Задание 5 егэ по математике профильный уровень тригонометрические уравнения - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Тригонометрические уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 12 № 507595

а)  Решите уравнение

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Аналоги к заданию № 507595: 500917 501709 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 12 № 510018

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 12 № 504543

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Аналоги к заданию № 504543: 504564 507292 510671 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 12 № 500366

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Аналоги к заданию № 500366: 500587 501482 514505 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

4 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 12 № 509579

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Аналоги к заданию № 509579: 509926 509947 509968 515762 519665 Все

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №5. Тригонометрические уравнения

ЕГЭ Профиль №5. Тригонометрические уравненияadmin2018-10-27T22:35:27+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Источник

ЕГЭ (ПУ-5) Тригонометрические уравнения. Тренировочные задания.
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему

Задания открытого банка ЕГЭ по математике. Профильный уровень.

Скачать:

Вложение	Размер
1.2_ege_profil_zadanie_5._trigonometricheskie_uravneniya._trenirovochnye_zadaniya.doc	198.5 КБ

Предварительный просмотр:

ЕГЭ (профиль) Задание 5. Тригон. ур-ния.(Тренировочные задания.)

1. Решите уравнение. В ответе запишите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень:

ЕГЭ (профиль) Задание 5. Тригон. ур-ния.(Тренировочные задания.)

1. Решите уравнение. в ответе запишите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень:

ЕГЭ (профиль) Задание 5. Тригон. ур-ния.(Тренировочные задания.)

1. Решите уравнение. в ответе запишите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень:

ЕГЭ (профиль) Задание 5. Тригон. ур-ния.(Тренировочные задания.)

1. Решите уравнение. в ответе запишите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Неполные квадратные уравнения, тренировочные задания

Данная презентация может быть полезна при подготовке учащихся 9 классов К КДР и ГИА.

Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Разобраны свойства функции sinx. Приведено решение уравнения sinx=a. Разобраны 4 примера.

Тематический тренажер для подготовки к ГИА в 2014 г. по математике 9 класс. Тематические тренировочные задания. Отработка заданий: модуль «Алгебра» Тема№2 «Решение линейных уравнений»

Представляю вашему вниманию очередной тематический тренажер для подготовки к ГИА в 2014г по алгебре по теме «Решение линейных уравнений». Подобраны упражнения, которые соответствуют типовым заданиям К.

Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.

Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.

Тренировочные задания по теме:»Тригонометрические функции»

Тренировочные задания на вычисление значений тригонометрических функций.

ЕГЭ (ПУ-9) Тригонометрические тождества. Тренировочные задания.

Задания Открытого банка ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;,3pi right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0, cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;, 3pi right].

x_1=fracpi 4+2pi =frac<9pi >4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac<7pi >3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac<5pi >3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac<5pi >3, frac<7pi >3, frac<9pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right] ;

Решение

а) ОДЗ: begin tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. endright.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi <12>+frac<pi n>2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; x=frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right].

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac<7pi >2;,frac<9pi >2right].

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_<1,2>=frac<1pmsqrt 9>4=frac<1pm3>4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac<2pi >3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac<11pi >3, x_2=4pi , x_3 =frac<13pi >3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac<11pi >3, 4pi , frac<13pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac<11+5ctgleft( dfrac<3pi >2-xright) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac<3pi >2right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac<3pi >2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что frac<11+5tgx><1+tgx>= frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac<6><1+tgx>. Отсюда cos x =frac<dfrac65><1+tgx>, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac<3sqrt 2>5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5 и b=fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что left( frac<3sqrt 2>5right) ^2=frac<18> <25>значит frac<3sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда fracpi 4+0

Аналогично, -fracpi 4

0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac<3sqrt 2>5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac<3sqrt 2>5Bigg). При этом -2pi

-2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac<3pi >2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac<7pi >2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac<3sqrt2>5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac<7pi>4pm arccosfrac<3sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x+2 sin x cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

x=(-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac<3pi ><2>; -frac<pi >2 right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1<1+cos 2x>=frac 1<1+cos (pi +x)>, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x , получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac<3pi >2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi

3) -frac<3pi >2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z.

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant frac13+2m leqslant -frac12 -frac<11>6 leqslant 2m leqslant -frac56 , -frac<11> <12>leqslant m leqslant -frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac<11><12>;-frac5<12>right] .

2) -frac <3pi>2 leqslant -frac<pi >3+2pi n leqslant -frac<pi ><2>, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1<6>, -frac7 <12>leqslant n leqslant -frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7 <12>; -frac1 <12>right].

3) -frac<3pi >2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac<pi >2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

Решение тригонометрического уравнения. Задание 5

В этой статье я покажу решение тригонометрического уравнения из Задания 5:

Задание 5 (№ 12889)

Найдите корень уравнения . В ответе укажите наибольший отрицательный корень.

Рекомендую вам сначала вспомнить, как решаются простейшие тригонометрические уравнения, затем попробовать решить задачу самостоятельно и сверить свое решение с ВИДЕОУРОКОМ:

И еще одно видео на эту тему:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

источники:

http://academyege.ru/theme/trigonometricheskie-uravneniya-3.html

http://ege-ok.ru/2012/05/22/reshenie-trigonometricheskogo-uravneniya-zadanie-5

Источник

Решение

frac{pi(x+5)}{6}=pmfrac{pi}{3}+2pi k, kin mathbb{Z}.

а) frac{pi(x+5)}{6}=frac{pi}{3}+2pi k, frac{x+5}{6}=frac13+2k, x+5=2+12k, x=-3+12k.

Наибольший отрицательный корень данного вида x=-3.

б) frac{pi(x+5)}{6}=-frac{pi}{3}+2pi k , frac{x+5}{6}=-frac13+2k, x+5=-2+12k, x=-7+12k.

Наибольший отрицательный корень данного вида x=-7.

Значит, наибольший отрицательный корень уравнения x=-3.

Ответ

-3

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Источник

: ЕГЭ по математике профиль

Задание 5 профильного уровня ЕГЭ, а также задач 4 и 7 базового уровня ЕГЭ представляет собой несложное показательное, логарифмическое, дробно-рациональное или иррациональное уравнение базового уровня, которое в одно-два действия сводится к линейному или квадратному уравнению, или тригонометрическое уравнение.

Если уравнение сводится к квадратному, то в условии задаётся дополнительное ограничение для отбора корня. В случае логарифмического или иррационального уравнения один из корней может быть отброшен как посторонний без дополнительного ограничения.

→ скачать конспект (простейшие уравнения)

Автор: Алькаева Л. Р.

Практический материал:

→ задание 5 из банка ФИПИ

→ задание 5 — тригонометрические уравнения

→ задание 5 — логарифмические уравнения

→ задание 5 — показательные уравнения

→ задание 5 — иррациональные уравнения

→ задание 5 — линейные, дробно-рациональные, квадратные уравнения

При решении уравнений встретятся ловушки и «подводные камни». Список тем, которые нужно повторить:

— Квадратные уравнения
— Арифметический квадратный корень
— Корни и степени
— Показательная функция
— Показательные уравнения
— Логарифмическая функция
— Логарифмические уравнения
— Тригонометрический круг
— Формулы приведения
— Формулы тригонометрии
— Простейшие тригонометрические уравнения

Связанные страницы:

Источник

1.	Линейное уравнение Сложность: лёгкое	1
2.	Линейное уравнение с дробными коэффициентами Сложность: лёгкое	1
3.	Наименьший корень Сложность: лёгкое	1
4.	Наибольший корень Сложность: лёгкое	1
5.	Полное квадратное уравнение Сложность: среднее	2
6.	Квадратное уравнение (ФСУ) Сложность: среднее	2
7.	Квадратное уравнение 2 (ФСУ) Сложность: среднее	2
8.	Квадратное уравнение (квадрат разности) Сложность: среднее	2
9.	Квадратное уравнение (неполное) Сложность: среднее	2
10.	Кубическое уравнение Сложность: среднее	2
11.	Неполное квадратное уравнение Сложность: среднее	2
12.	Логарифмическое уравнение 1 Сложность: среднее	2
13.	Логарифмическое уравнение 2 Сложность: среднее	2
14.	Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному 1 Сложность: среднее	2
15.	Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному 2 Сложность: среднее	2
16.	Сумма логарифмов (потенцирование) Сложность: среднее	2
17.	Сумма логарифмов Сложность: среднее	2
18.	Логарифмическое уравнение (определение) Сложность: среднее	2
19.	Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате) Сложность: среднее	2
20.	Логарифмическое уравнение Сложность: среднее	2
21.	Рациональное уравнение Сложность: среднее	2
22.	Дробно-рациональное уравнение 1 Сложность: среднее	2
23.	Дробно-рациональное уравнение 2 Сложность: среднее	2
24.	Дробно-рациональное уравнение 3 Сложность: среднее	2
25.	Дробно-рациональное уравнение 4 Сложность: среднее	2
26.	Дробно-рациональное уравнение 5 Сложность: среднее	2
27.	Иррациональное уравнение Сложность: сложное	3
28.	Иррациональное уравнение (дробное) Сложность: сложное	3
29.	Иррациональное уравнение (линейное) Сложность: сложное	3
30.	Распадающееся уравнение Сложность: сложное	3
31.	Разность логарифмов (потенцирование) Сложность: сложное	3
32.	Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (обыкновенная дробь) Сложность: сложное	3
33.	Логарифмическое уравнение (неизвестно основание) Сложность: сложное	3
34.	Логарифмическое уравнение, разность логарифмов Сложность: сложное	3
35.	Логарифмическое уравнение, квадрат в основании Сложность: сложное	3
36.	Логарифмическое уравнение, определение логарифма Сложность: сложное	3
37.	Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов) Сложность: сложное	3
38.	Показательное уравнение 1 Сложность: сложное	3
39.	Показательное уравнение 2 Сложность: сложное	3
40.	Показательное уравнение 3 Сложность: сложное	3
41.	Показательное уравнение с отрицательным показателем степени Сложность: сложное	3
42.	Свойства степени в показательном уравнении Сложность: сложное	3
43.	Тригонометрическое уравнение (тангенс) Сложность: сложное	3
44.	Тригонометрическое уравнение (синус) Сложность: сложное	3

Источник

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение $frac{6}{13}x^2=19frac{1}{2}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь $frac{6}{13}$ умножается на x^2. А в правой части — смешанное число $19frac{1}{2}.$ Его целая часть равна 19, а дробная часть равна $frac{1}{2}.$ Запишем это число в виде неправильной дроби:

$19frac{1}{2}= frac{19cdot 2+1}{2} = frac{39}{2}.$

Получим:

$frac{6}{13}x^2=frac{39}{2};$

$x^2=frac{39cdot 13}{2cdot 6}=frac{13cdot 3cdot 13}{2cdot 6}=frac{{13}^2}{4};$

$x=pm frac{13}{2};$

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: -6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: -6.

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как $frac{4x-5}{4x-5}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$frac{5x-3}{4x-5}-frac{4x-5}{4x-5}=0;$

$frac{x+2}{4x-5}=0;$

x= - 2.

Ответ: -2.

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

$sqrt{frac{6}{4{x}-54} } =frac{1}{7}.$

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$frac{6}{4{x}-{ 54}} =frac{1}{49}.$

Решим пропорцию:

Условие при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$left{begin{matrix} 72-x=x^2\72-xgeq 0 hfill \xgeq 0 hfill end{matrix}right.$ .

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

$sqrt{72-x}=x Leftrightarrow left{begin{matrix} 72-x=x^2\72-x geq 0 \x geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow$

Мы получили, что x=8 . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: x=8 или x=-9. Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

Ответ: 8.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов:

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение $5^{x-7}=frac{1}{125}.$

Вспомним, что $125 = 5{}^{3}.$ Уравнение приобретает вид: $5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}.$ Функция y = 5^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда x = 4.

Ответ: 4.

8. Решите уравнение ${left(frac{1}{49}right)}^{x-8}=7.$

Представим ${left(frac{1}{49}right)}^{ }$ как $7^{-2};$

${left(7^{-2}right)}^{x-8}=7;$

$7^{-2x+16}=7.$

Функция y = 7^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

x=7,5.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение $left(frac{1}{9} right)^{{ x}-13} =3.$

Представим ${textstylefrac{1}{9}}$ в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что $left({ a}^{{ m}} right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}.$

$left(3^{-2} right)^{{ x}-{ 13}} =3;$
$3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;$

Ответ: 12,5.

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел.

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

${{log}_5 left(4+xright)=2 }.$

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как ${{log}_5 25 }$ , чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

${{log}_5 left(4+xright)={{log}_5 25 } }.$

Функция $y = {{log}_5 x }$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

4+x=25;
x=21.

Ответ: 21.

11. Решите уравнение: ${{log}_8 left(x^2+xright)={{log}_8 left(x^2-4right) } }.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение: $2^{{{log}_4 left(4x+5right) }}=9.$

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

${{log}_4 b }=frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=frac{{{log}_2 b }}{2}.$

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

${{log}_{x-5} 49=2 }.$

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

$small left{begin{matrix} left ( x-5 right )^2=49\x-50 \x-5 neq 1 end{matrix}right..$

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: x=12 и x=-2.

Очевидно, корень x=-2 является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения: x=12.

Ответ: 12.

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: $cos frac{pi (x+1)}{4}=frac{sqrt{2}}{2}.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену $frac{pi left(x+1right)}{4}=t.$ Получим: $cos t=frac{sqrt{2}}{2}.$

Получаем решения: $t=pm frac{pi }{4}+2pi n, nin Z.$ Вернемся к переменной x.

$frac{pi (x+1)}{4}=pm frac{pi }{4}+2pi n, nin Z.$ Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

$left[ begin{array}{c}x=8n, nin Z \x=-2+8n end{array}right..$

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это x = -2.

Ответ: -2.

15. Решите уравнение: $tg frac{pi left( x+1right)}{4}= -1.$ В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену $frac{pi left(x+1right)}{4}=t.$ Получим: tgt=-1. Решения этого уравнения:

$t=-frac{pi }{4}+pi n, nin Z.$ Вернемся к переменной х:

$frac{pi left(x+1right)}{4}=-frac{pi }{4}+pi n, n in Z.$ Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на .

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень x = 2.

Ответ: 2.

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

ЕГЭ Профиль №5. Тригонометрические уравнения

ЕГЭ (ПУ-5) Тригонометрические уравнения. Тренировочные задания. учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Неполные квадратные уравнения, тренировочные задания

Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.

Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.

Тренировочные задания по теме:»Тригонометрические функции»

ЕГЭ (ПУ-9) Тригонометрические тождества. Тренировочные задания.

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Задание №1179

Условие

Решение

Ответ

Задание №1178

Условие

Решение

Ответ

Задание №1177

Условие

Решение

Ответ

Задание №1176

Условие

Решение

Ответ

Задание №1175

Условие

Решение

Ответ

Задание №1174

Условие

Решение

Ответ

Решение тригонометрического уравнения. Задание 5

Решение

Ответ

ЕГЭ (ПУ-5) Тригонометрические уравнения. Тренировочные задания.
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему