ЕГЭ Профиль №14. Логарифмические неравенства
14 задача ЕГЭ – это всегда неравенство. На реальных ЕГЭ бывают 3 вида неравенств: показательные, логарифмические и смешанные.
Что нужно знать?
- Метод интервалов
- Как решаются дробно-рациональные неравенства
- Как делается замена и обратная замена в неравенствах
- Как решаются показательные неравенства
- Свойства логарифмов
- Как решаются логарифмические неравенства
- Метод рационализации
Задачи, которые были на экзамене за последние 7 лет с решениями на полный балл
2022:
Решение
2021:
Решение
2020:
Решение
2019:
Решение
2018:
Решение
2017:
Решение
2016:
Решение
2015:
Решение
Процент выполнения
А вот данные сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на неравенство в разные годы:
Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году*, набрал в задаче хотя бы 1 балл:
* так как в 2022 году ЕГЭ был сильно скорректирован, то некоторые задачи изменили свой номер, какие-то исчезли совсем, а другие добавились. В таблице приведены данные 2021 года, приведенные к формату экзамена 2022 (поэтому, например, в задачах 9 и 10 стоят прочерки – это новые задачи)
Типичные ошибки
1. Ошибки по невнимательности
Если вы будете готовиться к 14 задаче ЕГЭ, то практически наверняка одной из главных проблем станут ошибки по невнимательности. Из всех задач профильного ЕГЭ эта задача, пожалуй, самая опасная в плане мелких ошибок. Как научиться не допускать их написано в этой статье.
Примеры таких ошибок по невнимательности выделены желтым
2. Неправильно использовать метод интервалов
Метод интервалов – это база для 14 задачи ЕГЭ. Поэтому если вы хотите научиться решать неравенства на ЕГЭ – первым делом освойте метод интервалов, чтоб ошибок не было. Вот как «косячат» в нем школьники на реальном экзамене.
3. Умножить/делить на выражение с переменной
Почему в общем случае неравенство нельзя умножать или делить на выражение с переменной? Все дело в том, что если мы неравенство умножаем (делим) на положительное число, то должны оставить знак сравнения тем же, а если на отрицательное – перевернуть его.
(2x>4) (-2x>4)
(x>2) (x<-2)
Но чаще всего мы не знаем положительно или отрицательно выражение, на которое собрались умножать (делить), потому что при разных значениях переменной знак выражения может меняться. То есть, возникает неясность — переворачивать знак сравнения или оставить тем же? Поэтому в неравенствах так не делают. В уравнении можно, в неравенстве нет.
|
Уравнение (можно и нужно умножать на икс) |
Неравенство (нужно приводить к общему знаменателю) |
| (frac{1}{x}=1) |(·x) | (frac{1}{x}>1) |
| (1=x) | (frac{1}{x}-1>0) |
| (x=1) | (frac{1-x}{x}>0) (|·(-1)) |
| (frac{x-1}{x}<0) | |
| (x∈(0;1)) |
Хотя бывают исключения, когда знак выражения с иксом определен. Например, на (2^x) умножить или разделить неравенство можно, потому что (2^x) положительно всегда, независимо от значения (x).
(frac{2^x-1}{2^x} ≥0) (|cdot2^x)
(2^x-1≥0)
Также бывает, что выражение положительно не всегда, но мы знаем, что в данном конкретном неравенстве это так, поскольку, например, таковы требования ОДЗ.
|
(log_2x+log_2frac{1}{x^2}≥0) (log_2x frac{1}{x^2} ≥log_21) (frac{1}{x}≥ 1) (|cdot x) (1≥x) (x≤1) |
Огр. (begin{cases} x>0 \ frac{1}{x^2} >0 end{cases}) |
Несколько примеров с ошибками:
4. Неправильно привести к общему знаменателю
Чаще всего такую ошибку допускают те ученики, которые ленятся написать лишнюю строчку, делают два, а то и три действия за один ход: сразу и домножаем, и раскрываем скобки, и тут же в уме приводим подобные слагаемые. Вот, например, в примере внизу пропущен шаг домножения дробей на недостающие множители и раскрытие скобок. Подозреваю, что из-за этого и возникла ошибка.
Сравните с этим бланком, где выпускник все сделал постепенно, по шагам и закономерно получил верный ответ.
5. Не сделать обратную замену
Это вообще классика – сделать замену и забыть вернуться к исходной переменной. Вот пример.
6. Неправильно снять квадрат
Такая ошибка редко совершается на самом ЕГЭ, потому что так обычно ошибаются те, кто только начал проходить неравенства. Но зато в начале пути ее делают практически все, поэтому я внесла её в список.
| 3640 | Решите неравенство 31^x+33 >= 11*(7-sqrt(18))^x+3*(7+sqrt(18))^x Решение  График |
Решите неравенство 31^x + 33 >= 11(7-sqrt(18))^x + 3(7+sqrt(18))^x |  |
| 3617 | Решите неравенство x^3+7x^2+(16x^2+5x-15)/(x-3)<=5Решение График |
Решите неравенство x3 + 7×2 + 16×2+5x-15 / x-3 <= 5 ! Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 08-02-2023 Вариант МА2200109 Задание 14 | |
| 3614 | Решите неравенство: log_{2}(32x)/(log_{2}(x) -5)+ (log_{2}(x)-5)/ log_{2}(32x)>= (log_{2}(x^16)+18)/((log_{2}(x))^2-25)Решение График |
Решите неравенство: log2 (32x) / log2 x -5+ log2 x-5 / log2 (32x) >= log2 x16+18 / log2 2 x -25 | |
| 3597 | Решите неравенство: x^2*log_{64}(3-2x) >= log_{2}(4x^2-12x+9)Решение График |
Решите неравенство: x2 log64 (3-2x) >= log 2 (4×2 — 12x+9) ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 18 Задание 14 | |
| 3596 | Решите неравенство 4*9^(1-5/x)-91*12^(-5/x)+3*4^(2-10/x)>=0Решение График |
Решите неравенство 4 9^(1-5/x)-91 12^(-5/x)+3 4^(2-10/x) >= 0 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 20 Задание 14 |
|
| 3586 | Решите неравенство: (log_{5}(x^4))^2-28log_{0.04}(x^2) <= 8Решение График |
Решите неравенство: log2 5 x4 — 28log0,04 x2 <= 8 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 18 Задание 14 | |
| 3579 | Решите неравенство: (log_{2}(x^4))^2-4log_{0.25}(x^2) >= 12Решение График |
Решите неравенство: log2 2 (x4) -4log0.25 (x2) >= 12 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 17 Задание 14 | |
| 3569 | Решите неравенство (3x^3-18x^2+27x)*(x-3)^-1-. (6x^3-11x^2-44x-30)*(2x+3)^-1<=11Решение График |
Решите неравенство (3x^3 — 18x^2 +27x)(x-3)^-1 -(6x^3 -11x^2 -44x -30) (2x+3)^-1 <=11 ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 14 Вариант МА2210209 | |
| 3550 | Решите неравенство: 8^(lg(-1-x))<=(x^2-1)^(lg2)Решение График |
Решите неравенство: 8 lg(-1-x)<=(x2 — 1) lg2 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 14 Задание 14 | |
| 3533 | Решите неравенство: 4log_{0.25}(1-4x) -log_{sqrt(2)}(-1-x)+. 4log_{4}(x^2-1) <= log_{2}(x^2).Решение График |
Решите неравенство: 4log 0,25 (1-4x) — log sqrt2 (-1-x) +4log4 (x2 -1) <= log2 x2 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 9 Задание 14 | |
Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств
Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств
Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)
Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных
Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных
Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции