Задачи в целых числах егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Мы привыкли решать уравнения с одной переменной. А если переменных в одном уравнении целых две? А если 4? С такими ситуациями мы встречаемся, решая задачу 19 Профильного ЕГЭ по математике. И обычно нам помогает то, что эти переменные — целые.

Возьмем… нет, не реальную задачи 19. Возьмем такую, о которых пишут: «Она взорвала интернет».

А началось все с того, что один британский школьник лет 10-11 попросил маму помочь с домашним заданием. А мама не смогла. И папа тоже. И, уложив дите спать, родители отправились куда? — Правильно, в интернет! На форум для родителей. Но и там никто не смог решить задачу, только перессорились. И на других форумах тоже.

А вы справитесь с задачей, которая поставила в тупик столько взрослых людей?

1. На берегу стоят три маяка. Первый включается на три секунды, затем выключается на три секунды. Второй включается на четыре секунды и затем выключается на четыре секунды. Третий включается на пять секунд, затем выключается на пять секунд. Все три маяка начинают работать одновременно.

а) Через сколько минут после начала работы все три маяка снова одновременно включатся?

б) В какой момент времени все три маяка одновременно отключатся?

По условию, все три маяка включаются одновременно. Маяк может либо светить, либо нет. Нарисуем графики их работы:

а) В какие моменты включаются первый и второй маяки? Первый маяк включается через 6 секунд после начала работы, через 12, через секунд.

Второй маяк — через 8 секунд после начала работы, через — то есть через секунд.

Очевидно, что одновременное включение первого и второго маяков произойдет через 24 секунды после начала работы, поскольку 24 — это наименьшее общее кратное чисел 6 и 8 (то есть наименьшее число, которое делится на 6 и на 8).

Третий маяк включается через секунд после начала работы. Найдем наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10, то есть наименьшее число, которое делится на 6, на 8 и на 10.

Поскольку , наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10 должно делиться на 2^3 , на 3 и на 5. Это число 120. Значит, через T = 120 секунд после начала работы все три маяка включатся одновременно.

Можно сказать, что все три графика работы маяков — периодические функции, причем период для первого маяка равен 6, для второго 8, для третьего 10.

б) В какие же моменты одновременно отключаются все три маяка?

Первый маяк отключается через секунд после начала работы.

Второй маяк — через секунд после старта, а третий — через секунд после старта. Если существует такой момент, что все три маяка отключаются одновременно, то должны выполняться условия:

Эта система не имеет решений. В самом деле, величины 6n, 8m и 10k — четные. Тогда в первом уравнении в левой части — нечетная величина, а в правой — четная. Во втором уравнении левая часть четна, правая нечетная. Нет такого момента, когда все три маяка одновременно отключились!

Мы увидели один из принципов решения уравнений в целых числах. Если левая часть уравнения четна, то и правая должна быть четна. Если левая делится на 10, то и правая должна делиться на 10.

Следующая задача предлагалась когда-то на реальном ЕГЭ, часто встречалась в Демоверсиях ЕГЭ, а теперь появилась и в возможной демоверсии ОГЭ — которая пока называется «перспективной моделью измерительных материалов для государственной итоговой аттестации». Правда, в задаче для ОГЭ осталось два пункта из трех, а именно (а) и (в). Но мы решим задачу полностью.

2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно — 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно — 12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество.

В условии сказано, что на доске написаны положительные и отрицательные числа. Есть ли среди этих чисел нули? — Да, могут быть и нули. Они не внесут вклад в сумму чисел, зато повлияют на их среднее арифметическое.

Пусть на доске написано чисел. Тогда их сумма: Обозначим: — количество положительных чисел, — количество отрицательных чисел, — количество нулей. Таким образом,

Пусть $S{}_{+ }$ и $S{}_{-}{}_{ }$ — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем: $S{}_{+ }= 6p, S{}_{-}{}_{ }= -12m$ , и так как $S = S{}_{+ }+ S{}_{-}$ , то:

а) Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n = 48.

Ответ: 48.

б) Из равенства получаем после сокращения на 6:

Кроме того:

Сложим полученные равенства: Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число также даёт остаток 2: Отсюда: , или

Соответственно,

Составляем разность: так что — отрицательных чисел написано больше.

в) Из равенства видим, что

Приведём пример с p = 12 (тогда ). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно , а среднее арифметическое всех чисел:

$frac{12cdot 6+34cdot (-12)}{48}=-7.$

Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.

Ответ: 12.

Видите, как из уравнения с тремя неизвестными мы получили всё. Как в сказке про суп из топора.

И еще одна задача. Сколько чисел на доске — не знаем. Есть одинаковые или все разные — не знаем. Переменных штук, то есть в 2 раза больше, чем самих чисел. И все-таки мы это решим!

3. (ЕГЭ-2015) На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в пять раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел

Двузначные числа на доске — это числа вида , где a_i — первая цифра, b_i — вторая.

По условию,

а)

Обозначим

$left{ begin{array}{c}10A+B=2970 \10B+A=990 end{array};right.$

Отсюда

Подберем пример:

Пусть

Тогда

б) Предположим,

$left{ begin{array}{c}10A+B=2970 \10B+A=594 end{array};right.$

Тогда

Если на доске чисел, то nle 30 , поскольку все

Если nle 30 , то , поскольку

Из условия мы получили, что A=294 . Мы пришли к противоречию — значит, в пункте (б) ответ «нет».

И снова «суп из топора». Всё из ничего! Наша задача — извлечь из условия всё что можно и применить, чтобы сделать оценки нужных величин.

в)

$left{ begin{array}{c}10A+B=2970 \10B+A=S end{array};right.$

Найдем наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Выразим из системы:

Заметим, что делится на 99. Пусть S=99k, тогда

тогда A=300-k и .

Мы получили систему:

$left{ begin{array}{c}A=300-k \B=10k-30 end{array};right.$

Пусть на доске было чисел. — сумма первых цифр этих чисел, — сумма вторых цифр этих чисел, причем цифры взяты от 1 до 9,

Из первого неравенства мы взяли оценку для 9n. А в неравенстве (оно следует из второго) умножили обе части на 9, чтобы получить другую оценку для . Тогда:

$91kge 570;kge frac{570}{91};$ значит, kge 7 , (т.к. — целое)

Тогда

Если k=7 , то A=293 , B=40

Приведем пример, когда

Пусть

Получим:

Ответ: 693.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание №19. Уравнения в целых числах.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
10.03.2023

Источник

14 марта 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

В данной работе рассмотрены примеры решения задачи №19 ЕГЭ по профильной математике.

chisla19.docx

Задание №19 может быть 4 типов:

1) Числа и их свойства.
2) Числовые наборы на карточках и досках.
3) Последовательности и прогрессии.
4) Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки и тому подобное.

Числа и их свойства

В зависимости от задачи можно использовать следующие методы:

1) Свойства делимости целых чисел (в частности, делимость на 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11).
2) Работа с простыми и составными числами.
3) Работа с каноническим разложением натурального числа, количество делителей натурального числа.
4) Работа с НОД и НОК.

Автор: Бурмистрова Анна Владимировна, учитель математики.

Источник

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Уравнения в целых числах

Задание
1

#2234

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (x — y = 1) в целых числах.

Выразим (y): [y = x — 1.] Таким образом, при любом (xinmathbb{Z}) получим, что (y = x — 1) – целое число, то есть ответом будет множество всевозможных пар вида ((x; x — 1)), где (xinmathbb{Z}), то есть ({(x; x — 1))| (xinmathbb{Z}}).

Ответ:

({(x; x — 1))| (xinmathbb{Z}})

Задание
2

#2235

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение (48x + 36y = 0) в целых числах.

Выразим (y): [y = -dfrac{4}{3}x.] Таким образом, только при (x = 3k), где (kinmathbb{Z}) получим, что (y = -4k) – целое число, то есть ответом будет множество всевозможных пар вида ((3k; -4k)), где (kinmathbb{Z}), то есть ({(3k; -4k))| (kinmathbb{Z}}).

Ответ:

({(3k; -4k))| (kinmathbb{Z}})

Задание
3

#2236

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что если НОД((n; m) > 1), где (n, minmathbb{N}), то не существует целых чисел (p) и (q), таких что (pn + qm = 1).

(n) и (m) делятся на НОД((n; m)), следовательно, (pn + qm) делится на НОД((n; m) > 1), следовательно, (pn + qm) не может быть равно 1.

Ответ:

Доказательство

Задание
4

#2237

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите какие-нибудь (p, qinmathbb{Z}) такие, что НОД((9; 5) = 9p + 5q).

НОД((9; 5) = 1).

НОД((9; 5) =) НОД((9 — 5 = 4; 5) =) НОД((9 — 5 = 4; 5 — (9 — 5) = 1)), таким образом, (1 = 5 — (9 — 5) = 2cdot 5 + (-1)cdot 9).

Ответ:

(p = -1), (q = 2).

Задание
5

#2238

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение [x^2 + 8y = 32] в целых числах.

Так как в равенстве [x^2 + 8y = 32] все слагаемые, кроме первого, делятся на (8), то и первое слагаемое должно делиться на (8).

Докажем от противного, что если (x^2, vdots ,8) при целом (x), то (x, vdots , 4):
Пусть (x) не делится на (4). Если (x) не делится на (2), то (x^2) не делится на (2), что неверно. Если (x) делится на (2), то (x = 2y), где (y) – целое нечётное, тогда (x^2 = 4y^2), но (y^2) – нечётное, следовательно, (x^2) не делится на (8) – противоречие.

Таким образом, (x) во всех решениях имеет вид (x = 4k), где (k) – целое. Но все ли (x) вида (x = 4k) подходят? Выразим (y) при условии (x = 4k):[16k^2 + 8y = 32qquadLeftrightarrowqquad y = 4 — 2k^2] – целое при (kinmathbb{Z}), следовательно, решениями уравнения являются всевозможные пары вида ((4k; 4 — 2k^2)), (kinmathbb{Z}).

Ответ:

({(4k; 4 — 2k^2))| (kinmathbb{Z}})

Задание
6

#2239

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что при некоторых действительных (m) и (n) числа (m^2 — n^2) и (2mn) – натуральные. Обязательно ли (m) и (n) целые?

Обозначим (a = 2mn), (b = m^2 — n^2), тогда [m = dfrac{a}{2n},qquad b = dfrac{a^2}{4n^2} — n^2qquadRightarrowqquad (n^2)^2 + bn^2 — dfrac{a^2}{4} = 0.] Решая полученное биквадратное уравнение на (n), находим: [n = sqrt{dfrac{sqrt{a^2 + b^2} — b}{2}},] тогда [m = dfrac{a}{sqrt{2}cdotsqrt{sqrt{a^2 + b^2} — b}}.]

Пусть, например, (a = b = 1), тогда (n = sqrt{dfrac{sqrt{2} — 1}{2}}), (m = dfrac{1}{sqrt{2}cdotsqrt{sqrt{2} — 1}}) – не являются целыми числами (например, (n^2 = dfrac{1}{sqrt{2}} — 0,5) – явно не целое).

Ответ:

Нет

Задание
7

#2240

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Докажите, что для любых натуральных чисел (n) и (m) существуют целые числа (p) и (q), такие что НОД((n; m) = pn + qm).

Убедимся, что любой общий делитель всякой пары натуральных чисел ((n; m)) является также и общим делителем пары ((m; n — m)): если уменьшаемое делится на число (k), то оно имеет вид (n = ak), если вычитаемое делится на число (k), то оно имеет вид (m = bk), тогда [n — m = ak — bk = (a — b)k,] то есть их разность также делится на число (k).

Аналогично доказывается, что любой общий делитель пары ((m; n — m)) является общим делителем пары ((n; m)), следовательно, [text{НОД}(n; m) = text{НОД}(m; n — m).]

Пусть (n > m). Можно свести НОД((n; m)) к наибольшему общему делителю другой пары чисел, в которой наибольшее из чисел окажется меньше, чем (n), а именно: НОД((n; m) =) НОД((m; n — m)).

Таким образом, можно получить последовательность равенств вида (… =) НОД((k; 0)) или вида (… =) НОД((k; k)), но НОД((k; k) =) НОД((k; 0)).

Такую последовательность действительно можно получить, так как при (n > m) получается, что (n > m) и (n > n — m), то есть в равенстве НОД((n; m) =) НОД((m; n — m)) максимум из чисел под знаком НОД в правой части с каждым таким шагом уменьшается по крайней мере на 1, но числа (n) и (m) – конечны, следовательно, через конечное число преобразований можно получить цепочку равенств вида (… =) НОД((k; 0)).

(bullet) Назовём выражение вида (an + bm), где (a, binmathbb{Z}) линейной комбинацией над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m). Ясно, что сумма линейных комбинаций над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m) снова линейная комбинация над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m), разность линейных комбинаций над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m) снова линейная комбинация над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m).

Последнее полученное равенство можно продолжить: [… = text{НОД}(k; 0) = k.] При этом число (k) получалось последовательным вычитанием из линейной комбинации над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m) линейных комбинаций над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m), то есть (k) есть линейная комбинация над (mathbb{Z}) чисел (n) и (m), следовательно, существуют целые числа (p) и (q), такие что (k = pn + qm).

Ответ:

Доказательство

На этапе подготовки к Единому государственному экзамену по математике ученикам старших классов необходимо обратить особое внимание на некоторые темы. В их числе решение уравнений и задач в целых числах. Опыт прошлых лет показал, что такие задания вызвали у выпускников особые затруднения. Поэтому, независимо от уровня подготовки, советуем более тщательно подойти к занятиям, обратившись к нашему порталу.

Сдавайте экзаменационное тестирование на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш онлайн-сервис предлагает инновационный метод подготовки к итоговой аттестации. Школьные пособия не всегда находятся под рукой, а разделы в них предусматривают только повторения типовых заданий. Обращаясь к «Школково», ученики не будут испытывать проблем с поиском необходимых правил и формул для решения уравнений в целых числах. Преподаватели нашего онлайн-сервиса тщательно систематизировали и подали в наиболее доступном виде всю информацию по теме. Поэтому ученикам выпускных классов понадобиться минимальное количество времени на повторение пройденных материалов. Кроме того, каждый день школьники смогут получать новую подборку упражнений, соответствующую их текущим знаниям и навыкам.

Мы предлагаем начать с раздела «Теоретическая справка». В нем представлены все необходимые данные для подготовки к выполнению заданий. После этого переходите к разделу «Каталоги». Там вы найдете множество упражнений различного уровня сложности. Список примеров постоянно обновляется и дополняется, поэтому у вас не будет недостатка в новых заданиях. Советуем начать с самых простых и постепенно переходить к более трудным. Таким образом вы сможете выявить свои наиболее слабые стороны и сделать упор на конкретных типах заданий. Если вы видите, что примеры низкого уровня сложности не вызывают у вас никаких проблем, можете пропустить их и приступить к решению уравнений в целых числах уровня ЕГЭ.

Если какой-то пример вызвал особое затруднение, добавьте его в «Избранное». Так вы сможете вернуться к нему позже, заручившись поддержкой преподавателя или попробовать выполнить его самостоятельно после повторения правил.

Для того чтобы подготовка была более результативной, советуем обращаться к порталу «Школково» ежедневно. Уже после нескольких занятий вы заметите, что вам стали просто даваться даже примеры, ранее вызывавшие непонимание и сложности.

Обратите внимание, что на нашем сайте могут проходить подготовку к ЕГЭ абсолютно все желающие. Чтобы сохранить прогресс и каждый день получать индивидуальные задания, зарегистрируйтесь в системе. Желаем приятной подготовки!

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник