Задание 5 профильного егэ по математике логарифмические уравнения

Skip to content

ЕГЭ Профиль №5. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Профиль №5. Логарифмические уравненияadmin2022-11-29T22:11:41+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №5. Логарифмические уравнения

Задача 1. Найдите корень уравнения    ({log _2}left( { — 5 — x} right) = 1.)

Ответ

ОТВЕТ: — 7.

Решение

({log _2}left( { — 5 — x} right) = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,, — 5 — x = 2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x =  — 7.)

Ответ: – 7.
Задача 2. Найдите корень уравнения     ({log _5}left( {4 + x} right) = 2.)

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Решение

({log _5}left( {4 + x} right) = 2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,4 + x = {5^2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 21.)

Ответ: 21.
Задача 3. Найдите корень уравнения     ({log _{10}}left( {3 — x} right) = {log _{10}}2.)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

({log _{10}}left( {3 — x} right) = {log _{10}}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,3 — x = 2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 1.)

Ответ: 1.
Задача 4. Найдите корень уравнения    ({log _5}left( {9 + x} right) = {log _5}7.)

Ответ

ОТВЕТ: — 2.

Решение

({log _5}left( {9 + x} right) = {log _5}7,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,9 + x = 7,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — 2.)

Ответ: – 2.
Задача 5. Найдите корень уравнения    ({log _4}left( {3 + x} right) = log {}_4left( {4x — 15} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

({log _4}left( {3 + x} right) = {log _4}left( {4x — 15} right),,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 + x = 4x — 15}\{3 + x > 0,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 6,,,}\{x >  — 3}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 6.)

Ответ: 6.
Задача 6. Найдите корень уравнения   ({log _{frac{1}{8}}}left( {13 — x} right) =  — 2.)

Ответ

ОТВЕТ: — 51.

Решение

({log _{frac{1}{8}}}left( {13 — x} right) =  — 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,13 — x = {left( {frac{1}{8}} right)^{ — 2}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,13 — x = 64,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x =  — 51.)

Ответ: – 51.
Задача 7. Найдите корень уравнения    ({log _2}left( {12 — 6x} right) = 3{log _2}3.)

Ответ

ОТВЕТ: — 2,5.

Решение

({log _2}left( {12 — 6x} right) = 3{log _2}3,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{log _2}left( {12 — 6x} right) = {log _2}{3^3},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,12 — 6x = 27,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x =  — 2,5.)

Ответ: – 2,5.
Задача 8. Решите уравнение    ({log _7}left( {{x^2} + 5x} right) = {log _7}left( {{x^2} + 6} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 1,2.

Решение

({log _7}left( {{x^2} + 5x} right) = {log _7}left( {{x^2} + 6} right),,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 5x = {x^2} + 6}\{{x^2} + 6 > 0,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,2}\{x, in ,,R}end{array}} right.,,,,, Rightarrow ,,,,,x = 1,2.)

Ответ: 1,2.
Задача 9. Решите уравнение    ({log _4}left( {6 + 5x} right) = {log _4}left( {3 + x} right) + 1.)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

({log _4}left( {6 + 5x} right) = {log _4}left( {3 + x} right) + 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{log _4}left( {6 + 5x} right) = {log _4}left( {3 + x} right) + {log _4}4,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,{log _4}left( {6 + 5x} right) = {log _4}left( {4 cdot left( {3 + x} right)} right),,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 + x > 0,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{6 + 5x = 12 + 4x}end{array}} right.;,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x >  — 3}\{x = 6,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 6.)

Ответ: 6.
Задача 10. Решите уравнение    ({log _{x + 6}}32 = 5.)    Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ

ОТВЕТ: — 4.

Решение

({log _{x + 6}}32 = 5,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{{left( {x + 6} right)}^5} = 32}\{x + 6 > 0,,,,,,,,,,}\{x + 6 ne 1,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{{left( {x + 6} right)}^5} = {2^5}}\{x + 6 > 0,,,,,,,,}\{x + 6 ne 1,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x + 6 = 2}\{x + 6 > 0}\{x + 6 ne 1}end{array},,,,,, Leftrightarrow } right.,,,,,,,,x + 6 = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — 4.)

Ответ: – 4.
Задача 11. Найдите корень уравнения    ({log _8}{2^{8x — 4}} = 4.)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

({log _8}{2^{8x — 4}} = 4,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{log _{{2^3}}}{2^{8x — 4}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{8x — 4}}{3} = 4,,,,, Leftrightarrow ,,,,,8x — 4 = 12,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 2.)

Ответ: 2.
Задача 12. Найдите корень уравнения  ({3^{{{log }_9}left( {5x — 5} right)}} = 5).

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

({3^{{{log }_9}left( {5x — 5} right)}} = 5,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{3^{{{log }_9}left( {5x — 5} right)}} = {3^{{{log }_3}5}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{log _9}left( {5x — 5} right) = {log _3}5,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,{log _9}left( {5x — 5} right) = {log _{{3^2}}}{5^2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{log _9}left( {5x — 5} right) = {log _9}25,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,5x — 5 = 25,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 6.)

Ответ: 6.

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Логарифмические уравнения»

Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов

Задание №887

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения 5^{log_{25}(10x-8)}=8.

Показать решение

Решение

Найдем ОДЗ: 10x-8>0.

5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},

log_{25}(10x-8)=log_58,

log_{5^2}(10x-8)=log_58,

frac12log_5(10x-8)=log_58,

log_5(10x-8)=2log_58,

log_5(10x-8)=log_58^2,

10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.

10x=72,

x=7,2.

Ответ

7,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №885

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).

Показать решение

Решение

28+4x=18-x,

5x=-10,

x=-2.

Сделаем проверку.

log_3(28+4cdot(-2))=log_3(18-(-2)),

log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.

Ответ

-2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №288

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение

Решение

Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.

Так как 2=log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и xneq8, то получаем уравнение log_{x-7}81=log_{x-7}(x-7)^2.

Поэтому (x-7)^2=81,

x-7=pm9,

x_1=16,

x_2=-2.

x_2=-2 решением не является, так как x>7.

Ответ

16

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №287

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_3(12-x)=4.

Показать решение

Решение

Так как 4=log_33^4=log_381, то log_3(12-x)=log_381,

12-x=81,

x=-69.

Ответ

-69

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №286

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.

Показать решение

Решение

log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,

log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),

log_6(5x+27)=log_6(18+6x),

5x+27=18+6x,

x=9.

Проверка:

log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,

log_672=log_612+1,

log_672=log_672.

x=9 — корень уравнения.

Ответ

9

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №284

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_{14}(x-3)=log_{14}(8x-31).

Показать решение

Решение

x-3=8x-31,

7x=28,

x=4.

Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.

Ответ

4

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №34

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_42^{2x+5}=4.

Показать решение

Решение

Воспользуемся формулой: 

log_{a}b=x Leftrightarrow a^x=b

Значит:

log_{4}2^{2x+5}=log_{4}256

2^{2x+5}=256

2^{2x+5}=2^8

2x+5=8

2x=3

x=frac{3}{2}=1,5

Ответ

1,5

Задание №33

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_4(2-x)=log_{16}25.

Показать решение

Решение

Воспользуемся формулой: 

log_{a^k}x=frac{1}{k}log_{a}x, kneq 0

Получим:

log_{4}(2-x)=log_{4^2}25

log_{4}(2-x)=frac{1}{2}log_{4}25

2log_{4}(2-x)=log_{4}25

log_{4}(2-x)^2=log_{4}25

(2-x)^2=25

|2-x|=5

2-x=5

x=-3

Ответ

-3

Задание №26

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_7(9-x)=3log_73.

Показать решение

Решение

Выполним преобразования:

log_7(9-x)=log_73^3

Раскроем знак логарифма:

9-x=3^3

9-x=27

-x=27-9

x=-18

Ответ

-18

Задание №25

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_2(7-x)=5.

Показать решение

Решение

Раскроем знак логарифма по формуле

log_ab=c Leftrightarrow b=a^c

и выполним преобразования:

7-x=2^5

7-x=32

-x=32-7

x=-25

Ответ

-25

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

                    Проверочная работа по математике.

          Тема: «Решение логарифмических  уравнений».         Задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ(http://mathege.ru/)

Задание В5 в ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Данная разработка посвящена одному из разделов задания В5 – это решение логарифмических уравнений.

 Основной задачей является:

— проверка качества знаний и умений учащихся;

-повышение вычислительной культуры учащихся

Представленная проверочная работа состоит из 4вариантов, в каждом из которых по 13 заданий. Задания  данной работы соответствуют прототипам заданий В5 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Данный материал  можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Для удобства проверки приведены ответы

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант1

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5из открытого банка заданий ЕГЭ вариант2

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант3.

Тест по логарифмическим уравнениям, задания  В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант4

Ответы к проверочной работе

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1 вариант

-57

0

5

-7

16

-68

-0,2

6

-2

-1

3

5,5

10

2 вариант

-33

29

9

3

6

-11

-21

1

8

7

3

2,2

1

3 вариант

-57

125

1

-4

4

-14

0,2

2,75

-0,4

12

-4

1,5

-2

4 вариант

-5

29

-1

-13

5

-51

-10,5

-4

0,8

1

6

4,5

399
Источник
ЕГЭ по математике профиль

Задание 5 профильного уровня ЕГЭ, а также задач 4 и 7 базового уровня ЕГЭ представляет собой несложное показательное, логарифмическое, дробно-рациональное или иррациональное уравнение базового уровня, которое в одно-два действия сводится к линейному или квадратному уравнению, или тригонометрическое уравнение.

Если уравнение сводится к квадратному, то в условии задаётся дополнительное ограничение для отбора корня. В случае логарифмического или иррационального уравнения один из корней может быть отброшен как посторонний без дополнительного ограничения.

→ скачать конспект (простейшие уравнения)

Автор: Алькаева Л. Р.

Практический материал:

→ задание 5 из банка ФИПИ

→ задание 5 — тригонометрические уравнения

→ задание 5 — логарифмические уравнения

→ задание 5 — показательные уравнения

→ задание 5 — иррациональные уравнения

→ задание 5 — линейные, дробно-рациональные, квадратные уравнения

При решении уравнений встретятся ловушки и «подводные камни». Список тем, которые нужно повторить:

— Квадратные уравнения
— Арифметический квадратный корень
— Корни и степени
— Показательная функция
— Показательные уравнения
— Логарифмическая функция
— Логарифмические уравнения
— Тригонометрический круг
— Формулы приведения
— Формулы тригонометрии
— Простейшие тригонометрические уравнения

Связанные страницы:

Источник

5 июня 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Логарифмы в профильном ЕГЭ

На занятии рассмотрены задания, содержащие логарифмы.

№5 — простейшее логарифмическое уравнение;
№9 — логарифмическое выражение;
№12 — исследование на максимум/минимум, наибольшее/наименьшее значение функции;
№13 — логарифмическое уравнение;
№15 — логарифмическое неравенство.

Автор: Matesha Plus — Татьяна Колесникова.

Источник: youtube.com/c/MateshaPlus

Источник

Задание 971

Найдите корень уравнения $$3^{log_9 (5x-5)}=5$$

Ответ: 6

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$3^{log_9 (5x-5)}=5Leftrightarrow 3^{frac{1}{2}log_3 (5x-5)}=5 Leftrightarrow$$ $$ 3^{log_3 sqrt{5x-5}}=5Leftrightarrow sqrt{5x-5}=5 Leftrightarrow$$ $$ 5x-5=25Leftrightarrow x=6$$

Задание 1010

Найдите корень уравнения $$log _{2} (-x) + log _{2} (2-x) = 3$$ .Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.

Ответ: -2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

 $$log _{2} (-x) + log _{2} (2-x) = 3$$

$$-x > 0 ; 2 — x > 0 Leftrightarrow x<0$$

$$log _{2} ((-x) *(2-x)) = log _{2} 8$$

$$-2x+x^2=8$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$x_1=4 — не входит в ОДЗ ; x_2 =-2$$

Задание 3653

Найдите корень уравнения $$log_{0,5}(5-3x)=-5$$

Ответ: -9

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$log_{0,5}(5-3x)=-5$$

ОДЗ: $$5-3x>0$$

$$x<frac{5}{3}$$

$$5-3x=(0,5)^{-5}=2^{5}=32$$

$$-3x=32-5=27$$

$$x=-9$$

Задание 6607

Решите уравнение $$7*5^{log_{5} x}=x^{2}-30$$. Если корней несколько, то в ответе укажите меньший корень

Ответ: 10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

ОДЗ: x>0(1)

$$7*x=x^{2}-30Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x-30=0$$

$$left{begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\x_{1}x_{2}=-30end{matrix}right.Leftrightarrow$$ left{begin{matrix}x_{1}=10\x_{2}=-3notin (1)end{matrix}right.$$

Задание 7051

Найдите корень уравнения $$log_{0,5} (x+5)=log_{2} (x+5)$$

Ответ: -4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$log_{0,5}(x+5)=log_{2}(x+5)Leftrightarrow$$ $$log_{2^{-1}}(x+5)=log_{2}(x+5)Leftrightarrow$$ $$(-1)log_{2}(x+5)=log_{2}(x+5)Leftrightarrow$$ $$2log_{2}(x+5)=0Leftrightarrow$$ $$x+5=1Leftrightarrow$$ $$x=-4$$

Задание 7314

Найдите корень уравнения $$frac{1}{log_{4} (2x+1)}=-2$$

Ответ: -0,25

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$frac{1}{log_{4}(2x+1)}=-2Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}log_{4}(2x+1)=-frac{1}{2}\2x+1>0\2x+1neq 1end{matrix}right.$$$$Leftrightarrow$$ $$2x+1=4-frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$2x+1=frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$x=-0,25$$

Задание 9056

Найдите корень уравнения $$log_{2}(8-x)=2log_{2}(4+x)$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.

Ответ: -1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Задание 9139

Решите уравнение $$frac{log_{2}4}{x}=frac{3^{log_{3}x}}{2}$$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Задание 9939

Решите уравнение: $$log_{frac{1}{8}}x+5log_{4}x+log_{sqrt{2}}x=16frac{2}{3}$$

Ответ: 16

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Задание 10125

Решите уравнение $$log_{30-3cdot2^x}(2^x-3)^2=log_{2^x-2}(2^x-3)^2$$. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.

Ответ: 5

Скрыть

Задание 10159

Найдите произведение всех корней уравнения $$sqrt[3]{10+3x-x^2}cdotlg(7-x-x^2)=0$$

Ответ: 12

Скрыть

Задание 10478

Решите уравнение $$ln(frac{pi^{x}}{e^{x}}+2x-10)=x(ln pi-1)$$. Если корней больше одного, то в ответе запишите их сумму.

Ответ: 5

Задание 10488

Решите уравнение $$frac{5}{log_{2}x+3}+frac{4}{log_{2}x}=3$$. Если корней несколько, в ответе укажите их произведение.

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Задание 10567

Найдите произведение всех различных корней уравнения: $${{log }_3 x }-6cdot {{log }_x 9 }=3$$

Ответ: 27

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть
$${{log }_3 x }-6cdot {{log }_x 9 }=3;
Mleft(xright):left{ begin{array}{c}
x>0 \
xne 1 end{array}
right.$$
Учтем, что $${{log }_x 9 }=2cdot {{log }_x 3 }=frac{2}{{{log }_3 x }}$$; Замена: $${{log }_3 x }=y$$;

$$y-6cdot frac{2}{y}=3to frac{y^2-3cdot y-12}{y}=0to left{ begin{array}{c}
y_1+y_2=3 \
y_1cdot y_2=12 end{array}
right.$$ т.е. $${{log }_3 x_1+{{log }_3 x_2=3to {{log }_3 {(x}_1cdot x_2)=3to x_1cdot x_2=27 } } }$$

Задание 11266

Решить уравнение: $$frac{lg sqrt{x+11}-lg 2}{lg 8 -lg(x-1)}=-1$$

Ответ: 25

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Источник

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b.

При этом b> 0,;a> 0,;aneq 1.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

b> 0,;a> 0,;aneq 1.

Основное логарифмическое тождество:

a^{log _{a}b}=b,

log _{a}a^{c}=c.

Основные формулы для логарифмов:

log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

log _{a}left ( frac{b}{c}right )=log _{a}b-log _{a}c (Логарифм частного равен разности логарифмов)
log _{a}b^{m}=mlog_{a}b (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}

log _{a}b=frac{1}{log _{b}a} .

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: log _{5}left ( 15+x right )=log _{5}3

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: 15+x=3

x=-12.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение log _{a}b определено при b> 0,;a> 0,;aneq 1.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: log _{2}left ( 4-x right )=7

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде log _{2}2^{7}. Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: log _{5}left ( 5-x right )=2cdot log _{5}3

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

log _{5}left ( 5-x right )=log _{5}left ( 3^{2} right );

log _{5}left ( 5-x right )=log _{5}9;

5-x=9;

x=-4

4. Решите уравнение: log _{5}left ( 4+x right )=2

Область допустимых значений: 4+x> 0. Значит, x> -4.

Представим 2 в правой части уравнения как log _{5}25 — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

log _{5}left ( 4+x right )=log _{5}25

Функция y=log _{5}x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом x> -4.

4+x=25

x=21.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: log _{8}left ( x^{2}+x right )=log _{8}left ( x^{2}-4 right )

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

log _{8}left ( x^{2}+x right )=log _{8}left ( x^{2}-4 right )Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2}+x> 0\ x^{2}-4> 0\ x^{2}+x=x^{2}-4 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2}+x> 0\ x^{2}-4> 0\ x=-4 end{matrix}right.Leftrightarrow x=-4
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: 2^{log _{4}left ( 4x+5 right )}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

log _{4}b=frac{log _{2}b}{log _{2}4}=frac{log _{2}b}{2}

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

2^{log _{4}left ( 4x+5 right )}=9Leftrightarrow left{begin{matrix} 2^frac{{log _{2}left ( 4x+5 right )}}{2}=9\ 4x+5> 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} left (2^{log _{2}left ( 4x+5 right )} right )^{frac{1}{2}}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} left ( 4x+5 right )^{frac{1}{2}}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} sqrt{4x+5}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} 4x+5=81\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x=19\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: log _{x}x^{2}=log _{x}left ( 12-x right ).

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
left{begin{matrix} 12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 end{matrix}right.

Теперь можно «убрать» логарифмы.

x^{2}=12-x

x^{2}+x-12=0

x_{1}=3;;x_{2}=-4 — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие x> 0.

Ответ: x=3

8. Решите уравнение 6log _{8}^{2}x-5log _{8}x+1=0.

ОДЗ уравнения: x> 0

Сделаем замену log _{8}x=t. Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

6t^{2}-5t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} t=frac{1}{2}\ t=frac{1}{3} end{array} right.

Вернемся к переменной х:

left[ begin{array}{ccc} log _{8}x=frac{1}{2}\ log _{8}x=frac{1}{3} end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=8^{frac{1}{2}}\ x=8^{frac{1}{3}} end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=sqrt{8}\ x=2 end{array} right.

9.Решите уравнение:
1+log _{3}left ( x^{4}+25 right )=log _{sqrt{3}}sqrt{30x^{2}+12}

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине x^{4} прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

log _{3}3left ( x^{4}+25 right )=frac{1}{2}cdot 2cdot log _{3}left (30x^{2}+12 right )

left (30x^{2}+12 right )

«Отбрасываем» логарифмы.

3left ( x^{4}+25 right) = 30x^{2}+12

3 x^{4} - 30x^{2}+63=0

x^{4} - 10x^{2}+21=0

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения x^{2} и x^{4}. Сделаем замену x^{2}=t,;tgeq 0

t^{2}-10t+21=0

left[ begin{array}{ccc} t_{1}=3\ t_{2}=7 end{array} right.

Вернемся к переменной х. Получим:

x_{1}=sqrt{3},;x_{2}=-sqrt{3},;x_{3}=sqrt{7},;x_{4}=-sqrt{7} . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: sqrt{3},;-sqrt{3},;sqrt{7},;-sqrt{7}.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Задание 5 егэ по математике профильный уровень тригонометрические уравнения
  • Задание 5 егэ по математике профиль тригонометрические уравнения
  • Задание 5 егэ литература 2022 практика в новом формате с ответами
  • Задание 5 егэ литература 2022 клише
  • Задание 5 егэ биология 25313