ЕГЭ Профиль №13. Рациональные уравнения
Тип 8 № 27967 
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: 
где l − длина ребра куба в метрах, 
кг/м3 − плотность воды, а g − ускорение свободного падения (считайте 
Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Рациональные уравнения»
Открытый банк заданий по теме рациональные уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Задание №883
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения x=frac{3x-8}{x+9}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Показать решение
Решение
frac{x}{1}=frac{3x-8}{x+9}, при xneq-9 получим x(x+9)=3x-8,
x^2+6x+8=0,
x_{1,2}=-3pm1,
x_1=-4,;x_2=-2.
Больший из корней −2.
Ответ
-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №880
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения frac{16}{x^2-48}=1. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.
Показать решение
Решение
Уравнения frac{16}{x^2-48}=1 и x^2-48=16 равносильны x^2-48neq0. Из последнего уравнения x^2=64,
x_1=-8, x_2=8. Меньший из корней равен −8.
Ответ
-8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №285
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения frac{2x+4}{3x+17}=frac{2x+4}{17x+3}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший корень.
Показать решение
Решение
(2x+4)(17x+3)=(2x+4)(3x+17),
(2x+4)(17x+3-3x-17)=0,
x_1=-2,
14x-14=0,
x_2=1.
Больший корень из двух равен 1.
Ответ
1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №39
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: frac{1}{2x+7}=5
Показать решение
Решение
Возведем левую и правую части уравнения в степень −1:
2x+7=frac{1}{5}
2x=frac{1}{5}-7=frac{1}{5}-frac{35}{5}=-frac{34}{5}
x=-frac{34}{10}=-3,4
Ответ
-3,4
Задание №38
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: frac{1}{5x+8}=frac{1}{3}
Показать решение
Решение
Возведем левую и правую части уравнения в степень −1:
5x+8=3
5x=-5
x=-1
Ответ
-1
Задание №37
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: frac{1}{8x+3}=5
Показать решение
Решение
Возведем левую и правую части уравнения в степень −1:
8x+3=frac{1}{5}
8x=-frac{14}{5}
x=-frac{14}{40}=-0,35
Ответ
-0,35
Задание №36
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: frac{1}{12x-11}=frac{1}{4}
Показать решение
Решение
Возведем левую и правую части уравнения в степень −1:
12x-11=4
12x=15
x=frac{15}{12}=1frac{3}{12}=1frac{1}{4}=1,25
Ответ
1,25
Задание №29
Тип задания: 5
Тема:
Рациональные уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: frac{1}{3x-1}=5
Показать решение
Решение
Возведем левую и правую части уравнения в степень −1:
3x-1=frac{1}{5}
3x=frac{1}{5}+1=frac{6}{5}
x=frac{6}{5cdot 3}=frac{2}{5}=0,4
Ответ
0,4
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
«Рациональные уравнения с многочленами» — одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.
Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!
Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» — это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.
Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.
Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.
Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, решению кубических уравнений и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!
Задание 758
Найдите корень уравнения: $$frac{x+8}{5x+7}=frac{x+8}{7x+5}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Ответ: 1
Скрыть
ОДЗ: $$5x+7 neq 0 ; 7x+5 neq 0 Leftrightarrow xneq -1,4 ; x neq -frac{5}{7}$$
$$frac{x+8}{5x+7}=frac{x+8}{7x+5}Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)=(x+8)(5x+7)Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)-(x+8)(5x+7)=0 Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5-5x-7)=0 Leftrightarrow$$$$x=-8 ; 2x-2=0 Leftrightarrow$$$$x=-8 ; x=1$$
Наибольший из корней равен 1.
Задание 760
Найдите корень уравнения: $$frac{1}{4x-1}=5$$
Ответ: 0,3
Скрыть
ОДЗ: $$4x-1 neq 0 Leftrightarrow x neq 0,25$$
$$frac{1}{4x-1}=5Leftrightarrow$$$$1=5(4x-1) Leftrightarrow $$$$ 20x-5=1 Leftrightarrow$$$$20x=6 Leftrightarrow $$$$x=0,3$$
Задание 3281
Найдите корень уравнения $$frac{x-32}{x-2}=4$$
Ответ: -8
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{x-32}{x-2}=4$$
$$x-32=4x-8$$
$$x-4x=-8+32$$
$$-3x=24$$
$$x=-8$$
Задание 5651
Решите уравнение $$x-frac{6}{x}=-1$$. Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Ответ:
Задание 9334
Найдите корень уравнения $$x=frac{5x+15}{x+3}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Ответ: 5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 10064
Решите уравнение $$frac{3x^{2}+5x}{3x+2}+1=frac{-2}{2+3x}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Ответ: -2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 10927
Найдите корень уравнения $$frac{1}{5x-14}=frac{1}{4x-3}$$.
Ответ: 11
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{1}{5x-14}=frac{1}{4x-3}leftrightarrow 5x-14=4x-3leftrightarrow 5x-5x=-3+14leftrightarrow x=11.$$
Задание 14456
Найдите корень уравнения $$(frac{1}{4}^{x-2,5})=frac{1}{8}.$$
Ответ: 4
Скрыть
$$(frac{1}{4}^{x-2,5})=frac{1}{8}$$
$$(2^{-2})^{x-2,5}=2^{-3}$$
$$2^{-2x+5}=2^{-3}$$
$$-2x+5=-3$$
$$-2x=-8$$
$$x=4$$
Задание 14567
Найдите корень уравнения $$7frac{7}{9}х=5frac{5}{6}.$$
Ответ: 0,75
Скрыть
$$7frac{7}{9}х=5frac{5}{6}$$
$$frac{70}{9}x=frac{35}{6}$$
$$x=frac{35cdot9}{6cdot70}=frac{315}{420}=0,75$$
Задание 14579
Найдите корень уравнения $$frac{4}{7}x=-4frac{5}{7}.$$
Ответ: -8,25
Скрыть
$$frac{4}{7}x=-4frac{5}{7}$$
$$frac{4}{7}x=-frac{33}{7}$$
$$x=-frac{33cdot7}{7cdot4}=-frac{231}{28}=-8,25$$
Задание 14712
Решите уравнение $$frac{1}{x^2-3x+2}=frac{1}{2x^2-3x+1}.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Ответ: -1
Скрыть
$$frac{1}{x^2-3x+2}=frac{1}{2x^2-3x+1}Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2-3x+2=2x^2-3x+1\ x^2-3x+2neq0 end{matrix}right.$$
Получим: $$x^2-1=0Rightarrow x=pm1.$$ Но при $$x=1$$ имеем $$x^2-3x+2=0,$$ значит — это посторонний корень и $$x=-1$$
Задание 15665
Решите уравнение $$frac{x}{x^2+1}+frac{x^2+1}{x}=2,9.$$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их сумму.
Ответ: 2,5
Скрыть
Пусть $$frac{x}{x^2+1}=y$$. Получим: $$y+frac{1}{y}=frac{29}{10}Rightarrowfrac{10y^2-29y+10}{10y}=0Rightarrow 10y^2-29y+10=0$$
$$D=841-400=441$$
$$y_1=frac{29+21}{20}=2,5$$
$$y_2=frac{29-21}{20}=0,4$$
Обратная замена:
$$frac{x}{x^2+1}=frac{5}{2}Leftrightarrow5x^2-2x+5=0: D<0$$ — решений нет.
$$frac{x}{x^2+1}=frac{2}{5}Rightarrow2x^2-5x+2=0Rightarrow x^2-2,5x+1=0Rightarrow x_1+x_2=2,5$$