Задания егэ по информатике системы счисления - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 570 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Запись числа N в системе счисления с основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления с основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления с основанием 11 заканчивается на 1.

Чему равно N?

Запись числа N в системе счисления с основанием 7 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления с основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления с основанием 11 заканчивается на 2.

Чему равно N?

В системе счисления с основанием N запись числа 41₁₀ оканчивается на 2, а запись числа 131₁₀  — на 1. Чему равно число N?

В системе счисления с основанием N запись числа 79₁₀ оканчивается на 2, а запись числа 111₁₀  — на 1. Чему равно число N?

Запись числа 69₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Запись числа 68₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212.

Определите основание системы счисления.

Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Запишите число 83 в троичной системе счисления. В ответе укажите только цифры, основание системы счисления писать не нужно.

Источник: ЕГЭ по информатике 05.05.2014. Досрочная волна. Вариант 1.

Запишите число 128 в пятеричной системе счисления. В ответе укажите только цифры, основание системы счисления писать не нужно.

Источник: ЕГЭ по информатике 05.05.2014. Досрочная волна. Вариант 2.

Решите уравнение: 121_x + 1₁₀ = 101₈

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 144 записывается в виде 264. Укажите это основание.

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21.

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 100, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 11?

Запись числа 65_8 в некоторой системе счисления выглядит так: 311_q. Найдите основание системы счисления q.

Запись числа 23₁₀ в некоторой системе счисления выглядит так: 212_q. Найдите основание системы счисления q.

Всего: 570 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

На уроке рассматривается 14 задание, решение и объяснение ЕГЭ по информатике

Содержание:

Объяснение заданий 14 ЕГЭ по информатике
- Перевод числа из любой системы счисления в десятичную
- Особенности при переводах в разные системы счисления
Решение заданий 14 ЕГЭ по информатике
- Определите наибольшее/наименьшее значение x, y
- Сколько цифр или сумма цифр
- Найти основание системы счисления и уравнения

14-е задание: «Операции в системах счисления»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 5 минут.

Проверяемые элементы содержания: Знание позиционных систем счисления

До ЕГЭ 2021 года — это было задание № 16 ЕГЭ

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«Основные ошибки связаны с невнимательностью при выполнении арифметических действий
в недесятичных системах счисления. Например, вычитания единицы в ситуации типа: 1010000₂ – 1»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

С основами темы можно ознакомиться в теории к заданию 1.

Перевод числа из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести, например, 10045_N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной разряду этой цифры:

Особенности при переводах в разные системы счисления

Некоторые правила, которые нужно знать, при работе с системами счисления:

последняя цифра (крайняя справа) в записи числа в системе счисления с основанием N – представляет собой остаток от деления этого числа на N:

7₁₀ = 111₂
7/2 = остаток 1

две крайние справа цифры числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N², и так далее:

7₁₀ = 111₂
11₂=3₁₀
7/2² = остаток 3₁₀ (11₂)

десятичное число 10^N записывается как единица и N нулей:

1_1

тогда как десятичное число 2^N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

а десятичное число 3^N записывается в троичной системе в виде единицы и N нулей:

можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a; общее правило:

десятичное 10^N-1 записывается как N девяток:

1_11

тогда как десятичное число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:

а десятичное число 3^N-1 записывается в троичной системе как N двоек:

значит есть общее правило: число a^N-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы, то есть, цифр (a-1)

1_1

десятичное число 10^N-10^M = 10^M * (10^N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:

тогда как десятичное число 2^N – 2^K при K < N в двоичной системе записывается как N – K единиц и K нулей:

то есть, существует общее правило:

1_11

Также следует знать, что верны равенства:

Решение заданий 14 ЕГЭ по информатике

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:
Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Определите наибольшее/наименьшее значение x, y

14_14:

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.

82x19₁₅ – 6x073₁₅

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

uses school;
begin
  foreach var x in '0123456789abcde' do
  begin
    var a := dec('82'+ x +'19', 15);
    var b :=dec('6' + x +'073', 15);
    var sum := a - b;
    if sum mod 11 = 0 then
    begin
      print(sum / 11);
      break;
    end
  end;
end.

Python:

С++:

Ответ: 7806

Сколько цифр или сумма цифр

14_12:

Значение арифметического выражения

43∙7¹⁰³ – 21∙7⁵⁷ + 98

записали в системе счисления с основанием 7.
Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.

✍Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, Решение 1:

begin
  var x,s: Biginteger;
  x := 43*Biginteger.Pow(7, 103) - 21*Biginteger.Pow(7, 57) + 98;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
  s:=0;
  while x > 0 do
  begin
    s:=s+ x mod 7; // добавляем цифру правого разряда
    x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч.
  end;
  println(s);
end.

PascalABC.net, Решение 2:

uses school;
 
begin
  var n: bigInteger;
  n := 43 * Biginteger.Pow(7, 103) - 21 * Biginteger.Pow(7, 57) + 98;
  print(n.ToString.ToBase(7).CountOf('1') +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('2') * 2 + 
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('3') * 3 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('4') * 4 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('5') * 5 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('6') * 6);
end.

Python:

x = 43*7**103 - 21*7**57 + 98
s = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
while x: 
    s+= x % 7 # добавляем цифру к сумматору
    x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч.
print( s )

С++:

Результат: 276

14_1:

Значение арифметического выражения:
2¹⁰²⁴ + 4⁶⁴ — 64
записали в системе счисления с основанием 2.

Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, Решение 1:

begin
  var k := 0;
  var x: Biginteger;
  x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) - 64;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч.
  while x > 0 do
  begin
    if x mod 2 = 1 then k += 1; // если цифра = 1, то считаем ее
    x := x div 2; // убираем разряд числа в 2-й системе сч.
  end;
  println(k);
end.

PascalABC.net, Решение 2:

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) - 64;
  print(x.ToString.ToBase(2).CountOf('1'));
end.

Python:

x = 2**1024 + 4**64 - 64
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч.
while x: 
    if x % 2 == 1: # если цифра = 1, то считаем ее
        k += 1
    x //= 2 # убираем разряд числа в 2-й системе сч.
print( k )

С++:

✎ Решение теоретическое:

Существует правило:

2^N = 10..0₂(1 единица и N нулей)

Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:

2¹⁰²⁴ + (2²)⁶⁴ - 2⁶ = 2¹⁰²⁴ + 2¹²⁸ - 2⁶

При переводе в двоичную систему получим:

10...0 (1024 нуля) + 10...0 (128 нулей) - 10...0 (6 нулей)

Обратим внимание, что разница между числами большая. Т.е. при выполнении сложения в столбик, единицы в одном и том же разряде быть не могут. Так:

 10....00000  - 1024 нуля
+
       10..0  - 128 нулей
_________________________
 10....10..0

Из первого слагаемого 10…0 (1024 нуля) запомним одну единицу в старшем бите, остальные нули нас не интересуют, так как далее мы воспользуемся другим правилом — для разницы:

 10....00000  - 1024 нуля
+
       10..0  - 128 нулей
_________________________
 10....10..0  - запомним единицу

Существует также правило:

2^N — 2^K = 1…1 (N - K единиц)0…0(K нулей)

По формуле выполним вычитание 2¹²⁸ — 2⁶: получим 1..1 (122 единицы) 0..0(6 нулей):

 10..0000000  - 128 нулей
-
     1000000  
_________________________
 11..1000000  - 122 единицы и 6 нулей

Прибавим к 122 получившимся единицам еще одну из первого слагаемого (10…0 (1024 нуля)) и получим:

122 + 1 = 123 единицы

Результат: 123

Также можно посмотреть видео решения 14 задания ЕГЭ по информатике (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_3: 14 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Значение арифметического выражения:
49¹⁰ + 7³⁰ – 49
записали в системе счисления с основанием 7.

Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, решение 1:

begin
  var x: Biginteger;
  x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) - 49;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
  var k:=0;
  while x > 0 do
  begin
    if x mod 7 = 6 then k+=1; // если цифра = 6, то считаем ее
    x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч.
  end;
  println(k);
end.

PascalABC.net, решение 2:

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) - 49;
  print(x.ToString.ToBase(7).CountOf('6'));
end.

Python:

x = 49**10 + 7**30 - 49
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
while x: 
    if x % 7 == 6: # если цифра = 6, то считаем ее
        k += 1
    x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч.
print( k )

С++:

✎ Решение теоретическое:

Приведем все числа к степеням 7:

7²⁰ + 7³⁰ - 7²

Расставим операнды выражения в порядке убывания степеней:

7³⁰ + 7²⁰ - 7²

Вспомним две формулы для работы со системами счисления:

1.
aⁿ = 10..0_a
       ⁿ
2.
aⁿ - a^m = (a-1)..(a-1)0..0_a
              ^n-m       ^m

Переведем первое число согласно формуле 1:

7³⁰ = 10..0
        ³⁰

В данном числе нет цифры 6, как и в остальных числах.
Цифра 6 появляется при выполнении вычитания.
Подсчитаем все «6», используя формулу 2:

0 + (20 - 2) = 18

Получаем шестерок: 18

Результат: 18

Подробное решение 14 задания демоверсии ЕГЭ смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_2:

Значение арифметического выражения:
4⁵⁰⁰ + 3*4²⁵⁰⁰ + 16⁵⁰⁰ — 1024
записали в системе счисления с основанием 4.

Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(4,500) + 3*Biginteger.Pow(4,2500) + Biginteger.Pow(16,500) - 1024;
  print(x.ToString.ToBase(4).CountOf('3'));
end.

Python:

x = 4**500 + 3*4**2500 + 16**500 - 1024
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 4-й системе сч.
while x: 
    if x % 4 == 3: # если цифра = 3, то считаем ее
        k += 1
    x //= 4 # убираем разряд числа в 4-й системе сч.
print( k )

С++:

Результат: 496

Подробное решение данного 14 задания ЕГЭ по информатике можно посмотреть на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_5:

Значение арифметического выражения: 8¹⁰²⁴ + 8³² – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(8,1024) + Biginteger.Pow(8,32) - 65;
  print(x.ToString.ToBase(8).CountOf('7'));
end.

Python:

x = 8**1024 + 8**32 - 65
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 8-й системе сч.
while x: 
    if x % 8 == 7: # если цифра = 7, то считаем ее
        k += 1
    x //= 8 # убираем разряд числа в 8-й системе сч.
print( k )

С++:

✎ Решение теоретическое:

Приведем все числа к степеням восьмерки:

65 = 64 + 1 = 8² + 8⁰;

Получаем:

8¹⁰²⁴ + 8³² - (8² + 8⁰);
8¹⁰²⁴ + 8³² - 8² - 8⁰

Вспомним две формулы для работы с системами счисления:

1.
aⁿ = 10..0_a
       ⁿ
2.
aⁿ - a^m = (a-1)..(a-1)0..0_a
              ^n-m       ^m

Переведем первое число согласно формуле 1:

8¹⁰²⁴ = 10..0
        ¹⁰²⁴

В данном числе нет цифры 7, как и в остальных числах.
Цифра 7 появляется при выполнении вычитания. У нас два таких действия, идущих подряд. Это неудобно. Необходимо, чтобы действия чередовались (a + b — c + d — e…)
Вспомним еще одну формулу:

-2ⁿ = -2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ

! Формула предназначена для чисел в двоичной системе счисления, но для подсчета цифр "7" в 8-й (или "6" в 7-й и т.п.) ее можно использовать (для поиска единиц или нулей она не подходит!!!)

В нашем случае заменим часть выражения:

-8² = -8³ + 8²
! обратите внимание, что тождество неверно, но
при поиске количества "7" этой формулой можно воспользоваться
(для поиска единиц или нулей она не подходит!)


Получаем:

8¹⁰²⁴ + 8³² - 8³ + 8²- 8⁰

Получили чередование операций «+» и «-«.
Теперь посчитаем все «7», используя формулу 2:

0 + (32 - 3) + (2 - 0) = 31

Получаем семерок: 31

Результат: 31

14_13:

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4³⁵⁰ + 8³⁴⁰ – 2³²⁰ – 12?

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, решение 1:

begin
  var b2 := biginteger(2);
  var numb := (2 * b2) ** 350 + (4 * b2) ** 340 - (1 * b2) ** 320 - 12;
  var digit: biginteger;
  var n := 0;
  while numb > 0 do
  begin
    digit := numb mod 2;
    if digit = 0 then n += 1;
    numb := numb div 2
  end;
  print(n)
 end.

PascalABC.net, решение 2:

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(4,350) + Biginteger.Pow(8,340) - Biginteger.Pow(2,320) - 12;
  print(x.ToString.ToBase(2).CountOf('0'));
end.

Python:

x = 4**350 + 8**340 - 2**320 - 12
print(x)
k = 0
while x:
  if x % 2 == 0: k += 1
  x //= 2
     print( k )

С++:

✎ Решение теоретическое:

4³⁵⁰ + 8³⁴⁰ – 2³²⁰ – 12

По возможности приведем каждое слагаемое к степеням 2. Получим:

(2²)³⁵⁰ + (2³)³⁴⁰ - 2³²⁰ - 3*2² =
(2²)³⁵⁰ + (2³)³⁴⁰ - 2³²⁰ - 12 =
2⁷⁰⁰ + 2¹⁰²⁰ - 2³²⁰ - (2³ + 2²)

Далее рассуждаем так: количество нулей можно найти, если из общего количества цифр в результирующем числе вычесть количество не нулей (любых других цифр).
Расположим операнды по убыванию:

2¹⁰²⁰ + 2⁷⁰⁰ - 2³²⁰ - 2³ - 2²

Наибольшее число 2¹⁰²⁰, в нем 1021 разряд в двоичной с.с. (одна единица и 1020 нулей). То есть всего 1021 знаков.
Для того, чтобы избежать два подряд идущих минуса, воспользуемся правилом -2ⁿ = -2ⁿ⁺¹+2ⁿ и преобразуем выражение:

2¹⁰²⁰ + 2⁷⁰⁰ - 2³²¹+ 2³²⁰- 2⁴ + 2³ - 2²

Посчитаем количество не нулей в каждом операнде:

2¹⁰²⁰ -> один не ноль
2⁷⁰⁰ - 2³²¹ -> 379 не нулей
2³²⁰- 2⁴ -> 316 не нулей 
2³ - 2² -> один не ноль
Итого: 1+ 379+316 +1 = 697

Получаем нулей:

1021 - 697 = 324

Результат: 324

Найти основание системы счисления и уравнения

14_7:

Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:

1.
 13 | 3 
 12   4 | 3 
  1   3   1   
      1
131₀ = 111₃

2.
23 | 3 
21   7 | 3 
2    6   2
     1
23₁₀ = 212₃

Теперь добавим промежуточные числа в троичной системе счисления (прибавляя единицу к каждому очередному полученному числу), не забывая, что в троичной системе всего три цифры (0, 1 и 2):

111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212

На всякий случай стоит посчитать количество полученных чисел и сравнить их с количеством чисел в исходной последовательности.
Теперь осталось посчитать количество цифр 2 в полученной последовательности. Их 13:

111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212

Ответ: 13

✍ Решение:

Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):

204_N+1 = 204_N + 26₁₆
 1       2     3

Используем формулу разложения числа по степеням основания:

1. 
₂₁₀
204_N+1

По формуле получаем:
2*(N+1)² + 0*(N+1)¹ + 4*(N+1)⁰ =
= 2*(N² + 2N + 1) + 0 + 4 = 2N² + 4N + 6

Выполним то же самое для остальных двух частей:

2.
₂₁₀
204_N

По формуле получаем:
2*N² + 0*N¹ + 4*N⁰ =
= 2N2 + 4

3.
26₁₆ = 38₁₀

Подставим результаты всех частей в уравнение:

2N² + 4N + 6 = 2N² + 4 + 38;
4N = 36;
N = 9

Результат: 9

✍ Решение:

Вместо обозначения искомой системы счисления введем неизвестное x:

144_x + 24_x = 201_x

Запишем формулу перевода в десятичную систему счисления каждого из слагаемых и сумму исходного равенства:

144 + 24 = 201
1*x² + 4*x¹ + 4*x⁰ + 2*x¹ + 4*x⁰ = 2*x² + 0*x¹ + 1*x⁰

Упростим полученное уравнение:

x² - 6x - 7 = 0

Решим уравнение:

D = b² - 4ac = 36 - 4*1*(-7) = 64
x = (-b ± √D)/2a
x1 = (6 + 8)/2 = 7
x2 = (6 - 8)/2 - не подходит
x = 7

Ответ: 7

14_9:

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Вспомним правило:

Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием X — это остаток от деления этого числа на X

Примем искомую систему счисления за x. Тогда, исходя из приведенного правила имеем:

94 / x = некоторое число и остаток 3
и
68 / x = некоторое число и остаток 3

Поскольку x должно быть целым числом, то следующее деление должно выполняться без остатка:

91/x 
65/x

Иными словами x — наибольший общий делитель чисел 91 и 65.
Найдем НОД, например, по алгоритму Евклида:

91 - 65 = 26
65 - 26 = 39
39 - 26 = 13
26 - 13 = 13

Получаем результат 13.

Ответ: 13

14_10:

Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:

X = *5₁₆ = *0*₈

Сколько чисел соответствуют условию задачи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Данные числа с утерянными символами переведем из 16-й и из 8-й системы счисления в двоичную. Перевод будем делать триадами и тетрадами, неизвестные позиции оставим пустыми:

1. *5₁₆
    *   |    5  ₁₆

* * * * | 0 1 0 1 ₂

2. *0*₈
  *  |  0  |  *  ₈
* * *|0 0 0|* * * ₂

Сопоставим известные и неизвестные биты в обеих получившихся масках:

* * 0 0 0 1 0 1

Неизвестными остались 7-й и 8-й бит. Они не могут быть одновременно нулями, так как для *0*₈ тогда исчезнет старший разряд. Поэтому оставшиеся варианты будут такими:

1. 01000101
2. 10000101
3. 11000101

Итого 3 варианта.

Ответ: 3

Предлагаем посмотреть видео решения данного 14 задания ЕГЭ (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_4:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Так как 75 должно оканчиваться на 13, то имеем два общих случая:

1. 75₁₀ = 13_N 
2. 75₁₀ = ...13_N (число оканчивается на 13)

Рассмотрим подробно каждый случай.

1 случай:

Остаток должен быть равен 3 (последнее число в неизвестной системе), а частное должно равняться 1 (предпоследнее число в неизвестной системе):

 75|N 
  N|1  отсюда имеем => 75 - N = 3; т.е. N = 72
  3

Таким образом, мы получили одно из искомых оснований (72).

2 случай:

Искомое оканчивается на цифру 3, значит:

 75|N 
 72|y  отсюда имеем => 75 = Ny + 3, где N - целое, неотриц.
  3

и далее, частное от деления — 1 (предпоследнее число):

 75|N  
 72|  y |N   => y = Nz + 1, где z - целое, неотриц.
  3  y-1|z
       1

Получаем два равенства (систему уравнений):

75 = Ny + 3
y = Nz + 1

Подставим y из второго равенства в первое:

75 = N (Nz + 1) + 3;
75 = N²z + N + 3;
75 = N²z + N

Выразим z:

z = (72 - N)/N²

Учитывая то, что z — целое неотрицательное число, то 72 — N должно быть кратно N², т.е. в числителе не может быть простого числа.
Простое число 67 получается путем вычитания из 72 числа 5. Соответственно, 5 нам не подходит: N ≠ 5:

72 - 5 / 5² = 67 / 25  не делится, - не подходит!

Еще одно простое число — 71 получится при вычитании 72 — 1. Единица не подходит, так как при переводе в конце числа никак не останется 13: N ≠ 1.
Раз в знаменателе N², то отбросим все числа, квадрат которых больше 72: 9, 10, … и т.д. до бесконечности: N < 9
Раз в итоговом числе есть число 13, значит основание системы счисления больше 3 (т.е. цифра три присутствует в системах, начиная с 4-й): N >= 4
Проверим оставшиеся варианты — 4, 6, 7, 8:

 75 | 4 
 72 | 18| 4 
  3   16| 2
       2  => не подходит! должна быть единица

 75 | 6 
 72 | 12| 6 
  3   12| 1
       0  => не подходит! должна быть единица

 75 | 7 
 70 
  5 => не подходит! должна быть 3

 75 | 8 
 72 | 9| 8 
  3   8| 1
       1  => подходит!

Результат: 8,72

Видеоразбор решения (аналитический способ):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_11:

Выражение 2⁵*3²⁵ записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.

✍ Решение:

Первый сомножитель:

2⁵ = 32

Переведем в троичную систему счисления (делением на 3, переписываем остатки).
Результат:
32₁₀= 1012₃

Для рассмотрения второго сомножителя будем использовать правило:

Получим:

3²⁵ = 10..0{25 нулей}₃

Выполним произведение, но для простоты счета, представим, что нулей не 25, а только 3:

В исходном числе было 3 нуля, стало 4. Значит если было 25 нулей, то станет 25 + 1 = 26.
Единиц = 2, двоек = 1.

Ответ: «0»=26, «1»=2, «2»=1

Смотрите видео разбора на нашем канале (аналитическое решение):
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Источник

ЕГЭ – 1. Системы счисления и двоичное представление информации

в памяти компьютера (базовый уровень, примерное время

решения – 1 минута). Теория по теме – здесь.

Рассмотрим различные задачи, которые встречаются в данном задании, и способы их решения. Начнем с самых простых задач, которые вряд ли будут на ЕГЭ, но решение которых позволит нам быстро и просто решать самые сложные, и придем к самым сложным.

Задача 1. Как представлено число 75₁₀ в двоичной системе счисления?

a) 1001011₂b) 111101₂ c) 101011₂ d) 1001001₂

Решение. Для быстрого и точного решения задачи достаточно разложить исходное число на сумму степеней двойки, а затем записать «1» на место существующей степени и «0» — на место пропущенной степени двойки.

Тогда 73₁₀= 2⁶ + 2³ + 2⁰ = 1001001₂

(шестая степень есть – 1, пятой нет – 0, четвертой нет – 0, третья есть – 1, второй нет – 0, первой нет – 0, нулевая есть – 1).

Возможные ловушки:

если исходное число четное, то нужно не забыть о нулевой степени числа.
вариант ответа b). Нужно помнить правильность перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную, что десятичная система не «дружит» ни с какой другой в окружении систем с основанием, меньшим 100 (а на другие задачи мы не решаем), и пользоваться таблицей «дружбы» для перевода в двоичную систему счисления нельзя.

Проверка решения: По закономерности 4 из теоретической части: N^L-1≤ Ch ^L.

Тогда 64 ≤ 73 ⁶ ≤ 73 ⁷

Длина результата равна 7, как и в полученном ответе.

Эта проверка действует на оба варианта из возможных совершенных ошибок.

На ЕГЭ более вариантов ответов не предусматривается.

Ответ: 1001001

Задача 2. Сколько единиц в двоичной записи числа 187 ?

Решение. Для быстрого и точного решения задачи достаточно разложить исходное число на сумму степеней двойки, а затем посчитать количество присутствующих степеней.

Тогда 187 = 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 , то есть будет всего шесть степеней двойки.

Заметим, что более никаких действий для получения ответа здесь выполнять не нужно!

Для проверки правильности решения достаточно сложить полученные числа и сравнить их с исходным числом.

Ответ: 6

Задача 3. Сколько нулей в двоичной записи числа 204 ?

Тогда 205 = 128 + 64 + 8 + 4 , то есть будет всего 4 степени двойки. А длина числа при переводе в двоичную систему счисления будет равна 8 (2⁷ ≤ 205 ⁸). Тогда количество нулей в числе будет рано разнице между ними: 8 — 4 = 4.

Заметим, что более никаких действий для получения ответа здесь выполнять не нужно!

Ответ: 4

Задача 4. Как записывается число A95₁₆ в восьмеричной системе счисления?

Решение. Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления являются «дружественными» («родственными») системами, поэтому для решения задания достаточно использовать таблицу «дружбы» и принцип перевода чисел с ее помощью (см. теорию по теме).

Тогда A95₁₆= 1010 1001 0101₂ = 101 010 010 101₂ = 5225₈.

Ответ: 5225

Задача 5. Дано: а = 9C₁₆, b = 236₈. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

a) 10011010₂ b) 10011110₂ c) 10011101₂ d) 11011110₂

Решение. Заметим главное: исходные числа даны здесь в различных системах счисления. Для решения задачи нужно сначала привести их в одну – любую, удобную Вам для вычислений, а затем выполнять дальнейшие действия.

Здесь числа даны в дружественных восьмеричной, шестнадцатеричной и двоичной системах, поэтому удобнее всего перевести первое число и ответы в восьмеричную систему и найти подходящий вариант решения.

Тогда 9C₁₆= 1001 1100₂= 10 011 100₂ = 234₈;

a) 10011010₂ = 10 011 010₂ = 232₈;

b) 10011110₂= 10 011 110₂ = 236₈;

c) 10011101₂= 10 011 101₂ = 235₈;

d) 11011110₂= 11 011 110₂ = 336₈.

Правильный ответ – с), но рекомендуется не останавливаться, а проверить все варианты ответов, чтобы быть уверенным в правильном решении.

Ответ: с

Задача 6. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:

10111010, 10110100, 10101111, 10101100.
Сколько среди них чисел, меньших, чем 9C₁₆ + 37₈?

Тогда 9C₁₆ = 1001 1100₂ = 10 011 100₂ =234₈;

234₈ + 37₈ = 273₈;

10111010₂ = 272₈ (подходит);

10110100₂ = 264₈ (подходит);

10111111₂ = 277₈ (не подходит);

10101100₂ = 259₈ (подходит).

Ответ: 3

Задача 7. Укажите наибольшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 значащих нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение. Наибольшее четырехзначное шестнадцатеричное число равно FFFF. Чтобы число с пятью значащими нулями оставалось наибольшим, нули должны стоять в конце числа, тогда переводим две последние цифры в двоичную систему счисления, заменяем там последние пять цифр на нули и переводим обратно в шестнадцатеричную систему, получаем:

FF₁₆ = 11111111₂ = 11100000₂ = E0₁₆

Ответ: FFE0

Задача 8. (А.Н. Носкин) Задан отрезок [a, b]. Число a – наименьшее число, восьмеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – 3. Число b – наименьшее число, шестнадцатеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – F. Определите количество натуральных чисел на этом отрезке (включая его концы).

Решение.

a = 103₈; b = 10F₁₆ = 1 0000 1111₂ = 417₈

417₈ – 103₈ + 1 = 315₈ = 205 (плюс 1, потому что в разность входит только один конец отрезка, добавляем второй).

Ответ: 205

Задача 9. (Е.В. Куцырь) Определите количество натуральных чисел, кратных основанию четверичной системы счисления и удовлетворяющих неравенству: 734₈  x ₁₆

Решение.

1E4₁₆= 1 1110 0100₂ = 744₈

744₈ – 734₈ = 10₈= 8 – всего в интервале, включая исходное число. Тогда чисел, кратных 4, в интервале ровно 2.

Ответ: 2

Источник

Мы подошли к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022. Оно связано с различными системами счисления. Что такое различные системы счисления, мы рассматривали в этой статье. Так же будет полезно посмотреть эту статью.

Переходим к первому тренировочному 14-ому заданию из ЕГЭ по информатике. Раньше это задание было под номером 16.

Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

Значение выражения 5³⁶ + 5²⁴ — 25 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?

Решение:

Первый способ. (С помощью Питона)

f = 5**36 + 5**24 - 25

s=''

while f>0:
    s = s + str(f%5)
    f = f // 5

print(s.count('4'))

В переменную f записываем функцию. Две звёздочки подряд обозначают возведение в степень. Заводим строчку s, где и будет сформировано число в пятеричной системе.

Сам перевод числа f в пятеричную систему происходит в цикле WHILE.

Записываем остатки от деления на 5 в строку s. Делаем так же, как если бы переводили в ручную. И так же производим само целочисленное деление. Это мы тоже делаем, когда переводим на листке бумаги.

В строке s получается число в пятеричной системе, но в цифры в этой записи стоят в обратном порядке. Ведь, когда мы переводим в ручную, остатки должны записать задом наперёд.

Здесь и не важен порядок цифр, важно количество четвёрок!

С помощью функции count находим количество четвёрок в строке s.

В ответе напишем 22.

Второй способ. (Классический)

Сформулируем главное правило, на которое будем опираться при решении подобного типа задач.

Примеры:

5⁴ (в десятичной системе) — это 10000₅ (в пятеричной системе)
7² (в десятичной системе) — это 100₇ (в семеричной системе)
2⁹ (в десятичной системе) — это 1000000000₂ (в двоичной системе)

Перепишем наше выражение, чтобы все числа были в виде степени представлены.

5³⁶ + 5²⁴ — 5²

Посчитаем 5³⁶ + 5²⁴ в пятеричной системе столбиком, используя основное правило.

Здесь всё просто: ноль прибавить ноль, будет ноль. Единица плюс ноль, будет один.

Теперь от получившегося числа нужно отнять 5² (100₅).

Первые два разряда посчитать легко. Ноль минус ноль, будет ноль.

Третий разряд: из нуля отнять единицу мы не можем, поэтому занимаем у более старших разрядов.

В более старших разрядах тоже нули, поэтому идём до единицы, у которой можно занять. Получается 22 четвёрки.

Вот как было бы, если бы считали в нашей родной десятичной системе счисления в аналогичной ситуации.

Здесь мы считаем в десятичной системе, поэтому получаются девятки. В нашей задаче считали в пятеричной системе, поэтому получаются четвёрки.

В ответе напишем 22 четвёрки.

Ответ: 22

Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

Значение выражения 16⁸ × 4²⁰ — 4⁵ — 64 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Решение:

Первый способ. (С помощью Питона)

f = 16**8 * 4**20 - 4**5 - 64

s=''

while f>0:
    s = s + str(f%4)
    f = f // 4

print(s.count('3'))

Второй способ. (Классический)

Преобразуем наше выражение. Приведём всё к 4-ам.

16⁸ × 4²⁰ — 4⁵ — 64 =
= (4²)⁸ × 4²⁰ — 4⁵ — 4³ =
= 4¹⁶ × 4²⁰ — 4⁵ — 4³ =
= 4³⁶ — 4⁵ — 4³

Здесь не можем применить технику устного счёта, потому что стоят два минуса. Значит, будем решать с помощью столбиков.

Сначала посчитаем 4³⁶ — 4⁵.

Теперь от этого числа нужно отнять 4³ (1000₄)

Получается 32 тройки.

В последнем вычислении нет ничего сложно. В десятичной системе вы бы легко вычислили в аналогичной ситуации.

Ответ: 32

Задача (Тренировочная)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.

Решение:

1) Переведём число 17 в троичную систему.

Получилось 122₃.

2) Теперь выпишем все числа, которые не превосходят 122₃ (Т.е. 122₃ тоже подходит!), запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры. В троичной системе могут применяться цифры 0, 1, 2.

122₃
122₃
111₃
100₃
22₃
11₃

Теперь переведём эти числа в десятичную систему.

122₃ = 2 × 3⁰ + 2 × 3¹ + 1 × 3² = 17₁₀
111₃ = 1 × 3⁰ + 1 × 3¹ + 1 × 3² = 13₁₀
100₃ = 0 × 3⁰ + 0 × 3¹ + 1 × 3² = 9₁₀
22₃ = 2 × 3⁰ + 2 × 3¹ = 8₁₀
11₃ = 1 × 3⁰ + 1 × 3¹ = 4₁₀

Ответ: 4, 8, 9, 13, 17

Ещё один интересный тип задания номер 14, который вполне может быть на реальном ЕГЭ по информатике 2022.

Задача (Уравнение)

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225_x = 405_y?
Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

Переведём каждое из чисел 225_x и 405_y в десятичную систему счисления и приравняем, т.к. эти числа равны.

5 × x⁰ + 2 × x¹ + 2 × x² = 5 × y⁰ + 0 × y¹ + 4 × y²

Любое число в нулевой степени — это 1. Значит, 5 × x⁰ = 5 × y⁰ = 5. Эти два выражения равны одному и тому же значению, следовательно, их можно убрать и слева, и справа.

2x + 2x² = 4y²
x + x² = 2y²
x(1 + x) = 2y²

Получили уравнение в целых числах. Слева умножение двух последовательных чисел. Нужно начать подбирать целые числа.

При y = 6 :

x (1 + x) = 2 × 6² = 72 ; Произведение двух последовательных чисел 8 * 9 = 72. Значит, x = 8.

Мы начали проверку с числа 6, потому что у нас в уравнении присутствуют цифра 5. Значит, система счисления может быть минимум с основанием 6.

Получается, что наименьшее значение x равно 8.

В подобных задач нужно знать, что числа обязательно найдутся, нужно их просто хорошо поискать.

Для качественной проработки 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022 разберём ещё некоторые задачи.

Задача (Основание системы)

Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Решение:

В этой задаче применим формулу:

Примером для данной формулы можно взять два разряда в двоичной системе. Максимальное число в двоичной системе равно 11₂. А в десятичной системе это число равно 3₁₀. Т.е. 2² — 1.

338 число будет точно больше, чем двухзначное число с основанием N.

Получается неравенство:

338 > N² — 1
N² < 339

N — положительное целое число. Тогда:

N < √339 ≈ 18
N ≤ 18

Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!

Будем идти вниз от числа 18 и проверять, на что делится 336.

Число 336 должно делится на N.

Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)

Ответ: 16

Продолжаем подготовку к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022

Задача (На понимание)

Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?

Решение:

Подберём такие числа в десятичной системе, которые в остатке при первом делении на 9 дадут 4!

Посмотрим, какой остаток будет при делении этого же числа на 3 при первом делении. Получается 1. Это и будет ответ.

Ответ: 1

Задача (Закрепление материала)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Решение:

Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.

23 : 3 = 7 (ост. 2) +
23 : 4 = 5 (ост. 3) —
23 : 5 = 4 (ост. 3) —
23 : 6 = 3 (ост. 5) —
23 : 7 = 3 (ост. 2) +
23 : 8 = 2 (ост. 7) —
23 : 9 = 2 (ост. 5) —
23 : 10 = 2 (ост. 3) —
23 : 11 = 2 (ост. 1) —
23 : 12 = 1 (ост. 11) —
23 : 13 = 1 (ост. 10) —
23 : 14 = 1 (ост. 9) —
23 : 15 = 1 (ост. —
23 : 16 = 1 (ост. 7) —
23 : 17 = 1 (ост. 6) —
23 : 18 = 1 (ост. 5) —
23 : 19 = 1 (ост. 4) —
23 : 20 = 1 (ост. 3) —
23 : 21 = 1 (ост. 2) +
23 : 22 = 1 (ост. 1) —
23 : 23 = 1 (ост. 0) —

Подходят числа 3, 7, 21.

Здесь можно и написать программу:

for i in range(3, 24):
    if 23%i==2:
        print(i)

Ответ: 3, 7, 21

Задача (Добьём 14 задание из ЕГЭ по информатике 2022)

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.

Решение:

Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на это число давали остаток 1.

Т.е. искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39

Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5). Поэтому искомое число равно 13.

Ответ: 13

Задача (Для чемпионов!)

В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222?
В ответе укажите число – основание системы счисления.

Решение:

Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. Система счисления меньше или равна 6, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.

Шестёрка не «поместилась» в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.

Ответ: 4

Задача (Новый тип, Статград окт 2022)

В выражении 1xBAD₁₆ + 2CxFE₁₆ x обозначает некоторую цифру из алфавита шестнадцатеричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 15. Для найденного x вычислите частное от деления данного выражения на 15 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

Решение:

Здесь дана сумма чисел, которые написаны в шестнадцатеричной системе счисления.

Мы будем перебирать каждую цифру из шестнадцатеричной системы (0-15) с помощью цикла. Нас будут интересовать те значения x, при котором сумма этих чисел будет делится на 15.

for x in range(0, 16):
    a=13*16**0 + 10*16**1 + 11*16**2 + x*16**3 + 1*16**4
    b=14*16**0 + 15*16**1 + x*16**2 + 12*16**3 + 2*16**4
    if (a+b)%15==0:
        print(x, (a+b)//15)

Чтобы проверить, делится ли данное выражение на 15, переводим оба слагаемых в нашу родную десятичную систему. Переводим стандартным образом, об этом можно прочитать здесь.

В задаче нужно написать для наименьшего найденного значения x результат от деления данной суммы на 15.

Получается 18341

Ответ: 18341

Задача(Новый тип, закрепление)

(Богданов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17:

9759x₁₇ + 3×108₁₇

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратного 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:

Решим задание с помощью предыдущего шаблона на языке Python.

for x in range(0, 17):
    a=x*17**0 + 9*17**1 + 5*17**2 + 7*17**3 + 9*17**4
    b=8*17**0 + 0*17**1 + 1*17**2 + x*17**3 + 3*17**4
    if (a+b)%11==0:
        print(x, (a+b)//11)

Ответ: 95306

Задача (Новый тип, две переменные)

(В. Шубинкин) Числа M и N записаны в системах счисления с основаниями 15 и 13 соответственно.

M = 2y23x5₁₅, N = 67x9y₁₃

В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите наименьшее значение натурального числа A, при котором существуют такие x, y, что M + A кратно N.

Решение:

Принцип решения данной задачи похож на решение 15 задания из ЕГЭ по информатике.

for A in range(1, 5000):
    for x in range(0, 13):
        for y in range(0, 13):   
            M=5*15**0 + x*15**1 + 3*15**2 + 2*15**3 + y*15**4 + 2*15**5
            N=y*13**0 + 9*13**1 + x*13**2 + 7*13**3 + 6*13**4
            if (M+A)%N==0:
                print(A)

Нужно найти A, значит, начинаем перебирать A. Идём от 1, т.к. речь идёт о натуральных числах. Перебираем x и y. Они могут принимать значения из алфавита в 13-ой системе. Берём меньшую, т.к. эти переменные и в первом числе, и во втором одинаковые.

Если выполняется условие задачи, то нам интересно такое A при котором это произошло.

В этой задаче A получается достаточно большим, поэтому перебираем эту переменную до 5000.

Ответ: 1535

На этом всё! Вы прошли чемпионскую тренировку по подготовке 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022. Успехов на экзамене!

«В переменную f записываем функцию». В переменную f мы записываем не функцию, а выражение

Господа, вот это я понимаю, по-настоящему чемпионская подготовка. Тут же и язык свой придумали, и решение на нём сделали. Скажите, зачем над змеёй то издеваться? Очень уж режет слух неправильное произношение. «Пайтон» — вот как должно быть. Я бы промолчал, увидев это раз, но видя подобное насилие над словом постоянно — молчать более не могу

Для ласт задачи модно сделать код куда проще и короче
for a in range(1, 10000):
for x in ‘0123456789ABC’:
for y in ‘0123456789ABC’:
M = int(f’2{y}23{x}5′, 15)
N = int(f’67{x}9{y}’, 13)
if (M + a) % N == 0:
print(a)
break

Первое задание, первое решение, очепятка: «В ответе напишем 4»,
вместо: «В ответе напишем 22».

И спасибо Вам за этот сайт!)

Источник

Задача 1. Как представлено число 73₁₀ в двоичной системе счисления?

a) 1001011 b) 111101 c) 101011 d) 1001001

Тогда 73₁₀ = 2⁶ + 2³ + 2⁰ = 1001001₂

Возможные ловушки:

если исходное число четное, то нужно не забыть о нулевой степени числа.
вариант ответа b). Нужно помнить правильность перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную, что десятичная система не «дружит» ни с какой другой в окружении систем с основанием, меньшим 100 (а на другие задачи мы не решаем), и пользоваться таблицей «дружбы» для перевода в двоичную систему счисления нельзя.

Проверка решения: По закономерности 4 из теоретической части: N^L-1 ≤ Ch < N^L

Тогда 64 ≤ 73 < 128 , то есть 2⁶ ≤ 73 < 2⁷

Длина результата равна 7, как и в полученном ответе.

Эта проверка действует на оба варианта из возможных совершенных ошибок.

На ЕГЭ более вариантов ответов не предусматривается.

Ответ: d (1001001)

Задача 2. Сколько единиц в двоичной записи числа 187 ?

Решение. Для быстрого и точного решения задачи достаточно разложить исходное число на сумму степеней двойки, а затем посчитать количество присутствующих степеней.

Тогда 187 = 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 , то есть будет всего шесть степеней двойки.

Заметим, что более никаких действий для получения ответа здесь выполнять не нужно!

Для проверки правильности решения достаточно сложить полученные числа и сравнить их с исходным числом.

Ответ: 6

Задача 3. Сколько нулей в двоичной записи числа 204 ?

Тогда 205 = 128 + 64 + 8 + 4 , то есть будет всего 4 степени двойки. А длина числа при переводе в двоичную систему счисления будет равна 8 (2⁷ ≤ 205 < 2⁸). Тогда количество нулей в числе будет равно разнице между ними: 8 — 4 = 4.

Заметим, что более никаких действий для получения ответа здесь выполнять не нужно!

Ответ: 4

Задача 4. Как записывается число A9516 в восьмеричной системе счисления?

Тогда A95₁₆ = 1010 1001 0101₂ = 101 010 010 101₂ = 5225₈.

Ответ: 5225

Задача 5. Дано: а = 9C₁₆, b = 236₈. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

a) 10011010 b) 10011110 c) 10011101 d) 11011110

Тогда 9C₁₆ = 1001 1100₂ = 10 011 100₂ = 234₈;

a) 10011010₂ = 10 011 010₂ = 232₈;

b) 10011110₂ = 10 011 110₂ = 236₈;

c) 10011101₂ = 10 011 101₂ = 235₈;

d) 11011110₂ = 11 011 110₂ = 336₈.

Ответ: с

Задача 6. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:

10111010, 10110100, 10101111, 10101100.
Сколько среди них чисел, меньших, чем 9C₁₆ + 37₈?

Тогда 9C₁₆ = 1001 1100₂ = 10 011 100₂ =234₈;

234₈ + 37₈ = 273₈;

10111010₂ = 272₈ (подходит);

10110100₂ = 264₈ (подходит);

10111111₂ = 277₈ (не подходит);

10101100₂ = 259₈ (подходит).

Ответ: 3

Задача 7. Укажите наибольшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 значащих нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

FF₁₆= 111~~11111~~₂ = > 11100000₂ = E0₁₆

Ответ: FFE0

Задача 8. (А.Н. Носкин) Задан отрезок [a, b]. Число a – наименьшее число, восьмеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – 3. Число b – наименьшее число, шестнадцатеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – F. Определите количество натуральных чисел на этом отрезке (включая его концы).

Решение.

a = 103₈; b = 10F₁₆ = 1 0000 1111₂ = 417₈

417₈ – 103₈ + 1 = 315₈ = 205 (плюс 1, потому что в разность входит только один конец отрезка, добавляем второй).

Ответ: 205

Задача 9. (Е.В. Куцырь) Определите количество натуральных чисел, кратных основанию четверичной системы счисления и удовлетворяющих неравенству: 734₈ <= x < 1E4₁₆

Решение.

1E4₁₆ = 1 1110 0100₂ = 744₈

744₈ – 734₈ = 10₈ = ₈ – всего в интервале, включая исходное число. Тогда чисел, кратных 4, в интервале ровно 2.

Ответ: 2

Источник

Решение задач ЕГЭ по теме «Системы счисления»

Подписи к слайдам:

Решение задач ЕГЭ
по теме «Системы счисления»

Скалкина С.И., учитель информатики и ИКТ
первой квалификационной категории

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Карсунская средняя школа имени Д.Н. Гусева

Немного теории:

Сколько единиц используется в двоичной записи числа 12F016?

Сколько единиц используется в двоичной записи числа 12F016?

Ответ: 6

2) Укажите наименьшее число, двоичная запись котрого содержит ровно пять значащих нулей и две единицы. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Ответ: 65

3) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 73?

Ответ: 3

Решение задач ЕГЭ (Часть 1, №1)

1. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?

2. Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 17318?

3. Чему равна сумма чисел 138 и 1316? Результат запишите в двоичной системе счисления.

4. Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 нулей.

Ответ: 4

Ответ: 7

Ответ: 111102

Ответ: 107F

5. Дано: а=7716, b=1718. Какое число х, записанное в двоичной системе счисления, отвечает неравенству a<x<b?

Ответ:11110002

Весёлая эстафета

Сколько глаз у пиявки? (подсказка 10102).
Сколько вершков в аршине (подсказка: 100002)
Сколько лет спала Спящая красавица из сказки Шарля Перро? (подсказка: 11001002)
Сапоги какого размера носил дядя Степа? (подсказка: 1011012)
Сколько лет было Красной шапочке? (подсказка 10002)

Решение задач ЕГЭ (Часть 1, №16)

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
4512 + 8512 – 2128 – 250

Ответ: 519

2) Решите уравнение: 121x+110=1017
Ответ запишите в троичной системе счисления.

Ответ: 20

1. Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

2. Решите уравнение 121x + 110 = 1019. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

3. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42018 + 22018 – 32?

4. Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120.Определите основание системы счисления.

Ответ: 3

Ответ: 8.

Ответ: 2014

Ответ: 7

Тренировочный тест

№1. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит 6 единиц.

№ 16. Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 – 22018 + 8800 – 80

Ответ: 1037

Ответ: 2395

Рефлексия

присесть на корточки — — невысокая оценка, безразличное отношение;
обычная поза стоя, руки по швам — удовлетворительная оценка, спокойное отношение;
поднять руки вверх, хлопая в ладоши — высокая оценка, восторженное отношение.

Источник

Кодирование и операции над числами в разных системах

счисления

Разбор заданий №
1 ЕГЭ (11 кл)

Проверяемые элементы содержания: Знание о системах счисления и двоичном представлении
информации в памяти компьютера.

(базовый
уровень, время – 1 мин)

Что нужно знать:

1. Таблица степеней числа 2:

210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	2⁰
1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

2. Перевод чисел из двоичной системы счисления:
в восьмеричную (x₂ → y₈)	в шестнадцатеричную (x₂ → z₁₆)
11111₂ = 011.111₂ = 37₈	11111₂ = 01.1111₂ = 1F₁₆
3. Перевод чисел в двоичную систему счисления:
из восьмеричной (y₈→ x₂)	из шестнадцатеричной (z₁₆ → x₂)
73₈ = 111.011₂	D2₁₆ = 1101.0010₂
4. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную (y₈→ z₁₆):	5. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную (z₁₆→ y8):
73₈ = 111.011₂ = 0011.1011₂ = 3B₁₆	D2₁₆ = 1101.0010₂ = 011.010.010₂ = 322₈

6. Перевод чисел из десятичной
системы счисления в двоичную:

Последовательное деление на “2” с
остатком

a. запись в столбик

b. линейный способ записи

46	23	11	5	2	1	0
0	1	1	1	0	1

←

101110₂

II.

Запись в виде суммы разрядных
слагаемых

46₁₀
= 32 + 8 + 4 + 2 = 1•2⁵+0•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+0•2⁰
= 101110₂

46₁₀
= 32 + 8 + 4 + 2 = 100000₂
+ 1000₂
+100₂
+ 10₂
= 101110₂

47₁₀
= 32 + 15 = 100000₂
+ 1111₂
= 101111₂


	7. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную:
Запись в развёрнутой форме: 101110₂ = 1•2⁵+0•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+0•2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 46₁₀
	8. Таблица соответствия позиционных систем счисления
		Десятичная {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}	Двоичная {0, 1}	Восьмеричная {0,1,2,3,4,5,6,7}	Шестнадцатеричная {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
	0	0	0	0
	1 = 2⁰	1	1	1
	2 = 2¹	102	2	2
	3	011	3	3
	4 = 2²	1002	4	4
	5	101	5	5
	6	110	6	6
	7 = 2³ — 1	111	7	7
	8 = 2³	10002	10	8
	9	1001	11	9
	10	1010	12	A
	11	1011	13	B
	12	1100	14	C
	13	1101	15	D
	14	1110	16	E
	15 = 2⁴ — 1	1111	17	F
	16 =2⁴	100002	20	10

Информационные ресурсы:

1.
Теория:
Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

2.
Задания
для тренировки: https://inf-ege.sdamgia.ru/?redir=1

a.
Двоичная система счисления

b.
Перевод в десятичную систему счисления

c.
Прямой перевод между шестнадцатеричной/восьмеричной и двоичной
СС

d.
Шестнадцатеричная арифметика

e.
Разные задачи

f.
Сравнение чисел в различных системах счисления

3. Онлайн-тест
Константина Полякова для подготовки к ЕГЭ: B1 —
Двоичное кодирование чисел

Задание
№ 1 (ДЕМО ФИПИ ЕГЭ-2020)

Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство
10011011₂ < x < 10011111₂?
В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.
Решение:

Например, 5 < x
< 8 это {6,7} – 2 числа (8-5 – 1 = 2)

I
вариант

II
вариант

1) Найдем
разность:

10011111₂

10011011₂

========

00000100₂

2) Переведём
результат в десятичную систему счисления:

1002
= 4
10

3) Найдём
количество
чисел: 4 – 1 = 3

1) Переведём
числа в десятичную систему счисления:

10011011₂
= 1•2⁷
+ 1•2⁴
+ 1•2³
+ 1•2¹
+

+ 1•2⁰
= 128 + 16 + 8 + 2 + 1= 155₁₀;

10011111₂=
1•2⁷
+ 1•2⁴
+ 1•2³
+ 1•2²
+

+ 1•2¹
+ 1•2⁰
= 128 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 =

= 15910;

2) Найдем
разность: 159 — 155 = 4 3) Найдём
количество
чисел: 4 – 1 = 3

Ответ: 3

Задание
№ 1 (ДЕМО ФИПИ ЕГЭ-2019)

Вычислите значение выражения 9E₁₆ – 94₁₆.
В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.
Решение:

9E16
– 94 16
= E
16
– 4
16
= 14 10
— 4
10
= 10 10

Ответ: 10.

Задание
№ 1 (ДЕМО ФИПИ ЕГЭ-2018)

Сколько существует целых чисел x, для которых выполняется неравенство
2A₁₆< x < 61₈?
В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.
Решение:
1) Переведём числа в единую систему счисления:
61₈ = 110001₂ 2A₁₆ = 101010₂	61₈ = 6•8¹ + 1•8⁰ = 48 + 1 = 49₁₀ 2A₁₆ = 2•16¹ + A•2⁰ = 32 +10 = 42₁₀
2) Найдём разность:
110001 101010 ====== 0001112 = 7 10	49 — 42 = 7
3) Найдём количество чисел: 7 – 1 = 6

Ответ: 6.

Разбор заданий № 1. ЕГЭ
2020. Информатика. Ушаков Д.М. 10 тренировочных вариантов^{^[1]}

Вариант № 1

*Сколько* существует натуральных чисел x, для которых выполнено неравенство
321₈ < x < DE₁₆ ? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не
нужно.
Решение:
	Переведём числа в единую систему счисления:
	q = 8 (x16→ y8)	*q = 10* (x16→ y10), (z8→ y10 )
1	DE₁₆= 1101.110 = = 11.011.110₂ = 336₈	DE₁₆ = 13•16 + 14 = 208 + 14 = 222₁₀ 321₈= 3•8² +2•8 +1 = 192 + 16 + = 209₁₀
2	336₈ — 321₈ = 36₈ — 21₈ = 15₈ 158 = 8+5 = 13 10	222 — 209 = 13
3	13 — 1 = 12	13 — 1 = 12

Ответ: 12.

Вариант № 2

Сколько
значащих нулей в двоичной записи числа 188
?

Решение:

188₁₀
= 128 + 63 — 3 = 2⁷
+ (2⁶-1) — (2²-1)
= 10000000₂ + 111111₂
— 11₂
= 10111100₂

188	94	47	23	11	5	2	1	q = 2
0	0	1	1	1	1	0	1	10111100₂

Ответ: 3.

Вариант № 3

Даны 4 целых числа, записанных в
различных системах счисления:

9F₁₆,
10110101₂,
274₈,
CE₁₆.
Сколько среди них чисел, значение которых лежит между

A516
и CD 16?

Решение:

A516< x
<CD16

1)
9F16<
A516 ⇒
no;

2)
1011.01012
= B5 16,
A5
16<
B516<
CD16;

3)
2748
= 1011.1100 2 =
BC16,
A5
16<
BC16<
CD16;

4)
CE₁₆
> CD₁₆ ⇒
no; Ответ:
2.

Вариант № 4

Сколько
чисел находится между 275₈ и
304₈?

Решение:

3048
— 275 8
= 007 8 =
710;

7 — 1 = 6

Ответ: 6.

Вариант № 5

Во сколько раз 34₈
меньше чем
3400₈?
В ответе запишите только число в

десятичной системе счисления.

Решение:

34008 /
34
8
= 100 8;

1008
= 8
2
= 6410

Ответ: 64.

Вариант № 6

Сколько
существует натуральных чисел x,
для которых выполнено неравенство

93₁₆
< x
< 236₈
? В ответе укажите только
количество чисел, сами числа писать не

нужно.

Решение:

93₁₆<
x
< 236₈;

236₈
= 1001.1110₂
= 9E₁₆;

9E16
— 93 16
= B
16
= 11 10;

11 — 1 = 10

Ответ: 10.

Вариант № 7

Сколько
значащих нулей в двоичной записи числа 237
?

Решение:

237₁₀
= 255 — 16 — 2 = 11111111 — 10000 — 10 = 11101101₂.

Ответ:
2.

Вариант № 8

Даны 4 целых числа, записанных в
различных системах счисления:

9F₁₆,
10110110₂,
A8₁₆,
D1₁₆.
Сколько среди них чисел, значение которых лежит между

2368
и B7 16?

Решение:

2368 < x
< B716

236₈
= 1001.1110₂
= 9E₁₆;

1) 9E16<
9F16< B716;

2) 1011.01102
= B6 16,
9E
16< B616< B716;

3) 9E16< A816< B716;

4) D116> B716⇒
no.

Ответ: 3.

Вариант № 9

Сколько
чисел находится между CD₁₆ и
D4₁₆?

Решение:

D416
— C9 16
= B
16
= 11 10;

11 — 1 = 10

Ответ: 10.

Вариант № 10

Во сколько раз 101110000₂
больше чем 10111 ₂?
В ответе запишите только число в

десятичной системе счисления.

Решение:

101110000₂/
10111₂
= 10000₂
= 16₁₀

Ответ: 16.

Разбор заданий № 1. СтатГрад.
Подготовка к ЕГЭ 2019^{^[2]}

Вариант № 1

Сколько *единиц* в двоичной записи числа 777₁₆?
Решение:

777₁₆
= 0111.0111.0111₂ ⇒
9 едениц Ответ: 9.

Вариант № 2

Сколько *единиц* в двоичной записи числа 777₈?
Решение:

777₈
= 111.111.111₂ ⇒
9 едениц Ответ: 9.

Вариант № 3

Сколько *нулей* в двоичной записи десятичного числа 1021 ?
Решение:

1021₁₀
= 1023 — 2 = 1111111111₂
— 10₂
= 1111111101₂
⇒
1 ноль Ответ: 1.

Вариант № 4

Сколько *нулей* в двоичной записи десятичного числа 507 ?
Решение:
507 = 511 — 4 = 1111111	11 — 100 ⇒ 1 ноль

10 2 2

Ответ: 1.

Вариант № 5

Выберите *наибольшее* из чисел: AA₁₆, 251₈, 10011101₂. В ответе запишите
выбранное число в десятичной системе счисления.
Решение:

10.011.101₂
= 235₈

AA₁₆= 1010.1010₂ = 10.101.010₂= 252₈
AA₁₆= A•16¹+ A•16⁰ = 160 + 10 = 170₁₀
Ответ: 170.

Вариант № 6

Выберите *наименьшее* из чисел: A8₁₆, 251₈, 10110001₂. В ответе запишите
выбранное число в десятичной системе счисления.
Решение:

A8₁₆=
1010.1000₂
= 10.101.000₂
= 250₈

10110001₂ = 10.110.001₂ = 261₈
A8	= 160 + 8 = 168

16
10

Ответ: 168.

Двоичная
система счисления³

Задание № 6875.

Укажите целое число от 8 до 11, двоичная запись которого содержит ровно две
единицы. Если таких чисел несколько, укажите *наи**боль**шее* из них.
Решение:
	число:	8	9	10	11
	двоичный код:	1000	1001	1010	1011

У чисел 9 и 10
двоичная запись содержит две единицы. 10
> 9.

Ответ:10

Задание № 107	.
Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 222?
Решение:

1-й способ: (представить число в виде суммы степеней 2)
222 =1•2⁷+1•2⁶+0•2⁵+1•2⁴+1•2^{^[3]}+1•2²+1•2¹+0•2⁰=11011110

10 2

2-й способ: (представить число в виде суммы или разности степеней 2)
222= 255 — 32 — 1 = 11111111 — 1	00000 —	1 = 11011110;

10 10 10 10 2 2 2 2

222₁₀
= 256₁₀
— 32₁₀
— 2₁₀ = 100000000₂
— 100000₂
— 10₂
= (100000000₂
— 10₂)
—

— 100000₂
= 11111110₂
— 100000₂
= 11011110₂

4-й способ: (последовательное деление (линейный вид))
222	111	55	27	13	6	3	1
0	1	1	1	1	0	1	1

22210=11011110 2 Ответ: 2

Задание №
9156.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 239?
Решение:
	239	119	59	29	14	7	3	1
	1	1	1	1	0	1	1	1

239₁₀
= 255₁₀—
16₁₀
= 11111111₂
— 10000₂
= 11101111₂

Ответ: 7

Задание № 9188.

Укажите *наи**мень**шее* *четырёхзнач**ное* шестнадцатеричное число, двоичная запись
которого содержит ровно 6 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное
число, основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:

1)
Запишем
наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное
число:

1000₁₆=
1.0000.0000.0000₂

2)
1.0000.0011.1111₂=103F₁₆ Ответ: 103F

Задание № 124.

Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 48?
Решение:

4810=32 10+16 10=100000 2+10000 2=110000 2

Ответ: 4

Задание № 429

Вычислите разность X-Y двоичных чисел, если
Y=1002
Х=1010100₂
Ответ запишите в двоичной системе.
Решение:

1010100₂—
100₂

=======

1010000₂

Ответ: 1010000

Источник

Перевод числа из любой системы счисления в десятичную

Особенности при переводах в разные системы счисления

Решение заданий 14 ЕГЭ по информатике

Определите наибольшее/наименьшее значение x, y

Сколько цифр или сумма цифр

Найти основание системы счисления и уравнения

Решение задач ЕГЭ по теме «Системы счисления»

Подписи к слайдам:

Разбор заданий № 1. ​ЕГЭ 2020. Информатика. Ушаков Д.М. 10 тренировочных вариантов[1]

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Вариант № 7

Вариант № 8

Вариант № 9

Вариант № 10

Разбор заданий № 1. ​СтатГрад. Подготовка к ЕГЭ 2019[2]

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Разбор заданий № 1. ЕГЭ
2020. Информатика. Ушаков Д.М. 10 тренировочных вариантов^{^[1]}

Разбор заданий № 1. СтатГрад.
Подготовка к ЕГЭ 2019^{^[2]}