Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д2 № 7549 
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Спрятать решение
Решение.
Заданная функция имеет максимумы в точках −3, 0, 3, 6 и минимумы в точках −1, 2, 5. Поэтому сумма точек экстремума равна −3 + 3 + 0 + 6 − 1 + 2 + 5 = 12.
Ответ: 12.
Аналоги к заданию № 27490: 7545 7549 7327 7329 7331 7333 7335 7337 7339 7341 … Все
Спрятать решение
·
Прототип задания
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Задание 2. Информатика. Апробация 10.03.2023
Миша заполнял таблицу истинности логической функции (F)
$$
(x to neg (y to z)) lor w,
$$
но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных (w), (x), (y), (z).
| F | ||||
| 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 0 | |||
| 0 | 1 | 0 |
Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных (w), (x), (y), (z).
В ответе напишите буквы (w), (x), (y), (z) в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Функция (F) задана выражением ( neg x lor y), зависящим от двух переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид:
В этом случае первому столбцу соответствует переменная (y), а второму — переменная (x). В ответе следует написать: (yx).
Решение:
Python
from itertools import permutations, product
def F(x, y, z, w):
return (x <= (not y <= z)) or w
for perm in permutations('xyzw'):
for a,b,c,d,e,f,g in product([0,1], repeat=7):
table = [[a,0,b,0,0],
[1,c,d,e,0],
[0,1,f,g,0]]
if table[0] == table[1]:
continue
if all(F(**dict(zip(perm,row))) == row[-1] for row in table):
print(*perm)
Ответ: (yzxw)
Физический смысл производной
1. Задание 7 № 119975
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
Ответ: 60
2. Задание 7 № 119976
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
Ответ: 20
3. Задание 7 № 119977
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.
Ответ: 59
4. Задание 7 № 119978
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Ответ: 8
5. Задание 7 № 119979
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Ответ: 7
6. Задание 7 № 501059
Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
Ответ: 6
Геометрический смысл производной, касательная
1. Задание 7 № 27489
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Ответ: 4
2. Задание 7 № 27501
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
Ответ: 5
3. Задание 7 № 27503
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: 2
4. Задание 7 № 510384
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: -0,25
5. Задание 7 № 510403
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: -0,5
6. Задание 7 № 510918
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
Ответ: 5
7. Задание 7 № 510938
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6.
Ответ: 7
8. Задание 7 № 27504
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: 0,25
9. Задание 7 № 27505
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: -2
10. Задание 7 № 27506
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: -0,25
11. Задание 7 № 40129
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f ‘(8).
Ответ: 1,25
12. Задание 7 № 40130
На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.
Ответ: 5
13. Задание 7 № 40131
На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Ответ: -3
14. Задание 7 № 27485
Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.
Ответ: 0,5
15. Задание 7 № 27486
Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.
Ответ: -1
16. Задание 7 № 119972
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Ответ: 0,125
17. Задание 7 № 119974
Прямая является касательной к графику функции Найдите
Ответ: 7
18. Задание 7 № 119973
Прямая является касательной к графику функции Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Ответ: -33
19. Задание 7 № 515183
На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.
Ответ: 5
20. Задание 7 № 525688
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x) = 6f(x) − 3x в точке x0.
Ответ: -7
21. Задание 7 № 525689
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции в точке x0.
Ответ: 3,6
22. Задание 7 № 525690
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции в точке x0.
Ответ: 42
Применение производной к исследованию функций
1. Задание 7 № 6429
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ: 14
2. Задание 7 № 27487
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Ответ: 4
3. Задание 7 № 27488
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ: 8
4. Задание 7 № 27490
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ: 44
5. Задание 7 № 27491
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?
Ответ: -3
6. Задание 7 № 27492
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ: -7
7. Задание 7 № 27494
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Ответ: 1
8. Задание 7 № 27495
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
Ответ: 1
9. Задание 7 № 27496
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Ответ: 5
10. Задание 7 № 27497
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ: -3
11. Задание 7 № 27498
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ: 18
12. Задание 7 № 27499
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 6
13. Задание 7 № 27500
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 6
14. Задание 7 № 27502
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Ответ: 4
15. Задание 7 № 119971
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ: 5
16. Задание 7 № 317541
На рисунке изображён график — производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
Ответ: 3
17. Задание 7 № 317542
На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: , В скольких из этих точек функция убывает?
Ответ: 5
18. Задание 7 № 317544
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ: 4
19. Задание 7 № 501188
На рисунке изображён график функции у = f‘(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
Ответ: 9
20. Задание 7 № 502067
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ: 3
21. Задание 7 № 505119
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Ответ: 3
22. Задание 7 № 508225
Функция определена на промежутке На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Ответ: -2
23. Задание 7 № 317539
На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , В скольких из этих точек производная функции положительна?
Ответ: 4
24. Задание 7 № 317540
На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Ответ: 7
25. Задание 7 № 317543
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ: -2
26. Задание 7 № 526007
На рисунке изображён график функции — производной функции определенной на интервале (−5; 5). Найдите точку минимума функции
Ответ: 4
Первообразная
1. Задание 7 № 323077
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
Ответ: 10
2. Задание 7 № 323078
На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Ответ: 7
3. Задание 7 № 323079
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 6
4. Задание 7 № 323080
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 4
5. Задание 7 № 500890
На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл
Ответ: 12
Блок 1. Физический смысл производной
| 1 | Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^3 — 9t^2 + 2t +30 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени её скорость была равна 50 м/с? | Смотреть видеоразбор |
| 2 | Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=−t^4+6t^3+5t+23, где x−расстояние от точки отсчета в метрах, t−время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с. | Смотреть видеоразбор |
Блок 2. Анализ графика функции, касательные
| 3 | На графике дифференцируемой функции у=f(x) отмечены семь точек: х1 ,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек. |
Смотреть видеоразбор |
| 4 | На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.  |
Смотреть видеоразбор |
| 5 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.  |
Смотреть видеоразбор |
| 6 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.  |
Смотреть видеоразбор |
| 7 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.  |
Смотреть видеоразбор |
| 8 | На рисунке изображен график функции y = f(x), одна из первообразных которой равна F(x). Найдите разность F(4) — F(-1). |
Смотреть видеоразбор |
| 9 | На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 10 | На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. |
Смотреть видеоразбор |
| 11 | На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1, проходит через начало координат. Найдите значение производной функции f(x) в точке -1.  |
Смотреть видеоразбор |
| 12 | На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной y=-2x-7. Найдите значение производной функции y=-frac{1}{4}f(x)+5x-3 в точке x0. |
Смотреть видеоразбор |
| 13 | На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. |
Смотреть видеоразбор |
| 14 | На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. |
Смотреть видеоразбор |
| 15 | На рисунке изображен график функции и шесть точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. В скольких из этих точек производная функции отрицательна? |
Смотреть видеоразбор |
| 16 | Функция f(x) определена на интервале (-4; 6). На рисунке изображен ее график. В скольких целых точках ее производная положительна? |
Смотреть видеоразбор |
Блок 3. Анализ графика производной
| 17 | На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1]. |
Смотреть видеоразбор |
| 18 | На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9]. |
Смотреть видеоразбор |
| 19 | На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение? |
Смотреть видеоразбор |
| 20 | На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] функция f(x) принимает наименьшее значение? |
Смотреть видеоразбор |
| 21 | На рисунке изображён график y = f′(x) производной функции f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1 , x2 , . . . , x6. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает? |
Смотреть видеоразбор |
| 22 | На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2; 15]. |
Смотреть видеоразбор |
| 23 | На рисунке изображен график производной функции f(x) и отмечены одиннадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?  |
Смотреть видеоразбор |
| 24 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.  |
Смотреть видеоразбор |
| 25 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-17; 2). Найдите число точек минимума функции y=f(x).  |
Смотреть видеоразбор |
| 26 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 4). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-3x-11 или совпадает с ней. |
Смотреть видеоразбор |
| 27 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество таких чисел x, что касательная к графику функции f(x) в точке x параллельна прямой y=2x-5 или совпадает с ней. |
Смотреть видеоразбор |
| 28 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -2] функция f(x) принимает наибольшее значение?  |
Смотреть видеоразбор |
| 29 | Функция f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую длину промежутка возрастания функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 30 | Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-5; 5]. На рисунке изображен график её производной. Найдите точку x, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) больше либо равна f(5).  |
Смотреть видеоразбор |
Блок 4. Задачи на производную без готовых графиков
| 31 | Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания. | Смотреть видеоразбор |
| 32 | Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x^2+6x-8. Найдите абсциссу точки касания. | Смотреть видеоразбор |
Блок 5. Первообразная, интеграл
| 33 | На рисунке изображен график функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-21x^2-144x-frac{11}{4} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. |
Смотреть видеоразбор |
| 34 | На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-5; 5].  |
Смотреть видеоразбор |
| 35 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислить F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 36 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите intlimits_{-7}^{-1} f(x)dx |
Смотреть видеоразбор |
| 37 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x) = x^3+30x^2+302x-frac{15}{8} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. |
Смотреть видеоразбор |
| 38 | На рисунке изображен график одной из первообразных некоторой функции, определенной на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите число корней уравнения на отрезке [-2;4]  |
Смотреть видеоразбор |
| 39 | На рисунке изображен график функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 40 | На рисунке изображен график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь графиком, определите число корней уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 4]. |
Смотреть видеоразбор |
| 41 | На рисунке изображен график функции y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [1; 4].  |
Смотреть видеоразбор |
| 42 | Значение первообразной F(x) функции f(x)=frac{7}{x} в точке 1 равно -11. Найдите F(e^2) | Смотреть видеоразбор |
Блок 6. Нестандартные задачи
- ЕГЭ по математике профиль
Прототипы задания №7 ЕГЭ по математике профильного уровня — задачи с прикладным содержанием. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.
Для успешного выполнения задания №7 необходимо уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Практика
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 2.1, 2.2
Уровень сложности задания — повышенный.
Максимальный балл за выполнение задания — 1
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 6
Связанные страницы:
Производная и первообразные функции
В задании №7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.
Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Алгоритм решения:
- Рассматриваем график функции.
- Ищем точки, в которых функция убывает.
- Подсчитываем их количество.
- Записываем ответ.
Решение:
1. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает.
2. В тех интелвалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения.
3. В этих интервалах лежат точки x3, x4, x5, x9. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Второй вариант задания (из Ященко, №4)
На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Алгоритм решения:
- Рассматриваем график функции.
- Рассматриваем поведение функции в каждой из точек и знак производной в них.
- Находим точки в наибольшим значением производной.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Функция имеет несколько промежутков убывания и возрастания.
2. Там, где функция убывает. Производная имеет знак минус. Такие точки есть среди указанных. Но на графике есть точки, в которых функция возрастает. В них производная положительная. Это точки с абсциссами -2 и 2.
3. Рассмотрим график в точках с х=-2 и х=2. В точке х=2 функция круче уходит вверх, значит касательная в этой точке имеет больший угловой коэффициент. Следовательно, в точке с абсциссой 2. Производная имеет наибольшее значение.
Ответ: 2.
Третий вариант задания (из Ященко, №21)
Прямая 
является касательной к графику функции 
. Найдите а.
Алгоритм решения:
- Приравняем уравнения касательной и функции.
- Упрощаем полученное равенство.
- Находим дискриминант.
- Определяем параметр а, при котором решение единственное.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:
2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:
3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.
4. Получаем:
Ответ: 4.