Задачи с концентрацией раствора егэ математика

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Возможно, вам нужно заглянут сюда – “Простейшие задачи на проценты”

Задача 1. В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение: + показать

---

Задача 2. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение: + показать

---

Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит % никеля, второй  — % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение: + показать

---

Задача 4.  Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение: + показать

---

Задача 5.  Имеются два сосуда. Первый содержит кг, а второй — кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение: + показать

---

Задача 6. Виноград содержит % влаги, а изюм  — %. Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?

Решение: + показать

---

Задача 7. В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на %, а в 2010 году  — на % по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение: + показать

---

Задача 8. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.

Решение: + показать

---

Задача 9. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение: + показать

---

Задача 10.  Шесть рубашек дешевле куртки на %. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки? Видео*

Решение: + показать

---

Задача 11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на %. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение: + показать

---

Задача 12. Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом рублей. Дима внес % уставного капитала, Андрей  — рублей, Гриша  — уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.

Решение: + показать

---

Задача 13.  Клиент А. сделал вклад в банке в размере рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение: + показать

---

Вы можете пройти Тест по задачам на проценты,  сплавы, смеси

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Задачи на концентрацию, сплавы
  В 13

• 

  2 слайд

  Алгоритм решения задач
  на сплавы, растворы и смеси
  Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
  Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
  Составить математическую модель задачи и решить ее.
  Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

• 

• 

  4 слайд

  1) 4 · 0,12 = 0,48 (л) вещества в растворе
  2)
  12% = 0,12

  Ответ: 4
  В сосуд, содержащий 4 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
  1
  Решение:
  Сколько вещества было в растворе?
  4 л
  12% р-р
  8 л
  Задачи 17-18

• 

  5 слайд

  Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 21-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
  x
  0,15x
  0,21x
  +
  +
  2
  Ответ: 18

  15% = 0,15

  21% = 0,21

  Решение:
  15% р-р
  21 % р-р
  x
  x
  x
  0,15x
  0,21x
  Задачи 19-20

• 

  6 слайд

  Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
  6
  4
  +
  0,6
  1,5
  +
  1) 4 · 0,15 = 0,6 (л) вещества в 1 растворе
  2) 6 · 0,25 = 1,5 (л) вещества во 2 растворе
  3

  15% = 0,15

  25% = 0,25

  Решение:
  Сколько вещества было в растворе?
  4
  6
  0,6
  1,5
  Ответ: 21
  Задачи 21-22

• 

  7 слайд

  это 47,5 кг
  90%
  95%
  10%
  Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 50 килограммов изюма?
  5%
  50 кг изюма
  1) 50 · 0,95 = 47,5 (кг) сухого вещества в изюме
  47,5 кг сухого в-ва в винограде составляет 10% всего винограда
  2) 47,5 · 10 = 475 (кг) винограда надо взять
  4
  Решение:
  Сколько сухого вещества в 50 кг изюма?
  ?
  50 кг
  Ответ: 475
  =0,95

• 

  8 слайд

  10 кг
  0,93y
  Смешав 91-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 55-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 75-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 91-процентного раствора использовали для получения смеси?
  y
  0,91x
  +
  x
  +
  + 10
  = 55
  5
  91% р-р
  93 % р-р
  55% р-р
  x
  y
  0,91x
  0,93y
  ·100%

• 

  9 слайд

  0,93y
  0,93y
  0,91x
  y
  Смешав 91-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 55-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 75-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 91-процентного раствора использовали для получения смеси?
  x
  y
  0,91x
  +
  x
  +
  + 10
  = 75
  10 · 0,5 = 5 (кг) кислоты в р-ре
  + 5
  ?
  Искомая величина
  50% = 0,5
  · 100

• 

  10 слайд

  Составим и решим систему уравнений:
  Ответ: 17,5
  Задачи 25-28

• 

  11 слайд

  Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
  y
  x
  +
  +
  = 68
  30
  20
  0,3x
  0,2y
  6
  30
  20
  1 уравнение
  ?
  0,3x
  0,2y

• 

  12 слайд

  Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
  0,01y
  1
  1
  y
  x
  0,01x
  +
  +
  = 70
  Возьмем по 1 кг
  1
  1
  2 уравнение
  0,01x
  0,01y

• 

  13 слайд

  Составим и решим систему уравнений:
  Ответ: 18
  Задачи 29-30

• 

  14 слайд

  0,1y
  0,3x
  y
  x
  Имеется два сплава. Первый сплав содержит 30% никеля, второй  — 10% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, содержащий 12% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
  +
  +
  1 уравнение
  = 12
  100
  2 уравнение
  x + y = 100
  7
  30%=0,3
  x
  y
  10%=0,1
  30
  10
  0,3x
  0,1y
  Ответ: 80

• 

  15 слайд

  0,4(x+3)
  x+3
  x
  Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
  40
  10
  0,1x
  +
  +
  Уравнение
  = 30
  8
  0,4
  0,1
  x
  x+3
  0,1x
  0,4(x+3)
  Ответ: 9
  10%=0,1
  40%=0,4

• 

  16 слайд

  Использован материал с сайта
  http://mathege.ru/or/ege/Main

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 153 784 материала в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 2»

Решение текстовых задач: задач на смеси,  сплавы и растворы  при подготовке к ГИА по математике.

( рекомендации учащимся)

                                             Колбасова Л.А., учитель математики высшей категории

1. Теоретические основы решения задач на сплавы и смеси

Решение задач на смеси, сплавы, растворы требует определенной теоретической базы.

Это различные определения, такие как концентрация, процентное содержание и др., а также и всевозможные допущения, например:

1) всё, что мы рассматриваем, считается однородным;

2) все процессы происходят мгновенно;

3) полученное вещество состоит из смешиваемых веществ и равно сумме их объемов;

4) величины, получаемые в результате вычислений, не могут быть со знаком минус.

Существует несколько способов решения задач на слияние растворов. Например, можно воспользоваться расчетной формулой, как это делают на уроках химии. Из области математики можно пользоваться графическим или же алгебраическим методами.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух видов:

1. Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию и массу вещества.

Концентрация вещества — это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора. Как правило, концентрация выражается в процентах.

Масса раствора равна сумме масс всех составляющих.

Алгоритм решения задач на смеси и сплавы:

1. Определить, какое вещество влияет на концентрацию раствора (главное вещество).
2. Следить за весом главного вещества при добавлении других веществ в раствор.
3. Исходя из данных об изменениях состояния главного вещества — сделать выводы.

Как правило, концентрация выражается в процентах.

Процент – это сотая доля числа. Она может выражаться либо в виде десятичной дроби (0,11), либо в виде процента (11%).

Важно знать:

Если мы смешаем 3 литра апельсинового сока и 77 литров воды, то получим 10

10 литров апельсинового нектара (сделаем предположение, что смешивание происходит в автоматическом режиме, а не вручную).

Если мы смешаем 6 литров яблочного сока и 66 литров персикового сока – то получится 12 литров яблочно-персикового сока.

И еще одна очевидность (последняя).

Если мы смешаем 3 литра яблочного сока с 10% мякоти (0,3 л), и 55 литров яблочного сока с 5% мякоти (0,25 л), то получим 88 литров сока с 0,55 л мякоти

(0,3+0,25).

2. Простейшие задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

1. Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется. Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше 0, а в другой равна 0.

Пример 1.

В 5% раствор кислоты массой 3,8 кг добавили 1,2 кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решение:

1. Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в 5% растворе. Из 3,8 кг 5% — это кислота, а значит в растворе 0,05 * 3,8=0,19 кг кислоты

2.  Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. 3,8 кг + 1,2 кг = 5 кг.

3.  Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – 0,19 кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна 0,19:5=0,038

4. Теперь выразим концентрацию в процентах — 0,038⋅100%=3,8%

Ответ: 3,8

Теперь давай попробуем решить задачу посложнее.

Пример 2.

Смешали 3 кг 5%-го водного раствора щелочи и 7 кг 15%-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение:

Давай попробуем визуализировать ситуацию. 3 кг 5% водного раствора. Значит воды в этом растворе 95%.

Нарисуем:

А теперь второй раствор: 

После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить 3кг + 7 кг = 10 кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за x, а количество воды – (10−x):

Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе –0,05⋅3=0,15 кг щелочи

и 3−0,15=2,85 кг воды,

во втором — 0,15⋅7=1,05 кг щелочи

и 7−1,05=5,95 кг воды:

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: x=0,15+1,05=1,2 кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

1,2:10=0,12

​Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на 100%

0,12⋅100%=12%.

Ответ: 12.

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

3. Алгебраический метод

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или систем неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

        Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений. Главное внимание при обучении учащихся способу решения текстовых задач методом составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку этапности решения.

        В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.

1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.

3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.

4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

При решении большинства задач этого вида, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.  

Этапы решения задачи:

   1. Знакомство с текстом задач и выделение основных компонентов в них. Заполнение таблицы.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Масса раствора (смеси, сплава)             М	% содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100%	Масса вещества       m

Или в таком виде:

	1 – й р-р	2 – й  Р-р	Смесь 2 растворов
Масса растворов
Массовая доля раств-го вещества
Масса вещества в растворе

2. Составление уравнения и его решение.

3. Анализ полученных данных, ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим примеры решения задач с помощью таблицы.

Пример 4. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение.

Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в руде) до и после удаления примесей.

	Масса руды, кг	Масса железа, кг	Концентрация (доля железа в руде)
Руда	500	х
Руда после удаления примесей	500-200=300	х-0,125⋅200= x-25

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .

Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125⋅200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .

По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение:

Найдём, что 212,5 кг – масса железа в руде. Найдём остаток железа в руде после удаления примесей: 212,5-25=187,5 (кг).

Ответ: 187,5 кг.

Пример 5. Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Наим-е веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля сод-я в-ва)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	хг	0,15х
Второй раствор	65%=0,65	(200 – х)г	0,65(200–х)=130–0,65х
Получившийся р-р	30%=0,3	200 г	2000,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

                               

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.

Рассмотрим еще несколько примеров решения задач с помощью таблицы. Как правило обе части уравнения умножают на100, при этом избегают решения уравнения с десятичными дробями.

6.  В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Количество раствора	5 л	+7 л	= 12 л
% содержания растворенного вещества	12 %	0 %	х %
Количество растворенного вещества
	5  12 + 0 = 12х       5  12  = 12х   │ : 12               х = 5                                                                      Ответ: 5.

7.  Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Количество раствора	4 л	+ 6 л	= 10 л
% содержания растворенного вещества	15 %	25 %	х %
	4  15 + 6    = 10х  │ : 10       2  3  +  3  5    =  х                             х = 21                                                           Ответ: 21.

8. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

	виноград	изюм
Количество раствора	х  кг	20  кг
% содержания растворенного вещества	100 – 90 = 10 %	100 – 5 = 95 %
	10х   =   20  95 │ : 10             х = 190                                                                 Ответ: 190.

9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Количество раствора	х  кг	+ (200 – х)  кг	= 200 кг
% содержания растворенного вещества	10 %	30 %	25 %
	10х + 30(200 – х)  = 200  25 │ : 10                                            х + 3(200 – х) = 20  25                                               х + 600 – 3х = 500                                                             — 2х = — 100                                                                  х = 50 (200 – 50) – 50 = 100 Ответ: 100.

10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Количество раствора	х кг	+ у кг	+ 10 кг	= х + у + 10
% содержания растворенного вещества	30 %	60 %	0 %	36 %
Количество раствора	х кг	+ у кг	+ 10 кг	= х + у + 10
% содержания растворенного вещества	30 %	60 %	50 %	41 %
	х=4 30 – 60 =60 Ответ: 60.

Задания для самостоятельного решения:

1. (Типовые тестовые  задания ЕГЭ 2012  п/р  А.Л.Семенова, И.В.Ященко). Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?

2.  Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй —  60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 % раствора, то получился бы 70 % раствор. Сколько литров 60 % раствора кислоты было первоначально?

Список использованной литературы.

1. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. — М.: Просвещение, 2010.

2. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )

3. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.

4.  Малахова Н. А., Орлов В. В. и др. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методич. пособие. СПб.: Изд-во РГПУ, 1992. 46 с.

5.  Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989

6.  www.mathege.ru

7. www.fipi.ru

8. www. festival.1september.ru

9. http://www.shevkin.ru/

10. http://mat-ege.ru

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавыadmin2022-10-26T22:13:32+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на проценты, смеси и сплавы

Задача 1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? В 2009 году число жителей стало равно (40000 + 40000 cdot frac{8}{{100}} = 43200), а в 2010 году:  (43200 + 43200 cdot frac{9}{{100}} = 47088.) Ответ: 47088.

Задача 2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Обозначим первоначальную стоимость акций за А. Пусть в понедельник акции подорожали на х %, поэтому они стали стоить (100 + х)% от А, то есть (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}). Во вторник они подешевели на х %, поэтому они стали стоить (100 – х) % от (A cdot frac{{100 + x}}{{100}}),  то есть  (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}}.) В результате акции стали стоить 96% от А:  (A cdot frac{{96}}{{100}}). Таким образом, получаем уравнение: (A cdot frac{{100 + x}}{{100}} cdot frac{{100 — x}}{{100}} = A cdot frac{{96}}{{100}},left| {,:,} right.A,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{{{100}^2} — {x^2}}}{{100}} = 96,,,, Leftrightarrow ,,,,10000 — {x^2} = 9600,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 400,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 20;,,,,,{x_2} =  — 20.) Так как (x > 0), то акции подорожали в понедельник на 20%. Ответ: 20.

Задача 3. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? Стоимость четырех рубашек составляет 100 – 8 = 92 % от куртки. Следовательно, стоимость одной рубашки составляет (frac{{92}}{4} = 23)% от стоимости куртки. Тогда стоимость пяти рубашек составляет (5 cdot 23 = 115)%, что на 115 – 100 = 15 % превышает стоимость куртки. Ответ: 15.

Задача 4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Пусть доход мужа, жены и дочери составляет x, y и z % соответственно. Тогда первое уравнение: (x + y + z = 100.) Если зарплату мужа увеличить вдвое (зарплата станет 2х), то общий доход увеличиться на 67 %, то есть второе уравнение будет: (2x + y + z = 167.) Если стипендию дочери уменьшить втрое (стипендия станет (frac{z}{3})), то общий доход уменьшиться на 4 %, то есть третье уравнение будет иметь вид: (x + y + frac{z}{3} = 96.) Таким образом, получаем систему уравнений:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z = 100;} \   {2x + y + z = 167;} \   {x + y + frac{z}{3} = 96.} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое:    (2x — x + y — y + z — z = 167 — 100,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 67.) Вычтем из первого уравнения третье:   (x — x + y — y + z — frac{z}{3} = 100 — 96,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{2z}}{3} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,z = 6.) Подставляя найденные x и z в первое уравнение, получим:  (67 + y + 6 = 100,,,, Leftrightarrow ,,,,y = 27.) Ответ: 27.

Задача 5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля. Пусть цена холодильника ежегодно уменьшалась на х%, тогда после первого понижения цена составила (100 – х) % от 20000 рублей, то есть:  (20000 cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 200 cdot left( {100 — x} right)), а после второго (100 – х) % от (200left( {100 — x} right)), то есть:  (200left( {100 — x} right) cdot frac{{100 — x}}{{100}} = 2 cdot {left( {100 — x} right)^2}), что составило 15842 рубля. (2{left( {100 — x} right)^2} = 15842,,{left| {,:,2,,,, Leftrightarrow ,,,,left( {100 — x} right)} right.^2} = 7921.) (100 — x = 89;,,,,,,,,100 — x =  — 89.) ({x_1} = 11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{x_2} = 189) Так как (0 < x < 100), то холодильник ежегодно дешевел на 11 %. Ответ: 11.

Задача 6. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях. Митя внес 14 % уставного капитала. Антон (frac{{42000}}{{200000}} cdot 100 = 21)% уставного капитала. Гоша 0,12 уставного капитала, то есть 12%. Следовательно, Борис внес (100 — 14 — 21 — 12 = 53)% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается:  (1000000 cdot frac{{53}}{{100}} = 530000) рублей. Ответ: 530000.

Задача 7. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Будем считать, что первый сосуд содержит 5 литров 12-процентного раствора вещества, а второй 7 литров воды (0-процентного раствора) и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества. Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{5 cdot 12}}{{100}}) литров, во втором (frac{{7 cdot 0}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{12 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{5 cdot 12}}{{100}} + frac{{7 cdot 0}}{{100}} = frac{{12 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,5 cdot 12 = 12 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 5.) Ответ: 5.

Задача 8. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Будем считать, что первый сосуд содержит А литров 15-процентного раствора вещества, а второй А литров 19-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества. Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{A cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{A cdot 19}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{2A cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{A cdot 15}}{{100}} + frac{{A cdot 19}}{{100}} = frac{{2A cdot x}}{{100}},,,left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,15 cdot A + 19 cdot A = 2A cdot x,,left| {,:A} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2x = 34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 17.) Ответ: 17.

Задача 9. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Будем считать, что первый сосуд содержит 4 литра 15-процентного раствора вещества, а второй 6 литров 25-процентного раствора вещества и их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества. Тогда количество вещества в первом сосуде (frac{{4 cdot 15}}{{100}}) литров, во втором (frac{{6 cdot 25}}{{100}}) литров, а в третьем (frac{{10 cdot x}}{{100}}) литров. При этом количество вещества в третьем сосуде равно количеству вещества в первых двух сосудах. (frac{{4 cdot 15}}{{100}} + frac{{6 cdot 25}}{{100}} = frac{{10 cdot x}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,60 + 150 = 10 cdot x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 21.) Ответ: 21.

Задача 10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Виноград содержит 10% «сухого» вещества, а изюм 95% соответственно. При этом масса «сухого» вещества винограда и изюма равны. Пусть для получения 20 килограммов изюма требуется x килограммов винограда. Тогда масса «сухого» вещества в винограде (frac{{10 cdot x}}{{100}}) кг, а масса «сухого» вещества в изюме (frac{{20 cdot 95}}{{100}}) кг. Следовательно: (frac{{10 cdot x}}{{100}} = frac{{20 cdot 95}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10x = 20} right. cdot 95,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 190) кг. Ответ: 190.

Задача 11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго. Пусть x кг масса первого сплава. Так как масса третьего сплава 200 кг, то масса второго сплава (200 — x) кг. Тогда масса никеля в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{200 cdot 25}}{{100}}) кг. При этом масса никеля в третьем сплаве равна массе никеля в первых двух сплавах. (frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {200 — x} right) cdot 30}}{{100}} = frac{{200 cdot 25}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 6000 — 30x = 5000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20x = 1000,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 50.) Значит масса первого сплава 50 кг, а масса второго сплава равна 150 кг. Следовательно, масса первого сплава на 100 кг меньше массы второго. Ответ: 100.

Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Пусть x кг масса первого сплава, тогда масса второго сплава (x + 3) кг, а масса третьего сплава (x + x + 3 = 2x + 3) кг. Тогда масса меди в первом сплаве (frac{{x cdot 10}}{{100}}) кг, во втором (frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}}) кг. При этом масса меди в третьем сплаве равна массе меди в первых двух сплавах. (frac{{x cdot 10}}{{100}} + frac{{left( {x + 3} right) cdot 40}}{{100}} = frac{{left( {2x + 3} right) cdot 30}}{{100}},left| {, cdot 100,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,,,10x + 40x + 120 = 60x + 90,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10x = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 30.) Значит масса первого сплава 3 кг, а масса третьего сплава равна (2x + 3 = 2 cdot 3 + 3 = 9) кг. Ответ: 9.

Задача 13. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Пусть x кг масса 30-процентного раствора, а y кг масса 60-процентрого раствора кислоты. Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе (frac{{x cdot 30}}{{100}}) кг, в 60-процентном (frac{{y cdot 60}}{{100}}) кг, в воде (frac{{10 cdot 0}}{{100}}) кг, а в 36-процентном (frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}}). При этом масса кислоты в 36-процентноом растворе равна массе кислоты 30-процентного, 60-процентного и воды. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид: (frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 0}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 36}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right).) Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты. Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение: (frac{{x cdot 30}}{{100}} + frac{{y cdot 60}}{{100}} + frac{{10 cdot 50}}{{100}} = frac{{left( {x + y + 10} right) cdot 41}}{{100}},,left| { cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).) Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {30x + 60y = 36left( {x + y + 10} right);} \   {30x + 60y + 500 = 41left( {x + y + 10} right).} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое: (500 = 5left( {x + y + 10} right),left| {:5} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 = x + y + 10,,,,, Leftrightarrow ,,,,,y = 90 — x.) Подставим выраженный  y  в первое уравнение: (30x + 60left( {90 — x} right) = 3600,,,,, Leftrightarrow ,,,,30x — 60x = 3600 — 5400,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30x = 1800,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.) Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора. Ответ: 60.

Задача 14. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Будем считать, что первый сосуд содержит 30 кг x-процентного раствора кислоты, а второй 20 кг y-процентного раствора кислоты и их содержимое перелили в третий сосуд, в котором получилось 50 кг 68-процентного раствора кислоты. Тогда масса кислоты в первом сосуде (frac{{30 cdot x}}{{100}}) кг, во втором (frac{{20 cdot y}}{{100}}) кг, а в третьем (frac{{50 cdot 68}}{{100}}) кг. При этом масса кислоты в третьем сосуде равна массе кислоты в первых двух сосудах. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид: (frac{{30 cdot x}}{{100}} + frac{{20 cdot y}}{{100}} = frac{{50 cdot 68}}{{100}},,left| { cdot 10} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x + 2y = 340.) Смешаем равные массы по m кг. Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение: (frac{{m cdot x}}{{100}} + frac{{m cdot y}}{{100}} = frac{{2m cdot 70}}{{100}},,left| {, cdot 100} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m cdot x + m cdot y = 140m,left| {,:m} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x + y = 140.)  Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 2y = 340} \   {x + y = 140} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 2y = 340} \   {y = 140 — x} end{array}} right.} right.) (3x + 2left( {140 — x} right) = 340,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3x — 2x = 340 — 280,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 60.) Следовательно, в первом сосуде содержится 60% кислоты, а масса этой кислоты равна   (frac{{30 cdot 60}}{{100}} = 18) кг. Ответ: 18.

Задача 15. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам? Пусть банк начисляет x% годовых. Тогда через год вклад клиента А составит (left( {100 + x} right)) процентов от 7700 рублей, то есть (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Через год банк начислит ещё x% и его вклад станет равен (left( {100 + x} right)) процентов от (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей, то есть (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}) рублей. Клиент Б открыл такой же вклад сроком на один год. Следовательно, через год на его вкладе будет сумма равная (7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}}) рублей. Так как клиент А получил на 847 рублей больше, то: (7700 cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} — 7700 cdot frac{{100 + x}}{{100}} = 847.) Пусть (frac{{100 + x}}{{100}} = t), тогда: (7700,{t^2} — 7700,t = 847,left| {,:,77,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100,{t^2} — 100,t — 11 = 0;} right.) (D = {100^2} + 4 cdot 100 cdot 11 = 14400;,,,,,sqrt D  = 120;,,,,,{t_1} = frac{{100 + 120}}{{200}} = 1,1;,,,,,{t_2} = frac{{100 — 120}}{{200}} =  — frac{1}{{10}}.)Так как (x > 0), то (t > 1). Следовательно, (t = 1,1) и тогда (frac{{100 + x}}{{100}} = 1,1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 10.) Ответ: 10.