Задачи решаемые методом координат егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 117 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M  — середина ребра AA₁. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA₁C₁.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.

Раздел: Стереометрия

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 5.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK  =  7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16.

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 28.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁  — центр квадрата ABCD, точка O₂  — центр квадрата CC₁D₁D.

а)  Докажите, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ скрещиваются.

б)  Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂ , если ребро куба равно 1.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 294.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB  =  5, BC  =  3 и AA₁  =  4.

а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.

б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро A₁B₁.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 7.

В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD  — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.

а)  Докажите, что все они пересекаются в одной точке.

б)  Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC  =  8, AD  =  18.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 4*.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 9.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M  — точка пересечения медиан грани SBC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 105.

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P.

а)  Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM.

б)  Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM  =  12, BM  =  5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 155.

В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L  — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а)  Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.

б)  Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, причем Через точку B_1 перпендикулярно CA_1 проведена плоскость α.

а)  Докажите, что сечением призмы плоскостью α является прямоугольный треугольник.

б)  Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость α, если известно, что AC=8, BC=6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.

В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD=BC, угол между ребром DC и гранью ABC равен

а)  Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.

б)  Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 17.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Точка N  — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA₁, причем AM : MA₁ = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC₁.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 110.

Окружность радиуса касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и P и пересекает строну AB в точках M и N (точка N между точками B и M). Известно, что MP и AC параллельны, CK = 2, BP = 6.

а)  Найдите угол BCA.

б)  Найдите площадь треугольника BKN.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 275.

Всего: 117 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.

Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Источник

Стереометрия

Метод координат

в задачах № 14 ЕГЭ

Координаты точки в декартовой системе координат

Координаты вектора

Координаты середины отрезка

Угол между прямыми

— направляющий вектор прямой а

— направляющий вектор прямой b

— угол между прямыми

Уравнение плоскости, проходящей

через три заданных точки

-нормальный

вектор плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

-нормальный

вектор плоскости

, где

Уравнение плоскости

, где

Если плоскость проходит через начало координат, то d=0

Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости в отрезках

Угол между прямой и плоскостью

— направляющий вектор прямой

— нормальный вектор плоскости

Угол между плоскостями

Вектор нормали плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между параллельными плоскостями

Задача 1

В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение (1 способ)

К — середина

По теореме косинусов для

Решение (2 способ)

Задача 2

В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE , где D и E — соответственно середины ребер и

Решение.

Координаты правильной треугольной призмы

Решение.

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF .

Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Решение.

Е — середина SB

F — середина SC

Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали.

Решение.

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE, где Е — середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC

Решение.

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой DE

Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD

Решение.

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение.

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Задачи для самостоятельного решения

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием

ABCD точка М – середина ребра SA, точка К – середина ребра SC.

Найдите угол между плоскостями МВК и АВС, если АВ=4, SC=7.

2. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра ВC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Источник

Слайд 1

Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод.

Слайд 2

Координаты многогранников.

Слайд 3

Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0 ) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1 ; 1) B 1 (1; 1; 1)

Слайд 4

Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b ; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c ) B 1 (a; b ; c ) a b c

Слайд 5

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

Слайд 6

Правильная треугольная призма. С 1 А В С А 1 В 1 c a х у z O

Слайд 7

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Слайд 8

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Слайд 9

Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

Слайд 10

Расстояние от точки до плоскости.

Слайд 11

Расстояние от точки М( x 0 ;y 0 ;z 0 ) до плоскости ax + by + cz + d = 0 . Например:

Слайд 12

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений

Слайд 13

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки — уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Слайд 14

№ 1 В единичном кубе АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости (BDC 1 ) . х у z A 1 (1; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1 ; 1) Запишем уравнение плоскости DBC 1 .

Слайд 15

A 1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 16

х у z № 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 ) F 1 (- 1; 0;1) Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1 . C 1 (1; 0;1) 1 1

Слайд 18

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 19

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Слайд 20

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c A B

Слайд 21

№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми А D 1 и В D . х у z

Слайд 22

A (1; 0; 0 ) D (0; 0; 0 ) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости BDC 1 . Найдем искомое расстояние по формуле

Слайд 23

A (1; 0; 0 ) Ответ:

Слайд 24

№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми А S и ВС. х y z 1 1 h O

Слайд 25

Запишем уравнение плоскости ADS .

Слайд 26

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 27

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) 18.02.2011 www.alexlarin.narod.ru

Источник