Задания егэ по математике на смеси

Сергей смешал раствор, содержащий (20%) кислоты и раствор, содержащий (40%) той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий (32,5%) кислоты, причём объём полученного раствора (4) литра. Сколько литров раствора, содержащего (20%) кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Пусть (x) литров раствора, содержащего (20%) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда

(4 — x) литров раствора, содержащего (40%) кислоты использовал Сергей при смешивании,

(dfrac{20}{100}x) – объём кислоты в растворе, содержащем (20%) кислоты, (dfrac{40}{100}(4 — x)) – объём кислоты в растворе, содержащем (40%) кислоты.

Так как в итоге кислоты оказалось (dfrac{32,5}{100} cdot 4 = 1,3) литра, то:

[dfrac{20}{100}x + dfrac{40}{100}(4 — x) = 1,3,] откуда находим (x = 1,5).

Ответ: 1,5

Один газ в сосуде А содержал (21%) кислорода, второй газ в сосуде В содержал (5%) кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит (14,6%) кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.

Пусть (x) грамм – масса второго газа, тогда

(x + 300) грамм – масса первого газа,

(dfrac{21}{100}(x + 300)) грамм – масса кислорода в первом газе,

(dfrac{5}{100}x) грамм – масса кислорода во втором газе,

тогда масса кислорода в третьем газе составляет (dfrac{14,6}{100}(2x + 300)) грамм.

Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:

[dfrac{21}{100}(x + 300) + dfrac{5}{100}x = dfrac{14,6}{100}(2x + 300),] откуда находим (x = 600). Таким образом, масса третьего газа равна (600 + 600 + 300 = 1500) грамм.

Ответ: 1500

Иван случайно смешал молоко жирностью (2,5%) и молоко жирностью (6%). В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью (4,6%). Сколько литров молока жирностью (2,5%) было у Ивана до смешивания?

Пусть (x) литров молока жирностью (2,5%) было у Ивана, тогда

(5 — x) литров молока жирностью (6%) было у Ивана,

(dfrac{2,5}{100}x) – объём жира в молоке жирностью (2,5%), (dfrac{6}{100}(5 — x)) – объём жира в молоке жирностью (6%).

Так как в итоге жира оказалось (dfrac{4,6}{100} cdot 5 = 0,23) литра, то:

(dfrac{2,5}{100}x + dfrac{6}{100}(5 — x) = 0,23), откуда находим (x = 2).

Ответ: 2

В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100(%). До переливания в сосуде А было (3 cdot 0,17 = 0,51) литра вещества Х, в сосуде В было (7 cdot 0,19 = 1,33) литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал (0,51 + 1,33 = 1,84) литра, а объём всего раствора (3 + 7 = 10) литров. Тогда концентрация в процентах составила [dfrac{1,84}{10} cdot 100% = 18,4%.]

Ответ: 18,4

Во сколько раз больше должен быть объём (5)-процентного раствора кислоты, чем объём (10)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить (7)-процентный раствор?

Пусть объём (5)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (10)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,05x + 0,1y = 0,07(x + y)
qquadLeftrightarrowqquad
dfrac{x}{y} = dfrac{3}{2} = 1,5,,] таким образом, ответ: (1,5).

Ответ: 1,5

Во сколько раз больше должен быть объём (20)-процентного раствора кислоты, чем объём (14)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить (18)-процентный раствор?

Пусть объём (20)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (14)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,2x + 0,14y = 0,18(x + y)
qquadLeftrightarrowqquad
dfrac{x}{y} = 2,,] таким образом, ответ: (2).

Ответ: 2

Смешав (25)-процентный и (95)-процентный растворы кислоты и добавив (20) кг чистой воды, получили (40)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо (20) кг воды добавили (20) кг (30)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы (50)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов (25)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит (x) кг, а в нем (25%) кислоты, то в килограммах в нем (dfrac{25}{100}cdot x) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+
dfrac{0}{100}cdot 20=dfrac{40}{100}cdot (x+y+20)]

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+
dfrac{30}{100}cdot 20=dfrac{50}{100}cdot (x+y+20)]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем (x). Для этого можно умножить оба уравнения на (100), чтобы сделать их проще на вид:

[begin{cases}
25x+95y+0=40(x+y+20)\
25x+95y+30cdot 20=50(x+y+20)
end{cases}]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

[begin{aligned} &begin{cases}
25x+95y=40(x+y+20)\
30cdot 20=10(x+y+20)
end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
5x+19y=8(x+y+20)\
y=40-x end{cases} quad Rightarrow \[2ex] Rightarrow quad
&begin{cases}
3x-11(40-x)+160=0\
y=40-x end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
x=20\y=20end{cases} end{aligned}]

Таким образом, раствора с (25%) кислоты было (20) кг.

Ответ: 20