Задачи с отрезками информатика егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Решение заданий 15 ЕГЭ по информатике

РЕШЕНИЕ

Элементы математической логики

Математическая логика и теория множеств

Задания с отрезками и ДЕЛ

Задания с поразрядной конъюнкцией

Задания с множествами

Задания с отрезками на числовой прямой

Задания с ДЕЛ

Задания с поразрядной конъюнкцией

Задания на поиск наибольшего или наименьшего числа А

Описание презентации по отдельным слайдам:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Тема: «Логика и теория множеств»

Ответ: 20

Поиск наибольшего А, известная часть Дел ∨ Дел = 1

Поиск наименьшего А, известная часть Дел ∧ ¬Дел = 1

P.S.Не забудьте подписаться на новости, чтобы ничего не пропустить:

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1)  [0, 3]

2)  [3, 11]

3)  [11, 15]

4)  [15, 17]

На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R = [35, 50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1)  [9, 20)

2)  [3, 12]

3)  [3, 7]

4)  [120, 130]

На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ P) ∧ (x ∉ Q) ∧ (x ∈ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1)  [0, 7]

2)  [8, 15]

3)  [15, 20]

4)  [7, 20]

На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,15], Q = [10,20] и R=[5,15]. Выберите такой интервал A, что формулы

(x ∈ A) → (x ∈ P) и (x ∈ Q) → (x ∈ R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1)  [5, 12]

2)  [10, 17]

3)  [12, 20]

4)  [15, 25]

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 45] и Q = [40, 55]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:

( ¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ P)) )

((x ∈ Q)→ (x ∈ A))

1)  [25, 50]

2)  [25, 65]

3)  [35, 50]

4)  [35, 85]

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

На уроке рассматривается разбор 15 задания ЕГЭ по информатике, дается подробное объяснение того, как решать подобные задачи

Содержание:

Объяснение задания 15 ЕГЭ по информатике
- Элементы математической логики
- Математическая логика и теория множеств
- Задания с отрезками и ДЕЛ
- Задания с поразрядной конъюнкцией
Решение заданий 15 ЕГЭ по информатике
- Задания с множествами
- Задания с отрезками на числовой прямой
- Задания с ДЕЛ
- Задания с поразрядной конъюнкцией
- Задания на поиск наибольшего или наименьшего числа А

15-е задание: «Основные законы алгебры логики»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 5 минут.

Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики

До ЕГЭ 2021 года — это было задание № 18 ЕГЭ

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«Важно понимать, что выражение должно быть тождественно истинно, т.е. истинно при любых допустимых значениях переменных x и у, а не только при некоторых наборах значений»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

Для выполнения задания рекомендуется повторить следующие темы:

Преобразование логических операций:

операцию импликация можно преобразовать в операции ИЛИ и НЕ:

A → B = ¬ A ∨ B
или
A → B = A + B

операцию эквивалентность можно преобразовать:

A ↔ B = A ⊕ B = A ∧ B ∨ A ∧ B
или
A ↔ B = A ⊕ B = A · B + A · B

операцию XOR (сложение по модулю 2) можно преобразовать так:

A ⊕ B = (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
или
A ⊕ B = (A · B) + (A · B)

Законы алгебры логики:

кроме того, могут пригодиться базовые аксиомы и формулы:

Закон двойного отрицания:	¬¬ A = A
Закон исключения третьего:	A ∧ ¬ A = 0 или A · A = 0 A ∨ ¬ A = 1 или A + A = 1
Закон повторения (идемпотентности):	A ∧ A = A или A · A = A A ∨ A = A или A + A = A
Законы исключения логических констант:	A ∧ 0 = 0 A ∧ 1 = A A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1
Переместительный (коммутативный) закон:	A ∧ B = B ∧ A A ∨ B = B ∨ A
Сочетательный (ассоциативный) закон:	(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ С = A ∨ (B ∨ С)
Распределительный (дистрибутивный) закон:	(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∨ B) ∧ С = (A ∧ С) ∨ (B ∧ С) и наоборот: (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) = A ∨ (B ∧ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) = A ∧ (B ∨ C)
Закон общей инверсии (Законы де Моргана):	¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B
Закон исключения (склеивания):	(A ∧ B) ∨(¬A ∧ B) = B (A ∨ B) ∧(¬A ∨ B) = B
Упрощать выражения можно с помощью формул:
Закон поглощения:	A ∨ A ∧ B = A A ∧ (A ∨ B) = A A ∨ ¬A ∧ B = A ∨ B ¬A ∨ A ∧ B = ¬A ∨ B A ∧ (¬A ∨ B) = A ∧ B ¬A ∧ (A ∨ B) = ¬A ∧ B

Порядок выполнения логических операций:

выражения в скобках,
операции «НЕ»,
операции «И»,
операции «ИЛИ»,
операции «импликация»
операции «эквиваленция»

последовательность из операций импликации выполняется слева направо (при этом соблюдается принцип «операции с одинаковым приоритетом выполняются слева направо»):

A → B → C → D = ((A → B) → C) → D

пересечение множеств соответствует логическому умножению, а объединение – логическому сложению;
пересечением двух множеств называется новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно обеим множествам:

Пример:

объединением двух множеств называется новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих отдельно каждому из множеств (без повторений);

Пример:

пустое множество ∅ – это множество, в котором не содержится ни одного элемента; пустому множеству в теории множеств соответствует 0;
универсальное множество U (на кругах Эйлера обозначается в виде прямоугольника) – это множество, содержащее все возможные элементы определенного типа (например, все вещественные числа):

универсальное множество соответствует логической единице: для любого множества целых чисел X справедливы равенства:

X ∨ U = U и X ∧ U = X

разностью двух множеств A и B называется новое множество, элементы которого принадлежат A, но не принадлежат B:

Пример разности множеств:

дополнение множества X – это разность между универсальным множеством U и множеством X (например, для целых чисел ¬ X – все целые числа, не входящие в X)

пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A ∨ X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение ¬ X, то есть A ≥¬ X (или A ⊇¬ X), то есть A_min = ¬ X
пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство ¬ A ∨ X = I, в этом случае множество ¬ A должно включать дополнение ¬ X, то есть ¬ A ⊇ ¬ X; отсюда A ⊆ X, то есть A_max = X

Для большей определенности стоит рассмотреть тему круги Эйлера

Для решения заданий необходимо знать рассмотренную тему о множествах.

Для упрощения решений можно пользоваться следующими законами.

1. Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
2. после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_min = ¬B

где B — известная часть выражения.

1. Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
2. после упрощения A с отрицанием
то используется закон:

A_max = B

где B — известная часть выражения.

1. Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
2. после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_max = ¬B

где B — известная часть выражения.

1. Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
2. после упрощения A с отрицанием
то используется закон:

A_min = B

где B — известная часть выражения.

В задании 15 ЕГЭ встречаются задачи, связанные с поразрядной конъюнкцией.
Например:

5 & 26

означает поразрядную конъюнкцию (логическое «И») между двоичными значениями двух чисел — 5 и 26. Выполняется так:

5  =   101₂ 
26 = 11010₂
0  = 00000₂

Задания, связанные с поразрядной конъюнкцией, решаются несколькими способами. Рассмотрим один из них.

Обозначим:

(x & K = 0) как Z_k

Для решения методом, предложенным А.В. Здвижковой, пригодится использование следующих свойств:

Z_k * Z_m = Z_{k or m}

Так, например, если в задании имеем:

(X & 5 = 0) ∧ (X & 26 = 0)

то сначала введем замену:

Z₅ ∧ Z₂₆

а затем, используя свойство 1, вычислим поразрядную дизъюнкцию двоичного значения чисел 26 и 5:

Z₅ ∧ Z₂₆ = Z_{26 or 5}
помним, что дизъюнкция - это операция логическое "ИЛИ" (сложение)
5  =   101₂ 
26 = 11010₂
31 = 11111₂

таким образом, получили:

Z₅ ∧ Z₂₆ = Z₃₁

Z_k + Z_m = Z_{k and m}

Так, например, если в задании имеем:

(X & 28 = 0) ∨ (X & 22 = 0)

то сначала введем замену:

Z₂₈ ∨ Z₂₂

а затем, используя свойство 2, вычислим поразрядную конъюнкцию двоичного значения чисел 28 и 22:

Z₂₈ ∨ Z₂₂ = Z_{28 and 22}
помним, что конъюнкция - это операция логическое "И" (умножение)
28 = 11100₂ 
22 = 10110₂
     10100₂ = 20₁₀

таким образом, получили:

Z₂₈ ∨ Z₂₂ = Z₂₀

Условие Z_k → Z_m истинно для любых натуральных значений x тогда и только тогда, когда все единичные биты двоичной записи числа M входят во множество единичных битов двоичной записи числа K.

На деле, это означает, что если имеем:

X & 29 = 0 → X & 5 = 0  Истинно или Ложно?

то сначала введем замену:

Z₂₉ → Z₅

а затем, используя свойство 3, определим истинность высказывания Z₂₉ → Z₅:

Z₂₉ → Z₅ = 1 (истине), тогда, когда:
29 = 11101₂
5  =   101₂  
единичные биты двоичного числа 5 входят в единичные биты двоичного числа 29 
(совпадают с ними)

таким образом, получили:

Z₂₉ → Z₅ = 1 (истинно)

(x & 125 = 5) то же самое, что и
Z₁₂₀ * ¬Z₄ * ¬Z₁ = 1 (истине)

Так, например, если в задании имеем:

X & 130 = 3

то сначала введем замену и, используя свойство 4, получим:

X & 130 = 3 то же самое, что и
Z₁₂₇ * ¬Z₂ * ¬Z₁

т.е. 3 = 2 + 1 :	

2 = 10
1 = 01
3 = 11

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:

Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Множества:

15_16:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) → ¬(x ∈ {3, 6, 9, 12})) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

✍ Решение:

Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) ; 
Q ≡ (x ∈ {3, 6, 9, 12}) ; 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

(P → ¬Q) ∨ A = 1
Избавимся от импликации:
¬P ∨ ¬Q ∨ A = 1

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬P ∨ ¬Q ∨ А = 1
    ⁰      ¹

То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
¬P = 0  отсюда P = 1
¬Q = 0 отсюда Q = 1

Таким образом имеем пересечение (умножение) двух множеств Q и P. То есть необходимо выбрать элементы, которые встречаются в обоих множествах одновременно:

A = {3,9}

Сумма элементов:

3 + 9 = 12

Ответ: 12

Аналитическое решение:
📹 YouTube здесь

📹 Видеорешение на RuTube здесь

Множества:

15_17:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → 
→ ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Введем обозначения:

P≡(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) ; 
Q ≡ (x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ; 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 
P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = 
¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = 
¬P ∨ ¬Q ∨ А.

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬P ∨ ¬Q ∨ А = 1
    ⁰      ¹

То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
¬P = 0  отсюда P = 1
¬Q = 0 отсюда Q = 1

Таким образом имеем пересечение (умножение) двух множеств Q и P. То есть необходимо выбрать элементы, которые встречаются в обоих множествах одновременно:

A = {6,12}

Сумма элементов:

6 + 12 = 18

Ответ: 18

Множества:

15_18: Закон распределения

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение

( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∧ ( (x ∈ Q) → ¬(x ∈ A) )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ P); 
Q ≡ (x ∈ Q); 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

Избавимся от импликации:
(¬A ∨ P) ∧ (¬Q ∨ ¬A) = 1
Применим распределительный закон (но можно вывести самостоятельно):
¬A ∨ (P ∧ ¬Q) = 1

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬A ∨ (P ∧ ¬Q) = 1
 ⁰      ¹

То есть получаем:

P ∧ ¬Q = 1,
или 
P = 1  и
¬Q = 1 отсюда Q = 0

Таким образом имеем разность двух множеств Q и P. То есть это новое множество, элементы которого принадлежат P, но не принадлежат Q:

A = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20}

Количество элементов = 7

Ответ: 7

Множества:

15_20:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

¬(x ∈ A) →¬(x ∈ {1, 3, 7}) ∨ (¬(x  ∈ {1, 2, 4, 5, 6}) ∧ (x ∈ {1, 3, 7}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

✍ Решение:

Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ {1, 3, 7}); 
Q ≡ (x  ∈ {1, 2, 4, 5, 6}); 
A ≡ (x ∈ A).

Выполним преобразования:

Избавимся от импликации:
A ∨ ¬P ∨ (¬Q ∧ P) = 1
Применим закон поглощения (но можно вывести самостоятельно):
A ∨ ¬P ∨ ¬Q = 1

Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

A ∨ ¬P ∨ ¬Q = 1
 ¹      ⁰

То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
P = 1 и Q = 1

Таким образом имеем пересечение двух множеств Q и P:

A = {1}

Количество элементов = 1

Ответ: 1

Отрезки на числовой прямой:

15_3:

На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула

((x ϵ P) → (x ϵ Q)) ∧ (x ϵ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

✍ Решение:

Упростим формулу, избавившись от ‘x ϵ‘:

(P → Q) ∧ A

Теперь преобразуем импликацию в скобках:

правило импликации: a → b = ¬a ∨ b

(¬P ∨ Q) ∧ A

Указанные в задании отрезки отобразим на числовой прямой. Разделим отрезки на части по точкам, соответствующим их границам.

Вернемся к преобразованному выражению. В нем есть известная часть (выделим ее) и неизвестная. По условию выражение должно быть ложно:

(¬P ∨ Q) ∧ A = 0

Внешняя операция выражения — конъюнкция — ложна в трех случаях и только в одном — истинна:

(¬P ∨ Q) ∧ A
    ⁰     ^∧ ⁰ ⁼ ⁰
    ⁰     ^∧ ¹ ⁼ ⁰
    ¹     ^∧ ⁰ ⁼ ⁰
    ¹     ^∧ ¹ ⁼ ¹

Теперь рассмотрим это выражение относительно наших отрезков на числовой прямой: если известная часть выражения (¬P ∨ Q) на каком-либо отрезке прямой дает истину, то неизвестная часть (A) должна возвращать ложь (по условию формула должна быть тождественно ложна).
Рассмотрим все отрезки числовой прямой для известной части выражения:

1. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
2. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 1 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
3. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
4. (¬P ∨ Q) = 0 ∨ 0 = 0  - на данном отрезке А может! равняться 1
5. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0

Получаем, что на всех отрезках кроме 4-го выражение ¬P ∨ Q истинно, т.е. на отрезках 1, 2, 3 и 5 неизвестная часть A должна быть ложной (чтобы формула вернула ложь). Отсюда следует, что А может быть истинно только на отрезке 4.
Длина отрезка 4 составляет:

48 - 44 = 4

Результат: 4
✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:

def f(a1,a2,x):
    return((44<=x<=48)<=(23<=x<=35))and(a1<=x<=a2)
maxim = 0
for a1 in range (1,200):
    for a2 in range (a1+1,200):
        if all(f(a1,a2,x)==0 for x in range (1,200)):# если все ложны
            if a2-a1>maxim:
                maxim=a2-a1
                print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина

Вывод:

PascalABC.net:

Вывод:

С подробным аналитическим решением задания 15 ЕГЭ по информатике можно ознакомиться по видео:

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Отрезки на числовой прямой:

15_9:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

((x ∈ P) → (x ∈ Q))  → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

(P → Q) → ¬A = 1

Избавимся от импликации:

(P → Q) → ¬A = 1        =>
¬(P → Q) ∨ ¬A = 1       =>
¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬A = 1

Используем закон Де Моргана для последующего преобразования:

¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬A = 1    =>
P ∧ ¬Q ∨ ¬A = 1

А — наше неизвестное, а выделенную часть формулы можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда P ∧ ¬Q = 1 (если P ∧ ¬Q = 0, то ¬А может равняться и 0 и 1, так как имеет место операция логического сложения ∨)
Значит, имеем P ∧ ¬Q = 1. Кроме того, в данном случае имеет место операция конъюнкция, которую проще вычислить, если выражение равно 1 (так как для конъюнкции существует один единственный случай истинности: 1 & 1 = 1). Таким образом имеем утверждения:

А = 1
P = 1
¬Q = 1 или Q = 0

Т.е. A истинно (=1) на промежутке пересечения отрезков P и ¬Q.
Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:

Очевидно, что А будет истинно, только в части 2 (на рис. желтым цветом), то есть соответствовать отрезку [10,20], имеющему длину 10.

Результат: 10

Отрезки на числовой прямой:

15_10:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

((x ∈ P) ~ (x ∈ Q))  → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

✍ Решение:

Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

(P ~ Q) → ¬A = 1

Избавимся от импликации:

(P ~ Q) → ¬A = 1      =>
¬(P ~ Q) ∨ ¬A = 1

Далее возможно 2 способа решения.

✎ 1 способ:

Избавимся от эквивалентности по правилу преобразования эквивалентности:

(a ~ b) = a * b + ¬a * ¬b

¬(P ~ Q) = ¬((P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)) =
= ¬(P ∧ Q) ∧ ¬(¬P ∧ ¬Q)

Преобразуем часть данного выражения по закону Де Моргана:

¬(P ∧ Q) ∧ ¬(¬P ∧ ¬Q) =
= ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q)

В итоге получим:

¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) ∨ ¬A = 1

А — наше неизвестное, а выделенную часть выражения можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда, чтобы общее выражение было истинным (по условию), нужно чтобы ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) = 1.
Имеем:

¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) = 1
А = 1

Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:

Очевидно, что А будет истинно в двух отмеченных на рисунке частях: 2 и 4 (на рис. желтым цветом). Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно, выбираем отрезок [12,20], имеющий длину 8.

✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:

¬(P ~ Q) ∨ ¬A = 1

А — наше неизвестное, а выделенную часть выражения можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда ¬(P ~ Q) = 1 (чтобы общее выражение было истинным, как указанно в условии).
Иными словами ¬(P ~ Q) истинно для всех значений x, при которых P не равно Q (т.е. либо P = 1 и Q = 0, либо P = 0 и Q = 1).
Это соответствует двум отрезкам (см. рисунок выше, желтым цветом): [3,6] и [12,20]. Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно выбираем отрезок [12,20], имеющий длину 8.

Результат: 8

С решением задания 15 вы также можете ознакомиться, посмотрев видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Отрезки на числовой прямой:

15_11:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

(x ∈ A) → ¬((x ∈ P)  ~ (x ∈ Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

A → ¬(P ~ Q) = 1

Избавимся от импликации:

A → ¬(P ~ Q) = 1    =>
¬A ∨ ¬(P ~ Q) = 1

А — наше неизвестное, тогда как выделенную часть формулы можно найти. Введем предположение, что А = 1. Значит, ¬А = 0 (т.е. А = 1), тогда ¬(P ~ Q) = 1 (так как общая формула должна быть истинной по условию).
Иными словами ¬(P ~ Q) истинно для всех значений x, при которых P не равно Q (т.е. либо P = 1 и Q = 0, либо P = 0 и Q = 1).
Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:

Получаем, что А соответствует двум отрезкам (см. рисунок, желтым цветом): [11,15] и [21,40]. Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно выбираем отрезок [21,40], имеющий длину 19.

Результат: 19

15_7:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

  (ДЕЛ(x, 40) ∨ ДЕЛ(x, 64))  → ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):

Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D40 = ДЕЛ(x, 40); 
D64 = ДЕЛ(x, 64)

Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

(D40 ∨ D64)  → A = 1

Избавимся от импликации:

¬(D40 ∨ D64) ∨ A = 1
или
(¬D40 ∧ ¬D64) ∨ A = 1

Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

(¬D40 ∧ ¬D64) ∨ A = 1
      ¹          ²

В полученной формуле необходимо, чтобы искомая часть с A в конечном счете было истинно.
Т.е. (¬D40 ∧ ¬D64) должно быть = 0. Это нам ничего не дает, т.к. конъюнкция ложна в трех случаях (1*0, 0*1 и 0*0), т.е. D40 и D64 могут быть равны как 0, так и 1 (исключение составляет лишь вариант, когда оба D истинны, тогда логическое умножение 1 * 1 ≠ 0).
Преобразуем выражение первой части формулы по закону Де Моргана (чтобы оно равнялось 1):

¬D40 ∧ ¬D64 = 0
или
¬(¬D40 ∧ ¬D64) = 1

Преобразуем по закону Де Моргана и получим:
D40 ∨ D64 = 1

Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.

Решение с помощью логических рассуждений:

Найдем все такие x, которые делятся на А и при этом делятся на 40 ИЛИ делятся на 64:

x/A : x/40 ∨ x/64

x = 40, 64, 80, 120, 128, 160, 192, 200, ...

Теперь найдем такие A, начиная с самого наименьшего (единицы), на которые делятся все x без исключения:

А = 1, 2, 4, 8

Наибольшее А равно 8.
Или то же самое можно найти поиском наибольшего общего делителя чисел 40 и 64 (используем формулу Евклида):

НОД (40,64) = 8 
40,64  (64 - 40 = 24)
40,24  (40 - 24 = 16)
24,16  (24 - 16 = 8)
16,8   (16 - 8 = 8)
8,8

Решение с помощью кругов Эйлера:

В этом случае логическое сложение тоже дает истину в трех случаях (1+1, 1+0, 0+1). Т.е. мы не сможем найти А с помощью функции ДЕЛ. Необходимо прибегнуть к решению с помощью кругов Эйлера.
В множество A должны входить все числа, которые попадают в объединение D40 + D64. Таким образом, нужно найти множество, в которое входят оба этих множества.
Найдем наибольший общий делитель чисел 40 и 64; это число 8:

64 / 40 = 1 (24 остаток)
40 / 24 = 1 (16 остаток)
24 / 16 = 1 (8 остаток)
16 / 8 = 2 (0 остаток) - НОД = 8
+++
40 / 8 = 5
64 / 8 = 8

Т.е. можно сказать, что A = D40 + D64 = D8*D5 + D8*D8 = D8*(D5 + D8). D8 входит в каждое из множеств D40 и D64. Объединение D40 + D64 тоже входит в D8:

8 — наибольший общий делитель числе 40 и 64, значит, оно соответствует максимальному значению A.

Результат: 8

✎ Решение 2 (программирование):
Python:

for A in range(1,500):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))<=(x % A== 0)
    if OK:
        print( A )

Вывод:

PascalABC.net:

begin
  for var A := 1 to 500 do
  begin
    var ok := 1;
    for var x := 1 to 1000 do
    begin
      if (((x mod 40 = 0) or (x mod 64 = 0)) <= (x mod A = 0)) = false then
      begin
        ok := 0; 
        break;
      end;
    end;
    if (ok = 1) then print(A)
  end;
end.

Вывод:

Результат: 8

15_5:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):

Имеем:

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42)) = 1

Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D28 = ДЕЛ(x, 28); 
D42 = ДЕЛ(x, 42)

Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

A → (¬D28 ∨ D42) = 1

Избавимся от импликации:

¬A ∨ (¬D28 ∨ D42) = 1

Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

¬A ∨ (¬D28 ∨ D42) = 1
 ¹        ²

В части 2 полученной формулы находится операция дизъюнкция, которую проще найти, когда логическое выражение равно 0 (только один случай: 0 ∨ 0 = 0):

(¬D28 ∨ D42) = 0   один случай: когда ¬D28 = 0 и D42 = 0

Т.е. имеем:

x/¬A : x/28 ∧ x/¬42

Иными словами найдем все такие x, которые НЕ делятся на А и при этом делятся на 28 И НЕ делятся на 42:

x = 28, 56, 84, 112, 140, 168, 196, 224, ...

Теперь найдем такие A, начиная с самого наименьшего (единицы), на которые НЕ делятся все x без исключения:

А = 1, 2, 3

Наименьшее А равно 3.

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42)) = 1

Можно сделать вывод, что для некоторого диапазона натуральных значений А, необходимо рассмотреть диапазон натуральных значений x. Если выражение будет истинным для диапазона всех рассматриваемых х, то такое А необходимо вывести на экран.
То есть следует рассмотреть вложенный цикл: для внешнего цикла, перебирающего значения А (ограничим их числом 50, т.к. необходимо найти наименьшее А), будем запускать внутренний цикл, перебирающий значения х (х ограничим числом 1000, будем рассматривать данный диапазон, как «любое натуральное значение переменной х»).
Во внутреннем цикле расположим формулу:

Python:

for A in range(1,50):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= (x % A == 0) <= ((x % 28 != 0) or (x % 42== 0))
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.net:

begin
  for var A := 1 to 50 do
  begin
    var ok := 1;
    for var x := 1 to 1000 do
    begin
      if (x mod A = 0) <= ((x mod 28 <> 0)or (x mod 42 = 0)) = false then
      begin
        ok := 0; 
        break;
      end;
    end;
    if (ok = 1) then begin
      print(A);
      break;
      end
  end;
end.

OK — переменная-индикатор: если находится такое А при котором, диапазон всех значений x, подставленных в выражение, возвращает истинное значение выражения, то ОК остается равным 1, т.к. используется операция умножения (до цикла ОК необходимо присвоить единице).
Следует иметь в виду, что в программировании вместо операции импликация (->) можно использовать нестрогое неравенство: <=. Т.к. таблица истинности для операции импликация соответствует операции <=:

a b   F(a<=b)
0 0      1
0 1      1
1 0      0
1 1      1

После запуска программы выдается наименьшее значение А, т.к. используется оператор break для выхода из цикла после первого найденного значения:

Результат: 3

15_6:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

 (¬ДЕЛ(x, 19) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) → ¬ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

✍ Решение:

✎ Решение 1 (Путём рассуждений):

Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D19 = ДЕЛ(x, 19); 
D15 = ДЕЛ(x, 15)

Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

(¬D19 ∨ ¬D15) → ¬A = 1

Избавимся от импликации:

D19 ∧ D15 ∨ ¬A = 1

Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

¬A ∨ D19 ∧ D15 = 1
 ¹       ²

Начнем с известной части — части 2 формулы. В ней находится операция конъюнкция, которую проще найти, когда все ее операнды равны 1 (единственный случай для конъюнкции: 1 ∧ 1 = 1).
Вторая часть общей формулы может равняться только 1, когда ¬A = 0 (если ¬A = 1, то вторая часть может равнять 0, а нам нужно 1) :

¬A ∨ D19 ∧ D15 = 1
 ⁰  ^∨     ¹^{= 1}

Т.е. получаем:

¬A = 0 при D19 ∧ D15 = 1
или
A = 1 при D19 = 1 и D15 = 1

Таким образом, имеем:

A = 1
D19 = 1
D15 = 1

Очевидно, что наименьшим x можем взять число 285 (15 * 19 = 285): ДЕЛ(285, 19) и ДЕЛ(285, 15)
Поскольку мы ищем наименьшее A, такое что: ДЕЛ(x, A) и при этом ДЕЛ(x, 19) и ДЕЛ(x, 15), то нам необходимо найти наименьшее делимое чисел 19 и 15:

19 * 2 = 38 (38 не делится на 15)
19 * 3 = 57 (57 не делится на 15)
19 * 4 = 76 (76 не делится на 15)
19 * 5 = 95 (95 не делится на 15)
...
19 * 10 = 190 (190 не делится на 15)
19 * 15 = 285 (285 делится на 15)

A должно быть таким числом, при котором x принимает единственно возможное (наименьшее) значение 285.
Таким наименьшим A является само число 285.

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python:

 (¬ДЕЛ(x, 19) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) → ¬ДЕЛ(x, A)  = 1

Можно сделать вывод, что для некоторого диапазона натуральных значений А, необходимо рассмотреть диапазон натуральных значений x. Если выражение будет истинным для диапазона всех рассматриваемых х, то такое А необходимо вывести на экран.
То есть следует рассмотреть вложенный цикл: для внешнего цикла, перебирающего значения А (ограничим их числом 500, т.к. необходимо найти наименьшее А), будем запускать внутренний цикл, перебирающий значения х (х ограничим числом 1000, будем рассматривать данный диапазон, как «любое натуральное значение переменной х»).
Во внутреннем цикле расположим формулу:

for A in range(1,500):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= ((x % 19 != 0) or (x % 15 != 0))<= (x % A!= 0)
    if OK:
            print( A )

a b   F(a<=b)
0 0      1
0 1      1
1 0      0
1 1      1

После запуска программы выдается одно значение А:

Результат: 285

Поразрядная конъюнкция:

15_1:

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 12&6 = 1100₂&0110₂ = 0100₂ = 4

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа A формула

(X & A = 0) ∧ ¬(X & 35 ≠ 0 → X & 52 ≠ 0)

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любом неотрицательном значении переменной X)?

✍ Решение:

Стоит заметить, что для такого типа задач, нет универсального единственного решения. Поэтому на видео, расположенном ниже, представлено два варианта решения.
✎ Способ 1:

Рассмотрим один из вариантов решения:

Удалим из формулы X&, чтобы сократить ее запись:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)

Обратим внимание, что внешней операцией является конъюнкция — логическое умножение:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)

Разделим общее выражение на две части относительно внешней операции. Первая часть — неизвестная, искомая, а вторая — известная, ее можно вычислить:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)
   ¹               ²

Выполним некоторые преобразования во второй части формулы:
Зная свойство импликации, преобразуем формулу (избавимся от импликации в скобках):

правило импликации: a → b = ¬a ∨ b

(A = 0) ∧ ¬(35 = 0 ∨ 52 ≠ 0)
т.к. в результате получается отрицание того, что 35 ≠ 0, 
то убираем знак "не равно": было 35 ≠ 0, стало 35 = 0

Избавимся от отрицания перед скобками по закону Де Моргана:

закон де Моргана: ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B

A = 0 ∧ 35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = 0

По условию формула должна быть ложной. Вспомним таблицу истинности для конъюнкции (внешняя операция в нашей общей формуле):

0 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
1 ∧ 0 = 0
1 ∧ 1 = 1

Вторая часть формулы — вычислима, поэтому начнем с нее. В ней находится операция конъюнкция, которая имеет один единственный вариант решения, когда ¬ A ∧ ¬ B = 1. То есть примем вторую часть за истину (=1). В таком случае, для того чтобы общее выражение стало ложным (так требуется по заданию), необходимо, чтобы утверждение, что A = 0 было ложным (т.к. в обратном случае получим: 1 ∧ 1 = 1):

(A = 0) ∧ 35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = 0
   ⁰    ^∧        ¹    ^{= 0}

Вторая часть будет истинной только в том случае, если оба утверждения будут истинными:

35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = истинно (=1)  если:
35 ≠ 0 = истинно (=1)
и
52 = 0 = истинно (=1)

так как стоит логическое умножение ∧ - 
смотрим выше таблицу истинности для конъюнкции

Из двух последних пунктов получаем три утверждения:

35 ≠ 0  = 1  (истина)
и
52 = 0  = 1  (истина)
и
A = 0   = 0  (ложь)

Переведем числа в двоичную систему счисления:

35: 100011  (≠ 0)
52: 110100 (= 0)

Найдем такой X, который при поразрядной конъюнкции даст истинное значение для обеих частей.
Для начала рассмотрим ситуацию с числом 52 — это проще, т.к. для получения в результате нуля (52 = 0 => истина), достаточно во всех разрядах «перекрыть» единицы нулями:

52	1	1	0	1	0	0
X	0	0	?	0	?	?

Мы «перекрыли» все единицы нулями, чтобы в результате получить 0.
Теперь рассмотрим 35 ≠ 0 = истина (1):

35	1	0	0	0	1	1
X	1	?	?	?	1	1

Объединим обе маски в одну:

0 0 ? 0 ? ?  _&
1 ? ? ? 1 1
0 0 ? 0 1 1

Так как выражение X & A = 0 должно быть ложным, то найдем такое наименьшее А, при котором X & A ≠ 0. Для этого в тех разрядах Х, в которых находится единица, необходимо сохранить эту единицу и в соответствующих разрядах А:

X	0	0	?	0	1	1
A	0	0	0	0	1	1

Переведем результат в десятичную систему счисления:

000011₂ = 3₁₀

Ответ: 3

✎ Способ 2*:

Выполним последовательно следующие пункты:

Произвести замену (x & K = 0) на Zk
Выполнить преобразования по свойству импликации и закону Де Моргана.
Стремиться прийти к выражению с конъюнкциями без отрицаний типа: Zk * Zm.
Все выражения типа Zk * Zm преобразовать по свойству
Zk * Zm = Z_{k or m}.
Путем преобразований прийти к импликации: Zk → Zm.

Согласно первому пункту производим замену:

A ∧ ¬(¬Z35 → ¬Z52) = 0

Введем отрицание в выражение, чтобы оно было истинным:

¬(A ∧ ¬(¬Z35 → ¬Z52)) = 1

По закону де Моргана:

¬A ∨ (¬Z35 → ¬Z52) = 1

По свойству импликации:

¬A ∨ (Z35 ∨ ¬Z52) = 1

Объединим слагаемые с отрицанием:

¬A ∨ ¬Z52 ∨ Z35 = 1

Чтобы прийти к конъюнкции (пункт 3), используем закон де Моргана:

¬(A ∧ Z52) ∨ Z35 = 1

Чтобы прийти к импликации (пункт 5), используем свойство импликации:

(A ∧ Z52) → Z35 = 1

Получаем:

Z_{A ∨ 52} → Z35 = 1

Вспомним свойство:

Условие Zk → Zm истинно для любых натуральных значений x тогда и только тогда, когда все единичные биты двоичной записи числа M входят во множество единичных битов двоичной записи числа K.

В нашем случае это говорит о том, что все единичные биты двоичной записи числа 35 должны входить в результат Z_{A or 52}.
Рассмотрим подробно:

A       = ??0?11
52      = 110100
A or 52 = 110111
35      = 100011

поскольку мы ищем наименьшее А, то:

Аmin = 11₂ = 3₁₀

Результат: 3

Детальный разбор данного задания 15 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть на видео:

Вариант решения №1 (универсальный, теоретический):
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Вариант решения №2 (не универсальный, но простой):
📹 YouTube здесь

Поразрядная конъюнкция:

15_2:

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 12&6 = 1100₂&0110₂ = 0100₂ = 4

Для какого наибольшего неотрицательного целого числа A формула

X & A ≠ 0 → (X & 36 = 0 → X & 6 ≠ 0)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном значении переменной X)?

✍ Решение:

✎ Способ 1:

Произведем замену:

z36 = (x&36 = 0), z6 = (x&6 = 0), A = (x&A = 0)

Перепишем выражение:

¬A → (z36 → ¬ z6)

Избавимся от импликации (A → B = ¬ A ∨ B):
Сначала по правилу преобразования импликации:

¬A → (z36 → ¬ z6) = A + ¬z36 + ¬z6

По Закону де Моргана вынесем отрицание за скобки (¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B):

A + ¬z36 + ¬z6 = A + ¬(z36 * z6)

Вернемся опять к импликации:

A + ¬(z36 * z6) = ¬(z36 * z6) + A = (z36 * z6) → A

Суть предыдущих действий в том, что нам необходимо прийти к импликации, но, избавившись от отрицания.
По следующему правилу Z_K * Z_M = Z_{K or M} (К. Поляков) заменим конъюнкцию:

z36 * z6 = z_{36 or 6}

Выполним поразрядную дизъюнкцию двоичных чисел 36 и 6:

100100₂ -> 36
110₂ -> 6

100100
   110
100110₂ -> 36 or 6 = 38₁₀

Получаем:

z38 → A

Необходимо обеспечить истинность данного выражения при всех x. Это возможно, когда единичные биты A входят в единичные биты числа 38. То есть:

A = 100110₂ = 38₁₀

✎ Способ 2:

Так как по заданию формула должна быть тождественно истинна, то перепишем ее так:

x&A ≠ 0 → (x&36 = 0 → x&6 ≠ 0) = 1

Введем обозначения:

A = (x&A = 0);
P = (x&36 = 0);
Q = (x&6 = 0);

Перепишем выражение согласно введенным обозначениям:

¬A → (P → ¬Q) = 1

Избавимся от импликации:

A ∨ (¬P ∨ ¬Q) = 1

A — наше неизвестное; для части выражения ¬P ∨ ¬Q нам необходимо подобрать такой вариант (равный 0 или 1), при котором единственно возможным значением A была бы единица (1).
Возьмем (¬P ∨ ¬Q) = 0, тогда А должно быть только единицей (чтобы общее выражение было = 1):

A ∨ (¬P ∨ ¬Q) = 1; 
или 
1 ∨ (0) = 1

Иными словами, выражение истинно, если при ¬P ∨ ¬Q = 0, A равно единице (1).
Получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0
Отсюда имеем: 
¬P = 0 и ¬Q = 0 

(дизъюнкция равна 0 в единственном случае, когда все операнды равны 0)

Или запишем другим образом:

Q = 1 и P = 1

Построим побитовые маски:

100100  : 36
000110  : 6
0**0**  : маска P (x&36 = 0)
***00*  : маска Q (x&6 = 0)

Сопоставим обе маски и маску x&A = 0:

0**0**  : маска P (x&36 = 0)
***00*  : маска Q (x&6 = 0)
0**00*  : общая маска x
*00**0  : маска для A (x&A = 0)
т.е. в тех битах А, где может получиться единица (звездочки в обеих масках),
 мы поставили нули.

Так как нам необходимо получить наибольшее A (по заданию), то вместо всех «звездочек» ставим единицы:

100110 = 38₁₀

Результат: 38

Подробное решение данного задания 15 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видео уроке:
Способ 1:
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь
Способ 2:
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поразрядная конъюнкция:

15_8:

Определите наименьшее натуральное число А из интервала [43, 55], такое, что выражение

((x & 17 ≠ 0) → ((x & A ≠ 0) → (x & 58 ≠ 0))) →
→ ((x & 8 = 0) ∧ (x & A ≠ 0) ∧ (x & 58 = 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Введем обозначения:

(¬Z17 → (¬A → ¬Z58)) → (z8 ∧ ¬A ∧ Z58) = 0

Для того, чтобы выражение было истинным, поставим его с отрицанием:

¬(((¬Z17 → (¬A → ¬Z58)) → (z8 ∧ ¬A ∧ Z58)) = 1

Упростим выделенную часть выражения (свойство 1, теория):

Z8 ∧ Z58 = Z_{8 or 58}  :

8  =   1000  _or
58 = 111010
     111010 = 58

Получили:

Z8 ∧ Z58 = Z58

Перепишем все выражение снова, избавившись от импликации:

¬(¬(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∨ (¬A ∧ Z58)) = 1

По закону Де Моргана получим:

(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∧ ¬(¬A ∧ Z58)) = 1

Еще раз применим закон теперь ко второй скобке:

(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∧  (A ∨ ¬Z58) = 1

Используем закон поглощения:

A ∨ ¬Z58 = 1

Приведем к импликации, чтобы избавиться от отрицания:

¬Z58 ∨ A => 
 Z58 → A = 1

Поскольку по заданию нас интересует диапазон [43;55], то проверять будет с числа 43.
По свойству 3 (теория), необходимо, чтобы единичные биты А входили в единичные биты двоичного представления числа 58:

43 = 101011 - не подходит!
58 = 111010

44 = 101100 - не подходит!
58 = 111010

45 = 101101 - не подходит!
58 = 111010

46 = 101110 - не подходит!
58 = 111010

47 = 101111 - не подходит!
58 = 111010

48 = 110000 - подходит!
58 = 111010

Результат: 48

Поразрядная конъюнкция:

15_15:

Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

((x & 26 = 0) ∨  (x & 13 = 0)) → ((x & 78 ≠ 0) → (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки:

✍ Решение:

Для упрощения восприятия введем обозначения:

z26 = (x & 26 = 0)
z13 = (x & 13 = 0)
z78 = (x & 78 = 0)
A = (x & A = 0)

Таким образом, получим следующее выражение:

(z26 ∨ z13) → (¬z78 → A) = 1

Упростим выражение по свойству импликации для второй скобки:

(z26 ∨ z13) → (z78 ∨ A) = 1

Упростим левую часть, используя свойство 2 (Z_k + Z_m = Z_{k and m}):

26 : 11010   единичные биты: 4, 3, 1
13 :  1101   единичные биты: 3, 2, 0
∧ =------------------------
     01000 = 8₁₀

То есть получили z26 ∨ z13 = z8
По правилу импликации: все единичные биты двоичной записи результата (z78 ∨ A) должны входить во множество единичных битов двоичной записи z8.
Рассмотрим:

z8 → (z78 ∨ A)
z78: не влияет на решение, так как операция дизъюнкция истинна тогда, 
когда хотя бы один операнд истинен
z8 → A     : ????

Для А единичными битами должны быть общие единичные биты для z8 (1000₂). Т.е. в нашим случае — это один бит — 3-й:

Наибольшее А = 1000 = 8₁₀

Результат: 8

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_4: 15 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Для какого наибольшего целого числа А формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:

✎ Способ 1 (программный):

Важно: Поскольку используется метод полного перебора, то возможна ситуация, когда транслятор будет работать слишком медленно. Но работоспособность представленного алгоритма проверена на онлайн компиляторах.

Pascalabc.net:

begin
  for var A := 200 downto -100 do
  begin
    var OK := 1;
    for var x := 0 to 100 do
      for var y := 0 to 100 do
        if ((x <= 9) <= (x * x <= A)) and ((y * y <= A) <= (y <= 9)) = false then 
        begin
          OK := 0;
          break;
        end;
    if OK = 1 then 
    begin
      print(A);
      break
    end;
  end;
end.

Бейсик:	Python: for A in range(200,-100,-1): OK = 1 for x in range(0,100): for y in range(0,100): OK = ((x<=9) <= (xx<=A)) and((y*y<=A) <= (y<=9)) if OK: print(A) break
С++:

✎ Способ 2 (теоретическое решение):

Условно разделим исходное выражение на части:

Главное действие (внешняя операция) в исходном выражении — это конъюнкция. Конъюнкция истинна, когда все операнды истинны. Т.е. в задаче обе части 1 и 2 должны быть истинными (т.к. по условию общая формула должна быть истинной).

Рассмотрим часть 1:

если в 1.1 имеем x > 9, то часть 1 будет истинна независимо от А. Значит, значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:

x<=9

(импликация 0 → 0 = 1, 0 → 1 = 1)

теперь, для того чтобы в части 1, выражение было истинным, надо чтобы часть 1.2 была истинной:

x*x <= A

(импликация 1 → 1 = 1)

таким образом, получаем:

x <= 9
x² <= A

при любых x

так как нам необходимо найти наибольшее возможное А, то, значит, надо ограничить его значения сверху, а данная часть выражения ограничивает только снизу:

возьмем максимальное натуральное: x=9, тогда A>=81

Рассмотрим часть 2:

если 2.2 истинно (т.е. y <= 9), то часть 2 будет истинна независимо от А. Значит, значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:

y > 9

теперь, для того чтобы в части 2 выражение было истинным, надо чтобы часть 2.1 была ложной:

y * y > A

(импликация 0 → 0 = 1)

таким образом, получаем:

y > 9
y² > A

при любых y

данная часть выражения ограничивает значения А сверху:

возьмем наименьшее возможное по условию натуральное: y = 10, тогда A < 100

Получаем, что наибольшее А меньшее 100: А = 99

Результат: 99

Подробное решение 15 задания демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

✍ Решение:

✎ Способ 1 (программный):

Pascalabc.net:

begin
  for var A := -100 to 200 do
  begin
    var OK := 1;
    for var x := 1 to 100 do
      for var y := 1 to 100 do
        if ((y+3*x<A) or (x >20)or(y>40)) = false then 
        begin
          OK := 0;
          break;
        end;
    if OK = 1 then 
    begin
      print(A);
      break
    end;
  end;
end.

Бейсик:	Python: for A in range(-100,200): OK = 1 for x in range(1,100): for y in range(1,100): OK = (y+3x<A) or (x > 20) or (y > 40) if OK: print(A) break
С++:

✎ Способ 2 (теоретическое решение):

Определим основные части выражения, выделив отдельно неизвестную часть — с А, и, так сказать, известную часть, то есть остальную.

    1                 2
(y+3x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 40)

Поскольку основными операциями являются операции дизъюнкции (логического сложения) и порядок их выполнения не важен, то последней, внешней, операцией будем выполнять дизъюнкцию слева, т.к. она объединяет неизвестную и известную часть.
Сначала важно рассмотреть вторую часть выражения, известную, так как от нее будет зависеть значение A. Если вторая часть истинна, то А может быть как = 1, так и = 0. Такой вариант нам не подходит:

(y+3x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 40)
  ^{1 или 0?                   1               = 1}
Не подходит!

Соответственно, рассмотрим вариант, когда вторая часть ложна, тогда часть выражения с неизвестным А будет обязательно истинной, т.е.:

1. (y+3x < A) = 1
2. (x > 20) ∨ (y > 40) = 0

Дизъюнкция ложна, когда оба операнда ложны, т.е. из второго пункта имеем:

x <= 20
y <= 40

Для того, чтобы перекрыть все x и все y, возьмем наибольшие из возможных значений: x = 20, y = 40.
Выразим А:

А > 3x + y
A > 3*20 + 40
A > 100

Поскольку требуется найти наименьшее значение А, то имеем А = 101.

Результат: 101

Подробное решение досрочного ЕГЭ 2018 года смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_0:Разбор 15 задания. Демоверсия егэ по информатике 2019:

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:
✎ Решение 1 (теоретическое):

Разделим общее выражение на две части. Выделим неизвестную часть красным:

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

Неизвестная часть должна быть истинной, она обязательно будет истинна, если известная часть — ложь:

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y) = 1
      ⁰                  ¹

Т.е. 48 ≠ y + 2x = 0 или y + 2x = 48. На графике это уравнение представляет линию. Из условия имеем два ограничения:(x > 0) and (y > 0). Отобразим линию для 1-й четверти, соответствующей положительным x и y:

y + 2x = 48  :
при x = 0, y = 48
при y = 0, 2x = 48 => x = 24

Возьмем некоторое значение A, например, A = 25, отметим его на графике белой областью так, чтобы выполнялось (A < x) ∨ (A < y). По условию имеем, что все точки данной части отрезка прямой y + 2x = 48 должны принадлежать отмеченной белой области. Заштрихуем область для всех точек прямой (голубым цветом):

То есть все точки голубого квадрата должны находиться под отрезком линии (включая вершину (A, A)), и данный квадрат, соответствует максимальному значению A.
Наибольшее значение голубая область приобретает в точке пересечения прямой y + 2x = 48 с прямой y = x:

Далее решаем полученное линейное уравнение (для x = y):

x + 2x = 48 =>
3x = 48
x = 16

Так как значение A должно быть меньше x, то наибольшее А = 15.

✎ Решение 2 (программное):
Python:

for A in range(200,0,-1):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= (48!=y+2*x) or(A<x)or (A<y) 
    if OK:
        print(A)
        break

Результат: 15

Видео решения 15 задания демоверсии ЕГЭ 2019 (аналитическое решение):
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_19:

Для какого наименьшего целого числа А формула

(y + 5x <= 34) → ((y — x > 4) ∨ (y <= A))

тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:

Общая идея такова:
необходимо упростить формулу так, чтобы последняя операция (внешняя) выполнялась со скобкой, в которой находится искомое A. После чего разделить формулу на две части, в одной из которых находится искомое.
Избавимся от импликации, это даст нам возможность опустить общие скобки во второй части формулы:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A)

Разделим формулу на две части таким образом, чтобы внешняя операции отделяла часть, в которой находится искомое A:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A) = 1
        1 часть                  2 часть

Формула по условию должна быть истинной (=1). Внешняя операция — дизъюнкция — истинна аж в трех случаях: a=1 b=0, a=0 b=1, a=1 b=1.
Если мы допустим, что первая часть истинна, то вторая, искомая часть, может быть как истинной, так и ложной. Поэтому такой вариант не подходит.
Допустим, что первая часть ложна, тогда вторая, искомая часть, должна быть только истинной:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A) = 1
        1 часть = 0               2 часть = 1

С учетом, что в первой части формулу находится операция дизъюнкция, которая ложна только в одном случае (a=0 b=0), то выпишем утверждения, получившиеся из первой части:

y + 5x > 34 = 0, значит:
1. y + 5x <= 34
y - x > 4 = 0, значит:
2. y - x <= 4

Кроме того, имеем еще одно утверждение второй части:

y <= A
или
A >= y

Отобразим получившиеся уравнения прямых на плоскости:

Раз A >= y, значит, искомая область лежит выше обеих прямых. Наименьшее значение А будет достигнуто в указанной точке пересечения двух прямых.
В точке пересечения прямых уравнения равны, т.е. имеем:

34 - 5x = 4 + x
30 = 6x
x = 5
Найдем y: 
y = 4 + 5 = 9

Поскольку имеем утверждение, что A >= y и в задании требуется найти наименьшее A, то получаем:

y = 9:
A >= 9 => наименьшее A = 9

✎ Решение 2 (программное):
Python:

for A in range(-100,100):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= (y+5*x<=34)<=((y-x >4)or(y<=A)) 
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.NET:

 
begin
  for var A := -100 to 100 do
  begin
    var OK := true;
    for var x := 0 to 100 do
    begin
      for var y := 0 to 100 do
      begin
        OK := (y + 5 * x <= 34) <= ((y - x > 4) or (y <= A));
        if OK = false then break;
      end;
      if OK = false then break;
    end;
    if OK then 
    begin
      print(A);
      break;
    end;
  end;
end.

Результат: 9

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_13:

Укажите наименьшее целое значение А при котором выражение

(2y + 5x < A) ∨ (2x + 4y > 100) ∨ (3x – 2y > 70)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Python:

for A in range(-200,200):
    OK = 1
    for x in range(1,100):
        for y in range(1,100):
            OK *= (2*y + 5*x < A) or (2*x + 4*y > 100) or (3*x - 2*y > 70) 
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.NET:

begin
  for var A := -200 to 200 do
  begin
    var OK := true;
    for var x := 1 to 100 do
    begin
      for var y := 1 to 100 do
      begin
        OK := (2*y + 5*x < A) or (2*x + 4*y > 100) or (3*x - 2*y > 70);
        if OK = false then break;
      end;
      if OK = false then break;
    end;
    if OK then 
    begin
      print(A);
      break;
    end;
  end;
end.

Результат: 171

Видео разбора задания смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Поиск наибольшего или наименьшего числа А:

15_14:

Укажите наибольшее целое значение А при котором выражение

(3y – x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < –31)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):

Разделим выражение на две части: часть с неизвестным = 1, часть известная = 0:

(3y – x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < –31) = 1

Выпишем отдельно обе скобки известной части:

(1) 
(2x + 3y) >= 30,
y >= (30 - 2x) / 3
x = (30 - 3y) /2

(2) 
(2y – x >=–31)
y >= (x - 31) / 2
x = 2y + 31

Подберем значения координат для x и y обеих частей, и отобразим линии на графике функций:

(1)
x | y
0 | 10
15| 0

(2)
x | y
0 | -15 ( целые)
30|0

Для первого уравнения:

Для второго уравнения:

Сопоставим обе области:

Добавим на график прямую A<3y-x:

Раз A < 3y – x, то будем перемещать А снизу вверх. Наибольшее значение А будет достигнуто в указанной точке пересечения с прямой (2).
Т.е. для уравнения (2) имеем:

если y = 1, то x = 2*1 + 31 = 33

Подставим в выражение для поиска А:

А < 3y - x
A < 3-33, A < -30, A=-31

✎ Решение (программное):
Python:

for A in range(200,-200,-1):
    OK = 1
    for x in range(1,100):
        for y in range(1,100):
            OK *= (3*y-x>A) or (2*x+3*y<30) or (2*y-x<-31) 
    if OK:
        print(A)
        break

Результат: -31

* В некоторых задачах использован метод, предложенный А.В. Здвижковой

Источник

Привет! Сегодня посмотрим задачи на отрезки из 15 задания ЕГЭ по информатике.

Решим с помощью шаблона на Python и помощью рассуждений. Повторите основные логические операции в этой статье.

Покажу Вам уникальный и понятный способ для борьбы с задачами на отрезки из 15 задания ЕГЭ по информатике.

Приступим к тренировочным задачам на отрезки.

Задача (Fight)

На числовой прямой даны два отрезка B=[10; 15] и С=[20; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение

¬(((x ∈ B) ∨ (x ∈ C)) ⟶ (x ∈ A))

ложно (т.е. принимает значение 0) при любом значении переменной x.

Решение:

Решение с помощью шаблона на языке Python.

Приведу собственную разработку, как можно решить задачи на отрезки из 15 задания ЕГЭ по информатике с помощью шаблона на языке Python (Питон).

def F(a, b, x):
    if a <= x <= b:
        return True
    else:
        return False

mn=10**9

for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        k=0
        for i in range(1, 200):
            x = i/2
            if not( (F(10, 15, x) or F(20, 27, x)) ) or F(a, b, x):
                k=k+1

        if k==199:
            mn=min(mn, b-a)
print(mn)

Здесь заводим функцию F(a, b, x). Она принимает три параметра: начало отрезка a, конец отрезка b и точку x. Если точка x лежит в отрезке [a;b], то функция вернёт True, иначе False.

Затем делаем два вложенных цикла. Это поиск отрезка A. Переменная a — это начало отрезка A. Переменная b — это конец отрезка A. Для каждой точки a пробуем различные точки b, которые находится правее, чем точка a. Мы начинаем проходить переменной b со значения a, потому что в некоторых задачах длина искомого отрезка A может быть равна нулю.

Для каждого отрезка-кандидата заводим счётчик k. Прокручиваем переменную i в диапазоне от 1 до 199 включительно. А x будет крутится от 0.5 до 99.5 с шагом 0.5, тем самым имитируя фразу при любых значениях x.

Внутри «цикла i» проверяем логическое выражение. Если выражение удовлетворяет условию задачи, то прибавляем к счётчику k единицу для данного отрезка A=[a; b].

При составлении логического выражения может помочь табличка.

Логическая операция	Представление в Питоне
Отрицание ¬	not()
Логическое умножение ∧	and
Логическое сложение ∨	or
Следование A ⟶ B	not(A) or B
Равносильность ≡	==

После окончания «цикла i» проверяем счёт k. Если логическое выражение сработало при всех значениях x, то в счётчике будет число 199. Это количество итераций в «цикле i». Если такое выполняется, то нам подходит этот отрезок A.

Среди всех отрезков A, которые удовлетворяют условию задачи, выбираем с наименьшей длиной с помощью функции min.

Примечание: У нас всегда получается отрезок A c квадратными скобками на концах A=[a, b]. Даже, если в задачке должен быть отрезок с выколотыми точками, то на длину это никак не влияет, если мы ищем минимальный отрезок, поэтому всё равно будет получатся правильный ответ. Если же мы ищем наибольшую длину, нужно получать всегда отрезок A=(a,b) c выколотыми точками. Об этот речь пойдёт ниже.

Получается 17.

Решение с помощью рассуждений.

Видим, что ко всему выражению применяется логическое отрицание. Мы можем убрать это отрицание, но тогда нужно будет сделать, чтобы выражение было истинным, а не ложным.

В подобных задачах идём от обратного. Нам нужно найти, когда выражение будет истинным, но мы исследуем случай, когда выражение будет стремится ко лжи.

Найдём, при каких значениях x левое выражение будет выдавать 1.

Здесь заштрихованы те иксы, которые приводят к тому, что левое выражение выдаёт 1. Это опасные x. Они «приближают» всё выражение к нулю.

Наша задача этого не допустить. У нас есть только один инструмент: подобрать такой отрезок A, чтобы правое выражение при опасных иксах выдавало 1. Тогда мы получим желаемый результат.

Т.е. при опасных иксах правое выражение должно выдавать 1. Чтобы покрыть все иксы приходится брать отрезок A=[10, 27].

В ответе напишем длину отрезка A: 27 — 10 = 17. Здесь достаточно из наибольшей точки отнять наименьшую.

Ответ: 17

Задача (Раунд 2)

На числовой прямой даны два отрезка: B = [14; 20] и С = [15; 27]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение

¬(x ∈ A) ⟶ ((x ∈ B) ≡ (x ∈ C))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной x.

Решение:

Решение с помощью шаблона на языке Python.

def F(a, b, x):
    if a <= x <= b:
        return True
    else:
        return False

mn=10**9

for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        k=0
        for i in range(1, 200):
            x=i/2
            if F(a, b, x) or (F(14, 20, x) == F(15, 27, x)):
                k=k+1

        if k==199:
            mn=min(mn, b-a)
print(mn)

Получается ответ 13.

Решение с помощью рассуждений.

«Главной скрипкой» логического выражение является следование. Именно эта операция соединяет большие блоки логического выражения.

Нас будет интересовать тот случай, когда логическое выражение, наоборот, будет стремится к 0. Тогда правое логическое подвыражение должно равняться 0, а с помощью левого подвыражения, где находится отрезок A, мы будем исправлять ситуацию.

Заштрихуем те значения x, при которых правое подвыражение даёт ноль. Равносильность даёт ноль, когда два выражения имеют разные значения. Т.е. если x находится в одном отрезке, то в другом отрезке его не должно быть.

В подобных задачах можно не обращать внимание на закрашенные и выколотые точки на концах отрезков, потому что в дальнейшем нужно найти длину отрезка A, а длина от этого не зависит. Поэтому пишем и рисуем отрезки с некоторым приближением до одной точки.

Получаются два отрезка [14; 15) и (20; 27]. Это и есть «опасные» значения x. При этих значениях выражение уже «наполовину» ложно. Но с помощью A мы не дадим превратится ему в 0 при любых иксах.

Если левое подвыражение будет равно 1 при опасных значениях икс, то как раз получится то, что нам не нужно. Поэтому при опасных значениях иск, в левом выражении должен быть ноль.

Т.к. там стоит отрицание, убрав его, можно сказать, что в левом подвыражении должна стоять 1 при опасных значениях икс.

Чтобы покрыть все два отрезка опасных значений, выбираем A=[14; 27]. Нас просили найти минимальный отрезок A. Меньше не можем взять, т.к. тогда не все заштрихованные иксы будут закрыты.

Длина получается 27 — 14 = 13.

Ответ: 13

Задача (Отрезок максимальной длины)

На числовой прямой даны два отрезка: P = [43; 49] и Q = [44; 53]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

Решение:

Решение с помощью шаблона на языке Python.

def F(a, b, x):
    if a <= x <= b:
        return True
    else:
        return False

def F2(a, b, x):
    if a < x < b:
        return True
    else:
        return False

mx=0

for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        k=0
        for i in range(1, 200):
            x=i/2
            if (not(F2(a, b, x)) or F(43, 49, x)) or F(44, 53, x):
                k=k+1

        if k==199:
            mx=max(mx, b-a)
print(mx)

Ответ получается 10. Здесь ищем максимальный отрезок A. При поиске отрезка максимальной длины, нужно создать функцию F2, и её применять к отрезку A, чтобы получался всегда отрезок с выколотыми точками A=(a, b).

Решение с помощью рассуждений.

Главная скрипка — это логическое или. Эта логическая операция соединяет два больших выражения.

Идём от обратного. Исследуем, когда выражение будет стремится к 0.

Логическое или выдаёт ноль, когда оба выражения равны нулю.

В начале лучше разобраться с тем выражением, где нет отрезка A. Это правое подвыражение. Там должен получаться ноль. Заштрихуем те иксы, которые выдают в правом подвыражении ноль.

В левом выражение стоит следование. Эта операция равна нулю, когда из 1 следует 0. С помощью отрезка A мы будем спасать ситуацию. Заштрихуем, когда икс НЕ принадлежит P. Добавим это действие к предыдущей штриховке.

Таким образом, мы получили опасные иксы. Это все иксы, кроме отрезка [43; 53].

Именно при этих иксах выражение (x ∈ A) не должно выдавать 1. Выбираем отрезок A=[43; 53].

Мы могли бы взять отрезок и меньше, например [44; 49], но нас просили взять наибольший отрезок.

Длина равна 53 — 43 = 10.

Ответ: 10

Задача (Крепкий орешек)

На числовой прямой даны три интервала: P=[10,15], Q=[5,20] и R=(15,25]. Определите наименьшую возможную длину отрезка A, при выборе которого выражение

((x ∉ A) → (x ∈ P)) ≡ ((x ∈ Q) → (x ∈ R))

будет ложно при любых x.

Решение:

Решение с помощью шаблона на языке Python.

def F(a, b, x):
    if a <= x <= b:
        return True
    else:
        return False

def F2(a, b, x):
    if a < x <= b:
        return True
    else:
        return False

mn=10**9

for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        k=0
        for i in range(1, 200):
            x = i / 2
            if not( (F(a, b, x) or F(10, 15, x)) == (not(F(5, 20, x)) or F2(15, 25, x)) ):
                k=k+1

        if k==199:
            mn=min(mn, b-a)

print(mn)

Здесь заводим ещё одну функцию F2 для отрезка R с выколотой левой точкой. Ответ получается 5.

Решение с помощью рассуждений.

Нужна ложь, но мы рассмотрим, когда равносильность выдаёт 1.

1) Рассмотрим первый случай 1 ≡ 1.

Рассмотрим левое выражение. Узнаём, когда оно выдаёт ноль, а потом сделаем инверсию, чтобы не рассматривать 3 случая.

Получается, что в отрезке Q иксы должны находится, а в R нет.

Сделаем инверсию.

Получается интервал x ∈ (-∞ 5) U (15; ∞). Это те иксы, при которых в правом выражении будет 1.

Рассмотрим, когда левое выражение выдаёт 1.

a) 0 → 0

Учитывая вышеописанный интервал, понимаем, что иксы и так не лежат в отрезке P. Чтобы спаси ситуацию, нужно, чтобы выражение (x ∉ A) выдавало 1, при x ∈ (-∞ 5) U (15; ∞). Тогда левое выражение будет выдавать 0, а правое 1.

Следовательно, можем выбрать любой отрезок A в интервале [5; 15].

б) 0 → 1

При x ∈ (-∞ 5) U (15; ∞) выражение (x ∈ P) никогда не выдаст 1. Значит, в этом варианте 1 ≡ 1 никогда не будет.

в) 1 → 1

Аналогично невозможна и эта ситуация.

Перейдём ко второму случаю.

2) Рассмотрим случай 0 ≡ 0.

Когда правое выражение выдаёт ноль, мы уже смотрели. Это отрезок [5; 15].

Изучим те значения x, при которых левое выражение тоже будет выдавать 0 на отрезке [5; 15].

Тогда опасные иксы будут выглядеть следующим образом:

Т.е. это интервал [5; 15], но без отрезка P. Именно при x ∈ [5; 10) мы должны получать 0 в выражении (x ∉ A), чтобы спасти ситуацию. Получается A=[5;10). Меньше взять отрезок не можем, иначе не все опасные иксы будут покрыты.

Этот отрезок хорошо соотносится с первым вариантом 1) 1 ≡ 1.

Ответ получается 10 — 5 = 5.

Ответ: 5

Задача (Вперёд к победе!)

На числовой прямой даны два отрезка: D = [17; 58] и C = [29; 80]. Укажите
наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое
выражение.

(x ∈ D) → ((¬(x ∈ C) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ D))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Решение:

Решение с помощью шаблона на языке Python.

def F(a, b, x):
    if a <= x <= b:
        return True
    else:
        return False

mn=10**9

for a in range(0, 100):
    for b in range(a, 100):
        k=0
        for i in range(1, 200):
            x = i / 2
            if not(F(17, 58, x)) or (not((not(F(29, 80, x)) and not(F(a, b, x)))) or not(F(17, 58, x))):
                k=k+1

        if k==199:
            mn=min(mn, b-a)

print(mn)

Решение с помощью рассуждений.

«Главной скрипкой» данного логического выражения является следование, потому что эта операция соединяет различные логические блоки.

Нам нельзя допустить, чтобы первое выражение принимало 1, а второе 0, одновременно.

Рассмотрим при каких значениях x реализуется этот страшный вариант.

Видно, что, если левое выражение (x ∈ D) равно 1, то ¬(x ∈ D) в правой части автоматически выдаёт 0.

Чтобы умножение в правой части давало 1, необходимо, чтобы выражение ¬(x ∈ C) было истинным.

Тогда опасные значения — это отрезок D без отрезка C. Т.е., чтобы иксы были в отрезке D, но не были в отрезке С одновременно.

Опасные значения получаются [17; 29]. Чтобы опасный сценарий нейтрализовать, выражение ¬(x ∈ A) должно принимать значение 0. Тогда (x ∈ A) должно выдавать 1. Чтобы это происходило всегда при опасных значениях, принимаем A=[17, 29]. Длина получается 12.

Ответ: 12

Источник

Подготовка к ЕГЭ: задача 18 (отрезки)

Содержание

Теория
Разбор решений задач
Задачи для самостоятельного решения
Источники

Теория

Задания№18 на логические отрезки можно решать несколькими способами.

В данной презентации рассматриваются два способа решения.

Как правило, в данных задачах логическое выражение, для которого требуется найти длину отрезка, на котором это выражение истинно (или ложно), достаточно сложно для восприятия. Поэтому необходимо его упростить. Нужно ввести дополнительные обозначений для простых логических высказываний и за счёт этого получить логическую функцию традиционного вида.

Первый способ решения: полученное выражение нужно упростить, используя законы преобразования логических выражений. Итоговое выражение нужно приравнять 1, если по условию оно должно быть истинным, или 0, если должно быть ложно.

Теория

Остается только рассмотреть простые высказывания, входящие в итоговое выражение, и выяснить, на каких отрезках они истинны (или ложны, в зависимости от условия задачи). Проанализировав эти отрезки, нужно найти итоговый (или несколько, в ответе может быть не один).

При втором способе решения для полученного после ввода обозначений выражения строится таблица истинности (ТИ), в которой отражены значения всех логических переменных и логических операций на каждом числовом отрезке. В одном из столбцов будут стоять значения искомой переменной. В зависимости от условия, она либо равна 1, либо равна 0, либо может принимать любое значение, поскольку не будет влиять на конечное значение исходного выражения. Остается выбрать строки, соответствующие условию задачи (истинно или ложно должно быть исходное выражение) и выбрать числовые отрезки (отрезок).

Разбор решения задач

Задание 1.

На числовой прямой даны два отрезка: P =[10; 18] и Q =[31; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A , что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x .

Решение.

Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:

¬P Q + ¬A или ¬P ( Q + ¬A) (поскольку импликация имеет самый низкий приоритет и будет выполнена последней)

Раскрываем импликацию:

P + Q + ¬A

Это выражение должно быть равным 1 при любом значении А: P + Q + ¬A = 1

Разбор решения задач

Задание 1.

Рассмотрим числовую ось с нашими отрезками P и Q.

Рассмотрим отдельно все три отрезка.

Отрезок 10‒18: выражение истинно, т.к. Р=1 (x ϵ P)

Отрезок 31‒ 40: выражение истинно, т.к. Q=1 (x ϵ Q)

Отрезок 18‒31: выражение будет истинным в случае ¬A = 1, или А=0. Это значит, что А не принадлежит отрезку 18‒31, значение А должно быть совпадающим либо с отрезком Р, либо с отрезком Q. Но поскольку в задании спрашивается наименьшая длина отрезка, то это будет отрезок (18-10)=8

Ответ: 8

Разбор решения задач

Задание 2.

На числовой прямой даны два отрезка: P=[-10, 0] и Q=[-3, 8]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что логическое выражение

( (x ϵ P) Ʌ (x ϵ A) ) ( (x ϵ Q) Ʌ (x ϵ A) )

будет тождественно истинным, то есть будет принимать значение 1 при любом значении переменной х.

1) [-8, -4] 2) [-7, -1] 3) [-2, 5] 4) [-15, 15]

Решение.

Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:

Раскрываем импликацию, затем используем формулу де Моргана:

¬ ( P · A ) + (Q · A ) или ¬ P + ¬A + Q · A

( P Ʌ A ) ( Q Ʌ A)

Разбор решения задач

Задание 2.

Преобразуем выражение, используя следующий закон преобразования: a + ¬ a · b = a + b

¬ P + (¬A + Q · A) = ¬ P + (¬A + Q) = ¬A + ¬ P + Q

Поскольку это выражение должно быть тождественно истинным, т.е. равным 1 при любом значении А, то ¬A должно быть истинным там, где (¬ P + Q) ложно, или где истинно ¬ (¬ P + Q).

Преобразуем получившееся выражение, используя формулу де Моргана:

¬ (¬ P + Q) = (¬ ¬ P ) Ʌ ¬Q = P Ʌ ¬Q

Разбор решения задач

Задание 2.

Рассмотрим числовую ось с нашими отрезками P и Q.

Выражение (P Ʌ ¬Q) истинно на отрезке [-10, -3]. На нем должно быть ¬A=1 или А=0. Это означает, что отрезок А не должен содержать в себе отрезок [-10, -3].

Рассмотрим варианты ответов.

Отрезок 1) [-8, -4] содержит в себе значения из отрезка [-10, -3], поэтому не является правильным ответом.

Отрезок 2) [-7, -1] содержит в себе значения из отрезка [-10, -3], что быть не должно.

Отрезок 4) [-15, 15] содержит в себе значения из отрезка [-10, -3], что быть не должно.

Отрезок 3) [-2, 5] не содержит в себе значения [-10, -3], поэтому именно он и является ответом.

Ответ: 3)

Разбор решения задач

Задание 3.

На числовой прямой даны два отрезка: R =[27; 50] и S =[30; 67]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка T , что формула

(x ϵ R) (((x ϵ S) Ʌ ¬(x ϵ T)) ¬(x ϵ R))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x .

Решение.

Введем обозначения:

R: x ϵ R, S: x ϵ S, T: x ϵ T

Перепишем условие задания:

R (( S Ʌ ¬ T ) R)

Разбор решения задач

Задание 3.

Преобразуем получившееся выражение, используя замену импликации и формулу де Моргана:

R (¬ ( S Ʌ ¬ T) + ¬ R)

R (¬ S + T + ¬ R)

¬ R + ¬ S + T + ¬ R

¬ R + ¬ S + T

Это выражение должно быть равно 1 при любом значении T:

T + ¬ R + ¬ S = 1

Разбор решения задач

Задание 3.

Рассмотрим числовую ось с нашими отрезками P и Q.

Чтобы получившееся выражение было везде истинным, T должно быть истинным там, где ложно (¬R + ¬S), т.е. там, где истинно выражение ¬ (¬R + ¬S).

Выполним преобразования, используя формулу де Моргана:

¬ (¬ R + ¬ S) = ¬ ¬ R Ʌ ¬ ¬ S) = R Ʌ S = 1

Это выражение истинно на отрезке [30; 50]. Его длина равна (50 – 30) = 20

Ответ: 20

Разбор решения задач

Задание 4.

На числовой прямой даны два отрезка: P=[2, 10] и Q=[6, 14]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что логическое выражение

( ( x ϵ A) ( x ϵ P) V ( x ϵ Q) )

будет тождественно истинным, то есть будет принимать значение 1 при любом значении переменной x .

1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]

Решение.

Эту задачу решим с помощью анализа исходного логического выражения после его преобразования, а также с помощью таблицы истинности.

Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:

A P V Q = ¬ A + P + Q

14 1 1 0 ¬A + P + Q 1 любое 1 0 1 1 любое 1 1 0 любое 0 1 1 1 1 По ТИ получаем значения ¬A 14. Тогда решением задания будет 2 Ответ: 3) » width=»640″

Разбор решения задач

Задание 4.

1 способ. Чтобы полученное выражение везде равнялось 1 , ¬A должно быть либо 14, поскольку в интервале [2, 14 ] имеем либо P=1 либо Q=1 . Значит, А принадлежит отрезку [2, 14]. Этот отрезок входит в интервал под номером 3).

2 способ. Разобьем числовую ось ключевыми точками на несколько областей и составим ТИ для логического выражения.

P +Q

¬A

x 14

¬A + P + Q

любое

По ТИ получаем значения ¬A 14. Тогда решением задания будет 2

Ответ: 3)

Разбор решения задач

Задание 5.

На числовой прямой даны два отрезка: P=[2, 20] и Q=[15, 25]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что логическое выражение

( ( x ɇ A) ( x ɇ P) ) V ( x ϵ Q)

будет тождественно истинным, то есть будет принимать значение 1 при любом значении переменной x .

1) [0, 15] 2) [10, 25] 3) [2, 10] 4) [15, 20]

Решение.

Эту задачу решим с помощью таблицы истинности.

Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:

( ¬ A ¬ P ) V Q = A + ¬ P + Q

25 0 любое A + ¬ P + Q 0 1 0 1 1 1 1 1 1 любое 1 1 1 любое 1 1 1 любое 1 Из ТИ получаем, что значения А=1 будут на интервале 2 Ответ: 1) » width=»640″

Разбор решения задач

Задание 5.

Разобьем числовую ось ключевыми точками на несколько областей и составим ТИ для логического выражения.

¬P

¬P + Q

x 25

любое

A + ¬ P + Q

любое

Из ТИ получаем, что значения А=1 будут на интервале 2

Ответ: 1)

Задачи для самостоятельного решения

Задание 6.

На числовой прямой даны два отрезка: P =[10; 18] и Q =[31; 40]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A , что формула

(x ϵ P) V ¬ ( x ϵ A) V ( x ϵ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x .

Ответ: 9

Задачи для самостоятельного решения

Задание 7.

На числовой прямой даны два отрезка: R =[10; 30] и S =[20; 40]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка T , что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x .

(x ϵ T ) ((x ϵ R ) V (x ϵ S ))

Ответ: 30

Задачи для самостоятельного решения

Задание 8.

На числовой прямой даны два отрезка: R =[20; 50] и S =[30; 65]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка T , что формула

¬ (x ϵ T ) ((x ϵ R ) ¬ (x ϵ S ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x .

Ответ: 20

Задачи для самостоятельного решения

Задание 9.

На числовой прямой даны два отрезка: P =[10; 25] и Q =[0; 12]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x .

1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [5, 20] 4) [12, 40]

( ( x ɇ Q) ( x ɇ P) ) V ( x ϵ A)

Ответ: 4)

Задачи для самостоятельного решения

Задание 10.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х . Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

1) 10 2) 20 3) 30 4) 40

(( x ϵ A) ( x ϵ Q)) V ( x ϵ P)

Ответ: 2)

Источники

сайт К. Полякова

http://kpolyakov.spb.ru

Открытый банк заданий ФИПИ

С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина ЕГЭ-2018 – типовые экзаменационные варианты. Информатика и ИКТ. Москва. Национальное образование. 2017

В.Р. Лещинер. Информатика. ЕГЭ-2018. Типовые тестовые задания. Москва. Издательство «Экзамен». 2017
Самылкина Н.Н. и др. Подготовка к ЕГЭ-2018. Информатика. Москва. Эксмо. 2017

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 84 человека из 29 регионов

Сейчас обучается 629 человек из 77 регионов

1 слайд

Подготовка к ЕГЭ: задача 18 (отрезки)
2 слайд

Содержание
Теория
Разбор решений задач
Задачи для самостоятельного решения
Источники
3 слайд

Теория
Задания№18 на логические отрезки можно решать несколькими способами.
В данной презентации рассматриваются два способа решения.
Как правило, в данных задачах логическое выражение, для которого требуется найти длину отрезка, на котором это выражение истинно (или ложно), достаточно сложно для восприятия. Поэтому необходимо его упростить. Нужно ввести дополнительные обозначений для простых логических высказываний и за счёт этого получить логическую функцию традиционного вида.
Первый способ решения: полученное выражение нужно упростить, используя законы преобразования логических выражений. Итоговое выражение нужно приравнять 1, если по условию оно должно быть истинным, или 0, если должно быть ложно.
4 слайд

Теория
Остается только рассмотреть простые высказывания, входящие в итоговое выражение, и выяснить, на каких отрезках они истинны (или ложны, в зависимости от условия задачи). Проанализировав эти отрезки, нужно найти итоговый (или несколько, в ответе может быть не один).
При втором способе решения для полученного после ввода обозначений выражения строится таблица истинности (ТИ), в которой отражены значения всех логических переменных и логических операций на каждом числовом отрезке. В одном из столбцов будут стоять значения искомой переменной. В зависимости от условия, она либо равна 1, либо равна 0, либо может принимать любое значение, поскольку не будет влиять на конечное значение исходного выражения. Остается выбрать строки, соответствующие условию задачи (истинно или ложно должно быть исходное выражение) и выбрать числовые отрезки (отрезок).
5 слайд

На числовой прямой даны два отрезка: P=[10; 18] и Q=[31; 40]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула
Разбор решения задач
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
Решение.
Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A
Перепишем условие задания:
¬P Q + ¬A или ¬P ( Q + ¬A)
(поскольку импликация имеет самый низкий приоритет и будет выполнена последней)
Раскрываем импликацию:
P + Q + ¬A
Это выражение должно быть равным 1 при любом значении А: P + Q + ¬A = 1

Задание 1.
6 слайд

Рассмотрим числовую ось с нашими отрезками P и Q.
Разбор решения задач
Рассмотрим отдельно все три отрезка.
Отрезок 10‒18: выражение истинно, т.к. Р=1 (x ϵ P)
Отрезок 31‒ 40: выражение истинно, т.к. Q=1 (x ϵ Q)
Отрезок 18‒31: выражение будет истинным в случае ¬A = 1, или А=0. Это значит, что А не принадлежит отрезку 18‒31, значение А должно быть совпадающим либо с отрезком Р, либо с отрезком Q. Но поскольку в задании спрашивается наименьшая длина отрезка, то это будет отрезок (18-10)=8
Ответ: 8
Задание 1.
7 слайд

На числовой прямой даны два отрезка: P=[-10, 0] и Q=[-3, 8]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что логическое выражение
Разбор решения задач
будет тождественно истинным, то есть будет принимать значение 1 при любом значении переменной х.
1) [-8, -4]2) [-7, -1] 3) [-2, 5] 4) [-15, 15]

Решение.
Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:

Раскрываем импликацию, затем используем формулу
де Моргана:
¬ ( P · A ) + (Q · A ) или ¬ P + ¬A + Q · A
( (x ϵ P) Ʌ (x ϵ A) ) ( (x ϵ Q) Ʌ (x ϵ A) )
( P Ʌ A ) ( Q Ʌ A)
Задание 2.
8 слайд

Разбор решения задач
Преобразуем выражение, используя следующий закон преобразования: a + ¬a·b = a + b

¬ P + (¬A + Q · A) = ¬ P + (¬A + Q) = ¬A + ¬ P + Q
Задание 2.
Поскольку это выражение должно быть тождественно истинным, т.е. равным 1 при любом значении А, то ¬A должно быть истинным там, где (¬ P + Q) ложно, или где истинно ¬ (¬ P + Q).
Преобразуем получившееся выражение, используя формулу де Моргана:

¬ (¬ P + Q) = (¬ ¬ P ) Ʌ ¬Q = P Ʌ ¬Q
9 слайд

Рассмотрим числовую ось с нашими отрезками P и Q.
Разбор решения задач
Выражение (P Ʌ ¬Q) истинно на отрезке [-10, -3]. На нем должно быть ¬A=1 или А=0. Это означает, что отрезок А не должен содержать в себе отрезок [-10, -3].
Рассмотрим варианты ответов.
Отрезок 1) [-8, -4] содержит в себе значения из отрезка [-10, -3], поэтому не является правильным ответом.
Отрезок 2) [-7, -1] содержит в себе значения из отрезка
[-10, -3], что быть не должно.
Отрезок 4) [-15, 15] содержит в себе значения из отрезка
[-10, -3], что быть не должно.
Отрезок 3) [-2, 5] не содержит в себе значения [-10, -3], поэтому именно он и является ответом.
Ответ: 3)
Задание 2.
10 слайд

На числовой прямой даны два отрезка: R=[27; 50] и S=[30; 67]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка T, что формула
Разбор решения задач
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Решение.
Введем обозначения:
R: x ϵ R, S: x ϵ S, T: x ϵ T
Перепишем условие задания:
R (( S Ʌ ¬T ) R)

Задание 3.
(x ϵ R) (((x ϵ S) Ʌ ¬(x ϵ T)) ¬(x ϵ R))
11 слайд

Разбор решения задач
Задание 3.
Преобразуем получившееся выражение, используя замену импликации и формулу де Моргана:
R (¬ ( S Ʌ ¬ T) + ¬ R)
R (¬ S + T + ¬ R)
¬ R + ¬ S + T + ¬ R
¬ R + ¬ S + T
Это выражение должно быть равно 1 при любом значении T:
T + ¬ R + ¬ S = 1
12 слайд

Рассмотрим числовую ось с нашими отрезками P и Q.
Разбор решения задач
Чтобы получившееся выражение было везде истинным, T должно быть истинным там, где ложно (¬R + ¬S), т.е. там,
где истинно выражение ¬ (¬R + ¬S).

Выполним преобразования, используя формулу де Моргана:
¬ (¬ R + ¬ S) = ¬ ¬ R Ʌ ¬ ¬ S) = R Ʌ S = 1
Это выражение истинно на отрезке [30; 50]. Его длина равна (50 – 30) = 20
Ответ: 20
Задание 3.
13 слайд

На числовой прямой даны два отрезка: P=[2, 10] и Q=[6, 14]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что логическое выражение

Разбор решения задач
будет тождественно истинным, то есть будет принимать значение 1 при любом значении переменной x.
1) [0, 3]2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]

Решение.
Эту задачу решим с помощью анализа исходного логического выражения после его преобразования, а также с помощью таблицы истинности.
Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:
AP V Q = ¬ A + P + Q

Задание 4.
( ( x ϵ A) ( x ϵ P) V ( x ϵ Q) )
14 слайд

1 способ. Чтобы полученное выражение везде равнялось 1 , ¬A должно быть либо <2, либо >14, поскольку в интервале [2, 14 ] имеем либо P=1 либо Q=1 . Значит, А принадлежит отрезку [2, 14]. Этот отрезок входит в интервал под номером 3).
2 способ. Разобьем числовую ось ключевыми точками на несколько областей и составим ТИ для логического выражения.
Разбор решения задач
По ТИ получаем значения ¬A < 2 или ¬A > 14. Тогда решением задания будет 2 < A < 14. Это соответствует отрезку с номером 3).
Ответ: 3)
Задание 4.
15 слайд

На числовой прямой даны два отрезка: P=[2, 20] и Q=[15, 25]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что логическое выражение

Разбор решения задач
будет тождественно истинным, то есть будет принимать значение 1 при любом значении переменной x.
1) [0, 15]2) [10, 25] 3) [2, 10] 4) [15, 20]

Решение.
Эту задачу решим с помощью таблицы истинности.
Введем обозначения: P: x ϵ P, Q: x ϵ Q, A: x ϵ A

Перепишем условие задания:
(¬A¬P ) V Q = A + ¬ P + Q

Задание 5.
( ( x ɇ A) ( x ɇ P) ) V ( x ϵ Q)
16 слайд

Разобьем числовую ось ключевыми точками на несколько областей и составим ТИ для логического выражения.
Разбор решения задач
Из ТИ получаем, что значения А=1 будут на интервале
2 < x < 15. Тогда решением задания будет отрезок с
номером 1).
Ответ: 1)
Задание 5.
17 слайд

Задачи для самостоятельного решения
Задание 6.
На числовой прямой даны два отрезка: P=[10; 18] и Q=[31; 40]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула
(x ϵ P) V ¬ ( x ϵ A) V ( x ϵ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 9
18 слайд

Задачи для самостоятельного решения
Задание 7.
На числовой прямой даны два отрезка: R=[10; 30] и S=[20; 40]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка T, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 30
(x ϵ T) ((x ϵ R) V (x ϵ S))
19 слайд

Задачи для самостоятельного решения
Задание 8.
На числовой прямой даны два отрезка: R=[20; 50] и S=[30; 65]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка T, что формула
Ответ: 20
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
¬ (x ϵ T) ((x ϵ R) ¬ (x ϵ S))
20 слайд

Задачи для самостоятельного решения
Задание 9.
На числовой прямой даны два отрезка: P=[10; 25] и Q=[0; 12]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок А, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.
1) [10, 15]2) [20, 35] 3) [5, 20] 4) [12, 40]

Ответ: 4)
( ( x ɇ Q) ( x ɇ P) ) V ( x ϵ A)
21 слайд

Задачи для самостоятельного решения
Задание 10.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
1) 102) 20 3) 304) 40

Ответ: 2)
(( x ϵ A) ( x ϵ Q)) V ( x ϵ P)
22 слайд

Источники

сайт К. Полякова
http://kpolyakov.spb.ru

Открытый банк заданий ФИПИ

С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина ЕГЭ-2018 – типовые экзаменационные варианты. Информатика и ИКТ. Москва. Национальное образование. 2017

В.Р. Лещинер. Информатика. ЕГЭ-2018. Типовые тестовые задания. Москва. Издательство «Экзамен». 2017
Самылкина Н.Н. и др. Подготовка к ЕГЭ-2018. Информатика. Москва. Эксмо. 2017

6 153 784 материала в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

21.04.2018
1016
2

Рейтинг:
1 из 5

21.04.2018
1283
7

Рейтинг:
1 из 5

21.04.2018
1446
14

21.04.2018
315
1

21.04.2018
433
0

21.04.2018
703
11

21.04.2018
727
1

21.04.2018
923
0

Курс повышения квалификации «Сетевые и дистанционные (электронные) формы обучения в условиях реализации ФГОС по ТОП-50»
Курс профессиональной переподготовки «Информационные технологии в профессиональной деятельности: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Использование компьютерных технологий в процессе обучения в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»
Курс повышения квалификации «Введение в программирование на языке С (СИ)»
Курс профессиональной переподготовки «Управление в сфере информационных технологий в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания дисциплины «Информационные технологии» в условиях реализации ФГОС СПО по ТОП-50»
Курс повышения квалификации «Современные языки программирования интегрированной оболочки Microsoft Visual Studio C# NET., C++. NET, VB.NET. с использованием структурного и объектно-ориентированного методов разработки корпоративных систем»
Курс повышения квалификации «Применение интерактивных образовательных платформ на примере платформы Moodle»

Источник

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [37; 60] и Q = [40; 70]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула

( (xin P) to (((xin Q) land neg ( xin A))toneg ( xin P)) )

Еще один вид задания ЕГЭ по информатике задание 18

Для наглядности задачи ЕГЭ по информатике построим отрезки:

Введем обозначения:

[ (xin A) equiv A; (xin P) equiv P; (xin Q) equiv Q ]

Перепишем формулу:

[ (xin P) to (((xin Q) land neg ( xin A))toneg ( xin P)) = P to ((Q land neg A) to neg P) ]

Заменяем логическое следование на логическое умножение по формуле:

[ A to B = neg A vee B ]

[ P to ((Q land neg A) to neg P) = neg P vee ((Q land neg A) to neg P) = neg P vee neg(Q land neg A) vee neg P = ]

[ =neg P vee neg Q vee A ]

После упрощения формулы построим отрезки, исходя из преобразованной формулы :

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞, 40) и (60, ∞). Поскольку выражение ¬P ∨ ¬Q ∨ A должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [40, 60].

Остается посчитать длину отрезка A: 60 — 40 = 20

Еще один способ решения через таблицы истинности:

Как видно выражение ¬P ∨ ¬Q будет истинно в любом случае, кроме интервала [ 40; 60 ]. Истинность этого интервала зависит от отрезка А, т.к. выражение ¬P ˅ ¬Q ложно. Таким образом, область истинности выражения должна перекрывать отрезок [ 40 ; 60 ]. Наименьшая возможная длина отрезка А = 20.

[ −∞; 37 ]

[ 37; 40 ]

[ 40; 60 ]

[ 60; 70 ]

Источник

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Законы алгебры логики

	Для И	Для ИЛИ
двойного отрицания	¬ ¬ (A) = A
исключения третьего	A & ¬A= 0	A / ¬A= 1
исключения констант	A & 1 = A; A & 0 = 0	A / 0 = A; A / 1 = 1
повторения	A & A = A	A / A = A
поглощения	A & (A / B) = A	A / A & B = A
переместительный	A & B = B & A	A / B = B / A
сочетательный	A & (B & C) = (A & B) & C	A / (B / C) = (A / B) / C
распределительный	A / B & C = (A / B) & (A / C)	A&(B / C) = A&B/A&C
де Моргана	¬ (A&B) = ¬A / ¬B	¬ (A / B) = ¬A & ¬B

Поиск слова, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 1.

Для какого имени истинно высказывание:

(Вторая буква гласная → Первая буква гласная) Ù Последняя буква согласная?

1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН

Решение:

Высказывание является конъюнкцией двух выражений (Вторая буква гласная → Первая буква гласная) и Последняя буква согласная. Конъюнкция истинна тогда, когда все операнды истинны. Значит, выражение Последняя буква согласная должно быть истинным. Этому условию удовлетворяют имена под номерами 2 и 4.

Поочередно подставим в высказывание значения выражений для имен 2 и 4:

2) МАКСИМ

Вторая буква гласная = 1

Первая буква гласная = 0

Последняя буква согласная = 1

(1 → 0) Ù 1 = 0 Ù 1 = 0 Высказывание ложно.

4) СТЕПАН

Вторая буква гласная = 0

Первая буква гласная = 0

Последняя буква согласная = 1

(0 → 0) Ù 1 = 1 Ù 1 = 0 Высказывание истинно.

Ответ: 4

Поиск числа, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 2.

Для какого из приведённых чисел X истинно логическое условие:

¬((X кратно 5) → (X кратно 25))?

1) 37

2) 59

3) 65

4) 125

Решение:

Для того, чтобы логическое условие ¬((X кратно 5) → (X кратно 25)) было истинным, необходимо, чтобы условие (X кратно 5) → (X кратно 25) было ложным. Импликация возвращает ложь, только если первый операнд равен 1 (истина), а второй — 0 (ложь).

Т.е. число Х должно быть кратно 5, но не кратно 25.

Этому условию удовлетворяет только число под номером 3 (65).

Ответ:3

Пример 3.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂= 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа A формула x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Решение:

Для наглядности введем обозначения: A ≡ (x&A ≠ 0); B ≡ (x&25 ≠ 0); C ≡ (x&17 = 0).

Тогда формула принимает вид: B → (C → A) = 1

Заменяем первую импликацию: ¬В / (C → A) = 1

Заменяем импликацию в скобках: ¬В / (¬C / A) = 1

В результате имеем: ¬В / ¬C / A = 1

x&25 = 0 / x&17 ≠ 0 / x&A ≠ 0 = 1

Выражение является дизъюнкцией трех операндов. Дизъюнкция истинна, когда хотя бы один операнд принимает значение истина (1).

25₁₀ = 11001₂ , тогда x&25 = 0 истинно для всех х, имеющих нули в 0-м, 3-м и 4-м (справа) разрядах двоичной записи: х = *…*00**0

17₁₀ = 10001₂, тогда x&17 ≠ 0 истинно для всех х, имеющих единицы в 0-м или 4-м разряде: x = *…*1 или x = *…1****.

«незакрытыми» (не входящими ни в первое, ни во второе множество) на числовой оси остались x, имеющие нули в 0-м и 4-м разрядах и единицу в 3-м разряде: x = *…*01**0.

Значит, A должно быть таким, чтобы конъюнкция с оставшимися числами x не была равна нулю, т.е. в 3-м разряде двоичной записи числа A должна стоять единица. Наименьшим таким числом является 1000₂ = 8₁₀.

Ответ:8

Поиск числового отрезка, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 4.

На числовой прямой даны два отрезка: P=[3, 13] и Q=[7, 17]. Выберите такой отрезок A, чтобы формула

( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∨ ¬ (x ∈ Q)

была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной x.

1) [5, 20]

2) [10, 25]

3) [15, 30]

4) [20, 35]

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

¬A ∨ P ∨ ¬ Q.

Изобразим множества P и ¬ Q на числовой прямой:

Выражение должно быть истинно для любого x, значит нужно «закрасить» всю числовую прямую. Для этого выражение ¬A должно «закрасить» оставшийся отрезок [13;17], т.е. быть истинным на этом отрезке. Тогда, выражение A должно быть истинно внутри промежутка, который не имеет ни одной общей точки с отрезком [13;17].

Из всех отрезков только отрезок [20, 35] удовлетворяет этим условиям:

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ:4

Пример 5.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула

(¬ (x Î A) → (x Î P)) → ((x Î A) → (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Тогда формула примет вид:

(¬ A → P) → (A → Q)

Преобразуем данное выражение (заменим импликацию):

(A ∨ ¬ P) → (¬ A ∨ Q)

¬ (A ∨ ¬ P) ∨ (¬ A ∨ Q)

(¬ A ∧ P) ∨ ¬ A ∨ Q

((¬ A ∧ P) ∨ ¬ A) ∨ Q

¬ A ∨ Q

Выражение (¬ A ∨ Q) должно быть истинным на всей числовой прямой. Множество Q – это отрезок [32, 47], значит выражение ¬A должно «закрасить» оставшуюся часть числовой оси, т.е. быть истинным на этом промежутке. Тогда, выражение A должно быть истинно внутри промежутка [32;47]. Тогда максимальная длина отрезка A достигается, когда А совпадает с Q, и равна 15.

Ответ:15

Поиск множества чисел, удовлетворяющего условию логического высказывания

Пример 6.

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.

Известно, что выражение ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Тогда выражение примет вид:

(A → P) ∨ (¬ Q → ¬ A)

Преобразуем выражение (заменим импликацию):

(¬ A ∨ P) ∨ ( Q ∨ ¬ A)

¬ A ∨ P ∨ Q

Чтобы выражение было истинно при любом значении переменной х, все натуральные числа должны либо входить в P, либо входить в Q, либо не входить в A. Т.е. ¬ A – это все числа, не входящие ни в P, ни в Q. Значит A – это числа, входящие в P или Q. Наибольшее возможное количество элементов в множестве A – это количество всех различных элементов множеств P и Q. Таких элементов 17.

Ответ:17

Пример 7.

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Решение:

Введем обозначения:

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) ≡ P; (x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Тогда выражение примет вид:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P)

Преобразуем выражение (заменим импликацию):

P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P)

¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P)

¬P ∨ ¬Q ∨ А.

Выражение ¬P ∨ ¬Q истинно при всех значениях x, кроме значений 6 и 12. Следовательно, промежуток А должны содержать точки 6 и 12. То есть минимальный набор точек в промежутке А ≡ {6, 12}. Сумма элементов множества А равна 18.

Ответ:18

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задача №15. Использование основных понятий математической логики. Логические высказывания, числовые отрезки.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник