Задание 6 профильного егэ по математике вписанные окружности

Каталог заданий.
Вписанные окружности


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Тип 1 № 27624

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Аналоги к заданию № 27624: 56807 56809 56811 56813 56815 56817 56819 56821 56823 56825 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника, 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

2

Тип 1 № 27625

Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

Аналоги к заданию № 27625: 56857 56859 56861 56863 56865 56867 56869 56871 56873 56875 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

3

Тип 1 № 27640

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Аналоги к заданию № 27640: 57407 512328 512370 57409 57411 57413 57415 57417 57419 57421 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.4 Окружность и круг, 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

4

Тип 1 № 27907

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Аналоги к заданию № 27907: 53121 53123 53125 53127 53129 53131 53133 53135 53137 53139 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника, 5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

5

Тип 1 № 27908

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Аналоги к заданию № 27908: 53171 53173 53175 53177 53179 53181 53183 53185 53187 53189 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника, 5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника, 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Теория к заданию 6 ЕГЭ профильной математики

ПЛАНИМЕТРИЯ. Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая. Вписанные и описанные окружности (теория к заданию 6 ЕГЭ профильной математики)

Учим и применяем формулы и теоремы.

Автор: Лариса Алькаева. Репетитор по математике

Из материала:

Отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хордой.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметром.

Центральный угол — угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Задание 6 профильного егэ по математике вписанные окружности

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра (p) на радиус вписанной окружности (r):

Площадь треугольника равна произведению ПЕРИМЕТРА на радиус!

Площадь треугольника равна произведению ПОЛУПЕРИМЕТРА на радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

Из формулы где p — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:

Задание №6 ЕГЭ по математике профильного уровня

Планиметрия. Углы.

Задание №6 профильного уровня ЕГЭ по математике — решение геометрических задач. В данном задании необходимо справиться с задачей по планиметрии на определение углов.

Теория к заданию №6

Центральный и вписанный углы:

Разбор типовых вариантов заданий №6 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Алгоритм решения:
  1. Выполняем рисунок.
  2. Определяем

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Решение:

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Алгоритм решения:
  1. Устанавливаем подобие треугольников.
  2. Используем свойство площадей подобных треугольников.
  3. Записываем ответ.
Решение:

1. DE – средняя линия треугольника, следовательно, все стороны в треугольнике CDE меньше соответствующих сторон в треугольнике ABC. Это означает, что треугольники подобны, и коэффициент подобия равен 2.

2. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, следовательно, площадь треугольника CDE в раза меньше, чем площадь треугольника ABC. Имеем:

Третий вариант задания (из Ященко, №23)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 36°, угол CAD равен 52°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Алгоритм решения:
  1. Отмечаем на рисунке углы, которые ланы в задаче.
  2. Используем свойство вписанных углов.
  3. Находим угол АВС.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Отмечаем углы ABD и CAD на рисунке. Эти углы вписаны в окружность.

2. Воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: они равны градусной меры дуги, на которую опираются.

Тогда угол ABD, опирающийся на дугу AD. Градусная мера ее равна 36 0 ∙2=72 0 , второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой 52 0 ∙2=104 0 .

3. Дуга AC=AD+CD. Она имеет градусную меру: АС=72 0 +104 0 =176 0 , а угол АВС, который на нее опирается, определяется как половина величины дуги: 176 0 :2=88 0 .

Четвертый вариант задания (из Ященко, №10)

Угол АСВ равен 54°. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точек D и Е, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Алгоритм решения:
  1. Вычисляем угол BDA.
  2. Определяем величину угла ADC,
  3. Рассматриваем треугольник ADC, определяем искомый угол.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Вычислим угол BDA. Он вписан в окружность, опирается на дугу AB. Тогда по свойству вписанных углов, его градусная мера равна половине градусной величины дуги AB. Тогда .

2. Рассматриваем угол ADC. Он смежный с углом BDA, значит,

3. Рассматриваем треугольник ADC. В нем известны два угла. По свойству суммы углов треугольника третий угол DAC можно найти так:

Из рисунка видно, что угол DAC совпадает с углом DAE, следовательно, угол DAE тоже равен 15 0 .

источники:

http://ege.sdamgia.ru/test?theme=113

http://spadilo.ru/zadanie-6-ege-po-matematike-profilnyj/

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №3. Вписанные окружности

ЕГЭ Профиль №3. Вписанные окружностиadmin2022-08-01T15:24:06+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №3. Вписанные окружности

Задача 1. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 2. Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 24.
Задача 3. Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 4. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.

Ответ

ОТВЕТ: 22.
Задача 5. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 7. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 8. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 18.
Задача 9. Сторона правильного треугольника равна (sqrt 3 ). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен (frac{{sqrt 3 }}{6}). Найдите сторону этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 11. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 12. Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 13. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен (sqrt 3 ).

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной (sqrt 3 ).

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.
Задача 15. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны (2 + sqrt 2 ). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 16. В треугольнике ABC (AC = 4,;;BC = 3,) угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 17. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.
Задача 18. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 22.
Задача 19. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 20. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 21. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 22. В четырехугольник ABCD вписана окружность, (AB = 10,;;CD = 16.) Найдите периметр четырехугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 52.
Задача 23. В четырехугольник ABCD вписана окружность, (AB = 10,) (BC = 11) и (CD = 15.) Найдите четвертую сторону четырехугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 14.
Задача 24. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 24.
Задача 25. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите (rsqrt {10} ).

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 26. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Вписанная окружность»

Открытый банк заданий по теме вписанная окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Производная и первообразная функции

Задание №298

Тип задания: 6
Тема:
Вписанная окружность

Условие

Основание равнобедренного треугольника равно 12, а боковые стороны равны 10. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Окружность вписанная в равнобедренный треугольник

Показать решение

Решение

Известно, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, вычисляется по формуле r=frac{S}{p}, где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.

Треугольник с высотой

Пусть BH медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, тогда BH является высотой. По теореме Пифагора BH=sqrt{10^2-6^2}=sqrt{64}=8.

S=frac12 ah=frac12cdot12cdot8=48,

p=frac{10+10+12}{2}=16,

r=frac{48}{16}=3.

Ответ

3

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №53

Тип задания: 6
Тема:
Вписанная окружность

Условие

Окружность вписана в трапецию и имеет радиус 2. Найдите высоту трапеции.

Окружность вписанная в трапецию

Показать решение

Решение

Окружность вписанная в трапецию

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:

h=d=2r=4

Ответ

4

Задание №52

Тип задания: 6
Тема:
Вписанная окружность

Условие

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Стороны AB = 7, BC = 5, CD = 20. Найдите четвертую сторону четырехугольника AD.

Окружность вписанная в четырехугольник

Показать решение

Решение

Если в четырехугольник вписана окружность, значит сумма его противоположных сторон равна, т.е.:

AB + CD = AD + BC

Найдем сторону AD:

AD=AB+CD-BC=7+20-5=22

Ответ

22

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, BC = 15, tgA=0,75. Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

AC=frac{BC}{tgA}=frac{15}{0,75}=20.

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, , tgA=frac{9}{40}, , AC=20. Найдите AB.

По определению косинуса угла, cosA=frac{AC}{AB},AB=frac{AC}{{cos A}}.

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

{tg}^2angle { A+1=}frac{{ 1}}{{cos}^2angle { A}}.

Отсюда {cos}^2angle { A=}frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}angle {A=}frac{{ 40}}{{ 41}},AB=frac{20}{40}cdot 41=20,5.

Ответ: 20,5.

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен 122^circ . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен 122^circ. Тогда угол CBA равен 180^circ -122^circ =58^circ. Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^circ, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен 180^circ -58^circ -58^circ =64^circ.

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^circ. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, { S}vartriangle { =}frac{{1}}{{2}}{ a}cdot {b}cdot { sin}angle { C}. Получим:

S=frac{1}{2}cdot 10^2 cdot sin30^circ=25 см2.

Ответ: 25.

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^circ , угол B равен 58^circ, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

angle DCB=angle DBC=58^circ.

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^circ. Отсюда

angle ACD=90^circ -angle DCB=90^circ -58^circ =32^circ.

6. B остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65^circ. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^circ. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и angle DOC = 65^circ. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен 180^circ -65^circ =115^circ.

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^circ и 66^circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

angle MCH=angle C-angle ACM-angle BCH{ =90^circ -24^circ -}left({ 90^circ -66^circ }right){=42^circ }.

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^circ угол B равен 82^circ. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен 180^circ -60^circ -82^circ =38^circ.

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^circ и 19^circ.

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть 49^circ.

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен frac{1}{2}cdot (180^circ -x).

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

2x=frac{1}{2}cdot (180^circ -x).
Отсюда {x }= 36^circ.

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD  AB=3, AD=21, sinA=frac{6}{7}. Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

DH=ADsinA=21cdot frac{6}{7}=3cdot 6 =18.

Ответ: 18.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда S= a cdot h1 = b cdot h2, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна 40 : 5 = 8.

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b), его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен a^2 +b^2.

Получим: 2 (a+b) = 8, тогда a+b = 4,

ab = 3,5.

По формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Отсюда квадрат диагонали a^2+b^2=left ( a+b right )^2-2ab=4^2-2cdot 3,5 =16-7=9, и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, HG = EF = frac{5}{2}.

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны frac{5}{2}. Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен 4cdot frac{5}{2}=10.

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: AH=frac{AB-CD}{2}=frac{26-14}{2}=6.

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции DH=sqrt{AD^2-AH^2}=8.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=frac{left ( AB+CD right )cdot DH}{2}=160.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5.

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

OF=FC=frac{1}{2}DC,

OE=AE=frac{1}{2}AB.

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200^circ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это 360^circ. Из условия мы получим, что дуга ABC равна 360^circ - 200^circ = 160^circ. Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна 160^circ - 80^circ = 80^circ. Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 40^circ.

Ответ: 40.

19. Угол ACB равен. 3^circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124^circ. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен 124^circ, так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

angle DAC =62^circ - 3^circ =59^circ.

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32^circ. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^circ, и тогда угол ОBA равен 90^circ - 32^circ = 58^circ. Угол ОAB также равен 58^circ, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен 180^circ -58^circ cdot 2=64^circ.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна 64^circ.

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122^circ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна 360^circ, и тогда угол AОB равен 180^circ - 122^circ = 58^circ.

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна 58^circ.

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=pr=sqrt{pleft ( p-a right )left ( p-b right )left ( p-c right )}, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника S_{ABC}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=sqrt{16cdot 9}=12.

Тогда

r=frac{2cdot 12}{16}=frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна 3+ 3 = 6.

Периметр треугольника: p= 8 + 8 + 6 = 22.

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

Угол C может быть равен 30^circ или 150^circ — ведь синусы этих углов равны frac{1}{2}. Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен 30^circ.

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен 150^circ.

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в sqrt{2} раз больше катета. Получим:

newline r=frac{a+b-c}{2}=frac{2left(82+41sqrt{2}right)-sqrt{2}(82+41sqrt{2})}{2}= newline frac{164+82sqrt{2}-82sqrt{2}-82}{2}=frac{82}{2}=41.

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

AD+BC=AB+DC=10+16=26.
Тогда периметр четырехугольника равен AD+BC+AB+DC=26cdot 2=52.

Ответ: 52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен frac{1}{2}cdot left ( 145^circ + 71^circ right )=108^circ.

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^circ. Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, angle ABO=angle BAO=84^circ.

angle AOB=180^circ -angle ABO - angle BAO = 12^circ, , n=frac{360^circ}{angle AOB}=frac{360^circ}{12^circ}=30.

Ответ: 30.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Задание 2898

Точка О является центром окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Луч АО пересекает катет ВС в точке Е. Найдите гипотенузу АВ, если $$AC=6sqrt{3}$$ и $$angle B$$ в 4 раза больше, чем $$sqrt{EAC}$$.

Ответ: 12

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$AC=6sqrt{3}$$ $$angle B=4angle EAC$$

AO — биссектриса  $$angle A$$

$$Rightarrow angle CAE=x$$ $$Rightarrow angle A=2x$$; $$angle B=4x$$

$$2x+4x=90$$ $$Rightarrow x=15^{circ}$$ $$Rightarrow angle A=30^{circ}$$; $$angle B=60^{circ}$$

$$sin B=frac{AC}{AB}$$ $$Rightarrow AB=frac{AC}{sin B}=frac{6sqrt{3}}{frac{sqrt{3}}{2}}=12$$

Задание 3196

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Ответ: 24

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$S=pcdot r=8cdot3=24$$

Задание 3522

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 12, а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 6

Задание 3523

Около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, опи­сан мно­го­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 20. Най­ди­те его пло­щадь.

Ответ: 30

Задание 3524

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го равна 6.

Ответ: 2

Задание 3525

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен 6. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 18

Задание 3526

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$sqrt{3}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Ответ: 0,5

Задание 3527

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен $$frac{sqrt{3}}{6}$$. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1

Задание 3528

Сто­ро­на ромба равна 1, ост­рый угол равен $$30^{circ}$$. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти этого ромба.

Ответ: 0,25

Задание 3529

Ост­рый угол ромба равен 30°. Ра­ди­ус впи­сан­ной в этот ромб окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

Ответ: 8

Задание 3530

Най­ди­те сто­ро­ну пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен $$sqrt{3}$$.

Ответ: 2

Задание 3531

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник со сто­ро­ной $$sqrt{3}$$.

Ответ: 1,5

Задание 3532

Ка­те­ты рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны $$2+sqrt{2}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Ответ: 1

Задание 3533

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 1

Задание 3534

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5, ос­но­ва­ние равно 6. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 1,5

Источник

Задача 7. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 8). Найдите радиус окружности.
vpys_okr_032

Рис. 8.

Решение.
У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то есть
displaystyle BC+AD = DC+AB. Поэтому displaystyle AD+CB=frac{P}{2}=42:2=21.
Наибольшая боковая сторона CB = 12, отсюда AD = 21-12 = 9. Так как displaystyle ADperp AB, то MK = AD = 2R, где R — радиус вписанной окружности. Тогда R = 9 : 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
Задача 8. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36 (см. рис. 9). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
vpys_okr_034

Рис. 9.

По теореме синусов displaystyle frac{MP}{sin K}=2R, где R — радиус описанной около displaystyle bigtriangleup KMP окружности. Пусть MP = PK - 30, MK = 36. Проведём высоту PH (см. рис. 10). В равнобедренном треугольнике KMP высота PH является медианой, MH = HK = 18. Найдём PH по теореме Пифагора.
displaystyle PH=sqrt{PK^{2}-HK^{2}}=sqrt{30^{2}-18^{2}}=sqrt{576}=24.; sin K=frac{PH}{PK}=frac{24}{30}=0,8.
vpys_okr_036

Рис. 10.

displaystyle R=frac{MP}{2 cdot sin K}=frac{30}{0,8cdot 2}=18,75.
Ответ: 18,75.
Задача 9. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиусом 12, равен 30° (см. рис. 11). Найдите сторону AB этого треугольника.
Решение.
По теореме синусов для радиуса описанной окружности R выполняется displaystyle 2R=frac{AB}{sin C}.
displaystyle AB=2Rsin C=2cdot 12cdot sin 30^{circ}=2cdot 12cdot 0,5=12.
vpys_okr_038

Рис. 11.

Ответ: 12.
Задача 10. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 14. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, значит, гипотенуза — диаметр. Тогда гипотенуза равна 2 cdot 14 = 28.
Ответ: 28.
Задача 11. Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 80. Радиус описанной окружности равен 41 (см. рис. 12). Найдите высоту трапеции, если центр описанной окружности лежит внутри трапеции.
vpys_okr_040

Рис. 12.

Решение.
Проведём высоту HK через центр окружности O, H и K будут лежать на серединах оснований (см. рис. 13). displaystyle bigtriangleup AOK и displaystyle bigtriangleup DHO — прямоугольные, displaystyle HO^{2}=OD^{2}-DH^{2}=41^{2}-9^{2}=1600,; HO=40.; OK^{2}=AO^{2}-AK^{2}=41^{2}-40^{2}=81,; OK=9.
displaystyle HK=HO+OK=40+9=49.
vpys_okr_042

Рис. 13.

Ответ: 49.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Задание 6 лексические нормы в егэ по русскому языку
  • Задание 6 егэ литература сколько предложений
  • Задание 510013 математика егэ
  • Задание 500908 егэ математика
  • Задание 5 профильного егэ по математике логарифмические уравнения