19. Задачи на теорию чисел
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Формулы сокращенного умножения
Задание
1
#2256
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Известно, что (a^2 — 2017a = b^2 — 2017b) и (a^2 > b^2 + dfrac{pi^2}{6}). Найдите (a + b).
Исходное равенство равносильно равенству [a^2 — b^2 = 2017a — 2017bquadLeftrightarrowquad (a — b)(a + b) = 2017(a — b),,] откуда либо (a + b = 2017), либо (a — b = 0), но если (a = b), то условие (a^2 > b^2 + dfrac{pi^2}{6}) не может быть выполнено.
Таким образом, (a + b = 2017).
Ответ: 2017
Задание
2
#2257
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Разложите многочлен (x^4 + 64) в произведение многочленов меньших степеней.
Всякий многочлен четвёртой степени можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. Попробуем найти требуемое разложение в виде [x^4 + 64 = (x^2 + ax pm 8)(x^2 + bx pm 
= x^4 + 64 + (a + b)x^3 + (pm 16 + ab)x^2 pm 8 (a + b)x,,] откуда получаем систему уравнений: [begin{cases}
a + b = 0\
pm 16 + ab = 0\
pm 8(a + b) = 0
end{cases},,] следовательно, (b = -a) и (pm 16 — a^2 = 0). Таким образом, вместо (pm) всюду надо выбрать верхний знак, далее можно положить (a = 4), (b = -4).
В итоге получаем верное разложение [x^2 + 64 = (x^2 + 4x + 8)(x^2 — 4x + 8),.]
Ответ:
((x^2 + 4x + 8)(x^2 — 4x + 8))
Задание
3
#2258
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите ((x + y)^2), если ((x — y)^2 = 12), (xy = 3).
[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 — 2xy + y^2 + 4xy = (x — y)^2 + 4xy = 12 + 4cdot 3 = 24,.]
Ответ: 24
Задание
4
#2259
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (x^2 = 5 + y^2) в целых числах.
Исходное уравнение равносильно [x^2 — y^2 = 5qquadLeftrightarrowqquad (x — y)(x + y) = 5,.]
Так как (x) и (y) целые, то и (x — y), (x + y) – целые, тогда возможны следующие случаи:
1) [begin{cases}
x — y = 5\
x + y = 1
end{cases}] 2) [begin{cases}
x + y = 5\
x — y = 1
end{cases}] 3) [begin{cases}
x — y = -5\
x + y = -1
end{cases}] 4) [begin{cases}
x + y = -5\
x — y = -1
end{cases}]
В этих случаях решениями будут соответственно ((3; -2)), ((3; 2)), ((-3; 2)), ((-3; -2)). Таким образом ответ: ((3; -2)), ((3; 2)), ((-3; 2)), ((-3; -2))
Ответ:
(3; -2), (3; 2), (-3; 2), (-3; -2)
Задание
5
#2260
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Является ли число ((2016!)^{3} + 1) простым?
[a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 — a + 1),,] откуда следует, что при (a = 2016!) имеет место формула [(2016!)^3 + 1 = (2016! + 1)((2016!)^2 — 2016! + 1),,] – делится на ((2016! + 1)).
Ответ:
Нет
Задание
6
#2261
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Делится ли число ((2016!)^{3} + 1) на ((2016! + 1)^2)?
[a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 — a + 1),,] откуда следует, что при (a = 2016!) имеет место формула [(2016!)^3 + 1 = (2016! + 1)((2016!)^2 — 2016! + 1),.]
Для того, чтобы произведение в правой части делилось на ((2016! + 1)^2), необходимо и достаточно выполнения условия [((2016!)^2 + 2 — 2016! — 1) vdots (2016! + 1),,] что равносильно (((2016!)^2 + 2) vdots (2016! + 1)), но ((2016!)^2 — 1 = (2016! + 1)(2016! — 1)) – делится на ((2016! + 1)), следовательно, ((2016!)^2 + 2 = ((2016!)^2 — 1) + 3) не делится на ((2016! + 1)) (так как (3) не делится на ((2016! + 1))), а тогда и ((2016!)^{3} + 1) не делится на ((2016! + 1)^2).
Ответ:
Нет
Задание
7
#2262
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Является ли число (2017^{2017} + 1) простым?
По формуле суммы нечётных степеней: [a^{2n + 1} + b^{2n + 1} = (a + b)(a^{2n} — a^{2n — 1}b + a^{2n — 2}b^2 — … + b^{2n}),,]
тогда, подставляя (n = 1008), (a = 2017), (b = 1), получим: [2017^{2017} + 1 = (2017 + 1)(2017^{2016} — … + 1)] – делится на (2018).
Ответ:
Нет
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
1. Решение заданий №9 формулы сокращенного умножения по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/Main.html
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
г. Радужный
Решение заданий №9
формулы сокращенного
умножения
по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике 2016 года
http://mathege.ru/or/ege/Main.html
учитель математики Е.Ю. Семёнова
2.
Формулы сокращенного умножения
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – квадрат суммы
2. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 – квадрат разности
3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) – разность квадратов
4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) – разность кубов
5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) – сумма кубов
6. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – куб суммы
7. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – куб разности
3.
Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения:
16x
2
2
Решение.
16x
2
9y 2 4x 3y : 24xy
9y 2 4x 3y : 24xy
2
16x 2 9y 2 16x 2 24xy 9y 2 : 24xy
16x 2 9y 2 16x 2 24xy 9y 2 : 24xy 24xy : 24xy 1.
Использована формула квадрата разности:
(a – b)2 = a2 – 2ab +b2
4.
Задания открытого банка задач
2. Найдите значение выражения:
x 4y
2
x 2 16y 2 : 4xy
Решение.
x 4y
2
x 2 16y 2 : 4xy
x 2 8xy 16y 2 x 2 16y 2 : 4xy 8xy : 4xy 2.
Использована формула квадрата суммы:
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
5.
Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения:
4x y
2
4x y : 8xy
2
Решение. 1 способ:
4x y
2
4x y : 8xy
2
16x 2 8xy y 2 16x 2 8xy y 2 : 8xy
16x 2 8xy y 2 16x 2 8xy y 2 : 8xy 16xy : 8xy 2.
Использованы формулы
квадрата разности и квадрата суммы:
(a – b)2 = a2 – 2ab +b2
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
6.
Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения:
4x y
2
4x y : 8xy
2
Решение. 2 способ:
4x y
2
4x y : 8xy
2
4x y 4x y 4x y 4x y : 8xy
4x y 4x y 4x y 4x y : 8xy
2y 8x : 8xy 16xy : 8xy 2.
Использована формула разности квадратов:
a2 – b2 = (a – b)(а + b)
7.
Задания открытого банка задач
4. Найдите значение выражения:
4x 1 4x 1 16х 2
Решение.
4x 1 4x 1 16х 2 16х 2 1 16х 2 1.
Использована формула разности квадратов:
(a – b)(а + b) = a2 – b2
8.
Задания открытого банка задач
5. Найдите значение выражения:
9x 9 9x 9 81х 2 х 47 при х = 100
Решение.
9x 9 9x 9 81х 2 х 47 81х 2 81 81х 2 х 47 х 34,
если х 100, то х 34 100 34 66.
Использована формула разности квадратов:
(a – b)(а + b) = a2 – b2
9.
Задания открытого банка задач
6. Найдите значение выражения:
977
2
1132 : 1090
Решение.
977
2
1132 : 1090 977 113 977 113 : 1090
864 1090 : 1090 864.
Использована формула разности квадратов:
a2 – b2 = (a – b)(а + b)
10.
Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения:
7b 9 2 14b 3,5b 9
Решение.
7b 9 2 14b 3,5b 9
49b 2 126b 81 49b 2 126b
49b 2 126b 81 49b 2 126b 81.
Использована формула квадрата разности:
(a – b)2 = a2 – 2ab +b2
11.
Задания открытого банка задач
8. Найдите значение выражения:
х 3у 2 2х 0,5х 3у
Решение.
х 3у 2 2х 0,5х 3у х 2 6ху 9у 2 х 2 6ху
х 2 6ху 9у 2 х 2 6ху 9у 2 .
Использована формула квадрата суммы:
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
12.
Задания открытого банка задач
9. Найдите значение выражения:
с 5с 16 с 8
2
Решение.
с 5с 16 с 8 5с 2 16с с 2 16с 64
2
5с 2 16с с 2 16с 64 4с 2 64.
Использована формула квадрата разности:
(a – b)2 = a2 – 2ab +b2
13.
Задания открытого банка задач
10. Найдите значение выражения:
у у 4х х 2у
2
Решение.
у у 4х х 2у у 2 4ху х 2 4ху 4у 2
2
у 2 4ху х 2 4ху 4у 2 х 2 3у 2 .
Использована формула квадрата суммы:
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
14.
Задания открытого банка задач
11. Найдите значение выражения:
10ab 5a b
2
Решение.
10ab 5a b 10ab b 5a 10ab b 2 10ab 25a 2
2
2
10ab b 2 10ab 25a 2 b 2 25a 2 .
Использована формула квадрата разности:
(a – b)2 = a2 – 2ab +b2
15.
Использованы материалы:
• http://mathege.ru/or/ege/Main.html
Решение заданий №9 формулы сокращенного умножения по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2016 года http://mathege.ru/or/ege/Main.html
Формулы сокращенного умножения
- (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы
- (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 – квадрат разности
- a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) – разность квадратов
- a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) – разность кубов
- a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) – сумма кубов
- (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 – куб суммы
- (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 – куб разности
Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата разности:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
2. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата суммы:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения:
Решение. 1 способ:
Использованы формулы
квадрата разности и квадрата суммы:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab +b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения:
Решение. 2 способ:
Использована формула разности квадратов:
a 2 – b 2 = (a – b)(а + b)
Задания открытого банка задач
4. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула разности квадратов:
(a – b)(а + b) = a 2 – b 2
Задания открытого банка задач
5. Найдите значение выражения:
при х = 100
Решение.
Использована формула разности квадратов:
(a – b)(а + b) = a 2 – b 2
Задания открытого банка задач
6. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула разности квадратов:
a 2 – b 2 = (a – b)(а + b)
Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата разности:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
8. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата суммы:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
9. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата разности:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
10. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата суммы:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2
Задания открытого банка задач
11. Найдите значение выражения:
Решение.
Использована формула квадрата разности:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab +b 2
Использованы материалы: