Задание 7 производная егэ теория - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x_0 .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке x_0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке x_0 образует тупой угол alpha с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла varphi , смежного с углом alpha .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку $alpha + varphi = 180^{circ}$ , имеем:

$tg alpha = tg(180^{circ} -varphi ) = - tg varphi = -0, 25.$

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой y=kx+b в точке x_0 .

При x= x_0 значения выражений и kx+b равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

$left{ begin{array}{c}fleft(xright)=kx+b \f^{$

$left{ begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \{3x}^2+14x+7=-4 end{array}right..$

Из второго уравнения находим x = -1 или $x=-frac{11}{3}.$ Первому уравнению удовлетворяет только x = -1 .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени t=3 получим:

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция f (x) возрастает.

Если , то функция f (x) убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции f { в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график y = f — производной функции f(x) , определённой на интервале (-6; 5) . В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке [-1;3] производная функции f(x) положительна.

Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции y= f(x) , определённой на интервале (-3; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

Прямая y=1 параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего одна! Это x=7.

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке x = -2. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, x= -2 является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x) , для которой f(x) является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку [-4; 4] , в которых производная функции F(x) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции F(x). На отрезке [-4; 4] таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

6 задача ЕГЭ – на понимание производной функции. Задание проверяет знание связи между графиком функции и значением ее производной в различных точках, и наоборот – графиком производной и возрастанием/убыванием функции на интервалах и в точках.

Хотя это задание относится к сложному разделу (математический анализ), само по себе оно довольно простое. Решается в одно действие и знать нужно немного — для решения большинства задач хватит информации написанной на этих двух картинках:

Более подробно об этом теме – рассказано в этих видео:

Что такое производная | Наглядное объяснение на графиках
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Геометрический смысл производной | Теория + разбор задач ЕГЭ

Задачи, которые были на экзамене за последние 10 лет

2011:

2012:

2013:

2014:

2015:

2016:

2017:

2018:

2019:

2020:

2021:

В открытом банке есть и другие типы заданий (на первообразную, физический смысл производной и условия касания), но в вариантах реальных ЕГЭ я таких задачи не нашла. Хотя это и не значит, что в будущем на ЕГЭ такого никогда не будет, так что лучше разберитесь и в них тоже. Вот примеры таких задач:

Процент выполнения

Сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на производные в разные годы:

Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году, набрал в задаче хотя бы 1 балл:

Какой вывод можно сделать? Шестую задачу решает примерно 6 человек из 10 и это третья задача по потерянным баллам (в первой части). Для меня это несколько удивительно, потому что 6 задача не требует большого количества знаний и решается в одно действие. В чем же может быть причина таких результатов?

Типичные ошибки

1. Перепутать производную и функцию

Многие начинают в этой задаче отвечать так будто перед ними график функции и выбирают точки – (x_1), (x_4), (x_7), (x_8). Хотя правильные точки (x_4), (x_5), (x_6) и ответ (3).

Вот, что авторы ЕГЭ написали в Методических рекомендациях по итогам ЕГЭ об этой задаче: «Выполнение – около 69%. Типичные ошибки связаны в первую очередь с невнимательным чтением условия – почти 24% участников указали количество точек, в которых значение функции положительно, а еще около 2% участников пытались перечислить номера точек, в которых производная принимает положительные значения.»

2. Не ограничить график данным отрезком

Если забыть про отрезок, который указан в конце условия, то в ответ задаче (3). Если не забывать про отрезок, то ответ в задаче (2). Составители ЕГЭ пишут, что около (31)% экзаменуемых делают такую ошибку, а правильный ответ дают лишь (43)%. Поэтому Ященко, Семенов и Высоцкий советуют начинать решение задачи с отмечания данного отрезка в КИМе. Напомню, что вы МОЖЕТЕ рисовать на выданных вам бланках КИМ.

3. Неправильно вычислить тангенс или не учесть убывание/возрастание функции

Чтобы найти производную в точке, нужно вычислить тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси (Ox). На практике задача решается в 2 этапа:

1. Определить убывает касательная или возрастает и соответственно поставить знак минус или плюс.

2. Определить тангенс угла в треугольнике, в котором гипотенуза является частью касательной, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек.

В этой задаче многие, во-первых, забывали про первый пункт, а во-вторых, путались в определении тангенса и вместо (frac{AC}{BC}) считали (frac{BC}{AC}).

Источник

Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Теория

1.	Производная
2.	Первообразная и неопределённый интеграл
3.	Как решать задание ЕГЭ

Задания

1.	Найди количество точек Сложность: лёгкое	1
2.	Нули функции Сложность: лёгкое	1
3.	Угловой коэффициент касательной Сложность: лёгкое	1
4.	Касательная к графику квадратичной функции Сложность: лёгкое	1
5.	Монотонность, наибольшее значение функции Сложность: среднее	2
6.	Нахождение скорости и ускорения Сложность: среднее	2
7.	Значение производной функции Сложность: среднее	2
8.	Точка касания прямой параллельно заданной Сложность: сложное	3
9.	Вычисли интеграл Сложность: сложное	3
10.	Задача на исследование аргумента функции Сложность: сложное	4
11.	Площадь заштрихованной фигуры Сложность: сложное	4

Экзаменационные задания (подписка)

1.	Как на ЕГЭ (1). Применение производной, первообразной функции Сложность: среднее	1
2.	Как на ЕГЭ (2). Применение производной, первообразной функции Сложность: среднее	1
3.	Как на ЕГЭ (3). Применение производной, первообразной функции Сложность: среднее	1
4.	Как на ЕГЭ (4). Применение производной, первообразной функции Сложность: среднее	1

Тесты

Тренировка по теме Применение производной, первообразной функции

Сложность: среднее

Материалы для учителей

Методическое описание

Источник

Производная и первообразные функции

В задании №7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.

Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, …, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Рассматриваем график функции.
Ищем точки, в которых функция убывает.
Подсчитываем их количество.
Записываем ответ.

Решение:

1. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает.

2. В тех интелвалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения.

3. В этих интервалах лежат точки x₃, x₄, x₅, x₉. Таких точек 4.

Ответ: 4.

Второй вариант задания (из Ященко, №4)

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Рассматриваем график функции.
Рассматриваем поведение функции в каждой из точек и знак производной в них.
Находим точки в наибольшим значением производной.
Записываем ответ.

Решение:

1. Функция имеет несколько промежутков убывания и возрастания.

2. Там, где функция убывает. Производная имеет знак минус. Такие точки есть среди указанных. Но на графике есть точки, в которых функция возрастает. В них производная положительная. Это точки с абсциссами -2 и 2.

3. Рассмотрим график в точках с х=-2 и х=2. В точке х=2 функция круче уходит вверх, значит касательная в этой точке имеет больший угловой коэффициент. Следовательно, в точке с абсциссой 2. Производная имеет наибольшее значение.

Ответ: 2.

Третий вариант задания (из Ященко, №21)

[su_note note_color=”#defae6″]

Прямая является касательной к графику функции . Найдите а.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Приравняем уравнения касательной и функции.
Упрощаем полученное равенство.
Находим дискриминант.
Определяем параметр а, при котором решение единственное.
Записываем ответ.

Решение:

1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:

2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:

3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.

4. Получаем:

Ответ: 4.

Даниил Романович | Просмотров: 11.9k

Источник

Задачи, которые были на экзамене за последние 10 лет

Процент выполнения

Типичные ошибки

Производная и первообразные функции

Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Алгоритм решения:

Решение:

Второй вариант задания (из Ященко, №4)

Алгоритм решения:

Решение:

Третий вариант задания (из Ященко, №21)

Алгоритм решения:

Решение:

Новое и интересное на сайте: