Задачи про объем конуса егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на Пи .

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

09
Сен 2013

Категория: 02 Стереометрия

02. Конус

2013-09-09
2022-09-11

Задача 1. Высота конуса равна , образующая равна Найдите его объем, деленный на .

Решение: + показать

Задача 2. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного Найдите его объем, деленный на .

Решение: + показать

Задача 3. Высота конуса равна а диаметр основания – Найдите образующую конуса.

Решение: + показать

Задача 4. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом В ответе укажите $frac{V}{pi}.$

Решение: + показать

Задача 5. Длина окружности основания конуса равна образующая равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение: + показать

Задача 6. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 7. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в раз?

Решение: + показать

Задача 8. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в раз, а высота останется прежней?

Решение: + показать

Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 10. Объем конуса равен Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение: + показать

Задача 11. Площадь полной поверхности конуса равна Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Решение: + показать

Задача 12. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом $30^{circ}.$ В ответе укажите $frac{V}{pi}$ .

Решение: + показать

Задача 13. Диаметр основания конуса равен а угол при вершине осевого сечения равен °. Вычислите объем конуса, деленный на .

Решение: + показать

Задача 14. Площадь основания конуса равна , высота — Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение: + показать

Задача 15. Площадь основания конуса равна Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной и считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Решение: + показать

Задача 16. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $frac{V}{pi}$ .

Решение: + показать

Задача 17. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $frac{V}{pi}$ .

Решение: + показать

Задача 18. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Автор: egeMax |

комментариев 10

Печать страницы

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Конус»

(blacktriangleright) Точка (P) – вершина конуса.

(blacktriangleright) Отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания, называется образующей (все образующие равны между собой).

(blacktriangleright) Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания-круга, является высотой конуса.

(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности конуса ({large{S_{text{бок.пов.}}=pi rl}}), где (r) – радиус основания, (l) – образующая.

(blacktriangleright) Площадь полной поверхности конуса – эта сумма площади боковой поверхности и площади основания. [{large{S_{text{полн.пов.}}=pi rl+pi r^2=pi r(r+l)}}]

(blacktriangleright) Объем конуса ({large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн.}}cdot h=dfrac{1}{3}pi
r^2h}}), где (h) – высота конуса.

Заметим, что конус имеет некоторое сходство с пирамидой, только в основании пирамиды лежит многоугольник (граница которого – ломаная), а в основании конуса – круг (граница которого – гладкая).
Поэтому можно сказать, что поверхность пирамиды “ребристая” , а конуса – “гладкая”.

Задание
1

#1886

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности конуса равна (48pi), а площадь основания равна (36pi). Найдите длину образующей конуса.

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса обозначить за (r), а длину образующей за (l), то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам: (S_{text{осн.}} =
pi r^2), (S_{text{бок.пов.}} = pi r l). Из первой формулы следует: (pi r^2 = 36pi) (Rightarrow) (r^2 = 36) (Rightarrow) (r
= 6) (Rightarrow) (6pi l = 48pi) (Rightarrow) (6l = 48) (Rightarrow) (l = .

Ответ: 8

Задание
2

#1887

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности конуса равна (48pi), а площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна (36pi). Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна (10).

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей: (S_{text{мал}} = 48pi — 36pi = 12pi). Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия между ними: [frac{S_{text{бол}}}{S_{text{мал}}} = k^2 =
frac{48pi}{12pi} = 4Rightarrow k = 2]

Тогда высоты конусов относятся друг к другу: (dfrac{h_{text{бол}}}{h_{text{мал}}} = dfrac{10}{h_{text{мал}}}
= k = 2). Тогда

[h_{text{мал}} = 5Rightarrow h_{text{усеч}} = h_{text{бол}}
— h_{text{мал}} = 10 — 5 = 5]

Ответ: 5

Задание
3

#962

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На высоте конуса с вершиной (A), центром основания (C) и радиусом основания (R = 4) отметили точку (E) такую, что расстояние от неё до основания равно (sqrt{3}(4-pi^{-0,5})). Известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен (60^circ). Найдите площадь сечения (T) конуса, проходящего через точку (E) и параллельного основанию конуса.

Рассмотрим треугольник (ABC), где (B) – некоторая точка на окружности основания. Так как (AC) – высота конуса, то (ACperp CB), тогда (angle CAB = 90^circ — angle ABC = 30^circ), следовательно, (AB = 2CB = . По теореме Пифагора [AC = sqrt{AB^2 — CB^2} = 4sqrt{3}.]

Обозначим через (D) точку пересечения плоскости сечения (T) и (AB). Рассмотрим треугольник (AED): [AE = AC — CE = 4sqrt{3} — sqrt{3}(4 — pi^{-0,5}) = sqrt{dfrac{3}{pi}}.]

Так как сечение (T) параллельно плоскости основания, а (AC) – высота конуса, то (ACperp ED), тогда (triangle AED) – прямоугольный и (angle EAD = 30^circ), откуда [ED = AEcdot mathrm{tg}, angle EAD = sqrt{dfrac{3}{pi}}cdot dfrac{1}{sqrt{3}} = dfrac{1}{sqrt{pi}} = r] – радиус сечения (T).

Таким образом, площадь сечения (T) равна (pi r^2 = picdotdfrac{1}{pi} = 1).

Ответ: 1

Задание
4

#963

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Радиусы оснований усечённого конуса равны [r = dfrac{2}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}}qquad text{и}qquad R = dfrac{10}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},] а угол между его образующей и основанием равен (45^circ). Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Обозначим центры оснований усечённого конуса через (A) и (E), так что (A) – центр большего основания. Отметим на большем основании точку (C), а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из (C), обозначим через (D).

Высота (AE) и образующая (CD) лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через (B).

Так как (AE) – высота, то (AEperp CD) и (AEperp AC).

Рассмотрим прямоугольный треугольник (BAC):
в нём (angle BCA = 45^circ), тогда [AB = R = dfrac{10}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},qquadqquad BC = Rsqrt{2} = dfrac{10sqrt{2}}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}}.]

Рассмотрим прямоугольный треугольник (BED):
так как (angle EBD = 45^circ), то [BE = r = dfrac{2}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},qquadqquad BD = rsqrt{2} = dfrac{2sqrt{2}}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},] тогда (EA = AB — BE = R — r), (DC = BC — BD = Rsqrt{2} — rsqrt{2} = sqrt{2}(R — r)). [S_{text{бок}} = pi(R + r)cdot I,] где (I) – образующая, тогда [S_{text{бок}} = pi(R + r)cdotsqrt{2}(R — r) = sqrt{2}pi(R^2 — r^2) = sqrt{2}pileft(dfrac{100}{sqrt{2}pi} — dfrac{4}{sqrt{2}pi}right) = 96.]

Ответ: 96

Старшеклассникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, непременно стоит научиться вычислять площадь и другие неизвестные параметры конуса. Как показывает практика предыдущих лет, подобные задания из раздела «Геометрия в пространстве» вызывают у выпускников определенные сложности.

При этом понимать, как найти площадь боковой поверхности или, к примеру, сечения конуса, параллельного основанию, должны все учащиеся, независимо от уровня их подготовки. Это позволит им успешно пройти аттестационное испытание по математике.

Базовая информация, которую стоит запомнить

Конус представляет собой геометрическое тело, которое образовано совокупностью круга, точки, находящейся вне его плоскости, и лучей, соединяющих заданную точку с точками круга. Его высотой называется перпендикуляр, который опущен из вершины на плоскость основания.
Все образующие конуса равны между собой.
Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этой фигуры равняется двум радиусам. Боковые стороны треугольника равны образующим конуса.

Занимайтесь вместе с сайтом «Школково»!

Чтобы не допускать распространенных ошибок при решении задач по теме «Конус», выбирайте наш математический портал. Здесь есть весь необходимый материал для изучения разделов, требующих повторения.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают новый подход к подготовке к экзамену, предполагающий переход от простого к сложному. Вначале мы даем полную теорию, основные формулы и элементарные практические задачи с решением, в том числе и по теме «Конус», а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня, которые также встречаются в ЕГЭ. Вся необходимая информация представлена в разделе «Теоретическая справка».

Вы также можете сразу приступить к решению онлайн-задач на вычисление высоты усеченного конуса, площади его боковой поверхности, объема, а также похожих задач на вычисление, например, нахождению объема или площади сечения куба. Большая база упражнений представлена в разделе «Каталог». Перечень заданий систематически обновляется.

Проверьте, насколько легко вы сможете определить площадь конуса в режиме онлайн. Если упражнение потребовало от вас минимальных усилий, рекомендуем вам не тратить время на простые задачи и переходить к более сложным. А если затруднения все же возникли, тогда вам непременно стоит находить время в своем ежедневном расписании на дистанционные занятия вместе со «Школково». С нами вы сможете быстро усвоить алгоритм решения задач на расчет объема конуса и других неизвестных параметров.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Слайд 1

Решение задач по теме «Конус» МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля» Учитель : Плотникова Татьяна Владимировна

Слайд 2

Тела вращения

Слайд 3

Цилиндр

Слайд 4

Конус

Слайд 5

Усечённый конус

Слайд 6

Цилиндр Конус Усечённый конус Площадь боковой поверхности S бок =2πRh S бок = πRl S бок = πl ( R+R 1 ) Площадь полной поверхности S пол =2 πRh +2π R 2 S пол = πRl +π R 2 S пол = πl ( R+R 1 ) +π R 2 + πR l 2 Объём V= π R 2 h V= π R 2 h V= π h(R 2 + R 1 2 + RR 1 )

Слайд 7

Устные упражнения: Высота конуса равна 4 см, радиус основания – 3 см. Найти образующую конуса. 1 5

Слайд 8

Радиус конуса равен 5 см, образующая равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 2 40 π

Слайд 9

Образующая конуса равна 13 см, радиус основания – 5 см. Найдите высоту конуса. 3 12

Слайд 10

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза? 4 3

Слайд 11

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза? 5 2,25

Слайд 12

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? 6 3

Слайд 13

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней? 7 1,5

Слайд 14

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π . 8 128

Слайд 15

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π . 9 72

Слайд 16

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . . 10 24

Слайд 17

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27. 11 81

Слайд 18

12 Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 2

Слайд 19

1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти площадь боковой поверхности конуса. 2. Высота конуса 12 см, образующая – 13 см. Найти площадь полной поверхности конуса. Работа в парах: 50 π 90 π 3. Высота конуса равна 2√3 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником. 8π, 2√3

Слайд 20

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π . 9

Слайд 21

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π . . 16

Слайд 22

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 6

Слайд 23

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах. 60

Слайд 24

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса. 3

Слайд 25

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 87,75

Слайд 26

. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите 243

Слайд 27

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? 490

Слайд 28

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса. 3

Слайд 29

Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку? Образующая конуса , что примерно составляет 8,06 м. Тогда площадь боковой поверхности конуса равна что примерно составляет 5,3 м 2 . На палатку пошло примерно 25,3 м 2 парусины. Ответ: 25,3 м 2 Решение. 25,3

Слайд 30

Домашнее задание: Подобрать по теме «Конус» 5 задач из банка данных по математике и решить их . Дополнительные задачи: Радиусы оснований усеченного конуса 10√3 и 6√3 , а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 о . Найти высоту усеченного конуса. Отношение площадей боковой и полной поверхности конуса равно Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса .

Слайд 31

Источники: http://reshuege.ru/?theme=144&print=true — КАТАЛОГ ЗАДАНИЙ Геометрия, 10–11класс: Учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2011.

Источник

Конус

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите V/π

Ответ: 1

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π.

Ответ: 128

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Ответ: 9

4. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π.

Ответ: 72

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.

Ответ: 16

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 3

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на π.

Ответ: 144

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π.

Ответ: 24

10.

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ: 87,75

11.

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ: 243

12.

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Ответ: 216

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Ответ: 7

15. Задание 16 № 324453

Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Ответ: 24

16. Задание 16 № 324454

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Ответ: 2

17.

Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Ответ: 48

18. Задание 16 № 324456

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Ответ: 48

19. Задание 16 № 324458

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 3

20. Задание 16 № 500893

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 5 раз?

Ответ: 5

21. Задание 16 № 501191

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высоту уменьшить в 8 раз, а радиус основания оставить прежним?

Ответ: 8

22. Задание 16 № 505149

Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 10. Найдите образующую конуса.

Ответ: 13

23. Задание 16 № 505170

Высота конуса равна 4, а диаметр основания равен 6. Найдите образующую конуса.

Ответ: 5

24. Задание 16 № 506339

бъём конуса равен 50π, а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса.

Ответ: 5

25. Задание 16 № 509601

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Ответ: 6

26. Задание 16 № 509661

Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

Ответ: 6

27. Задание 16 № 510129

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Ответ: 200

Источник

Цели урока:

Обучающие:
- формировать умения применять понятия конуса, усечённого конуса и формулы для вычисления площади боковой поверхности, объёма при решении задач в контексте ЕГЭ;
- рассмотреть задачи на комбинации тел и «найти подход» к решению таких задач.
Развивающие:
- способствовать развитию умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ синтез, сравнения, делать необходимые выводы при решении задач разного уровня сложности.
- способствовать развитию умений творческого подхода к решению практической задачи.
Воспитательные:
- обеспечить условия для воспитания положительного интереса к изучаемому предмету через решение практико-ориентированных задач.
- обеспечить благоприятную психологическую атмосферу для развития творческих способностей.
- совершенствование математической речи, математического языка.

ХОД УРОКА

1. Организационный этап: Здравствуйте, ребята, садитесь! Начнем урок.

(Приложение 1, слайд №1)

2. Этап проверки домашнего задания и выравнивания знаний:

Предлагаю начать работу на уроке с устного опроса.

Какие фигуры относятся к телам вращения? (слайд №2)
Почему их так называют?
Назвать основные элементы цилиндра, конуса. (слайд №3,4,5)
Какие виды сечений может иметь цилиндр, конус?
Что подразумевается под понятием «площади боковой и полной поверхности» тел вращения?
Формулы для нахождения площади боковой поверхности, площади полной поверхности, объёма цилиндра, конуса, усечённого конуса.(слайд №6)

	Цилиндр	Конус	Усечённый конус
Площадь боковой поверхности	S_бок = 2πRh	S_бок = πRl	S_бок = πl(R + R₁)
Площадь полной поверхности	S_пол = 2πRh + 2πR²	S_пол = πRl + πR²	S_пол = πl(R + R₁) + πR² + πRl²
Объём	V= πR²h	V= πR²h	V= πh(R²+R₁²+RR₁)

Откройте тетради с письменным домашним заданием. На прошлом уроке вам были заданы 2 задачи для самостоятельного решения. Сейчас проверим правильность выполнения домашнего задания, постараемся устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях (если такие имеют место!!!).

Задачи письменной домашней работы

Домашняя работа проверяется фронтально. Обсуждаются вопросы и затруднения при выполнении этих задач.

Задача №1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см². Найти площадь поверхности цилиндра.
В результате проверки, выясняем, что радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота цилиндра – 8 см. Тогда площадь поверхности цилиндра равна 96π см².

Ответ. 96π см²

Задача №2: В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
В результате проверки, выясняем, что высота воды в цилиндре равен 9 см, а произведение R²= 1 см. Тогда объём детали будет равен 3 см³.

Ответ. 3 см³.

3. «Блиц-опрос»: Устные упражнения:

Высота конуса 4 см, радиус основания – 3 см. Найти образующую конуса. (слайд №7)
Радиус конуса 5 см, образующая – 8 см. Найти боковую поверхность конуса. (слайд №8)
Образующая конуса равна 13 см, радиус основания – 5 см. Найдите высоту конуса. (слайд №9)
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза? (слайд №10)
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза? (слайд №11)
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? (слайд №12)
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней? (слайд №13)
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π. (слайд №14)
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π . (слайд №15)
Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. (слайд №16)
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27. (слайд №17)
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. (слайд №18)

4. «Тяжело в учении, легко на ЕГЭ». Работа в парах:

Задачи.

Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти площадь боковой поверхности конуса. (слайд №19)
Высота конуса 12 см, образующая – 13 см. Найти площадь полной поверхности конуса. ( Слайд №19)
Высота конуса равна 2√3 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником. (слайд №19)

5. Задачи по теме «Конус» в формате ЕГЭ (задачи решаем фронтально)

6. Итог урока

– Задачи, с какими фигурами мы сегодня решали.

7. Домашнее задание: подобрать по теме «Конус» 5 задач из банка данных по математике и решить их.

Дополнительные задачи:

Радиусы оснований усеченного конуса 10√3 и 6√3, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найти высоту усеченного конуса.
Отношение площадей боковой и полной поверхности конуса равно Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Ребята, спасибо за работу на уроке. Вам я желаю хорошо подготовиться и успешно сдать единый государственный экзамен. Урок окончен.

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

Геометрия 10-11 класс. Объём конуса

Геометрия 10-11 класс. Объём конусаadmin2022-11-14T21:17:28+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Геометрия 10-11 класс. Объём конуса

Прямым круговым конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Другой катет треугольника, вращаясь вокруг этой же оси, дает круг, который называется основанием. При вращении вокруг этой оси гипотенузы получается фигура, называемая боковой поверхностью конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: ({S_{{text{б}}{text{.п}}{text{.}}}} = pi ,R,L,); площадь полной поверхности конуса находится по формуле: (S = pi ,R,L, + pi ,{R^2}); объем конуса находится по формуле: (V = frac{1}{3}pi ,{R^2},H), где R – радиус основания; L – длина образующей; H – длина высоты конуса.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Площадь основания конуса равна 23, высота 6. Найдите объём конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 46.

Задача 2. Объём конуса равен 100, высота конуса – 10. Найдите площадь основания конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Задача 3. Объём конуса равен 25π, высота конуса – 3. Найдите диаметр основания конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 4. Диаметр основания конуса и высота конуса равна 3. Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 2,25.

Задача 5. Радиус основания конуса равен 9, объём конуса равен – 243π. Найдите угол между образующей и плоскостью основания.

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Задача 6. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник с радиусом описанной окружности, равным 9. Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 243.

Задача 7. Образующая конуса равна (3sqrt 3 ) и наклонена к плоскости основания под углом ({60^circ }). Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 10,125.

Задача 8. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 96.

Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса равна 20π, площадь основания – 16π. Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Задача 10. Объём конуса равен 320π, площадь основания – 64π. Найдите площадь боковой поверхности конуса, деленную на π.

Ответ

ОТВЕТ: 136.

Задача 11. Образующая конуса равна (frac{6}{{sqrt[3]{pi }}}) и составляет с плоскостью основания угол ({30^circ }.) Найдите объём конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 27.

Задача 12. Объём конуса равен 4,5π, высота конуса равна 6. Найдите котангенс угла между высотой и образующей конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 13. Разность между образующей и высотой конуса равна 2, а угол между ними равен ({60^circ }). Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Задача 14. Объём конуса равен 11,2. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 1,4.

Задача 15. В конус вписана треугольная пирамида с высотой 6 и сторонами основания 3, 4 и 5. Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 12,5.

Задача 16. Около конуса описана треугольная пирамида с высотой 9 и сторонами основания 6, 8 и 10. Найдите объём конуса, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Задача 17. Прямоугольный треугольник с высотой, проведенной к гипотенузе, равной 6 и острым углом ({30^circ }) вращается вокруг большего катета. Найдите объём полученного тела вращения, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 192.

Задача 18. Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 вращается вокруг стороны длиной 14. Найдите объём полученного тела вращения, деленный на π.

Ответ

ОТВЕТ: 672.

Источник