Задачники по математике егэ профиль

Задание 2

Тема: графики и диаграммы

1.

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в

Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа

месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные

точки соединены линией. Определите по рисунку, какой была наименьшая

среднесуточная температура за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

2.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге

(Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по

вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую

среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно.

Ответ дайте в градусах Цельсия.

3.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,

выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа

месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в

миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

4.

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в

Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа

месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные

точки соединены линией. Определите по рисунку, какая была температура 15 июля.

Ответ дайте в градусах Цельсия.

5.

Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила,

действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта

зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в

километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку,

чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

6.

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его

оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси

ординат — крутящий момент в Н⋅м. Чему равен крутящий момент (в Н⋅м), если

двигатель делает 1500 оборотов в минуту?

7.

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в

электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в

цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы

фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по

рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы фонарика. Ответ дайте в

вольтах.

8.

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех

суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение

температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру

воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

9.

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси

абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси

ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, за

сколько минут двигатель нагреется с 50°C до 80°C.

10.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,

выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа

месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в

миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров осадков.

Задание 3

Тема: площади плоских фигур

1.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён

треугольник ABC. Найдите длину его средней линии,

параллельной стороне AB.

2.

Найдите площадь треугольника, вершины

которого имеют координаты (0;0), (10;8), (8;10).

3.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой

бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных

сантиметрах.

4.

Найдите (в см2) площадь S кольца, изображённого на

клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). В ответе

запишите S / π.

5.

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

6.

Найдите градусную меру дуги BC окружности, на которую

опирается

угол BAC. Ответ дайте в градусах.

7.

Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см.

рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8.

Найдите площадь квадрата, изображенного на

клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см

(см. рис.) Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

9.

Найдите площадь S круга, считая стороны

квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π.

10.

Прямая a проходит через точки с координатами

(0, 4) и (6, 0). Прямая b проходит через точку с

координатами (0, и параллельна прямой a. Найдите

абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Задание 5

Тема: простейшие уравнения с одной переменной

1.

Найдите корень уравнения

s–119

= —5

.

s+7

2.

Найдите корень уравнения

log

2

(

4 — 𝑥

)

= 7

.

3.

Найдите корень уравнения

(

1

)

s–7

= 3

.

9

4.

Решите уравнение

cos

n(s–7)

=

1

. В ответ запишите наибольший отрицательный

3 2

корень.

5.

Найдите корень уравнения

16

s–9

=

1

.

2

6.

Найдите корень уравнения

√

15 — 2𝑥

=

3.

7.

Найдите корень уравнения

log

7

(

6 + 𝑥

)

= 2

.

8.

Найдите корень уравнения

log

4

(

𝑥 + 3

)

= log

4

(

4𝑥 — 15

)

.

9.

Найдите положительный корень уравнения

s

log

2

4

=

3

log

3

2

.

s

10.

Решите уравнение √𝑥

3

— 4𝑥

2

+

4𝑥

=

1. В ответ укажите рациональный

корень.

Задание 6

Тема: простейшая планиметрия

1.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного

треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь

этого треугольника.

2.

Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь

меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

3.

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше

площади квадрата, вписанного в эту окружность?

4.

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены

высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к

первой стороне, равна 4. Чему равна высота,

проведенная ко второй стороне?

5.

Основания равнобедренной трапеции равны

14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь

трапеции.

6.

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр

которого равен 20. Найдите его площадь.

7.

В треугольнике ABC угол A равен 40°,

внешний угол при вершине B равен 102°.

Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

8.

В треугольнике ABC угол C равен 90°,

угол A равен 30°, AB=2

√

3. Найдите высоту CH.

9.

Один угол параллелограмма больше

другого на 70°. Найдите больший угол. Ответ

дайте в градусах.

10.

Основания трапеции равны 3 и 2.

Найдите отрезок, соединяющий середины

диагоналей трапеции.

Задание 7

Тема: геометрический смысл производной и первообразной

1.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на

интервале (−2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

2.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с

абсциссой x

0

. Найдите значение производной функции f(x) в точке x

0

.

3.

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5;5).

Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

4.

Прямая y=−5x+8 является касательной к графику функции 28x

2

+bx+15.

Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

5.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на

интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная

функции положительна.

6.

На рисунке изображен график y=f′(x) — производной функции f(x),

определенной на интервале (−7;14). Найдите количество точек максимума функции

f(x), принадлежащих отрезку [−6;9].

7.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с

абсциссой x

0

. Найдите значение производной функции f(x) в точке x

0

.

8.

На рисунке изображён график функции y=f (x) и восемь точек на оси

абсцисс: x

1

, x

2

, x

3

, …, x

8

. В скольких из этих точек производная функции f

(x) положительна?

9.

На рисунке изображён график y=f ′(x) — производной функции f (x). На оси

абсцисс отмечено восемь точек: x

1

, x

2

, x

3

, …, x

8

. Сколько из этих точек лежит на

промежутках убывания функции f(x)?

10.

На рисунке изображен график функции y=f (x) и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В

какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Задание 8

Тема: основы стереометрии

1.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность

основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром

основания конуса. Радиус сферы равен 10

√

2. Найдите образующую

конуса.

2.

Найдите объём многогранника, вершинами

которого являются точки A, D, A

1

, B, C, B

1

прямоугольного параллелепипеда ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

, у

которого AB=3, AD=4, AA

1

=5.

3.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара

равен 28. Найдите объём конуса.

4.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA

1

B

1

C

1

D

1

E

1

F

1

все ребра равны 1.

Найдите расстояние между точками A и E

1

.

5.

Найдите расстояние между

вершинами A и C

2

многогранника, изображенного на

рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

6.

Найдите площадь поверхности многогранника,

изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

7.

Объем параллелепипеда

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

равен 1,5. Найдите объем треугольной

пирамиды ABCB

1

.

8.

Объём тетраэдра равен 190. Найдите объём

многогранника, вершинами которого являются

середины рёбер данного тетраэдра.

9.

Дано два шара. Радиус первого

шара в 70 раз больше радиуса второго.

Во сколько раз площадь поверхности

первого шара больше площади

поверхности второго?

10.

В сосуд, имеющий форму правильной

треугольной призмы, налили 2300 cм

3

воды и

полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень

жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до

отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ

выразите в cм

3

.

Задание 9

Темы: алгебраические выражения, иррациональные выражения, степени и

логарифмы, основы тригонометрии

1. Найдите значение выражения

12

sin

11°

cos

11°

.

sin 22°

2. Найдите sin (

7n

— 𝛼), если sin 𝛼

=

0,8 и 𝛼 ∈ (

n

; 𝜋).

2 2

3.

Найдите значение выражения

(

4𝑎

2

— 9

)

∙ (

1

—

1

).

2a–3 2a+3

4.

Найдите значение выражения log

5

9 ∙ log

3

25.

5.

Найдите

значение

выражения

ƒ

(

𝑎

—

6

)

2

+

ƒ

(

𝑎

—

10

)

2

при

6

≤

𝑥

≤

10

.

6.

Найдите значение выражения 5(p(2x)−2p(x+5)), если p(x)=x−10.

7.

Найдите значение выражения

36

√

6 tg

G

sin

G

.

6 4

2

8.

Найдите значение выражения

(√13+√7)

10+

√

91

9.

Найдите значение выражения

15

∙

5

ƒ

28

√

𝑎

—

7

∙

7

ƒ

20

√

𝑎

при a > 0.

2

35

ƒ

4

√

𝑎

10.

Найдите

значение

выражения

6

log

7

3

√

7

.

Задание 10

Тема: задачи с физическим смыслом

1.

При температуре 0℃ рельс имеет длину 𝑙

0

=

10 м. При возрастании

температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в

метрах,

меняется

по

закону

𝑙

(

𝑡°

)

=

𝑙

0

(

1

+

𝛼

∙

𝑡

°

)

,

где

𝛼

=

1,2

∙

10

–5

(

℃

)

–1

—

коэффициент теплового расширения, 𝑡° — температура (в градусах Цельсия). При

какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

2.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран.

После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в

нём,

выраженная

в

метрах,

меняется

по

закону

𝐻

(

𝑡

)

=

𝐻

0

—

ƒ

2𝑔

𝐻

0

𝑘𝑡

+

g

𝑘

2

𝑡

2

,

где

𝑡

— время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,

𝐻

0

= 20

м —

начальная высота столба воды,

𝑘 =

1

50

— отношение площадей поперечных сечений

крана и бака, а

𝑔

— ускорение свободного падения (считайте

𝑔 = 10

м/с

2

). Через

сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального

объёма воды?

3.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=400 руб. за единицу,

переменные затраты на производство одной единицы продукции

составляют v=200 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц.

Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по

формуле π(q)=q(p−v)−f. Определите месячный объём производства q (единиц

продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет

равна 600000 руб.

4.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет

время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды

по формуле h=5t

2

, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До

дождя время падения камешков составляло 1,1 с. На сколько должен подняться

уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ

выразите в метрах.

5.

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия—

монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=85−5p. Выручка предприятия

за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q⋅p. Определите наибольшую

цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 350 тыс. руб. Ответ

приведите в тыс. руб.

6.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по

закону h(t)=2+11t−5t

2

, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с

момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8метров?

7.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной

плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на

дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в

верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет

положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной

нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна

v

2

,

𝑃

= 𝑚 (

L

—

𝑔)

где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина

верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с2). С какой

наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина

верёвки равна 211,6 см? Ответ выразите в м/с.

8.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к

горизонту. Траектория полета камня описывается формулой y=ax

2

+bx, где

𝑎

=

—

1

400

м

–1

,

𝑏 =

3

— постоянные параметры, x (м) — смещение камня по

8

горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии

(в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы

камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

9.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была

получена зависимость температуры от времени работы: T(t)=T

0

+bt+at

2

, где t — время в

минутах, T

0

=1220 К, a=−20 К/мин

2

, b=200 К/мин. Известно, что при температуре

нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его

нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы

нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

10.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая

равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается

катушка, изменяется со временем по закону

𝜑 = 𝜔𝑡 +

þt

2

, где t — время в минутах,

2

𝜔 = 45°

/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а

𝛽 = 6°

/мин

2

—

угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход

его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 1350°.

Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен

проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Задание 12

Тема: исследование функций с помощью производной

1.

Найдите наименьшее значение функции 𝑦

=

20tg 𝑥 — 20𝑥 — 5𝜋

+

8 на

отрезке [—

n

;

n

].

4 4

2.

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+8)

9

−9x на отрезке [−7,5;0].

3.

Найдите наименьшее значение функции y = (x−8)e

x–7

на отрезке [6;8].

4.

Найдите точку максимума функции

𝑦 = 11

6s–s

2

.

5.

Найдите точку максимума функции 𝑦

=

log

2

(

2 + 2𝑥 — 𝑥

2

)

— 2.

6.

Найдите точку максимума функции 𝑦

=

√4 — 4𝑥 — 𝑥

2

.

7.

Найдите наименьшее значение функции

𝑦 = 𝑥

3

+ 6𝑥

2

+ 9𝑥 + 21

на отрезке [–

3; 0].

8.

Найдите наибольшее значение функции 𝑦

=

12 cos 𝑥

+

6

√

3 ∙ 𝑥 — 2

√

3𝜋+ 6 на

отрезке [0;

n

].

2

9.

Найдите наибольшее значение функции y=3x

5

−5x

3

+1 на отрезке [− 7; 0].

10.

Найдите точку максимума функции y=x

3

−12x

2

+36x−30.

Задание 13

Темы: основы тригонометрии, показательные уравнения и неравенства,

логарифмические уравнения и неравенства

1.

а) Решите уравнение

2 cos

3

𝑥 + √3 cos

2

𝑥 + 2 cos 𝑥 + √3 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—2𝜋; —

n

].

2

2.

а) Решите уравнение

log

4

(

sin 𝑥 + sin 2𝑥 + 16

)

= 2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—4𝜋; —

5n

].

2

3.

а) Решите уравнение

cos 2𝑥 + sin

2

𝑥 = 0,75.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋;

5n

].

2

4.

а) Решите уравнение

15

cos s

= 3

cos s

⋅ 5

sin s

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5𝜋;

13n

].

2

5.

а) Решите уравнение

(16

sin s

)

cos s

= 4

√

3 sin s

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3𝜋;

9n

].

2

6.

а) Решите уравнение

2 cos

2

3𝜋

𝑥

=

√3 sin

(

2

+

𝑥).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋;

5n

].

2

7.

а) Решите уравнение

6 cos

2

𝑥

+

5 sin 𝑥 — 2

=

0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—

5n

; —𝜋].

2

8.

а) Решите уравнение

(

1

)

cos s

= 9

2 sin 2s

.

81

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—2𝜋; —

n

].

2

9.

а) Решите уравнение

2 log

2

(

2 cos 𝑥

)

— 5 log

3

(

2 cos 𝑥

)

+ 2

=

0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋;

5n

].

2

10.

а) Решите уравнение

—√2 sin (—

5𝜋

+ 𝑥) ⋅ sin 𝑥 = cos 𝑥.

2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [

9n

; 6𝜋].

2

1. а)

±

5n

+

2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ; б) —

7n

;—

5n

.

Ответы

6 6 6

2. а) 𝜋𝑛;

±

2n

+

2𝜋𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б) —4𝜋; —

10n

; —3𝜋;—

8n

.

3 3 3

3. а)

±

n

+

𝜋𝑛

,

𝑛 ∈

ℤ; б)

7n

;

11n

;

13n

.

6 6 6 6

4. а)

n

+

𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ; б)

21n

;

25n

.

4 4 4

5. а) 𝜋𝑛;

±

n

+

2𝜋𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б) 3𝜋;

23n

; 4𝜋;

25n

.

6 6 6

6. а)

±

5n

+ 2𝜋𝑛

;

n

+ 𝜋𝑘

,

𝑛, 𝑘 ∈

ℤ; б)

7n

;

3n

;

5n

.

6 2 6 2 2

7. а)

(

—1

)

n+1

n

+

𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ; б) —

13n

.

6 6

8. а)

n

+

𝜋𝑘;

(

—1

)

n+1

n

+

𝜋𝑛, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б) —

3n

;—

5n

;—

n

.

2 6 2 6 2

9. а)

±

n

+

2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ; б)

11n

;

13n

.

6 6 6

10. а)

n

+

𝜋𝑘,

(

—1

)

n

n

+

𝜋𝑛, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б)

9n

;

19n

;

11n

.

2 4 2 4 2

Задание 14

Тема: стереометрия

1.

В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴

1

𝐵

1

𝐶

1

𝐷

1

все рёбра равны 4. На его ребре 𝐵𝐵

1

отмечена точка K

так, что 𝐾𝐵

=

3. Через точки K и 𝐶

1

проведена плоскость α, параллельная прямой 𝐵𝐷

1

.

а) Докажите, что 𝐴

1

𝑃: 𝑃𝐵

1

=

2: 1, где P – точка пересечения плоскости α с

ребром 𝐴

1

𝐵

1

.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани 𝐵𝐵

1

𝐶

1

𝐶.

2.

Сечением прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴

1

𝐵

1

𝐶

1

𝐷

1

плоскостью α,

содержащей прямую 𝐵𝐷

1

и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и

𝐵𝐶𝐶

1

, если

𝐴𝐴

1

= 10

,

𝐴𝐵 = 12

.

3.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а

боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно.

Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания

пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1,

считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC

плоскостью α.

4.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD

со сторонами

𝐴𝐵 = 8

и

𝐵𝐶 = 6

. Длины боковых рёбер пирамиды

𝑆𝐴 =

√

21

,

𝑆𝐵 =

√

85

,

𝑆𝐷 =

√

57

.

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

5.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC

со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка

T так, что

𝐴𝑇: 𝑇𝐷 = 1: 2

. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена

плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является

прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

6.

В правильной треугольной призме

𝐴𝐵𝐶𝐴

1

𝐵

1

𝐶

1

сторона AB основания равна 6, а

боковое ребро

𝐴𝐴

1

равно 3. На ребрах AB и

𝐵

1

𝐶

1

отмечены точки K и L

соответственно, причём

𝐴𝐾 = 𝐵

1

𝐿 = 2

. Точка M – середина ребра

𝐴

1

𝐶

1

. Плоскость γ

параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M, а основание –

сечение данной призмы плоскостью γ.

7.

В правильной четырёхугольной призме

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴

1

𝐵

1

𝐶

1

𝐷

1

сторона AB основания

равна 8, а боковое ребро

𝐴𝐴

1

равно

4

√

2

. На рёбрах BC и

𝐶

1

𝐷

1

отмечены точки K и L

соответственно, причем

𝐵𝐾 = 𝐶

1

𝐿 = 2

. Плоскость γ параллельна прямой BD и

содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая 𝐴

1

𝐶 перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

8.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна

16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K

соответственно, причем

𝐴𝑀 = 𝐷𝑁 = 4

и

𝐴𝐾 = 3

.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

Ответы

1.

б) arctg

√17

.

3

2.

б) arctg

13

.

5

3. б)

8 + 2

√

2

.

4. б) arccos

14

.

55

5. б) 10.

6. б) 6

√

3.

7. б)

2√10

.

5

8. б)

12√5

.

5

9. б)

5√19

.

18

10. б) 13:23.

Задание 15

Тема: алгебраические неравенства, показательные уравнения и неравенства,

логарифмические уравнения и неравенства

1.

Решите неравенство

log

2

(

25 — 𝑥

2

)

— 3 log

5

(

25 — 𝑥

2

)

+ 2

≤

0.

2.

Решите неравенство

2 log

5

(

𝑥

2

— 5𝑥

)

log

5

𝑥

2

≤ 1.

3.

Решите систему неравенств

{

5

s+2

+ 2 ⋅ 5

–s

≤ 51,

log

2s

0,25

≤

log

2

32𝑥 — 1.

4.

Решите систему неравенств

log

4–s

(

28 — 3𝑥 — 𝑥

2

)

≤

1,

5.

Решите неравенство

{

𝑥

+

7

+

14𝑥

—

24

𝑥

2

— 4𝑥

+

3

≤

5

.

𝑥 — 1

9 log

12

6.

Решите неравенство

(

𝑥

2

— 3𝑥 — 4

)

≤ 10 + log

12

(

𝑥 + 1

)

9

𝑥 — 4

.

2

≤

5

.

7

s

— 7 7

s

— 4

7.

Решите неравенство

2

s

2

s

+ 1 5

2

s

— 3

+

2

s

— 2

+

4

s

— 5 ⋅ 2

s

+ 6

≤ 0.

8.

Решите систему неравенств

{

3

s+1

+ 10 ⋅ 3

–s

≤ 31,

log

2s

4 + 3 ≤ log

2

8𝑥 .

9.

Решите систему неравенств

2

4s

≤ 65 + 4

s+3

,

{

𝑥 3 — 𝑥

2

log

s+5

𝑥 — 3

≤ 1 — log

s+5

(

𝑥

) .

10.

Решите неравенство

log

(

𝑥

+

4

)

+

log

2

√

3

49 (

s

+8s+16

)

7 ≤ — .

4

Ответы

1. (—5; —

√

20]∪

{

0

}

∪ [

√

20; 5).

2.

(

—1; 0

)

∪

(

5; +∞

)

.

3. (0;

1

]∪ [

1

; log

5

2].

8 4

4.

{

—6

}

∪

(

3; 4

)

.

5.

[

—8; —1

)

∪

(

4; 16

]

.

6.

(

—∞; 2 log

7

2

)

∪

(

1; 2 log

7

3

]

.

7.

{

0

}

∪

(

1; log

2

3

)

.

8. [

1

;

1

)∪

[

2; log

3

10

]

.

4 2

9.

(

—5; —4

)

∪

[

—3; —1

]

∪ (3;

1

log 65].

2

10. (—4; —

27

]∪ [

1

— 4; —3).

7

√

7

Задание 16

Тема: планиметрия

1.

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD

перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в

точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки

AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если

𝐵𝐶 = 7

,

𝐴𝐷 = 23

.

2.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на

два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC – биссектриса угла BAD.

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции:

𝐴𝐶 = 12

и

𝐵𝐷 = 6,5

.

3.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении

𝐴𝑃: 𝑃𝐵 = 𝐶𝑄: 𝑄𝐵 = 𝐶𝑊: 𝑊𝐷 = 3: 4

, радиус окружности, описанной около

треугольника PQW, равен 10,

𝑃𝑄 = 16

,

𝑄𝑊 = 12

, угол PQW – острый.

а) Докажите, что треугольник PQW – прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

4.

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB

и AC в точках 𝐶

1

и 𝐵

1

соответственно.

а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику 𝐴𝐵

1

𝐶

1

.

б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если

∠𝐴 = 45°

,

𝐵

1

𝐶

1

= 6 и площадь треугольника 𝐴𝐵

1

𝐶

1

в восемь раз меньше площади

четырёхугольника 𝐵𝐶𝐵

1

𝐶

1

.

5.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного

треугольника ABC, перпендикулярная CM и пересекает катет AC в точке K. При этом

𝐴𝐾: 𝐾𝐶 = 1: 2

.

а) Докажите, что

∠𝐵𝐴𝐶 = 30°

.

б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке

Q. Найдите KQ, если

𝐵𝐶 =

√

21

.