Задание 4 егэ математика профильный уровень видеоурок

8 ноября 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Вычисления и преобразования. Профильный уровень.

Рациональные, иррациональные и показательные выражения

Логарифм

Тригонометрия

Источник

Анна Малкова

В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми, которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности.

Мы разберем задачу №4 из Демоверсии ЕГЭ-2022, задания из Методических рекомендаций ФИПИ для учителей и аналогичные им.

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

1. Демоверсия ЕГЭ-2022

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение:

Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.

Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.

По определению вероятности получаем p = 6 : 10 = 0,6.

2. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение:

Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:

Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).

Ответ: 0,2.

3. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Благоприятными будут следующие исходы:

Первый раз – вытащили красный фломастер.

И второй раз – красный.

А третий раз – синий.

Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна displaystyle frac{4}{6} = frac{2}{3}.

После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна displaystyle frac{3}{5}.

Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна displaystyle frac{1}{2}.

Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть

displaystyle frac{2}{3} cdotfrac{3}{5} cdotfrac{1}{2} = frac{1}{5} = 0,2.

Ответ: 0,2.

4. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.

Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого displaystyle frac{9}{25}, в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна displaystyle frac{10}{24}. Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна displaystyle frac{9}{25} cdot frac{10}{24}=frac{3}{5}cdot frac{1}{4} = frac{3}{20}.

А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна displaystyle frac{10}{25} = frac{2}{5}. Вероятность после этого вытащить красный равна displaystylefrac{9}{24} = frac{3}{8}, вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна displaystylefrac{2}{5} cdot frac{3}{8} = frac{3}{20}.

Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна displaystylefrac{3}{20} + frac{3}{20} = 0,3.

А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.

5. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А;
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Имеем:

P(A)=0,86x;

P(B)=0,06 cdot (1-x);

P(A+B)=P(A)+P(B)=0,86x+0,06(1-x)=0,1.

Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.

x=0,05.

Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна 0,05 cdot 0,86 (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна 0,1 cdot z (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим: 0,05 cdot 0,86 = 0,1 cdot z отсюда z = 0,43.

Ответ: 0,43.

Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

6. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.

Решение:
Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.
Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.

С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна 0,6 cdot 0,4.

Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна 0,4 + 0,4 cdot 0,6 = 0,4 cdot (1+0,6) = 0,64.

Ответ: 0,64.

7. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.

Формула Бернулли:

– Вероятность P^m_n того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:

P^m_n = C^m_n p^m q^{n-m}, где

p – вероятность появления события A в каждом испытании;

q=1-p – вероятность появления события A в каждом испытании.

Коэффициент C^m_n часто называют биномиальным коэффициентом.

О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.

А пока скажем просто, как их вычислять.

displaystyle C^m_n = frac{n!}{m!(n-m)!}.

Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы. На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,

6! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6.

Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна displaystylefrac{1}{2}, вероятность решки тоже displaystyle frac{1}{2}. Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.

displaystyle P_1=C_{10}^5left ( frac{1}{2} right )^5cdot left ( frac{1}{2} right )^5=frac{10!}{5!cdot 5!cdot 2^{10}}.

Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна

displaystyle P_2=C_{10}^4cdot left ( frac{1}{2} right )^4cdot left ( frac{1}{2} right )^6=frac{10!}{4!cdot 6!cdot 2^{10}}.

Найдем, во сколько раз P_1 больше, чем P_2.

displaystyle frac{P_1}{P_2}=frac{10!cdot 4!cdot 6!cdot 2^{10}}{5!cdot 5!cdot 2^{10}cdot 10!}=frac{4!}{5!}=frac{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5cdot 6}{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5 cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5}=

displaystyle =frac{6}{5} = 1,2.

Ответ: 1,2.

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна

0,6+0,4 cdot 0,6 = 0,84.

Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна 0,84^5 = P_1.

Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

displaystyle P_2=C_{5}^{4}cdot 0,84^{4}cdot 0,16=frac{5!; 0,84^4 cdot 0,16}{4!}=5cdot 0,84^4 cdot 0,16.

displaystyle frac{P_1}{P_2} = frac{0,84^5}{5 cdot 0,84^4 cdot 0,16}= frac{0,84}{0,8}=1,05.

9. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?

Решение:
Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.

С вероятностью displaystyle frac{1}{2} стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна displaystyle frac{1}{2} cdot frac{1}{2} = frac{1}{4}, так как с вероятностью displaystyle frac{1}{2} он промахнулся в первый раз и с вероятностью displaystyle frac{1}{2} второй выстрел был удачным.

Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна displaystyle frac{1}{2}+frac{1}{4} = frac{3}{4}.

Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.

displaystyle P_1=P^3_5=C^3_5 cdot left ( frac{3}{4} right )^3 cdot left ( frac{1}{4} right )^2 = frac{5!}{3! 2!} cdot frac{3^3}{4^5}.

Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти

displaystyle P_2=P^2_5=C^2_5 cdot left ( frac{3}{4} right )^2cdot left( frac{1}{4} right )^3 = frac{5!}{3! 2!} cdot frac{3^2}{4^5}.

Заметим, что C^3_5 = C^2_5.

Получим:

displaystyle frac{P_1}{P_2} = frac{3^3 cdot 4^5}{4^5 cdot 3^2} = 3.

Ответ: 3.

10. Стрелок в тире стреляет по мишени. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?

Решение:

Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым, вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.

Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность n промахов (из n выстрелов) равна 0,7^n, а вероятность попасть с первого раза или сто второго … или с n-ого выстрела равна 1-0,7^n.

По условию, 1-0,7^n geq 0,6.

0,7^n leq 0,4.

Если n = 2, то 0,7^2 = 0,49 – не подходит.

Для n=3 условие выполнено, 0,7^3 = 0,343 textless 0,4.

Хватит 3 патронов.

Ответ: 3.

11. Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).

Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех? Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.

Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица. Вероятность этого события равна displaystyle frac{1}{6} cdot frac{1}{6} = frac{1}{36}.

Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок? Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1. Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна displaystyle frac{5}{6}.

Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна displaystyle frac{5}{216}.

Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна displaystyle frac{2}{36} = frac{1}{18}.

При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.

Окончательно получаем: displaystyle frac{5}{216} + frac{1}{18} = frac{17}{216} approx 0,08.

Ответ: 0,08.

Вот еще одна задача из Демоверсии ЕГЭ-2022:

12. В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение:
Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).
Количество взрослых мужчин в городе: 0,48N.
Количество женщин в городе: 0,52N.
Из них 0,15 * 0,52N = 0,078N женщин-пенсионеров.
Всего пенсионеров 0,126N.
Тогда количество мужчин-пенсионеров равно 0,126N – 0,078N = 0,048N.
Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть 0,048 N : 0,48N = 0,1.
Ответ. 0,1.

Мы разобрали все доступные типы заданий №4 из вариантов ЕГЭ-2022. Раздел будет дополняться решениями новых задач – как только они появятся в Банке заданий ФИПИ.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 4 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Здесь представлен бесплатный видеокурс по подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня.

Список заданий:

Задание 1. Прямоугольные, равнобедренные треугольники, треугольники общего вида, параллелограмм, трапеция, вписанные и центральные углы, вписанные и описанные окружности.

Задание 2. Стереометрия: куб, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус,шар, комбинация тел, элементы, площади и объемы составных многогранников

Задание 3. Классическое определение вероятности.

Задание 4. Теоремы о вероятности событий.

Задание 5. Линейные, квадратичные, дробно-рациональные, степенные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения

Задание 6. Рациональные, иррациональные, степенные, логарифмические, тригонометрические выражения.

Задание 7. Производная и первообразная: физический смысл производной, геометрический смысл производной и касательная, применение производной к исследованию функций, первообразная

Задание 8. Задачи с прикладным содержанием: линейные, квадратные, степенные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические и смешанные уравнения и неравенства.

Задание 9. Текстовые задачи на движение по прямой и окружности, на движение по воде, на проценты и сплавы, на совместную работу и прогрессии.

Разбор всех типов задания номер 1 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 2 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 3 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 4 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 5 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 6 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 7 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 8 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Разбор всех типов задания номер 9 из ЕГЭ (профильный уровень) по математике

Источник

Сезон 1. Серия 5. Задание 13. Тригонометрические уравнения. Тригонометрический круг

2018-04-09 14:47

В данном видео мы

✔️ разберем основные стандартные (элементарные) тригонометрические уравнения,
✔️ вспомним таблицу синусов и косинусов основных углов,

✔️ покажем, как работать с тригонометрическим кругом.

✔️ Завершим видео разбором 13-ой задачи (пункт а) из ЕГЭ по математике.

Производная для ЕГЭ за 10 минут

2019-01-04 02:38

Вебинар 4. Параметр. Иррациональные и модульные уравнения, неравенства

2019-01-04 01:47

На вебинаре разберём как
решать иррациональные уравнения и неравенства, а также с модулем. Эти задания
нечасто встречаются в других разделах ЕГЭ, поэтому им обычно посвящается мало
внимания, а для задания 18 они очень важны. Также разберём одно задание с
параметром, решающееся алгебраическим способом.

Вебинар 6. Теория вероятностей. ЕГЭ — 2019 по математике, профиль. Задание №4

2019-01-04 02:39

2:00 Классическое определение вероятности 
23:17 Определение совместных и несовместных событий 
45:25 Независимые события
51:50 Разбор задачи №4 из ЕГЭ про батарейки 
1:04:17 Парадокс Монти Холла 

Группа марафона: 

https://vk.com/shkolkovo.marathon

Вступить в марафон по подготовке к ОММО и ЕГЭ
можно написав администратору: https://vk.com/olya_haha

Вебинар 5. Параметр. Корни и модули в параметре. Алгебраический метод

2019-01-04 01:50

На прошлом занятии мы с
вами изучали иррациональные и модульные уравнения и неравенства. Учитывая это,
сегодня мы порешаем задачи с параметром, в которых эти знания нужно
использовать.

Вебинар 7. Метод интервалов. Показательные неравенства. ЕГЭ по математике, профиль. Задание №15

2019-01-04 02:43

4:23 Разложение на множители квадратного трехчлена 
10:35 Разложение на множители кубического многочлена 
18:46 Метод интервалов 
45:15 Задание №1. Применение метода интервалов 
1:05:12 Решение показательного неравенства из ЕГЭ 2017 

Группа марафона: 

https://vk.com/shkolkovo.marathon

 Вступить в марафон по подготовке к ОММО и ЕГЭ
можно написав администратору: https://vk.com/olya_haha

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 86.9%
Ответом к заданию 4 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение

Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.

Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 — 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 — 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 — 0.28 = 0.72.

Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.

Ответ: 0.252

Задача 2

Биатлонист Алексей Антонов пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$. Найдите вероятность того, что биатлонист Алексей Антонов один раз попал по мишени, а четыре — промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Вероятность промахнуться при одном выстреле равна $1 — 0.7 = 0.3$. Обозначим события.

1. $A_1$ — «Алексей попал по мишени при первом выстреле».

2. $A_2$ — «Алексей попал по мишени при втором выстреле».

3. $A_3$ — «Алексей попал по мишени при третьем выстреле».

4. $A_4$ — «Алексей попал по мишени при четвёртом выстреле».

5. $A_5$ — «Алексей попал по мишени при пятом выстреле».

События ${A_1}↖{-}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$ — означают, что Алексей промахнулся при соответствующем выстреле.

Событие «Алексей Антонов первый раз попал по мишени, а последние четыре промахнулся» означает одновременное наступление (пересечение) независимых событий ${A_1}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$.

$P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P (A_1) · P ({A_2}↖{-}) · P ({A_3}↖{-}) · P ({A_4}↖{-}) · P ({A_5}↖{-}) = 0.7 · 0.3 · 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.00567$.

По условию Алексей мог попасть единожды, но это попадание могло прийтись на любой из пяти выстрелов, не обязательно на первый.

Тогда, аналогично, $P ({A_1}↖{-} ∩ A_2 ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-}∩ {A_2}↖{-} ∩ A_3 ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) =$

$= P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ A_4 ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ A_5) =$

$= P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = (0.3)^4 · 0.7 = 0.00567$.

Следовательно, искомая вероятность равна $0.00567 · 5 = 0.02835 ≈0.03$.

Ответ: 0.03

Задача 3

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Ветерок» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}3$.

Решение

Вероятность ничьей в каждой игре равна 1 — 0.3 — 0.3 = 0.4 (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Ветерок» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев.

1. «Ветерок» выиграет обе игры. Вероятность этого равна 0.3 · 0.3 = 0.09.

2. «Ветерок» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна 0.3 · 0.4 = 0.12.

3. «Ветерок» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна 0.4 · 0.3 = 0.12.

Искомая вероятность равна 0.09 + 0.12 + 0.12 = 0.33.

Ответ: 0.33

Задача 4

Помещение торгового дома «Светлый» освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0{,}6$. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Найдём вероятность события «перегорели обе лампы», а затем искомую вероятность.

Вероятность события «перегорела первая лампа» равна вероятности события «перегорела вторая лампа» и равна 0.6. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступили оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.6 · 0.6 = 0.36. Это вероятность события «перегорели обе лампы».

События «перегорели обе лампы» и «хотя бы одна лампа не перегорела» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы одна лампа не перегорела» равна 1 — 0.36 = 0.64.

Ответ: 0.64

Задача 5

В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение

Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.

Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».

События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 — 0.01 = 0.99.

Ответ: 0.99

Задача 6

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}72$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}6$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна $0{,}72$, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна $0{,}6$. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна $0{,}72⋅ 0{,}6=0{,}432$.

Ответ: 0.432

Задача 7

На железнодорожном вокзале $3$ кассира. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}2$ независимо от других кассиров. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три кассира заняты одновременно.

Решение

События «первый кассир занят», «второй кассир занят» и «третий кассир занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.2 · 0.2 · 0.2 = 0.008.

Ответ: 0.008

Задача 8

В магазине сантехники три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}7$ независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.

Решение

События «первый продавец занят», «второй продавец занят» и «третий продавец занят» по условию независимы.

Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий

То есть равна $0.7 · 0.7 · 0.7 = 0.343$

Ответ: 0.343

Задача 9

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Заметим, что из событий «чайник прослужит меньше года», «чайник прослужит от 1 до 2 лет» и «чайник прослужит больше двух лет» произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение — достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

При этом события «чайник прослужит меньше года» и «чайник прослужит больше года» противоположны, поэтому вероятность события «чайник прослужит меньше года» равна 1 — 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.

Событие Прослужит меньше года Прослужит от 1 до 2 лет Прослужит больше двух лет
Вероятность 0.07 ? 0.84

Отсюда искомая вероятность равна 1 — 0.07 — 0.84 = 0.09.

Ответ: 0.09

Задача 10

На экзамене по биологии студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Млекопитающие», равна $0{,}36$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Бактерии», равна $0{,}18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Из условия следует, что события A = «достанется вопрос по теме Млекопитающие» и B = «достанется вопрос по теме Бактерии» несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие «достанется вопрос по одной из этих двух тем» — это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.36 + 0.18 = 0.54.

Ответ: 0.54

Задача 11

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.2$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) — P (A B)$.

$P (A + B) = 0.2 + 0.2 — 0.09 = 0.31$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 — 0.31 = 0.69$.

Ответ: 0.69

Задача 12

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Задача 13

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Рекомендуемые курсы подготовки

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Задание 4 егэ английский устная часть примеры ответов 2022
  • Задание 4 егэ английский устная часть 2023 примеры заданий
  • Задание 4 егэ 2019 орфоэпические нормы практикум ответы
  • Задание 38 егэ английский 2023 примеры ответов
  • Задание 38 егэ английский 2023 варианты