. В условиях предыдущего примера производится последовательное извлечение двух шаров с возвращением каждого извлеченного шара обратно в урну. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара — белые’ Извлечены разноцветные шары?

В отличие от предыдущей ситуации, общее количество возможных исходов в рассматриваемом эксперименте будет уже равно , а количество S исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (оба шара — белые) — , и, следовательно, искомая вероятность равна

Аналогичные рассуждения для второго вопроса дают:

Пример 10. Ребенок, играя с четырьмя карточками разрезной азбуки, на которых изображены буквы А, А, М, М, случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово МАМА?

Предполагая, что все возможные расстановки четырех карточек в ряд равновозможны, получаем схему случаев с общим количеством исходов N = 4! = 24. Количество исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно S = 4, откуда искомая вероятность равна 4/24 =1/6. ►

Пример 11. Студент подготовил к экзамену 40 из 50 вопросов, охватывающих программу изученного курса. На экзамене ему предлагается дать ответ на два случайным образом выбранных из общего списка вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответ на оба предложенных ему вопроса?

Легко видеть, что всего различных вариантов выбора пары различных вопросов из общего списка, содержащего 50 вопросов, будет . Интересующее нас событие состоит из таких пар вопросов, оба из которых известны студенту. Их количество Таким образом, искомая вероятность дается отношением

Пример 12. В урне лежит всего 10 черных и белых шаров. Из урны извлекают без возвращения пару шаров. Известно, что вероятности извлечения одноцветных шаров относятся как 2 : 5. Можно ли по этим данным установить состав шаров в урне?

Пусть в урне лежит п белых (черных) (соответственно, 10 — n черных (белых)) шаров. Тогда вероятность извлечения из урны пары белых (черных) шаров будет равна

аналогично, пары черных (белых) шаров

Из условия задачи следует

откуда для n получаем уравнение

единственное целое положительное решение (n = 4) которого дает ответ — в урне возможно наличие 4 белых и 6 черных, либо 4 черных и 6 белых шаров. ►

Пример 13. В урне лежит некоторое количество белых и черных шаров, так что вероятность извлечения пары белых шаров равна 0,5. Какое минимально возможное количество шаров находится в урне? Каков при этом состав шаров в урне?

Пусть в урне лежит всего N шаров, из которых n < N — белые. Вероятность извлечения пары белых шаров (см. предыдущий пример) дается соотношением

и условие задачи приводит к уравнению, связывающему N и n

Учитывая, что величины n и N — целые положительные числа, удовлетворяющие условию n < N, выразим из этого соотношения п через N

и, придавая величине N последовательно значения 1, 2,… , найдем, что наименьшее значение N, при котором n — целое положительное, равняется 4. Значение n при этом равно 3. ►

Пример 14. Среди выпущенных N лотерейных билетов n — выигрышных. Некто приобрел r < N — n лотерейных билетов. Какова вероятность того, что среди них по крайней мере один выигрышный?

Заметим, что событие А = {среди приобретенных r билетов по крайней мере один выигрышный} противоположно событию = {среди приобретенных r билетов выигрышных нет}. Для решения задачи воспользуемся принципом дополнительности:

Найдем вероятность . Всего возможных исходов (т. е. различных наборов из r лотерейных билетов) , среди них таких, которые не содержат ни одного выигрышного билета —. Для вероятности получаем

откуда искомая вероятность дается соотношением

Пример 15. Среди выпущенных N лотерейных билетов n — выигрышных. Некто приобрел r < min{n, N — n} лотерейных билетов. Какова вероятность того, что среди них ровно k выигрышных?

Как и выше, всего возможных исходов (т. е. различных наборов из r лотерейных билетов) будет . Набор, содержащий ровно k выигрышных билетов, образуется в результате объединения любых k выигрышных билетов с любыми r — k невыигрышными. Количество различных наборов из к выигрышных билетов равно , количество различных наборов из r — k невыигрышных билетов равно . Следовательно, количество различных комбинаций из выигрышных и невыигрышных билетов дается числом , а искомая вероятность равна

Геометрические вероятности

Другая схема описания экспериментов с неоднозначно прогнозируемыми исходами, которая позволяет довольно просто ввести количественную характеристику осуществимости того или иного события — это схема геометрических вероятностей, которая , как и рассмотренная выше схема случаев, эксплуатирует идею о равновозможности исходов эксперимента.

Аналогично тому, как это было проделано в схеме случаев, количественная характеристика осуществимости события — его вероятность — определяется как нормированная некоторым образом величина, пропорциональная запасу исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Пусть множество исходов исследуемого эксперимента может быть описано как множество точек некоторого «геометрического континуума» — каждому исходу соответствует некоторая точка и каждой точке отвечает некоторый исход. В качестве «геометрического континуума» может выступать отрезок на прямой, дуга спрямляемой кривой на плоскости или в пространстве, квадрируемое множество на плоскости (треугольник, прямоугольник, круг, эллипс и т. п.) или часть квадрируемой поверхности, некоторый объем в пространстве (многогранник — призма, пирамида, шар, эллипсоид и т. п.)

Событием назовем любое квадрируемое подмножество множества .

Как и в схеме случаев, событие состоит из точек-исходов, однако уже не любая совокупность исходов образует событие, атолькотакая, меру которой (длину, площадь, объем) мы можем измерить.

Предполагая равновозможность исходов, назовем вероятностью события А число, пропорциональное мере подмножества А множества :

Если — событие, невозможное в данном эксперименте, a — достоверное, то положим Вероятность любого события А будет при этом заключена между нулем — вероятностью события невозможного, и единицей — вероятностью события достоверного. Условие нормировки позволяет найти константу k — коэффициент пропорциональности, задающий вероятность. Он оказывается равен .

Таким образом, в схеме геометрических вероятностей вероятность любого события определяется как отношение меры подмножества А, описывающего событие, к мере множества , описывающего эксперимент в целом:

Отметим некоторые свойства так определенной вероятности:

1. 
2. Если

◄ Свойство очевидно следует из того обстоятельства, что множество, содержащееся внутри другого, не может быть больше последнего. ►

Как и в схеме случаев, события в схеме геометрических вероятностей можно объединять, совмещать и строить на их основе противоположные — при этом будут получаться, вообще говоря, отличные от исходных события. Следующее свойство весьма важно.

Если события А и В — несовместны, то Р(А U В) = Р(А)+Р(В), в частности, справедлив принцип дополнительности:

◄ Это свойство, называемое обычно правилом сложения вероятностей, очевидно следует из аддитивности меры. ►

В заключение отметим, что вероятность осуществления любого исхода в схеме геометрических вероятностей всегда равна нулю, равно как равна нулю вероятность любого события, описываемого «тощим» множеством точек, т. е. множеством, мера которого (соответственно — длина, площадь, объем) равна нулю.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей в схеме геометрических вероятностей.

Пример 1. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка [а, b]. Найти вероятность того, что выбрана точка, лежащая в левой половине рассматриваемого отрезка.

◄ По определению, вероятность выбора точки из любого множества на отрезке [а, b] пропорциональна длине этого множества. Следовательно, искомая вероятность равна 0,5:

Пример 2. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата Какова вероятность того, что уравнение

имеет действительные корни? Равные корни?

Хорошо известно, что у квадратного уравнения корни действительны, если его дискриминант неотрицателен. В рассматриваемом случае дискриминант D дается соотношением

и будет неотрицателен, если удовлетворяют условию

т е если точка будет выбрана из множества А, являющегося пересечением квадрата К и множества точек, описываемого вышеприведенными условиями (рис. 1).

Следовательно, для искомой вероятности получаем:

Далее, корни квадратного уравнения совпадают, если D = 0. Этому значению дискриминанта отвечает отрезок оси от — 1 до +1 и отрезок биссектрисы первого и третьего координатного угла, лежащий внутри квадрата К (рис. 1). Легко понять, что площадь этого множества точек равна нулю и, следовательно, вероятность совпадения корней рассматриваемого уравнения равна нулю. ►

Следующий пример является классическим и призван проиллюстрировать то простое соображение, что понятие «случайности» не является очевидным и одинаково понимаемым всеми, а потому должно быть, вообще говоря, аккуратно формализовано, иначе использование вероятностных соображений может привести к недоразумениям.

Пример 3. В круге радиуса R случайным образом выбрана хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды больше радиуса?

◄ В первую очередь следует понять, что значит хорда выбрана случайно.

1. Поскольку длина хорды однозначно определяется расстоянием этой хорды от центра круга, то одна из возможных интерпретаций случайного выбора может выглядеть так:

Случайный выбор хорды эквивалентен случайному выбору точки на диаметре круга.

Длина хорды, находящейся на расстоянии d от центра, равна , и для того чтобы длина хорды превышала длину радиуса круга, нужно, чтобы выбранная точка была расположена от центра круга на расстоянии, не превышающем (рис. 2)

Поэтому искомая вероятность раана

2. Всякая хорда может быть задана парой точек на окружности, являющихся ее концами. Поэтому другая интерпретация случайного выбора хорды может быть сформулирована так.

Случайный выбор хорды эквивалентен случайному выбору пары точек на дуге окружности.

Выбирая на окружности начало отсчета и задавая направление обходе (например, против часовой стрелки), пометим положение любой точки на окружности ее координатой, меняющейся в пределах от 0 до . Множество хорд может быть описано множеством упорядоченных пар чисел (x, у), — координат начала и конца каждой из хорд (рис. 3, слева). Это множество на плоскости координат (x, у) изображается треугольником ОАВ (рис. 3, справа). Понятно, что длина хорды будет больше радиуса, если координаты начала и конца хорды удовлетворяют условиям

Последние могут быть записаны одним двойным неравенством

Множество точек (х,у), удовлетворяющих этому условию, заштриховано на рис. 3 (справа). Теперь легко находим

и искомая вероятность равна

что отличается от результата, полученного выше. ►

Условные вероятности. Взаимное влияние и независимость

Информация о реализации некоторого события в эксперименте может менять наши представления о шансах на осуществление других событий.

Пример 1. Пусть в эксперименте с бросанием симметричной монеты рассматриваются события Г — выпадение герба и Р — выпадение решки. Очевидно, что если нам известно: выпал герб, т. е. осуществилось событие Г, то осуществление события Р — выпадение решки в этом эксперименте невозможно.

Пример 2. Если в эксперименте с извлечением карты извлечена карта К, то очевидно, что одновременно осуществились события = {извлечена карта масти пик} и К = {извлечен король}. Другими словами, осуществление события К влечет за собой осуществление и этих событий.

Но, конечно, может оказаться и так, что осуществление одного из событий в эксперименте ничего не говорит нам об осуществлении или неосуществлении другого, точнее, не меняет наших представлений о шансах на его осуществление.

Пример 3. Рассмотрим эксперимент, состоящий в двукратном извлечении шаров из урны с последующим возвращением извлеченного шара обратно в урну. Пусть в урне лежит N = m + n соответственно черных (m) и белых (n) шаров. Рассмотрим события: А — шар, извлеченный первым, белый, В — шар, извлеченный вторым, белый. Поскольку после каждого извлечения шар возвращается в урну, то ясно, что зависимости между этими событиями нет.

Из общих соображений понятно, что при условии осуществления одного из событий шансы на осуществление другого должны быть пропорциональны запасу их общих исходов — чем значительнее общая часть рассматриваемых событий, тем выше должны быть шансы на осуществление одного из них, в предположении, что другое произошло.

Введем соответствующее формальное понятие.

Условной вероятностью осуществления события А относительно события В назовем число

где —запас исходов эксперимента, благоприятствующих осуществлению соответственно событий

Пусть событие В фиксировано и таково, что Р(В) > 0. Тогда условная вероятность обладает следующими очевидными свойствами:

1.

2. Если события А и В — несовместны, то Р(А|В) = 0, если же события А и В таковы, что В составляет часть А, то Р(А|В) = 1, в частности Р(В|В) = 1.

3. Для условных вероятностей справедливо правило сложения

если только события Ai и А2 несовместны.

Таким образом, условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности и описывает шансы на осуществление события А при уже происшедшем событии В. Очевидно, что, вообще говоря,

Сразу же заметим, что условная вероятность может быть вычислена как отношение вероятности совместного осуществления событий А и В к вероятности события-условия В:

Из последнего соотношения следует правило умножения вероятностей

справедливое для событий с положительной вероятностью.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих введенное понятие.

Пример 4. Из урны, содержащей n белых и m черных шаров, извлекают без возвращения пару шаров. Какова вероятность извлечь вторым черный шар, если известно, что первым был извлечен черный?

Очевидно, что если первым был извлечен черный шар, то в урне осталось всего n+m— 1 шаров, m — 1 среди которых черных m — 1. Поэтому искомая вероятность равна

Пример 5. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата . Найти вероятность того, что первая координата точки не превышает 0,5, если известно, что выбрана точка, лежащая выше биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4).

◄ Из рисунка легко усмотреть, что вероятность события В = {выбрана точка, лежащая выше биссектрисы} равна 0,5, а вероятность совместного осуществления событий В и . Отсюда для искомой вероятности получаем: Р(A|В) = 3/4. ►

Понятие условной вероятности позволяет ввести также количественную меру, характеризующую степень влияния одного из событий на другое.

Будем говорить, что событие А не зависит от события В, если осуществление события А не меняет вероятности осуществления события В, т. е. если условная вероятность Р(А|В) совпадает с безусловной Р(А):

В противном случае будем говорить, что событие А зависит от В.

Сразу же отметим, что понятия зависимости-независимости, несмотря на явную несимметричность определения, носят взаимный характер — если событие А зависит (не зависит) от события В, то и событие В зависит (не зависит) от события А.

◄ Действительно, пусть событие А не зависит от события В. Рассмотрим

но, в силу независимости, Р (А|В) = Р (A), откуда и следует независимость В от А. ►

В случае независимых событий правило умножения вероятностей принимает особенно простой вид: вероятность совместного осуществления двух событий равна произведению их вероятностей:

Соотношение (5) может быть принято в качестве определения независимости.

Нижеследующие примеры иллюстрируют использование правила умножения при вычислении вероятностей событий.

Пример 6. Из урны, содержащей п белых и т черных шаров, извлекают три шара. Какова вероятность того, что среди извлеченных есть хотя бы один белый шар?

◄ Заметим, что интересующее нас событие А противоположно событию — все извлеченные шары черные. В соответствии с принципом дополнительности Вероятность события найдем, воспользовавшись тем, что , где события означают, что шар, извлеченный і-м — черный. В соответствии с правилом умножения получаем

Для вероятностей, участвующих в этом соотношении, легко получаем

откуда ответ

Пример 7. В круге радиуса R случайным образом независимо друг от друга выбрано N точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей из них будет не менее r.

◄ Ясно, что если ближайшая из точек находится от центра на расстоянии не меньшем r, то и все прочие будут находиться от центра на не меньшем расстоянии.

Вероятность того, что случайная в круге точка находится от центра на расстоянии не меньшем r, дается отношением

В соответствии с правилом умножения (5), искомая вероятность равна

Пример 8. Некто забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наугад. Какова вероятность того, что он дозвонится до нужного абонента не более чем за три попытки?

◄ Воспользуемся принципом дополнительности — противоположным рассматриваемому событию А будет событие , состоящее в том, что первые три попытки дозвониться до нужного абонента оказались безуспешными. Последовательные попытки дозаониться до нужного абонента — зависимые события, так как однажды набранная и не принесшая успеха цифра в дальнейшем уже не набирается. Применим прааило умножения (4):

Для сомножителей очевидно имеем

Отсюда

и для искомой вероятности получаем

Пример 9. Исследовать связь между темным цветом глаз у отца (событие ) и сына (событие ) на основании следующих данных, полученных при переписи населения Англии и Уэльса в 1891 году.

Темноглазые отцы и темноглазые сыновья составляли 5% среди всех обследованных, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья — 7,9%, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья — 8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья — 78,2%.

◄ Для оценки исследуемой связи найдем условные вероятности и сравним их с соответствующей безусловной .

По определению имеем

Условия задачи дают основания для следующей оценки вероятностей

Поскольку очевидно, что , постольку Отсюда

В то же время . Сравнивая значения условной и безусловной вероятностей, делаем заключение о наличии связи между темным цветом глаз у отца и темным цветом глаз у сына — у темноглазых отцов темноглазые сыновья встречаются почти втрое чаще, чем вообще среди обследованных. Заметим, между прочим, что светлоглазые сыновья у темноглазых отцов встречаются примерно а 6 случаях из

Подсчитаем теперь вероятность . Рассуждения, аналогичные вышеприведенным, дают:

Заключаем, что светлоглазые отцы, вообще говоря, могут иметь темноглазых сыновей, однако значительно реже, чем светлоглазых — примерно в одном случае из 10 у светлоглазых отцов темноглазые сыновья и, соответственно, в 9 случаях из 10 — светлоглазые. ►

Формула полной вероятности

Введенные в предыдущем разделе понятия условной вероятности и независимости событий позволяют получить простое соотношение, облегчающее вычисление вероятностей в многоальтернативных ситуациях — когда событие, вероятность которого отыскивается, может происходить совместно с другими событиями, относительно которых подсчет вероятностей интересующего нас события оказывается по каким-то причинам проще. Это соотношение носит название формулы полной вероятности.

Пусть события имеют ненулевую вероятность, несовместны и вместе исчерпывают все возможные исходы эксперимента:

Совокупность событий, обладающих перечисленными свойствами, задает альтернативное разбиение множества всех исходов эксперимента и обычно называется полной группой несовместных событий.

Если А — некоторое событие, то очевидно, что разбиение эксперимента, задаваемое полной группой событий задает и разбиение множества исходов, образующих событие А (рис. 5):

(при этом, конечно, некоторые слагаемые в приведенной сумме могут оказаться невозможными событиями).

Поскольку события — несовместны, то и события — также несовместны, и по правилу сложения заключаем, что

Правило же умножения (4) позволяет вычислить каждое из слагаемых

Объединяя два последних соотношения, получаем искомую формулу

Пример 1. На книжной полке стоит два десятка книг, из которых 4 уже прочитаны хозяином, а оставшиеся еще нет Хозяин выбирает случайным образом книгу и читает (или перечитывает) ее, после чего ставит обратно на полку После этого он выбирает наугад очередную книгу. Какова вероятность того, что вновь выбранная книга еще не была прочитана?

◄ Рассуждения выглядят следующим образом пусть — событие, состоящее в том, что первая книга читанная, — нечитанная, А — вновь выбранная книга еще не была прочитана

Легко установить, что имеют место следующие соотношения

и формула (6) для искомой вероятности дает

Пример 2. На перегоне между двумя остановками в автобусе едут 3 пассажира, каждый из которых, независимо от прочих, с вероятностью 0,1 покидает автобус на ближайшей остановке. На этой остановке ожидают транспорт 3 пассажира, каждый из которых, независимо от прочих ожидающих, садится в подошедший автобус с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что после отправления с этой остановки количество пассажиров в салоне автобуса не изменится?

Очевидно, что количество пассажиров в салоне автобуса останется неизменным, если количество вышедших будет равно количеству вошедших.

Пусть события состоят соответственно в том, что в автобус не сел никто, сел ровно один, два или три пассажира, событие А — количество пассажиров в салоне автобуса не изменилось. По формуле полной вероятности получаем

Учитывая независимость посадки пассажиров в автобус, легко находим

Заметим, что условные вероятности есть вероятности того, что из автобуса вышло на остановке ровно г пассажиров.

Окончательно

Формула полной вероятности вместе с формулой условной вероятности позволяет выносить некие суждения о «правдоподобности» гипотез:

Если событие А может происходить в эксперименте совместно с одним из альтернативных событий и в результате эксперимента это событие осуществилось, то можно попытаться ответить на вопрос — с каким именно из событий оно произошло вместе. Для этого оценим условную вероятность события (гипотезы) при условии, что событие А реализовалось:

В соответствии с правилом умножения, вероятность, стоящая в числителе, дается выражением , а стоящая в знаменателе может быть подсчитана с помощью формулы полной вероятности (6), что дает

Сравнивая вероятности для различных значений i, будем считать ту из гипотез наиболее вероятной, для которой эта вероятность наибольшая.

Формула (7) называется формулой Бейеса, вероятности — априорными, т. е. доопытными вероятностями, вероятности — апостериорными, т. е. послео-пытными вероятностями.

Пример 3. Из урны, в которой находится 4 белых и 6 черных физически идентичных шаров, извлекли наугад один швр и положили его в урну, содержащую 5 белых и 4 черных шаров. Случайно извлеченный из второй урны шар оказался черным. Что более вероятно — из первой урны был извлечен черный шар или белый?

◄ Пусть событие состоит в том, что из первой урны извлечен белый шар, — из первой урны извлечен черный шар, Ч — из второй урны извлечен черный шар.

Очевидно, что

Для оценки апостериорной вероятности воспользуемся формулой (7):

Полученный результат позволяет считать гипотезу о том, что из первой урны был извлечен белый шар менее предпочтительной в сравнении с гипотезой, предполагающей извлечение из первой урны черного шара. ►

Для содержательного заключения о правдоподобности той или иной гипотезы важно, чтобы рассматриваемые события были действительно случайными в контексте рассматриваемых проблем. В противном случае выводы могут оказаться неадекватными реальному положению дел.

Пример 4. В одном из телевизионных шоу ведущий предлагает игроку выбрать один из стоящих перед ним ларцов, предупреждая, что только в одном из ларцов заключен ценный приз (скажем, ключи от автомобиля). После того как игрок произвел выбор, ведущий открывает один из оставшихся ларцов и, демонстрируя, что в нем ничего нет, предлагает игроку еще раз подумать и, если захочется, изменить свое решение — выбрать оставшийся ларец, вместо того, который был выбран первоначально. Имеет ли смысл игроку менять свое решение?

Ответ на вопрос задачи зависит от того, случаен или нет выбор ведущим одного из ларцов для демонстрации его содержимого.

Пусть выбор ведущего случаен. Обозначим через событие, состоящее в том, что ларец, выбранный игроком, содержит приз, через — что он приза не содержит, через А — что ларец, выбранный ведущим, пуст. Тогда по формуле полной вероятности заключаем, что

А формула Бейеса (7) дает следующую оценку, например, для вероятности :

и, следовательно, в этом случае игроку нет нужды менять свой выбор, так как шансы его на получение приза одинаковы, остановится ли он на своем первоначальном выборе или сменит его.

2. Пусть выбор ведущего не случаен, и он, зная где лежит приз, всегда открывает для всеобщего обозрения ларец, приза не содержащий, т. е. событие А не является случайным и происходит с вероятностью 1 В этом случае по формуле условной вероятности заключаем, что

и в двух случаях из трех игроку выгоднее изменить свой выбор, чем настаивать на первоначальном ►

Теория вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей — раздел математики, в котором изучаются общие закономерности случайных явлений массового характера независимо от их конкретной природы. Она разрабатывает методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления. Знание этих закономерностей позволяют предвидеть, как эти события будут протекать в реальном опыте.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество , состоящее из элементов

Перестановками на множестве из элементов называются всякие упорядоченные множества, состоящие из этих элементов. Количество всех перестановок на множестве из элементов обозначается и определяется по формуле

Таким образом, перестановки одинаковы по составу элементов, но различаются порядком их перечисления.

Размещениями на множестве из элементов по элементов называются всякие упорядоченные подмножества, состоящие из элементов. Два различных размещения отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений на множестве из элементов по элементов обозначается и определяется формулой

Сочетаниями из различных элементов но элементов называется подмножество, состоящее из элементов, каждый из которых встречается один раз. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний па множестве из элементов по элементов обозначается и определяется формулой

Если среди элементов одного вида есть , второго вида — и т.д., то, поменяв местами элементы одного вида, получим ту же перестановку. Поэтому число перестановок с повторениями определяется формулой

где

Число размещений на множестве из элементов по элементов с повторениями определяется формулой

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задача №1

Имеется множество, состоящее из 5 цифр . Сколько различных пятизначных чисел можно составить из этих цифр?

Решение:

Так как пятизначные числа отличаются только порядком следованием цифр в числе, то количество различных пятизначных чисел будет равно количеству перестановок на множестве из 5 элементов

Задача №2

Студентам нужно сдать пять экзаменов за 20 дней. Сколькими способами можно составит ь расписание экзаменов.

Решение:

Расписание определяется датами (пять дат) проведения экзаменов и последовательностью дисциплин, по которым они проводятся. Поэтому число различных вариантов расписаний экзаменов будет равно количеству размещений па множестве из 20 элементов по 5 элементов

Задача №3

Из команды, состоящей из 10 человек, выбирают 4 кандидатов для эстафеты 4×100 м. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Число различных комбинаций из 10 членов команды для участия в эстафете

4 кандидатов будет равно количеству сочетаний на множестве из 10 элементов по 4 элемента

Задача №4

Имеется слово КОЛОКОЛ. Сколько различных слов можно составить из букв этого слова?

Решение:

В слово буквы входят с повторениями. Поэтому количество различных перестановок определяется по формуле (1.4)

Определении вероятности

Пусть проводится случайный эксперимент. Элементарным событием или исходом в случайном эксперименте называется всякая конкретная реализация этого эксперимента. Множество всех исходов эксперимента образует пространство элементарных исходов. Случайным событием называется всякое подмножество пространства элементарных исходов.

Исход называется благоприятствующим событию , если появление исхода влечет появление события .

Пусть случайный эксперимент имеет равновозможных элементарных исходов.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов опыта

где число исходов, благоприятствующих событию ; число всех равновозможных исходов.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых наступило событие , к общему числу проведенных испытаний

где — общее число проведенных испытаний; — число испытаний, в которых наступило событие .

При неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события стремится к вероятности наступления события в отдельном испытании. На этом факте основано статистическое определение вероятности, когда вероятности полагаются равными относительным частотам событий при большом .

Пусть имеется некоторая область на плоскости или в пространстве и другая область . В область случайным образом ставится точка. Нужно найти вероятность того, что она попадет в область . Все отборы положения точки в области считаются равновозможными. Геометрической вероятностью называется отношение меры области к мере области

Свойства вероятности

• Вероятность невозможного события равна О

• Вероятность достоверного события равна 1

• Для любого случайного события

Задача №5

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и. помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

Обозначим через событие — {набраны две нужные цифры]. Для определения вероятности события будем использовать классическое определение вероятности . Всего можно набрать столько различных цифр по две цифры, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две . Благоприятствует событию В только одна пара цифр: . Тогда .

Задача №6

На девять вакантных мест претендуют 15 кандидатов, из них 7 женщин, остальные мужчины. Какова вероятность того, что из девяти случайно отобранных кандидатов ровно пять женщин.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что из 9 отобранных кандидатов 5 женщин. Для решения используем классическое определение вероятности. Общее число исходов будет равно числу способов, которыми можно выбрать 9 человек из 15 кандидатов

Число благоприятствующих исходов

Задача №7

В квадрат со стороной случайным образом ставится точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {точка попадет в круг}. Для определения вероятности события используем геометрическую вероятность

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Если события и несовместные, то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Суммой двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих либо первому событию, либо второму, либо обоим событиям.

Два события называются несовместными, если они не имеют общих исходов.

Произведением двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих и первому, и второму событиям.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие произошло.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного события на условную вероятность второго события при условии, что произошло первое событие

Если события и независимые, то вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий

Задача №8

Найти вероятность того, что случайно взятое двузначное число будет кратным двум или пяти.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {случайно взятое число будет кратным двум или пяти}; — событие, состоящее в том, что {число, кратное двум}; — событие, состоящее в том, что {число, кратное пяти}. События и являются совместными, так как есть числа, которые одновременно делятся на два и пять. Так как , то . Вычислим вероятности этих событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Тогда

Задача №9

Для подготовки к экзамену студентам дано 60 вопросов. Студент, идя на экзамен, выучил 50 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена студенту нужно ответить на два вопроса из двух заданных.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что студент сдаст экзамен. Событие = {студент ответил на первый вопрос}, = {студент ответил на второй вопрос}. Тогда . События и — зависимые. Применяя теорему умножения вероятностей, мы получаем

Найдем вероятности событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Задача №10

Стрелок делает независимо друг от друга два выстрела по мишеням. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором — 0.9. Найти вероятность того, что при двух выстрелах будет только одно попадание в мишень.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {будет только одно попадание при двух выстрелах}, событие состоит в том, что {будет попадание при первом выстреле}, событие = {попадание при втором выстреле}.

Тогда

Формула полной вероятности. Формулы Баиеса

Пусть событие может произойти вместе с одним из событий . События образуют полную группу попарно несовместных событий, если они: 1) попарно несовместны; ; 2) сумма событий является достоверным событием, то есть .

Теорема 4.1. Пусть событие может произойти совместно с одним из событий которые образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности

События называются гипотезами.

Теорема 4.2. Пусть событие может произойти совместно с одной из гипотез Если событие произошло, то вероятности появления гипотез вычисляются по формулам Байеса

Задача №11

Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод изготавливает 45% общего количества электроламп, второй — 40%, третий — 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных электроламп, второго — 80%, третьего — 81%. Найти вероятность того, что случайно взятая электролампа будет стандартной.

Решение:

Пусть событие состоит в том. что {случайно взятая лампа стандартна). Введем гипотезы [лампа произведена на заводе]. Вероятность события определяется по формуле полной вероятности

Найдем вероятности гипотез:

Условные вероятности будут равны:

Подставив в формулу полной вероятности, получим

Задача №12

В пирамиде 10 винтовок, из них 6 снабжены оптическим прицелом, а остальные винговки — с обыкновенным прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; из обыкновенной винтовки — 0,7. Стрелок поразил цель из случайно взятой винтовки. Какова вероятность того, что он стрелял из обычной винтовки.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что стрелок поразил цель, событие = {стрелял из обыкновенной винтовки}, событие = {из винтовки с оптическим прицелом}.

Из условия задачи

Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли)

Схемой Бернулли называется последовательность из независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: событие может наступить или не наступить, и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно к раз, равна

где

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз, приближенно равна 1

где

Значения функции находятся по таблице по вычисленным значениям . Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна событие наступит от до раз, приближенно равна

где

Значения функции находят по таблице по вычисленным значениям . Формула Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность появления события мала, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз приближенно равна

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , абсолютная величина отклонения относительной частоты от вероятности появления события не превосходит положительного числа , приближенно равна

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число называют наивероятнейшим, если вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз не меньше вероятностей остальных возможных значений .

Наивероятнейшее число определяется из неравенства

причем:

а) если число дробное, то существует одно наивероятнейшее число; , где — целая часть числа ,

б) сели число — целое, то существуют два наивероятнейших числа и ;

в) если — целое, то .

Задача №13

Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что выйдут из строя росно два узла.

Решение:

Для решения задачи используем формулу Бернулли.

Задача №14

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение:

Решаем задачу с использованием локальной теоремы Лапласа.

Задача №15

В гараже имеется 100 автомашин. Вероятность того, что в течение рабочего дня машина находится вне гаража, равна 0,8. Найти вероятность того, что вне гаража будут находиться от 70 до 85 машин.

Решение:

Для решения используем интегральную теорему Муавра-Лапласа. По условию задачи

тогда

Функция распределения и плотность распределения случайных величин

Краткие теоретические сведения

Случайной величиной называется действительная функция , определенная на пространстве элементарных исходов и такая, что при любых действительных .v определена вероятность события .

Функцией распределения вероятностей называется функция , равная вероятности того, что

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 
2. 
3. — неубывающая функция.
4. — непрерывная слева, т.е. .
5. Вероятность попадания в интервал определяется формулой

называется дискретной, если она принимает конечное или счетное количество значений.

называется непрерывной на , если она принимает все значения из этого интервала.

Законом распределения дискретной называется соответствие, но которому каждому возможному значению ставится в соответствие вероятность его появления . Закон распределения дискретной записывается в виде таблицы.

Плотностью распределения называется функция , удовлетворяющая условию

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Чтобы задать закон распределения непрерывной , нужно задать либо плотность распределения, либо функцию распределения.

Задача №16

Закон распределения дискретной имеет вид

Найти функцию распределения.

Решение:

По определению . Тогда

Задача №17

Непрерывная задана плотностью распределения

Нужно определить значение параметра и найти .

Решение:

Для определения параметра воспользуемся свойством плотности распределения

Функцию распределения определим из соотношения .

1. Если , то .
2. Если . то
3. Если , то

Таким образом,

Задача №18

Дана функция распределения

Требуется найти плотность распределения и вероятность попадания в интервал

Решение:

Вероятность попадания в интервал определяется по формуле

Если известна функция распределения, то

Числовые характеристики случайных величин

Пусть дискретная имеет следующий закон распределения

Математическим ожиданием называется сумма произведений всех возможных значений на соответствующие вероятности

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

Математическое ожидание характеризует среднее значение .

Для непрерывной математическое ожидание вычисляется по формуле

Начальным моментом -го порядка называется математическое ожидание , т.е. . Начальные моменты -го порядка для дискретных и непрерывных вычисляются соответственно по формулам

Центральным моментом -го порядка называется математическое ожидание

Для дискретных и непрерывных центральный момент -го порядка вычисляется по формулам:

Дисперсией называется центральный момент второго порядка

Дисперсия характеризует степень разброса значений относительно математического ожидания. Дисперсия обладает следующими свойствами:

Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата и квадрата математического ожидания

Средним квадратическим ожиданием называется корень квадратный из дисперсии

Задача №19

Дискретная задана законом распределения

Вычислить

Решение:

Дисперсию вычислим по формуле

Задача №20

Непрерывная задана функцией распределения

Вычислить

Решение:

Найдем плотность распределения

Вычислим математическое ожидание

Дисперсия определяется по формуле

Законы распределения дискретных случайных величин

Дискретная называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает конечное число значений с вероятностями, которые определяются по формуле Бернулли

Для дискретной , распределенной по биномиальному закону, справедливы следующие соотношения

Дискретная называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное число значений с вероятностями, которые определяются по формуле Пуассона

Для дискретной , распределенной по закону Пуассона справедливы соотношения

Задача №21

О сигнализации о пожаре установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при пожаре сработает каждое устройство постоянна и равна 0,9. равна количеству срабатывающих устройств при пожаре. Требуется составить закон распределения и вычислить .

Решение:

принимает значение 0; 1; 2; 3. Определим вероятности по формуле (8.1).

Проверка:

Закон распределения имеет вид

Вычислим

Законы распределения непрерывных случайных величин

Непрерывная называется равномерно распределенной на , если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для . равномерно распределенной на , справедливы следующие соотношения:

Непрерывная называется распределенной но показательному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для , распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения

Функция

определяет вероятность отказа за время .

Вероятность безотказной работы за это время будет равна

Функцию называют функцией надежности.

Непрерывная называется распределенной по нормальному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для нормально распределенной справедливы следующие соотношения:

Задача №22

распределена равномерно на (3;5). Требуется найти:

Решение:

На основании формул (9.1) и (9.2) имеем

Задача №23

распределенная по показательному закону, имеет функцию распределения вида

Вычислить

Решение:

Согласно формуле (9.4) . Тогда

Задача №24

распределена по нормальному закону с параметрами

Требуется: 1) записать и ; 2) вычислить

Решение:

Согласно формулам (9.5) и (9.6) имеем

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение от ее математического ожидания по модулю меньше данного числа не менее, чем

Теорема Чебышева. Пусть даны , которые попарно независимы, имеют математические ожидания и дисперсии, ограниченные одним и тем же числом . Тогда для любого числа выполняется неравенство

Если имеют одно и то же математическое ожидание , то неравенство (10.2) примет вид

Переходя в неравенство (10.3) к пределу при , получим

В этом случае говорят, что при последовательность сходится по вероятности к своему математическому ожиданию .

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по модулю не превзойдет положительного числа больше чем разность

Переходя в неравенство (10.5) к пределу при , получим

При большом числе испытаний относительная частота события сходится по вероятности к вероятности появления события в отдельном испытании.

Центральная предельная теорема Ляпунова. Пусть последовательность независимых для каждой из которых существует математическое ожидание и дисперсия , центральный момент третьего порядка

и выполняется условие Ляпунова

Тогда при распределение стремится к нормальному закону с функцией распределения

Задача №25

Средняя длина детали равна 50 см, а дисперсия длины равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не менее 49,5 см. и не более 50,5 см.

Решение:

По условию задачи

Так как непрерывна, то

Применяя неравенство (10.1), получим

Задача №26

При штамповке деталей брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии из 1000 деталей выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1%.

Решение:

По условию задачи

Воспользуемся неравенством (10.5)

Задача №27

Складываются 48 попарно независимых , распределенных по равномерному закону на интервале (0; 1). Записать приближенно функцию распределения суммы этих . Найти вероятность того, что эта сумма будет заключена в пределах от 26 до 28.

Решение:

Обозначим

Тогда

и функция распределения имеет вид

Найдем вероятность попадания в интервал (26; 28).

Двумерные случайные величины. Законы распределения. Условные законы распределения

Двумерной называется совокупность двух случайных величин , описывающих тот или иной случайный эксперимент. и называются составляющими.

Если составляющие двумерной являются дискретными . то двумерная называется дискретной, если составляющие являются непрерывными . то двумерная называется непрерывной. Если одна из составляющих является дискретной, а вторая — непрерывной, то двумерная величина называется сметанной.

Законом распределения дискретной двумерной называется соответствие между всевозможными парами и вероятностями их появления . Закон распределения дискретных двумерных задается в виде таблицы

Если известен закон распределения двумерной дискретной , то законы распределения составляющих находятся следующим образом

Функцией распределения двумерной называется вероятность события

Функция распределения вероятностей двумерной обладает следующими свойствами:

1. 
2. 
3. 
4. , где — функции распределения составляющих и .
5. Функция распределения является не убывающей функцией по каждому из своих аргументов.

Функция называется плотностью распределения вероятностей двумерной , если она удовлетворяет соотношению

Плотность распределения вероятностей двумерной обладает следующими свойствами:

Чтобы задать закон распределения непрерывной двумерной , достаточно задать либо функцию распределения, либо плотность распределения.

Условным законом распределения называется закон распределения одной из составляющих при условии, что вторая составляющая приняла определенное значение. Для дискретных двумерных условные вероятности определяются по формулам:

Условные плотности распределения находятся по формулам:

где — плотности распределения составляющих .

Составляющие и двумерной называются независимыми, если

Задача №28

Двумерная дискретная задана законом распределения

Требуется найти законы распределения составляющих и условный закон распределения составляющей при условии, что = 1.

Решение:

Законы распределения составляющих и найдем с использованием формул (11.1).

Тогда закон распределения составляющих имеет вид

Аналогично находится закон распределения составляющей .

Условный закон распределения составляющей при условии, что = 1, найдем с использованием формул (11.3).

Задача №29

Дана функция распределении двумерной

Требуется найти плотность распределения и условные плотности распределения

Решение:

Плотность распределения найдем, используя свойство 3 плотности распределения

Плотности распределения составляющих найдем, используя свойство 5 плотности распределения

Условные плотности распределения составляющих найдем с использованием формул (11.4)

Так как условные плотности распределения вероятностей совпадают с плотностями распределения составляющих, то составляющие являются независимыми .

Числовые характеристики двумерных случайных величин. Коэффициент корреляции

Начальным моментом порядка двумерной называется математическое ожидание произведения

Для непрерывных

для дискретных

Центральным моментом порядка двумерной называется математическое ожидание произведения

Для непрерывной двумерной центральный момент порядка вычисляется по формуле

для дискретных

Корреляционным моментом двумерной называется центральный момент . Для непрерывной корреляционный момент вычисляется по формуле

для дискретных

Корреляционный момент характеризует тесноту связи между составляющими и . Коэффициентом корреляции и называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений составляющих

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Если зависимость между и отсутствует, то . Если , то зависимость между и линейная. и , для которых называются некоррелированными. Очевидно, что независимые не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной . Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

Задача №30

Двумерная задана таблицей

Вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Составим законы распределения составляющих

Вычислим математические ожидания и средние квадратические отклонения составляющих

Вычислим коэффициент корреляции по формуле (12.9)

Составляющие и являются некоррелированными . Очевидно, что независимые не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной .

Задача №31

Непрерывная двумерная задана плотностью распределения

Найти коэффициент корреляции.

Решение:

Найдем математические ожидания составляющих

Найдем дисперсии

Вычислим корреляционный момент

Коэффициент корреляции вычислим по формуле (12.8)

Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки

Генеральной совокупностью называется совокупность элементов, объединенных по некоторому признаку, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов, случайно выбранных для исследования.

Объемом выборки называется количество объектов, входящих в выборку.

Пусть из совокупности извлечена выборка объемом п.

Выборочная совокупность, расположенная по возрастанию или убыванию значения признака, называется вариационным рядом, а сс объекты — вариантами.

Если значения вариант совпадают или отличаются незначительно, то их можно сгруппировать, придав частоту каждой варианте.

В результате получим сгруппированный вариационный ряд.

Частостью или относительной частотой варианты называется отношение частоты варианты к объему выборки

Статистическим распределением называется соответствие, по которому каждому возможному значению варианты ставится в соответствие частота (относительная частота) се появления. Статистическое распределение записывается в виде таблицы, в которой в первой строке перечислены все значения вариант, а во второй частоты или частости, которые соответствуют вариантам

Для построения интервального статистического ряда разбивают множество вариант на полуинтервалы . т.е. производят группировку. Рекомендуется число интервалов определять по формуле

Длина интервала равна

Для наглядности используются графические изображения вариционных рядов в виде полигона и гистограммы.

Полигоном частот или частостей называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами

Гистограммой частот или частостей называют ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников с основанием и высотой

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

где — число вариант (с учетом их кратностей) меньших — объем выборки. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; l],
2. Эмпирическая функция является неубывающей функцией.
3. Если наименьшее значение варианты, а наибольшее значение варианты, то

Для описания выборки применяются такие числовые характеристики, как выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной средней называется среднее значение варианты, вычисленное по данным выборки

где — частота варианты .

Выборочной дисперсией называется дисперсия, вычисленная по данным выборки

Выборочная дисперсия равна разности между средним значением квадрата вариант и квадратом выборочного среднего

Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии

Задача №32

По данному распределению выборки найти эмпирическую функцию распределения и построить полигон частот

.

Решение:

Определим объем выборки

Определим относительные частоты вариант

Запишем эмпирическую функцию распределения

Построим полигон частот

Задача №33

Построить гистограмму частостей по данным выборки объема 100 и вычислить числовые характеристики выборки.

Решение:

Вычислим относительные частоты по формуле

и найдем высоты прямоугольников по формуле

Вычисления сведем в таблицу

Построим гистограмму частостей

Вычислим числовые характеристики выборки

Вычислим

Точенные оценки неизвестных параметров распределения

Пусть изучается с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров. Требуется по выборке, полученной в результате испытаний оценить неизвестный параметр .

Точечной оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называется его приближенное значение, зависящее от данных выборки

Точечная оценка должна удовлетворять следующим требованиям:

• оценка должна быть несмещенной, т.е.

оценка должна быть состоятельной, т.е. она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру: для

• оценка должна быть эффективной: если неизвестный параметр имеет несколько оценок, то в качестве оценки нужно брать оценку с наименьшей дисперсией.

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности.

Несмещенной и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия

Исправленным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из исправленной дисперсии

Для вычисления и разработано много методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод произведений. При вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии поступают следующим образом: выбираем «ложный нуль» . В качестве «ложного нуля» берется варианта стоящая посредине вариационного ряда или варианта, имеющая максимальную частоту;

• вычисляем условные моменты 1 -ого и 2-ого порядков

Задача №34

Методом произведений вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки

Решение:

В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 75, = 75. Перейдем к условным вариантам по формуле . Результаты вычислений сведем в таблицу.

Результаты вычислений можно проверить равенством

Равенство выполняется, следовательно, таблица заполнена верно. Вычислим условные моменты

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию

Интервальные оценки

Пусть — функция выборки. Это есть случайная величина, называемая статистикой.

Интервальной называют оценку, которая определяется случайным интервалом

В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы.

Доверительным интервалом для неизвестного параметра , называется случайный интервал , который с заданной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестный параметр, .

Если исследуемая распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением , то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством

где — точность оценки, — объем выборки, — значение аргумента функции Лапласа, при котором

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал для математического ожидания исследуемой определяется неравенством

Значения находят по таблице приложения 5 по заданным и . Число

называют точностью оценки математического ожидания.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения исследуемой определяется неравенством

Значения и находятся по таблице приложения 6 по заданным и .

Задача №35

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака , если известно , а по данным выборки объемом 100 вычислено .

Решение:

Так как известно среднее квадратическое отклонение то для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.1). Определим значение

Подставим в неравенство (3.1)

Задача №36

Для исследования нормально распределенной извлечена выборка объемом 25.

Найти с надежностью доверительные интервалы для математического ожидания и среднего кадратического отклонения исследуемой .

Решение:

По данным выборки методом произведений определим и

Проверка:

Для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.2);

Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения воспользуемся неравенством (3.3):

Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного вида распределения. Пулевой гипотезой называется выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе. При проверке статистической гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода — будет отклонена верная гипотеза. Ошибка второго рода — будет принята неверная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости. Для проверки статистической гипотезы используют специальную статистику, которая называется критерием.

По рассчитанному значению критерия определяют принимать или отвергать нулевую гипотезу.

Критерий согласия — это проверка гипотезы о виде распределения .

Основными критериями согласия являются критерии Пирсона и Колмохорова. При проверке гипотезы с помощью критерия Пирсона поступают следующим образом:

из генеральной совокупности извлекают выборку объемом ; по выборке вычисляют и :

переходят к нормированной по формуле

находят вероятности попадания в интервал

вычисляют теоретические частоты

вычисляют статистику Пирсона

из таблицы критических точек распределения Пирсона (приложение 3) по уровню значимости и числу степеней свободы

определяют , где — число интервалов в вариационном ряде, — количество параметров закона распределения, которые оцениваются по выборке (для нормального закона =2);

• если то нет необходимости отвергать нулевую гипотезу, т.е. эмпирические и теоретические частоты согласуются;

• если то гипотеза отвергается, т.е. расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно;

• если исследуется дискретная , распределенная по нормальному закону, то теоретические вероятности определяются по формуле

где — шаг,

Задача №37

Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки

Решение:

По данным выборки методом произведений вычислим и .

Проверка:

Вычислим вероятности попадания в интервалы

Вычислим

Определим число степеней свободы

По уровню значимости и числу степеней свободы найдем критическую точку правосторонней критической области распределения Пирсона (приложение 3)

Так как , гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается.

Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной . Для статистической проверки гипотезы с помощью критерия согласия Колмогорова поступают следующим образом:

вычисляют статистику Колмогорова

где объем выборки. имеет функцию распределения

которая называется функцией Колмогорова;

находим по уровню значимости (приложение 7);

Рассмотрим применение критерия Колмогорова на примере.

Задача №38

Проверить по критерию Колмогорова гипотезу о нормальном распределении но данным выборки при уровне значимости .

Решение:

Вычислим выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение .

Тогда теоретическая функция распределения в предположении, что распределена по нормальному закону, имеет вид

где — функция Лапласа.

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

где сумма частот вариант меньших .

Вычислим величину

Вычислим статистику Колмогорова

По уровню значимости найдем по таблице (приложение 7) . Т.к. , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции Краткие теоретические сведения

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции данные представляются в виде корреляционной таблицы. Корреляционная таблица представляет собой таблицу следующего вида: в первой строке записаны наблюдаемые значения , в первом столбце записаны наблюдаемые значения , на пересечении -той строки и -го столбца записывается частота появления пары . В последнем столбце записывается частота появления варианты , в последней строке — частота появления варианты на пересечении последней строки и последнего столбца записывается суммарное количество наблюдений. Корреляционная таблица имеет вид

Основной оценкой тесноты связи между случайными величинами и служит выборочный коэффициент корреляции который определяется так

где — среднее арифметическое произведений значений .

Свойства выборочного коэффициента корреляции аналогичны свойствам коэффициента корреляции между :

1. ;
2. если переменные и умножить на одно и то же число, то коэффициент корреляции не изменится;
3. если , то корреляционная связь между значениями и представляет собой линейную функциональную зависимость.

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции применяется формула

Если , то между наблюдаемыми значениями и корреляционная зависимость отсутствует, чем ближе к единице приближается модуль коэффициента корреляции, тем теснее связь между переменными и . Т.к. выборочный коэффициент корреляции вычисляется по данным выборки, то в отличие от коэффициента корреляции генеральной совокупности является случайной величиной. Если то возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей связью между и или вызвано случайными факторами. Для выяснения этого вопроса проверяется гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Для того, чтобы при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной двумерной нормальной совокупности, вычисляют статистику

и по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 4) по уровню значимости а и числу степеней свободы находят

критическую точку двусторонней критической области. Если

нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. ; если

нулевую гипотезу отвергают, т.е. . Рассмотрим вычисление выборочною коэффициента корреляции и проверку гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности на примере.

Задача №39

По данной корреляционной таблице вычислить выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Решение:

Вычислим компоненты, входящие в формулу (5.1), для вычисления

Вычислим выборочный коэффициент корреляции

Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. Вычислим

По таблице критических точек распределения Стыодента (приложение 4) по уровню значимости и числу степеней свободы найдем

Так

то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергается, т.е. выбранный коэффициент корреляции значим.

Кстати готовые задачи на продажу по предмету теория вероятности тут.

Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии

Если обе линии регрессии на и на являются прямыми, то в этом случае корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид

Уравнение прямой регрессии на имеет вид

Здесь — значения — их выборочные средние.

Коэффициент уравнений (6.1)-(6.2) можно также определить по формулам, полученным методом наименьших квадратов. Например, если уравнение (6.1) взять в виде , то параметры и линейной регрессии имеют вид:

Задача №41

Распределение 40 заводов отрасли по количеству слесарей и числу станкосмен задано корреляционной таблицей.

Составить уравнение прямой регрессии на .

Решение:

По корреляционной таблице вычислим

Подставим вычисленные значения в уравнение (6.1)

Задача №42

При эталонировании медного термометра изучалась зависимость электрического сопротивления от температуры . Были получены следующие результаты

Оценить параметры уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов и записать уравнение регрессии на .

Решение:

Сведем результаты вычисления в таблицу.

Параметры линейной регрессии определим по формулам (6.3)

Эмпирическое уравнение регрессии на примет вид

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Помощь по теории вероятности
• Заказать работу по теории вероятности
• Контрольная работа по теории вероятности
• Курсовая работа по теории вероятности
• Решение задач по математической статистике
• Помощь по математической статистике
• Заказать работу по математической статистике
• Контрольная работа по математической статистике
• Курсовая работа по математической статистике
• Теория вероятностей краткий курс для школьников и студентов (заочников) 

Примеры решения задач по всем темам теории вероятностей

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

• а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
• б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
• в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

Развитие как науки теории вероятностей берет свое начало с переписки Паскаля и Ферма (1654 г.). Но и до этого многих ученых интересовали задачи, относящиеся к азартным играм, теоретико-вероятностные задачи, имеющие прикладное значение (Кардано, Галилей).

Кроме задач азартных игр появлялся интерес к построению таблиц смертности и вопросам страхования (Граунт, Ван Худде, Ван де Витт).

Факты устойчивости частот случайных событий в задачах обработки демографических данных были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме.

С течением времени объект изучения теории вероятностей менялся. Если вначале основной интерес вызывало исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX в. интерес вызывало исследование случайных величин.

Теория вероятностей тесно связана с прикладными исследованиями различной природы. Она применима как в задачах экономики, производства, так и задачах лингвистики и истории. Сейчас без применения понятия доверительного интервала, корреляции, уровня значимости, нормального закона распределения случайной величины сложно представить обширное исследование в педагогике, физике, механике и других науках.

В основе квантовой механики лежат принципы теории вероятностей. В случае радиоактивного распада нет закона природы, позволяющего определить точное время деления ядра. Существуют только законы, согласно которым можно говорить о вероятности рассада ядра за определенный промежуток времени.

Элементарная теория вероятностей

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определенные явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Подбрасывание монеты, кости, выброс из колоды карт и т.д.

Заметим, что представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведенных испытаний.

Во-вторых, относительная частота определенных исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определенному числу.

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монеты. Его результат представлен в таблице 1.

— номер испытания, — количество подбрасываний, в таблице указывается количество выпадений герба.

Наблюдалась стабилизация частот

Обнаруженные закономерности, распространенные на испытания с произвольным числом исходов, позволяют построить простейшую математическую модель случайного эксперимента.

Под опытом, или экспериментом, или испытанием понимают осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Например, если опыт заключается в подбрасывании монеты, то результат его -выпадение герба (Г) или решетки (Р) — нельзя предсказать заранее. Точно также при стрельбе по мишени нельзя заранее предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах.

Построение математической модели эксперимента начинается с описания множества всевозможных исходов, которые могут произойти в результате каждого испытания.

Пространство называют пространством элементарных исходов, элемент этого пространства — элементарный исход (элементарное событие).

Событием является любое подмножество .

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии годных деталей есть событие достоверное. Так как достоверное событие является совокупностью всех элементарных событий из , то оно совпадает с пространством и также обозначается .

Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Невозможное событие в пространстве не имеет точек в и обозначается . Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах.

Если ограничиться рассмотрением пространства элементарных исходов, состоящих из не более, чем счетного числа элементов, то построение вероятностной модели по существу состоит в задании распределения вероятностей на пространстве в соответствие с которым каждому элементарному исходу ставится в соответствие число , называемое вероятностью элементарного события .

Различают элементарные и составные события. События, которые невозможно разложить на более простые, называются элементарными. Все остальные события называются составными. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий — выпадение на гранях костей следующих пар цифр: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) соответственно.

Вероятность любого составного события :

Число интерпретируется как относительная частота появления события в статистическом эксперименте.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта.

Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт.

Событие , которое обязательно произойдет, если не произойдет событие , называется противоположным событию . Например, выигрыш и проигрыш в лотерее — противоположные события.

Если в задаче дана вероятность , тогда чтобы найти вероятность противоположного события, необходимо воспользоваться следующей формулой:

где — вероятность противоположного события.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение голубого шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и голубые шары.

Пример №1

• Подбрасывается монета и регистрируется сторона монеты, которая обращена к наблюдателю после падения. Найти пространство элементарных исходов.

Решение:

Пусть событие Г = {выпал герб}, Р = {выпала решка}.

Тогда .

Пример №2

• Бросается игральная кость и регистрируется число выпавших очков. Найти пространство элементарных исходов. Найти событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

Решение:

Пример №3

• Бросаются две игральные кости. Описать событие, состоящее в том, что сумма очков больше 10.

Решение:

Вероятностное пространство

Пусть — множество элементарных исходов.

Подмножество пространства называется событием , если статистический эксперимент закончился элементарным исходом .

Рассмотрим теоретико-множественные операции в данном пространстве, которые представлены в следующей таблице.

Пусть и — обозначают события выпадения при бросании игральной кости соответственно нечетного числа очков и числа очков, кратного трем. Тогда

и,значит,

Булева алгебра и понятие вероятности

Булевой алгеброй называют такой класс подмножеств , что:

Вероятностью на булевой алгебре подмножеств называется отображение в отрезок [0, 1], обладающее следующими свойствами:

1) .

2) Если события несовместны, то .

3) Если — монотонно убывающая последовательность элементов из и , то . Это может быть записано, как .

Замечание. Вероятность на обладает свойствами:

Пара , состоящая из пространства элементарных исходов и булевой -алгебры его подмножеств, называется измеримым пространством. Только элементы называются событиями.

Тройка , где — вероятность на — алгебре , называется вероятностным пространством.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы.

Пусть все элементы рассматриваемых множеств различны. Будем изучать комбинации этих элементов, различающихся количеством и/или порядком.

Дано конечное число объектов произвольной природы, которые назовем элементами.

Из них по определенному правилу можно образовать некоторые группы. Подсчетом числа таких возможных групп и занимается комбинаторика.

Будем рассматривать такие множества, в которых каждый элемент входит не более одного раза (соединения без повторений).

Перестановкой из элементов называется конечное множество элементов, в котором установлен порядок. Так, например, из букв можно составить следующие перестановки:

Число возможных перестановок из элементов равно:

Множество, для которого указан порядок расположения элементов, называется упорядоченным. Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называются размещениями.

Число всех возможных размещений, содержащих по элементов из множества, содержащего элементов , определяется по формуле:

Всякое конечное подмножество, состоящее из элементов данного множества из элементов, называется сочетанием элементов из , если каждое подмножества из элементов отличается одно от другого хотя бы одним элементом.

Число всех возможных сочетаний обозначается:

Пример №4

• В группе 10 юношей и 7 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 17 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событию будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша

Тогда

Пример №5

• Сколько способов существует для выбора команды участников субботника, если известно, что в команде должно быть 5 человек, а в студенческой группе 25 человек?

Решение:

Поскольку порядок следования элементов в подгруппе не имеет значения, значит речь идет о количестве сочетаний

Гипергеометрическое распределение

Большой класс задач, которые интерпретируются в рамках урновой схемы. Типовая задача: Пусть в эксперименте рассматриваются: — черных шаров, — белых шаров.

Отбирается шаров из урны. Какова вероятность, что выборка содержит черных шаров?

Нахождение вероятности в рамках данной схемы осуществляется по следующей формуле:

Пример №6

• Автомат с 30 мягкими игрушками, содержит фигурки зверей и супергероев в пропорции 2:1 соответственно. В случае победы автомат выдает случайным образом две игрушки. Какова вероятность, что это окажутся супергерои?

Решение:

Поскольку в эксперименте есть два ярко выделенных признака, по которым объект можно отнести либо к первому типу (мягкая игрушка), либо ко второму типу (супергерой), речь идет о гипергеометрическом распределении. (количество супергероев), (количество зверей). Тогда общее количество , выбирают игрушек, (среди тех, которые выбрали, оба оказались супергероями). Тогда по формуле гипергеометрического распределения:

Пример №7

• На складе обоев 10 трубок первой партии и 7 трубок второй партии. Продавец случайным образом выбирает 3 трубки, какова вероятность, что все трубки окажутся одной партии?

Решение:

По вопросу задачи можно сделать вывод, что исходами, благоприятствующими наступлению события = { все три трубки окажутся одной партии}, являются следующие: {три трубки первой партии}, {три трубки второй партии}. Тогда вероятность может быть найдена по следующей формуле:

Примеры вероятностных пространств

Рассмотрим в таблице примеры вероятностных пространств.

Разбиение на группы: перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Пусть — целые неотрицательные числа, причем . Число способов, которыми можно представить множество из элементов в виде суммы множеств , число элементов которых составляет соответственно равно:

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит одному из типов.

Число различных сочетаний из типов по объектов с повторениями равно:

Отображение множества первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, в данное множество называется размещением с повторением, составленным из данных элементов (количество типов) по . Количество размещений с повторениями находится по следующей формуле:

Пример №8

• Найдем число различных слов, которые можно получить, переставляя буквы в слове «Математика».

Решение:

Пример №9

• Найти число способов, которыми можно выбрать три буквы из АААТТТГГГЦЦЦ.

Решение:

Пример №10

• Найти количество всевозможных размещений с повторениями из букв по две буквы.

Решение:

Независимость. Условные вероятности

Зная распределения вероятностей, мы в состоянии оптимизировать свое поведение при игре, производя ставки на те события из , которые обладают наибольшей вероятностью.

Дальнейшая оптимизация такой игры обычно осуществляется за счет дополнительной информации, которой может располагать игрок, и учет такой информации осуществляется в терминах так называемой условной вероятности.

Рассмотрим два случайных события и . Пусть известно, что событие наступило, но неизвестно, какое конкретно из элементарных событий , составляющих событие , наступило. Что можно сказать в этом случае о вероятности наступления события ?

Пусть вероятность события — положительная величина. Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называют число:

Теорема умножения. Пусть

Тогда

Теорема.

Тогда

Задача. Студент знает 20 вопросов из 30. Экзаменатор задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все вопросы?

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Говорят, что событие не зависит от события , если , т.к. его вероятность не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Независимость двух событий — свойство симметричное.

События и называются независимыми, если

Случайные события называются попарно независимыми, если для любых

Случайные события называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов:

Задача (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий цвета, а на четвертой грани есть все цвета. Рассмотреть вероятности событий «выпала грань, которая содержит красный цвет», «выпала грань, которая содержит синий цвет», «выпала грань, которая содержит зеленый цвет». Будут ли эти события попарно независимыми и независимыми в совокупности?

Пример №11

• В тире девушке и юноше выдали по одному патрону для попадания в цель и получения плюшевого медведя. Вероятность того, что попадет в цель девушка, равна 0,01. Вероятность того, что попадет юноша, равна 0,95. Каждый сделал по одному выстрелу. Какова вероятность, что мишка будет выигран?

Решение:

Исходы, благоприятствующие наступлению этого события:

{юноша попал и девушка попала},{юноша не попал и девушка попала},{юноша попал и девушка не попала}.

Пример №12

• В вазе стоит 5 роз и 4 гвоздики. Случайным образом выбирается один цветок. После этого выбирается еще один. Какова вероятность того, что второй цветок — роза?

Решение:

Первым выбранным цветком могла оказаться роза, тогда после ее изъятия в вазе останется только 4 розы. Первой могла оказаться гвоздика, тогда после первого изъятия цветка останется 5 роз. Вероятность того, что второй выбранный цветок роза, вычисляется следующим образом:

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Конечное или счетное число случайных событий ,… образует полную группу событий (разбиение) если:

Теорема (Формула полной вероятности). Пусть случайные события образует полную группу событий. Тогда для произвольного события В, рассматриваемого на том же вероятностном пространстве выполняется следующее:

Пусть до опыта об исследуемом случайном явлении имеются гипотезы . После опыта становится известной информация о результатах этого

явления, но не полная. Результаты наблюдений показывают, не какой конкретно элементарный исход произошел, а что наступило некоторое событие . Считая, что до опыта были известны (априорные) вероятности и условные вероятности , необходимо определить апостериорные вероятности . Решение поставленной задачи дают формулы Байеса.

Теорема (Формулы Байеса). Пусть случайные события образуют полную группу событий. Пусть для произвольного события . Тогда для любых значений имеют место формулы:

Пример №13

• Студент выучил 20 билетов из 25 и идет отвечать вторым. Какова вероятность, что он вытянет «удачный билет»?

Решение:

Рассмотрим следующие события:

Тогда

Пример №14

• Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.

Решение:

Пусть событие — к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; — подъехала грузовая автомашина; — подъехала легковая автомашина. Тогда

Пример №15

• При лечении больному необходимо принять лекарства двух видов одинаковой дозировки. Вероятность того, что больному станет легче от первого лекарства равна 0,9; от второго — 0,97. Больному стало легче. Какова вероятность того, что на его состояние повлияло первое лекарство?

Решение:

Рассмотрим равновероятные гипотезы ={больной принимает первое лекарство}, = {больной принимает второе лекарство}.

Также рассмотрим событие = {больному стало легче}. Условные вероятности:

Поскольку известно событие, которое наступило, необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что на состояние больного повлияло первое лекарство, будет найдена по формуле:

Пример №16

• На огороде посажены семена гороха и перца в одинаковых пропорциях. Всхожесть гороха равна 0,06. Всхожесть перца составляет 0,15. Растение проросло, какова вероятность, что это взошел перец?

Решение:

Рассмотрим взаимоисключающие гипотезы ={посажено семя гороха}, ={посажено семя перца}.

Также рассмотрим событие = {всхожесть семени}.

Поскольку известно событие, которое наступило (растение проросло), необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что взошел перец, будет найдена по формуле:

Схема Бернулли

Под испытанием следует понимать эксперимент со случайным исходом.

Пусть производятся независимых испытаний. Известно, что в каждом испытании возможны два исхода: либо происходит событие (успех), либо событие не происходит (неудача). Данная схема называется схемой Бернулли. При том предполагается, что вероятность успеха и неудачи не изменяются при переходе от испытания к испытанию.

Задача. Известно, что левши составляют 1% от жителей Земли. Найти вероятность того, что среди 200 человек найдется хотя бы 3 левши.

Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях — число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в независимых испытаниях:

Пример №17

• Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,85. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.

Решение:

Из условия задачи

Используя формулу Бернулли, получим:

Пример №18

• Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение:

Из условия задачи

Используя формулу Бернулли, получим:

Пример №19

• В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.

Решение:

Пример №20

• Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,75. Сделано 20 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

Здесь

Следовательно, применим формулу

Получим:

т.е.

Наивероятнейшее число попаданий в цель равно 15.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Схема независимых испытаний служит вероятностной моделью многих реальных явлений, поэтому представляет значительный интерес задача подсчета вероятности . При больших значениях и есть трудности в получении численного значения этих вероятностей.

Естественным образом возникает задача нахождения асимптотических форм, позволяющих приближенно вычислять вероятности для достаточно больших и малых .

Теорема (Локальная предельная теорема Пуассона). Если , так что то

Теорема (Интегральная предельная теорема Пуассона). В схеме Бернулли для любого натурального числа , любого и для любого числового множества справедливо неравенство:

Теперь рассмотрим асимптотическую формулу для вероятности не близкой к нулю.

Теорема (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли , то для любого положительного с равномерно по всем таких:

справедливо соотношение:

где — бесконечно малая величина при .

Теорема (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа). При выполнении условий предыдущей теоремы равномерно выполнено предельное соотношение:

Заметим, что при использовании интегральной формулы Муавра-Лапласа формула обеспечивает достаточную точность уже при .

По полученным теоремам составим таблицу.

Пример №21

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Пример №22

Решение:

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Пример №23

• Фабрика выпускает 70% продукции I сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий I сорта будет в диапазоне [652, 760]?

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при .

Относительная частота события определяется равенством , где — число испытаний, в которых наступило, — общее число произвольных испытаний.

Пример №24

• Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

Их рассмотренной формулы:

получим, что

Пример №25

• Вероятность выигрыша на турнире по баскетболу равна 0,58. Найти количество турниров , при котором с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

Решение:

Случайные величины и их распределения

В азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, т.е. определенная числовая величина, которая соответствует исходу.

Примером случайной величины может быть число очков, выпавших при подбрасывании кубика, число бракованных изделий среди общего числа изделий.

Случайная величина есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента, т.е. ее можно рассматривать как функцию на пространстве элементарных событий .

Пусть — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция , такая что для любого выполняется следующее:

Определим функцию распределения случайной величины, которая несет всю информацию, заложенную в случайной величине.

Функцией распределения случайной величины называется функция

такая, что для любого действительного выполняется:

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1)

2) существуют пределы .

3) функция непрерывна слева, т.е. .

4)

5)

Классификация дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина — это случайная величина, которая принимает не более чем счетное число значений.

Пусть ее значения … такие, что ….

Тогда

Совокупность значений и соответствующих вероятностей называется распределением дискретной случайной величины.

Закон распределения такой величины может быть таблично следующим образом:

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , где — возможные значения — соответствующие вероятности; и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (полигоном).

Пример №26

• Найти функцию распределения случайной величины, которая представлена таблицей:

Решение:

Запишем функцию распределения в виде сложной функции:

• Два шахматиста Миша и Коля делают по одному ходу. Вероятность удачного хода Мишей равна 0,7, а для Коли эта вероятность равна 0,76. Найти ряд распределения суммарного числа удачных ходов шахматистами.

Пример №26.7

• Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть случайная величина — число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения случайной величины и записать функцию распределения.

Решение:

Случайная величина может принимать значения .

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

По условию задачи

Запишем закон распределения случайной величины:

Найдем функцию распределения. По определению:

Окончательно получим:

Классификация абсолютно непрерывных случайных величин

Если случайная величина принимает любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется непрерывной случайной величиной. Примерами такой величины являются дальность полета снаряда, время безотказной работ прибора.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины в точке называется предел:

Теорема. Для того, чтобы случайная величина была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы:

Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина — абсолютно непрерывной случайной величиной, если

где — минимальная — алгебра.

Свойства плотности распределения:

Эти три свойства выполняются для любой точки непрерывности функции.

Пример №27

• Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля подчиняется закону Рэлея с параметрами . Найти вероятность того, что значение случайной амплитуды будет находиться в диапазоне 0,1 до 0,6.

Решение:

Пример №28

• Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение:

Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения:

Функцию распределения определим из условия:

Пример №29

• Дана функция распределения случайной величины. Найти ее плотность распределения.

Решение:

Плотность распределения определим из свойства плотности распределения:

Некоторые законы распределения случайных величин

Пример №30

• Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

Случайная величина — время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.

Пример №31

• Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение:

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона. Воспользуемся формулой Пуассона:

По условию задачи

Пример №32

• Время безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием — 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.

Решение:

По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 100 ч. Следовательно,

Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

Функция распределения случайной величины принимает вид:

и определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью . Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна:

Функцию называют функцией надежности. Для нашего случая

Основные числовые характеристики случайных величии

Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности наступления этого испытания.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины можно трактовать как вероятностное среднее этой величины.

Для любой случайной величины случайная величина называется центрированной случайной величиной или отклонением.

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве . Для величина , если она определена, называется моментом -го порядка случайной величины

Величина называется абсолютным моментом -го порядка случайной величины

Моменты случайной величины называются центральными моментами случайной величины .

Центральные моменты четного порядка случайной величины характеризуют степень разброса значений относительно ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины называется число , число называется среднеквадратическим отклонением случайной величины .

Свойства дисперсии случайной величины:

Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для некоторых случайных величин:

Ковариацией случайной величины и называется число:

Если математическое ожидание случайной величины является характеристикой ее положения, средним значением, около которого группируются значения случайной величины, то дисперсия и среднеквадратического отклонение являются характеристиками рассеяния случайной величины около математического ожидания.

Пример №33

• Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Решение:

Пример №34

• Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения:

Решение:

Другие характеристики случайных величин

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня случайной величины называется решение уравнения:

Квантили имеют названия нижняя квартиль, медиана, верхняя квартиль. Они делят числовую прямую на четыре части, вероятности попадания в которые равны 0,25.

Пример №35

• Найти моду случайной величины , заданной распределением:

Решение:

Поскольку для моды выполняется равенство:

Наибольшая вероятность достигается при

Пример №36

• Найти эксцесс случайной величины :

Решение:

Найдем начальные моменты случайной величины первых четырех порядков:

Найдем центральные моменты случайной величины первых четырех порядков:

Тогда среднеквадратическое отклонение случайной величины :

Эксцесс случайной величины найдем по формуле:

Свойства нормальной случайной величины:

1) , график функции расположен выше оси .

2) Ось служит асимптотой графика функции , т.к. .

3) Функция имеет один максимум при равный .

4) График функции симметричен относительно прямой .

5) Точки

являются точками перегиба графика функции .

Вероятность попадания случайной величины

на заданный участок :

Случайная величина принимает свое значения в промежутке с вероятностью 0,9973.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности наступления события в серии из независимых испытаний выражается формулой:

Пример №37

• Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт и среднеквадратичным отклонением 50. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи.

Решение:

Случайная величина есть суточное потребление электроэнергии печью.

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1100). Для этого воспользуемся формулой:

Тогда вероятность ремонта печи равна 1-0,9544 = 0,0456.

Пример №38

• Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина с параметрами

Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

Решение:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (152; 158). Для этого воспользуемся формулой:

Пример №39

• Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.

Решение:

Так как

тогда

Неравенство Чебышева

Необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше чем

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин … имеет конечное математическое ожидание и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математического ожидания, т.е. если — любое положительное число, то

В этом случае среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

1) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (измерения попарно независимы);

2) измерения производятся без систематических ошибок, (имеют одно и то же математическое ожидание);

3) обеспечена определенная точность измерений, (дисперсии их ограничены)

то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых опытов вероятность появления события постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений в опытах от будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема. Если — независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Пример №40

Решение:

По неравенству Чебышева:

Найдем математическое ожидание случайной величины .

Пример №41

Решение:

Математическое ожидание случайной величины принимает значение:

Дисперсия равна

Пример №42

• В ящике 20 деталей, из которых 4 бракованные.

Найти вероятность того, что наугад взятая из ящика деталь окажется бракованной.

Решение:

Так как каждая из имеющихся деталей может быть из ящика, то число всех равновозможных элементарных исходов . Число исходов, благоприятствующих появлению бракованной детали, . Если событие означает, что взятая деталь бракованная, то

Пример №43

• Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.

Найти, вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение:

Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и .

— появилось только событие ;

— появилось только событие .

Появление события равносильно появлению события (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. .

Появление события равносильно появлению события (появилось второе событие и не появилось первое). .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления одного из событий и достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий и . События и несовместны, поэтому применима теорема сложения:

События и — независимы, следовательно, независимы события и , а также и , поэтому применима теорема умножения:

Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из событий и :

Пример №44

• В вычислительной лаборатории имеется 6 компьютеров одного типа и 4 другого. Вероятность того, что на время выполнения некоторого расчета компьютер I типа не выйдет из строя, равна 0,95; для компьютера другого типа — 0,8. Студент производит расчет на наудачу взятом компьютере.

Найти вероятность того, что до окончания расчета компьютер не выйдет из строя.

Решение:

Обозначим через — компьютер не выйдет из строя до окончания расчета. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном качестве компьютеров; всего компьютеров в лаборатории — 10, из них:

В сумме гипотезы всегда равны 1, проверим:

Условная вероятность того, что студент воспользуется компьютером 1-го типа, равна ; 2-го типа — .

Искомая вероятность того, что до окончания расчета компьютер любого типа не выйдет из строя, равна:

Пример №45

• Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 78% деталей отличного качества, а второй — 86%.

Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение:

Обозначим событие — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): — деталь произведена первым автоматом;

— деталь произведена вторым автоматом; .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, равна

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байсса равна

Пример №46

• При измерении роста у 18 студентов установлено, что у трех рост — 188 см; у четверых — 182 см; у пятерых — 180 см; у шестерых 178 см. — рост студента.

Записать закон распределения . Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .

Решение:

Вероятность обнаружения среди 18 студентов троих с ростом 188 см:

Аналогично вероятность обнаружения среди 18 студентов четверых с ростом 182 см:

Получаем закон распределения в виде следующей таблицы:

Далее находим:

Пример №47

• Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,2.

Записать закон распределения числа отказавших элементов устройства, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Дискретная случайная величина может принимать значения . Так как то по формуле Бернулли находим:

Математическое ожидание равно

Элементы теории вероятностей

Событие и вероятность

Под событием мы будем понимать всякое явление, которое происходит или не происходит. Легко понять, что эта фраза отнюдь не может служить точным определением в том смысле, как мы понимаем математическое определение, однако мы вынуждены ею ограни­читься.

Для большей ясности приведем некоторые примеры. Так, например, событием является выпадение герба при бросании монеты, выпадение того или иного числа очков (например, шестерки) при бросании игральной кости, попадание в цель при выстреле, нахож­дение молекулы газа в заранее выделенном объеме, опоздание в шко­лу, приход в школу вовремя, прочтение (или непрочтение) этой книги (или «Евгения Онегина»)…

Различные события мы будем обозначать буквами A, B, C, … .

Событие называют достоверным, если оно непременно должно произойти. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые ша­ры, и т. п.

Наоборот, событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит. Примерами невозможных событий являются извлечение более четырех тузов из обычной карточной колоды, появление красного шара из урны, содержащей лишь белые и черные шары, и т. п.

Пусть А — некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в том, что А не наступило. Его обозначают через Если, скажем, событие A состоит в появле­нии красной масти при вытаскивании карты из колоды, то озна­чает появление черной.

События А и В называют несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так, появление любого возможного числа очков при бросании игральной кости (событие А) несовместно с появлением иного числа (событие В). Выпадение четного числа очков несовместно с выпадением нечетного числа. Наоборот, выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А , и события В у так что наступление одного из них не исключает наступ­ления другого. Легко понять, что события А и всегда будут не­ совместными.

Рассмотрим некоторую совокупность событий А , В, …, L. Эти события принято называть единственно возможными, если в резуль­тате каждого испытания хотя бы одно из них наверное наступит. Говорят также, что рассматриваемые события образуют полную группу событий. Так, например, при бросании игральной кости полную группу образуют события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков.

Теперь мы можем перейти к рассмотрению важнейшего понятия вероятности события.

Рассмотрим систему конечного числа событий относительно которой сделаем следующие предположения:

1. Эти события попарно несовместны; иначе говоря, для любых двух событий появление одного из них исключает появление другого.

2. События единственно возможны, то есть какое-либо одно из них непременно должно наступить.

3. События равновозможны. Это означает, что не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступать чаще, чем какое-либо другое.

Пусть имеется событие А , которое наступает при появлении некоторых из наших «элементарных» событий и не на­ступает при появлении других. Мы будем говорить в таком случае, что те из «элементарных» событий при наступлении которых наступает также событие A, благоприятствуют событию A.

Допустим, что из общего числа n рассматриваемых событий событию A благоприятствует m из них. Тогда вероятностью события А называется отношение числа событий, благо­приятствующих событию А , к общему числу всех равновозможных событий. Если, как это принято, обозначить вероятность события A через Р (A), то мы получаем по определению

Поясним приведенное нами определение примером. Рассмотрим бросание игральной кости и обозначим через

события, состоящие в выпадении соответственно одного, двух шести оч­ков. Легко проверить, что эти события удовлетворяют всем сделан­ным выше предположениям.

Отсюда следует, что

потому что каждому из этих событий благоприятствует только оно само, так что здесь m = 1, а n = 6.

Если событие А означает появление четного числа очков, то ему благоприятствуют события состоящие в появлении двух, четырех и шести очков. Поэтому для события А имеем m = 3, так что

Пусть событие В состоит в появлении числа очков, кратного трем. Тогда событию B благоприятствуют «элементарные» события откуда следует, что для события В имеем m = 2. Поэтому

Легко заметить, что для любого события А число благоприятствующих событий m удовлетворяет неравенствам Поэтому вероятность любого события А подчинена условиям

Далее, если обозначить через Е некоторое достоверное событие, то ему, очевидно, должны благоприятствовать все элементарные» события так что для него должно быть m = n. Поэтому вероятность достоверного события равна единице:

Если, наоборот, UI — невозможное событие, то из самого определения следует, что здесь m — 0, так что вероятность невозможно­го события равна нулю:

Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих введенное нами понятие вероятности.

Пример:

В урне находятся три синих, восемь красных и девять белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых наощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность по­явления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны.

Решение:

Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n = 3 + 8 + 9 = 20 элементарных событий. Если через A, В, С обозначить события, состоя­щие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через — число благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что Поэтому

Пример:

Одновременно брошены две монеты. Какова вероятность появления m гербов (m = 0, 1, 2)?

Решение:

Рассмотрим возможные при бросании двух монет исходы. Очевидно, их можно описать схемой

где Г означает выпадение герба, а Р — надписи. Таким образом, возможны четыре элементарных события. Поскольку монеты пред­полагаются однородными и имеющими геометрически правильную форму, то нет никаких оснований предполагать, что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других. Поэтому все четыре слу­чая следует считать равновозможными. Но тогда, обозначив через вероятность выпадения m гербов, легко получим:

Пример:

Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероят­ность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

Решение:

Так как любое из возможного числа очков на од­ной кости может сочетаться с любым числом очков на другой, то общее число различных случаев равно n = 6 • 6 = 36. Легко убе­диться в том, что все эти случаи попарно несовместны, равновозмож­ны и образуют полную группу событий. Для ответа на вопрос следует подсчитать, в каком числе случаев сумма очков равна восьми. Это будет, если число очков на брошенных костях равно

причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе — на второй кости. Отсюда видно, что событию A, состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми, благо­приятствует m=5 случаев. Поэтому

Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности

Непосредственный подсчет случаев, благоприятствующих дан­ному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить дан­ное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. При этом, однако, надо знать правила, которым подчи­няются вероятности при комбинации событий. Именно к этим пра­вилам и относятся упомянутые в названии параграфа теоремы.

Первая из них относится к подсчету вероятности того, что осуществится хотя бы одно из нескольких событий.

Теорема сложения:

Пусть А и В — два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

Доказательство:

Пусть — полная группа попарно несовместных событий. Если , то среди этих n элементарных событий имеется ровно событий, благоприятствующих A, и ровно событий, благоприятствующих В. Так как события А и В несовместны, то никакое из событий не может благоприятствовать обоим этим собы­тиям. Событию (А или В), состоящему в том, что наступает хотя бы одно из этих двух событий, благоприятствует, очевидно, как каждое из событий благоприятствующих А, так и каждое из событий благоприятствующих В . Поэтому общее число событий, благо­приятствующих событию (А или В), равно сумме откуда следует:

что и требовалось доказать .

Нетрудно видеть, что теорема сложения, сформулированная выше для случая двух событий, легко переносится на случай любого конечного числа их. Именно если A, В, С, …L— попарно не­ cовместные события, то

Для случая трех событий, например, можно написать

откуда уже вытекает наше утверждение. Далее следует воспользоваться методом математической индукции.

Важным следствием теоремы сложения является утверж­дение: если события попарно несовместны и единствен­но возможны, то

Действительно, событие ( или или … или ) по предполо­жению достоверно и его вероятность, как было указано в § 1, равна единице. В частности, если A и означают два взаимно противо­положных события, то

Проиллюстрируем теорему сложения примерами.

Пример:

При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

Решение:

Если событие A означает получение оценки «от­лично», а событие В — получение оценки «хорошо», то

Пример:

В урне, содержащей n шаров белого, красного и черного цвета, находятся к белых шаров и l красных. Какова вероятность вынуть шар не черного цвета?

Решение:

Если событие Л состоит в появлении белого, а событие В — красного шара, то появление шара не черного цвета означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

то по теореме сложения вероятность появления шара не черного цвета равна;

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении черного шара. Число черных шаров равно n — (k + l), так что Появление шара не черного цвета является противоположным событием поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем:

как и раньше.

Пример:

В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 би­летов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение:

Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша и через В — вещевого, то из опре­деления вероятности следует

Интересующее нас событие представляет (А или В), поэтому из теоремы сложения вытекает

Таким образом, вероятность какого-либо выигрыша равна 0,2.

Прежде чем перейти к следующей теореме, необходимо ознакомиться с новым важным понятием — понятием условной вероятно­сти. Для этой цели мы начнем с рассмотрения следующего примера.

Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух различных заводах, причем на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором — 25%. Допустим, что среди лампо­чек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определенного стандарта, а для продукции второго завода этот про­цент равен 63. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.

Заметим, что общее число имеющихся стандартных лампочек состоит из 400 • 0,75 • 0,83 = 249 лампочек, изготовленных первым заводом, и 63 лампочек, изготовленных вторым заводом, то есть равно 312. Так как выбор любой лампочки следует считать равновоз­можным, то мы имеем 312 благоприятствующих случаев из 400, так что

где событие В состоит в том, что выбранная нами лампочка стандартна.

При этом подсчете не делалось никаких предположений о том, к продукции какого завода принадлежит выбранная нами лампочка. Если же какие-либо предположения такого рода сделать, то очевидно, что интересующая нас вероятность может измениться. Так, например, если известно, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе (событие А), то вероятность того, что она стандартна, будет уже не 0,78, а 0,83.

Такого рода вероятность, то есть вероятность события В при условии, что имеет место событие А , называют условной вероятностью события В при условии наступления события А и обозначают

Если мы в предыдущем примере обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе, то мы можем написать

Теперь мы можем сформулировать важную теорему, относящую­ся к подсчету вероятности совмещения событий.

Теорема умножения:

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого в предположении, что первое имело место:

При этом под совмещением событий А и В понимается наступление каждого из них, то есть наступление как события А , так и события В .

Доказательство:

Рассмотрим полную группу из п рав­новозможных попарно несовместных событий каж­дое из которых может быть благоприятствующим или неблагоприятствующим как для события А , так и для события В.

Разобьем все эти события на четыре различные группы следующим образом. К первой группе отнесем те из событий которые благоприятствуют и событию А , и событию В; ко второй и третьей группам отнесем такие события которые благоприятст­вуют одному из двух интересующих нас событий и не благоприятст­вуют другому, например ко второй группе — те, которые благо­приятствуют А , но не благоприятствуют В, а к третьей — те, кото­рые благоприятствуют В , но не благоприятствуют А; наконец, к четвертой группе отнесем те из событий которые не благоприят­ствуют ни A, ни В.

Так как нумерация событий не играет роли, то можно предположить, что это разбиение на четыре группы выглядит так: I группа:

II группа:

III группа:

IV группа:

Таким образом, среди n равновозможных и попарно несовместных событий имеется k событий, благоприятствую­щих и событию A, и событию В, l событий, благоприятствующих событию A, но не благоприятствующих событию В, m событий, бла­гоприятствующих В, но не благоприятствующих A, и, наконец, n — (k + I + m) событий, не благоприятствующих ни A, ни В.

Заметим, между прочим, что какая-либо из рассмотренных нами четырех групп (и даже не одна) может не содержать ни одного события. В этом случае соответствующее число, означающее количество событий в такой группе, будет равно нулю.

Произведенная нами разбивка на группы позволяет сразу на­ писать

ибо совмещению событий А и В благоприятствуют события первой группы и только они. Общее число событий, благоприятствующих А, равно общему числу событий в первой и второй группах, а благо­приятствующих В — общему числу событий в первой и третьей группах.

Подсчитаем теперь вероятность то есть вероятность события В при условии, что событие А имело место. Теперь события, вхо­дящие в третью и четвертую группы, отпадают, так как их появле­ние противоречило бы наступлению события A, и число возможных случаев оказывается равным уже не n, а k + l. Из них событию В благоприятствуют лишь события первой группы, так что мы получаем:

Для доказательства теоремы достаточно теперь написать очевид­ное тождество:

и заменить в нем все три дроби вычисленными выше вероятностями. Мы придем к утверждавшемуся в теореме равенству:

Ясно, что написанное нами выше тождество имеет смысл лишь при что справедливо всегда, если только А не есть невоз­можное событие.

Так как события А и В равноправны, то, поменяв их местами, получим другую форму теоремы умножения:

Впрочем, это равенство можно получить тем же путем, что и предыдущее, если заметить, что и воспользоваться тождеством

Сравнивая правые части двух выражений для вероятности Р (А и В), получим полезное равенство:

Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие теорему умножения.

Пример:

В продукции некоторого предприятия признаются годными (событие А) 96% изделий. К первому сорту (событие В) оказываются принадлежащими 75 изделий из каждой сотни годных. Определить вероятность того, что произвольно взятое изделие бу­дет годным и принадлежит к первому сорту.

Решение:

Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий А и В. По условию имеем: Поэтому теорема умножения дает

Пример:

Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,2. Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы (т. е. в 2% случаев выстре­ла не произойдет)?

Решение:

Пусть событие В состоит в том, что выстрел произойдет, а означает противоположное событие. Тогда по условию и согласно следствию из теоремы сложения Р(В)=1- Р(В) = 0,98. Далее, по условию

Поражение цели означает совмещение событий А а В (выстрел произойдет и даст попадание), поэтому по теореме умножения

Важный частный случай теоремы умножения можно получить, если воспользоваться понятием независимости событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступи­ло другое.

Примерами независимых событий являются выпадение различного числа очков при повторном бросании игральной кости или той или иной стороны монет при повторном бросании монеты, так как очевидно, что вероятность выпадения герба при втором бросании равна независимо от того, выпал или не выпал герб в первом.

Аналогично, вероятность вынуть во второй раз белый шар из урны с белыми и черными шарами, если вынутый первым шар пред­варительно возвращен, не зависит от того, белый или черный шар был вынут в первый раз. Поэтому результаты первого и второго вынимания независимы между собой. Наоборот, если шар, вынутый первым, не возвращается в урну, то результат второго вынимания зависит от первого, ибо состав шаров, находящихся в урне после первого вынимания, меняется в зависимости от его исхода. Здесь мы имеем пример зависимых событий.

Пользуясь обозначениями, принятыми для условных вероятно­стей, можно записать условие независимости событий А в В в виде

или

Воспользовавшись этими равенствами, мы можем привести теорему умножения для независимых событий к следующей форме.

Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий:

Действительно, достаточно в первоначальном выражении теоремы умножения положить что вытекает из независи­мости событий, и мы получим требуемое равенство.

Рассмотрим теперь несколько событий: А, В, …, L. Будем называть их независимыми в совокупности, если вероятность появле­ния любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.

В случае событий, независимых в совокупности, теорема умножения может быть распространена на любое конечное число их, благодаря чему ее можно сформулировать так:

Вероятность совмещения событий A, В , …, L, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример:

Рабочий обслуживает три автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправно­сти, если станок остановится. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9. Та же вероятность для вто­рого станка равна 0,8 и для третьего — 0,7. Определить вероят­ность того, что в течение часа рабочему не потребуется подойти ни к одному из обслуживаемых им станков.

Решение:

Если считать станки работающими независимо друг от друга, то в силу теоремы умножения искомая вероятность совмещения трех событий равна произведению

Пример:

Вероятность сбить самолет винтовочным выстрелом р = 0,004. Какова вероятность уничтожения неприятельского самолета при одновременной стрельбе из 250 винтовок?

Решение:

Вероятность того, что при одиночном выстреле самолет не будет сбит, по теореме сложения равна 1 — р = 0,996. Тогда можно подсчитать с помощью теоремы умножения вероятность того, что самолет н е будет сбит при 250 выстре­лах, как вероятность совмещения событий. Она равна После этого мы можем снова воспользоваться теоремой сложения и найти вероятность того, что самолет будет сбит, как вероят­ность противоположного события

Отсюда видно, что, хотя вероятность сбить самолет одиночным винтовочным выстрелом ничтожно мала, тем не менее при стрельбе из 250 винтовок вероятность сбить самолет оказывается уже весьма ощутимой. Она существенно возрастает, если число винтовок уве­личить. Так, при стрельбе из 500 винтовок вероятность сбить само­лет, как легко подсчитать, равна а при стрель­бе из 1000 винтовок — даже

Доказанная выше теорема умножения позволяет несколько расширить теорему сложения, распространив ее на случай совмести­мых событий. Ясно, что если события А и В совместимы, то вероят­ность наступления хотя бы одного из них не равна сумме их вероят­ностей. Например, если событие А означает выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, а событие В — вы­падение числа очков, кратного трем, то событию (А или В) благо­приятствует выпадение 2, 3, 4 и б очков, то есть

С другой стороны, и то есть Таким образом, в этом случае

Отсюда видно, что в случае совместимых событий теорема сложения вероятностей должна быть изменена. Как мы сейчас уви­дим, ее можно сформулировать таким образом, чтобы она была справедлива и для совместимых, и для несовместных событий, так что ранее рассмотренная теорема сложения окажется частным слу­чаем новой.

Расширенная теорема сложения:

Пусть А и В — произволь­ные события. Вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей без вероятнос­ти их совмещения:

Доказательство:

Пусть — полная группа n попарно несовместных событий. Если , то событию А благоприятствует из n элементарных событий. Допу­стим, что среди них есть k событий, благоприятствующих также и событию В, а ему не благоприятствуют. Тогда сре­ди n элементарных событий имеется ровно k событий, благоприятствующих и A и В. Поэтому если , то среди событий, благоприятствующих В, имеется k событий, благоприятствующих A, и событий, которые A не благоприятст­вуют.

Все элементарные события, которые благоприятствуют событию (A или В), должны благоприятствовать либо только A, либо толь­ко В, либо и A и В. Таким образом, общее число таких событий равно

а вероятность

что и требовалось доказать.

Применяя формулу (9) к рассмотренному выше примеру выпа­дения числа очков при бросании игральной кости, получим:

что совпадает с результатом непосредственного подсчета.

Очевидно, что формула (1) является частным случаем (9). Действительно, если события А и В несовместны, то k = 0 и вероятность совмещения Р (А и В) = 0.

Пример:

В электрическую цепь включены последователь­но два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определим вероятность пре­кращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей.

Решение:

Так как события A и В, состоящие в выходе из строя первого и второго из предохранителей, совместимы, то искомая вероятность определится по формуле (9):

Примеры вычисления вероятностей

В этом параграфе мы рассмотрим ряд примеров вычисления вероятностей. При этом будет использоваться непосредственный подсчет общего числа равновозможных случаев и числа благоприятствующих случаев на основе комбинаторных задач, а также теоре­мы сложения и умножения вероятностей, рассмотренные в начале настоящей главы.

Пример:

Бросаются две игральные кости (кубики). Найти вероятность того, что на обеих костях окажется: а) одинаковое число очков; б) различное число очков.

Решение:

Подсчитаем сначала общее число возможных результатов. Каждый результат бросания двух костей можно описать в виде некоторого размещения из шести элементов (шесть возмож­ностей для числа выпавших очков) по два (бросаются две кости) с повторениями (может выпасть одно и то же число очков на обеих костях). Поэтому общее число элементарных событий есть

Очевидно, все элементарные события следует считать равновероятными.

Число случаев, благоприятствующих появлению одинакового числа очков, равно 6. Отсюда следует, что ответом для задачи а) является вероятность

Событие, указанное в задаче б), является противоположным первоначальному, и его вероятность удовлетворяет усло­вию

откуда

Пример:

В городе имеется 10 ООО велосипедов, занумеро­ванных различными номерами от 0000 до 9999. Какова вероятность того, что номер первого встречного велосипеда будет содер­жать хотя бы одну цифру 8?

Решение:

Найдем сначала вероятность того, что ни одна цифра случайно встреченного номера не будет восьмеркой.

Для первой цифры вероятность не быть восьмеркой равна 0,9, так как всех равновероятных возможностей — различных цифр — десять, а отличных от восьмерки — девять. Значения цифр в раз­личных разрядах независимы. Тогда вероятность того, что все четы­ре цифры отличны от 8, можно определить как вероятность совме­щения событий. Она равна

Искомая вероятность есть вероятность противоположного собы­тия, а потому равна 1 — 0,6561 = 0,3439.

Пример:

Абонент, забывший одну цифру нужного ему номера телефона, набирает эту цифру наудачу. Какова вероят­ность, что ему придется звонить не более двух раз?

Решение:

Представим для удобства рассуждений, что або­нент всегда звонит дважды, независимо от результата первой попытки. Общее число равновозможных случаев представляет здесь число размещений из 10 цифр по две без повторений, по­скольку два раза звонить по одному телефону не имеет смысла. Следовательно, это будет Благоприятствующими будут те случаи, когда нужная цифра встретится на первом или втором месте в комбинации с любой другой. Ясно, что таких случаев 9 + 9=18. Искомая вероятность равна, следовательно, р = 0,2.

Пример:

В отделении 12 солдат. В наряд назначаются два человека наугад. Какова вероятность попасть в наряд для каждого данного солдата?

Решение:

Общее число различных парных нарядов в этом случае мы уже подсчитывали в примере 4 из § 1 предыдущей главы. Оно разно Число парных нарядов, не содержащих данного солдата, по тем же соображениям равно Поэтому вероятность не попасть в наряд равна , а искомая вероятность попасть в наряд

Пример:

В некоторой партии изделий число бракованных составляет 4%. Из числа годных изделий 75% являются первосортными. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие будет первосортным?

Решение:

Пусть событие А означает, что изделие является годным, а событие В — что изделие относится к первому сорту. Тогда по условию

Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий и по теореме умножения равна:

Пример:

В некоторой лотерее имеется всего n билетов, из которых m являются выигрышными. Определить вероятность хотя бы одного выигрыша для лица, обладающего k билетами.

Решение:

Общее число равновозможных случаев выбора k билетов из имеющихся n равно числу сочетаний Так как не­выигрышных билетов имеется n — m, то число элементарных событий, благоприятствующих событию «не выиграть ни на один би­ лет», равно Следовательно, вероятность не выиграть ни на один билет равна Требуемое событие выиграть хотя бы на один билет является противоположным, и его вероятность равна

Пример:

Из карточной колоды с 36 картами извлекается наугад одна карта. Какова вероятность извлечь картинку (короля, даму или валета) любой масти или карту пиковой масти?

Решение:

Так как в колоде всего 12 картинок, то вероятность извлечь картинку равна . Вероятность извлечь карту пиковой масти равна . Остается воспользоваться теоремой сложения.

Однако необходимо учесть, что рассматриваемые события совместимы, так что следует воспользоваться расширенной теоремой сложения (см. формулу (9) из § 2), которая дает:

Это и есть искомая вероятность.

Пример:

Шесть пассажиров садятся на остановке в трам­вайный поезд, состоящий из трех трамвайных вагонов. Какова вероятность того, что: а) все пассажиры сядут в один вагон; б) хотя бы в один вагон не сядет ни один пассажир; в) в каждый вагон сядут по два пассажира?

Решение:

Число различных способов, которыми пассажиры могут разместиться в вагонах, подсчитывалось в примере 6 из § 5 предыдущей главы. Так как нас заведомо интересует лишь число пассажиров в каждом вагоне, то это число различных способов есть число сочетаний с повторениями Число благоприятствующих событий подсчитывается непосредст­венно. а) Благоприятствующих событий три — все пассажиры сели в первый вагон, или во второй, или в третий. Искомая вероятность

б) Благоприятствующих событий 6: в трех случаях свободным остается один вагон и в трех случаях — два вагона. Искомая вероятность

в) Благоприятствующих событий одно. Вероятность равна

Полная вероятность. Формула Бейеса

При вычислении вероятностей сложных событий часто приходит­ся одновременно применять теоремы сложения и умножения. Рассмотрим следующий пример.

Пример:

Имеется три одинаковых на вид урны с различным составом белых и черных шаров. Пусть в первой урне находит­ся белых и черных шаров, во второй урне соответственно белых и черных и, наконец, в третьей — белых и черных шара. Выбирается наугад одна из урн, и из нее вынимается один шар. Требуется определить вероятность того, что вынутый шар ока­жется белым.

Решение:

Сделаем сначала предположение, что шар вынут из первой урны. Можно сказать, что это предположение означает наступление события или осуществление гипоте­зы Так как выбор любой урны равновероятен, то вероятность этой гипотезы равна . Из предположения о составе шаров следует, что вероятность вынуть белый шар из первой урны (событие ) равна

Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что выбрана пер­вая урна и вынутый из нее шар оказался белым. Тогда вероятность такого события в силу теоремы умножения будет равна:

(см. формулу (4) предыдущего параграфа). Точно так же вероятность вынуть белый шар из второй урны есть вероятность сложного

события, состоящего в совмещении события (выбрана вторая урна) и события (из второй урны вынут белый шар), в результа­те чего эта вероятность равна

а для третьей урны

Пусть теперь событие А означает извлечение белого шара независимо от того, из какой именно урны он был вынут. Тогда, учиты­вая, что события являются несовместными, ибо выби­рается лишь одна урна, мы можем воспользоваться для нахожде­ния вероятности события теоремой сложения, которая дает

Сформулируем теперь общую задачу. Пусть события образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например событие А может наступить с некоторой ус­ловной вероятностью Какова вероятность наступления со­бытия A?

Воспользовавшись, как и в примере, с которого мы начали, тео­ремой умножения, найдем, что вероятность наступления A при условии наступления равна

Аналогично

Теперь для нахождения вероятности события A можно воспользоваться теоремой сложения, так как события несов­местны. Складывая все равенства (1) и (2), приходим к формуле:

или, короче,

Формула (3) называется формулой полной вероятности.

События обычно называют в таких случаях гипотезами . В рассмотренном выше примере 1 имелось три гипоте­зы (n = 3), которые были равновероятны между собой:

Пример:

При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 их общего числа, а число средних и мелких — соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний — с вероятностью 0,3 и мелкий — с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Решение:

В нашем примере имеется три гипотезы, вероятности которых Поль­зуясь формулой полной вероятности (3), находим:

Используя формулу полной вероятности, можно получить еще одну важную формулу, которая называется формулой Бейеса или формулой вероятностей гипотез.

Пусть мы имеем некоторую полную группу событий — гипотез вероятность каждой из которых до производства опыта имеет определенное значение. Пред­положим, что в результате опыта наступило некоторое событие А. Появление этого нового сведения — наступление события А — может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей ги­потез.

Поясним сказанное примером. Пусть урна содержит три шара белого и черного цвета, однако распределение числа шаров по цве­там неизвестно. До производства опыта о содержимом урны можно сделать четыре гипотезы:

1) 3 белых и 0 черных

2) 2 белых и 1 черный

3) 1 белый и 2 черных

4) 0 белых и 3 черных

которые мы будем считать равновероятными: Допустим, что в результате опыта был вынут белый шар (событие А). В таком случае вероятность гипотезы делается равной нулю. Вероятности остальных трех гипотез также изменятся, причем их уже нельзя будет считать равновероятными; вероятность гипотезы например, больше, чем вероят­ность гипотезы

Поставим вопрос в общем виде: выяснить, каковы будут вероятности гипотез после опыта в предположении, что в результате опыта наступило событие А.

Обозначим вероятности гипотез до производства опыта соответственно через

Вероятности тех же гипотез после опыта, в результате которого наступило событие A, обозначим через

причем снова

так как события по-прежнему несовместны и един­ственно возможны. Обозначим условную вероятность через и полную вероятность события А через Р .

Пользуясь равенством (6) предыдущего параграфа, которое сле­дует из теоремы умножения, напишем:

или с введенными обозначениями

Отсюда

Подставляя сюда выражение для полной вероятности Р из формулы (3), получим:

Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей действитель­но равна единице.

Формула (4), дающая выражение вероятности гипотезы пос­ле опыта, и есть нужная нам формула Бейеса.

Вернемся снова к нашему примеру. В соответствии с приняты­ ми обозначениями имеем:

Далее находим:

Окончательно получим:

Аналогично:

Повторение испытаний

Правила сложения и умножения вероятностей дают возмож­ность определять вероятности достаточно сложных комбинаций событий. Одной из наиболее простых и вместе с тем весьма распро­страненных ситуаций, с которой мы сейчас познакомимся, является схема повторения независимых испытаний.

Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не наступить. Обозначим вероятность наступления события А через Р (А) = р и вероятность его ненаступления — через

Рассмотрим возможные исходы двух последовательных независимых испытаний. Они описываются в т а б л. 1, в которой приведе­ны также вероятности различных исходов. Теперь нетрудно под­считать, что вероятность двукратного появления события А равна

вероятность его однократного появления (безразлично, при каком испытании, то есть вероятность того, что при двух испытаниях один раз наступит А и один раз равна 2pq, а вероятность то­го, что А не наступит ни разу, равна Очевидно, что эти результаты единственно возможны, причем

Приведенное рассуждение без труда переносится на случай большего числа испытаний. Например, при трех испытаниях вероятность наступления события A три раза подряд равна как вероятность совмещения событий. Чтобы найти вероятность наступления события А два раза, безразлично в каком порядке, заметим, что это возможно при следующих трех исходах: вероятность каждого из которых так что вероятность двукратного наступления события A при трех испытаниях Аналогич­но подсчитывается вероятность однократного наступления и вероятность того, что событие A не наступит ни разу, которая равна Как и выше,

Мы можем теперь формулировать общую задачу. Производится серия из п независимых испытаний, причем вероятность наступления события А при каждом отдельном испытании равна р. Требуется определить вероятность того, что событие наступит точно m раз.

Такая задача может встретиться, например, при подсчете вероятности т попаданий в цель при п выстрелах и во многих аналогичных случаях, которые будут рассмотрены ниже.

Заметим прежде всего, что два крайних частных случая

легко находятся по теореме умножения как вероятности совмещения событий.

Подсчитаем теперь вероятность того, что при n испытаниях событие A появится ровно m раз в определенном порядке, например, как в выражении

Ясно, что эта вероятность равна . Очевидно, что вероятность появления события A также m раз, но в другом порядке, будет той же самой. Число всех возможных выражений из n элементов, в ко­торых m раз встречается A в различном порядке, равно числу со­четаний

Поэтому, пользуясь теоремой сложения вероятностей, получаем:

Из этой формулы видно, что вероятности представляют отдельные слагаемые в разложении бинома:

Поэтому формулу (1) называют биномиальной.

Итак, сформулированная выше задача полностью решена. Проиллюстрируем теперь полученную формулу двумя примерами.

Пример:

Бросается монета 6 раз. Какова вероятность вы­ падения герба 0,1, …, 6 раз?

Решение:

В данном случае . Пользуясь полученной формулой, приходим к результатам:

Эти результаты можно изобразить графически, отложив по оси абсцисс значения m , а по оси ординат — значения Очевидно, что наиболее вероятное число выпадений герба m = 3, однако вероятность эта невелика.

Пример:

Производится восемь выстрелов по резервуару с горючим, причем первое попадание вызывает течь, а второе — воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна р = 0,2?

Решение:

Найдем сначала вероятность противоположного события, т. е. вероятность того, что резервуар не будет подожжен. Это произойдет лишь тогда, когда число попаданий не превзойдет единицы. Вероятность этого равна:

Так как здесь р = 0,2 и q = 0,8, то

откуда следует, что вероятность того, что резервуар будет подожжен, равна:

Примеры вычисления вероятностей

Рассмотрим еще несколько примеров на вычисление вероятностей.

Пример:

При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки составляют по весу 20% от общего веса снаряда, средние — 30% и мелкие — 50%. Вероятность того, что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8. Для средних и мелких осколков та же вероятность равна соответственно 0,5 и 0,2. Подсчитаем вероятность того, что броня танка будет пробита.

Решение:

Здесь следует воспользоваться формулой полной вероятности. Приняв в качестве гипотез различные размеры оскол­ка, получим, что их вероятности равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Поэтому искомая вероятность равна

Пример:

В условиях предыдущего примера, если броня танка оказалась пробитой, какова вероятность того, что пробоина произошла от мелкого осколка?

Решение:

Здесь мы можем применить формулу Бейеса, которая дает:

Пример:

Для данного стрелка вероятность попадания в десятку равна 0,7, а в девятку — 0,3. Определить вероятность того, что этот стрелок при трех выстрелах выбьет не менее 29 очков.

Решение:

Чтобы набрать не менее 29 очков, необходимо либо три раза попасть в десятку, либо два раза в десятку и один раз в девятку. Вероятность попасть три раза подряд в десятку находится по теореме умножения как вероятность совмещения событий. Она равна:

Вероятность попадания два раза в десятку и один раз в девятку можно найти по биномиальной формуле:

Искомая вероятность находится по теореме сложения и равна:

Пример:

Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять партий из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми (считая, что ничейный исход партии исключен)?

Решение:

Указание на равносильность противника следует рассматривать как утверждение, что вероятность выигрыша партии равна , так же как и вероятность проигрыша . Теперь мы можем воспользоваться формулой повторения испытаний. а) Вероятность выиграть три партии из четырех находится по формуле:

Аналогично для выигрыша пяти партий из восьми получаем:

Отсюда видно, что вероятность выиграть три партии из четырех больше, чем вероятность выиграть пять партий из восьми, хотя на первый взгляд может показаться, что это не так. б) Выигрыш не менее трех партий из четырех означает, что долж­ны быть выиграны три либо четыре партии. По теореме сложения и формуле повторения испытаний находим:

Точно так же

Сравнивая между собой полученные вероятности, замечаем, что вероятность выиграть не менее трех партий из четырех меньше, чем вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример:

Из колоды, содержащей 36 карт, извлекаются одна за другой четыре карты. Какова вероятность того, что среди вынутых карт окажется не более одного туза? Рассмотреть два раз­ личных случая: а) после проверки вынутой карты она снова возвращается в колоду; б) вынутая карта в колоду не возвращается.

Решение:

а) Задача решается очень просто с помощью биномиальной формулы. Действительно, так как карта возвращается после каждого вынимания, то вероятность вынуть туз каждый раз остается одной и той же и равна ( в колоде четыре туза). Среди вынутых карт окажется не более одного туза, если число вынутых тузов будет равно либо нулю, либо единице.

Таким образом, искомая вероятность равна:

б) В случае, когда вынутая карта в колоду не возвращается, дело обстоит сложнее, так как вероятность вынуть туз меняется от одного вынимания к другому и зависит от результатов предыдущего вынимания.

В первом вынимании вероятность вынуть туз равна Что касается второго вынимания, то эта вероятность будет иной. Именно, если в первом случае был вынут туз, то вероятность вынуть туз во второй раз будет равна Если же в первом случае был вынут не туз, то вероятность вынуть туз во второй раз равна уже

Можно таким же способом проследить, какова будет вероятность вынуть туз в третий и четвертый раз в зависимости от исхода предыдущих выниманий. Однако это чересчур сложно и громоздко. Гораз­до проще решать этот вопрос иначе в более общем виде. Для этой цели обратимся к следующему примеру.

Пример:

Имеется N предметов, из которых М обладают некоторым признаком. Из этого множества предметов выбираются наугад (то есть выбор каждого из N предметов равновозможен) n предметов. Какова вероятность того, что среди них ровно m будут обладать этим признаком?

Решение:

Найдем, прежде всего, общее число возможных комбинаций. Ясно, что оно равно числу сочетаний По условию, извлечение каждой из этих комбинаций следует считать равновоз­можным. Подсчитаем теперь число благоприятствующих собы­тий.

Группу из m элементов, обладающих нужным признаком, из общего числа М таких элементов можно выбрать различными спо­собами. Далее, оставшиеся n — m элементов, нужным признаком не обладающие, могут быть выбраны различными спосо­бами, поскольку общее число таких элементов есть N — М. Так как любая группа элементов, обладающих нужным признаком, может комбинироваться с любой группой элементов, им не обладающих, то общее число благоприятствующих событий равно произведению

Окончательно находим, что искомая вероятность равна:

Теперь мы можем возвратиться к решению задачи б) из предыдущего примера. Здесь у нас N = 36, М = 4, n = 4. Как и в а), нас интересуют случаи m = 0 (ни одного туза) и m = 1 (ровно один туз). Эти события несовместны, и по теореме сложения для искомой вероятности находим:

Теория вероятностей — основные формулы и примеры с вычислением

Испытания и события

Предметом теории вероятностей является изучение законов, управляющих случайными событиями (явлениями). К основным понятиям теории вероятностей относятся испытание и событие.
Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие

Пример:

Брошена монета — испытание. Появление герба или цифры — события.

Пример:

Произведен выстрел по мишени — испытание. Попадание или промах — события.

Пример:

В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны — испытание. Появление шара определенного цвета — событие.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении этого испытания может произойти, а может и не произойти. Прилагательное «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие».

Пример:

Брошена игральная кость (кубик, на гранях которого отмечено от одного до шести очков). Выпадение четырех очков — случайное событие.

Пример:

В урне имеются белые и черные шары. Из урны наугад берут два шара. Оба шара белые — случайное событие.

Достоверным событием называется событие, которое в результате данного испытания непременно произойдет.

Пример:

Брошена игральная кость. Выпадение не более шести очков — достоверное событие.

Невозможным событием называется событие, которое заведомо не произойдет в результате данного испытания.

Пример:

Брошена игральная кость. Выпадение десяти очков — невозможное событие.

Пример:

Камень брошен вверх. Камень остается висеть в воздухе — невозможное событие.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, С, … Например, событие А — попадание в мишени при стрельбе, событие В — появление герба при бросании монеты. Достоверное событие: будем обозначать буквой U, невозможное V.

Отметим, что всякое случайное событие является следствием очень многих причин. Например, выпадение герба или цифры при бросании монеты зависит от силы, с которой брошена монета, ее формы, сплава и многих других причин. Попадание или промах при стрельбе зависит от расстояния до мишени, веса пули (снаряда), от направления и силы ветра и других случайных причин. В связи с этим невозможно заранее предсказать, произойдет единичное событие или нет. Иначе обстоит дело при изучении многократно повторяющихся событий. Оказывается, что однородные случайные события при многократном повторении подчиняются определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Виды случайных событий

Пусть произведено испытание, в результате которого возможны события События Называются несовместными, или осуществление одного из них исключает осуществление других

Пример:

В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. События — «появилась стандартная деталь» и — «появилась нестандартная деталь» являются несовместными событиями.

Пример:

Брошена игральная кость. Событие — «появление двух очков» и событие — «появление четного числа очков» совместны, так как появление одного из них не исключает появление другого.

События Называют равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Пример:

Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, так как игральная кость изготовляется из однородного материалу и имеет строго симметричную форму.

Пример:

Появление герба и появление цифры при бросании симметричной монеты есть события равновозможные.

События образуют полную группу событий, если в результате одного испытания непременно произойдет хотя бы одно из них.

Пример:

В урне имеются три белых шара, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, и пять черных шаров перенумерованных цифрами
1, 2, 3, 4, 5. Из урны наугад берут один шар. События:

— «появление шара с цифрой 1»,
— «появление шара с цифрой 2»,
— «появление шара с цифрой 3»,
— «появление шара с цифрой 4»,
— «появление шара с цифрой 5»

образуют полную группу. Важную роль играет полная группа несовместных событий, т. е. такая группа событий, что в результате
данного испытания непременно произойдет одно и притом только одно события данной группы.

Пример:

При бросании игральной кости возможны события:

— «появление одного очка»,
— «появление двух очков»,
— «появление трех очков»,
—«появление четырех очков»,
— «появление пяти очков»,
— «появление шести очков».

Эти события образуют полную группу несовместных событий.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в той и только том случае, когда не происходит другое.

Событие, противоположное событию А обозначают через ( читаю «не А » ).

Пример:

Попадание и промах при выстреле по мишени противоположные события. Если А — попадание, то — промах.

Пример:

Появление четного числа очков при бросании игральной кости — событие, противоположное появлению нечетного числа очков.

Очевидно, что противоположные события образуют полную группу событий.

Отметим, что любое случайное событие может быть представлено в виде некоторого множества. Поясним сказанное на конкретном примере.

Пример:

При бросании игральной кости непременно произойдет одно из событий (см. пример 6). Каждое из этих событий назовем элементарным событием. Все элементарные события образуют множество элементарных событий

Очевидно, что: 1) событие В — «появление четного числа очков» может быть представлено в виде множества ;
2) событие С — «появление числа очков, не большего трех», может быть представлено множеством 3) событие D —
«появление числа очков, которое делится на 3», может быть
представлено множеством и т. д.

Нетрудно заметить, что множества В, С и D являются подмножествами множества элементарных событий A. Таким образом, любое случайное событие может быть представлено подмножеством множества всех элементарных событий данного испытания.

Операции над событиями

Прежде всего установим некоторые отношения между событиями. Рассмотрим события:

А — «появление трех очков при бросании игральной кости»,
В —«появление нечетного числа очков при бросании игральной кости».

Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло и событие В. В этом случае говорят «А влечет за собой В» (или «В является следствием А») и записывают (или ).

Если события А и В таковы, что то они называются равными (равносильными) при этом пишут

Пример:

Брошена симметричная монета. Событие A — «появление герба», событие В — «непоявление цифры». Очевидно, что и и, следовательно, .

Пример:

В урне имеются пять белых шаров, перенумерованных от 1 до 5, и семь черных шаров, перенумерованных от 6 до 12. Очевидно, что событие А — «появление шара с номером 8», влечет за собой событие В — «появление черного шара». Поэтому .

Так как события могут быть представлены в виде подмножеств множества элементарных событий, то действия над событиями выполняются аналогично действиям над множествами.

Сложение

Определение:

Сумой или объединением двух событий А и В называют событие С, состоящие в осуществлении хотя бы одного из событий А или В (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).

Символически записывают так: или .

Сумма событий интерпретируется как объединение (сумма) множеств (подмножеств множества элементарных событии) — см. рис. 118.

Суммой или объединением нескольких событий называется событие С, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий Символически:

Пример:

Найти сумму событий: А — «появление одного очка при бросании игральной кости» и В — «появление двух очков при бросании игральной кости».

Суммой А + В является событие С — «появление не больше двух очков при бросании игральной кости», поэтому

Если события А и В — несовместные, то сумма А + В является событием, состоящим в осуществлении одного из этих событий, безразлично какого (их совместное осуществление невозможно).

Непосредственно из определения суммы событий вытекают следующие свойства сложения:

(коммутативность); (ассоциативность);

Умножение

Определение:

Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном осуществлении
А и В.

Символически произведение записывают так:

Теоретико — множественная интерпретация произведения событий дана на рис. 119.

Произведением или пересечением нескольких событий называется событие С, состоящее в одновременном осуществлении всех событий Символически:

Пример:

Найти произведение событий A — «студенту попался экзаменационный билет с четным номером» и В — «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным пяти».

Решение:

Произведением AВ является событие С — «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным десяти», поэтому AВ = С.

Если события А и В— несовместные, то AВ = V, т. е.. произведение AВ — невозможное событие. Можно показать, что для умножения событий имеют место свойства:

1) AВ = ВA (коммутативность);
2) А (BС) = (AВ)С (ассоциативность);
3) А (В + С) = AВ + АС (дистрибутивность);
4)

Вероятность события

Известно, что случайное событие в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Однако объективная возможность различных событий в одном и том же испытании может, вообще говоря, быть различной.

Рассмотрим пример. В урне 12 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 3 из них белые и 9 черные. Из урны наудачу вынимают один шар. Очевидно, что возможность появления черного шара «больше», чем возможность появления белого шара. В этом случае говорят: «вероятность появления черного шара
больше вероятности появления белого шара». Под вероятностью события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.

Поставим своей задаче научиться находить эту численную меру объективной возможности события, т. е. находить вероятность события, причем ограничимся лишь вычислением вероятностей в классической модели.

Под классической моделью понимают такое множество элементарных событий, которое образует полную группу несовместных событий и все элементарные события равновозможны.

Например при бросании игральной кости множество элементарных событий:

— «появление одного очка»,
— «появление двух очков»,
— «появление трех очков»,
— «появление четырех очков»,
— «появление пяти очков»,
— «появление шести очков»

образует классическую модель. Вероятность каждого из этих элементарных событий считаем равной 1/6.

Рассмотрим теперь события: A — «появление четного числа очков»,
В — «появление не больше двух очков», Нетрудно заметить, что событие A произойдет, если произойдет по крайней мере одно из событий . В этом случае говорят, что событию А благоприятствуют события . Очевидно, что событию В
благоприятствуют события и .

То элементарное событие, при котором интересующее нас событие наступит, называется благоприятствующим этому событию.

При бросании игральной кости имеем 6 элементарных событий, из них 3 благоприятствуют событию А. Вероятность события А считаем равной . Аналогично вероятность события В равна Кратко это записывается так:

Определение:

Вероятностью P(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу n равновозможных событий:

Это определение носит название классического определения вероятности.

Из (1) следует, что

т. е. вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Если

Итак, вероятность любого события A удовлетворяет неравенствам

Рассмотрим ряд примеров непосредственного вычисления вероятностей.

Пример:

В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?

Решение:

Имеем и поэтому

Пример:

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)?

Решение:

Здесь число элементарных событий

Число случаев, благоприятствующих событию А:

Следовательно,

Пример:

В урне а белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимают шаров. Найти вероятность того, что среди них будет белых, а следовательно, черных .

Решение:

Число элементарных событий Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию А — среди взятых шаров будет. белых и черных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать белых шаров из а, равно , а число способов, которыми можно к ним «добавить» черных шаров, равно . Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией черных, поэтому Следовательно,

Пример:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение:

Нетрудно заметить сходство между этой и предыдущей задачами. Здесь в качестве «урны» фигурирует партия деталей, среди которых 7 стандартных («белые шары») и 5 нестандартных («черные шары»), а роль вынимаемых шаров играет контрольная партия из шести деталей. Поэтому искомую вероятность находим по формуле (2) для случая ,

Пример:

Десять различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение:

Представим себе, что три определенные книги связаны вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс остальные 7 книг), т. е. Внутри связки 3 книги можно переставлять раз. При этом каждая комбинация внутри
связки может сочетаться с каждой из комбинацией. Поэтому число m благоприятствующих случаев равно
Число n возможных случаев, очевидно, равно . Таким образом, искомая вероятность

Пример:

Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди которых 5 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу (событие A)? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую (событие B)?

Решение:

Очевидно, что

Событию А благоприятствуют столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд. Поэтому обе группы могут быть образованы способами. Следовательно, и

Рассуждая аналогично, находим, что число событий, благоприятствующих событию В, равно

Следовательно,

Операции над вероятностями

Сложение

Теорема:

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Доказательство:

Пусть n — общее число равновозможных несовместных элементарных событий испытания, в результате которого может произвести одно из событий A или В, — число элементарных событий, благоприятствующих событию A, — число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Тогда, так как события A и В несовместны, имеем:

что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 вытекают некоторые следствия.

Следствие 1. Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Это следствие получается из теоремы 1 применением метода математической индукции.

Следствие 2. Если события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Предлагаем читателю самостоятельно доказать это следствие.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

Это непосредственно следует из формулы (3), так как противоположные события образуют полную группу»

Пример:

Военный летчик получил задание уничтожить два рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета. осталась лишь одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,225, во второй — 0,325. В результате-детонации любое
попадание взрывает оба склада. Какова вероятность того, что склады будут уничтожены?

Решение:

События А —«попадание в первый склад» и В — «попадание во второй склад» несовместны, поэтому вероятность попадания хотя бы в один из складов

Пример:

На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В — 0,1. Найти
вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение:

События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В»* и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Пример:

Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность q того, что день будет облачным.

Решение:

События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

Теорема:

Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой

т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления).

Доказательство:

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А, — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим, что среди m + элементарных событий содержится l таких, которые благоприятствуют как событию A, так и
событию В. Тогда, если n — общее число равновозможных элементарных событий,

Так как событие A + В состоит в том, что произошло или событие A, или событие В, или и то и другое, то ему благоприятствуют элементарных событий. Поэтому

или

что и требовалось доказать.

Пример:

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение:

Обозначим события:

А — «выпадение шести очков при бросании первой
игральной кости»;

В — «выпадение шести очков при бросании второй
игральной кости».

Так как события А и В совместны, то

Но

поэтому

Умножение

Определение:

Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Пример:

Игральная кость брошена два раза. Вероятность появления трех очков в первом испытании (событие А) не зависит от появления или непоявления трех очков во втором испытании (событие В). Аналогично, вероятность появления трех очков во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Следовательно, события А и В — независимые.

Теорема:

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

Доказательство:

Пусть — число равновозможных элементарных событий испытания, в результате которого событие А может произойти или не произойти; —число элементарных событий, благоприятствующих событию , — число равновозможных элементарных событий испытания, в результате
которого может произойти событие В, — число элементарных событий, благоприятствующих событию

Нетрудно заметить, что общее число элементарных событий испытания, в результате которого может произойти (или не произойти) событие AВ, равно Так как события А и В независимы, то число элементарных событий, благоприятствующих событию AВ, равно . Поэтому

что и требовалось доказать.

Если имеем n попарно независимых событий , то можно доказать, что

Пример:

Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Решение:

Обозначим события:

A — «попадание в цель первым стрелком»,
В — «попадание в цель вторым стрелком».
Так как события A и В независимы, то

Пример:

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия (событие A) равна , из второго орудия (событие В) равна . Найти вероятность попадания в цель хотя бы одним из орудий (событие A + В) при одновременной стрельбе из обоих орудий.

Решение:

Так как вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, то события А и В независимы. Но

Поэтому искомая вероятность

Определение:

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.

Пример:

В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от
результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то если же событие В не произошло, то Следовательно, события А и В — зависимые.

Определение:

Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается .

Пример:

В урне а белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Решение:

Обозначим события:

A — «первый шар черный»;
В — «второй шар черный».

Если произошло событие A, то в урне осталось всего шаров, из них b — 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие A, есть:

Для зависимых событий справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема:

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

В случае n произвольных событий справедлива формула

где — вероятность события , вычисленная при условии, что произошли события

Пример:

В учебных мастерских техникума изготовляются детали на трех станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на первом станке.

Решение:

Обозначим события:

A —«деталь изготовлена на первом станке»,
В — «деталь годная».

Имеем: По первой формуле (8) находим:

Пример:

В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие ), вторая деталь — второго сорта (событие ) и третья деталь — третьего сорта (событие ).

Решение:

Очевидно, что

По формуле (8) находим

Формула полной вероятности

Операции над вероятностями представляют собой правила, служащие для вычисления вероятностей случайных событий через вероятности элементарных событий. При решении многих задач оказывается полезным одно следствие из этих правил, известное под
названием формулы полной вероятности. Выведем эту формулу.

Пусть событие А может произойти только с одним из событий образующих полную группу несовместных равновозможных событий. Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

или

В самом деле, так как событие A может произойти только с одним из событий образующих полную группу, то

Из несовместности событий следует несовместность событий . Поэтому

Применив к каждому слагаемому последнего равенства правило умножения вероятностей , получим формулу (1).

Пример:

В учебных мастерских на станках a, b и с изготовляют соответственно 25, 35 и 40% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 15, 12 и 6%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

Решение:

Обозначим события:

— «наугад взятая деталь дефектна»,
— «деталь изготовлена на станке а»,
— «деталь изготовлена на станке 6»,
— «деталь изготовлена на станке с».

Очевидно, что события образуют полную группу и Кроме того, числа являются условными вероятностями события А при выполнении событий (гипотез) соответственно, т. е.

По формуле (1) находим

Пример:

По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле, при втором , при третьем . При одном попадании вероятность поражения цели равна 0,4, при двух — 0,7, при трех—1,0. Найти
вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Решение:

Обозначим события:

— «поражение цели при трех выстрелах»,
— «одно попадание»,
— «два попадания»,
— «три попадания»,
— «ни одного попадания».

Согласно формуле полной вероятности

Из условия задачи имеем:

Вычислим вероятности событий Подчеркнем, что если — соответственно вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах, то — соответственно вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно,

Подставив полученные значения вероятностей в равенство (2), найдем

С помощью формулы полной вероятности легко можно доказать так называемую формулу Бейеса

В самом деле, по формулам (8) § 5 имеем: Заменив в последнем равенстве его значением из формулы (1), получаем формулу Бейеса (3).

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятые до испытания, по результатам уже произведенного испытания.

Пример:

Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй— 10 белых я 5 черных, в третьей—15 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Решение:

Введем обозначения: событие А — «появление белого шара»,
гипотезы:

— «выбор первой урны»,
— «выбор второй урны»,
— «выбор третьей урны»;

имеем:

Искомую вероятность находим по формуле (3):

Пример:

Двадцать учащихся, уезжающих в студенческий строительный отряд, пришли сдавать экзамен по математике досрочно. Шестеро из них подготовились отлично, восемь хорошо, четыре удовлетворительно, а двое совсем не подготовились — понадеялись, что все помнят. В билетах 50 вопросов. Отлично
подготовившиеся учащиеся могут ответить на все 50 вопросов, хорошо — на 40, удовлетворительно — на 30 и не подготовившиеся — на 10 вопросов. Приглашенный учащийся ответил правильно на все три заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что он отлично
подготовился к экзамену.

Решение:

Обозначим события:

— «приглашен учащийся, подготовившийся отлично»,
— «приглашен учащийся, подготовившийся хорошо»,
— «приглашен учащийся, подготовившийся удовлетворительно»,
— «приглашен учащийся, не подготовившийся к экзамену»,
— «приглашенный учащийся ответил на все три вопроса».

Имеем:

Находим условные вероятности:

Согласно условию задачи требуется найти Применив формулу Бейеса, получим:

Искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому для уточнения оценки желательно предложить учащемуся дополнительные вопросы.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие A, равна p, а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна . Требуется найти вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз. Искомую вероятность обозначим .

Событие, состоящее в том, что событие А происходит при каждом из m первых испытаний и не происходит при остальных n — m испытаниях, можно записать в виде

Так как все n испытаний, по условию, независимы, то можно применить правило вычисления вероятности произведения независимых событий; получим

Событие A может произойти m раз при n испытаниях, но jipn этом может получиться и другая последовательность чередований событий A и , однако каждый раз получим одну и ту же вероятность . Очевидно, что число чередований событий A и равно числу сочетании из, n элементов по m, поэтому по теореме сложения вероятностей для несовместных событий искомая вероятность вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример:

В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Решение:

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна а вероятность непоявления белого шара равна По формуле Бернулли находим

Пример:

Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 25 суток расход
электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.

Решение:

Так как вероятность нормального расхода электроэнергии на протяжении каждых из 25 суток постоянна и равна , то вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также
постоянна и равна .

По формуле Бернулли находим искомую вероятность:

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Закон распределения

Определение:

Случайной величиной называется переменная X, которая в результате испытания может принять одно и только одно значение, не известное заранее и зависящее от исхода испытания.

Пример:

При бросании игральной кости случайной является величина X — число очков, которое выпадет на верхней грани. Возможными значениями величины X служат числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример:

Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина X, возможными значениями которой являются числа 0, 1, 2, 3, ,…., 100.

Определение:

Величина X называется дискретной случайной величиной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел и если каждое соотношение является элементарным случайным событием и имеет определенную вероятность .

Мы будем рассматривать дискретные случайные величины лишь с конечными множествами значений.

Определение:

Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями .

Закон распределения (как и всякую функцию) можно задать таблично, аналитически и графически. Если случайная величина X может принимать лишь конечное число различных значений , то элементарные события образуют полную группу и поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Закон распределения такой величины может быть представлен в виде таблицы:

Вот, например, как выглядит таблица распределения вероятностей дискретной случайной величины X — числа очков, выпадающего при бросании правильной игральной кости:

Математическое ожидание

Определение:

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины X зная закон ее распределения;

Решение:

По формуле (1) находим

Пусть при проведений n независимых испытаний дискретная случайная величина X может принимать раз значение раз значение раз значение . Тогда сумма всех значений величины X равна

Найдем среднее арифметическое значений, принимаемых величиной X:

поэтому

Таким образом, , т. е. математическое ожидание дискретной случайной величины X равно среднему арифметическому полученных значений этой величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1) Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной:

2) Математическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых:

3) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:

Докажем, например, второе свойство для случая случайных величин X и Y, заданных следующими законами распределения:

Составим возможные значения величины X+Y, для чего к каждому возможному значению величины X прибавим каждое возможное значение величины Y:

Обозначим вероятности этих значений соответственно через Согласно определению математического ожидания имеем

или

Так как событие, состоящее в том, что X принимает значение (вероятность этого события равна ) влечет за собой событие, состоящее в том, что X + Y примет значение или значение (вероятность этого события по теореме сложения равна ) и обратно, то .

Рассуждая аналогично, найдем

Таким образом,

Но Поэтому

Доказательство остальных свойств аналогично.

Пример:

Найти математическое ожидание случайных величин
X и Y, зная законы их распределения:

Решение:

По формуле (1) имеем:

Мы получили любопытный результат: законы распределения величин X и Y разные, а их математические ожидания одинаковы.

Из рис. 120 видно, что значения величины Y сосредоточены около математического ожидания M(Y)

(рис. 120, б), а значения величины X разбросаны (рассеяны) подальше от математического ожидания M(X) (рис. 120, а). Основной числовой характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины X служит дисперсия D (X), которая определяется по формуле

Величина называется средним квадратическим отклонением случайной величины X.

Преобразуем формулу (2) следующим образом:

Здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и тем, что M(X) — величина постоянная. Таким образом,

По формуле (3) вычислять значение дисперсии проще, чем по формуле (2). Пример 5 Дискретная случайная величина распределена по закону:

Найти D(X).

Решение. Сначала находим

а затем

По формуле (3) имеем:

Закон больших чисел

Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний суммарное поведение случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Весьма важным при этом является знание условий возникновения закономерностей случайной величины. Эти условия составляют содержание ряда теорем, получивших общее название закона больших чисел. Впервые этот закон (в простейшей его форме) был сформулирован Яковом Бернулли в виде теоремы, устанавливающей
связь между вероятностью случайного события и его относительной частотой.

Относительной частотой W(A) случайного события A называют отношение числа испытаний, в результате которых событие произошло, к общему числу n проведенных испытаний:

Оказывается, что при многократном повторении испытания относительная частота случайного события принимает значения, близкие к вероятности того, что оно произошло в результате одного испытания. Например, знаменитый статистик К. Пирсон бросил монету 24000 раз и получил при этом 12012 гербов, что дает
относительную частоту, очень близкую к вероятности, равной 1/2, появления герба в одном испытании.

Теорема Бернулли:

С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний относительная частота случайного события как угодно мало отличается от его вероятности при отдельном испытании.

Наиболее общим законом больших чисел является Теорема П. Л. Чебышева, которую, как и теорему Бернулли, мы приводим без доказательства, пояснив лишь ее сущность.

Теорема Чебышева:

Если — независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то последовательность сходится по вероятности к нулю при , т. е.

или

где

Отметим, что если все случайные величины имеют
одно и то же математическое ожидание а:

то математическое ожидание среднего арифметического также совпадает с а:

В этом случае соотношение (1) принимает вид (2)

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями утрачивает характер случайной величины.

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая массовые закономерности в случайных явлениях независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления.

Случайные события

В теории вероятностей событием А называют все то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий G. Событие наступает в результате реализации различных процессов, которые называют опытами (экспериментами). Примеры событий:

— появление орла при бросании монеты;

— выпадение четного числа очков при игре в кости;

— выход из строя компьютера после пяти часов работы;

— замерзание воды при сильном морозе;

— в перечне месяцев года после января следует-апрель.

Все эти события отличаются в первую очередь тем, что возможность их появления различна. Одно событие () происходит всегда, другое () никогда не наступает, остальные могут произойти или не произойти в результате проведения одного опыта.

Если при реализации условий G событие А всегда происходит, то оно называется достоверным. Если же это событие при заданных условиях никогда не наступает, то его называют невозможным. Пример. При бросании одной игральной кости невозможно выпадение целого числа, большего шести. В то же время гарантировано выпадение натурального числа, меньшего семи.

Если в результате опыта при реализации определенного комплекса условий данное событие может наступить или не наступить, то оно называется случайным. Условия проведения такого опыта часто называют случайным опытом (экспериментом). Очевидно, что после бросания игральной кости число три может выпасть, но оно может и не выпасть. Через пять часов после включения компьютер может быть исправным, но может и выйти из строя. Стреляя в мишень можно попасть с первого выстрела, можно с третьего, но можно не попасть и никогда.

Элементарными событиями называют события, не разложимые на более простые. Пусть при данных условиях проводится случайный опыт, в результате которого обязательно наступает одно и только одно из возможных элементарных событий. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий —исходов образует пространство из шести элементарных исходов : выпало одно очко, выпало два очка и т. д.

Наряду с элементарными рассматриваются так называемые составные или разложимые события. Событие В называется составным, если можно указать, по меньшей мере, два таких элементарных события , и что из существования каждого из них в отдельности следует существование события В. Этот факт записывается в виде: Используя введенную ранее терминологию, случайным событием А называют любое подмножество S пространства элементарных событий Содержательно это означает, что появление любого из элементарных событий, входящих в S, влечет за собой появление события А.

Например, при бросании игральной кости составное событие А = {число очков четное} можно записать так: А = {2,4,6}, подразумевая при этом, если выпадет число 2 или 4, или 6, то наступит событие А.

Таким образом, случайным событием А можно называть такой элемент подмножества всех элементарных событий F (А

про которое мы можем сказать, наступило это событие в результате опыта или нет.

Правила действий над событиями

Объединением (суммой) событий называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается одним из следующих способов

Пример:

В урне 6 шаров, которые отличаются лишь номером Событие — наугад выбрать шар под номером i. Событие состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т. е. с нечетным номером.

Пересечением (произведением) событий называется событие В, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий. Обозначается пересечение событий так

Пример:

В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая — черных с такими же номерами. Пусть А — «вынуть белый шар», В — «вынуть шар с нечетным номером». Тогда событие означает « выбрать белый шар с нечетным номером».

Как следует из определения, пересечение событий не изменится, если поменять местами сомножители:

Разностью событий А и В (обозначается А — В) называется событие, заключающееся в наступлении события А и одновременном ненаступлении события В. Для предыдущего примера событие

означает «выбрать белый шар с четным номером».

Дополнение (противоположное к А) — это событие , состоящее в ненаступлении события А. Так, если А — «вынуть белый шар», то — «вынуть не белый шар».

Достоверным можно считать событие состоящее из всех элементарных событий, т. е.

Невозможным же событием считаем пустое событие т. е. событие, противоположное по отношению к достоверному.

События называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно. Это означает, что среди событий нельзя найти такую пару событий , в которой обнаружилось бы хотя бы по одному общему элементарному событию. Формально несовместность событий определяется следующим образом

Например, при однократном бросании игральной кости выпадение четного и нечетного числа — несовместные события. Несовместными являются также промах и попадание при одном выстреле по мишени.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие встречается чаще, чем другое. Пример: выпадение герба или решки при бросании монеты.

Совокупность событий называется полной группой несовместных событий, если

Примером полной группы несовместных событий является пространство элементарных событий. Другим характерным примером является пара двух противоположных событий (А, ). Например, выпадение герба и цифры в результате подбрасывания монеты, работоспособность компьютера и его неисправность в данный момент времени, попадание и не попадание в мишень при одном выстреле и т. д.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет шансы появления другого. Напри-

мер, одновременно бросаются две игральные кости. Появление на одной из них трех очков ни коим образом не зависит от того,-какое количество очков появилось на верхней грани другой кости.

Если появление одного события влияет на появление другого, то такие события называются зависимыми. Рассмотрим пример. В урне два красных и два черных шара. Вынимается один шар, записывается его цвет, а шар откладывается в сторону, затем вынимается второй шар. Событие А — первый вынутый шар красный. Событие В — вынутый второй шар, тоже красный. Очевидно, что эти события зависимы: если первым вынули красный шар, то шанс вынуть красный шар и во втором опыте (событие А • В) будет меньше, чем, если бы первым был вынут черный шар (событие • В).

Понятие вероятности

Аксиоматический подход. Аксиоматическое определение вероятности.

Числовая функция называется вероятностью события А, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1.Вероятность есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей:

2.Вероятность достоверного события равна единице;

3.Вероятность невозможного события равна нулю;

4.Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Тройка где — множество элементарных событий, F — допустимое множество составных событий (множество подмножеств ), Р — множество вероятностей случайных событий, называется вероятностным пространством.

Классическая вероятность

Классический подход. Классическая вероятность. Рассмотрим полную группу из n несовместных равновозможных событий. Примерами таких групп являются число очков при бросании игральных костей, число попаданий в мишень при выстрелах, проводимых в одинаковых условиях, появление шара с за-

данным номером при наличии в урне нескольких неразличимых на ощупь шаров.

Пусть среди всех n возможных исходов опыта, только m исходов, образующих m-подмножество в полной группе, влекут за собой наступление события А. Случаи, входящие в m подмножество будем называть благоприятными. Например, в урне два белых, три черных и пять красных одинаковых на ощупь шаров. Будем считать благоприятным выбор белого шара, таких случаев два. Появление же черного или красного шара — случай неблагоприятный, таких случаев восемь.

Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А случаев к общему числу исходов опыта:

Эта формула называется классической формулой для вычисления вероятностей. Схема применения классической формулы следующая:

1.Удостоверяются в том, что возможные исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий;

2.Выбирается интересующее нас случайное событие А;

3.Вычисляется число возможных исходов (n) и число благоприятных исходов (m);

4.Вычисляется искомая вероятность .

Априорно-частотный подход. Статистическая вероятность.

Рассмотрим пример: пусть в урне 10 одинаковых по размеру шаров, из них: два белых, три черных и пять красных. Случайный опыт заключается в том, что вынимается наугад один шар. При этом шар может оказаться белым или черным, или красным. Будем в каждом опыте вытаскивать шар, фиксировать его цвет, опускать вынутый шар обратно в урну и тщательно перемешивать там шары. В результате каждого проведенного опыта можно вытащить шар любого из трех возможных цветов ( -вынут белый шар, — вынут черный шар, — красный шар).

Пусть проведено n рассматриваемых опытов, в результате которых белый шар вынимался раз, черный а красный —

раз. Частота появления каждого из возможных событий есть отношение

В общем случае частотой появления события А в n опытах называется отношение числа появлений этого события (m) к числу проведенных опытов n

Если проводить такой опыт значительное число раз (n — велико), то окажется, что примерно в половине случаев вынули красный шар, в двадцати процентах случаев — белый, а в тридцати — черный. По мере увеличения числа проведенных опытов уверенность в соотношении шансов возможных событий соответственно 5: 2 : 3 будет подтверждаться со все большей точностью. Поэтому статистическая вероятность вычисляется по формуле

Введенная таким образом вероятность события носит название статистической или априорно-частотной. Она фиксирует связь между частотой события, как непосредственно измеряемой величиной, и вероятностью, являясь формальной характеристикой случайного события.

Непосредственной проверкой можно установить, что и классическая вероятность, и статистическая события удовлетворяет сформулированным выше аксиомам.

Замечание:

При использовании классического определения вероятности используют формулы комбинаторики.

Задача:

Имеется колода из 36 карт. Наугад вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно один валет.

Решение:

В выбранных трех картах может быть три валета, два, один или ни одного валета. Всего в колоде четыре валета.

Поэтому реализовать благоприятный случай А — выбрать один из них (любой!) можно различными способами, две другие карты (не валеты) можно выбрать различными способами. Следовательно, (здесь логическое «и»). Общее же число исходов есть число сочетаний из 36 по 4, т. е. Искомая вероятность вычисляется по формуле

Задача:

Замок имеет четырехзначный цифровой шифр. Наугад выбираются четыре цифры. Какова вероятность открыть при этом замок, если известно, что в коде все цифры различные?

Решение:

Поскольку в шифре замка важен не только набор цифр, но и их порядок, то число благоприятных событий равно

1.Общее же число возможных упорядоченных комбинаций из четырех различных цифр определяется по формуле Таким образом, искомая вероятность

Геометрические вероятности

Пусть пространство элементарных событий является несчетным, но выполняются следующие условия:

1.Любые два элементарных события несовместны;

2.Все события являются равновозможными.

В таких опытах вероятности некоторых событий можно вычислить геометрически как отношение длин отрезков, площадей фигур, объемов соответствующих областей

здесь — «благоприятная» площадь (длина, объем), а S — общая площадь (длина, объем).

Задача:

Поезда в метро идут с интервалом в три минуты. Чему равна вероятность того, что пассажир будет ждать поезда более двух минут?

Решение:

Считаем, что моменты появления пассажира в интервале между поездами равновероятны. Если время интервала принять за три единицы длины то время ожидания «более двух минут» равно одной единице длины (А), т. к. благоприятствующее событие (А — прождать более двух минут) занимает одну минуту в трехминутном интервале движения поездов. Следовательно, искомая вероятность равна отношению двух длин временных интервалов

Теорема умножения вероятностей

Пусть рассматриваются два события А и В, для которых известны вероятности их появления Р(А) и Р(В). В общем случае вероятность произведения двух событий Р(АВ) равна произведению вероятности появления события А на условную вероятность Р(В|А) события В, т. е. вероятность, вычисленную при условии, что событие А имело место

Теорему можно распространить на произведение n событий

Так как то

Для независимых событий, когда

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Критерий независимости двух событий

События А и В называются независимыми, если

Несколько событий называются независимыми, если независимы любые два из них, и каждое событие, и все произведения

остальных. Вероятность произведения п независимых событий

Задача:

Механизм собирается из трех одинаковых дета-лей и считается неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандартных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработоспособным. Решение. Обозначим искомое событие через А, а выбор первой нестандартной детали через второй — через и третьей -через . Событие А произойдет, если произойдет и событие и событие , и событие . Однако события зависимы и, если вероятность выбрать первую нестандартную деталь равна 5/15, то вероятность выбрать и вторую нестандартную деталь равна 4/14, и третью нестандартную деталь равна 3/13. Следовательно, используя формулу (4.2), имеем

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих же событий:

Если события несовместны, то следовательно,

Задача:

Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а во втором — 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

Решение:

Обозначим попадание при первом выстреле как событие при втором — как событие . Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попадание: или только при первом выстреле, или только при втором, или, и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требуется определить вероятность суммы двух совместных событий И

Поскольку события независимы, то

Поэтому

Вероятность суммы трех событий

Если события образуют полную группу, то сумма вероятностей событий равна 1.

В частности, вероятность суммы противоположных событий равна единице, т. е.

Вероятность «хотя бы одного события»

Если события независимы в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из событий вычисляется по формуле

Пример:

Ремонтное ателье обслуживает пять клиентов. Вероятность вызова на обслуживание от каждого клиента равна 0,2. Какова вероятность того, что в данный момент ателье занято обслуживанием клиентов?

Решение:

Очевидно, что событие А «быть занятым обслуживанием клиентов» есть сумма событий «быть занятым обслуживанием i-го клиента». Противоположное событие «не быть занятым обслуживанием клиентов» определяется так: Следовательно, можно применить формулу (4.4).

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может произойти с какой-то вероятностью только как следствие каждого из событий образующих полную группу несовместных событий. Такие события называются гипотезами. Заданы вероятности гипотез Р() и условные вероятности наступления события А с каждой из гипотез Р(А|). Вероятность наступления события А дается формулой полной вероятности

Пример:

Имеется три одинаковых урны. В первой два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный шар, в третьей урне два белых и два черных шара. Из выбранной наугад урны выбирается один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение:

Гипотезой будем считать выбор i-ой урны. Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероятность выбрать i-ую урну есть Зная состав шаров в каждой из урн, легко определить вероятности вынуть белый шар из каждой урны: Подставляя найденные значения, имеем:

Формула апостериорной вероятности

Рассмотрим ситуацию в некотором смысле противоположную предыдущей. Пусть событие А уже произошло, Требуется определить вероятность того, что событие произошло именно совместно с гипотезой . Ответ на подобный вопрос дает формула апостериорной вероятности или формула Байеса

Задача:

Пусть сохраняются условия предыдущей задачи, но из урны уже вынут белый шар. Требуется определить вероятность, что шар вынут из первой урны.

Решение:

Поскольку все вероятности, необходимые для применения формулы найдены, то имеем

Схема опытов Бернулли

Если проводится п одинаковых и независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р, то говорят, что реализуется схема опытов Бернулли.

Пример:

Определить вероятность того, что в схеме опытов Бернулли событие А появится ровно m раз

Решение:

Пусть событие В заключается в том, что событие А в п опытах происходит подряд m раз, а затем (m — n) раз происходит событие т. е.

Вероятность такого события В равна

Поскольку в задаче не требуется учитывать порядок следования этих событий, то необходимо учесть все события типа В. Событий же подобных B и отличающихся лишь порядком наступления событий А и равно числу сочетаний из n по m. Следовательно, искомая формула, носящая имя Бернулли, имеет вид

Пример:

Вероятность прибытия англоязычной группы туристическое агентство оценивает величиной 0,6. Прибывает шесть групп. Найти вероятность того, что: а) из прибывших ровно четыре — англоговорящие группы; б) прибудет не более двух таких групп.

Решение:

Ответ на вопрос а) получаем подстановкой данных в формулу (4.7)

Чтобы получить ответ на вопрос б), необходимо вычислить сумму вероятностей прибытия двух, одной или ни одной группы.

Случайные величины

Определение случайной величины:

Величина, которая в результате опыта может принимать одно и только одно определенное значение, до опыта не известное и зависящее от причин, которые нельзя учесть заранее, называется случайной величиной. Названия случайных величин обычно обозначают заглавными буквами: X, Y, Z,…, а их возможные значения — прописными буквами: х, у, z,….

Рассмотрим примеры:

1.Проводятся выборы в представительные органы власти. Случайным событием является факт выбора (или не выбора) конкретного кандидата. При этом несомненный интерес представляет количество поданных за него голосов — случайная величина, количественно характеризующая результаты выборов.

2.Исследуется надежность нового прибора. Случайным событием является факт прохождения тестовых испытаний (удовлетворяет — не удовлетворяет оговоренному уровню требований). Случайной величиной может выступать процент приборов, прошедших испытание. В рамках испытаний может рассматриваться та или иная группа характеристик. Например, факты безотказной работы «не менее заданного срока» могут измеряться конкретным параметром — временем безотказной работы.

3.Проводится социальное обследование, в котором изучается социальный портрет жителей данного города. Случайно выбранному жителю задаются вопросы о его социальной принадлежности, профессии, возрасте, семейном положении, количестве детей, обеспеченности жильем и т. п. Случайным событием является факт опроса того или иного жителя. Количественным же результатом опроса выступает вектор значений, каждый компонент которого есть количественная мера соответствующей характеристики опрашиваемого.

Эти и многие другие примеры приводят к выводу, что случайные величины обычно имеют конкретный физический смысл и могут быть как скалярными, так и векторными.

Формальное определение: случайной величиной называется измеримая функция отображающая пространство элементарных событий на множество действительных чисел R.

Если множество конечно или счетно, то случайная величина называется дискретной. Примеры дискретной величины: количество уголовных дел, рассматриваемых данным судом за определенное время; количество клиентов; количество диалектов в данном языке; количество избирателей округа, которые примут участие в предстоящих выборах, количество телевизоров, которые необходимо проверить до выявления первого неисправного и т. п. Итак, дискретной считают такую случайную величину, возможные значения которой можно пронумеровать.

Непрерывной называют такую случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой оси, т. е. множество имеет мощность континуума. Например, время выхода из строя работающего компьютера, ошибка указателя скорости автомобиля, вес выбранного яблока и т. п.

Законы распределения случайных величин

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, называется законом распределения этой случайной величины. Закон распределения — исчерпывающая характеристика случайной величины, и знание закона распределения позволяет решить практически любую задачу теории вероятности, связанную с данной случайной величиной. Знание закона распределения позволяет заранее (до опыта!).установить, какое значение случайной величины будет появляться чаще, а какое реже и на сколько.

Для дискретной случайной величины законом распределения выступает правило сопоставления каждому возможному значению случайной величины X вероятности его появления Последнее выражение читается так: «вероятность того, что случайная величина X примет значение «. Для дискретной случайной, при небольшом числе ее возможных значе-

ний величины закон распределения проще всего задавать в виде таблицы

Вернемся к примеру предыдущей главы. Вероятность прибытия одной англоязычной группы туристов оценивается величиной В случае прибытия шести групп возможно прибытие различного числа таких групп (от 0 до 6). Можно предсказать вероятность наступления любого из исходов. Так вероятность прибытия двух англоязычных групп равна в два раза меньше, чем прибытие трех таких групп Следовательно, формула

есть закон распределения случайной величины m: «число англоговорящих туристических групп при ожидаемом прибытии шести, каждая из которых прибывает из неизвестной заранее страны».

Закон распределения для непрерывной случайной величины

X есть всякое соотношение, сопоставляющее с каждой измеримой областью ее возможных значений соответствующую вероятность Например, если среднее время безотказной работы компьютеров данного типа равна s часов, то вероятность проработать без отказа не менее t часов, т. е. в некоторых случаях может быть выражена экспоненциальным законом распределения

Функция распределения

Существует много различных форм законов распределения. Наиболее универсальной из форм является функция распределения.

Функцией распределения F(x) или интегральным законом распределения случайной величины X называется функция, за-

дающая вероятность выполнения неравенства

Функция распределения определена для случайных величин любого типа: дискретных и непрерывных. Определение функции распределения имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Если рассматривать значение случайной величины X как случайную точку на числовой оси, то F(х) есть вероятность того, что случайная точка попадет левее выбранной величины х (рис. 4.1).

Свойства функции распределения непосредственно вытекают из ее определения:

1)F(х) — неотрицательная функция, значения которой заключены между 0 и 1, т. е.

4)F(x) — неубывающая функция своего аргумента, т. е. если то

Пример:

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Производится 4 выстрела. Какова вероятность того, что будет менее двух попаданий?

Решение:

Поиск ответа задачи заключается в определении значения функции распределения для значения аргумента Действительно, F(2) есть вероятность того, что произойдет менее двух попаданий, т. е. ни одного или одно. Следовательно,

Здесь определена по формуле (4.7).

Пример:

Время безотказной работы прибора имеет функцию распределения

Вероятность того, что прибор безотказно проработает не менее 30 и не более 40 часов находится следующим образом

Введение функции распределения позволяет дать точное определение непрерывной случайной величины: случайная величина. называется непрерывной, если ее функция распределения -непрерывная функция с кусочно-непрерывной производной.

Функция плотности вероятности

Непрерывную случайную величину удобнее описывать законом распределения, который называют функцией плотности вероятности или дифференциальным законом. Пусть X — непрерывная случайная величина, имеющая функцию распределения F(х). Если эта функция дифференцируема, то можно рассматривать ее производную

Функция f(х) — производная от функции распределения называется плотностью вероятности случайной величины X или функцией распределения вероятностей.

Из определения плотности вероятности (4.9) (см. свойство 10 определенного интеграла) и принимая во внимание (4.8), следует, что

имеем

Следовательно, если известна плотность распределения непрерывной случайной величины, то можно вычислить вероят-

ность попадания этой случайной величины в любой заданный промежуток ее возможных значений.

Например: Следовательно, из (4.10),

Основные свойства функции плотности вероятности:

1.Функция плотности вероятности — неотрицательная функция

2.Интеграл в бесконечных пределах от функции плотности вероятности (если она задана на всей числовой оси) равен 1. Действительно, как частный случай формулы (4.10) имеем

Замечание:

Если случайная величина задана только на отрезке то в (4.11) пределы интегрирования изменяются на

Свойство (4.11) называют условием нормировки. Общий вид функции плотности вероятности представлен на рис. 4.2. Очевидно, что вероятность попадания в заданный промежуток (а, b) численно равна площади криволинейной трапеции с основанием (а, b).

Числовые характеристики случайных величин

Законы распределения являются наиболее полными характеристиками случайных величин, но на практике часто затруднительно, а иногда и просто излишне, определять законы распределения. При решении многих задач достаточно знание лишь основных суммарных характеристик случайных величин. К таким характеристикам в первую очередь относятся: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание

Математическое ожидание можно рассматривать как среднее вероятностное значение случайной величины. Рассмотрим пример: бросают одновременно три игральные кости. Случайная величина X — сумма выпавших очков (X меняется от 3 до 18). Легко проверить, что 18 очков будут в среднем выпадать реже, чем 15 и значительно реже, чем 12 очков. Если усреднить с некоторым «весом», учитывающим частоту появления, все возможные значения величины X, то получим число, называемое ее математическим ожиданием и являющееся «центром» распределения возможных значений рассматриваемой случайной величины.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание есть величина

Итак, математическим ожиданием (или средним) называют характеристику положения случайной величины X, которая равна средневзвешенному возможных ее значений. К формуле (4.13) относится примечание, сделанное к (4.11).

Следует подчеркнуть, что математическое ожидание есть число (неслучайная величина) — центр группирования значений случайной величины или центр рассеивания.

Пример:

Если плотность вероятности времени безотказной работы прибора есть функция то математическое ожидание, т. е. среднее время безотказной работы, есть величина

Заметим, что размерность математического ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины.

Пример:

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Производится 4 выстрела. Найти математическое ожидание для числа попаданий. Согласно формуле (4.12), имеем

Полученное число означает, что, проводя много серий по четыре выстрела в каждой, в среднем будем получать 1,6 попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. В каждой конкретной серии из четырех выстрелов будет ровно или 0, или 1, …, или 4 попадания, но в среднем за много серий их будет 1,6. Этот пример показывает, что математическое ожидание не всегда может быть равно одному из возможных значений случайной величины.

Дисперсия

Рассмотрим две случайные величины, плотности вероятности которых представлены на рис. 4.3. Они имеют одинаковое математическое ожидание, однако значительные отклонения от центра рассеивания у первой случайной величины наблюдаются чаще, чем у второй. В этом случае говорят, что первая случайная величина имеет большее рассеивание или размытость, чем вторая.

В качестве меры рассеивания значений случайной величины используется дисперсия. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

Для непрерывной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле

Из приведенных формул следует, что размерность дисперсии есть размерность случайной величины в квадрате. Для практических нужд это не всегда удобно. В этой связи чаще используется так называемое среднеквадратическое отклонение, имеющее общепринятое обозначение По определению,

Очевидно, что для распределений, изображенных на рис. 4.3, выполняется неравенство

В качестве примера найдем дисперсию и среднеквадратическое отклонение для задачи: производится 4 выстрела, причем вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Стандартные (наиболее распространенные) законы распределения вероятностей

В рамках теории вероятностей, на основании обобщения знаний о случайных явлениях в природе и человеческом обществе, построен ряд моделей распределения вероятностей, которые в некоторых ситуациях удовлетворительно описывают исследуемые закономерности. Для каждой модели (закона распределения) установлены и условия ее применимости. Если при рассмотрении некоторого явления исследователь считает, что имеющие место условия совпадают с условиями применимости того или иного закона, то можно воспользоваться соответ-

ствующим законом распределения и всеми знаниями о нем накопленными в рамках теории вероятности.

Биномиальное распределение

Пусть реализуется схема опытов Бернулли: проводится п одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с постоянной вероятностью р. Число появлений события А в этих n опытах есть дискретная случайная величина X, возможные значения которой: 0; 1; 2;…; m;..; n.

Законом распределения этой случайной величины является формула, определяющая вероятность того, что в конкретной серии из n опытов событие А появляется ровно m раз. Такая вероятность, а, следовательно, закон распределения, задается формулой Бернулли

Числовые характеристики случайной величины X, распределенной по биномиальному закону:

Пример:

Автомобиль, подъезжая к перекрестку, может продолжить движение по любой из трех дорог: А, В или С с одинаковой вероятностью. К перекрестку подъезжают пять автомобилей. Найти среднее число автомашин, которое поедет по дороге А, и вероятность того, что по дороге В поедет три автомобиля.

Решение:

Число автомашин, проезжающих по каждой из дорог, является случайной величиной. Если предположить, что все подъезжающие к перекрестку автомобили совершают поездку независимо друг от друга, то эта случайная величина распределена по биномиальному закону с

Следовательно, среднее число автомашин, которое проследует по дороге А, есть а искомая вероятность

Распределение Пуассона

Пусть событие А может появиться в любой момент времени. При этом выполнены следующие условия:

1) события происходят независимо друг от друга;

2) появление события А на данном отрезке времени не зависит от расположения временного отрезка на оси времени;

3) вероятность появления события А за бесконечно малый интервал времени более одного раза есть бесконечно малая величина по сравнению с (в этой связи закон Пуассона называют законом редких событий).

Число появлений события А за выбранный промежуток времени t подчиняется закону Пуассона

Здесь — среднее число событий А, появляющихся за единицу времени.

Этот закон однопараметрический, т. е. для его задания требуется знать только один параметр . Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия в законе Пуассона численно равны:

Одним из классических примеров применения закона Пуассона является описание числа запросов на соединение, поступающих на телефонную станцию.

Пример:

Пусть в середине рабочего дня среднее число запросов равняется 2 в секунду. Какова вероятность того, что 1) за секунду не поступит ни одной заявки, 2) за две секунды поступит 10 заявок?

Решение. Поскольку правомерность применения закона Пуассона не вызывает сомнения и его параметр задан то решение задачи сводится к прямому применению формулы Пуассона (4.18)

Закон равномерной плотности

Пусть непрерывная случайная величина X может принимать любые значения лишь на отрезке [а,b] и нет оснований считать, что — появление одних возможных значений вероятней других. При выполнении этих условий говорят, что X распределена с равномерной плотностью. В этой связи целесообразно считать, что плотность вероятности f(х) имеет вид

График такой функции представлен на рис. 4.4. Поскольку площадь, ограниченная любой кривой распределения, равна 1, легко найти значение константы с из равенства

Теперь можно сказать, что случайная величина X распределена на отрезке [а,b] равномерно, если

Основные числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины.

Пример:

Минутная стрелка часов делает скачок на соседнее деление, когда реальное время превышает указываемое значение на полминуты. При взгляде на часы фиксируется показываемое ими время. Какова средняя ошибка в показаниях таких часов и каков разброс этой ошибки?

Решение:

В каждый момент времени показания часов есть случайная величина, показывающая реальное время с некоторой ошибкой. Взгляд на часы производится в случайно выбранный момент, поэтому целесообразно предположить, что ошибка в показаниях часов имеет равномерную плотность распределения.

Так как рассогласование между реальным временем и показаниями часов находится в пределах от -0,5 до +0,5, то следует положить Следовательно,

Это означает, что систематическая ошибка отсутствует,

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее плотность вероятности описывается функцией

где m — математическое ожидание; — среднеквадратическое отклонение. Соответственно, функция распределения равна

График плотности вероятности для нормального закона приведен на рис. 4.3. Нормальный закон возникает в тех случа-

ях, когда случайная величина X есть сумма большого числа случайных величин, распределенных по произвольному закону, но каждая из них не является доминирующей. Наиболее ярким примером является ошибка, возникающая при различных измерениях (длины, объема, массы и т.п.). Действительно, если измерительный прибор хорошо отрегулирован, то он не дает существенных систематических ошибок (иначе его следовало бы отрегулировать). Получаемые же при каждом измерении ошибки складываются из влияния множества факторов, устранить которые практически невозможно. Они зависят от изменений температуры, давления, влажности и т.п. Иногда ошибки складываются, усиливая друг друга, а иногда — компенсируя одна другую.

Для вычислений вероятности попадания случайной величины в заданный промежуток возможных значений используется приведенная функция плотности вероятности и приведенная функция распределения — функция распределения для так называемой нормированной случайной величины с Нормированная случайная величина получится, если сделать замену

Функции f(х) и Ф*(х) табулированы. Функция Ф*(х) обладает следующими свойствами:

При вычислениях связанных с нормальным законом часто используют интеграл Лапласа, который также табулирован

При этом следует иметь ввиду, что Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m и , то

Пример:При изготовлении бумаги наблюдается отклонение ее плотности от номинала равного, 100 г на квадратный метр. Если считать, что плотность бумаги есть нормально распределенная величина с = 5 г, найти вероятность того, что плотность бумаги будет отличаться от номинала не более, чем на 2 г и не менее, чем на 3 г.

При изготовлении бумаги наблюдается отклонение ее плотности от номинала равного, 100 г на квадратный метр. Если считать, что плотность бумаги есть нормально распределенная величина с = 5 г, найти вероятность того, что плотность бумаги будет отличаться от номинала не более, чем на 2 г и не менее, чем на 3 г.

Решение задачи дается непосредственным использованием формулы (4.24)

На практике удобно использовать правило «три сигма», которое гласит: «с вероятностью, большей, чем 0,997, случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет принимать значения в промежутке

Пример:

Имеется партия изделий, в которой могут попадаться качественные и бракованные. Число бракованных изделий — нормально распределенная случайная величина, характеризующаяся так: среднее число бракованных изделий (математическое ожидание) составляет 12% и среднеквадратическое отклонение — 3%. Отобрано 100 изделий. Какое число бракованных изделий окажется среди них?

Решение:

Должно быть понятным, что точно ответить на такой вопрос в принципе невозможно. Однако, используя правило «три сигма», легко найти следующий ответ: можно быть практически уверенным, что бракованных деталей будет не менее и не более Формально это можно записать так

Предельные теоремы теории вероятностей

Математические законы теории вероятностей получены в результате обобщения закономерностей, свойственных массовым явлениям в обществе и в природе. Массовость понимается как большое число повторений опытов в одинаковых или сходных условиях. Было замечено, что при массовых явлениях результаты отдельных опытов практически не влияют на некоторые средние характеристики этих явлений. Этот феномен известен как устойчивость средних: «При очень большом числе испытаний средние характеристики наблюдаемых явлений перестают быть случайными и могут быть предсказаны со сколь угодно высокой точностью».

Неравенство Чебышева

Возможные значения случайной величины X группируются вокруг своего математического ожидания Однако в каждом конкретном опыте X может принять значение и весьма далекое от Если известен закон распределения X, то оценить вероятность далеких отклонений несложно.

Пусть задана некоторая величина Событие означает, что значение X отклонилось от своего математического ожидания больше чем на Такие отклонения будем называть «далекими». Если ограничиться только непрерывным случаем, то вероятность получить далекие отклонения можно вычислить так:

где — область далеких отклонений:

Однако закон распределения известен далеко не всегда. Хотелось бы уметь оценивать вероятность таких событий, опираясь, например, лишь на знание дисперсии Именно такая задача и решается с помощью неравенства Чебышева.

Дисперсия случайной величины X? распределенной по непрерывному закону f(х)? равна:

Если под интегралом заменить на величину то неравенство в (4.25) лишь усилится. Следовательно,

Отсюда имеем неравенство Чебышева:

Пример:

Оценить вероятность того, что значения случайной величины будут отклоняться от ее математического ожидания меньше, чем на

Решение:

Нам необходимо оценить вероятность следующего события Это событие будет противоположным тому, что рассматривается в неравенстве Чебышева, если положить Переход к противоположному событию осуществляется по правилу Следовательно, используя (4.26) при , имеем

Мы получили очень важный результат: «Каков бы ни был закон распределения для X, вероятность того, что отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания будет в пределах трех среднеквадратических ожиданий, не может быть менее 8/9». Иначе говоря, значения случайной величины весьма редко отклоняются от своего математического ожидания больше, чем на «три сигма». Это правило также получило название правило трех (см. главу 4.2).

На практике, получив оценки для легко оценить интервал, в котором будут находиться практически все значения

случайной величины. Этот интервал задается условием

Величина 8/9 является нижней границей оценки. Для конкретных законов распределения попадание в интервал (4.27) значительно больше, чем 8/9. Например, для нормального закона вероятность попадая в такой Интервал оценивается величиной 0,997.

Закон больших чисел

Математическим основанием того факта, что значения случайной величины группируются около некоторых постоянных величин, является закон больших чисел.

Исторически первой формулировкой закона больших чисел стала теорема Бернулли: «При неограниченном увеличении числа одинаковых и независимых опытов n частота появления события А сходится по вероятности к его вероятности», т. е.

где частота появления события А в n опытах

Содержательно выражение (4.28) означает, что при большом числе опытов частота события А может заменять неизвестную вероятность этого события, и чем больше число проведенных опытов, тем ближе р* к р. Интересен исторический факт. К. Пирсон бросал монету 12000 раз и герб у него выпал 6019 раз (частота 0,5016). При бросании этой же монеты 24000 раз он получил 12012 выпадений герба, т. е. частоту 0,5005.

Наиболее важной формой закона больших чисел является теорема Чебышева: при неограниченном возрастании числа независимых, имеющих конечную дисперсию и проводимых в одинаковых условиях опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. В аналитической форме эта теорема может быть записана так:

Теорема Чебышева, кроме фундаментального теоретического значения, имеет и важное практическое применение, например, в теории измерений. Проведя n измерений некоторой величины х, получают различные несовпадающие значения: За приближенное значение измеряемой величины х принимают среднее арифметическое наблюденных значений

При этом, чем больше будет проведено опытов, тем точнее будет полученный результат. Действительно, дисперсия величины убывает с возрастанием числа проведенных опытов, т.к. то

Соотношение (4.30) показывает, что и при высокой неточности приборов измерения (большая величина ) за счет увеличения количества измерений можно получать результат со сколь угодно высокой точностью.

Центральная предельная теорема

Очень часто значение, которое принимает исследуемая величина Y, является результатом суммарного воздействия ряда случайных величин Если эти величины слабо зависят друг от друга и ни одна из них не является доминирующей, то их сумма имеет закон распределения, весьма близкий к нормальному. Такая ситуация наиболее характерна для процессов измерения. Дело в том, что результат измерения складывается под влиянием многочисленных независимых элементарных причин, причем влияние каждой из причин на суммарный результат незначительно. Например, на величину температуры в конкретном месте комнаты оказывает влияние близость отопительных приборов, наличие и расположение в комнате людей, потоки воздуха, влажность, температура воздуха на улице, наличие источников света и их мощность, расположение окон, дверей и т.д.

Все формы центральной предельной теоремы (ЦПТ) посвящены установлению условий возникновения нормального закона. Наиболее простой формой ЦПТ является теорема Ляпунова: «Если независимые случайные величины, имеющие один и тот э/се закон распределения, то при неограниченном увеличении числа п закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному «.

На практике при закон распределения суммы случайных величин, имеющих какой угодно (возможно и неизвестный) закон распределения, считают нормальным.

Пример:

Случайная величина Y есть сумма 24 случайных величин, распределенных по закону равномерной плотности на отрезке [0,1]. Найти вероятность того, что Y примет значение в пределах от 10 до 13.

Решение:

Ввиду того, что закон распределения величин X равномерный, легко найти их математические ожидания и дисперсию

Y есть сумма 24 случайных величин. Поэтому можно считать ее закон распределения близким к нормальному с параметрами:

Требуемая вероятность может быть найдена при помощи известной формулы (4.24):

Частным случаем ЦПТ является теорема Лапласа: «Если производится n опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение

Эта формула позволяет вести расчеты, когда реализуется система случаев при большом числе N.

Пример:

Производится компьютерный набор текста из 100 страниц. Вероятность сделать ошибку при наборе одной страницы равна 0,2. Найти вероятность того, что при наборе 100 страниц ошибок будет не более 25.

Решение примера сводится к непосредственному применению формулы (4.31) при т.е.

Предельные теоремы образуют своеобразный мостик между теорией вероятностей как математической наукой и одной из наиболее важных и имеющих практическое применение областей современных знаний — прикладной статистикой.

Система двух случайных величин

Функции распределения:

Рассмотрим две случайные величины X и Y. Двумерной случайной величиной (системой двух случайных величин) называют случайный вектор, первый компонент которого — значение случайной величины X, а второй — значение случайной величины Y. Сами величины X и Y называют случайными координатами. Рассматриваются два основных случая: обе случайные величины X и Y дискретны или обе величины непрерывны.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если дискретны случайные величины X и Y, т. е. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и плотность распределения существует и кусочно-непрерывна.

Закон распределения двумерной случайной величины обычно задают в виде таблицы, в которой указаны значения случай-

ных величин X и Y, а также вероятности появления пары причем

Событие можно представить как сумму попарно несовместных событий следовательно,

Аналогично То есть первый и последний столбцы таблицы дают закон распределения случайной величины X, а первая и последняя строки — закон распределения случайной величины Y. Эти законы позволяют определить а также

Функцией распределения двумерной случайной величины F(х, у) называется вероятность того, что и, одновременно Справедливы следующие правила (см. главу 4.2):

4.При функция распределения системы становится функцией распределения случайной величины X

При функция распределения системы становится функцией распределения случайной величины Y

5.Вероятность попадания точки в полуполосу:

Плотностью распределения вероятностей называют вторую смешанную частную производную от функции распределения

Свойства плотности вероятности:

3.Одномерные плотности вероятностей случайных величин

Условные законы распределения

Для дискретных случайных величин (см. главу 4.2) было введено понятие условной вероятности. В нашем случае также

причем в общем случае условные вероятности и могут не совпадать с безусловными и

Условным распределением составляющей X при называют совокупность условных вероятностей

вычисленных в предположении, что событие наступило. Аналогично находятся условные законы распределения случайной величины Y

Для непрерывных случайных величин вводят понятие условной плотности совместного распределения составляющей X при данном значении

Соответственно, условные плотности для составляющей Y

Свойства условных плотностей:

Условные математические ожидания для случайной величины Y при

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины

Условное математическое ожидание есть функция от х

и называется функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяется и функция регрессии X на Y

Корреляционный момент и коэффициент корреляции

Корреляционным моментом называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от своих математических ожиданий

Коэффициентом корреляции r называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений

Основное свойство коэффициента корреляции: коэффициент корреляции ограничен, причем его значения лежат в пределах

Случайные величины X и Y, для которых коэффициент корреляции не равен нулю, называются коррелированными. Если коэффициент корреляции равен нулю, то случайные величины называют некоррелированными.

Условие независимости случайных величин

Две случайные величины независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина. Критерий независимости: две случайные величины независимы, если их функция распределения представима в виде произведения одномерных функций распределения, т. е.

Для дискретных случайных величин это означает, что

Для непрерывных случайных величин это означает, что

Если случайные величины независимы, то они не коррели-рованы, коэффициент корреляции равен нулю.

Замечание:

Если случайные величины не коррелированы, т. е. коэффициент корреляции равен нулю, то нельзя сказать, зависимы они или нет. Такие величины называются «подозрительными на независимость» и проверяют их на независимость по критерию независимости. Единственным исключением является двумерное нормальное распределение. Только для него из некоррелированности следует независимость.

Средняя квадратическая регрессия. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим систему случайных величин (X, Y), причем величины X и Y зависимы, но вид зависимости неизвестен. Подберем функцию f(Х), которая с максимальной точностью совпадала бы с величиной Y, такую функцию называют приближением величины Y. Приближение будет наилучшим, если средний квадрат отклонения случайной величины Y от функции f(Х) минимален, т. е. среди всех функций ищем такую, чтобы достигался Как правило, в качестве функции f(Х) выбирают линейную или, реже, квадратичную функции. Тем самым задачу упрощают — вместо

неизвестной функции f(Х) ищут неизвестные коэффициенты в известных функциях.

Если в качестве приближения для Y выбирают линейную функцию, то коэффициенты а и b должны быть выбраны так, чтобы достигался минимум величины

Экстремум функции двух переменных достигается в том случае, когда обе частные производные по переменным а и b равны нулю, т.е. когда

Минимум достигается, если при этом

Это уравнение называют уравнением средней квадратично регрессии, а линейное приближение случайной величины Y есть

Так как величины положительны, то знак коэффициента корреляции позволяет определить тенденции изменения случайной величины Y при увеличении случайной величины X:

если то Y имеет тенденцию к убыванию,

если то Y имеет тенденцию к возрастанию,

если то Y просто линейно зависит от X, т. е. выражение

является точным равенством, а зависимость Y от X является функциональной.

Величина называется коэффициентом детерминации и определяет, какой процент вариации (изменения) одной величины вызван линейным влиянием другой.

Пример:

Дана система двух случайных величин. Найти: числовые характеристики системы, функции регрессии, коэффициент корреляции, уравнение регрессии, коэффициент детерминации.

Функции регрессии

Корреляционный момент и коэффициент корреляции

Величины X и Y коррелированы, между ними существует линейная связь. С возрастанием одной величины другая имеет тенденцию к убыванию.

Уравнение средней квадратичной регрессии,

Коэффициент детерминации

вариации случайной величины Y вызвано линейным влиянием другой.

Теоремы и формулы по теории вероятностей

Многие явления в природе, экономике и других областях носят
случайный характер, т.е. невозможно точно предсказать, как
явление будет происходить. Теория вероятностей дает математическую модель для описания явлений такого рода.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы
однородных случайных явлений, мы обнаруживаем в них вполне
определенные закономерности, свойственные именно массовым
явлениям. Например, если много раз подбрасывать монету, то частота появления герба постепенно стабилизируется, приближаясь к 1/2 .

Событие — это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примерами событий являются появление герба при подбрасывании монеты или появление четырех гербов подряд при четырехкратном подбрасывании монеты. Из этих примеров видно, что каждое из событий обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Например, появление герба при одном бросании более возможно, чем появление подряд четырех гербов при четырехкратном бросании.

Для описания степени возможности появления того или иного
события используется понятие вероятности события.

Вероятность события есть численная мера степени объективной
возможности этого события.

Аксиома:

Каждому случайному событию А поставлено в
соответствие число Р(А), которое называется вероятностью событиям,
причем

Достоверным называется событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти.

Аксиома:

Вероятность достоверного события равна единице.

Невозможным называется событие, которое в результате опыта произойти не может.

Аксиома:

Вероятность невозможного события равна нулю.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Примером полной группы событий является выпадение герба или цифры при подбрасывании монеты.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут произойти вместе. Например, появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости.

Несколько событий в данном опыте считаются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Например, выпадение герба и цифры при подбрасывании монеты или появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости.

Пусть опыт повторяется n раз и при этом подсчитывается, как часто происходит интересующее нас событие А . Допустим, что оно произошло m раз. Отношение

называется относительной частотой случайного события А в n опытах. Практика показывает, что во многих случаях при увеличении n частота приближается к некоторому постоянному значению, называемому вероятностью появления события А .

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее.

Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, которые можно заранее пересчитать, называются прерывистыми, или случайными дискретными величинами (например, количество посещений магазина в течение дня).

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются случайными непрерывными величинами (например, ошибка взвешивания тела на аналитических весах).

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе.

Например, в магазине, торгующем холодильниками и стиральными машинами, в течение пяти минут может быть куплен холодильник (событие А) или стиральная машина (событие В). Событие С = А + В — в течение пяти минут куплен холодильник либо стиральная машина, либо и то и другое вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В.

Например, покупается холодильник, причем событие А состоит в том, что холодильник неисправен. Одновременно покупается стиральная машина. Событие В — машина неисправна. С = А*В — неисправны холодильник и стиральная машина.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема сложения:

Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

где i — номер события.

Для двух событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Действительно, так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них является достоверным событием:

Так как — несовместные события, то, используя (11.1), получим (11.2).

Противоположными называются два несовместных события, образующих полную группу.

Например, противоположными событиями являются выпадение герба и цифры при подбрасывании монеты.

Сумма вероятностей двух противоположных событий А и равна единице:

где — событие, противоположное событию А .

Пример:

В лотерее участвует 1000 билетов, из которых на один билет выпадает выигрыш 200 руб., на 10 билетов — 50 руб., на 20 билетов — 10 руб. На остальные билеты выпадает выигрыш 1 руб. Найти вероятность выигрыша не менее 10 руб. при покупке одного билета.

Решение:

Так как события А (выигрыш 200 руб.), В (выигрыш 50 руб.) и С (выигрыш 10 руб.) несовместны, то вероятность наступления события D (выигрыш не менее 10 руб.) является суммой вероятностей первых трех событий, т.е.

Пример:

Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания при одном выстреле в первую зону равна 0,18, во вторую — 0,22, в третью — 0,3. Определить вероятность промаха.

Решение:

Вероятность попадания в мишень

Вероятность промаха находим по формуле

Для совместных событий А и В вероятность суммы этих событий вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ), (11.4)

где Р(АВ) — вероятность совместного появления событий А и В .

Два события А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Пример независимого события:

При подбрасывании двух монет рассматриваются два события: А — появление герба на первой монете; В — появление герба на второй монете. Вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, т.е. событие А независимо от события В.

Пример зависимого события:

В урне два белых шара и один черный. Два лица вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются два события: А — появление белого шара у первого лица; В — появление белого шара у второго лица. Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В , равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2. Таким образом, событие А зависит от события В .

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А :

Р(АВ).

Для последнего примера Р(А) = 2/3 , Р(АВ) = 1/2.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого, вычисленной при условии, что первое событие имело место:

Вероятность произведения n независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Пример:

В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Обозначим событие, состоящее в появлении двух белых шаров подряд, буквой А . Событие А представляет собой произведение двух событий:

где — появление белого шара при первом вынимании;

— появление белого шара при втором вынимании.

Пример:

Условия примера 11.3, но при первом вынимании шар возвращают в урну и шары перемешиваются.

Решение:

Полная вероятность

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А , которое может произойти с одним из событий образующих полную группу несовместных событий. Эти события называются гипотезами.

Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе:

Пример:

Имеются три урны. В первой урне 2 белых и 1 черный шар, во второй — 3 белых и 1 черный, в третьей — 2 белых и 2 черных шара. Наугад выбирают одну из урн и из нее вынимают шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим три гипотезы:

■ — выбор первый урны;

■ — выбор второй урны;

■ — выбор третьей урны.

Появление белого шара — событие А .

Так как гипотезы равнозначны, то

По формуле (11.7) находим

Формула Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Вероятность данных гипотез известна до опыта и равна В результате проведения опыта произошло некоторое событие А . Определить, как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением этого события.

Из теоремы умножения (11.5) имеем:

откуда

Подставив вместо Р(А) его значение (11.7), получим

Формула (11.8) называется формулой Байеса, или теоремой гипотез.

Пример:

40% автомашин собирается из деталей высокого качества, а остальные — из деталей обычного качества. Если автомашина собирается из деталей высокого качества, то вероятность безотказной работы в течение трех лет равна 0,95, а если из деталей обычного качества, то эта вероятность равна 0,7. Купленная автомашина безотказно работала в течение трех лет. Найти вероятность того, что она собрана из высококачественных деталей.

Решение:

Возможны две гипотезы:

■ — автомашина собрана из высококачественных деталей;

■ — автомашина собрана из обычных деталей.

Вероятность этих гипотез до опыта:

В результате опыта наблюдено событие А — автомашина работала безотказно три года. Условные вероятности тех же событий при гипотезах и :

По формуле (11.8) находим вероятность того, что автомашина собрана из высококачественных деталей:

Теорема о повторении опытов

Пусть в результате каждого из n независимых опытов может появиться или не появиться некоторое событие А . Вероятность появления события А в каждом опыте равна р, а вероятность его непоявления равна q = 1 — р . Требуется найти вероятность того, что событие А в n опытах появится ровно m раз.

Результат решения поставленной задачи называется теоремой о повторении опытов.

Рассмотрим событие состоящее в том, что событие А в n опытах появится ровно m раз. Это событие можно осуществить различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события А в отдельном опыте. Обозначим появление события А в i-м опыте, — непоявление события А в i-м опыте.

Каждый вариант появления события должен состоять из m появлений и n-m непоявлений события А , т.е. из m событий А и n — m событий с различными индексами. Таким образом,

В каждое произведение событие А входит m раз, а событие — n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно числу сочетаний из n элементов по m:

Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий равна Так как комбинации между собой несовместимы, то по теореме сложения вероятность события

Формула для бинома Ньютона имеет вид

Сопоставив (11.9) с формулой бинома Ньютона, видим, что вероятности представляют собой члены разложения бинома поэтому распределение вероятностей (11.9) называется биномиальным распределением. Как следует из равенства (11.10), сумма всех вероятностей (m = 0, 1, 2, …, n) равна единице:

Во многих случаях, кроме вероятности появления некоторого события m раз, рассматривается вероятность появления этого события не менее m раз. По теореме сложения

Переходя к противоположному событию, вероятность (11.12) вычисляют по формуле

Пример:

Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Kaк велика вероятность того, что из десяти наугад выбранных новорожденных будет четыре мальчика?

Решение:

Используя формулу (11.9), получим:

Пример:

Производится четыре независимых выстрела по
мишени, причем вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,1. Найти вероятность промаха, а также вероятность одного, двух, трех и четырех попаданий.

Решение:

По формуле (11.9) находим:

Сумма всех вероятностей равна единице. Действительно,

Закон распределения случайной величины

Как уже указывалось, случайной называется величина, которая в
зависимости от исхода опыта принимает различные значения,
неизвестные заранее. Примерами случайных величин могут служить:

■ цифры при доставании бочонка при игре в лото;

■ число появлений герба при двух бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2);

■ ошибка при измерении роста человека;

■ время безотказной работы прибора.

Обычно случайные величины обозначают прописными буквами
а их возможные значения — строчными. Например, X — число появлений герба при двух бросаниях монеты, а —
возможные значения.

Пусть X — случайная величина, — ее возможные
значения, — соответствующие вероятности
возможных значений. Возможные значения образуют полную группу несовместных событий, т.е. сумма вероятностей этих значений случайной величины равна единице:

Указанная суммарная величина каким-то образом распределена
между отдельными значениями. В теории вероятностей случайная
величина полностью характеризуется этим распределением, т.е.
вероятностью каждого из возможных значений. Так устанавливается
закон распределения случайной величины. Про случайную величину
обычно говорят, что она подчиняется данному закону распределения.

Для дискретных случайных величин простейшей формой задания закона распределения является ряд распределения случайной
величины, заданной в виде таблицы (табл. 11.1).

Таблица 11.1

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен также в виде многоугольника распределения (рис. 11.1).

Примером ряда распределения дискретной случайной величины является биномиальное распределение (11.9).

Пример:

Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание
стрелку засчитывается одно очко. Построить ряд распределения числа выбитых очков.

Решение:

Пусть X — число выбитых очков. Возможные
значения величины X: Вероятность этих
значений находим по формуле (11.9):

Ряд распределения представлен в табл. 11.2.

Таблица 11.2

На рис. 11.2 представлен многоугольник распределения. ►

Ряд распределения не является универсальной характеристикой случайной величины. Для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения, так как она имеет бесчисленное множество случайных значений. Универсальной характеристикой случайной величины является интегральная функция распределения, которая используется для описания и дискретных, и непрерывных случайных величин.

Интегральной функцией распределения (функцией распределения), или интегральным законом распределения, называется вероятность появления случайной величины меньше заданной:

F(x) = P(X<x). (11.15)

Основные свойства функции распределения:

1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при имеем

2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю.

3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице.

Функцией распределения любой дискретной случайной
величины является разрывная ступенчатая функция, скачки которой
происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Пример:

Построить функцию распределения для примера 11.9.

Решение:

Для ряда распределения, представленного в
табл. 11.2, функция распределения имеет следующие значения:

1) при F(x)=0;

2) при F(x)=0,216;

3) при F(x)=0,648;

4) при F(x)=0,936;

5) при 3 < х F(x)=1.

График функции распределения представлен на рис. 11.3. В точках разрыва функция распределения принимает значения, отмеченные на чертеже косыми линиями. ►

При увеличении числа возможных значений случайной величины и уменьшении интервалов между ними число скачков становится
больше, а сами скачки — меньше. В пределе функция распределения
становится непрерывной. Непрерывная функция распределения
используется для описания непрерывной случайной величины.

При помощи функции распределения можно указать вероятность попадания как дискретной, так и непрерывной случайной величины в заданный полуоткрытый промежуток

Данная вероятность равна приращению функции распределения
на заданном промежутке:

Пусть имеется непрерывная величина X с непрерывной и
дифференцируемой функцией распределения F(x). Вероятность
попадания этой величины в промежуток от х до равна

Рассмотрим предел

Функция f(x) = F'(x) называется плотностью распределения
непрерывной случайной величины X.

При заданной плотности распределения вероятность того, что
случайная величина попадет в заданной промежуток
равна (рис. 11.4)

Функция распределения выражается через плотность распределения по формуле

Основные свойства плотности распределения:

1.Плотность распределения есть неотрицательная функция:

2.Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Моменты распределения случайной величины

На практике применяются начальные и центральные моменты
распределения.

Начальным моментом порядка s дискретной и непрерывной
случайных величин называются соответственно соотношения вида:

Первый начальный момент называется математическим
ожиданием. Математическое ожидание будем обозначать символами
М[х] или

Пользуясь знаком математического ожидания, формулы (11.20)
и (11.21) можно объединить в одну:

Действительно, формулы (11.20) и (11.21) по структуре
полностью аналогичны формулам (11.22) и (11.23), с той разницей, что в них вместо и х стоят соответственно

Начальным моментом порядка s случайной величины X называется
математическое ожидание степени s данной случайной величины.

Центральной случайной величиной, соответствующей величине
X, называется отклонение случайной величины X от ее
математического ожидания:

Центральным моментом порядка s случайной величины X называется математическое ожидание степени s соответствующей центральной случайной величины:

Второй центральный момент называется дисперсией случайной
величины и обозначается D[X]:

Для непосредственного вычисления дисперсий дискретной и
непрерывной случайных величин могут быть использованы формулы:

Дисперсия (второй центральный момент) может быть выражена
через второй начальный момент и математическое ожидание.
Действительно,

Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание
значений случайной величины около ее математического ожидания.

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины:

Третий центральный момент служит для характеристики
асимметрии плотности распределения. Если плотность распределения симметрична относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Моментами распределения широко пользуются тогда, когда
закон распределения случайной величины неизвестен.

Типы законов распределения случайных величин

Закон равномерной плотности

Случайная величина называется равномерно распределенной на
промежутке [a, b], если ее плотность вероятности на этом промежутке постоянна, а вне промежутка равна нулю (рис. 11.5).

Так как

то

Математическое ожидание определяется по формуле (11.23)

Дисперсию находим по формуле (11.28):

Среднее квадратическое отклонение определяется соотношением
(11.30):

Пример:

Пусть случайная величина распределена
равномерно на промежутке [0; 2]. Определить значение функции f(х) на этом интервале и вероятность попадания случайной величины в
промежуток [1; 1,5], а также математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этого распределения.

Решение:

Плотность вероятности на исследуемом промежутке

Вероятность попадания случайной величины в промежуток [1; 1,5]

Математическое ожидание

Среднее квадратическое отклонение

Закон Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину X, которая может
принимать только целые неотрицательные значения m = 0, 1, 2, 3, …,
причем последовательность этих значений неограниченна.

Случайная величина X распределена по закону Пуассона, если
вероятность того, что она примет определенное значение m, определяется соотношением

где а — некоторая положительная величина, называемая параметром
закона Пуассона.

Величина, заданная выражением (11.31) является членом ряда
распределения, так как его сумма Действительно, так как

Формулу для математического ожидания (11.22) случайной
величины, распределенной по закону Пуассона, можно записать в виде

так как первый член суммы при m = 0 равен нулю. Перепишем эту
формулу в виде

Таким образом, математическое ожидание случайной величины
равно параметру закона Пуассона а.

Дисперсия распределения случайной величины, распределенной
по закону Пуассона, определяется по формуле (11.29).
Предварительно найдем второй начальный момент:

Учитывая, что для распределения Пуассона получим

D[X] = a.

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по
закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Пример:

На автоматическую телефонную станцию
поступают вызовы со средней плотностью 300 вызовов в час. Число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона. Найти вероятность того, что:

1) за две минуты на станцию поступит ровно три вызова;

2) за две минуты на станцию поступит хотя бы один вызов;

3) за две минуты на станцию поступит не менее трех вызовов.

Решение:

При заданных условиях параметр закона Пуассона,
равный среднему числу вызовов за две минуты,

1.Вероятность поступления на станцию ровно трех вызовов за две
минуты определяется по формуле (11.31):

2.Прежде чем рассчитать вероятность поступления хотя бы одного
вызова за две минуты определим вероятность того, что за эти две
минуты не поступит ни одного вызова:

Вероятность поступления за две минуты хотя бы одного вызова

3.При расчете вероятности поступления не менее трех вызовов за
две минуты предварительно найдем вероятность поступления не более двух вызовов:

Вероятность поступления за две минуты не менее трех вызовов равна

Нормальный закон распределения

Это наиболее часто встречающийся на практике закон.

Нормальный закон распределения, или закон Гаусса, характеризуется плотностью распределения вида

Вычислим основные характеристики случайной величины,
подчиняющейся нормальному закону распределения.

Математическое ожидание

Введем замену:

Тогда

Известно, что первый интеграл равен нулю, а второй, называемый интегралом Эйлера—Пуассона, —

Таким образом,

М[Х] = m.

Дисперсия

Используя замену (11.33), получим

Интегрируя по частям, найдем

Первое слагаемое в скобках равно нулю, а второе (см.
(11.34)). Отсюда

Таким образом, входящие в нормальный закон распределения
постоянные являются математическим ожиданием, дисперсией и
средним квадратическим отклонением. Размерности
математического ожидания и среднего квадратического отклонения совпадают с размерностью случайной величины X.

Кривая распределения по нормальному закону имеет
симметричный холмообразный вид (рис. 11.6).

Функция распределения (11.19) нормального закона определяется соотношением:

Введем замену:

Тогда

Интеграл (11.35) не выражается через элементарные функции и
называется функцией нормального распределения. Функция F(x)
табулирована. Иногда эту функцию представляют в виде

F(х) = 0,5 + Ф(х),

где

Функция Ф(х) называется интегралом вероятности.

Решим следующую задачу. От точки х=m отложим отрезки
длиной (рис. 11.7)

Вычислим вероятность попадания случайной величины в промежутки Искомая вероятность находится по формуле (11.36) при равенстве верхнего предела соответственно 1, 2 и 3. Используя таблицу для интеграла вероятностей [8, с. 578], находим:

Вероятность попадания случайной величины в промежуток

Отсюда следует, что для нормального распределения с точностью 2,7% все рассеивание укладывается на участке Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать промежуток ее возможных значений. Такой способ оценки возможных значений называется «правилом трех сигм».

Пример:

При измерении расстояния возможная ошибка распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равно 0,8 см. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 см при следующих условиях:

1) математическое ожидание ошибки равно 1,2 см (систематическая ошибка в сторону завышения);

2) математическое ожидание равно нулю.

Решение:

Закон распределения ошибки запишем в виде

1.Для этого случая m = 1,2. Тогда искомая вероятность

Пусть Тогда

Из таблицы для функции нормального распределения [10, с. 754]
находим

F(0,5) = 0,69146; F(-3,5) = 0,00023 .

Тогда

Р(-1,6<Х<1,6) = 0,69123.

2.При m = 0 искомая вероятность

Введем замену: Отсюда

Закон распределения системы случайных величин

Во многих случаях теории вероятностей результат опыта
описывается не одной, а двумя или более случайными величинами. При этом систему двух случайных величин (X, У) можно изображать
случайными точками на плоскости с координатами х и у или
случайными векторами на плоскости. Систему из n случайных величин представляют точками в пространстве n измерений.

Функцией распределения системы двух случайных величин (X, F)
называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<х и Y<у:

F(x,y) = P((X<x)(Y<y)). (11.37)

Геометрический смысл функции распределения двух случайных
величин состоит в том, что эта функция дает вероятность попадания
случайной точки (X, У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), лежащей левее и ниже ее (рис. 11.8).

Основные свойства функции распределения системы из двух
случайных величин:

1.Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция
своих аргументов, т.е.

■ при имеем

■ при имеем

2.Повсюду на функция распределения равна нулю

3.При одном из аргументов, равном , функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной
величины, соответствующей другому аргументу:

где и — функции распределения случайных величин X и Y соответственно.

4.Если оба аргумента равны , то функция распределения
системы равна единице:

Найдем вероятность попадания случайной точки в
прямоугольник D с координатами вершин (а, b), (а, с), (d, с), (d, b)
(рис. 11.9)

Условимся включать в прямоугольник D его нижнюю и левую
границы (полужирные линии) и не включать верхнюю и правую.
Выразим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в
прямоугольник D через функцию распределения системы. Для этого
рассмотрим на плоскости хОу четыре бесконечных квадранта с
вершинами в точках (а, b), (а, с), (d, с), (d, b). Вероятность попадания в прямоугольник R равна вероятности попадания в квадрант
(d, с) минус вероятность попадания в квадрант (а, с) минус
вероятность попадания в квадрант (d, b) плюс вероятность попадания в квадрант (а, b), так как мы дважды вычли вероятность попадания в этот квадрант. Таким образом,

Пусть функция распределения системы двух случайных величин F(x, у) непрерывна и дифференцируема.

Плотностью распределения f(x, у) системы называется вторая смешанная производная от функции распределения:

Геометрически плотность распределения системы двух случайных величин можно изобразить в виде поверхности в трехмерной системе координат, называемой поверхностью распределения. Линии уровня поверхности распределения называются кривыми равной плотности.

Вероятность попадания случайной точки системы двух случайных величин в произвольную область D, расположенную на плоскости хОу, может быть выражена при помощи плотности распределения. В этом случае вероятность попадания равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область D . Таким образом,

Вероятность попадания точки в прямоугольную область (рис. 11.10) может быть представлена в виде

Из формулы (11.39) вытекает соотношение для функции распределения системы двух случайных величин F(x,y) через плотность распределения f(x,y):

Так как попадание точки на поверхность всей плоскости хОу
является достоверным событием, то

В соответствии с третьим свойством функции распределения
двух случайных величин функция распределения каждой из
величин, входящих в систему, определяется соотношением:

Дифференцируя по х первое выражение и по у второе,
получим соотношения для плотности распределения случайных величин X и Y:

Таким образом, зная плотность распределения системы двух
случайных величин, можно получить плотность распределения
каждой из них. Решить обратную задачу, т.е. по плотности
распределения каждой из двух случайных величин найти плотность
распределения системы этих величин, в общем случае нельзя. Для решения обратной задачи нужно знать также зависимость между
величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть
охарактеризована с помощью условного закона распределения.

Условным законом распределения случайной величины X, входящей в систему (X, Y), называется закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение у.

Условные закон распределения и плотность распределения
обозначаются соответственно F(x|y) и f(x|y).

Плотность распределения системы двух случайных величин равна
плотности распределения одной из величин, входящих в систему,
умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленной при условии, что первая величина приняла заданное значение:

При изучении системы случайных величин важно определить
степень и характер их зависимости.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если
закон распределения каждой из них не зависит от того, какое
значение приняла другая, т.е. Отсюда следует, что

Таким образом, если плотность распределения системы двух
случайных величин распадается на произведение двух функций, то
эти величины независимые.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной.
По мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все
более приближается к функциональной.

Аналогично моментам, введенным для одной случайной
величины, вводятся моменты для системы случайных величин.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется
математическое ожидание произведения

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения степени к и s соответствующих центрированных величин:

Для непосредственного подсчета моментов дискретных случайных величин используются формулы:

где — вероятность того, что система
случайных величин (X, Y) примет значение Суммирование
распространяется по всем возможным значениям случайных величин X и Y.

Для непрерывных случайных величин

На практике обычно применяются только первые и вторые моменты. Первые начальные моменты являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y, входящих в систему:

Точка с координатами называется центром совместного
распределения вероятностей (центром рассеяния).

Второй смешанный центральный момент называется корреляционным моментом, или ковариацией случайных величин Х и Y :

Остальные вторые центральные моменты представляют собой
дисперсии случайных величин X и Y:

Корреляционный момент описывает связь между случайными
величинами и их рассеяние. Для независимых случайных величин
корреляционный момент равен нулю.

Нормированное значение корреляционного момента называется
коэффициентом корреляции

Здесь и — средние квадратические
отклонения случайных величин X и Y. Коэффициент корреляции может принимать значения в пределах

Примерами корреляционной связи между случайными величинами могут служить рост и вес человека (положительная корреляция) или время, потраченное на регулировку прибора при подготовке его к работе, и количество неисправностей, обнаруженных при работе данного прибора (отрицательная корреляция).

На рис. 11.11 показан пример экспериментально полученных пар значений двух случайных величин X и Y, имеющих отрицательную корреляцию, а на рис. 11.12 — случай практически некоррелированных случайных величин.

Плотность нормального распределения двух случайных величин выражается соотношением

Здесь являются математическими
ожиданиями, средними квадратическими отклонениями и
коэффициентом корреляции случайных величин X и Y соответственно.

Для некоррелированных случайных величин X и Y, у которых
r = 0, плотность распределения (11.53) принимает вид

На практике часто встречаются системы, состоящие из n
случайных величин. Полной характеристикой такой системы служит
закон распределения, который задается функцией распределения
или плотностью распределения.

Функцией распределения системы из n случайных величин
называется вероятность совместного выполнения n неравенств вида

Плотностью распределения системы n непрерывных случайных величин называется n-я смешанная частная производная от функции распределения, взятая один раз по каждому аргументу

Функция распределения частной системы случайных величин выделенный из системы имеет вид

Плотность распределения каждой из случайных величин
системы может быть определена из плотности распределения системы.

Например,

Плотность распределения частной системы случайных величин

Условным законом распределения частной системы случайных
величин называется закон ее распределения при условии, что остальные величины приняли конкретные значения

Случайные величины называются независимыми, если закон
распределения каждой случайной величины не зависит от того,
какие значения приняли остальные случайные величины. Плотность
распределения системы независимых случайных величин равна
произведению плотностей распределений отдельных случайных
величин:

Вероятность попадания случайной точки системы случайных
величин в пределы n-мерной области D
выражается n-кратным интегралом:

Для неполного описания системы из п случайных величин
вместо закона распределения используются числовые характеристики, к числу которых относятся:

■ n математических ожиданий

■ n дисперсией

■ n(n-1) корреляционных моментов

Дисперсия является частным случаем корреляционного момента
при i = j. Действительно,

Корреляционные моменты и дисперсии часто представляют в
виде матрицы корреляционных моментов, состоящей из элементов:

Так как то элементы корреляционной матрицы
расположены симметрично по отношению к главной диагонали.

Иногда вместо матрицы корреляционных моментов (11.57)
используется нормированная корреляционная матрица, или матрица коэффициентов корреляции:

Теория случайных процессов

Случайным процессом называется случайная функция X(t) от
независимой переменной t .

Случайная функция в результате опыта может принимать тот
или иной конкретный вид, неизвестный заранее.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

При проведении над случайным процессом серии опытов
получим группу, или семейство, реализаций. Переменная t может быть как дискретной, так и непрерывной величиной.

Примером случайного процесса является цена конкретной
ценной бумаги на бирже в зависимости от времени в течение торговой сессии длительностью Т . Обозначим этот процесс через S(t), а его отдельные реализации — через На графике
эти реализации приняли вид, показанный на рис. 11.13.

Аргументом случайных функций могут быть не только время,
но и другие величины. Например, в высотном профиле
температуры воздуха аргументом является высота.

На практике часто встречаются случайные процессы, зависящие не
от одного, а от нескольких аргументов (например, зависимость
температуры воздуха от высоты и географических координат).

Для случайной величины представляющей сечение
случайной функции для конкретного значения аргумента может
быть определен закон распределения. Например, плотность
распределения этого сечения представляется функцией
Плотность распределения для конкретного значения аргумента не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса X(t). Наиболее полно этот процесс описывается двухмерной плотностью распределения где и — два конкретных значения аргумента t, представляющих собой два сечения случайного процессах X(t). Для n сечений плотность распределения приобретает вид

Для анализа случайных процессов чаще всего используются не
законы распределения, а отдельные характеристики этих процессов.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется
неслучайная функция

которая при каждом значении аргумента t равна математическому
ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция

значение которой при каждом значении аргумента t равно дисперсии
соответствующего сечения случайной функции.

Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной
функции связаны соотношением

На рис. 11.14, 11.15 представлены две случайные функции
и с одинаковыми математическими ожиданиями
(кривая а). Однако характер этих функций совершенно различен. Для
более подробного их описания используют корреляционную
(автокорреляционную) функцию, характеризующую степень зависимости между сечениями случайных функций.

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют
неслучайную функцию двух аргументов которая при каждой паре значений t, t’ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса:

Как следует из вида реализаций случайных процессов и
рис. 11.14, 11.15, имеющих одинаковые математические
ожидания, их корреляционные функции различаются. Для процесса
рис. 11.14 корреляционная функция убывает медленно, по мере
увеличения промежутка (t, t’), а для процесса рис. 11.15
корреляционная функция убывает быстрее.

При t = t’ корреляционная функция обращается в дисперсию.

Действительно,

Корреляционная функция симметрична относительно своих
аргументов:

Нормированной корреляционной функцией называется отношение

При t=t’ имеем

Случайная функция называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от аргумента t. Таким образом, для стационарной случайной функции имеем

Корреляционный момент стационарной случайной функции не зависит от того, где на оси абсцисс взят промежуток (t, t’), а зависит только от длины этого отрезка. Поэтому в выражении (11.61) вместо переменной t’ можно положить Тогда обозначение корреляционного момента принимает вид Так как значение корреляционной функции стационарного процесса не зависит от t, то ее можно представить как функцию одного аргумента:

Дисперсия стационарной случайной функции определяется соотношением

Нормированная корреляционная функция

При имеем

Для определения характеристик реальных случайных процессов используются, как правило, опытные данные в виде набора реализаций. Однако существуют стационарные случайные процессы, все характеристики которых можно определить по одной достаточно длинной реализации. Про такие процессы говорят, что они обладают эргодическим свойством. Таким образом, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция эргодического стационарного процесса определяются по одной реализации.

Математическое ожидание эргодического стационарного случайного процесса по одной реализации x(t) на промежутке (0, T) рассчитывается по формуле

Корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса по одной реализации x(t) на промежутке (0, T) определяется соотношением

где

На практике интегралы (11.70) и (11.71) обычно заменяют конечными суммами. Для этих целей промежуток (0, Т) разбивают на n равных частей длиной и середины полученных отрезков обозначают через (рис. 11.16). Математическое ожидание (11.70), т.е. площадь под кривой x(t), может быть представлено как сумма площадей элементарных фигур с площадью

При вычислении корреляционной функции придаем аргументу значения

где j = 1, 2,…, n. Так как то (11.71) можно записать в виде суммы:

Пример корреляционной функции, построенной по точкам, приведен на рис. 11.17.

Вычисления корреляционной функции проводят до тех пор,
пока она не станет практически равной нулю.

Основные определения вероятности

1. Определение математической вероятности как количественной меры “степени уверенности” познающего объекта.
2. Определения, сводящие понятие вероятности к понятию “равновозможности” как к более примитивному понятию
   (так называемое “классическое” определение вероятности).
3. Определения, основанные на “частоте” появления события в большом количестве испытаний (“статистическое”
   определение).
4. Аксиоматический подход, на основе теории множеств,
   формализующий теорию вероятностей.

Вероятностью события P(А) называют отношение числа
благоприятных исходов испытания m к общему числу всех
равновозможных несовместных элементарных исходов n:

Это определение вероятности базируется на классическом
подходе и часто применяются для решения конкретных задач,
поэтому мы часто будем обращаться к нему далее. Остановимся
подробнее на аксиоматическом подходе к определению вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности

Пусть U – достоверное событие. Все достоверные события
равносильны между собой.
V – невозможное событие. Все невозможные события тоже
равносильны между собой.
Два события А и В называются несовместимыми, если их
совместное появление невозможно, то есть если А*В = V.

Если и события попарно несовместимы,
то есть при то говорят, то событие А подразделяется на частные случаи Например, при бросании игральной кости событие С, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на частные случаи состоящие соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков.
События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса ), то есть если

Пример:

Множество называют пространством элементарных событий.
Два события А и В, не имеющие (как два подмножества) общих элементов, называются несовместными.
События и называются противоположными.
Событие называется достоверным, событие (то есть пустое множество) – невозможным.

Аксиомы Колмогорова, задающие понятие вероятности:

Аксиома:

Каждому событию А поставлено в соответствие
неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.
Аксиома:

Если события попарно несовместны, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме
вероятностей этих событий.

Для случая, когда пространство конечно (аксиома 2), может быть заменено более слабым требованием:
р(А+В) = р(А) + р(В) , если А и В несовместны.

Аксиома:

Вероятность полной группы событий равна 1.

Примеры полной группы событий

Задача:

Задача:

Пусть вероятность того, что студент получит на экзамене по статистике «пятерку» равна 0,17, «четверку» – 0,38,
«тройку» – 0,32, а «двойку» – 0,13. Найти вероятность того, что
очередной студент получит оценку, не меньше тройки.

Решение:

Искомое событие D произойдет, если будет получена оценка 5 (событие А), оценка 4 (событие В), или оценка 3 (событие С), то есть событие D есть сумма событий А, В, С. События А, В и С несовместимы. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:
P(D) = P(A+B+C) = P(A) + P(B)+ P(C) = 0,17 + 0,38 + 0,32= 0,87.

Задача:

Вероятность полной группы событий определяется как сумма вероятностей всех элементарных исходов данной группы:

Следствия из аксиом 1-3:

Следствие:

Вероятность достоверного события равна
единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый
исход испытания благоприятствует событию, то есть m=n, а значит и его вероятность P(A)=m/n=1.

Следствие:

Вероятность невозможного события равна нулю. Раз ни один из исходов испытания не благоприятствует событию, то m=0, а тогда P(A)=m/n=0.

Следствие:

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и единицей. Поскольку случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. То есть 0<m<n, а значит 0< m/n<1.

Таким образом, введя аксиоматическое понятие вероятности, мы получили возможность использовать для доказательства теорем и следствий аппарат формальной логики.

Классическая и статистическая модели вероятности

Цель: Сформировать у студентов понятие «вероятности» с точки зрения классического и статистического подходов, познакомить с методами решения задач.

Основные теоремы классической теории вероятностей

Вероятность события А равна отношению числа случаев m,
благоприятствующих этому событию, к общему числу единственно возможных, равновозможных и несовместимых исходов испытания n:

P(A) = m/n.

Пример:

На выпавшей грани “первой” кости может появиться одно очко, два очка, …, шесть очков. Аналогичные шесть
элементарных исходов возможны при бросании “второй” кости.
Каждый из исходов бросания “первой” кости может сочетаться с
каждым из исходов бросания “второй”. Таким образом, общее
число возможных элементарных исходов испытания равно 6*6 = 36 Эти исходы единственно возможны и, в силу симметрии костей, равновозможны.

6, 2; 6+2 = 8 2, 6; 2+6 = 8
6, 4; 6+4 = 10 4, 6; 4+6 = 10
6, 6; 6+6 = 12

Первым записано число очков, выпавших на “первой” кости, вторым – число очков, выпавших на “второй” кости, а затем указана сумма очков.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов,
благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

P(A) = 5/36.

Если теперь обратиться к аксиоматическому определению
вероятности и сравнить его с классическим, то мы увидим, что
классическое определение является частным случаем аксиом.
Действительно, если аксиому 1 дополнить требованием равенства введенных чисел друг другу, а их сумму ограничить единицей (аксиома 3), то мы получим классическое определение.

Теоремы классической теории вероятностей

Для эффективного использования вычислений вероятности, основанной на классическом подходе было доказано несколько
теорем и следствий из них. Как видно, эти теоремы перекликаются с теоремами аксиоматического подхода.

Теорема:

Вероятность любого события не может быть отрицательной и больше единицы.

Теорема:

Вероятность достоверного события равна единице.

Теорема:

Вероятность невозможного события равна нулю.

Теорема:

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема:

Теорема сложения вероятностей для совместных
событий. Вероятность появления одного из нескольких совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность произведения этих событий:

Теорема:

Теорема произведения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется
по формуле условной вероятности.

Задача:

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых.
Из урны наудачу вытащили один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:

Появление цветного шара обозначает появление или красного, или синего шара. Вероятность появления красного шара событие А: Р(А)=10/30=1/3.
Вероятность выпадения синего шара (событие В):
Р(В)=5/30=1/6.
События А и В несовместны, поэтому применима теорема
сложения вероятностей 4.
P(A+B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.

Задача:

Для отправки груза со склада может быть выделена
только одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: Определить вероятность того, что к складу будет подана хотя бы одна из этих машин.

Решение:

Поскольку одновременное выделение двух машин для отправки груза – событие невозможное, а это значит, что события «выделение машины первого вида» и «выделение машины второго вида» являются несовместными. Тогда, вероятность того, что к складу будет подана хотя бы одна из этих машин будет:

Задача:

Бросают два кубика с нумерованными гранями. Определить вероятность того, что в очередном испытании хотя бы одна из выпавших граней будет четной.

Решение:

На каждом кубике – шесть граней. Три из них
являются четными, поэтому вероятность выпасть четной грани
на первом кубике P(A)=1/2 и на втором кубике P(B)=1/2. Появление четного количества очков на первой и второй кости – события совместные, поэтому вероятность появления четной грани хотя бы на одной кости определяется по теореме сложения совместных событий:

Вероятность одновременного появления четных граней на обоих костях:

Итак, вероятность появления четной грани хотя бы на одной кости равна

Задача:

Пусть событие А – «попадание в мишень первого стрелка», событие В – «попадание в мишень второго стрелка», а событие С – «попадание в мишень третьего стрелка». Поскольку эти события независимые, то применяя теорему произведения вероятностей, получим:

Задача:

вероятность события E:

вероятность события F:

События D, E и F несовместимы. Тогда, применяя теорему сложения вероятностей, получим, что вероятность того, что в цель попадут два стрелка

Статистическое определение вероятности

Иной подход к определению вероятности предлагается, если
воспользоваться понятием статистических испытаний, проведенных при условии соблюдения комплекса условий и с фиксацией наступления или не наступления интересующего нас события. Поле событий, таким образом, будет ограниченно только
количеством испытаний, а вероятность благоприятного события
определяется post factum, т.е. по фактическому результату, в
предположении, что все исходы – равновероятны. Дополнительным требованием будет требование независимости каждого последующего испытания от предыдущего. Таким образом, статистическая вероятность фактически является относительной частотой интересующего нас события в серии испытаний.

Задача:

Вероятность выпадения шести очков определяется как отношение Р(А)=1/6 (из шести возможных исходов при подбрасывании кости выпадению шестерки благоприятствует
один), а частота выпадения шести очков равна W(A)=3/10 (событие наступило три раза в десяти испытаниях).

Геометрическая вероятность

Пусть – некоторая область, имеющая меру (длину,
площадь, объем и т. д.), такую, что Точка равномерным образом попадает в (реализуется принцип геометрической вероятности), если вероятность Р(А) попадания ее в каждую область А, являющейся подобластью , пропорциональна мере этой области

Проще говоря, геометрическая вероятность определяется
отношением площадей: общей – фигуры, и области, в которую должна попасть точка.

Задача:

В круг вписан правильный шестиугольник. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Решение:

Пусть радиус круга равен R, тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга а площадь шестиугольника равна s:

Вероятность искомого события:

Задача:

Два человека договорились встретиться у кинотеатра между 12 и 14 часами и договорились, что тот, кто придет первым, ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Найти
вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного
времени может произойти в любой момент, а приходы людей не
зависят друг от друга?

Решение:

Обозначим моменты прихода людей через значения x и y на соответствующих осях координат. Пусть Т – интервал времени возможной встречи, равный в примере 120 минутам, а t – время ожидания, равное 30 минутам. Ясно, что для того, чтобы встреча произошла, нужно, чтобы разность между моментами прихода людей была меньше или равна 30 мин.

Изобразим х и у как точки внутри квадрата со сторонами Т. Тогда исходы, благоприятные для встречи, будут соответствовать
заштрихованной области А. Согласно принципу геометрической
вероятности, искомая вероятность равна отношению площади
заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

Элементы комбинаторики в теории вероятностей

Многие задачи, основанные на классическом подходе, и как мы уже знаем, понятии равновозможности, сводятся к вычислению количества всех возможных событий, наступающих при выполнении комплекса условий , а также количества интересующих нас благоприятных событий. Такие вычисления достаточно часто сводятся к расчету количества различных комбинаций элементов из какого-либо множества. В этом случае мы имеем дело с разделом математики – комбинаторикой. Введем
основные определения и соотношения комбинаторики.

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением:

– основная формула комбинаторики.

Пусть имеется 4 аудитории, в которых стоят компьютеры. В
первой аудитории компьютеров, во второй
компьютеров, в третьей компьютеров, а в четвертой компьютеров. Для расчета количества комбинаций этих компьютеров, взятых из каждого класса по одному, нужно рассчитать

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Например, перестановки чисел 1, 2, 3: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из
общей совокупности в n элементов.
Например, размещения из четырех чисел 1, 2, 3, 4 по два: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).

Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.
Сочетаниями из четырех чисел 1, 2, 3, 4 по два:
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).

Задача:

В соответствии с комбинаторными принципами
для определения общего числа элементарных исходов нужно
подсчитать число упорядоченных наборов из четырех букв. Мы
имеем дело с числом перестановок, поэтому число элементарных исходов n = 5! = 120. Слово “лампа” образует две перестановки, то есть число благоприятных для события А элементарных исходов m = 2. Поэтому P(A) = m/n = 2/120=1/60.

Задача:

Обозначим через через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, то есть

Задача:

Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из двенадцати элементов по три, то есть С из 12 по 3.

Число исходов, благоприятствующих появлению двух котят различного окраса (и не рыжих), равно числу сочетаний из одиннадцати элементов по два, то есть С из 11 по 2.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

Задача:

Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из десяти, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 – количество сочетаний

Число благоприятствующих исходов (среди 6 взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартных деталей можно взять из 7 стандартных способами, при этом остальные 6-4=2 должны быть нестандартными. Взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Задача:

Введем следующие обозначения: N – общее число машинок, n – число бездефектных машинок, m – число отобранных в партию машинок, k – число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по m машинок (общее число возможных исходов) будет равно числу сочетаний из N элементов по m, т. е. . Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по k, т. е. ..

Оставшиеся дефектные машинки (элементы) тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из
N – n элементов по m – k, т. е. .

Это значит, что общее число благоприятствующих исходов
определяется произведением

.

Подставив в эту формулу численные значения данного примера, получим

Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса

Цель: Сформировать у студентов понятия зависимых и
независимых событий, условной и полной вероятности, научить
решать задачи, в которых определяются полная вероятность и
вероятность гипотезы.
При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В часто возникает вопрос: насколько связаны эти события друг с другом, в какой мере наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Теорема произведения вероятностей:

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Пример:

Три человека договорились о встрече в определенном месте, в определенный час. Известны вероятности прихода на
встречу каждого человека:

Определить вероятность того, что все три человека придут на
встречу.

Решение:

Вероятность того, что все эти люди придут на встречу, будет определяться по формуле произведения вероятностей независимых событий:

Случайное событие – это событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и
известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения зависимых друг от друга событий.

Теорема:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство

Применив формулу (1) к событию ВА, получим

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Сравнивая формулы (1) и (2), заключаем о справедливости равенства

Пример:

У продавца имеется 3 красных воздушных шарика и 7 синих шариков. Продавец взял наугад один шарик из мешка, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых шариков – красный, а второй – синий.

Решение:

Вероятность того, что первый шарик окажется красным
(событие A), Р (А) = 3/10. Вероятность того, что второй шарик окажется синим (событие В), вычисленная в предположении, что первый шарик – красный, т. е. условная вероятность

По теореме умножения, искомая вероятность

Заметим, что сохранив обозначения, легко найдем:

что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (3).

Пример:

В урне 5 белых, 4 зеленых и 3 синих кубика. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один кубик, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый кубик (событие A), при втором – зеленый (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение:

Вероятность появления синего кубика в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании
появился белый кубик, а во втором – зеленый, т. е. условная вероятность

Искомая вероятность:

Формула полной вероятности

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий

Условимся называть эти события по отношению к А гипотезами.
Общая гипотеза – это научно обоснованное предположение о законах и закономерностях природных и общественных явлений, а также закономерностях психической деятельности человека. Приведем примеры некоторых гипотез.

• Гипотеза Демокрита: «Вещество состоит из атомов».

• Гипотеза биохимической эволюции: «Жизнь это результат длительной эволюции углеродных соединений» (Авторы биохимик А. И. Опарин в 1924 г. и Дж. Холдейном в 1929 г.).
• Гипотеза большого взрыва: «Наша вселенная произошла около 13 млрд лет назад в результате взрыва чрезвычайно плотного и горячего вещества – космологической сингулярности».

Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Пример:

Имеются три урны. В первой находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных, в третьей – 8 белых. Наугад выбирается одна из урн и из нее вытаскивается один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным (событие А)?

Решение:

Шар может быть вытащен из первой урны, либо из второй, либо из третьей; обозначим эти события

Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то

Далее находим вероятности события А при каждом из условий

Во многих задачах на полную вероятность, рассматриваемый опыт можно представить происходящим в два этапа; гипотезы исчерпывают все возможные предположения
относительно исхода первого этапа, событие же А есть один их
возможных исходов второго этапа. В рассмотренном примере
первый этап заключался в выборе урны, второй – в извлечении
из нее шара.

Формула Т. Байеса

Формула священника и математика Томаса Байеса была опубликована в 1764 г. Ученые и религиозные деятели того времени искали ответы на сложнейшие вопросы мироздания. Среди них: возникновение и устройство космоса, эволюция, появление человека – на многие трудные вопросы должен был быть найден математический ответ. Результатом таких исследований и стала
формула Т. Байеса, которая используется в теории вероятностей до сих пор.

Формула Байеса относится к той же ситуации, что и формула полной вероятности, но определяет вероятность гипотезы, которая привела к наступлению события. Событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий

Пусть произведен опыт, в результате которого произошло событие А. Сам по себе этот факт еще не позволяет сказать, какое из событий имело место в проделанном опыте. Поставим задачу: найти вероятности каждой из гипотез в предположении что событие А наступило. Эта задача решается при помощи формулы Байеса.
В примере из предыдущего раздела вероятность гипотезы – шар извлечен из третьей урны – до того, как произведен опыт, равнялась 1/3. Однако, если опыт произведен и наступило событие А – вытащенный шар оказался черным, то это снижает шансы гипотезы до нуля. Послеопытная, “апостериорная” вероятность гипотезы будет в данном случае ниже, чем доопытная, “априорная”.

– формула Байеса.

Вывод формулы весьма прост – из формулы полной вероятности.

или, если воспользоваться формулой полной вероятности,

Пример:

В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. а) Какова вероятность того, что выбран юноша? б) Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность, что он первокурсник?

Решение:

Обозначим через А событие – выбор группы студентов для поездки в город. Можно выдвинуть две гипотезы:
Н1 – выбрана группа первокурсников, а поскольку первокурсников 2 группы, то Р(Н1) = 2/3;
Н2 – выбрана группа второкурсников, причем Р(Н2) = 1/3.
Условная вероятность того, что выбранный человек является юношей первокурсником: Р(А/Н1) = 5/8.
Условная вероятность того, что выбранный человек является юношей второкурсником: Р(A/Н2) = 1/2.
Вероятность того, что наудачу выбранный человек – юноша определяется по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(A/Н1)Р(Н1) + Р(A/Н2)Р(Н2) = 5/8*2/3 + 1/2 *1/3 =7/12.
Искомая вероятность того, что выбранный человек – юноша с первого курса определяется по формуле Байеса:

Распределения дискретных случайных величин

В определенный момент времени непрерывная случайная величина может быть выражена в численной форме, но впоследствии это значение будет непрерывно изменяться.
Дискретными являются сигналы тревоги, языковые сообщения в виде звука и письма, жесты и т.п. Например, такие величины, как количество человек в студенческой группе, число солнечных дней в году, высота горы, уровень интеллекта являются дискретными величинами, потому что имеют конкретный количественный признак, который некоторое время не изменяется.

Для обработки непрерывной и дискретной информации существуют и разные вычислительные машины: аналоговые и цифровые. Аналоговые машины следят за постоянно изменяющимся аналоговым сигналом. Например, в отделениях интенсивной терапии такие ЭВМ могут измерять давление, снимать кардиограмму и др.

Например, число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая имеет возможные значения: 0,1,2,3…100.
Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле орудия – есть случайная величина, которая зависит от прицела, силы и
направления ветра, температуры воздуха. Возможные значения
этой величины принадлежат промежутку (a,b).
Далее будем обозначать случайные величины прописными
буквами Х, Y, Z, а их возможные значения x,y,z. Например случайная величина Х имеет три возможных значения

Случайной величиной называется произвольная функция,
ставящая в соответствие каждому элементарному исходу (событию) число

Так как — ограничено своим набором возможных событий, то случайная величина принимает не более чем счетное число значений:

Распределением дискретной случайной величины назовем таблицу 2.

Таким образом, с точки зрения функционального анализа,
случайная величина представляет собой обычную числовую
функцию, заданную на пространстве элементарных исходов (событий) . Специфика теории вероятностей проявляется в том,
что на пространстве задана также вероятность Р.

Пример:

Два игрока играют в “орлянку” на следующих
условиях: если при подбрасывании монеты выпадает “орел”, то
первый игрок платит второму $1, если “решка”, то второй игрок
платит первому $2. Опишем случайную величину , равную выигрышу первого игрока в этой игре (при одном подбрасывании
монеты).

Решение:

Пространство элементарных исходов (событий)
состоит из двух исходов: – выпадение “орла” и – “решки”.
—Алгебра событий насчитывает 4 события:

Это следует из аксиом Колмогорова. Предполагая, что монета
симметричная, найдем вероятности всех событий из множества
алгебры событий:

Вероятностное пространство – определено.

Функция распределения случайной величины

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функция F(x), значение которой в точке х равно вероятности события т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов , для которых

Или говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее х.

Свойства функции распределения

1.Функция F(x) является ограниченной, то есть ее значения
лежат в интервале от 0 до 1.

2. Функция F(x) является неубывающей. Если то так как вероятность любого события неотрицательна.

3.Поскольку событие является невозможным, а событие – достоверным, то имеем

3.Вероятность попадания случайной величины на отрезок определяется формулой:

Событие при представляет собой объединение двух непересекающихся событий: – случайная величина приняла значение, меньшее , и – случайная величина приняла значение, лежащее в интервале .

Поэтому из аксиомы сложения получаем:

Зная функцию распределения F(x), можно однозначно определить вероятность попадания случайной величины не только на интервал [x1, x2], но и в любое множество на прямой.

Итак, с любой случайной величиной связана ее функция распределения. После общего определения функции распределения случайной величины, перейдем к частным случаям – дискретной и непрерывной функциям распределения.

Дискретные случайные величины

Случайные величины могут быть дискретными т.е. принимать
только конечное или счетное множество определенных значений
(например, число очков при бросании игральной кости; число телефонных звонков, поступающих конкретному абоненту в течение суток). У таких величин F(x) имеет разрывы в точках,
соответствующих принимаемым значениям. Такие величины удобнее характеризовать указанием возможных значений и их вероятностей.

Дискретную случайную величину удобно характеризовать рядом распределения.

– все возможные значения случайной величины.
Р – вероятности того, что случайная величина
примет эти значения.

Пример:

Искомая случайная величина X может принимать три значения: -1, (если субъект не выиграет, а фактически проиграет $1, уплаченный за билет); $9, $29. Первому результату благоприятны 47 случаев из 50, второму – 2 из 50, третьему – 1 из 50. Следовательно, вероятности, соответствующие этим случаям равны:
Р(Х=-1) = 47/50 = 094; P(X=9) = 2/50 = 0,04; P(X=29) = 1/50 = 0,02.
Закон распределения Х имеет вид:

Виды дискретных функций распределения

Биноминальное распределение

Биноминальное распределение является распределением числа успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q = 1 – p.

Схема Бернулли

Рассмотрим последовательность независимых одинаковых испытаний: появление или не появление некоторого наблюдаемого события в каждом испытании не будет зависеть от исходов предыдущих испытаний. Это и есть схема Бернулли.

Опыт состоит в n-кратном повторении одинаковых испытаний, в каждом из которых может с вероятностью р наступить
некоторое событие (будем говорить в этом случае, что произошел “успех”) или с вероятностью q = 1 – p не наступить (произошла “неудача”). Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН…У, “У” – успех, “Н” – неудача.

Вычислим вероятность получить в n испытаниях ровно m успехов. Событие – в n испытаниях произошло ровно m успехов – состоит из тех элементарных исходов, в которых буква “У” появляется ровно m раз. Число таких исходов совпадает с числом сочетаний (не важен порядок выпадения “У”). С другой стороны, каждый элементарный исход, в котором буква “У” встречается ровно m раз имеет вероятность Окончательно получаем:

Данное выражение носит также название биноминального
закона, поскольку можно получить как коэффициент при бинома

Дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону (рис. 8), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n в соответствии с рядом распределения, представленным в табл. 6, где 0 < p, q < 1 и p + q = 1.

Последний член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; предпоследний член определяет вероятность наступления события рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; предпоследний член определяет вероятность наступления события n-1 раз, а первый член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Основные характеристики распределения:

Задача:

Монета брошена 2 раза. Определить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

Решение:

Вероятность появления герба при каждом бросании монеты равна следовательно, вероятность непоявления герба равна q=1-p=1-1/2=1/2.
При бросании монеты герб может появиться или 2 раза или 1 раз или совсем не появиться. Найдем вероятности этих событий по формуле Бернулли.

Задача:

На зачете студент получил n = 4 задачи. Вероятность решить правильно каждую задачу p = 0,8. Определим ряд распределения и построим функцию распределения случайной
величины – числа правильно решенных задач.

Решение:

В данном случае мы имеем дело с биноминальным законом:

Пуассоновское распределение

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят
с фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от
друга (рис. 9).
Дискретная случайная величина распределена по закону
Пуассона и принимает целые неотрицательные значения с вероятностями, представленными рядом распределения (см. табл. 8).
Параметр пуассоновского распределения определяет интенсивность поступления событий и определяется формулой: где n – общее число испытаний, а Р – вероятность благоприятного исхода испытания.

Распределение Пуассона носит также название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой
вероятностью происходит “редкое” событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном
районе; число распавшихся нестабильных частиц и т. д. При условии

закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона.

Основные характеристики распределения:

Распределение Пуассона

Формула Пуассона

Формула Пуассона применяется тогда, когда наряду с большим значением числа испытаний n “мала” вероятность успеха р.
Она относится к приближенным формулам для вычисления при больших n. Формула Пуассона наиболее простая из
них.
Строго математически теорема Пуассона опирается на понятие схемы серий, здесь приведена “инженерная” интерпретация теоремы.

Теорема Пуассона:

Пусть число испытаний n в схеме Бернулли “велико”, а вероятность успеха р в одном испытании “мала”, причем “мало” также произведение Тогда определяется по приближенной формуле (формула Пуассона)

Доказательство. Формула Бернулли

или с учетом обозначения

При больших Кроме того, если n – велико, то

Поэтому приходим к доказываемой формуле.

Задача:

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение:

По условию n =5000, р=0,0002, k=3.
Найдем

По формуле Пуассона искомая вероятность равна

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Например, поступление вызовов на станцию скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов в пункт сервиса, покупателей в магазин и т.д.
Простейшим (Пуассоновским) – называется поток событий, обладающий следующими свойствами:

• вероятность появления двух и более событий ничтожно
  мала по сравнению с вероятностью появления только
  одного события (ординарность);
• отсутствие последствий: вероятность появления m событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись ли события раньше;
• стационарность: в одинаковые промежутки времени
  вероятность происхождения события одинакова.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Задача:

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно – 2. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит: а) 2 вызова; б); в) не менее 2 вызовов.

Решение:

По условию

По формуле Пуассона:

А) Вероятность, что за 5 минут поступят 2 вызова:

Это событие практически невозможно.
Б) События «не поступило не одного вызова» и «поступил 1 вызов» – несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей: вероятность того, что за 5 минут поступят менее 2 вызовов, равна:

Геометрическое распределение

Рассмотрим схему Бернулли. Пусть – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда – дискретная случайная величина, принимающая
значения 0, 1, 2,…. n,….. Определим вероятность события

Очевидно, что = 0, если в первом же испытании произойдет
успех. Поэтому Далее, = 1 в том случае, когда в
первом испытании произошла неудача, а во втором – успех. Вероятность такого события – qp, то есть

Аналогично,, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем – успех: есть

Продолжая эту процедуру, получим ряд распределения:

Случайная величина с таким рядом распределения называется распределенной по геометрическому закону (рис. 10).

Геометрическое распределение

Задача:

По условию, р=0,6, q=0,4, k=3. Искомая вероятность определяется по формуле:

Задача:

Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность
того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение:

Случайная величина X – число сделанных выстрелов – имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более
трёх патронов равна

Гипергеометрическое распределение

Определение:

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения
0, 1, 2,… min {n, M} с вероятностями

где

Гипергеометрическое распределение широко используется в
практике статистического приёмочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией
выборочных обследований, и некоторых других областях.

Задача:

В национальной лотерее «6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие от трёх до шести чисел из случайно отобранных 6 из 45 (размер выигрыша увеличивается с увеличением числа угаданных чисел). Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X – числа угаданных чисел среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза?

Решение:

Случайная величина X – число угаданных чисел среди случайно отобранных шести – имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n=6, N=45, M=6. Ряд распределения X, рассчитанный по формуле:

Распределения непрерывных случайных величин

Функция p(x) называется плотностью распределения (вероятностей) случайной величины (рис. 11).

Функция , обладающая вышеперечисленными свойствами, называется плотностью распределения случайной величины .
Определим простейшие свойства плотности распределения р(x) непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения непрерывной случайной вели-
   чины неотрицательная функция, поскольку она является производной от функции распределения, а функция распределения – неубывающая р(x)>0 для всех х.
2. Площадь, целиком заключенная под всей кривой плотности распределения, равна единице.
   
3. Вероятность попадания случайной величины на интервал
   [a; b] численно равна площади криволинейной трапеции
   (рис. 12):

Следовательно,

Равномерное распределение

Равномерно распределенная на отрезке [a,b] случайная величина имеет функцию распределения (рис. 13):

Функция равномерного распределения имеет вид:

Плотность равномерного распределения представлена ниже (рис.14).

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал лежащий внутри отрезка (a,b), равна

то есть пропорциональна длине этого интервала. Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок (a,b).

Экспоненциальное распределение

Случайная величина подчиняется экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет функцию распределения:

Плотность экспоненциального распределения можно получить интегрированием функции распределения:

Экспоненциально распределенная случайная величина может принимать только положительные значения. Экспоненциальному распределению подчинено время распада атомов различных элементов. При этом число носит название среднего времени распада. Кроме того, употребляется также число – называемое периодом полураспада.

Экспоненциально распределенная случайная величина
обладает свойством – отсутствием последействия. Это можно
трактовать как независимость поведения случайной величины в
момент времени от того, что с ней произошло до этого.

Основные характеристики распределения:

Нормальное распределение

Случайная величина распределена по нормальному или гауссову закону, если она имеет плотность распределения

Нормальное распределение зависит от двух параметров: где m – математическое ожидание или среднее значение нормального закона; среднее квадратичное отклонение (рис. 17).

Графики для плотности распределения с одинаковым средним арифметическим и различными среднеквадратическими отклонениями. Плотность нормального распределения зависит от значений среднего арифметического и среднеквадратичного отклонения (рис. 18).

Параметр m определяет положение центра нормальной плотности, а разброс относительно центра. Если m = 0, то такой нормальный закон называется стандартным и его функция распределения обозначается через Ф(х).

Основные характеристики распределения:

Нормальное распределение возникает обычно в явлениях,
подверженных действию большого числа “малых” случайных
воздействий.

Распределение Вейбулла

Случайная величина распределена по закону Вейбулла, если она имеет плотность распределения

Семейство распределений Вейбулла является двухпараметрическим и описывает положительные случайные величины (рис.19). Считается, что распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. Если то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если – в так называемое распределение Релея.

Гамма-распределение

Другим распределением, также достаточно хорошо описывающим времена безотказной работы различных технических устройств, является гамма-распределение с плотностью:

где – гамма-функция Эйлера. Свойства гамма-функции:

Для целых n. Функция и плотность Гамма-распределения представлены на рис. 20.

Если – полуцелое, а то гамма-распределение
превращается в так называемое распределение (хи-квадрат).
Параметр k – называется в этом случае числом степеней свободы распределения .

Функции от случайной величины

Для дальнейшего развития понятия – случайная величина, следует перейти к понятию – функция от случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве задана случайная величина Возьмем обычную (измеримую) числовую функцию g(x) числового аргумента х. Сопоставляя каждому элементарному исходу число по формуле получим новую случайную величину , которую
назовем функцией от случайной величины .

Функция от дискретной случайной величины также
является дискретной случайной величиной, поскольку она не
может принимать больше значений, чем случайная величина .
Ряд распределения случайной величины можно представить таблицей:

При этом, если в верхней строке таблицы появляются одинаковые значения то соответствующие столбцы надо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Функция от непрерывной случайной величины
может быть как непрерывной, так и дискретной (дискретной она
будет, например, если множество значений функции g(x) не более, чем счётно). Найдем функцию распределения по заданной плотности По определению представляет собой вероятность события состоящего из тех элементарных исходов , для которых В свою очередь, вероятность события можно определить, используя аксиому сложения вероятностей, “просуммировав” вероятности всех возможных значений y (промежуточная переменная) случайной величины , для которых g(y)<x. Так как вероятность случайной
величине принять значение в промежутке от y до y+dy приближенно равна то, заменяя сумму на интеграл, получаем

Рассматривая любую функцию от случайной величины (как, впрочем, и любую другую функцию), необходимо четко представлять область определения этой функции. В случае
функции распределения область определения строится на тех
значениях х (то есть случайных величинах, полученных на множестве событий ), для которых g(y) < x.

Числовые характеристики случайных величин

Цель: изучение количественных характеристик моментов высших порядков.

Основной целью статистического анализа является выяснение некоторых свойств изучаемой генеральной совокупности.
Если генеральная совокупность конечна, то наилучшая процедура – рассмотрение каждого ее элемента. Однако в большинстве интересных задач используются либо бесконечные генеральные совокупности, либо конечные, но трудно обозримые. В этой ситуации необходимо отобрать из генеральной совокупности подмножество из n элементов, называемое выборкой объема n, исследовать его свойства, а затем обобщить эти результаты на всю генеральную совокупность. Это обобщение называется статистическим выводом.

Генеральная совокупность (популяция) W – полный набор объектов w, с которыми связана данная проблема. Эти объекты могут быть людьми, животными, изделиями и так далее. С каждым объектом связана величина (или величины), называемая исследуемым признаком ().

Пример:

При регистрации размеров продаваемой магазином женской верхней одежды были получены данные о 100 покупках (табл. 11).

Построим экспериментальное распределение данных по частотам. Для этого нужно определить количество признаков или интервалов частот, а затем подсчитать сколько вариантов в выборке соответствуют каждому интервалу, то есть частоту. Результаты этих расчетов для удобства заносят в таблицу, аналогичную табл. 12.

По выборочным частотам строят гистограмму частот, которая характеризует опытное распределение (рис. 21).

Другое представление получается, если значения на оси Y, соответствующие значениям на оси X, соединить ломаной кривой. Эта фигура называется полигоном частот или многоугольником распределения. Полигон частот дает информацию о законе распределения генеральной совокупности.

Графическая иллюстрация статистических данных, геометрическая интерпретация отдельных вопросов статистики дает им наглядность, а в ряде случаев позволяет подвергнуть их анализу в наиболее простой и доступной форме. В примере использованы графики, полученные в результате обработки данных в Excel.

Асимметричные распределения можно разбить на три вида:

• умеренно асимметричные – распределения у которых часто-
  ты, находящиеся по одну сторону от наибольшей, больше
  (или меньше) частот, находящихся по другую сторону от
  наибольшей на таком же “расстоянии”;
• крайне асимметричные – распределения, у которых частоты
  или все время возрастают, или все время убывают.
• U-образные – частоты сначала убывают, а затем возрастают.
  Числовые характеристики статистического распределения

В качестве характеристик измеримого признака вместо исходных значений величин или таблиц их частот используют числовые характеристики, называемые также статистическими мерами.

• Среднее арифметическое определяется по формуле

• Среднее линейное отклонение d – среднее арифметическое
  абсолютных величин отклонений вариантов от их средней
  арифметической.

• Дисперсия D – среднее арифметическое квадратов отклонений вариантов от их средней:

• Среднее квадратичное отклонение – квадратный корень
  из дисперсии.

Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности с которыми эти значения принимаются:

Если рассматривать экспериментальные данные, аналогом
математического ожидания является среднее арифметическое
значение набора данных. Среднее арифметическое значение
приближается к математическому ожиданию при увеличении
числа испытаний.

Пример:

Найдем математическое ожидание случайной величины распределенной по биноминальному закону (число
успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р):

Пусть имеет распределение Пуассона. Тогда
математическое ожидание этой величины равно:

При больших

Таким образом, параметр пуассоновского распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическим ожиданием (средним значением)
непрерывной случайной величины называется интеграл

Свойства математического ожидания

1.Если случайная величина принимает всего одно значение С с вероятностью единица. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

2. Пусть – случайная величина, выраженная линейной функцией, тогда математическое ожидание этой случайной величины равно:

Рассматривая пример доказательства этого свойства для непрерывного случая:

Аналогично свойство 2 доказывается для дискретной случайной величины (постоянные величины выносятся за знаки суммирования).

3. Пусть – случайная величина, которая является суммой
двух других величин: Тогда математическое ожидание
суммы двух случайных величин равно сумме математических
ожиданий каждой из этих величин:

Рассмотрим доказательство этого свойства на примере дискретной случайной величины:

4.Если и независимы, то математическое ожидание их произведений равно произведению их математических ожиданий:

Дисперсия. Моменты высших порядков

Наряду со средним значением необходимо иметь число, характеризующее “разброс” случайной величины вокруг своего
среднего. Такой характеристикой обычно служит дисперсия.

Следует помнить, что существует много характеристик разброса, в частности, центральные моменты любого четного порядка.
Существует много случайных величин, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Например, дискретные случайные величины, заданные законами распределения:

Найдем математическое ожидание этих величин:

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, причем Х – близки к математическому ожиданию, а Y – далеки. Таким образом, зная математическое ожидание, нельзя судить о значениях случайной величины, ни о том, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания. Для оценки отклонения случайной величины от ее математического ожидания используют дисперсию.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием Х – М(Х).
На практике для оценки рассеяния случайной величины вокруг ее среднего значения пользуются величиной, названной дисперсией. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вокруг цели, которая должна быть поражена.

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Дисперсия — дискретной случайной величины определяется формулой

На первый взгляд может показаться, что достаточно вычислить все возможные значения отклонения и найти их среднее значение, но такой путь ничего не даст, поскольку отклонения бывают отрицательными и их среднее значение равно 0. Поэтому лучше взять абсолютные значения отклонений или их квадраты.
Пусть случайная величина задана законом распределения:

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

По определению дисперсии,

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной
величины определяется равенством:

Дисперсия представляет собой второй момент случайной величины , из которой вычтено ее математическое ожидание
то есть центрированной (имеющей нулевое математическое
ожидание) случайной величины

Поэтому дисперсию иногда называют вторым центральным моментом.

Свойства дисперсии

Определим некоторые свойства дисперсии (без вывода).

1.Если случайная величина с вероятностью 1 принимает одно и тоже постоянное значение С, то из свойства 1 математического ожидания получаем

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
возведя его в квадрат:

3.Дисперсия суммы случайной величины и постоянной равна:

4.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин и
равна сумме дисперсий каждой из этих величин:

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины . Для практических целей удобно иметь
меру разброса, размерность которой совпадает с размерностью . В качестве такой меры естественно использовать ,
которую называют средним квадратичным отклонением случайной величины (или стандартным отклонением).

Моменты высших порядков

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , то есть:

Заметим, что математическое ожидание случайной величины – начальный момент первого порядка,

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина определяемая формулой

Дисперсия является центральным моментом второго порядка.
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты,
например:

где – центральный момент третьего порядка.
Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx,
то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент
асимметрии, который определяется формулой:

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в
теории вероятностей и в математической статистике, поэтому
график плотности вероятностей нормального распределения
стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие
распределения. Одним из параметров, определяющих отличие
распределения случайной величины x от нормального распределения, является эксцесс.

Предельные теоремы теории вероятностей

Теоретическим обоснованием этого замечательного
свойства случайных явлений является закон больших чисел.
Теоремы закона больших чисел устанавливают зависимость
между случайностью и необходимостью. Названием «закон
больших чисел» объединена группа теорем, устанавливающих
устойчивость средних результатов большого количества
случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости.
Простейшая форма закона больших чисел и исторически
первая теорема этого раздела – теорема Бернулли. Эта теорема
устанавливает связь между вероятностью появления события и
его относительной частотой появления и позволяет при этом
предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытаниях.

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли:

Если вероятность события А
одинакова во всех испытаниях и равна Р(А), то при достаточно
большом n для произвольного e >0 справедливо неравенство:

а при переходе к пределу получаем:

Для данной оценки неравенство переписывают в виде:

Пример:

Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на

Решение:

Вероятность появления герба р=0,5, тогда q = 1-
0,5=0,5; n= 1000,

Раскрывая модуль и решая неравенство относительно m, получим: 400<m<600. Итак, вероятность небольшого отклонения частоты выпадения герба (±100) от его классической вероятности 0,5 равна 0,975. Значит, вероятность большего отклонения крайне мала и равна 0,025.

Теорема Пуассона

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами, например формулой Пуассона (когда npq<9). Если производится n независимых опытов и вероятность появления события в каждом опыте равна рi, то при увеличении n, 0 частота события , где и стремится к среднему арифметическому вероятностей события А.

Пример:

Для вычисления вероятности используем формулу Пуассона:

Параметр лямбда считаем по формуле:

Ответ: вероятность того, что в течение года выйдет из строя больше трех лампочек 0,37.
Предельные теоремы теории вероятностей объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его
образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда
случайная величина образуется в результате сложения большого
числа независимых случайных величин, дисперсии которых
малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения
этой случайной величины оказывается практически нормальным
законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются
бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них
не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной
величины, то большинство встречающихся в практике
случайных величин подчинено нормальному закону
распределения.
В основе качественных и количественных утверждений
закона больших чисел лежит неравенство Чебышева. Оно
определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение
значения случайной величины от ее математического ожидания
больше некоторого заданного числа. Замечательно, что
неравенство Чебышева дает оценку вероятности события для случайной величины, распределение которой
неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и
дисперсия.

Схема описания всех этих явлений с единых вероятностных позиций выглядит следующим образом: имеется последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин (генеральная совокупность — в терминах математической статистики) и из нее образуется среднее арифметическое первых n членов (выборка из генеральной совокупности). Спрашивается, как будет вести себя это среднее арифметическое, если n велико? Оказывается, что при большом n оно теряет свойство случайности и приближается к математическому ожиданию. Данный факт мы априорно используем уже давно, перейдя к основным понятиям математической статистики. Этот факт носит название закона больших чисел.

Теорема Муавра-Лапласа

Локальная теорема: Если в схеме Бернулли число испытаний n “велико”, то для всех m справедлива приближенная формула (локальная формула Муавра-Лапласа)

Интегральная теорема: Если в схеме Бернулли число
испытаний n “велико”, то для вероятности того, что
число “успехов” заключено в пределах от до справедливо приближенное соотношение интегральная формула Муавра-Лапласа)

— функция стандартного нормального распределения.

Решение центральной предельной проблемы позволило
описать класс всех распределений, которые могут выступать в
качестве предельных для функций распределения сумм
независимых случайных величин в том случае, когда вкладом
каждого слагаемого можно пренебречь, найти необходимые и
достаточные условия сходимости к каждому распределению
этого класса, оценить скорость сходимости скорость сходимости, как и сама вероятность сходимости ряда наблюдений к некоторой постоянной величине — является важным критерием устойчивости случайного процесса).

Неравенство Чебышёва

Рассмотрим случайную величину , имеющую дисперсию Дисперсия является показателем разброса вокруг
математического ожидания

Однако с точки зрения исследователя, разброс естественнее характеризовать вероятностью случайной величины от на величину, большую некоторого заданного

Следующее неравенство позволяет оценить эту вероятность через
дисперсию

Неравенство Чебышёва. Для каждой случайной величины , имеющей дисперсию при любом справедливо
неравенство

Доказательство для непрерывной случайной величины с плотностью распределения р(х). По определению

Поскольку подынтегральное выражение неотрицательно, то при
уменьшении области интегрирования интеграл может только
уменьшиться. Поэтому

Учитывая теперь, что если получаем

Последний интеграл представляет собой вероятность события и, значит

откуда и следует неравенство Чебышёва. Аналогично неравенство
доказывается и для дискретного случая, при этом нужно только
заменить интеграл на сумму.
Ясно, что применять неравенство Чебышёва имеет смысл
только тогда, когда в противном случае оно дает
тривиальную оценку. Неравенство Чебышёва дает грубую
оценку того, что исследуемая величина примет некоторое
значение в заданном диапазоне.
Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (так как случайные величины одинаково распределены, то все их числовые характеристики, в частности математические ожидания и дисперсии, равны между собой). Эта последовательность удовлетворяет (слабому) закону больших чисел, если для некоторого а и любого

Теорема (закон больших чисел)

Если последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин такова, что
существуют то для любого .

Доказательство является элементарным следствием неравенства Чебышёва: по свойствам математического ожидания и дисперсии

Воспользовавшись теперь неравенством Чебышёва, получаем, что для любого

Таким образом, показано, что для последовательности
выполняется закон больших чисел, причем
постоянная а совпадает с математическим ожиданием

Дополнительные лекции:

1. Случайные события и их вероятности
2. Случайные величины
3. Функции случайных величин
4. Числовые характеристики случайных величин
5. Законы больших чисел
6. Статистические оценки
7. Статистическая проверка гипотез
8. Статистическое исследование зависимостей
9. Теории игр
10. Вероятность события
11. Теорема умножения вероятностей
12. Формула полной вероятности
13. Теорема о повторении опытов
14. Нормальный закон распределения
15. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
16. Системы случайных величин
17. Нормальный закон распределения для системы случайных величин
18. Вероятностное пространство
19. Классическое определение вероятности
20. Геометрическая вероятность
21. Условная вероятность
22. Схема Бернулли
23. Многомерные случайные величины
24. Предельные теоремы теории вероятностей
25. Оценки неизвестных параметров
26. Генеральная совокупность