ЕГЭ Профиль №11. Показательные функции
Всего: 25 1–20 | 21–25
Добавить в вариант
На рисунке изображён график функции вида 
Найдите значение f(2).
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток
Найдите наименьшее значение функции 
Найдите наименьшее значение функции 
Найдите наибольшее значение функции 
Найдите наименьшее значение функции 
Найдите точку максимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите наименьшее значение функции 
Найдите наибольшее значение функции 
Найдите точку максимума функции 
Найдите точку максимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите наименьшее значение функции
Найдите наименьшее значение функции 
Всего: 25 1–20 | 21–25
Прототипы задания №11 ЕГЭ по математике профильного уровня — наибольшее и наименьшее значение функций. Практический материал для подготовки к ЕГЭ.
Для успешного выполнения задания №11 необходимо уметь выполнять действия с функциями.
Практика
| time4math.ru | Скачать задания |
| math100.ru | Степенные, иррациональные и дробные функции
Логарифмические функции Показательные функции Тригонометрические функции Исследование функций без помощи производной |
| Куйда О. В. | скачать презентацию |
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 4.1, 4.2
Уровень сложности задания — повышенный.
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 9
Связанные страницы:
Прототипы задания №2 профильного ЕГЭ 2022 по математике
Решение 17 задания ЕГЭ по профильной математике
Задание 5 ЕГЭ по математике профильный уровень — стереометрия
Задание 4 ЕГЭ по математике (профиль) — вычисления и преобразования
Задание 11 ЕГЭ 2022 по математике: «Наибольшее и наименьшее значения функции»
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Показательные функции»
Открытый банк заданий по теме показательные функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Тригонометрические уравнения
Задание №1109
Тип задания: 12
Тема:
Показательные функции
Условие
Рассмотрите функцию y=4^{-23-10x-x^2} и найдите ее наибольшее значение.
Показать решение
Решение
Заметим, что -23-10x-x^2= -(x^2+10x+23)= -(x^2+2cdot 5x+5^2-2)= -(x^2+2cdot 5x+5^2)+2= -(x+5)^2+2 leqslant 2.
Основание степени равно 4;,4>1. Тогда 4^{-23-10x-x^2} leqslant 4^2.
При x =-5 имеет место равенство 4^{-23-10cdot (-5)-(-5)^2}= 4^{-(-5+5)^2 +2}= 4^2= 16.
Таким образом, наибольшее значение функции y=4^{-23-10x-x^2} равно 16.
Ответ
16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1108
Тип задания: 12
Тема:
Показательные функции
Условие
Рассмотрите функцию y=5^{x^2-8x+19} и найдите ее наименьшее значение.
Показать решение
Решение
Заметим, что x^2-8x+19= x^2-2cdot4x+4^2+3= (x^2-2cdot4x+4^2)+3= (x-4)^2+ 3 geqslant 3.
Основание степени равно 5;, 5 > 1. Тогда 5^{x^2-8x+19} geqslant 5^3 = 125.
При x=4 имеет место равенство 5^{x^2-8x+19} = 5^{(x-4)^2+3} = 5^3.
Таким образом, наименьшее значение функции y = 5^{x^2-8x+19} равно 125.
Ответ
125
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.
Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!
Почему задания на производную решает только 40% выпускников?
Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.
Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.
Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.
Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике
В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.
Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.
Поиск точек экстремума
Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Поиск наибольшего / наименьшего значения функции
Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.
Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!
Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.
В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!
- Учите производную
- Пользуйтесь алгоритмами
- Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!
Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!