Задачи про заводы егэ математика

Задачи на оптимальный выбор

Версия для печати и копирования в MS Word

Разные задачи

Версия для печати и копирования в MS Word

Производительность труда в задаче 17

2 октября 2015

Задачи этого типа появились в ЕГЭ относительно недавно, но застали врасплох как учеников, так и многих учителей. А всё потому что решаются они с помощью производной — инструмента, совершенно непривычного для второй части экзамена.

Задача 17. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

В приведённом условии есть важный момент, после осознания которого у вас вообще не будет проблем с решением подобных задач. Дело в том, что величина $t$, указанная для первого завода и для второго — это не одно и то же число! Другими словами, суммарное время рабочих на первом и другом заводе будет разным.

Для решения введём новые переменные: ${{a}^{2}}$ — суммарное время рабочих на первом заводе, ${{b}^{2}}$ — суммарное время на втором. С учётом производительности получим:

$begin{align}& {{a}^{2}}to 3a \& {{b}^{2}}to 4b \end{align}$

Таким образом, затратив суммарно ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ часов времени, мы получим $3a+4b$ единиц продукции в неделю. Всё остальное — элементарная математика, подробно описанная в видеоуроке:

В прошлый раз мы рассматривали довольно «противные» задачи, связанные с вычислением времени в задачах про кредиты. Но это было очень просто по сравнению с тем, что мы будем рассматривать сегодня, а именно экономическую задачу 17 про производительность труда, в которой требуется применять производную. Эти задачи появились в ЕГЭ по математике относительно недавно, и те, кто уже с ними столкнулся, оценили, что, во-первых, условие таких задач довольно длинное, а, во-вторых, в каждой из таких задач есть неприятная зацепка, на которой «прогорели» очень многие ученики.

Думаю, вы уже догадались, что речь идет о той самой задачи 17, когда у Григория есть два завода, и еще указана производительность труда, и требуется оценить, какое наибольшее количество продукции можно произвести на этих двух заводах, если распределить нагрузку оптимально. Но на самом деле, в этих задачах 17 нет ничего сложного, даже чуть проще, чем многие задачи на кредиты. Поэтому сейчас мы рассмотрим одно из таких заданий, внимательно пробежимся по каждому пункту и посмотрим, как именно должно выглядеть идеальное ее решение.

Задача № 1

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Шаг первый: вводим переменные

Прежде всего, перед тем как переходить к непосредственному решению задачи 17 из ЕГЭ по математике, попытаться что-то посчитать, составить какие-то формулы, поймите одну простую вещь: величина ${{t}^{2}}$, данная и в первом, и во втором предложении, никак не связаны друг с другом. Коэффициент $t$ нам дан исключительно для того, чтобы сравнить производительность на разных заводах при одинаковом расходе времени. Думаю, это сравнение абсолютно очевидно: на первом производительность составляет $3t$, а на втором — $4t$, т.е. чуть побольше. На практике это означает следующее: давайте распишем, что происходит на каждом из них.

На первом заводе у нас расходуется ${{a}^{2}}$ времени (после замены) и производится $3a$ единиц продукции. На втором — ${{b}^{2}}$ времени и $4b$ продукции.

А теперь давайте сложим расходы времени и суммарный выпуск продукта.

Получим, что суммарный расход времени составляет ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$, а суммарный расход продукции — $3a+4b$. При этом еще раз обращаю ваше внимание: никто не говорил, что ${{a}^{2}}$ и ${{b}^{2}}$ должны быть равны. Ключевое слово здесь «если» и в первом, и во втором случае. Именно поэтому мы так смело меняем коэффициенты $t$ на $a$ в первом случае и на $b$ во втором случае.

Шаг второй: составляем и решаем уравнение

Давайте посмотрим, что у нас получилось. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ — это суммарный расход времени. Поскольку Григорий платит рабочему 500 рублей за каждый час работы, то всего он сможет заплатить такую сумму:

[500cdot left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)=5000000]

Вот и первое уравнение.

На самом деле, основная сложность этой задачи 17 про производительность труда — вовсе не составление уравнения. Она состоит в том, что нужно понять, что на первом и на втором заводе время разное. Именно поэтому для первого мы везде заменили $t$ на $a$, а для второго — $t$ на $b$. В итоге как вы сейчас увидите, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными, которое легко упрощается — одна неизвестная легко выражается через другую. И поэтому вся функция, выражающая количество произведенного товара, на самом деле зависит от одной-единственной переменной, в нашем случае это будет переменная $a$.

Далее, я думаю, все понятно: у нас есть функция, отрезок, на котором эта функция рассматривается, а все, что нам требуется найти — это наибольшее значение этой функции на данном отрезке. Вообщем, классическая задача для применения производных, в нашем случае новая задача 17 из ЕГЭ по математике.

Суммарный выпуск продукции ($S$) равен:

[S=3a+4bto max ]

Вот теперь задача и проявилась: имея ограничение на $a$ и $b$, нам нужно добиться того, чтобы $S$ принимала свое максимальное значение. Для начала давайте немножко поработаем с уравнением: $$

[500cdot left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)=5000000left| :500 right.]

[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10000]

Отсюда выразим $b$:

[{{b}^{2}}=10000-{{a}^{2}}]

[b=sqrt{10000-{{a}^{2}}}]

Конечно, тут следовало бы перед выражением поставить $pm $, однако у нас речь идет о времени, а оно не может быть отрицательным, поэтому мы берем положительное значение. Итого суммарный объем выпускаемого товара может быть выписан как функция от одной-единственной переменной $a$:

[S=3a+4sqrt{10000-{{a}^{2}}}]

Шаг третий: находим максимальное значение функции

Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции на всей области определения, а совершенно очевидно, что величину $a$, т.е. количество товара, выпущенного на первом заводе, увеличивать до бесконечности нельзя, просто потому что корень имеет конкретную область определения — величина, стоящая под корнем, не должна быть отрицательной. Давайте запишем это:

[10000-{{a}^{2}}ge 0]

[{{a}^{2}}le 10000]

[left| a right|le 100]

[ain left[ 0;100 right]]

Итого мы получили классическую задачу из первой части ЕГЭ по математике: у нас есть функция, есть интервал, соответственно, нужно найти максимальное значение этой функции на заданном интервале. Давайте считать производную:

[{S}’=3+4cdot frac{1cdot left( 10000-{{a}^{2}} right)}{2sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=3+frac{4cdot left( -2a right)}{2sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=]

[=3-frac{4a}{sqrt{10000-{{a}^{2}}}}]

[3-frac{4a}{sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=0]

Решаем полученное уравнение:

[3=frac{4a}{sqrt{sqrt{10000-{{a}^{2}}}}}]

[3sqrt{10000-{{a}^{2}}}=4a]

[9left( 10000-{{a}^{2}} right)=16{{a}^{2}}]

[90000-9{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}]

[25{{a}^{2}}=90000]

[5a=3cdot 100]

[a=frac{3cdot 100}{5}=60]

Теперь, зная, чему равно $a$, легко найти $b$:

[b=sqrt{10000-3600}=sqrt{6400}=80]

Однако для полного и обоснованного решения необходимо понять знак производной. Давайте начертим числовую прямую и отметим на ней $a=60$ и посмотрим, что происходит при $a gt 60$:

Например, если взять $a=99$ мы получим следующее:

[10000-{{99}^{2}}={{100}^{2}}-{{99}^{2}}=left( 100-99 right)left( 100+99 right)=199]

Если посмотрим на исходное выражение, то очевидно, что $sqrt{199} lt 99$, но посчитав его, получаем в ответе отрицательное число.

Отсюда следует, что$a=60$является точкой максимума, т.е. именно той, которую мы и хотели найти. Именно в ней наша исходная функция принимает исходное значение. Осталось подставить в $S$ полученное значение $a$ и $b$:

[S=3cdot 60+4cdot 80=180+320=500]

Окончательный ответ: 500 единиц товара.

Нюансы решения

Как видите, все оказалось не так уж и сложно. Единственно, что нам нужно запомнить — это то, что величина ${{t}^{2}}$, когда речь идет о первом заводе дает нам информацию о производительности труда именно на нем, т.е. связывает время, затраченное на производство и количество продукции в рамках только него.

Величина ${{t}^{2}}$, относящаяся ко второму заводу, говорит нам именно о нем и никак не связана с первым.

Более того, считать, что количество времени, затраченного рабочими на первом и на втором заводах, абсолютно одинаково — это вообще глупость, потому что в этом случае полученное уравнение оказалось бы намного проще и решалось бы как элементарное линейное: нам бы не потребовалось никаких производных, никаких доказательств, что мы получили точку максимума — мы просто бы разделили зарплату между рабочими первого и второго производств пополам.

Поэтому запомните: время, потраченное на первом и на втором заводах, разное, поэтому пусть на первом потрачено ${{a}^{2}}$ времени, а на втором — ${{b}^{2}}$. В этом случае задача действительно становится сложнее, при этом интересней и вполне достойной называться задачей 17 из ЕГЭ по математике.

Задача № 2

А в качестве десерта предлагаю решить еще одну такую же задачу 17 из ЕГЭ по математике, однако выкладки в этот раз будут минимальными, по возможности такими, какие и нужно делать на экзамене по математике.

Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $t$ единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $2t$ единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час.

Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

Шаг первый: вводим переменные

Если рабочие на первом заводе трудятся ${{x}^{2}}$, то это дает нам $x$ единиц товара. На втором ${{y}^{2}}$ времени дает нам $y$ товаров. Вновь складываем расходы времени — ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ и отдельно складываем объем продукции — $x+2y$. Величина ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ — это суммарный расход времени за неделю.

Шаг второй: составляем и решаем уравнение

Поскольку за каждый час работы платится 500 рублей, то суммарный расход денег за неделю составит:

[500cdot left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)=30250000]

[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=60500]

Таким способом, ограничения на ${{x}^{2}}$ и ${{y}^{2}}$ найдены.

Теперь необходимо записать сумму:

[S=x+2yto max ]

Опять же будем считать производную, но для этого сначала необходимо выразить $y$ через $x$:

[{{y}^{2}}=60500-{{x}^{2}}]

[y=sqrt{60500-{{x}^{2}}}]

Подставляем найденное значение $y$ в нашу формулу и получаем:

[S=x+2cdot sqrt{60500-{{x}^{2}}}]

Находим производную этой конструкции:

[{S}’=1+2frac{1left( -2x right)}{2sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=1-frac{2x}{sqrt{60500-{{x}^{2}}}}]

Вновь приравниваем полученное выражение к нулю:

[1-frac{2x}{sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=0]

[frac{1}{1}=frac{2x}{sqrt{60500-{{x}^{2}}}}]

[sqrt{60500-{{x}^{2}}}=2x]

[60500-{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}]

[60500=5{{x}^{2}}]

[{{x}^{2}}=frac{60500}{5}=121cdot 100]

[x=11cdot 10=110]

Шаг третий: находим максимальное значение функции

Мы получили критическую точку функции $S$. Теперь необходимо доказать, что это точка максимума. Для этого начертим вновь прямую, отметим на ней полученную точку 110 и возьмем любое число, больше чем 110. Однако для упрощения дальнейших выкладок предлагаю взять не рандомное число как в прошлый раз, а посчитать его с помощью следующего метода. Для начала давайте найдем $y$. Запишем такое выражение:

[y=2x=220]

Очевидно, что 220 больше 110, и если мы поставим его в нашу функцию, то получим число на отмеченном интервале:

Давайте подставим:

${S}’left( 220 right)=1-frac{2cdot 220}{sqrt{60500-{{220}^{2}}}}=1-frac{440}{sqrt{60500-48400}}=$

$=1-frac{440}{sqrt{12100}}=1-frac{440}{110}=1-4=-3$

Следовательно, справа от числа 110 мы получаем отрицательную производную, а слева, естественно, будет положительная.

Итого 110 — точка максимума. Это является строгим обоснованием.

Теперь подставляем в выражение $x$ и $y$, которые мы нашли:

[S=110+2cdot 220=110+440=550]

Ответ: 550 единиц товара.

Ключевые моменты решения задач17 на производительность труда из ЕГЭ по математике

Все, что нам нужно знать — это:

1. Правило вычисления производных сложных функций.
2. Правила решения несложных уравнений.

Кроме того, хотел бы отметить, что не надо бояться работать с большими числами. Такие выражения, когда у нас появляются пятизначные и более числа, абсолютно типичны для последних задач 17 из ЕГЭ по математике, потому что они реально трудные. Но на самом деле, в этих задачах из ЕГЭ нет ничего трудного. Вам только нужно знать следующее:

• ${{a}^{2}}to a$ и ${{b}^{2}}to 2b$ — как связано затраченное время с объемом выпущенного товара;
• $S=a+2bto max $ — суммарный объем товара находится по несложной формуле.

Кроме того, необходимо понимать, как связано время, затраченное на первом производстве и на втором, т.е. каковы максимальны ограничения на это время.

А дальше дело техники: считаем производную, решаем уравнение, подставляем в исходное ограничение и получаем окончательный ответ.

Надеюсь, это видео поможет вам построить собственный завод, где вы будете платить рабочим по 30 млн. рублей в неделю, если такой суммы вам окажется недостаточно, заходите на наш сайт, подписывайтесь на паблик ВКонтакте и на канал в YouTube. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Задачи на кредит с плавающим платежом
2. Задачи с экономическим содержанием — основные формулы
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Решение задач B12: №440—447
5. Как решать задачу 18: графический подход
6. Нестандартные задачи B2: кредит в банке

Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль). Задачи на оптимальный выбор. Владельцы заводов. Объем производства

Задача 1. (№ 517742)

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.

Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение:

Составим таблицу:

Из первого уравнения выразим y через x:

или не удовлетворяет условию задачи.

f ’(x) +

f

60

(x)

Значит, точка максимума функции и в ней функция принимает наибольшее значение:

Следовательно, наибольшее количество единиц товара равно 100.

Ответ: 100 единиц товара.

Задания для самостоятельного решения:

1. (№ 517753)

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.

Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: 80 единиц товара.

2. (№ 509824)

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: 90 единиц товара.

Скачать решение

Решение

ЕГЭ 2022

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥ 

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2.      Приведём к общему знаменателю.  Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на 

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Решение №1

Нам дано: 5 000 000 рублей — вся сумма, 500 р/ч — ставка рабочего. Отсюда мы можем найти, сколько суммарно времени будут трудиться все рабочие:

(5, 000,000: 500 = 10,000,ч.)

Пусть рабочие на первом заводе трудились (x^2) часов, тогда они произвели (3x) единиц товара. Пусть рабочие на втором заводе трудились (y^2) часов, тогда они произвели (4y) единиц товара. Получаем условие:

(x^2+y^2=10,000.)

Обозначим (S = 3x+4y) — суммарное количество единиц товара с двух заводов. В задаче требуется найти наибольшее значение этой функции. Будем его находить с помощью производной.

Из условия (x^2 + y^2 = 10,000) выразим переменную (y = sqrt{10,000-x^2}) и подставим в нашу функцию:

(S = 3x + 4sqrt{10,000 — x^2};)

(S’ = 3 + 4cdotdisplaystylefrac{1}{2sqrt{10,000-x^2}}cdot(-2x)=3-frac{4x}{sqrt{10,000-x^2}};)

Ищем точку экстремума, приравнивая производную к нулю:

(3-displaystylefrac{4x}{sqrt{10,000-x^2}}=0;)

(3sqrt{10,000-x^2}=4x;)

(9cdotleft(10,000-x^2right)=16x^2;)

(25x^2=90,000 Rightarrow x^2 = 3600 Rightarrow x = pm 60.)

Отрицательное значение можно не рассматривать, т.к. речь идет о часах. Для нахождения нужного нам значения осталось полученное число подставить в функцию (S:)

(S_{max} = S(60) = 3cdot 60 + 4sqrt{10,000 — 60^2} = 180 + 4cdot 80 = 500.)

Ответ: 500.

Юниум — федеральная сеть образовательных центров для школьников по всей России. Мы проводим занятия по подготовке к ЕГЭ и ГИА. Каждый год наши выпускники поступают в лучшие ВУЗы страны, а их результаты выше, чем в среднем по России.