Разбираем все типы задач № 15 из сборника: 30 тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко» – 2021.
Подробно объясняем ход решения и показываем оформление задач.
Полное название сборника:
«Математика. Профильный уровень. Единый Государственный Экзамен. Готовимся к итоговой аттестации. 2021 год. 30 вариантов».
Как правило, задания из таких сборников немного сложнее, чем реальные задачи ЕГЭ. Зато, решая такие задачи, вы сможете отлично подготовиться к любым возможным неожиданностям на экзамене.
В задании 15 вариантов ЕГЭ вам встретятся всевозможные неравенства: показательные, логарифмические, иррациональные, комбинированные.
Задача 15, Вариант 1
Решите неравенство
Посмотреть решение
Задача 15, Вариант 3
Решите неравенство 
Посмотреть решение
Задача 15, Вариант 5
Решите неравенство 
Посмотреть решение
Задача 15, Вариант 12
Следующая задача – типичная. Такие задания очень любят давать в реальных вариантах Профильного ЕГЭ по математике.
Решите неравенство 
Посмотреть решение
Задача 15, Вариант 17
В апреле 2020 года И. В. Ященко, автор книги, задачи из которой мы сейчас разбираем, и составитель задач ЕГЭ, дал интервью, в котором пообещал, что на реальном ЕГЭ иррациональных неравенств в задаче 15 не будет, однако не исключил, что они могут встретиться в тренировочных и контрольных работах. Как видим, в сборнике ««30 тренировочных вариантов под редакцией И. В. Ященко», 2021 год, такие неравенства есть.
Решите неравенство 
Посмотреть решение
Задача 15, Вариант 24
И наконец, еще одна типичная для ЕГЭ задача.
Решите неравенство 
Посмотреть решение
Больше интересных задач: на нашем канале на Ютьюбе и на онлайн-курсе Анны Малковой.
Успеха вам на экзамене!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Решаем задачи из сборника : 30 тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко» – 2021. Все задачи №15 (Неравенства)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
| 3370 | Оценки экспертов решений задания 15 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 15 – это текстовая задача с экономическим содержанием. Решение |
Критерии оценивания решений задания 15 ЕГЭ по математике профильного уровня ! Примеры оценивания реальных работ 2016-2021 гг # Приведены типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике и критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку |  |
| 3365 | В июле 2026 года планируется взять кредит в размере 880 тыс. руб. Условия возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; – в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 880 тыс. руб. – суммы выплат 2030 и 2031 годов равны; – к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью Найдите разницу между первым и последним платежами Решение |
В июле 2026 года планируется взять кредит в размере 880 тыс. руб ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 15 Москва, Центр | |
| 3289 | В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 3 млн рублей Решение |
В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число ! Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 27.01.2022 Вариант МА2100109 Задание 15 | |
| 3237 | Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?Решение |
Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании ! 36 вариантов ЕГЭ 2022 ФИПИ школе Ященко Вариант 18 Задание 15 # Приведенорешениепрототипаcolor{blue} text{Приведено решение прототипа 2872}задачи- аналога 2872 | |
| 2872 | Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 30 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?Решение |
Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании ! 36 вариантов ЕГЭ 2022 ФИПИ школе Ященко Вариант 15 Задание 15 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 7 Задание 17 | |
| 2762 | 15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: — 11-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; -15-числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей; -к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублейРешение |
15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 33 Задание 15 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 23 Задание 17 | |
| 2759 | Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн рублей Решение |
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 32 Задание 15 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 22 Задание 17 | |
| 2734 | По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятсяРешение |
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 28 Задание 18 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 18 Задание 17 # Задача-Аналог 1514 | |
| 2692 | 15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на шестой месяц кредитования выплата составит 25 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? Решение |
15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев ! Статград — Тренировочная работа №1 для 10 класса 28.01.2021 Профильный уровень Вариант МА2000309 Задание 17 | |
| 2682 | Евгений хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 195 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 40 %. Какую наименьшую сумму нужно Евгению откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций? Решение |
Евгений хочет купить пакет акций компании ! Тренировочная работа №2 по математике 11 класс Статград 16-12-2020 профильный уровень Вариант МА2010209 Задание 17 | |
Задание 1
Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 53848 кВт*ч, а 1 февраля — 54107 кВт*ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь, если 1 кВт*ч электроэнергии стоит 2 руб. 80 коп.? Ответ дайте в рублях.
Ответ: 725,2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Разница в кВт*ч: $$54107-53848=259$$.
Стоимость: $$259cdot 2,8=725,2$$ рубля.
Задание 2
На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2018 и 2019 годах. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — уровень инфляции (в процентах) за каждый месяц соответствующего года. Определите количество месяцев, когда инфляция в 2019 году была ниже, чем инфляция в соответствующем месяце 2018 года.
Ответ: 9
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Это месяцы с апреля по декабрь: 9 месяцев.
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.
Ответ: 12
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Найдем диагонали по теореме Пифагора $$d_1=sqrt{2^2+2^2}=2sqrt{2}; d_2=sqrt{6^2+6^2}=6sqrt{2}$$. $$S=frac{1}{2} d_1cdot d_2=frac{1}{2} cdot 2sqrt{2} cdot 6sqrt{2}=12$$
Задание 4
В гонке с раздельным стартом участвуют 25 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Норвегии. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из норвежских лыжников получил стартовый номер «5». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.
Ответ: 0,25
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Вероятность, что 4-ый будет из Норвегии: $$Pleft(Aright)=frac{6}{24}$$ (т.к. после того, как один получит номер «5» лыжников из Норвегии осталось 6, а всего лыжников 24). Т.е. 0,25.
Задание 5
Найдите корень уравнения $$frac{1}{2x-3}=frac{1}{8}$$.
Ответ: 5,5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{1}{2x+3}=frac{1}{8}leftrightarrow 2x-3=8leftrightarrow 2x=11leftrightarrow x=5,5$$
Задание 6
В треугольнике АВС угол С равен $$46{}^circ $$, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 113
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$angle A+angle B=180{}^circ -angle C=134{}^circ to frac{angle A}{2}+frac{angle B}{2}=frac{134}{2}=67{}^circ to$$ $$to angle AOB=180-67=113{}^circ $$
Задание 7
На рисунке изображён график $$у = f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-9; 6). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$[-8; 5].$$
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Точка минимума там, где $$f’left(xright)=0$$ при возрастании $$f’left(xright)$$, т.е. $$approx -1,8; approx 1,5; approx 5,6$$. Но на $$xin [-8;5]$$ их 2 точки.
Задание 8
В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$DC_1$$ и $$BD$$. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Рассмотрим $$triangle BC_1D:BC_1=DC_1=BC_1=BD$$ (диагонали равных квадратов)$$to triangle BC_1D$$ — равносторонний $$to angle BDC_1=60{}^circ $$.
Задание 9
Найдите значение выражения $$4^{1-2{{log }_{0,5} 3 }}$$
Ответ: 324
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$4^{1-2{{log }_{0,5} 3 }}=frac{4^1}{4^{2{{log }_{0,5} 3 }}}=frac{4^1}{{(2^2)}^{{{log }_{2^{-1}} 3 }}}=frac{4}{2^{-2{{log }_2 9 }}}=frac{4}{2^{{{log }_2 frac{1}{81} }}}=frac{4}{frac{1}{81}}=324$$
Задание 10
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a$$ в км/ч$${}^{2}$$. Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=sqrt{2la}$$, где $$l$$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч$${}^{2}$$.
Ответ: 6250
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Подставим известные в формулу: $$100=sqrt{2cdot 0,8cdot a}leftrightarrow 10000=1,6aleftrightarrow a=6250$$.
Задание 11
Катер в 8:40 вышел из пунтка А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ: 14
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Прошло времени: 7 часов 40 минут. При этом 40 минут стоял, т.е. в движении 5 часов. Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера.
Тогда: $$frac{48}{x+2}+frac{48}{x-2}=7leftrightarrow 48x-96+48x+96=7x^2-28leftrightarrow 7x^2-96x-28=0to $$ $$to frac{D}{4}=2304+196=2500to left[ begin{array}{c}
x_1=frac{48+50}{7} \
x_2<0 end{array}
right.leftrightarrow x=14$$
Задание 12
Найдите наименьшее значение функции $$y=4{sin x }-6x+7$$ на отрезке $$left[-frac{3pi }{2};0right]$$
Ответ: 7
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Найдем производную: $$y’=4{cos x }-6$$. Т.к. $$left|{cos x }right|le 1$$, то $$y'<0$$ при любом $$x$$, тогда функция убывает на всем $$Dleft(xright)to y_{min}=y(0)$$. $$yleft(0right)=4{sin 0 }-6cdot 0+7=7$$
Задание 13
а) Решите уравнение $$2{{sin }^{{rm 2}} (frac{pi }{2}-x) }+{sin 2x }=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3pi ;frac{9pi }{2}]$$
Ответ: а)$$frac{pi }{2}+pi n,nin Z$$; $$-frac{pi }{4}+pi n,nin Z$$ б) $$1)3pi +frac{pi }{2}=frac{7pi }{2};2)4pi +frac{pi }{2}=frac{9pi }{2} ;3)4pi -frac{pi }{4}=frac{15pi }{4} $$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) $$2{{sin }^{{rm 2}} (frac{pi }{2}-x) }+{sin 2x }=0leftrightarrow 2{{cos }^{{rm 2}} x }+2{sin x }{cos x }=0leftrightarrow$$ $$leftrightarrow 2{cos x }left({cos x }+{sin x }right)=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} {cos x=0 } \ {cos x }+{sin x }=0 end{array} right.leftrightarrow left[ begin{array}{c} {cos x=0 } \ 1+{tan x }=0 end{array} right.leftrightarrow$$ $$leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=frac{pi }{2}+pi n,nin Z \ x=-frac{pi }{4}+pi n,nin Z end{array} right.$$
б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$left[3pi ;frac{9pi }{2}right]:1)3pi +frac{pi }{2}=frac{7pi }{2};2)4pi +frac{pi }{2}=frac{9pi }{2} ;3)4pi -frac{pi }{4}=frac{15pi }{4} $$
Задание 14
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М — середина ребра АВ. Плоскость $$alpha $$ перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость $$alpha $$ в точке К.
а) Докажите, что KM = KD.
б) Найдите объём пирамиды CDKM.
Ответ: $$frac{3sqrt{5}}{4}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
А) 1) Пусть $$FCcap DM=L$$. Т.к. $$alpha bot ABC$$, то ч/з L пойдет $$LKbot ABC$$. Пусть $$CBcap DM=H$$, $$KHcap SB=Rto left(DKRMright)$$ — искомая плоскость.
2) FC равноудалена от ED и AB $$to $$ т.к. $$EDparallel AB$$, то $$angle XDL=angle LZB$$ (накрест лежащие) $$to triangle XDL=triangle LMZto DL=LMto KL$$ — высота и медиана $$to $$ $$triangle DKM$$ — равнобедренный $$to KM=KD$$.
Б) 1) $$V_{CDKM}=frac{1}{3}S_{CDKM}cdot KL$$. $$S_{ABCDEF}=6S_{AOB}=6cdot frac{1}{2}cdot 2cdot 2cdot frac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}to S_{MNDCB}=3sqrt{3}.$$ $$S_{MND}=frac{1}{2}MNcdot ND=frac{1}{2}cdot 2cdot 2cdot frac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}.$$ $$S_{MBC}=frac{1}{2}MBcdot BC{sin angle B }=frac{1}{2}cdot 1cdot 2cdot frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{2}to S_{CDM}=3sqrt{3}-sqrt{3}-frac{sqrt{3}}{2}=$$ $$=frac{3sqrt{3}}{2}.$$
2) $$NX=OLto LC=2-frac{1}{2}=frac{3}{2}to frac{KL}{SO}=frac{LC}{OC}=frac{frac{3}{2}}{2}=frac{3}{4}$$ (т.к. $$triangle SOCsim triangle KLC$$ по острому углу) — $$SO=sqrt{SB^2-OB^2}=sqrt{8^2-2^2}=sqrt{60}=2sqrt{15}to KL=frac{3sqrt{15}}{2}to$$ $$to V_{CDKM}=frac{1}{3}cdot frac{3sqrt{3}}{2}cdot frac{3sqrt{15}}{2}=frac{3sqrt{5}}{4}$$.
Задание 15
Решите неравенство $$x^2{{log }_{64} (3-2x) }ge {{log }_2 left(4x^2-12x+9right) }$$
Ответ: $$xin left(-infty ;-sqrt{12}right];[1;1,5)$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$x^2{{log }_{64} (3-2x) }ge {{log }_2 left(4x^2-12x+9right) }leftrightarrow frac{x^2}{6}{{log }_2 left(3-2xright) }-{{log }_{64} {left(2x-3right)}^2 }ge 0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow $$ т.к. $$3-2x>0$$, то: $$frac{x^2}{6}{{log }_2 left(3-2xright) }-2{{log }_2 left(3-2xright) }ge 0leftrightarrow (x^2-12)({{log }_2 (3-2x) })ge 0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow left{ begin{array}{c}
3-2x>0 \
(x^2-12)(3-2x-1)ge 0 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
x<1,5 \
(x-sqrt{12})(x+sqrt{12})(x-1)le 0 end{array}
right.$$.
$$xin left(-infty ;-sqrt{12}right];[1;1,5)$$
Задание 16
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Ответ: 4,8
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) По т.о. касательной и хорде $$angle LCD=angle CAD$$ (для меньшей) и $$angle LCD=angle CED$$ (для большей) $$to angle CAD=angle CED$$, а они накрест лежащие $$to ADparallel BE$$.
б) $$angle CDA$$ и $$angle EBE$$ — прямоугольные, $$angle CAD=angle CEDto triangle CDAsim triangle CBEto frac{CD}{CB}=frac{CA}{CE}=frac{AD}{BE}$$. При этом AD и BE — диаметры ($$angle C$$ — вписан и прямой) $$to AD=6;BE=8to frac{CD}{CB}=frac{3}{4}$$. Пусть $$CA=CB=xto CD=frac{3}{4}x$$. Из $$triangle ADC:AD^2=CD^2+CA^2to 36=x^2+frac{9x^2}{16}to x^2=frac{36cdot 16}{25}to x=4,8$$.
Задание 17
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Ответ: 500 т.р.
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Раз первые 3 года долг не менялся, то платили только проценты, т.е. $$1050cdot 0,1=105$$ т.р. Пусть крайние 2 выплаты по $$x$$ т.р. Тогда: $$left(1050cdot 1,1-xright)cdot 1,1-x=0leftrightarrow 1270,5-2,1x=0to x=605$$ т.р. Тогда разница: $$605-105=500$$ т.р.
Задание 18
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$left{ begin{array}{c} sqrt{16-y^2}=sqrt{16-a^2x^2} \ x^2+y^2=8x+4y end{array} right.$$ имеет ровно два различных решения.
Ответ: $$ain left(-infty ;-2right);(-2;+infty )$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$left{ begin{array}{c} sqrt{16-y^2}=sqrt{16-a^2x^2} \ x^2+y^2=8x+4y end{array} right.leftrightarrow left{ begin{array}{c} 16-y^2ge 0 \ 16-y^2=16-{left(axright)}^2 \ x^2+y^2-8x-4y=0 end{array} right.leftrightarrow$$ $$leftrightarrow left{ begin{array}{c} yin [-4;4] \ y=ax \ y=-ax \ x^2+y^2-8x-4y=0 end{array} right.$$
При $$y=ax:x^2+{a^2x}^2-8x-4ax=0leftrightarrow xleft(x+a^2x-8-4aright)=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=0 \ x=frac{4a+8}{a^2+1} end{array} right.leftrightarrow $$ $$leftrightarrow left[ begin{array}{c} y=0 \ y=frac{4a^2+8a}{a^2+1} end{array} right.$$.
При $$y=-ax: x^2+{a^2x}^2-8x+4ax=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=0 \ x=frac{-4a+8}{a^2+1} end{array} right.leftrightarrow left[ begin{array}{c} y=0 \ y=frac{4a^2-8a}{a^2+1} end{array} right.$$.
Получим: $$left(0:0right):left(frac{4a+8}{a^2+1};frac{4a^2+8a}{a^2+1}right);(frac{8-4a}{a^2+1};frac{4a^2-8a}{a^2+1})$$.
При этом $$left(0:0right)$$ всегда, т.к. $$yin [-4;4]$$ выполняется.
Вторая пара существует при: $$-4le frac{4a^2+8a}{a^2+1}le 4to left{ begin{array}{c} 4a^2+8age -4a^2-4 \ 4a^2+8ale 4a^2+4 end{array} right.leftrightarrow left{ begin{array}{c} 8a^2+8a+4ge 0 \ ale frac{1}{2} end{array} right.leftrightarrow ale frac{1}{2}$$.
Третья пара существует при: $$-4le frac{4a^2-8a}{a^2+1}le 4to left{ begin{array}{c} 4a^2-8age -4a^2-4 \ 4a^2-8age 4a^2+4 end{array} right.$$$$leftrightarrow left{ begin{array}{c} 8a^2-8a+4ge 0 \ age -frac{1}{2} end{array} right.leftrightarrow age -frac{1}{2}$$.
При этом первая и вторая совпадают при $$frac{4a+8}{a^2+1}=0to a=-2.$$
Первая и третья: $$frac{8-4a}{a^2+1}=0to a=2$$.
Вторая и третья: $$frac{4a+8}{a^2+1}=frac{8-4a}{a^2+1}to a=0$$. т.е. должно быть только 2: $$ain left(-infty ;-2right);(-2;+infty )$$.
Задание 19
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Ответ: а)да б)нет в)$$frac{232}{21}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
А) Пусть было три числа $$A,B,Cin N,Ane Bne Cle 9$$. Получим $$Ato 10A+3;Bto 10B+7$$. Следовательно, $$frac{10A+3+10B+7+C}{A+B+C}=8to 2A+2B+10-7C=0$$. Пусть $$A=2,B=8,C=4to $$ Да, могла.
Б) Пусть в 1-ой группе $$x$$ чисел, их сумма $$A$$, во 2-ой $$y$$ чисел, сумма $$B$$, в 3-ей $$Z$$ чисел, сумма $$C$$. Тогда $$frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=17to 3x+7y=7A+7B+16C.$$ При этом $$Age x,Bge y$$, тогда $$3x+7y<7A+7Bto $$ равенство невозможно.
В) Пусть в 1,2 и 3 группах x, y и 7 чисел соответственно, их сумма $$A,B,C$$. Тогда $$frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=Qto frac{10left(A+B+Cright)+3x+7y-9C}{A+B+C}=Qto$$ $$to Q=10+frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$ т.к. при переносе чисел из первой или третьей группы во вторую $$A+B+C$$ не меняется, но $$3x+7y-9C$$ увеличивается, то и Q увеличится. Следовательно, $$Qto max$$, при $$xto min$$. А $$x_{min}=1$$. $$Cto min$$, т.е. $$Zto min, Z=1(C=1)$$. При этом общее число чисел тогда $$y+2$$. Получим: $$Q=10+frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$. Т.к. числа разные натуральные, то $$A+B+Cge 2+1+frac{2cdot 3+1left(y-1right)}{2}cdot y$$ (т.к. минимальная сумма будет у подряд идущих натуральных чисел с единицы). Т.е. $$A+B+Cge 3+frac{left(5+yright)y}{2}$$ или $$A+B+Cge frac{y^2+5y+6}{2}=frac{left(y+2right)left(y+3right)}{2}$$. Тогда: $$Q=10+frac{left(7y-6right)cdot 2}{(y+2)(y+3)}$$. Найдем максимальное значение $$frac{14y-12}{(y+2)(y+3)}=f(y)$$ при $$yin N$$. $$f’left(yright)=frac{14left(y^2+5y+6right)-left(14y-12right)left(2y+5right)}{{left((y+2)(y+3)right)}^2}=0to $$ $$to 14y^2+70y+84-28y^2-70y+24y+60=0$$. $$-14y^2+24y+144=0to -7y^2+12y+72=0to frac{D}{4}=540in ({23}^2;{24}^2)$$. $$left[ begin{array}{c} y_1=frac{-6+sqrt{540}}{-7} \ y_2=frac{-6-sqrt{540}}{-7}-max end{array} right..$$
При этом $$y_2=frac{6+sqrt{540}}{7}approx frac{6+23}{7}approx frac{29}{7}to y=4$$ или $$y=5$$. При $$y=4:fleft(4right)=frac{14cdot 4-12}{6cdot 7}=frac{44}{6cdot 7}=frac{22}{21}$$.
При $$y=5:fleft(5right)=frac{14cdot 5-12}{7cdot 8}=frac{58}{7cdot 8}=frac{29}{28}$$. $$fleft(4right)>fleft(5right)to Q_{max}=10+frac{22}{21}=frac{232}{21}.$$
Задание 15. Вариант 30 из 36 вариантов ЕГЭ 2021
Задание 15. Решите неравенство 
.
Решение.
1. Определим ОДЗ:
при любых значениях 
.
2. Упростим неравенство, получим:
Сделаем замену 
, получим:
Решая уравнение, получаем две точки
3. Переходим к , получаем решение:
Следовательно,
.
Ответ: 
.
Всё варианты 15 задания математика ЕГЭ Профиль 2021
Решение и ответы заданий Варианта №15 из сборника ЕГЭ 2023 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко 36 типовых вариантов ФИПИ школе. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.
Задание 1.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.
Задание 2.
Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Задание 3.
При изготовлении подшипников диаметром 62 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,986. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 61,99 мм, или больше, чем 62,01 мм.
Задание 4.
Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Задание 5.
Найдите корень уравнения sqrt{9-8x}=-x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Задание 6.
Найдите значение выражения frac{2^{log_{9}3}}{2^{log_{9}243}}.
Задание 7.
На рисунке изображён график у = f′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–9; 6). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задание 8.
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v=v_{0}cos frac{2pi t}{T}, где t – время с момента начала колебаний, Т = 2с – период колебаний, v0 = 1,6 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле E=frac{mv^{2}}{2}, где m – масса груза в килограммах, v – скорость груза в м/с2. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Задание 9.
Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв 45 минут в пункте В, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.
Задание 10.
На рисунке изображены функций графики f(x) = ах2 + bх + с и g(x) = kx + d, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Задание 11.
Найдите наибольшее значение функции у = х5 + 5х3 – 140х на отрезке [–8; –1].
Задание 12.
а) Решите уравнение sin2x + cos2x = 1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-frac{7pi }{2}; –2pi].
Задание 13.
В правильной призме ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD боковое ребро равно √3 , а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1.
б) Найдите угол между прямыми l и СВ1.
Задание 14.
Решите неравенство 7^{log_{frac{1}{7}}log_{frac{1}{2}}(–x)}< 2^{log_{frac{1}{2}}log_{frac{1}{7}}(–x)}.
Задание 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.
Задание 16.
Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.
а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет frac{12}{49} площади трапеции ABCD.
Задание 17.
Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство
–1 ≤ sinx(a – cos2x) ≤ 1
верно при всех действительных значениях х.
Задание 18.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Тип 14 № 508319 
Решите неравенство 
Аналоги к заданию № 508319: 517423 511507 Все
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции
Методы алгебры: Замена — сумма или разность
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов